sesion de aprendizaje n° 9files.uladech.edu.pe/docente/32765808... · analítica muy efectiva para...

Universidad Los Ángeles de Chimbote CURSO BIOESTADÍSTICA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

LECTURA 06: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS

POBLACIONALES

TEMA 13: PRUEBA DE HIPOTESIS: DEFINICIONES GENERALES

1. INTRODUCCIONEl propósito de análisis estadístico es reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de decisiones. Los psicólogos pueden tomar mejores decisiones solo si tienen suficiente información a su disposición. La prueba de hipótesis es una alternativa analítica muy efectiva para obtener esta valiosa información. Por ejemplo el psicológo de un hospital desea determinar si el nivel de depresión en pacientes con cáncer es mayor de 55 puntos ( 55µ > ). El psicólogo de un hospital desea saber si el porcentaje de personas que tienen hábito de fumar es mayor del 30% ( P 0.30> ).Las ilustraciones de esta naturaleza son virtualmente ilimitadas en diferentes escenarios del campo de la Psicología. Si se pueden obtener respuestas a estas preguntas y a muchas otras con algún grado de garantía la toma de decisiones se vuelve más segura y es menos probable que conduzca a un error costoso.

2. DEFINICIONES GENERALESA continuación daremos a conocer algunas definiciones generales que se usan para llevar a cabo una prueba de hipótesis:

a) Hipótesis estadística: Es una suposición o afirmación respecto de un parámetro poblacional. Por ejemplo:

b) Prueba de hipótesis: Es un procedimiento basada en la evidencia muestral y en la teoría de la probabilidad que se lleva acabo para decidir si se acepta o rechaza un hipótesis estadística planteada.

c) Tipos de hipótesis: Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones de las poblaciones que se estudian. Hay dos tipos de hipótesis: la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

c.1.) Hipótesis nula (Ho): Es aquella que establece que el parámetro tiene determinado valor y se formula con la intención de rechazarla.

________________________________________________________ 1Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Marzo 2011Versión : 2


La hipótesis nula es una afirmación que será aceptada si los datos de la muestra no nos proveen de evidencia convincente de que es falsa, es decir, si se acepta la hipótesis nula decimos que la evidencia no es suficiente para rechazarla pero no podemos afirmar que es verdadera.

c.2) Hipótesis alternativa: Es una hipótesis diferente a la hipótesis nula, es la que suponemos que es verdadera y deseamos establecer. La hipótesis alterna es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula. Esta hipótesis, también llamada hipótesis de investigación. La hipótesis alterna es aceptada si la evidencia proporcionada por la muestra es suficiente para afirmar que la Ho es falsa.

d) Tipos de errores: Al realizar una prueba de hipótesis no sabemos si en una determinada acción (rechazo o aceptación de la hipótesis nula) cometemos un error o no.• Error Tipo I: Consiste en rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

• Error Tipo II: Consiste en aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.

Si Ho es la hipótesis nula (sometida a prueba) y H1 es la hipótesis alternativa, entonces estas hipótesis junto con las dos posibilidades de decisión podemos esquematizarla en la siguiente tabla:

DECISIÓNESTADO DE LA NATURALEZA

Ho verdadera Ho falsa

Aceptar Ho1 - α

Decisión correcta β

Error Tipo I

Rechazar Hoα

Error Tipo I 1− β

Decisión correcta

Es obvio quien toma las decisiones, quiere reducir al máximo las probabilidades de cometer cualquiera de estos dos tipos de errores, esto no es fácil, pues las probabilidades de cometer error tipo I y II son inversamente proporcionales, para cualquier prueba dada. De ahí que, cuanto menor es el riesgo de cometer un error tipo I, tanto mayor es la probabilidad de cometer un error tipo II y viceversa. Sin embargo dada la regla de decisión, es posible reducir ambos tipos de errores en forma simultánea, aumentando el tamaño de la muestra.



e) Nivel de significacion (α): Se denomina nivel de significación de una prueba de hipótesis a la probabilidad de cometer un error tipo I.

El nivel de significancia es simbolizado por α, y también es conocido como nivel de riesgo. Este último término es más apropiado porque es el riesgo que se toma de rechazar una hipótesis verdadera.

