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CURSO DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA
DESARROLLADO POR EL DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA
Nota: Este Apunte puede utilizarse en establecimientos: Educacionales, Tecnológicos y Universidades, con fines didácticos.
I.- Descripción de la asignatura Asignatura de carácter teórico-práctico, de formación profesional, cuyo objetivo general es modelar los sistemas eléctricos de potencia (SEP) tanto en forma convencional como computacional, para analizar su comportamiento en condiciones normales y anormales de operación. Los contenidos más relevantes se refieren a la modelación de la máquina síncrona dentro de un SEP, la regulación de tensión, los cálculos de flujos de potencia, la operación económica, el análisis y cálculo de fallas y los estudios de estabilidad. La asignatura considera clases expositivas del profesor con ayudas audiovisuales, lo que se complementa con entrega de apuntes y guías de ejercicios, algunos de los cuales son desarrollados en clases y el resto por los alumnos en forma personal. Adicionalmente, en la parte práctica, se desarrollan experiencias en el laboratorio de máquinas eléctricas y se analiza el comportamiento del SEP en diferentes condiciones de operación mediante el empleo de programas computacionales.
II.- Objetivos generales Al finalizar el curso los alumnos deberán: 1.- Modelar una máquina síncrona desde el punto de vista de su funcionamiento dentro de un Sistema Eléctrico de Potencia. 2.- Resolver problemas de regulación de voltaje. 3.- Realizar cálculos de Flujos de Potencia. 4.- Realizar cálculos de fallas simétricas y asimétricas. 5.- Realizar estudios de Estabilidad transitoria. III.- Recursos metodológicos En la parte teórica, se realizan clases expositivas por parte del profesor utilizando medios audiovisuales, lo que se complementa con entrega de apuntes y guías de ejercicios, algunos de los cuales son desarrollados en clases y el resto a resolver por los alumnos en forma personal. En la parte práctica, se desarrollan experiencias en el Laboratorio de Máquinas Eléctricas y se analiza el comportamiento del SEP en diferentes condiciones de operación mediante el empleo de programas computacionales
IV.- Contenidos
PARTE TEÓRICA Unidad 1: “La máquina síncrona” 1.1. Generalidades: Representación esquemática, condiciones de puesta en paralelo 1.2. Parámetros y Circuitos equivalentes. 1.3. Ecuaciones de Potencia: Máquinas de rotor cilíndrico y de polos salientes, Generador y Motor (Operación en los 4 Cuadrantes)
Unidad 2: “Regulación de Tensión” 2.1. Introducción: Clasificación de las variaciones de tensión, formas de regular las variaciones lentas 2.2. Regulación por inyección de Potencia Reactiva 2.3. Regulación mediante transformadores con cambios de derivaciones (TAP) 2.4. Uso combinado de inyección de potencia reactiva y cambio de TAP Unidad 3: “Cálculo de Flujos de Potencia” 3.1. Introducción 3.2. Problema básico 3.3. Modelación del SEP: Tipos de barras, elementos componentes 3.4. Planteamiento matemático para un SEP de n barras: Ecuaciones de barras y de flujos de potencia, potencia perdida en la transmisión, cálculo de las tensiones en las barras 3.5. Técnicas de Solución: Métodos de Gauss, Gauss-Seidel, Newton Raphson (Completo, desacoplado y desacoplado rápido) 3.6. Flujo de carga DC Unidad 4: “Cálculo de Fallas” 4.1. Introducción: Fenómenos transitorios, clasificación 4.2. Cálculo de cortocircuitos: Objetivos, aproximaciones usuales 4.3. Cálculo de cortocircuitos trifásico simétricos: Generador en cortocircuito, potencia de cortocircuito, selección de interruptores, cortocircuitos trifásicos simétricos en un SEP (Métodos tradicional y general) 4.4. Cortocircuitos Asimétricos: Componentes simétricos, Circuitos equivalentes de secuencia de los componentes del SEP, cortocircuitos monofásico y bifásico. 4.5 Fases abiertas: Una y dos fases abiertas, impedancias serie desequilibradas. Unidad 5: “Estudios de Estabilidad” 5.1. Introducción 5.2. Estabilidad Transitoria: Objetivos, suposiciones básicas para estudios simplificados, ejemplo ilustrativo 5.3. Ecuación de oscilación de una máquina síncrona y de un sistema multimáquinas 5.4. Estudio de la ecuación de oscilación de un generador conectado a una barra infinita: Algunos métodos de solución de la ecuación, criterio de áreas iguales. 5.5. Reducción a un sistema simple: Máquinas en paralelo, constante de inercia equivalente, ecuación de oscilación de dos máquinas finitas 5.6. Factores que condicionan la estabilidad transitoria 5.7. Estabilidad estática o permanente: Introducción, generador conectado a una barra infinita, efecto de la amortiguación, sistema multimáquinas PARTE EXPERIMENTAL 1. Estudio de una Línea de Transmisión: Determinación de parámetros, condiciones de operación en vacío (efecto Ferranti) y diferentes condiciones de carga. 2. Generador Síncrono: Sincronización con la red eléctrica, obtención de curvas en V, operación bajo diferentes condiciones de carga. 3. Compensador síncrono: Operación sobre y subexcitado, características de potencia reactiva
4. Motor Síncrono: Métodos de partida, curvas en V, operación en vacío y carga 5. Estudios de Flujos de Potencia de un SEP en operación normal: Obtención de voltajes en las barras y flujos de potencia en las líneas 6. Estudios de Flujos de Potencia de un SEP operando en condiciones de contingencia: Obtención de voltajes en las barras y flujos de potencia en las líneas, considerando la salida de líneas o generadores 7. Cálculo de Fallas trifásicas simétricas en un SEP 8. Cálculo de fallas asimétricas en un SEP 9. Estudios de Estabilidad transitoria: Obtención
1.1.- Generalidades
Desde el punto de vista del comportamiento de un generador sincrónico en un SEP se pueden identificar las variables mostradas en la figura siguiente.
Figura 1.1.- Representación esquemática de una Máquina Síncrona
En general, el cambio de cualquiera de las variables de control, afecta a las
cuatro variables de salidas.
En un sistema de potencia, la actuación sobre el torque de la máquina motriz hace posible mantener un balance exacto entre la potencia activa generada en el sistema y la potencia activa consumida por las cargas más las pérdidas. Este balance permite que el sistema trabaje a una frecuencia constante.
Por otra parte, actuando sobre la corriente de excitación de cada generador, es posible mantener un balance exacto entre las potencias reactivas generadas y las del consumo y pérdidas. Este balance permite mantener una tensión constante (en módulo) en las barras del sistema
a.-Generador conectado a una barra infinita
La tendencia actual es trabajar con un sistema eléctrico de transmisión y
distribución que interconecte las diferentes centrales generadoras y los puntos de consumo, de modo que una sola central y más aún, una sola máquina representa un porcentaje bajísimo de la potencia total del sistema. Evidentemente esta máquina no estará capacitada para alterar ni el voltaje ni la frecuencia del sistema eléctrico. En el límite se puede considerar que el sistema mantiene el voltaje y la frecuencia invariables, lo que se puede asimilar a una máquina que tiene cero impedancia interna e inercia rotacional infinita. Se habla entonces de una “barra infinita” (Figura 1.2.-).
Figura 1.2.- Representación de una barra infinita
Un gran SEP puede considerarse como una barra infinita para muchos fines prácticos. En este caso entonces, dado que el voltaje y la frecuencia se mantienen constantes, las variables de salida se reducen a las potencias activa P y reactiva Q donde la corriente de excitación Iexc influye fundamentalmente en Q y el torque motriz Tm influye básicamente en P; es decir, hay un acoplamiento débil entre Iexc y P y entre Tm y Q.
b.- Condiciones de puesta en paralelo
Para operar dentro de un sistema eléctrico, un generador síncrono debe trabajar normalmente en paralelo con otros generadores, unidos a una barra de generación común, si pertenecen a una misma central o separados por alguna impedancia (líneas, transformadores) si pertenecen a centrales diferentes. Tratándose de alternadores polifásicos, las condiciones de puesta en paralelo son las siguientes: - Módulo de la tensión en bornes igual a la existente en la barra. Se actúa sobre la corriente de excitación - Frecuencia igual a la de la barra. Se actúa sobre el torque motriz - Igual secuencia de fases - Igualdad en la forma de onda
c.-Generador alimentando una carga individual
Supongamos por simplicidad que la carga es de tipo impedancia estática y se aumenta Tm. En este caso, al aumentar Tm, aumenta la velocidad y por lo tanto varían tanto la frecuencia como el voltaje y en consecuencia, varían también P y Q.1.2.- Parámetros de la máquina síncrona
- De régimen permanenteRotor cilíndrico: Impedancia síncrona Zs= Rs + jXs , habitualmente Zs= jXs
Rotor de polos salientes : Reactancia de eje directo : Xd
Reactancia de eje en cuadratura : Xq
- De régimen transitorio (sin considerar enrollados amortiguadores)Reactancia transiente de eje directo: X'd Constante transiente de tiempo: t'd
Adicionalmente, para el estudio del comportamiento de la máquina síncrona en régimen desbalanceado es necesario introducir los parámetros impedancia de secuencia
cero (Z0), positiva (Z1) y negativa (Z2) que se estudiarán posteriormente, así como la reactancia subtransiente (X"d)1.3.- Circuitos equivalentes de la máquina síncrona
Los circuitos equivalentes dependen del tipo de máquina (rotor cilíndrico o de polos salientes), del tipo de estudio que se desea realizar y del grado de precisión deseada. Se pueden clasificar en dos grupos: aquellos utilizados en los estudios de régimen permanente (balanceado o desbalanceado) y los utilizados en los estudios de régimen transitorio, particularmente cortocircuitos y estabilidad. Las Figuras 1.3. a) y b) muestran los circuitos equivalentes de una máquina síncrona de rotor cilíndrico, usuales en los estudios de régimen permanente. En a) se considera la resistencia síncrona y en b) se desprecia. Para una máquina de polos salientes no es posible establecer un circuito equivalente simple y su comportamiento se estudia en base a su diagrama fasorial d-q.
