1 

 

 

Sequential approach to Bayesian linear inverse problems in reservoir modeling using Gaussian   mixture models  Dario Grana  Department of Geophysics  Stanford University  Tapan Mukerji Department of Energy Resources Engineering Stanford University  

Abstract 

We  present  here  a method  for  generating  realizations  of  the  posterior  probability  density 

function  of  a Gaussian Mixture  linear  inverse  problem  in  the  combined  discrete‐continuous 

case.  This  task  is  achieved  by  extending  the  sequential  simulations  method  to  the  mixed 

discrete‐continuous  problem.  The  sequential  approach  allows  us  to  generate  a  Gaussian 

Mixture random field that honors the covariance functions of the continuous property and the 

available  observed  data.  The  traditional  inverse  theory  results, well  known  for  the Gaussian 

case, are first summarized for Gaussian Mixture models: in particular the analytical expression 

for means, covariance matrices, and weights of the conditional probability density function are 

derived. However, the computation of the weights of the conditional distribution requires the 

evaluation of the probability density function values of a multivariate Gaussian distribution, at 

each  conditioning point. As an alternative  solution of  the Bayesian  inverse Gaussian Mixture 

problem, we then introduce the sequential approach to inverse problems and extend it to the 

Gaussian Mixture  case.  The  Sequential Gaussian Mixture  Simulation  (SGMixSim)  approach  is 

presented as a particular case of the linear inverse Gaussian Mixture problem, where the linear 

operator is the identity. Similar to the Gaussian case, in Sequential Gaussian Mixture Simulation 

the  means  and  the  covariance  matrices  of  the  conditional  distribution  at  a  given  point 

correspond  to  the kriging estimate,  component by  component, of  the mixture. Furthermore, 

Sequential  Gaussian  Mixture  Simulation  can  be  conditioned  by  secondary  information  to 

account  for  non‐stationarity.  Examples  of  applications  with  synthetic  and  real  data,  are 

presented  in  the  reservoir  modeling  domain  where  realizations  of  facies  distribution  and 

reservoir properties, such as porosity or net‐to‐gross, are obtained using Sequential Gaussian 

2 

 

Mixture  Simulation  approach.  In  these  examples,  reservoir  properties  are  assumed  to  be 

distributed as a Gaussian Mixture model. In particular, reservoir properties are Gaussian within 

each facies, and the weights of the mixture are identified with the point‐wise probability of the 

facies. 

Introduction  

Inverse  problems  are  common  in many  different  domains  such  as  physics,  engineering,  and 

earth  sciences.  In  general,  solving  an  inverse  problem  consists  of  estimating  the  model 

parameters given a set of observed data. The operator that links the model and the data can be 

linear  or  nonlinear.  In  the  linear  case,  estimation  techniques  generally  provide  smoothed 

solutions. Kriging,  for example, provides  the best estimate of  the model  in  the  least‐squares 

sense. Simple kriging  is  in fact  identical to a  linear Gaussian  inverse problem where the  linear 

operator  is  the  identity, with  the estimation of posterior mean and covariance matrices with 

direct observations of the model space. Monte Carlo methods can be applied as well to solve 

inverse problems  (Mosegaard and Tarantola, 1995)  in a Bayesian  framework  to  sample  from 

the posterior; but standard sampling methodologies can be inefficient in practical applications. 

Sequential  simulations  have  been  introduced  in  geostatistics  to  generate  high  resolution 

models  and  provide  a  number  of  realizations  of  the  posterior  probability  function  honoring 

both  prior  information  and  the  observed  values. Deutsch  and  Journel  (1992)  and Goovaerts 

(1997) give detailed descriptions of kriging and  sequential  simulation methods. Hansen et al. 

(2006) proposes a methodology that applies sequential simulations to  linear Gaussian  inverse 

problems to incorporate the prior information on the model and honor the observed data. We 

propose here  to extend  the approach of Hansen et al.  (2006)  to  the Gaussian Mixture  case. 