α = P[error tipo I] = P [Rechazar Ho / Ho es verdadera]α = P[error tipo I] = P [Aceptar H1 / H1 es falsa]

No hay un nivel de significancia para todos los estudios, se puede utilizar cualquier valor de probabilidad entre 0 y 1. Tradicionalmente, el nivel de 0.05 es aplicado a proyectos de investigación, el nivel 0.01 a control de calidad, y 0.10 a sondeos políticos. Usted como investigador debe decidir el nivel de significancia antes de colectar la muestra de datos.

Los niveles de significación más usados son: α = 0.05 y 0.01. Estos dos números son usados tan frecuentemente que cuando Ho es rechazada en α = 0.05, podemos decir que el resultado es significativo y cuando Ho es rechazada en α = 0.01, decimos que el resultado es altamente significativo.

NOTA: La probabilidad de cometer un error tipo II se representa por β, es decir:

β = P[error tipo II] = P[Aceptar Ho / Ho falsa]β = P[error tipo II] = P[Rechazar H1 / H1 es verdadera]

fig. 16

R.A. : Región de aceptación.R.R. : Región de rechazo.


β αR.A. R.R.C

1-α 1-β

1ˆf ( / H )θ

0ˆf ( / H )θ


f) Tipos de prueba:• Prueba de cola izquierda: Si la región de rechazo está a la izquierda del

punto crítico C.

fig. 17• Prueba de cola derecha: Si la región de rechazo está a la derecha del junto

crítico C.

fig. 18• Prueba bilateral: Si la región de aceptación es un intervalo cerrado entre los

puntos crítico C1 y C2.

fig. 19


R.R.CR.A.

α

1-α

R.R. C R.A.α

1-α

R.A.C1

α/2R.R.

α/2C

2 R.R.

1-α

0ˆf ( / H )θ

0ˆf ( / H )θ

0ˆf ( / H )θ


g) Pasos de una prueba de hipótesis:1. Formulación de la hipótesis nula y alternativa de acuerdo al problema.2. Especificación del nivel de significación.3. Selección de la estadística de prueba.4. Establecimiento de los criterios de decisión.5. Realización de cálculos.6. Decisión.

TEMA 14: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONALLa media poblacional es un parámetro de decisión muy importante. Es de interés

conocer si una media poblacional ha aumentado, disminuido o ha permanecido inalterado, o también podemos estar interesados en determinar si una media poblacional es significativamente mayor o menor que un valor supuesto.

1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL USANDO LA ESTADISTICA Z.

CASO I: Uso de la estadística Z.i) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional conocida, población normal o no. ii) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional desconocida (σ2 ≅ s2) y población

normal o no. iii) Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional conocida y población normal.

1. Formulación de hipótesis: a) Ho: µ ≥ µo b) Ho: µ ≤ µo c) Ho: µ = µo

H1: µ < µo H1: µ > µo H1: µ ≠ µo

2. Nivel de significancia: α

3. Estadística de prueba:

• Para i y iii

)1,0(nn/

xZ 0 →

σµ−

=



• Para ii

)1,0(nn/s

xZ 0 →

µ−=

4. Establecimiento de los criterios de decisión:• Prueba de cola izquierda :

• Prueba de cola derecha:


R.A.: Z

K > - Z

1- α , se acepta H

O.

R.R.: ZK < - Z

1- α , se rechaza H

O.

0-Z

1- α

1- α

R.R R.A.

α

R.A.: Zk < Z

1 - α , se acepta H

O.

R.R.: Zk > Z

1 - α , se rechaza H

O.

Z1- α

α

1 - α

0

R.A. R.R.


• Prueba bilateral :

.

5. Cálculos: Obtención del valor experimental.

• Para i y iii

n/x

Z 0k

σµ−

=

• Para ii

n/sxZ 0

kµ−=

6. Decisión:Se compara el valor experimental con el valor crítico.Si Zk ∈ R.A., se acepta HO.Si Zk ∈ R.R., se rechaza HO.


R.A.: -Z1 – α/2 < Zk < Z1 - α/2 ,se acepta H0.

R.R.: Zk < -Z1 - α/2 O Zk > Z1 – α/2 ,se rechaza H0.