Figura 1.3.- Circuitos equivalentes de una máquina síncrona para estudios de régimen permanente
Figura 1.4.- Circuitos equivalentes de una máquina síncrona para estudios de fallas simétricas
Los circuitos de la Figura 1.4. a) y b) se usan en los estudios de cortocircuitos
simétricos: a) se emplea en aquellos casos en que se supone la máquina en vacío antes de producirse el cortocircuito. La tensión E, en este caso, es la de vacío en los terminales de la máquina. Si la corriente antes de producirse el cortocircuito es significativa, se emplea el circuito de la Figura 1.4.b). La elección de E' y E'' así como X' y X'' y en ambos casos, depende del instante de tiempo en que se evalúa la corriente después de ocurrida la falla.
Es conveniente hacer notar que los circuitos de la Figura 1.4. se emplean tanto para máquinas de rotor cilíndrico como de polos salientes. Esto se debe a que en condiciones de cortocircuito, las corrientes son prácticamente reactivas y en consecuencia la componente en cuadratura de la corriente (Iq) en las máquinas de polos salientes se puede despreciar sin cometer gran error.
En los estudios simplificados de estabilidad transitoria, una máquina síncrona de rotor cilíndrico o de polos salientes, se representa por cualquiera de los circuitos equivalente mostrado en la Figura 1.4.-, considerando E' y X'd.1.4.- Ecuaciones de Potencia
a.- Generador de rotor cilíndrico
Consideremos un generador suministrando potencia directamente a un consumo. El circuito equivalente por fase y el diagrama fasorial se muestran en la Figura 1.5.-
Figura 1.5.- Generador síncrono de rotor cilíndrico: a) Circuito equivalente; b) Diagrama fasorial
La potencia suministrada por el generador al consumo es:
(1.1)
Si del circuito se tiene que:
(1.2)
Expresando la corriente en la forma rectangular, reemplazando en (1.1) y separando en sus partes real e imaginaria se obtiene:
(1.3)
que corresponden a las potencias activa y reactiva, respectivamente.
Potencia activa
La primera ecuación de (1.3) se denomina Ecuación Potencia Activa-Angulo y se puede visualizar en la Figura 1.6, para E y V constantes. Como en estas condiciones, Pg es sólo función de d, significa que si se supone velocidad constante y Tm aumenta, el rotor avanza un cierto ángulo respecto a su posición original, lo que implica que el fasor E se aparta del fasor V, ya que su fase depende de la posición del rotor. En consecuencia d aumenta y Pg aumenta. En el gráfico se puede apreciar también que en el caso en que la máquina funcione como motor, el ángulo d es negativo, es decir la potencia activa es negativa (según la referencia considerada), esto es, la potencia activa llega a la máquina.
Figura 1.6.- Gráfico Potencia Activa-Angulo para una máquina síncrona
Por otra parte, para E y V constantes, la máxima potencia activa que el generador puede entregar se tiene cuando el ángulo d es de 90º, lo que representa el límite de estabilidad permanente de la máquina. Si el ángulo sigue aumentando, la potencia activa disminuye y el generador pierde el sincronismo.
Ejemplo 1.1. Un generador de rotor cilíndrico que tiene una reactancia síncrona del 50%, está conectado a una barra infinita a través de una línea corta de transmisión cuya reactancia es del 25%. La tensión en bornes de la máquina es la nominal, cuando la potencia recibida por la barra infinita es de (90+j40 ) MVA. Datos en base común 100 MVA. Determinar: a) La potencia activa máxima que el generador le puede entregar a la barra infinita. b) La potencia reactiva que el generador entrega en las condiciones anteriores
Solución: a) Potencia activa máxima
En el circuito de la Figura 1.7 se tiene:
La corriente queda:
Figura 1.7.-
Para calcular Pg se debe conocer E y . A partir del circuito se puede plantear la siguiente ecuación:
reemplazando valores y amplificando por se puede escribir:
separando en parte real e imaginaria quedan las dos ecuaciones siguientes:
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se tiene:
cuyas soluciones son: =>
A partir del valor de y del circuito se puede determinar É y luego Pgmáx como sigue:
=> Pgmáx=1,6255 (pu)
b) Potencia reactiva
=> Qg=-0,9536 (pu)
Potencia Reactiva
La segunda ecuación de (1.3) representa la potencia reactiva que la máquina puede generar (consumir), y se puede escribir como sigue:
(1.4)
Respecto a esta ecuación, se puede observar que:
1.- Si E cos d > V, entonces Qg > 0. Esto significa que el generador produce potencia reactiva y actúa desde el punto de vista de la red, como un condensador. Generalmente, la desigualdad anterior se cumple cuando el generador trabaja sobreexcitado (Figura 1.5.b.-); y por lo tanto, la carga servida por el generador es inductiva.
2.- Si E cos d < V, entonces Qg < 0. Esto significa que el generador consume potencia reactiva "desde la red" y actúa como una reactancia shunt vista desde ésta. Esta condición se cumple cuando la máquina trabaja subexcitada y tal como se muestra en el diagrama fasorial, la corriente adelanta al voltaje, lo que significa que la carga servida por el generador es de tipo capacitivo (Figura 1.8.-).
Figura 1.8.- Diagrama fasorial para un generador subexcitado
3.- Si d=0, significa que la potencia activa es cero y además en la expresión (1.4) se tiene:
(1.5)
ecuación que en el caso en que la tensión V del sistema es constante, depende sólo de la corriente de excitación, lo que da origen a los “condensadores síncronos” (E>V) o “reactores síncronos” (E<V).
b.- Motor de rotor cilíndrico
Tal como se indicó anteriormente, en el caso en que d<0, la máquina absorbe potencia activa. La potencia reactiva en cambio, es independiente del signo de d y por lo tanto, para ella se cumplen las mismas condiciones dadas para el generador, esto es:
- El motor entrega potencia reactiva si está sobreexcitado, pero consume corriente en adelanto (Figura 1.9. b); esto es, se comporta como un consumo capacitivo.
- El motor absorbe potencia reactiva si está subexcitado, pero consume corriente en atraso (Figura 1.9.c); o sea se comporta como un consumo inductivo.
Figura 1.9.- Motor síncrono de rotor cilíndrico: a) Circuito equivalente, b) Diagrama Fasorial sobreexcitado, c) Diagrama Fasorial subexcitado
La Figura 1.10.- muestra un diagrama con la posición de la corriente para las cuatro condiciones de operación descritas. En ellas se supone que la corriente sale de la máquina.
De acuerdo con las convenciones más usadas, cuando la corriente tiene una proyección positiva sobre el voltaje, la máquina entrega energía (generador) y viceversa. Si se conectara un fasímetro, éste indicaría los ángulos mostrados en la figura, suponiendo siempre que la corriente sale de la máquina. Sin embargo, las designaciones mostradas para el trabajo como motor (atraso o adelanto) corresponden más exactamente a estas corriente giradas 180°
Figura 1.10.- a) Diagrama que muestra las cuatro condiciones de operación de una máquina síncrona, b) Diagrama unilineal con el sentido adoptado para la corriente
Otra forma de representar las condiciones de operación de una máquina síncrona, considera al voltaje V positivo en el eje de abcisas, lo que es equivalente a girar en 90° hacia la derecha el diagrama mostrado en la Figura 1.10.-
c.- Generador de polos salientes
Como ya se dijo, no es posible representar el generador de polos salientes a través de un circuito equivalente. Por ello, se trabaja con su diagrama fasorial. La Figura 1.11.- muestra el diagrama fasorial de un generador de polos salientes, a partir del cual se obtendrán las ecuaciones de potencias activa y reactiva.
Figura 1.11.-Diagrama fasorial de un generador de polos salientes
- Potencia activa
La potencia activa es de la forma Pg = V I cos j es decir V por la proyección de I sobre V. Por lo tanto proyectando las componentes de la corriente, se tiene:
(1.6)
Por otra parte, del mismo diagrama se puede escribir:
(1.7)
Por lo que la potencia activa Pg queda de la forma:
(1.8)
La Figura 1.12 muestra la curva de Pg = f (d) dada por la ecuación (1.8). En líneas de segmentos están dibujadas las curvas correspondientes al primer término (la fundamental) y al segundo término (la segunda armónica).
El segundo término de (1.8) se denomina componente de reluctancia o de saliencia, y es pequeño comparado con el primero (10 a 20% usualmente). No depende de la excitación E y por ello existe aunque la corriente de excitación sea nula. Para corrientes de excitación grandes no se comete un error importante al despreciarlo.
Figura 1.12.- Curva Potencia-ángulo para una máquina de polos salientes
Si la máquina está conectada a un sistema relativamente grande (barra infinita), como ocurre en la mayoría de los casos, V será constante o tendrá cuando menos un rango de variaciones posibles bastante estrecho; E, que depende de la corriente de excitación, también se mantendrá constante. Por lo tanto, para fines prácticos se puede afirmar que Pg depende sólo de d. Si d > 0, Pg es positiva, es decir, la máquina genera potencia activa si E adelanta a V.
A un aumento de d corresponde un aumento no proporcional de la potencia, ya que el denominado coeficiente de sincronización dPg / dd no es constante.
Existe un d, para el que, dPg / dd = 0 o sea para el cual se obtiene la máxima potencia activa compatible con los valores de V y E adoptados. Si d sigue aumentando, Pg se reducirá y la máquina perderá el sincronismo.
- Potencia Reactiva
Recordemos que Qg = V I sin j, es decir es el producto del voltaje por la componente de la corriente, en cuadratura con él. Por lo tanto, a partir del diagrama fasorial y considerando las ecuaciones (1.7), la potencia reactiva queda de la forma:
(1.9)
Ejemplo 1.2. Un motor síncrono de polos salientes con Xd=80% y Xq=50%, está conectado a una barra infinita cuyo voltaje es el nominal. Los datos están en la base propia de la máquina. Despreciando las pérdidas calcular: a) El valor mínimo de E para que la máquina permanezca en sincronismo a carga nominal. b) La potencia reactiva (consumida o generada).