Gaussian Mixture models are convex combinations of Gaussian components that can be used to 

describe  the  multi‐modal  behavior  of  the  model  and  the  data.  Sung  (2004),  for  instance, 

introduces Gaussian Mixture distributions in multivariate nonlinear regression modeling; while 

Hastie and Tibshirani (1996) proposes a mixture discriminant analysis as an extension of linear 

discriminant  analysis  by  using  Gaussian  Mixtures  and  Expectation‐Maximization  algorithm 

(Hastie  et  al.,  2009).  Gaussian Mixture models  are  common  in  statistics  (see,  for  example, 

Hasselblad, 1966 and Dempster et al., 1977) and  they have been used  in different domains: 

digital  signal processing  (Reynolds et al., 2000 and Gilardi et al., 2002), engineering  (Alspach 

and Sorenson, 1972), geophysics (Grana and Della Rossa, 2010) and reservoir history matching 

(Dovera and Della Rossa, 2011).  In this paper we first present the extension of the traditional 

results valid in the Gaussian case to the Gaussian Mixture case; we then propose the sequential 

approach  to  linear  inverse problems under  the assumption of Gaussian Mixture distribution; 

3 

 

and we finally show some examples of applications in reservoir modeling. If the linear operator 

is  the  identity,  then  the  methodology  provides  an  extension  of  the  traditional  Sequential 

Gaussian  Simulation  (SGSim,  see Deutsch  and  Journel,  1992  and Goovaerts,  1997)  to  a  new 

methodology that we call Sequential Gaussian Mixture Simulation (SGMixSim). The applications 

we  propose  refer  to  mixed  discrete‐continuous  problems  of  reservoir  modeling  and  they 

provide, as main  result,  sets of models of  reservoir  facies and porosity. The key point of  the 

application  is that we  identify the weights of the Gaussian Mixture describing the continuous 

random variable (porosity) with the probability of the reservoir facies (discrete variable). 

Theory: Linearized Gaussian Mixture Inversion 

In  this  section we  provide  the main  propositions  of  linear  inverse  problems with  Gaussian 

Mixtures  (GMs). We  first  recap  the well‐known analytical  result  for posterior distributions of 

linear  inverse  problems  with  Gaussian  prior;  then  we  extend  the  result  to  the  Gaussian 

Mixtures case.  In  the Gaussian case,  the solution of  the  linear  inverse problem  is well‐known 

(Tarantola, 2005). If m is a random vector Gaussian distributed,  ),(~ mmN Σμm , with mean  mμ  

and  covariance  mΣ ;  and  G is  a  linear  operator  that  transforms  the  model  m into  the 

observable data d  

εGmd   (1)   

where  ε   is  a  random  vector  that  represents  an  error with  Gaussian  distribution  ),( Σ0N

independent of the model m; then the posterior conditional distribution of m |d   is Gaussian 

with mean and covariance given by 

)()( 1| m

Tm

Tmmdm GμdΣGGΣGΣμμ

  (2)   

mT

mT

mmdm GμΣGGΣGΣΣΣ 1| )(   (3)   

This result  is based on two well known properties of the Gaussian distributions: (A) the  linear 

transform  of  a Gaussian  distribution  is  again Gaussian;  (B)  if  the  joint  distribution  (m,  d)  is 

Gaussian, then the conditional distribution m |d   is again Gaussian. These two properties can 

be extended to the Gaussian Mixtures case. We assume that  x  is a random vector distributed 

according  to  a Gaussian Mixture with Nc  components ),(~)(1

kx

kx

N

k k Nf c Σμx , where πk  are 

the weights and the distributions  ),( kx

kxN Σμ  represent the Gaussian components with means 

kxμ  and covariances  k

xΣ  evaluated  in  x . By applying property (A) to the Gaussian components 

4 

 

of  the mixture, we  can  conclude  that,  if  L   is  a  linear  operator,  then  Lxy   is  distributed 

according  to  a  Gaussian  Mixture.  Moreover,  the  pdf  of  y   is  given  by 

),(~)(1

Tkx

kx

N

k k Nf c LLΣLμy .  Similarly we  can extend property  (B)  to  conditional Gaussian 

Mixture  distributions.  The  well‐known  result  of  the  conditional  multivariate  Gaussian 

distribution  has  already  been  extended  to  multivariate  Gaussian  Mixture  models  (see,  for 

example, Alspach and Sorenson, 1972). In particular, if  ),( 21 xx  is a random vector whose joint 

distribution is a Gaussian Mixture 

L

kkk ff

12121 ),(),( xxxx   (4)   

where  kf   are  the Gaussian  densities,  then  the  conditional  distribution  of  12 | xx   is  again  a 