α/2α/2

1-α

R.R.R.A.R.R.0-Z1- α/2 Z1- α/2


NOTA: Si se tiene una población finita de tamaño N se corrige la estadística de prueba de la siguiente manera:

a) Para i y iii: b) Para ii:

1NnN

n

xZ 0

−−σ

µ−=

1NnN

nsx

Z 0

−−

µ−=

Ejemplo 1:En el boletín de Asociación Americana de corazón, hipertensión, investigadores reportan que los individuos que practican meditación (MT), bajan su presión sanguinea de manera signficativa . Si una muestra aleatoria de 225 hombres practicantes de MT meditan 8.5 horas a la semana con una desviación estándar de 2.25 horas ¿Sugiere esto, que en en promedio, los hombres que utilizan la MT meditan más de 8 horas a la semana a un nivel de significancia del 5%?

Solución: Utilizamos Caso I - ii1. Formulación de la hipótesis :

H0 : µ = 8H1 : µ > 8

2. Nivel de significancia : α= 0.05

3. Estadística de prueba:Análisis: n=225

(n>30) Varianza poblacional desconocida (se obtiene a través de la muestra)

Asumiendo población normal, porque n>30 Usar Estadística Z – Caso I - ii


x 8.5=

s 2.5=

2s 2.5 s 6.25= ⇒ =


4. Establecimiento de los criterios de decisión:

5. Cálculos :

0kx 8.5 8.0Z 3s / n 2.5 / 225

− µ −= = =

6. Decisión :Zk=3>1.645, rechazamos Ho.Se rechaza la hipótesis; es decir los hombres que utilizan la MT meditan más de 8 horas a la semana.

Ejemplo 2:La estatura promedio de mujeres de primer año en cierta universidad es de 162.5 cm. Con una desviación estándar de 6.9 cm. ¿Hay alguna razón para creer que hay un cambio en la estatura promedio si una muestra aleatoria de 50 mujeres en el grupo actual de primer año tiene una altura promedio de 165.2 cm a un nivel de significancia del 1%?

Solución: Utilizamos Caso I - i1. Formulación de la hipótesis:

H0 : µ = 162.5H1 : µ ≠ 162.5


1.645

0.05

1 - α =0.95

R.A.: ZK

< 1.645, se acepta HO.

R.R.: ZK

> 1.645, se rechaza HO.

0R.A

.R.R

.


2. Nivel de significancia: α = 0.01

3. Estadística de prueba :Análisis: n=50

(n>30) Varianza poblacional conocida.

σ =6. 9 σ 2= 47.61 Asumiendo población normal porque n>30 Usar Estadística Z – Caso I - i

0xZ n(0,1)/ n− µ= →

σ

4. Establecimiento de los criterios de decisión :

5. Cálculos:

6. Decisión :ZK = 2.77 > 2.576, entonces rechazamos Ho.Si hay razón para creer que hay un cambio en la estatura promedio.


x 165.2=

0kx 165.2 162.5Z 2.77/ n 6.9 / 50− µ −= = =

σ

-2.576 2.576

R.A.: -2.576≤ ZK ≤ 2.576, se acepta H

O.

R.R.: ZK < -2.576 o Z

K >2.576, se rechaza H

O.

α/2=0.05α/2=0.05

1- α = 0.99

0R.R.

R.R.

R.A.


2. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL USANDO LA ESTADISTICA T.

CASO II: Uso de la estadística t.La muestra es pequeña (n< 30), varianza poblacional desconocida 2 2( s )σ ≅ y población normal.

1. Formulación de hipótesis estadística:a) HO: µ ≥ µo b) HO: µ ≤ µo c) HO: µ = µo

H1: µ < µo H1: µ > µo H1: µ ≠ µo



Donde: (n-1) son los grados de libertad.



R.A.: tK > - t

1-α , n-1, se acepta H

O.

R.R.: tK < - t

1-α , n-1, se rechaza H

O.

0-t1-α, n-1

α

1-α

R.A.R.R..

1n0 tn/s

xt −→

µ−=




5. Cálculos:


R.A.: tk < t

1-α, n-1, se acepta H

o.

R.R.: tk > t

1-α, n-1, se rechaza H

o.

t1-α, n-1

α

1 - α

0

R.A R.R

1 / 2,n 1t − α −− 1 / 2,n 1t − α −

R.A.: t1 - α/2, n-1

< tk < t

1 - α/2, n-1 , se acepta H

O .