Solución:
a1) Límite de estabilidad: => , es decir:
despejando E de la ecuación anterior se tiene: a) a2) Carga nominal: => Pg = -1 en ecuación (1.8), de donde se obtiene:
; es decir:
b)
Introduciendo (a) en (b) y ordenando se puede escribir:
Empleando un método iterativo (Newton-Raphson, por ejemplo), se obtiene que con
Reemplazando d en la ecuación (a) se obtiene finalmente: E=0,6276 (pu)
b) Potencia reactiva: Reemplazando valores en la ecuación (1.9), se tiene:
=> QM= -1,4318 (pu)
1.4.- Problemas propuestos
1.1. Un generador síncrono tiene una impedancia síncrona de 10 y una resistencia
síncrona de 1,2 (Valores por fase). La tensión generada es 1,1 kV (por fase) y se conecta a una barra infinita de 1 kV (por fase). Determinar la corriente y factor de potencia cuando se tiene la máxima potencia activa generada.
1.2. Un generador síncrono de polos salientes con Xd=1,5 (pu) y Xq=1 (pu) y resistencia despreciable, se conecta a una barra infinita cuyo voltaje es el nominal, a través de una línea que tiene una reactancia de 0,3 (pu). Determinar la potencia activa de salida para un ángulo de torque de 30º, si E es 1,4 veces el voltaje nominal terminal del generador. Calcular además, el coeficiente de sincronización en estas condiciones. Todos los valores en (pu) están en base 75 MVA. El generador es de 75 MVA, 11 kV.
1.3. En el problema 1.2 determinar el valor máximo de la potencia activa que el generador le pueda entregar a la barra infinita. En estas condiciones, ¿cuál es el valor de la potencia reactiva?
1.4. ¿Qué porcentaje de su potencia nominal podrá desarrollar sin pérdida de sincronismo un motor síncrono de polos salientes cuando se le aplica su tensión nominal siendo la corriente de excitación igual a cero?. Xd=0,8; Xq=0,5, ambos en por unidad en base propia. Determine también, la corriente en el inducido a la potencia máxima.
1.5. Un motor síncrono, de polos salientes, tiene Xd=0,8; Xq=0,5; en tanto por unidad base propia y está conectado a una red de potencia infinita cuyo voltaje es el nominal. Depreciando las pérdidas, determine la excitación mínima, para que la máquina se mantenga en sincronismo con el torque de plena carga.
1.6. Un motor shunt de corriente continua está acoplado mecánicamente a un generador trifásico síncrono de rotor cilíndrico. El motor se conecta a una red de tensión continua
constante de 230 V y el generador a una red trifásica de frecuencia y tensión constantes, siendo ésta de 230 V entre fases. La máquina síncrona, de cuatro polos, conectada en Y, es de 25 kVA a 230 V, y su reactancia síncrona es de 1,6 ohm/fase. La máquina de continua, también de cuatro polos, tiene los valores nominales de 25 kW y 230 V. Se desprecian todas las pérdidas. a. Si el conjunto de ambas máquinas trabaja como un grupo motor-generador recibiendo potencia de la red de continua y suministrándola a la de alterna, ¿cuál es la tensión simple (entre fases y neutro) inducida por el campo inductor de la máquina de alterna cuando trabaja a sus kVA nominales y factor de potencia unitario?b. Dejando la excitación de la máquina de alterna como en el apartado anterior, ¿qué ajustes deberán realizarse para reducir a cero la transferencia de potencia entre los sistemas de alterna y de continua? En estas condiciones de transferencia nula, cuál es la corriente en el inducido de la máquina de continua y en el inducido de la de alterna?c. Dejando la excitación de la máquina de alterna como en los dos apartados anteriores, ¿cómo podrá regularse para transferir 25 kW de la red alterna a la de continua? En estas condiciones ¿cuál es la corriente en el inducido de la máquina de continua? Cuáles son la magnitud y fase de la corriente en la máquina alterna?
2.1.- Introducción
Un sistema de potencia bien diseñado debe ser capaz de entregar un servicio confiable y de calidad. Entre los aspectos que caracterizan una buena calidad de servicio se encuentran la adecuada regulación de voltaje así como de la frecuencia. El Control de Voltaje tiene como objetivo mantener los niveles de tensión dentro de límite razonables. El problema; sin embargo, es diferente según se trate de una red de distribución o una de transmisión.
En una red de transmisión se pueden admitir variaciones de tensión mayores que en una red de distribución, ya que no existen aparatos de utilización directamente conectados a ella. Por lo tanto, dentro de ciertas limitaciones, no hay mayores inconvenientes en que la tensión en un punto dado de la red de transmisión varíe dentro de límites relativamente amplios, generalmente ± 10% como máximo de un valor que habitualmente es diferente del nominal.
En las redes de distribución, las variaciones de tensión están limitadas por las características de los consumos. Estos sólo funcionan adecuadamente con tensiones cercanas a la nominal y admiten variaciones lentas que no sobrepasen un ± 5% en aplicaciones térmicas (cocinas, lámparas, calentadores) y un ± 8% en el caso de motores, lavadoras, receptores de radio y televisión, etc. Si las tensiones son muy altas habrá calentamiento y menor vida útil. Si son muy bajas habrá mal rendimiento, malas características de torque (motores), etc.2.2.- Clasificación de las variaciones de tensión
Según sus características, las variaciones de tensión se pueden clasificar en: Variaciones lentas: Tanto previsibles (periódicas), originadas en los
cambios periódicos de los consumos que presentan máximos a ciertas horas del
día y mínimos en otras; como aleatorias, debidas a las conexiones y desconexiones de los consumos, que pueden ocurrir en cualquier momento.
Variaciones bruscas: Tanto regulares como aleatorias ("pestañeos"),
debidas a los "golpes de corriente" causados por el funcionamiento intermitente de equipos tales como refrigeradores, ascensores, soldadoras, etc.
Caídas de tensión: De breve duración (desde fracciones de segundo
hasta algunos segundos) y de amplitudes muy variables (hasta un 100% de la tensión). Su efecto es casi equivalente al de una interrupción de servicio.
En este capítulo, se analizará exclusivamente el control de las variaciones lentas
de tensión en las redes de transmisión y distribución.2.3.- Formas de regular las variaciones lentas de tensión
La regulación lenta de tensión tiene por fin mantener el módulo de la tensión en todo el sistema en el mejor valor posible. Los métodos más empleados son: Inyección (absorción) de potencia reactiva: permite modificar la
potencia reactiva circulante en el sistema, que es una importante causa de variación de la tensión. Se consigue con el empleo de condensadores estáticos, compensadores síncronos, reactores y los generadores de las centrales.
Inserción de una tensión serie adicional: para compensar la caída que
se desea regular. Se consigue, por ejemplo, con los transformadores con derivaciones, que permiten variar discontinuamente la razón de transformación. Las derivaciones pueden ser operables en vacío (más baratas) o bajo carga.
Modificación de la reactancia: para mantener constante la caída
longitudinal ZI. Se consigue por ejemplo, usando conductores fasciculados, empleando condensadores serie, colocando líneas en paralelo o disminuyendo el largo de las líneas, acercando los transformadores de distribución a los consumos.
2.4.- Formas de actuar de los medios de regulación de tensión Regulación continua: Reguladores de inducción y compensadores
síncronos. Regulación cuasi-contínua: Cambiadores de derivación bajo carga de
los transformadores. Regulación intermitente: Condensadores estáticos. Regulación fija: Condensadores serie y cambiadores de derivación en
vacío.2.5.- Regulación de tensión por inyección de potencia reactiva
a.- Línea corta de transmisión: Con el objeto de establecer algunos conceptos básicos consideraremos en primer lugar, el caso de una línea corta de
transmisión y su diagrama fasorial correspondiente, tal como se muestra en la Figura 2.1.-
Figura 2.1.- Circuito equivalente y diagrama fasorial de una línea corta de transmisión
De la Figura 2.1.- y considerando que q es un ángulo pequeño, se puede escribir:
(2.1) pero, DV=AD+DC, con: AD=RIcosjR y DC=XIsinjR, por lo que se obtiene
finalmente:
(2.2)De la misma forma:
(2.3)Por lo que:
(2.4)
donde PR y QR son las potencias activa y reactiva proporcionadas a la carga a través de la línea.
Las ecuaciones (2.2) y (2.4) muestran claramente que el transporte de PR y QR
desde el extremo transmisor T al receptor R, va acompañado de una caída de tensión DV y de un desfase q entre las tensiones de ambos extremos de la línea. Debido a que usualmente, en los sistemas de transmisión y generación R<< X, el término dominante en la ecuación (2.2) es XQR, o sea la potencia reactiva transferida desde T a R es la causante principal de la caída de tensión DV. Por la misma razón anterior, el término dominante en (2.4) es XPR, de donde se concluye que el desfase q es decisivo en el valor de la potencia activa suministrada al consumo.
Según lo planteado, para reducir la caída de tensión DV es necesario evitar (disminuir) el transporte de potencia reactiva por la línea, es decir, la potencia reactiva debería ser suministrada en lo posible, en el mismo punto donde será consumida.
Supongamos que se desea mantener constante DV para cualquier valor de PR. Entonces, a partir de la ecuación (2.2) QR debe variar según la ecuación (2.5), para cumplir con la condición señalada.
(2.5)
donde K=(DV/X)VR es constante, puesto que para VT y DV constantes, entonces, VR es constante y por lo tanto, la potencia reactiva QR enviada al consumo a través de la línea debe variar tal como se muestra en la Figura 2.2.
