series de laurent
TRANSCRIPT
SERIES DE LAURENT LUIS GUALCO
ππππ π’1 π§ , π’2 π , β― , πππππ‘πππ ππππ£πππππ‘π πππ π’π π§ , π’ππ π π’πππ πΓ³π ππ ππ’πππππππ ππ π§ ππππππππ π¦ π’πΓπ£πππ ππ ππππ’ππ ππππΓ³π πππ πππππ π§.
Llamamos U(z)el lΓmite de π’π π§ ππ’ππππ π β β, π¦ ππ ππππππππ lim
πββπ’π π§ = π(π§)
Si cualquier nΓΊmero positivo π πππππππ ππππππ‘πππ π’π πΓΊππππ π π‘ππ ππ’π βΆ π’π π§ β π(π§) < π ππππ π‘πππ π > π. πΈπ π‘ππ πππ π ππ π π’πππ πΓ³π ππππ£ππππ.
Ejemplo: Considere la sucesiΓ³n π₯π =1
π ππ β. πΈππ‘πππππ π₯π β 0.
Para mostrar eso sea π > 0. πππ ππ πππππππππ ππππ’Γπππππππ ππβ, existe N β β€+ π‘ππ ππ’π π β₯ 1/π
0
2
21 )()()(n
ooo
n
on zzazzaazza
)( ozz
0
2)(2
1)(1)(
!
1
n
n izizizn
Convergencia de series de potencias
Las series de potencias en general convergen para algunos
valores de z, y para otros.
Por ejemplo la serie
0
321n
n zzzz
converge para |z |<1, pero diverge para |z |β₯1. Fuera del cΓrculo de
convergencia la serie
de potencias diverge.
(Serie
geomΓ©trica)
Radio de
convergencia
R =1
CΓrculo de convergencia:
mayor cΓrculo centrado
en z0 en el que la serie de
potencias converge.
Ra
a
n
n
n
1lim 1
0
2
2)3(6)3(21)3(
)!(
)!2(
n
n izizizn
n
Rn
nn
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
14
)1(
)12)(22(lim
)!2(
)!(
)!1(
!)1(2limlim
2
2
2
1
4
1R
7
1 !
)1()1(
k
kk
k
iz
01
1lim
!
)1(
)!1(
)1(
lim ,!
)1(1
2
1
n
n
n
na
nn
n
n
n
n
32
0
0
)(
0
1
!
)0(
1
1
zzz
z
zn
f
zaz
n
n
n
nn
n
n
n
Tomemos centro a= 0 :
!3)0(
2)0(
1)0(
1)0(
f
f
f
f
4321
!3)(,
1
2)(,
1
1)(,
1
1)(
zzf
zzf
zzf
zzf
1z0oz
centro
punto singular
1R
Encontrar la serie de Taylor para
SERIE DE TAYLOR:
Sea f una funciΓ³n analΓtica en un abierto Aππ π’π πππ ππ ππππππ‘π π΄ β β π¦ π§0 β π΄. πΆπππ ππππππππ 0 β€π < π β€ β π‘ππ ππ’π ππ ππππππ π΄ π§0; π, π = {π§ β β ; π <π§ β π§0 < π } ππ’πππ ππ π‘ππππ‘πππππ‘π ππππ‘πππππ ππ π΄.
Entonces la serie:
converge a f(z) para todo z β A(z0; r; R). Donde la formula anterior se conoce como serie de Laurent centrada en z0 en el anillo A(z0; r;R )
Cada serie de Laurent tiene dos partes:
3
03
2
02010 )()()()( zzazzazzaazf
4
0
4
3
0
3
2
0
2
0
1
)()()(...
zz
b
zz
b
zz
b
zz
b
Potencias positivas (serie de Taylor)
Potencias negativas (Parte Principal)
DENTRO
FUERA
Si tomamos una funciΓ³n y dibujamos sus puntos singulares, podremos separar el plano complejo en distintas regiones de convergencia.
La serie de Laurent siempre converge dentro de un anillo.
Ejemplo
zzf
1
1)(
centro
Dentro del disco |z|<1 tenemos la serie de Taylor:
centro
En el anillo 1< |z| < tenemos la serie de Laurent:
3211
1zzz
z
32
111
1
1
zzzz
Series de Laurent (a) incluyen potencias negativas de (z-z0) (b) convergen dentro de un anillo
842
111
23
32 2
22
zz
zzzz
z
Puntos singulares en z = 1, 2 Centro
Ejemplo
Converge para 1<|z|<2
Ejemplo
Expandir la funciΓ³n con centro z = 0 )3)(1(
1
zz
ΒΏDe cuΓ‘ntas formas podemos hacerlo?
(a) |z| < 1 (b) 1 < |z| < 3 (c) 3 < |z| <
3
1
2
1
1
1
2
1
)3)(1(
1
zzzz
centro
(a) |z| < 1
2
2
22
27
13
9
4
3
1
331
3
11
2
1
)3/(1
1
3
1
)(1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
)3)(1(
1
zz
zzzz
zz
zzzz
Dentro del disco, tΓ©rminos positivos: serie de Taylor.
(b) 1 < |z| < 3
54186
1
2
1
2
1
2
1
331
3
1111
1
2
1
)3/(1
1
3
1
)/1(1
11
2
1
3
1
1
1
2
1
)3)(1(
1
2
23
2
2
2
zz
zzz
zz
zzz
zzz
zzzz
potencias negativas 1 < |z| <
potencias positivas |z| < 3
Serie de Laurent
En la pΓ‘gina anterior, ΒΏcΓ³mo sabΓamos quΓ© tΓ©rmino expandir en potencias negativas y cuΓ‘l, si lo habΓa, expandir en potencias positivas?
El tΓ©rmino estΓ‘ βfueraβ
- tΓ©rminos negativos El tΓ©rmino estΓ‘ βdentroβ
- tΓ©rminos positivos 3
1
z
1
1
z
El anillo final resulta de la superposiciΓ³n
(c) 3 < |z| <
432
2
2
2
1341
331
1111
1
2
1
)/3(1
11
)/1(1
11
2
1
3
1
1
1
2
1
)3)(1(
1
zzz
zzzzzz
zzzz
zzzz
potencias negativas 3 < |z| <
potencias positivas |z |<