R.R.: tk < - t

1 - α/2, n-1 o t

k > t

1 - α/2, n-1 , se rechaza H

O.

α/2α/2

1-α

R.A. R.R.R.R.

0


n/sx

t 0k

µ−=

6. Decisión:Se compara el valor experimental con el valor crítico Si t k ∈ RA. , aceptamos Ho.Si t k ∈ R.R. , rechazamos Ho.

NOTA: Si se tiene una población finita de tamaño N se corrige la estadística de prueba. Así:

1NnN

nsx

t 0k

−−

µ−=

Ejemplo 3:Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 10 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones: 11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9. A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo?

Solución: Caso II

1. Formulación de Hipótesis :H0 : µ = 11.5H1 : µ ≠ 11.5

2. Nivel de significancia : α = 0.05



3. Estadística de prueba :Análisis:

n=10 (n<30)

Varianza poblacional desconocida (se obtiene a través de la muestra)

Población normal Usar Estadística T – Caso II

Como n=10, entonces:



R.A.: tk ∈ [-2.262, 2.262], se acepta H

O.

R.R.: tk < -2.262 o t

k > 2.262, se acepta H

O.

-2.262 2.262α=0.025 α=0.025

1- α =0.95

R.R R.A R.R

0

1n0 tn/s

xt −→

µ−=

2s 3.66 s 13.39= ⇒ =

9t t→

x 9.5=

s 3.66=


5. Cálculos :

6. Decisión: tk = -1.73 ∈ R.A., por lo tanto se acepta Ho. El programa no es efectivo.

Ejemplo 4:Se hizo un estudio en una empresa corporativa para medir el nivel de estress de los trabajadores, según la escala de Holmes Rahe una puntuación media de 250 o más indica que hay una situación de sobre-estrés, se tomó una muestra de 15 trabajadores en que la que se encontrarón las siguientes puntuaciones: 180, 140, 150, 145, 120, 180, 154, 144, 140, 130, 125, 122, 115, 160, 128 . Sabiendo que las puntuaciones se distribuyen normalmente, hay suficiente evidencia a un nivel de significancia del 5% que la puntuación media alcanzada por los trabajadores es menor a 250 puntos.

Solución:1. Formulación de la hipótesis:

H0 : µ ≥ 250 H1 : µ < 250

2. Nivel de significancia : α = 0.01

3. Estadística de prueba:Análisis: n=15

(n<30) Varianza poblacional desconocida (se obtiene a través de la muestra)

Población normal Usar Estadística T – Caso II


s 20.15=

2s 20.15 s 405.89= ⇒ =

x 142.2=

0kx 9.5 11.5t 1.73s / n 3.66 / 10

− µ −= → = −


Como n=15, entonces:


5. Cálculos:

6. Decisión:tk = -20.71<-2.624, entonces rechazamos HO.

Existe suficiente evidencia a un nivel de significancia del 1% que la puntuación media del nivel de estrés es menor a 250, lo que quiere decir que no hay sobre -estrés en los trabajadores.


-2.624

α = 0.01

R.A.: tK ≥ - 2.624, se acepta H

O.

R.R.: tK

< -2.624, se rechaza HO.

1-α = 0.99

0

R.R.

R.A.

0kx 142.2 250t 20.71s / n 20.15/ 15

− µ −= = = −

1n0 tn/s

xt −→

µ−=

o 0.99,14t t 2.624= =


TEMA 15: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES

En muchas situaciones de tomas de decisiones los investigadores pueden estar interesados en determinar si las medias de dos poblaciones son iguales o diferentes o en otro caso si una media poblacional es mayor o menor que la otra . Por ejemplo se puede tener la intención si los estudiantes de un aula con padres divorciados tienen mayores niveles de ansiedad que los estudiantes sin padres divorciados, si los trabajadores de una empresa con bajos sueldos tienen menores niveles de estrés que los trabajadores con altos sueldos, si el Coeficiente Intelectual de los estudiantes que trabajan es diferente de los estudiantes que no trabajan y muchas otras situaciones más que sean de interés para el investigador.

1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES USANDO LA ESTADISTICA Z.