Gaussian Mixture 

L

kkk ff

11212 )|()|( xxxx   (5)   

and  its parameters (weights, means, and covariance matrices) can be analytically derived. The 

coefficients  k  are given by 

),;()(,)(

)()(

1111

1 1

11

kkkL

j jj

kkk Nf

f

fxx Σμxx

x

xx

  (6)   

and the means and the covariance matrices are 

kx

kx

kxx

kx

kxx 1112212 1

1

,| μxΣΣμμ

  (7)   

Tkxx

kx

kxx

kx

kxx 12112212 ,

1

,| ΣΣΣΣΣ

  (8)   

where  kxx 12 ,Σ  is the cross‐covariance matrix. By combining these propositions, the main result of 

linear inverse problems with Gaussian Mixture can be derived. 

Theorem  1.  Let  m   be  a  random  vector  distributed  according  to  a  Gaussian  Mixture, 

),(~1

km

km

N

k k Nc Σμm with Nc components and with means  k

mμ , covariances  kmΣ , and weights 

k , for k = 1, . . . , Nc. Let G  be a linear operator, and ε  a Gaussian random vector independent 

of m with 0 mean and  covariance  Σ ,  such  that  εGmd ,    then  the posterior  conditional 

distribution  dm |  is a Gaussian Mixture.  

5 

 

Moreover, the posterior means and covariances of the components are given by 

)()( 1|

km

Tkm

Tkm

km

kdm GμdΣGGΣGΣμμ

  (9)   

km

Tkm

Tkm

km

kdm GμΣGGΣGΣΣΣ 1| )(   (10)   

where  kmμ    and  k

mΣ   ,  are  respectively  the  prior  mean  and  covariance  of  the  kth  Gaussian 

component of m . The posterior coefficients  k  of the mixture are given by 

L

j jj

kkk

f

f

1)(

)()(

d

dd

  (11)   

where the Gaussian densities  )(dkf  have means  km

kd Gμμ  and covariances  ΣGGΣΣ Tk

mkd . 

Theory: Sequential Approach 

Based  on  the  results  presented  in  the  previous  section,  we  introduce  here  the  sequential 

approach to linearized inversion in the Gaussian Mixture case. The main result for the Gaussian 

case  is presented  in Hansen et al.  (2006). The solution of the  linear  inverse problem with the 

sequential approach requires some additional notation. Let  im  represent the ith element of the 

random vector m, and let  sm represent a known sub‐vector of m. This notation will generally be 

used to describe the neighborhood of  im   in the context of sequential simulations. Finally we 

assume that the measured data  d  are known having been obtained as a linear transformation 

of m according to some linear operator G .  

Theorem  2.  Let  m   be  a  random  vector  distributed  according  to  a  Gaussian  Mixture, 

),(~1

km

km

N

k k Nc Σμm , with Nc components and with means  k

mμ , covariances  kmΣ , and weights 

k , for k = 1, . . . , Nc. Let G  be a linear operator between the model m  and the random data 

vector  d  such that  εGmd , with  ε  a random error vector independent of m  with 0 mean 

and covariance  εΣ . Let  sm  be the subvector with direct observations of the model m , and mi 

the ith element of m. Then the conditional distribution of  ),(| dmsim  is again Gaussian Mixture. 

Moreover, the means and variances of the components of the posterior conditional distribution 

are: 

k

kkTk

iTk

ikm

km ii

m

msdmmmdm

Gμd

AμmΣGΣAAΣA

ss

1),(),(| )]([   (12) 

6 

 

Ti

k

Ti

kkTk

iTk

ik

mk

m ii AGΣ

AAΣΣGΣAAΣA

m

mdmmmdm ss

1),(

)(2)(2),|( )]([   (13) 

where  

kmi

km ii

μA      

Ti

kkmi

AAΣm)(2   (14) 

and 

εT

mT

m

Tm

Tm

dmΣGAΣAGΣ

GAΣAAΣΣ

s kk

kkk

),( .  (15) 

The posterior coefficients of the mixture are given by  

L

j jj

kkk

f

f

1),(

),(),(

dm

dmdm

s

ss

  (16) 

where the Gaussian components  ),( dmskf have means 

k

kk

m

mdm

Gμ

Aμμ

s ),(

  (17) 

and covariances  k),( dms

Σ .  