Figura 2.2.- Variación de la potencia reactiva QR entregada por la línea en función de la potencia activa del consumo, para mantener VR constante
Controlando la potencia reactiva QR en la forma mostrada en la Figura 2.2, es posible mantener la tensión VR constante para diversos valores de potencia activa PR. Este control se hace, evidentemente en el extremo receptor y el procedimiento se conoce con el nombre de "regulación de tensión por inyección de potencia reactiva".
Conviene insistir en que la potencia QR correspondiente a la ecuación (2.5) representa solamente la potencia reactiva que llega al consumo a través de la línea, cuyo valor, en caso de producirse una variación de PR, será diferente al correspondiente al consumo ya que su ley de variación para DV constante está definida por la ecuación (2.5)
Con el objeto de precisar lo expuesto, consideremos: QRO: Potencia reactiva requerida por el consumoPRO: Potencia activa inicial del consumoQR1: Nuevo valor de potencia reactiva que se debe suministrar al consumo a través de la línea.PR1: Nuevo valor de potencia activa requerida por el consumo.
A partir de (2.5) se puede escribir:
(2.6)
Según sea el nuevo valor PR1, se pueden presentar dos casos :
a) a1) PR1 > PR0; entonces QR1< QR0
b) a2) PR1 < PR0; entonces QR1> QR0
La potencia que se debe inyectar en el consumo será :
(2.7)
El valor de DQ será positivo o negativo, según corresponda al caso a1) o a2) y se puede considerar en general como una potencia inyectada según se muestra en la Figura 2.3.-
Figura 2.3.- Representación de DQ como fuente de potencia reactiva
Ejemplo 2.1.El sistema de la Figura 2.4,alimenta una carga que en demanda máxima (Dmáx) es de 45 MVA, cosq = 1. Durante la demanda mínima (Dmín) la carga esde (10+j2) MVA. Si la tensión en el extremo transmisor puede tomar como valoresextremos 110 y 100% respectivamente, determinar la compensación de potenciareactiva necesaria en el extremo receptor durante Dmáx y Dmín, si se deseamantener en dicho extremo una tensión de 100 y 95% respectivamente. SB=100MVA
Solución:
a) Para demanda máxima: VT=1,1 (pu); VR= 1,0 (pu)Aplicando la aproximación de una línea corta(Ecuación 2.2) se tiene:
De donde se obtiene: QR=-0,1183 (pu) =>QC=QL-QR=0-(-0,1183)=0,1183 (pu) =>QR=11,83 MVAR(inyectar).
b) Para demanda mínima: ; VT=1,0 (pu); VR= 0,95(pu)Aplicando la ecuación (2.2) se tiene:
=>QR=0,01583 =>QC = QL-QR = 0,02-0,01583 = 0,00417 (pu)=>QR=0,417 MVAR(inyectar).
b.-Líneas de longitud media o larga: El estudio de la regulación de tensión en una línea media o larga, mediante inyección de potencia reactiva, se realiza usualmente, empleando las ecuaciones de potencia activa y reactiva en función de las constantes generalizadas A-B-C-D ya vistas, que se resumen a continuación.
(2.8)
Ejemplo 2.2. Repetir el Ejemplo 2.1, empleando parámetros ABCD y las ecuaciones de potencia del extremo receptor.
Solución: Los parámetros ABCD de la línea son:
A=D=1 0º; C=0; B=Z=0,38+j0,6=0,7102 57,65º
a) Para demanda máxima:VT=1,1 (pu),VR= 1 (pu); PL=0,45 (pu) y QL=0Las ecuaciones correspondiente alextremo receptor se obtienen de (2.8), es decir:
A partir de PRdespejamos cos (b -q ), donde:
=>q = 18,64º
reemplazando valores en la ecuación deQR:
De donde se obtiene que: QC=QL-QR=0-(-0,2146)=0,21146 (pu) =>QC=21,46MVAR (inyectar).
b) Para demanda mínima:VT=1,0 (pu), VR=0,95 (pu); PL=0,1 (pu) y QL=0,02A partir de PR despejamos cos (b -q ), de donde:
=> q=3,32º
reemplazando valores en la ecuación de QR:
De donde se obtiene que:QC=QL-QR=0,02-0,01315=0,00685 (pu) =>QC =0,685 MVAR(inyectar).
c.-Sistema enmallado: En un caso general, interesa estudiar la influencia de la inyección o extracción de potencia reactiva en una barra cualquiera del sistema, sobre la tensión de dicha barra. El estudio parte de la premisa que existe un relación definida entre las potencias P, Q y la tensión V de la barra, relación que puede escribirse como V=V(P,Q), de donde:
(2.9)o bien :
(2.10) Es decir, la variación de tensión en un punto cualquiera (p) de un sistema,
debido a cambios dP y dQ en las potencias activa y reactiva allí entregadas, está completamente determinada si se conocen los coeficientes. ¶P/¶V y ¶Q/¶V De los dos, el ¶Q/¶V es el más importante ya que orienta sobre la amplitud de la variación de potencia reactiva que es necesario producir para provocar una variación determinada de tensión en el punto considerado.
Para determinar estos coeficientes, consideremos que la carga S= P+jQ existente en el punto p de la Figura 2.5.- a) se aumenta en un consumo puramente inductivo DQ, de valor muy pequeño ( y que en el límite se hace tender a cero). Este hecho modifica la tensión en p, que de V pasa a V + DV
a) b)
Figura 2.5.- Determinación del coeficiente (Q/V). a) Diagrama unilineal; b) Circuito equivalente
Según el teorema de Thevenin, el sistema puede ser representado por el
circuito de la Figura 2.5 b), donde V0 es el voltaje que existía en p cuando no había consumo y ZT es la Impedancia equivalente de Thevenin del sistema vista desde p. En el circuito de la Figura 2.5 b) se puede aplicar lo planteado en las ecuaciones (2.1) y (2.2); que en este caso quedan:
(2.11)es decir:
(2.12) La ecuación (2.12) es una función implícita y por lo tanto, como en este caso,
sólo se produce un cambio en Q, (P permanece constante) se puede derivar parcialmente respecto a V y se obtiene:
(2.13)
Si hubiera un cambio en P (DP) con Q constante, se encuentra que:
(2.14)
En el caso en que no exista consumo previo S en el punto p, V0=V y las expresiones anteriores quedan:
(2.15)
(2.16)
Valores típicos de ¶Q/¶V van desde los -3 a -15 (MVAR/kV)
El signo menos indica que si DQ (ó DP) es positivo, lo que significa que la
potencia que sale de p aumenta, entonces la tensión en el nudo p disminuye. Por lo tanto, la conexión de un reactor produce una baja de tensión mientras que la conexión de un condensador produce un aumento en la tensión.
Es interesante hacer notar que ¶P/¶V y ¶Q/¶V tienen las dimensiones de corriente. Por otra parte; la corriente de cortocircuito trifásico en p (ICC) se puede calcular directamente de la Figura 2.5, despreciado RT y la corriente previa a la falla y vale:
(2.17)
Las expresiones de ¶Q/¶V e ICC (en módulo) son prácticamente iguales. La diferencia está en que la corriente de cortocircuito se calcula con las reactancias transitorias de las máquinas; mientras que ¶Q/¶V considera reactancias permanentes o sólo las reactancias hasta aquellas barras en que la tensión permanece constante por efecto de la acción de los reguladores de tensión. Para nudos algo alejados de las máquinas, casi no habrá diferencias entre ambas definiciones. Por ello se suelen considerar como aproximadamente iguales.
Para el cálculo real de ¶Q/¶V no se consideran las impedancias de las cargas y se suponen constantes las tensiones en bornes de las máquinas síncronas.
Por otra parte, aunque hasta el momento, sólo se ha considerado inyectar potencia reactiva, es evidente que, dependiendo de las condiciones de carga en el sistema, habrá que absorber potencia reactiva en algunos casos para mantener la tensión dentro de los límites prefijados. Generalmente es necesario absorber potencia reactiva en las horas de poco consumo, lo que se debe fundamentalmente a la potencia reactiva “generada” por las líneas de transmisión que operan a niveles de tensión elevados o por redes de cables.
Ejemplo 2.3. En el sistema de la Figura 2.6, las barras A y C se mantienen a tensión nominal de 220 kV. La barra B se mantiene a tensión nominal de 154 kV. Suponiendo que una cierta variación de carga en el sistema hace disminuir en 5 kV la tensión en la barra M, calcular la inyección de potencia reactiva necesaria en esta barra para restablecer su tensión primitiva. Los valores en % están con SB=500 MVA.
Figura 2.6
SB=500 MVA; VBL=154 kV =>
Por otra parte:
Figura 2.7
Solución:
La reactancia de Thevenin en M es:
A partir de la ecuación (2.10):
; con y se obtiene:
=> Inyectar 43,53 MVAr2.6.- Regulación de tensión mediante transformadores con cambio de TAPS
El coeficiente ¶Q/¶V de una barra puede en algunos casos alcanzar e incluso superar valores del orden de -15 MVAR/KV. En estas condiciones no resulta adecuado el sistema de inyección de potencia reactiva debido a la magnitud de las cantidades que habría que poner en juego para compensar las variaciones de tensión en la barra correspondiente.
Puede suceder que la tensión constante o regulada se desee en la barra q correspondiente al secundario de un transformador conectado a la barra p como se muestra en la Figura 2.8.
Figura 2.8.- Transformador con cambio de Tap, conectado entre las barras p y q de un sistema
A pesar de la reactancia introducida entre p y q, el coeficiente ¶Q/¶V puede aún
resultar demasiado elevado. En estas condiciones, los más adecuado es emplear un transformador con cambio de tap (TCT) que permita regular la tensión en la barra q “inyectando una tensión adicional”. Esto no genera potencia reactiva pero modifica su distribución en el sistema. El empleo de los TCT para regular tensión en una barra determinada, se ilustrará mediante el análisis de los casos siguientes: 2.6.1.- Sistema de transmisión radial con un TCT en el extremo transmisor
Figura 2.9.- Sistema radial con un TCT ubicado en el extremo transmisor
En el sistema que se muestra en la Figura 2.9.- se tiene:
ZL: Impedancia de la línea de transmisión (W/fase)ZT: Impedancia del TCT (W/fase), referida al secundario.V1N, V2N: Tensiones nominales del TCTaN=V1N/V2N: Razón nominal del TCTVT, V2, VR: Tensiones en los puntos que se indican antes del cambio de Tap.a=V1N/V’2N: razón del transformador después del cambio de Tap (razón no nominal)V’T, V’2, V’R: Tensiones en los puntos que se indican después del cambio de Tap.