CASO I: Uso de la estadística Z.i) Muestras grandes (n1≥30, n2≥30), varianzas poblacionales conocidas

y poblaciones normales o no.ii) Muestras grandes (n1≥30, n2≥30), varianzas poblacionales desconocidas pero

iguales y poblaciones normales o no.iii) Muestras pequeñas (n1<30, n2<30), tal que (n1+n2<30), varianzas

poblacionales conocidas y poblaciones normales.

1. Formulación de hipótesis: a) Ho: µ1 ≥ µ2 b) Ho: µ 1≤ µ2 c) Ho: µ1 = µ2

H1: µ1 < µ2 H1: µ1 > µ2 H1: µ1 ≠ µ2


3. Estadística de prueba: • Para i y iii


2 21 2( y )σ σ

2 21 2σ = σ 2 2 2 2

1 1 2 1( s y s )σ ≅ σ ≅2 21 2( y )σ σ


• Para ii



R.A.: Z

K > - Z

1- α , se acepta H

O.

R.R.: ZK < - Z

1- α , se rechaza H

O.

0-Z

1- α

1- α

R.R R.A.

α

1 2

2 21 2

1 2

(x x )Z n(0,1)

n n

−= →σ σ+

1 2

2 21 2

1 2

(x x )Z n(0,1)s sn n

−= →+




.


R.A.: Zk < Z

1 - α , se acepta H

O.

R.R.: Zk > Z

1 - α , se rechaza H

O.

Z1- α

α

1 - α

0

R.A. R.R.

R.A.: -Z1 – α/2 < Zk < Z1 - α/2 ,se acepta H0.

R.R.: Zk < -Z1 - α/2 O Zk > Z1 – α/2 ,se rechaza H0.

α/2α/2

1-α

R.R.R.A.R.R.0-Z1- α/2 Z1- α/2


5. Cálculos: Obtención del valor experimental.

• Para i y iii

• Para ii

6. Decisión:Se compara el valor experimental con el valor crítico.Si Zk ∈ R.A., se acepta HO.Si Zk ∈ R.R., se rechaza HO.

Ejemplo 1:Se comparan dos marcas de cigarrillo, C y D, respecto a su contendio de nicotina rn miligramos, dieron los siguientes resultados:

Marca C Marca Dn1=40 n2=50

Con un nivel de significancia del 1%. Existe suficiente evidencia estadística para decir que hay diferencia entre las medias de contenido de nicotina para las dos marcas de cigarrillos.


1 2k 2 2

1 2

1 2


−= →+

1x 14.3= 2x 15.7=

1s 2.9= 2s 3.8=

1 2k 2 2

1 2

1 2

(x x )Z n(0,1)

n n

−= →σ σ+



H0 : µ 1 = µ 2

H1 : µ 1 ≠ µ 2


3. Estadística de prueba:Análisis: n1=40

(n>30)

n2=50

Asumiendo varianzas poblacionales desconocidas pero iguales (se obtienen a través de la muestra)

Asumiendo poblaciónes normales, porque (n1≥30, n2≥30) Usar Estadística Z – Caso I - ii


21 1

22 2

s 2.9 s 8.41

s 3.8 s 14.44

= ⇒ =

= ⇒ =

1x 14.3=

1s 2.9=

2x 15.7=

2s 3.8=

1 2k 2 2

1 2

1 2


−= →+



5. Cálculos :

6. Decisión :Zk=3>1.645, rechazamos Ho.Se rechaza la hipótesis; es decir existe diferencia entre los contenidos de nicotina de las dos marcas de cigarrillos.


-2.576 2.576

R.A.: -2.576≤ ZK ≤ 2.576, se acepta H

O.

R.R.: ZK < -2.576 o Z

K >2.576, se rechaza H

O.

α/2=0.05α/2=0.05

1- α = 0.99

0R.R. R.R.R.A.