In the case where the linear operator is the identity, the associated inverse problem reduces to 

the estimation of  a Gaussian Mixture model with direct observations of  the model  space  at 

given  locations.  In other words,  if the  linear operator  is the  identity, the theorem provides an 

extension of  the  traditional  Sequential Gaussian  Simulation  (SGSim)  to  the Gaussian Mixture 

case. We  call  this methodology  Sequential Gaussian Mixture  Simulation  (SGMixSim),  and we 

show some applications in the next section. 

Application 

We describe here some examples of applications with synthetic and real data, in the context of 

reservoir modeling. First, we present the results of the estimation of a Gaussian Mixture model 

with direct observations of the model space as a special case of Theorem 2 (SGMixSim). In our 

example,  the  continuous  property  is  the  porosity  of  a  reservoir,  and  the  discrete  variable 

7 

 

represents  the  corresponding  reservoir  facies,  namely  shale  and  sand.  This means  that we 

identify  the  weights  of  the  mixture  components  with  the  facies  probabilities.  The  input 

parameters  are  then  the  prior  distribution  of  porosity  and  a  variogram  model  for  each 

component of the mixture. The prior is a Gaussian Mixture model with two components and its 

parameters  are  the  weights,  the  means,  and  the  covariance  matrices  of  the  Gaussian 

components. We  assume  facies prior probabilities equal  to 0.4  and 0.6  respectively,  and  for 

simplicity  we  assume  the  same  variogram  model  (spherical  and  isotropic)  with  the  same 

parameters  for  both. We  then  simulate  a  2D map  of  facies  and  porosity  according  to  the 

proposed methodology  (Figure 1). The  simulation grid  is 70 × 70 and  the variogram  range of 

porosity  is 4 grid blocks  in both directions. The simulation can be performed with or without 

conditioning hard data;  in the example of Figure 1, we  introduced four porosity values at four 

locations that are used to condition the simulations, and we generated a set of 100 conditional 

realizations  (Figure 1). When hard data are assigned,  the weights of  the mixture components 

are determined by  evaluating  the prior Gaussian  components  at  the hard data  location  and 

discrete property values are determined by selecting the most likely component.  

As we previously mentioned, the methodology is similar to Hansen et al. (2006), but the use of 

Gaussian Mixture models allows us to describe the multi‐modality of the data and to simulate 

at  the same  time both  the continuous and  the discrete variable. SGMixSim  requires a spatial 

model of the continuous variable, but not a spatial model of the underlying discrete variable: 

the spatial distribution of the discrete variable only depends on the conditional weights of the 

mixture.  However,  if  the  mixture  components  have  very  different  probabilities  and  very 

different variances (i.e. when there are relatively low probable components with relatively high 

variances), the simulations may not accurately reproduce the global statistics. If we assume, for 

instance, two components with prior probabilities equal to 0.2 and 0.8, and we assume at the 

same  time  that  the variance of  the  first  component  is much bigger  than  the variance of  the 

second one,  then  the prior proportions may not be honored. This problem  is  intrinsic  to  the 

sequential  simulation  approach,  but  it  is  emphasized  in  case  of multi‐modal  data.  For  large 

datasets or for reasons of stationarity, we often use a moving searching neighborhood to take 

into account only the points closest to the location being simulated (Goovaerts, 1997). If we use 

a  global  searching  neighborhood  (i.e.  the  whole  grid)  the  computational  time,  for  large 

datasets, could significantly increase. In the localized sequential algorithm, the neighborhood is 

selected according to a fixed geometry (for example, ellipsoids centered on the  location to be 

estimated) and the conditioning data are extracted by the  linear operator (Theorem 2) within 

the  neighborhood. When  no  hard  data  are  present  in  the  searching  neighborhood  and  the 

sample value is drawn from the prior distribution, the algorithm could generate isolated points 

8 

 

within  the  simulation  grid.  For  example,  a  point  drawn  from  the  first  component  could  be 

surrounded  by  data,  subsequently  simulated,  belonging  to  the  second  component,  or  vice 

versa.  This problem  is particularly  relevant  in  the  case of multi‐modal data  especially  in  the 

initial  steps  of  the  sequential  simulation  (in  other words when  only  few  values  have  been 

previously simulated) and when the searching neighborhood is small. 

 

Figure  1:  Conditional  realizations  of  porosity  and  reservoir  facies  obtained  by  SGMixSim.  The prior distribution of porosity and  the hard data values are shown on  top. The second and third rows show three realizations of porosity and facies (gray  is shale, yellow  is sand). The fourth  row  shows  the  posterior  distribution  of  facies  and  the  ensemble  average  of  100 realizations of facies and porosity. 