La razón de cambio en el Tap t (suponiéndolo en el secundario del
transformador), la podemos definir como:
(2.18)
Si suponemos que VT=V1N y que la impedancia del transformador ZT, prácticamente no varía al cambiar el TAP, las redes equivalentes “por fase” antes y después del cambio de TAP son las que se muestran en las Figuras 2.10 a) y b)
Figura 2.10.- Redes equivalentes por fase correspondientes al sistema de la Figura 2.6.- a) Antes del cambio de Tap, b) Después del cambio de Tap
A partir de la Figura 2.10.- b) se puede escribir:
(2.19)
Considerando la ecuación (2.2) se puede determinar en forma aproximada, el módulo de la caída de tensión en las impedancias del transformador y la línea como sigue:
(2.20)
Despejando V’2N de (2.18), introduciendo este valor y (2.20) en (2.19) y
despejando t, se obtiene finalmente:
(2.21)
Utilizando esta ecuación se puede determinar el cambio de tap necesario para cumplir determinadas condiciones. Por ejemplo, si se desea compensar totalmente la caída de tensión en la línea, se tiene que V’R=V2 y por lo tanto:
(2.22)
Si adicionalmente se desprecia la caída interna en el transformador, se tiene
que : RT y XT son iguales a cero y V2=V2N .Luego:
(2.23)
2.6.2.- Sistema de transmisión radial con TCT en ambos extremos de la línea.
Figura 2.11.- Regulación de tensión con TCT en ambos extremos
En el sistema de la Figura 2.11- se tiene:
ZL: Impedancia de la línea de transmisión (W/fase)ZA y ZB: Impedancia de cada TCT (W/fase), referida al sector de la línea.a1N=VAN/VaN: Razón nominal del TCT Aa2N=VBN/VbN: Razón nominal del TCT Ba1= VAN/V’aN: razón del transformador A después del cambio de Tapa2= VBN/V’bN: razón del transformador B después del cambio de TapVT, V1, V2, VR: Tensiones en los puntos indicados antes del cambio de Tap.V’T, V’1, V’2, V’R: Tensiones en los puntos indicados después del cambio de Tap.
La razones de cambio en el Tap t1 y t2 se pueden definir como:
(2.24)
(2.25)
Las redes equivalentes antes y después del cambio de Tap se muestran en la Figura 2.12.
Figura 2.12.- Redes equivalentes por fase correspondientes al sistema de la Figura 2.11.-
a) Antes del cambio de Tap, b) Después del cambio de Tap.
A partir de la Figura 2.12.- b) se puede escribir:
(2.26)
Considerando la ecuación (2.2) se puede determinar en forma aproximada la caída de tensión en las impedancias de los transformadores y la línea como sigue:
(2.27)
Despejando V’aN de (2.24), introduciendo este valor y (2.27) en (2.26) y
despejando t1, se obtiene:
(2.28)
Por otra parte, de la Figura 2.12.b) y considerando la ecuación (2.25) se tiene que:
(2.29)
Introduciendo (2.29) en (2.28), se obtiene finalmente:
(2.30)
Si VT permanece constante, la ecuación 2.30permite determinar los cambios de
TAP necesarios t1 y t2 de tal modo que se obtenga un valor deseado V’R. En particular, si se desea que V’R sea igual a la tensión nominal del secundario del transformador B, o sea V’R = VbN, entonces, a partir de (2.30) se obtiene:
(2.31)
Si además, se desprecian las caídas internas de los transformadores y t1 se
considera igual a t2, entonces:
(2.32)
Ejemplo 2.4. En el sistema de la Figura 2.13, calcular los cambios de TAP necesarios para mantener 33 kV en el consumo. Qué potencia reactiva se debería inyectar en la barra de carga para mantener 33 kV, en el caso de que los transformadores no tuvieran cambiadores de TAP?
Solución: a) Usando la ecuación (2.30), con t1=t2 se tiene:
en que todos los valores son por fase y por lo tanto: P=150/3=50 MW/fase Q=(50/0,8)*sin( cos-1 0,8)=37,5 MVAR/fase
Figura 2.13
b) Usando aproximación de la línea corta:
Luego: QC=QL-QR=37,5-(-8,57) => QC=46,07 MVAR/fase. Es decir; se deberían inyectar 138,21 MVAr 2.7.- Regulación de tensión mediante el uso combinado de transformadores con cambio de TAPS e inyección de Potencia Reactiva.
Los dispositivos de producción o absorción de potencia reactiva se conectan usualmente al enrollado terciario de transformadores que interconectan redes de transmisión y de distribución. Si el transformador tiene cambiador de tap, es posible regular independientemente los voltajes primario y secundario, inyectando potencia reactiva para controlar uno de ellas y modificando los tap para controlar el otro. La Figura 2.14 muestra un esquema típico, en que las variables se suponen "por fase" y las impedancias referidas al primario.
Figura 2.14.- Esquema típico de regulación de tensión combinando TCT e inyección de potencia reactiva. a) Diagrama unilineal, b) Red equivalente por fase
En general, el problema consiste en determinar los cambios de Tap necesarios en
el transformador, para ciertas condiciones de potencia reactiva del compensador
sincrónico y determinada potencia compleja transferida entre los enrollados primario y secundario, de tal modo que las tensiones V1 y V2 estén dentro de ciertos valores especificados. El análisis se efectúa normalmente haciendo las siguientes aproximaciones: Se desprecia la potencia activa perdida en el transformador, por lo que
Zp, Zs y Zt se suponen sin resistencia Las caídas de tensión se calculan por medio de expresiones simplificadas
Sea P+jQ, la potencia compleja que llega al nudo N por la rama Z p. En estas condiciones, se puede dibujar el siguiente diagrama fasorial, tomando como referencia el voltaje VN .
Figura 2.15.- Diagrama fasorial para determinar el voltaje en el nudo N
A partir de esta figura se puede escribir:
(2.33)
(2.34)
Por otra parte, en esta misma figura se tiene que:
(2.35)
Introduciendo (2.33) y (2.34) en (2.35) y despejando VN se obtiene:
(2.36)
En algunos cálculos más simplificados, la tensión VN se determina despreciando dV, con lo que resulta una expresión más sencilla que (2.36).
A partir del valor de VN, se puede determinar el tap en que debe quedar el transformador utilizando, por ejemplo, la expresión (2.18).
Ejemplo 2.5. El TTTE de la Figura 2.16 tiene conectado en el terciario un compensador síncrono. La potencia de la carga es de (75+j30) MVA y los voltajes V1 y V2 deben permanecer en 225 y 70 kV respectivamente. Las reactancias del TTTE son:
Xps=11,5%; Xpt=19,2%; Xst=7,5%, todas en base común 75 MVA. Determinar, despreciando Xs, el campo de regulación del cambiador de TAP en carga, si se sabe que el compensador síncrono funciona: a) en vacío; b) Como condensador síncrono (40 MVAR).
Solución: Parámetros del transformador de 3 enrollados:Sólo interesa el valor de Xp:
como:
Se tiene que: Xp=74,86 ohm/fase. (XS=-0,001 pu)
Figura 2.16
Usando la ecuación (2.36) y considerando el circuito equivalente de la Figura 2.14 b), se tiene que:
a) Compensador en vacío => P=25 MVAR/fase; Q=10 MVAR/fase; V1=225/V3 kV/fase; V2=70/V3 kV/fase. Reemplazando valores en la ecuación (2.36) se obtiene:
VN1=±122,92 kV/fase y VN2=±16,4 kV/fase (No válida); por lo tanto; VN=122,92 kV/fase y:
Además: Entonces:
b) Compensador entregando 40 MVAR => Q=30-40= -10 MVAr; es decir, Q= -10/3 MVAr/fase.Reemplazando valores en la ecuación (2.36) se obtiene:
VN1=±131,021 kV/fase y VN2=±14,41 kV/fase (No válida); por lo tanto; VN=131,021 kV/fase y:
. Además: . Entonces:
. Es decir, el tap debe variar entre 0,9125 y 0,97262.8.- Problemas Propuestos
2.1. En el sistema de la Figura 2.17, el generador no tiene regulador de voltaje y SB=100 MVA. Antes de energizar la línea, la tensión en el punto A es del 100%. Determinar: a. Las tensiones en ambos extremos de la línea después de ser energizada (sin carga). b. La capacidad del reactor necesario a conectar en "B" para que la tensión en este punto sea del 100%. c. La tensión en "A" con el reactor conectado.
2.2. En el terciario del Transformador Trifásico de Tres Enrollados (TTTE) de la Figura 2.18, hay un condensador síncrono que tiene por objeto mantener la tensión de la carga en 100%. Cuando la carga es de (40+j15) MVA, el condensador síncrono (CS) está en vacío. Determinar la potencia reactiva que entrega el CS cuando la carga aumenta a (80+j30) MVA. El generador no tiene regulador de voltaje, la potencia base es de 100 MVA y los parámetros del transformador son: Xp=13,1%; Xs=-1%; Xt=8%
Figura 2.17 Figura 2.18
2.3. Una línea corta de transmisión que tiene una impedancia serie de (0,02+j0,1) pu (SB=100 MVA), alimenta una carga de 200 MVA, Factor de Potencia 0,8 inductivo. En el extremo receptor existe un compensador que permite que con 220 kV en el extremo transmisor, el voltaje en el extremo receptor sea de 225 kV. Considerando que el desfase entre ambos voltajes es pequeño y que el voltaje en el extremo transmisor se mantiene constante, Determinar:a. La capacidad (MVAr) del compensador síncrono que está conectado en el extremo receptor. b. El voltaje que aparece en el extremo receptor al desconectar la carga.