1 2k 2 2

1 2

1 2

(x x )Zs sn n

−=+

k 2 2

(14.3 15.7)Z(2.9) (3.8)40 50

−=+

kZ 3=


Ejemplo 2: Se realizo un estudio con 60 sujetos originarios de Cali, entre los 18 y 40 años, divididos en un Grupo 1 de 30 pacientes diagnosticados con asma bronquial, extraídos de consulta externa en varios centros hospitalarios de la ciudad, y un Grupo2 normativo conformado por 30 personas sanas de diferentes centros educativos y empresas, a los cuales se les aplicó un cuestionario para medir sus niveles de ansiedad frente a respuestas cognitivas; obtendiendose los siguientes resultados:

Grupo 1 Grupo 2n1=30 n2=30

Para un nivel de significancia del 1% probar si los niveles de ansiedad del Grupo 1 son mayores que los niveles de ansiedad del Grupo 2.


H0 : µ 1 = µ 2

H1 : µ 1 > µ 2


3. Estadística de prueba:Análisis: n1=40

n2=50



1x 34.47= 2x 18.43=

1s 30.14= 2s 20.63=

1s 30.14=1x 34.47=

2x 18.43=

2s 20.63=


Asumiendo poblaciónes normales, porque (n1>30, n2>30) Usar Estadística Z – Caso I - ii


5. Cálculos :


21 1

22 2

s 30.14 s 908.42

s 20.63 s 425.60

= ⇒ =

= ⇒ =

1 2k 2 2

1 2

1 2

(x x )Zs sn n

−=+

k 2 2

(34.47 18.43)Z(30.14) (20.63)40 50

−=+

1 2k 2 2

1 2

1 2


−= →+

R.A.: Zk < 2.326 , se acepta H

O.

R.R.: Zk > 2.326 , se rechaza H

O.

2.326α=0.01

1 - α =0.99

0

R.A. R.R.


6. Decisión :Zk=2.87>2.326, rechazamos Ho.Los niveles de ansiedad del Grupo 1 son mayores que los niveles de ansiedad del Grupo 2.

2. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL USANDO LA ESTADISTICA T.

CASO II: Uso de la estadística t.i) Muestras pequeñas n1<30, n2<30, tal que (n1+n2<30), varianzas poblacionales desconocidas pero iguales y poblaciónes normales.

1. Formulación de hipótesis: a) Ho: µ1 ≥ µ2 b) Ho: µ 1≤ µ2 c) Ho: µ1 = µ2

H1: µ1 < µ2 H1: µ1 > µ2 H1: µ1 ≠ µ2



Donde: (n1+n2-2) son los grados de libertad.


• Prueba de cola izquierda :


2 21 2σ = σ 2 2 2 2

1 1 2 2( s y s )σ ≅ σ ≅

( ) ( ) 1 2

1 2n n 22 2

1 1 2 2

1 2 1 2

(x x )t tn 1 s n 1 s 1 1n n 2 n n

+ −−= →

− + − + + + −

kZ 2.87=


Valor tabular:


Valor tabular



R.A.: tK > - t

o, se acepta H

O.

R.R.: tK < - t

o, se rechaza H

O.

0

α

1-α

R.A.R.R..

R.A.: tk < t

o, se acepta H

o.

R.R.: tk > t

o, se rechaza H

o.

α

1 - α

0

R.A R.R

ot−

ot

1 2o 1 ,n n 2t t − α + −− = −

1 2o 1 ,n n 2t t − α + −=


Valor tabular :

5. Cálculos:

6. Decisión:Se compara el valor experimental con el valor crítico Si t k ∈ RA. , aceptamos Ho.Si t k ∈ R.R. , rechazamos Ho.

ii) Muestras pequeñas (n1<30, n2<30) tal que (n1+n2<30), varianzas poblacionales desconocidas pero diferentes y poblaciónes normales.

1. Formulación de hipótesis:


R.A.:- to < t

k < t

o , se acepta H

O .

R.R.: tk < - t

o o t

k > t

o , se rechaza H

O.

α/2α/2

1-α

R.A. R.R.R.R.

0otot−

1 2 1 2o 1 / 2,n n 2 o 1 / 2,n n 2t t y t t− α + − − α + −− = − =

( ) ( )1 2

k 2 21 1 2 2

1 2 1 2

(x x )tn 1 s n 1 s 1 1n n 2 n n

−=− + −

+ + + −

2 21 2σ ≠ σ 2 2 2 2

1 1 2 2( s y s )σ ≅ σ ≅


a) Ho: µ1 ≥ µ2 b) Ho: µ 1≤ µ2 c) Ho: µ1 = µ2

H1: µ1 < µ2 H1: µ1 > µ2 H1: µ1 ≠ µ2



Donde:

r son los grados de libertad.

