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Sequências numéricas
Laura Goulart
UESB
11 de Dezembro de 2017
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 1 / 16
De�nição de sequência
Uma sequência numérica real é uma função a : N→ R no qual denotamos
por (an).
Seja (an) uma sequência numérica. Dizemos que (an) converge para um
número real L quando dado ε > 0, existe n0 tal que
∀n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.
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De�nição de sequência
Uma sequência numérica real é uma função a : N→ R no qual denotamos
por (an).Seja (an) uma sequência numérica. Dizemos que (an) converge para um
número real L quando dado ε > 0, existe n0 tal que
∀n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.
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Propriedades
Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:
1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.
3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que
anbn→ L1
L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)
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Propriedades
Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:
1 an + bn → L1 + L2
2 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.
3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que
anbn→ L1
L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)
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Propriedades
Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:
1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.
3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que
anbn→ L1
L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)
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Propriedades
Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:
1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.
3 an · bn → L1 · L2
4 Se L2 6= 0 teremos queanbn→ L1
L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 3 / 16
Propriedades
Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:
1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.
3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que
anbn→ L1
L2
5 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)
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Propriedades
Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:
1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.
3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que
anbn→ L1
L25 |an| → |L1|
6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)
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Propriedades
Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:
1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.
3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que
anbn→ L1
L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)
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Sequências Limitadas
Uma sequência (an) é limitada quando existe um número real M > 0 tal
que |an| ≤ M para todo n inteiro positivo. Ou ainda, existem números reais
M1,M2 > 0 tais que M1 ≤ an ≤ M2,∀n ≥ 1.
Teorema: Toda sequência convergente é limitada.
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Sequências Limitadas
Uma sequência (an) é limitada quando existe um número real M > 0 tal
que |an| ≤ M para todo n inteiro positivo. Ou ainda, existem números reais
M1,M2 > 0 tais que M1 ≤ an ≤ M2,∀n ≥ 1.
Teorema: Toda sequência convergente é limitada.
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Sequências Monótonas
Uma sequência (an) é :
Crescente quando an < an+1;
Decrescente quando an > an+1;
Não decrescente quando an ≤ an+1;
Não crescente quando an ≥ an+1.
Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas
condições.
Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.
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Sequências Monótonas
Uma sequência (an) é :
Crescente quando an < an+1;
Decrescente quando an > an+1;
Não decrescente quando an ≤ an+1;
Não crescente quando an ≥ an+1.
Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas
condições.
Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 5 / 16
Sequências Monótonas
Uma sequência (an) é :
Crescente quando an < an+1;
Decrescente quando an > an+1;
Não decrescente quando an ≤ an+1;
Não crescente quando an ≥ an+1.
Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas
condições.
Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 5 / 16
Sequências Monótonas
Uma sequência (an) é :
Crescente quando an < an+1;
Decrescente quando an > an+1;
Não decrescente quando an ≤ an+1;
Não crescente quando an ≥ an+1.
Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas
condições.
Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 5 / 16
Sequências Monótonas
Uma sequência (an) é :
Crescente quando an < an+1;
Decrescente quando an > an+1;
Não decrescente quando an ≤ an+1;
Não crescente quando an ≥ an+1.
Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas
condições.
Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 5 / 16
Sequências Monótonas
Uma sequência (an) é :
Crescente quando an < an+1;
Decrescente quando an > an+1;
Não decrescente quando an ≤ an+1;
Não crescente quando an ≥ an+1.
Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas
condições.
Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.
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Subsequências
Dado um subconjunto S de N de�nimos como subsequência de uma
sequência como sendo a sequência restrita a esse conjunto S e denotado
por (ank ).
Teorema: Se an → L então ank → L.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 6 / 16
Subsequências
Dado um subconjunto S de N de�nimos como subsequência de uma
sequência como sendo a sequência restrita a esse conjunto S e denotado
por (ank ).
Teorema: Se an → L então ank → L.
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Resultados importantes
1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então
anbn → 0.
2 Regra de L'Hospital para Sequências.
3 Teorema do Confronto para Sequências.
4 Se a sequência (an) converge para L, então
bn =a1 + a2 + . . .+ an
n→ L.
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Resultados importantes
1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então
anbn → 0.
2 Regra de L'Hospital para Sequências.
3 Teorema do Confronto para Sequências.
4 Se a sequência (an) converge para L, então
bn =a1 + a2 + . . .+ an
n→ L.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 7 / 16
Resultados importantes
1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então
anbn → 0.
2 Regra de L'Hospital para Sequências.
3 Teorema do Confronto para Sequências.
4 Se a sequência (an) converge para L, então
bn =a1 + a2 + . . .+ an
n→ L.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 7 / 16
Resultados importantes
1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então
anbn → 0.
2 Regra de L'Hospital para Sequências.
3 Teorema do Confronto para Sequências.
4 Se a sequência (an) converge para L, então
bn =a1 + a2 + . . .+ an
n→ L.
Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 7 / 16