2.4. El esquema de la Figura 2.19, muestra un diagrama simplificado de la Central Termoeléctrica Bocamina. Los coeficientes (¶P/¶V) y (¶Q/¶V) en la barra de 66 kV son respectivamente: -130 [MW/kV] y -56,5 [MVAr/kV]. La tensión en dicha barra es de 67,3 kV, cuando está la carga de 4 MVA conectada, a Factor de Potencia 0,9 (inductivo). En estas condiciones se pretende hacer partir un motor de inducción tipo Jaula de Ardilla, que mueve las bombas de la caldera, sabiendo que la tensión mínima
de partida del motor es del 90% y que durante la partida consume 5 veces la corriente nominal con cos q=0,3. Determinar si es posible hacer partir el motor en estas condiciones.
2.5. Los sistemas de la Figura 2.20, están unidos a través de un autotransformador regulador cuyo rango es VN±15 x 1,25%. Cuando está en su derivación nominal y las tensiones son V1=1,1 (pu); V2=0,9 (pu), el Sistema 1 entrega (100 + j80) MVA. Determinar la derivación en que se debe ajustar el regulador para que la potencia reactiva que entregue el Sistema 1 no sea superior a 30 MVAR (V1 y V2 constantes). Considerar SB=100 MVA.
Figura 2.19 Figura 2.20
2.6. En el sistema de la Figura 2.21, los generadores 1 y 2 tienen reguladores de tensión que mantienen constante la tensión en bornes. El transformador de 154/69 kV tiene cambiador de TAP bajo carga en el lado de 69 kV con 19 derivaciones en pasos de 1,25% y con el valor nominal en la derivación central. El cambiador de TAP es comandado por un sistema de control que trata de mantener constante la tensión en barras de 69 kV y que reacciona cuando la tensión varía en más de 1,5% del valor de ajuste. La tensión en barra de 69 kV es la nominal y el cambiador se encuentra en la posición (69+4x1,25%). En ese instante se conecta un banco de condensadores de 6 MVAr a la barra de 69 kV. ¿Cómo reacciona el sistema de regulación? ¿En qué valor queda la tensión en la barra de 69 kV después que ha reaccionado el sistema de regulación? Todos los valores en % están en base propia.
Figura 2.21
2.7. En el sistema de la Figura 2.22, la potencia en el consumo puede variar del
siguiente modo: . Considerando que la tensión en el extremo transmisor VT se mantiene constante en 12 kV y que la del extremo receptor VR no debe variar en más de ± 5%; determinar si es necesario inyectar o absorber
potencia reactiva en el extremo receptor y a partir de que valor o valores de la potencia del consumo. Valores en porcentaje en base 100 MVA.
Figura 2.22
3.1.- Introducción
El cálculo y análisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es uno de los aspectos más importantes de su comportamiento en régimen permanente. Consiste en determinar los flujos de potencia activa y reactiva en cada línea del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para ciertas condiciones preestablecidas de operación.
Hasta el año 1950, el cálculo del flujo de potencias (CFP) se realizaba utilizando principalmente los Analizadores de Redes de Corriente Alterna (ARCA) y en algunos casos, los Analizadores de Redes de Corriente Contínua (ARCC) que corresponden a una simulación a escala del Sistema real. En la actualidad, el CFP se realiza fundamentalmente, utilizando los computadores digitales por las grandes ventajas que éstos presentan respecto a los analizadores de redes.
El análisis del flujo de potencias (AFP) permite: - Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo de operación, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas o nuevas centrales generadoras. - Estudiar los efectos sobre la distribución de potencias, cuando se producen pérdidas temporales de generación o circuitos de transmisión. - Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un funcionamiento óptimo.3.2.- Planteamiento del problema básico.
Considérese el SEP elemental de dos barras de la Figura 3.1.
Figura 3.1.- Sistema elemental de dos barras para plantear el problema básico.
En la Figura 3.1, las potencias complejas netas de las barras 1 y 2 son:
(3.1)
donde:
: Potencias complejas netas de las barra 1 y 2 respectivamente, representadas como fuentes de potencia activa y reactiva, que corresponden a la Potencia Generada menos la Potencia Consumida.
: Flujo de potencia compleja que van desde la barra 1 a la barra 2 y viceversa
Si la línea se representa por su circuito p nominal se puede dibujar el circuito
equivalente por fase de la Figura 3.2, donde las potencias netas se han dibujado como fuentes de potencia activa y reactiva
Figura 3.2.- Circuito equivalente por fase del sistema de la Figura 3.1
A partir de esta figura se puede escribir:
(3.2)
Estas ecuaciones, que relacionan las tensiones con las potencias activas y reactivas, presentan las siguientes características. - Son algebraicas y no lineales- La frecuencia no aparece en forma explícita porque se la supone constante- El sistema de cuatro ecuaciones, tiene 12 variables en total: PG1, PG2, QG1, QG2, PC1, PC2, QC1, QC2, V1, q1, V2, q2, por lo que no es posible obtener una solución para ninguna de ellas a menos que se reduzca el número de incógnitas, fijando de antemano algunas variables.
En relación a esto último, una forma posible de resolver el problema es la siguiente:
- A partir de los datos del consumo suponer conocidas e independientes del voltaje, las potencias de las cargas PCi, QCi, con i = 1,2. - Fijar a priori dos variables de generación PG2 y QG2 por ejemplo. No se pueden fijar las cuatro variables de generación debido a que las pérdidas en el sistema no son conocidas inicialmente. - Fijar el módulo y ángulo de la tensión en barra 1; es decir; suponer conocidos V 1, q1. En particular, puede tomarse esta tensión como referencia, o sea, q1=0
En estas condiciones, las variables que quedan son: PG1, QG1, V2, q2, en el sistema de cuatro ecuaciones (3.2).3.3.- Modelo de representación del SEP
Teniendo presente el análisis del problema básico y con el objeto de establecer un procedimiento general para el CFP, es necesario considerar lo siguiente: 3.3.1.- Tipos de Barras
Asociados a cada barra p de un SEP existen cuatro variables, Pp; Qp; Vp; qp. Según las variables conocidas y desconocidas, las barras se clasifican en los siguientes grupos: - Barras de Carga (Barras P-Q): Pp y Qp están especificadas; Vp y qp son las incógnitas - Barras de tensión controlada (Barra P-V): Pp y Vp están especificadas; Qp y qp son las incógnitas. En este tipo de barra debe existir alguna fuente controlable de potencia reactiva. - Barra flotante (Barra ): Vp y qp están especificados; Pp y Qp constituyen las incógnitas. En esta barra debe existir por lo menos un generador. La necesidad de definir esta barra nace del hecho que no es posible especificar a priori, la potencia que es necesario generar en el sistema debido a que inicialmente no se conocen las pérdidas en el mismo. La barra flotante debe suministrar la diferencia entre la potencia compleja inyectada al sistema en el resto de las barras y la carga total más las pérdidas. Esta barra se conoce también con otros nombres tales como: de referencia, oscilante, de relajación (slack). 3.3.2.- Representación de los elementos del SEP
Líneas: Se representan usualmente por su circuito p nominal. Para una línea conectada entre las barras p y q de un SEP, el circuito equivalente corresponde al mostrado en la Figura 3.3.-
Figura 3.3.- Circuito equivalente p de una línea para el cálculo de flujos de potencia En algunos casos, basta representar la línea por su Impedancia serie.
Transformadores: Cuando funcionan en su razón nominal, se representan por
su impedancia de cortocircuito. Cuando operan con cambio de TAPS y razón no nominal, se representan por su circuito equivalente p que se muestra en la Figura 3.4, cuyos parámetros se indican en la ecuación (3.3).
Figura 3.3.- Circuito equivalente p de una línea para el cálculo de flujos de potencia
Figura 3.4.- Modelación circuital en tanto por unidad de un transformador
con cambio de TAP
(3,3)
Con a=1+t1 y b=1+t2; y donde t1 y t2, representan el cambio del Tap, en el lado respectivo.
Generadores: Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa y reactiva.3.4.- Planteamiento matemático del problema para un SEP de “n” barras. 3.4.1.- Ecuaciones de Barras
Considérese una barra p cualquiera del sistema como se muestra en la Figura
3.5. La potencia compleja neta y la corriente inyectada en la barra p, están relacionadas por las siguientes ecuaciones (que constituyen las ecuaciones de barras)
Figura 3.5.- Representación de una Barra p en un SEP
(3.4)
3.4.2.- Ecuaciones del flujo de potencias
A partir de la Figura 3.3 se puede escribir:
(3.5)
La potencia compleja que fluye desde la barra p a la q está dada por:
(3.6)
Análogamente, la potencia compleja que fluye desde la barra q a la barra p estará dada por:
(3.7)
Las expresiones (3.6) y (3.7) constituyen las ecuaciones del flujo de potencia a
través de la línea. Sin embargo, se debe hacer notar que . Además, Ypq corresponde al inverso de la impedancia entre las barras p y q, el que no debe confundirse con el valor correspondiente en la matriz YB, de la ecuación (3.10). 3.4.3.- Potencia perdida en la transmisión
Teniendo en cuenta los sentidos adoptados para , la potencia compleja perdida en la línea será:
(3.8)
3.4.4.- Cálculo de las tensiones de barras
Las ecuaciones (3.6) y (3.7) indican claramente que para resolver el problema del flujo de potencias se requiere determinar previamente las tensiones en todas las barras que correspondan. Empleando el método nodal de resolución de circuitos, en forma matricial, para la red de un SEP de n barras se puede escribir:
(3.9)
donde :
: Vector de corrientes inyectadas a las barras
: Matriz admitancia de barras
: Vector tensiones de barra
Esto definido como:
(3.10)
Teniendo presente que según (3.4), las corrientes inyectadas en las barras
dependen de las potencias complejas netas respectivas y considerando (3.9) y (3.10), se puede escribir:
(3.11)
Este sistema de ecuaciones es similar al obtenido en el problema elemental de 2 barras; es decir; las ecuaciones son algebraicas y no lineales, por lo tanto es necesario resolverlo mediante técnicas de aproximaciones sucesivas. 3.5.- Técnicas de solución para el problema del flujo de potencias
Existen actualmente diversos métodos para resolver el problema de cálculo del flujo de potencias, los que reciben nombres según sea el procedimiento que se aplique para calcular las tensiones. Entre ellos podemos mencionar el de Gauss, el de Gauss-Seidel, los de Newton-Raphson (Completo, Desacoplado, Desacoplado rápido), el flujo DC, etc.