Se obtiene de la siguiente manera:

Donde r rara vez es un entero y se redondea al entero más próximo.


• Prueba de cola izquierda :


22 21 1 2 2

r2 22 21 1 2 2

1 2

s n s nr t

s n s nn 1 n 1

+ = → +

− −

1 2r2 2

1 2

1 2

(x x )t ts sn n

−= →+


Valor tabular


Valor tabular


R.A.: tK > - t

o, se acepta H

O.

R.R.: tK < - t

o, se rechaza H

O.

0

α

1-α

R.A.R.R..

R.A.: tk < t

o, se acepta H

o.

R.R.: tk > t

o, se rechaza H

o.

α

1 - α

0

R.A R.R

ot−

ot

o 1 , rt t − α− = −

o 1 , rt t − α=



Valor tabular :

5. Cálculos:

6. Decisión:Se compara el valor experimental con el valor crítico Si t k ∈ R.A. , aceptamos Ho.Si t k ∈ R.R. , rechazamos Ho.

Ejemplo 3:Un investigador desea saber si el contenido de plomo en la sangre en niños afecta el Coeficiente Intelectual (CI), para ello se toma dos muestras de niños de los colegios


R.A.:- to < t

k < t

o , se acepta H

O .

R.R.: tk < - t

o o t

k > t

o , se rechaza H

O.

α/2α/2

1-α

R.A. R.R.R.R.

0 otot−

o 1 / 2, r o 1 / 2, rt t y t t− α − α− = − =

1 2k 2 2

1 2

1 2

(x x )ts sn n

−=+


de de dos comunidades A y B, los niños de la comunidad A tienen más riesgo porque viven cerca a una mina, la cual dista mucha de la comunidad B, se tomó una prueba para medir el Coeficiente Intelectual de los niños, obteniéndose los siguientes resultados:

Comunidad A Comunidad Bn1=10 n2=15

Suponga que los Coeficientes Intelectuales se distribuyen normalmente con varianzas desconocidas pero iguales ¿Es el Coeficiente Intelectual de la comunidad A menor que el de la comunidad B, a un nivel de significancia del 5%?

Solución: Caso II-i

1. Formulación de la hipótesis :H0 : µ 1 = µ 2

H1 : µ 1 < µ 2


3. Estadística de prueba: Análisis: n1=10

n2=15

Se debe tomar en cuenta que n1+n2<30


1x 77.9= 2x 92.9=

1s 12.7= 2s 12.3=

1x 77.9=

1s 12.7=

2x 92.9=

2s 12.3=



Poblaciónes normales, porque (n1 + n2<30) Usar Estadística t – CasoII-i


Valor tabular:


21 1

22 2

s 12.7 s 161.29

s 12.3 s 151.29

= ⇒ =

= ⇒ =

( ) ( ) 1 2

1 2n n 22 2

1 1 2 2

1 2 1 2

(x x )t tn 1 s n 1 s 1 1n n 2 n n

+ −−= →

− + − + + + −

-1.714

α = 0.05

R.A.: ZK ≥ - 1.714, se acepta H

O.

R.R.: ZK

< -1.714, se rechaza HO.

1-α = 0.95

0

R.R.

R.A.

1 2o 1 ,n n 2

o 0.95,23

o

t t

t t

t 1.714

− α + −− = −

− = −

− = −


5. Cálculos :

6. Decisión :tk=-4.01 Є R.R., rechazamos Ho. Lo que quiere decir que el Coeficiente Intelectual de la comunidad A es menor que el Coeficiente Intelectual de la comunidad B.


( ) ( )1 2

k 2 21 1 2 2

1 2 1 2

(x x )tn 1 s n 1 s 1 1n n 2 n n

−=− + −

+ + + −

( ) ( )k(77.9 92.9)t

20 1 161.29 25 1 151.29 1 120 25 2 20 25

−=− × + − + + + −

k

k

15t3.7435

t 4.01

−=

= −

sesion de aprendizaje n° 9files.uladech.edu.pe/docente/32765808... · analítica muy efectiva para...

Documents