To avoid isolated points in the simulated grid, a post‐processing step has been included (Figure 

2). The simulation path is first revisited, and the local conditional probabilities are re‐evaluated 

at all  the grid  cells where  the  sample value was drawn  from  the prior distribution. Then we 

draw again the component from the weights of the re‐evaluated conditional probability. Finally, 

we  introduce a kriging correction of the continuous property values that had  low probabilities 

in the neighborhood. 

9 

 

 

 

Figure 2: Comparison of SGMixSim results shown in Figure 1 with and without post‐processing. 

Next,  we  show  two  applications  of  linearized  sequential  inversion  with  Gaussian  Mixture 

models obtained by applying Theorem 2. The  first example  is a  rock physics  inverse problem 

dealing  with  the  inversion  of  acoustic  impedance  in  terms  of  porosity.  The  methodology 

application  is  illustrated  by  using  a  2D  grid  representing  a  synthetic  system  of  reservoir 

channels (Figure 3). In this example we made the same assumptions about the prior distribution 

as  in  the  previous  example.  As  in  traditional  sequential  simulation  approaches,  the  spatial 

continuity  of  the  inverted  data  depends  on  the  range  of  the  variogram  and  the  size  of  the 

searching neighborhood; however,  Figure 3  clearly  shows  the multi‐modality of  the  inverted 

data. Gaussian Mixture models can describe not only the multi‐modality of the data, but they 

can better honor the data correlation within each facies. 

Figure  3:  Linearized  sequential  inversion with Gaussian Mixture models  for  the  estimation  of porosity map from acoustic  impedance values. On top we show the true porosity map and the  acoustic  impedance  map;  on  the  bottom  we  show  the  inverted  porosity  and  the estimated facies map. 

10 

 

The  second  example  is  the  acoustic  inversion  of  seismic  amplitudes  in  terms  of  acoustic 

impedance.  In  this  case,  in  addition  to  the  usual  input  parameters  (prior  distribution  and 

variogram models), we  have  to  specify  a  low  frequency model  of  impedance,  since  seismic 

amplitudes only provide relative  information about elastic contrasts and the absolute value of 

impedance must  be  computed  by  combining  the  estimated  relative  changes  with  the  low 

frequency model  (often  called  prior  model  in  seismic  modeling).  Once  again,  the  discrete 

variable is identified with the reservoir facies classification. In this case shales are characterized 

by high impedance values, and sand by low impedances. The results are shown in Figure 3. We 

observe  that  even  though  we  used  a  very  smoothed  low  frequency  model,  the  inverted 

impedance  log  has  a  good match with  the  actual  data  (Figure  4),  and  the  prediction  of  the 

discrete variable  is  satisfactory  compared  to  the actual  facies  classification performed at  the 

well. In particular, if we perform 50 realizations and we compute the maximum a posteriori of 

the ensemble of inverted facies profiles, we perfectly match the actual classification (Figure 4). 

However, the quality of the results depends on the separability of the Gaussian components in 

the continuous property domain. 

 

Figure 4:  Sequential Gaussian Mixture  inversion of  seismic data  (ensemble of 50  realizations). From left to right: acoustic impedance logs and seismograms (actual model in red, realization 1  in  blue,  inverted  realizations  in  gray,  dashed  line  represents  low  frequency  model), inverted  facies profile corresponding to realization 1, maximum a posteriori of 50  inverted facies profiles and actual facies classification (sand in yellow, shale in gray). 

Finally we applied the Gaussian Mixture linearized sequential inversion to a layer map extracted 

from  a  3D  geophysical model  of  a  clastic  reservoir  located  in  the North  Sea  (Figure  5).  The 

11 

 

application has been performed on a map of P‐wave velocity corresponding to the top horizon 

of  the  reservoir. The parameters of  the variogram models have been assumed  from existing 

reservoir studies  in  the same area.  In Figure 4 we show  the map of  the conditioning velocity 

and the corresponding histogram, two realizations of porosity and facies, and the histogram of 

the posterior distribution of porosity derived from the second realization. The two realizations 

have been performed using different prior proportions: 30 % of sand in the first realization and 

40 %  in the second one. Both realizations honor the expected proportions, the multi‐modality 

of the data, and the correlations with the conditioning data within each facies.  