Estudiaremos a continuación, cada uno de ellos, considerando en primer lugar el procedimiento general y luego las aplicaciones al cálculo de flujo de potencias 3.5.1.- Método de Gauss
Se emplea para resolver un problema lineal o no lineal. Por simplicidad consideraremos un sistema lineal de ecuaciones, como el indicado en (3.12), para fundamentarlo. Sin embargo, su aplicación a un sistema no lineal resulta inmediata.
(3.12)
Despejando x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera se obtiene:
(3.13)
Sean , valores iniciales estimados a priori de la solución del sistema (3.12) , entonces, reemplazando estos valores en (3.13) se tiene:
(3.14)
El procedimiento continua hasta que se satisface algún “criterio de convergencia” tal como, por ejemplo, el indicado en (3.15), donde e es una cantidad de valor pequeño y positivo. A cada etapa del proceso se le denomina “iteración”.
(3.15)
Aplicando el método a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas; para la incógnita xi se puede escribir después de k iteraciones, y con i= 1, 2,.....; n; se puede escribir:
(3.16)
Los inconvenientes de este procedimiento son el gran número de pasos que se
requiere para llegar al resultado y la ocurrencia relativamente alta de situaciones en que no converge, por lo que no se utiliza para resolver el problema de cálculo de los voltajes de la ecuación (3.11). Sin embargo, constituye la base para la formulación del Método de Gauss-Seidel, lo que justifica su análisis. Al aplicar la ecuación (3.16) al problema de cálculo de los voltajes en las barras del sistema de ecuaciones (3.11) se obtiene:
(3.17)
La ecuación (3.17) se conoce como método de Gauss YB, porque se trabaja con la matriz admitancia de barras del sistema eléctrico. La expresión es válida sólo para las barras de carga. En el caso en que el SEP contenga barras de tensión controlada, la ecuación (3.17) debe ser modificada, pues en este tipo de barras no se conoce el valor de la potencia reactiva Qp. Por lo dicho en el párrafo anterior, la modificaciones requeridas se estudiarán al considerar el Método de Gauss-Seidel YB
3.5.2.- Método de Gauss-Seidela.- Caso general
Consiste en una modificación del método de Gauss tendiente a acelerar la convergencia del proceso iterativo. En el método de Gauss se calculan todos los valores de las incógnitas correspondientes a una iteración y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incógnitas en la iteración siguiente. En el método de Gauss-Seidel en cambio, los valores calculados en una iteración determinada, se utilizan inmediatamente para calcular los valores de las incógnitas que restan por calcular en la misma iteración.
De este modo, si el proceso de cálculo se encuentra en la iteración (k+1) y ya se
han determinado , entonces, los valores que se utilizan para
calcular serán
Por tanto, la fórmula iterativa del Método de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n ecuaciones de la forma dada por (3.12) es:
(3.18)
b.- Aplicación del método de Gauss-Seidel YB al cálculo flujos de potenciaEl cálculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado
anteriormente es distinto según sean los tipos de barras existentes en el SEP. Por ello consideraremos en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente, por ser el caso más simple. A continuación analizaremos la situación de las barras de tensión controlada.b1.- Sistemas con barras de carga y flotante solamente
Aplicando la ecuación (3.18) al sistema (3.11) se tiene:
(3.19)
La secuencia de solución según este método es como sigue:- Se suponen valores iniciales de tensión para todas las barras a excepción de la flotante, cuya tensión está especificada, o sea es dato del problema al igual que Pp y Qp en todas las barras de carga y los términos de la matriz admitancia de barras (YB)- Se aplica la fórmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algún criterio de convergencia, por ejemplo:
(3.20)
- Determinadas las tensiones , se calculan los flujos de potencia aplicando las ecuaciones (3.6) y (3.7)
- - Conocidos los valores de es posible determinar las pérdidas en el sistema, empleando la ecuación (3.8)- b2.- Sistemas con barras de carga, tensión controlada y flotante.
Normalmente un SEP incluye además de las barras de carga y flotante, barras de tensión controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensión en uno o varios puntos del sistema. En las barras de tensión controlada debe existir una fuente regulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido.
Debido a que en este tipo de barra sólo se conocen el módulo de la tensión y la potencia activa, es necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la ecuación (3.19) para determinar el voltaje complejo en ella.
A partir de la ecuación para la barra p de la expresión (3.11), se puede escribir:
(3.21)
es decir:
(3.22)
Cuando se emplea la ecuación (3.19) en una BTC, el valor de Qp, que debe
emplearse corresponde al indicado por (3.22), el que se debe actualizar en cada iteración. Al determinar el voltaje, debe tenerse en cuenta que su módulo en esta barra está especificado y por lo tanto sólo puede cambiar su ángulo.
Límites de Potencia reactiva en una Barra de tensión Controlada: En el
cálculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensión controlada es necesario tomar en cuenta los límites de potencia reactiva de las fuentes de potencia.
Sea p una BTC, entonces el valor de Qp se puede escribir como:
(3.23)
Además:(QGp)máx = Valor máximo de generación de potencia reactiva de la fuente.(Qgp)mín = Valor mínimo de generación de potencia reactiva de la fuente.QCp = Potencia reactiva de la carga en la barraLos límites de potencia reactiva para la barra p serán:
(3.24)
Si el valor de la potencia reactiva calculado según (3.22) en una iteración
cualquiera k, Qpk, excede el límite máximo o mínimo prefijado, significa que es
imposible obtener una solución con la tensión especificada en esta barra y en consecuencia, ella debe ser considerada como una barra de carga en esa iteración, en la cual la potencia reactiva es igual al límite superior e inferior según corresponda. En las iteraciones siguientes, el método intentará mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra, siempre que no se violen los límites de Qp. Esto es posible, porque pueden ocurrir cambios en otros puntos del sistema, que lo permitan.
Para explicar mejor el procedimiento, consideremos el sistema de 3 barras de la Figura 3.6.-
Figura 3.6.- Sistema de tres barras para explicar el método de Gauss-Seidel YB
Sean:Barra 1: FlotanteBarra 2: de cargaBarra 3: de tensión controladaLa secuencia de cálculo aplicando el Método de Gauss-Seidel YB es:
1.- Especificar los datos necesarios: V1, q1, P2, Q2, P3, V3 y los parámetros para determinar la matriz YB
2.- Suponer los valores iniciales: V20, q2
0, q30. Normalmente se usa, 1.0 (pu) para los
módulos de voltaje y 0º para los ángulos; V3 está especificado3.- Calcular la tensión en la barra 2
(3.25)
4.- Calcular la potencia reactiva en la barra 3
(3.26)
5.- Verificar si está dentro de los límites establecidos 6.- Si se está dentro de los límites, determinar la tensión en la barra 3 según (3.27), mantener el valor especificado para V3 y cambiar el ángulo inicial por el determinado con (3.27)
(3.27)
7.- Si no se está dentro de los límites, reemplazar en (3.27) por el valor del límite
excedido, tomando el valor de calculado en (3.27) completo (módulo y ángulo)8.- Verificar que se cumpla el criterio de convergencia tal como se indica en ecuación (3.20), por ejemplo, en todas las barras. Si se cumple, el proceso de cálculo de las
tensiones finaliza y se determinan los flujos de potencia según ecuaciones (3.6) y (3.7) y las pérdidas en las líneas, ecuación (3.8).9.- Si el criterio de convergencia no se cumple, volver al punto 3 y repetir el proceso.
Ejemplo 3.1. Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2. Realizar una iteración con el método de Gauss-Seidel YB, para determinar el voltaje en todas las barras. Con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas, las pérdidas del sistema, la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificación de la potencia entregada a la carga SC1.
Solución:
a) Determinación de la matriz de admitancia de barras YB
b) Valores iniciales y otros datos
c) Proceso iterativo: Utilizando la ecuación (3.19)
Antes de determinar se debe calcular la potencia reactiva neta de la barra 2, expresión (3.22)
La tensión se determina usando de nuevo la expresión (3.19), es decir:
d) Cálculo de los flujos de potencia en las líneas: Usando las expresiones (3.6) y (3.7) y considerando que:
se tiene:
e) Pérdidas: Utilizando la ecuación (3.8) se tiene:
f) Potencia entregada por el generador de la barra slack
g) Verificación de la potencia recibida por la carga SC1
Observación: No corresponde exactamente al valor especificado para la carga. ¿Porqué?
Factores de Aceleración: La experiencia con el método de Gauss-Seidel YB
para el cálculo de flujos de potencia ha mostrado que se puede reducir, considerablemente, el número de iteraciones requeridas si la corrección en el voltaje de cada barra se multiplica por alguna constante que la incremente, para que el voltaje sea más cercano al valor al que se está aproximando. El multiplicador que realiza esto, se denomina factor de aceleración. La diferencia entre el valor de voltaje de la barra p calculado en la iteración actual Vp
k+1 y el mejor que se obtuvo en la iteración anterior (Vp
k,)ac se multiplica por un a apropiado para obtener una mejor corrección que se agrega a este último. Es decir:
(3.28)
La elección del valor de a depende del sistema en estudio. Hay valores óptimos
de los factores de aceleración para cualquier sistema. Una mala selección de ellos puede dar como resultado una convergencia menos rápida o hacerla imposible. Por lo general, en los estudios de flujos de potencia, a varía entre 1,3 y 1,8. Generalmente, un factor de aceleración de 1,6 para las componentes real e imaginaria es una buena selección. Sin embargo, es posible que el factor de aceleración utilizado para la componente real de la corrección pueda diferir del usado para la componente imaginaria.