 

Figure  5  Application  of  linearized  sequential  inversion  with  Gaussian  Mixture  models  to  a reservoir  layer.  The  conditioning  data  is  P‐wave  velocity  (top  left).  Two  realizations  of porosity and  facies are  shown:  realization 1  corresponds  to a prior proportion of 30 % of sand, realization 2 corresponds to 40 % of sand. The histograms of the conditioning data and the posterior distribution of porosity (realization 2) are shown for comparison. 

Conclusions 

In  this  paper, we  proposed  a methodology  to  simultaneously  simulate  both  continuous  and 

discrete properties by using Gaussian Mixture models. The method  is based on the sequential 

approach  to Gaussian Mixture  linear  inverse problem, and  it  can be  seen as an extension of 

sequential  simulations  to multi‐modal data.  Thanks  to  the  sequential  approach used  for  the 

inversion, the method is generally quite efficient from the computational point of view to solve 

multi‐modal  linear  inverse problems and  it  is applied here  to  reservoir modeling and  seismic 

reservoir characterization. We presented four different applications: conditional simulations of 

porosity  and  facies,  porosity‐impedance  inversion,  acoustic  inversion  of  seismic  data,  and 

inversion of seismic velocities  in terms of porosity. The proposed examples show that we can 

12 

 

generate actual samples from the posterior distribution, consistent with the prior  information 

and  the assigned data observations. Using  the  sequential approach, we can generate a  large 

number  of  samples  from  the  posterior  distribution,  which  in  fact  are  all  solutions  to  the 

Gaussian Mixture linear problem. 

Acknowledgements 

We  would  like  to  thank  Ernesto  Della  Rossa  and  Laura  Dovera  (Eni  E&P)  for  the  helpful 

collaboration. 

References 

Alspach, D.L., and Sorenson, H.W., 1972, Nonlinear Bayesian estimation using Gaussian sum approximation,  IEEE Transactions on Automatic Control, 17, 439–448. 

Dempster,  A.P.,  Laird,  N.M.,  and  Rubin,  D.B.,  1977,  Maximum  likelihood  from  incomplete  data  via  the  EM algorithm, Journal of Royal Statistical Society, Series B, Methodology, 39(1), 1–38. 

Deutsch,  C.,  and  Journel,  A.G.,  1992, GSLIB:  geostatistical  software  library  and  user’s  guide, Oxford University Press, London. 

Dovera,  L.,  and  Della  Rossa,  E.,  2011, Multimodal  ensemble  Kalman  filtering  using  Gaussian mixture models, Computational Geosciences, 15(2), 307–323.  

Gilardi,  N.,  Bengio,  S.,  and  Kanevski,  M.,  2002,  Conditional  Gaussian  mixture  models  for  environmental  risk mapping, Proceedings of IEEE workshop on neural networks for signal processing, 777–786.  

Goovaerts, P., 1997, Geostatistics for natural resources evaluation, Oxford University Press, London. 

Grana, D., and Della Rossa, E., 2010, Probabilistic petrophysical‐properties estimation  integrating statistical  rock physics with seismic inversion, Geophysics, 75(3), O21–O37.  

Hansen,  T.M.,  Journel,  A.G.,  Tarantola,  A.,  and  Mosegaard,  K.,  2006,  Linear  inverse  Gaussian  theory  and geostatistics, Geophysics, 71, R101–R111.  

Hasselblad, V., 1966, Estimation of parameters for a mixture of normal distributions, Technometrics 8(3), 431–444. 

Hastie, T., and Tibshirani, R., 1996, Discriminant analysis by gaussian mixtures, Journal of Royal Statistical Society, B 58 (1), 155–176. 

Hastie, T., Tibshirani, R., and Friedmann, J., 2002, The elements of statistical learning, Springer, Berlin. 

Mosegaard,  K.,  and  Tarantola,  A.,  1995, Monte  Carlo  sampling  of  solutions  to  inverse  problems,  Journal  of Geophysical Research, 100, 12431–12447.  

Reynolds, D.A., Quatieri, T.F., and Dunn, R.B., 2000, Speaker verification using adapted Gaussian mixture models, Digital Signal Processing, 10(1–3), 19–41.  

Sung, H.G., 2004, Gaussian mixture regression and classification, PhD thesis, Rice University. 

Tarantola, A., 2005, Inverse problem theory, SIAM, Philadelphia.