3.5.3.- Método de Newton Raphson a. Formulación general: Es más sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen de cálculos, pero asegura convergencia en un mayor número de veces y además en forma más rápida. El problema matemático a resolver consiste en n relaciones no lineales del tipo f(xi)=0. Es decir, se trata de un sistema de n ecuaciones de la forma:
(3.29)
Supongamos una estimación inicial del vector: valores que se ponen
(3.30)
Al que le falta un residuo , para llegar a la solución correcta. Esto es, tener f(xi
0+Dxi0) = 0, aunque f(xi
0) ¹ 0( se puede desplazar la función). De ley se parte de un intervalo
El sistema se puede escribir ahora:
(3.31)
Desarrollando cada ecuación en serie de Taylor en torno a los valores x i0 se
tiene:
(3.32)
donde: fi : residuo en la serie de Taylor, que contiene los términos de orden
superior
: representa las correspondientes derivadas parciales, evaluadas en xi0
Como los Dxi0 son pequeños, se pueden despreciar los términos de orden
superior y se obtiene:
(3.33)
Matricialmente se puede escribir:
(3.34)
Es decir:
(3,35)
Donde cada vector y matriz está definido según las ecuaciones (3.34) y (3.35), o sea:
Vector función evaluada en xi0
Matriz Jacobiana evaluada en xi0
Vector residuo evaluado en xi0
A partir de (3.35), el vector residuo evaluado en ; se puede escribir:
(3.36)
En general entonces, el residuo en una iteración k es:
(3.37)
Suponiendo que se conoce (vector de valores aproximados de la variable),
entonces puede obtenerse una aproximación mejor de la forma:
(3.38)
Como se han despreciado los términos de orden superior, [xk+1] no será la solución correcta y se debe repetir el proceso en forma iterativa, hasta que se satisfaga algún criterio de convergencia, tal como:
(3.39)
b- Aplicación al cálculo de flujos de potencia: En el caso de un Sistema de Potencia, los xi corresponden a las tensiones de las barras (módulo y ángulo), de manera que la ecuación (3.37) se puede escribir como:
(3.40)en que:
(3.41)
donde: Pesp y Qesp son los valores de P y Q especificados o programados y Pcalc y
Qcalc son los respectivos valores que se van calculando en cada iteración. Para mayor comodidad, a los valores calculados, se les eliminará el superíndice calc, es decir, los designaremos simplemente como P y Q.
Según (3.21), los valores de P y Q en la barra p se pueden obtener a partir de:
(3.42)
Expresando los voltajes de barras en forma polar y las admitancias de línea en
forma rectangular se tiene que:
(3.43)
Reemplazando (3.43) en (3.42)noc, qpq = qp-qq se obtiene:
(3.44)
de (3.44) se obtiene finalmente:
(3.45)
A partir de (3.41) y (3.45), DP y DQ para la barra p se pueden determinar como:
(3.46)
Por lo tanto se puede escribir a manera de resumen:
a.- Para las barras PQ y PV
(3.47)b.- Para las barras PQ
(3.48)c.- Para la barra slack no se requiere ecuaciones.
En las ecuaciones anteriores, las magnitudes de las tensiones en las barras PV y slack al igual que el ángulo en la barra slack no son variables, sino que se mantienen en sus valores especificados. Por lo tanto, el sistema formulado incluye dos ecuaciones para cada barra PQ y una para cada barra PV. Las variables del problema son V y q para cada barra PQ y q para cada barra PV.
Por razones prácticas se da a la barra slack el número n y se colocan los primeros números a las barras PQ. Luego si se tiene m barras PQ, se tendrá (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV).
La Ecuación (3.40) queda entonces: Barras de control
(3.49)
Con DP y DQ calculados según (3.46) Luego, los valores actualizados para q y V son:
(3.50)
Despejando DP y DQ de (3.49), considerando (3.34) y arreglando
adecuadamente, para hacer más fácil el manejo de las ecuaciones, se tiene:
(3.51)
Si se tiene n nodos, m de carga, 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado las
dimensiones de las submatrices que forman el Jacobiano son: [H] es de (n-1) x (n-1) [N] es de (n-1) x m[M] es de m x (n-1) [L] es de m x m
De acuerdo con lo anterior, la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de
dimensión [(n-1)+m] x [(n-1)+m]A partir de (3.51), se obtiene que:
(3.52)
Considerando (3.46), se pueden determinar todos los elementos de la matriz
Jacobiana como sigue:para p ¹ q
(3.53)
Se puede apreciar, que por la forma de la ecuación (3.51):
(3.54)
Para p = q
(3.55)
Las expresiones (3.54) y (3.55) muestran lo importante que fue el haber
planteado la matriz Jacobiana tal como se hizo en (3.51). Utilizando este tipo de coordenadas, el valor de Q en las barras PV puede ser calculado luego que el proceso haya convergido.
El proceso mediante el método de Newton-Raphson para calcular los voltajes en las barras, se muestra en la Figura 3.8, luego de lo cual se determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas.
Figura 3.8.- Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton-Raphson
En estricto rigor, la matriz Jacobiana se calcula e invierte en cada iteración. Sin
embargo, en la práctica se recalcula usualmente sólo un determinado número de veces en un rango de iteraciones, con el fin de aumentar la velocidad al proceso iterativo.
Ejemplo 3.2. En el sistema del ejemplo 3.1 y, considerando los valores de voltajes obtenidos mediante el método de Gauss-Seidel, determine el Jacobiano completo en la iteración 1
Solución: La matriz Jacobiana queda de la siguiente forma:
Los elementos de la matriz Jacobiana se obtienen utilizando las expresiones (3.53) para p¹q y (3.55) para p=q; por lo tanto, para los elementos de la diagonal se deben determinar previamente P y Q, utilizando (3.45) y considerando los resultados obtenidos en el ejemplo 3.1, que se resumen a continuación:
; ;
Con (3.45) se obtiene:P1=-0,6628; P2=0,1948; Q1=-0,235; Q2=-0,2865
Con (3.53) y (3.55), la matriz Jacobiana queda:
3.5.4.- Método de Newton-Raphson desacoplado (MNRD)
Cuando se resuelven problemas que involucren un número considerable de barras, este método representa una alternativa para mejorar la eficiencia computacional y reducir los requerimientos de memoria. Se hace uso de una versión aproximada del método de Newton-Raphson completo visto en 3.5.3., basada en las siguientes consideraciones:- Un cambio en el ángulo del voltaje q en una barra afecta principalmente al flujo de potencia activa P en las líneas y débilmente a la potencia reactiva Q, lo que significa
que: - Un cambio en el módulo del voltaje V en una barra afecta principalmente al flujo de potencia reactiva Q en las líneas y débilmente a la potencia activa P. Por lo tanto:
De acuerdo con esto, en la ecuación (3.51) N y M se pueden despreciar frente a L y H respectivamente y se puede escribir:
(3.56)
o bien:
(3.57)
(3.58)
Estas ecuaciones están desacopladas, en el sentido que las correcciones de
los ángulos de los voltajes se calculan usando sólo los cambios en la potencia activa mientras que las correcciones en la magnitud de los voltajes se determinan sólo con los cambios en la potencia reactiva. Sin embargo, las matrices [H] y [L] son
interdependientes, porque los elementos de [H] dependen de las magnitudes de los voltajes que se están resolviendo en la ecuación (3.58), mientras que los elementos de [L] dependen de los ángulos de la ecuación (3.57). El procedimiento natural es ir resolviendo alternadamente los dos sistemas de ecuaciones usando en uno, las soluciones más recientes del otro. Esta aproximación significa aumentar el número de iteraciones, lo que en la práctica queda compensado por el menor tiempo en cada iteración, debido a la disminución del tiempo ocupado en la inversión de las matrices [H] y [L] de menor dimensión que la del Jacobiano completo.
Ejemplo 3.3. A partir del ejemplo 3.2 escriba la matriz jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado. Eliminando las submatrices N y M se tiene:
3.5.5. Método de Newton-Raphson desacoplado rápido (MNRDR)
El método de Newton Raphson desacoplado, sigue requiriendo la inversión de dos matrices en cada iteración. Para evitar estos cálculos, se introducen más simplificaciones que se justifican por las características que presentan los flujos de potencia en las líneas y los voltajes en las barras de un sistemas de transmisión bien diseñado y operando apropiadamente. Estas características son:3.6.4. - Las diferencias angulares qpq = qp-qq entre los voltajes de dos barras típicas son, por lo general, tan pequeños que:3.6.5.
(3.59)
- Las susceptancias Bpq de las líneas son mucho más grandes que las conductancias Gpq, por lo que:
(3.60)
- La potencia reactiva Qp que se inyecta a cualquier barra p del sistema durante su operación normal es mucho menor que la potencia reactiva que fluiría si todas las líneas de la barra estuvieran en cortocircuito con la referencia. Esto es:
(3.61)
Con estas aproximaciones, y usando (3.45) se tiene:
(3,62)
Es decir:
(3.63)
(3.64)
A partir de (3.63) y (3.64) y considerando (3.46), los elementos de [H] y [L] se obtienen como sigue:
(3.65)
(3.66)
(3.67)
según (3.61), las ecuaciones (3.66) y (3.67) quedan:
(3.68)
Considerando (3.57) y (3.58), para el nudo p se puede escribir:
(3.69)
(3,70)
Introduciendo (3.65) y (3.68) en (3.69) y (3.70) se obtiene:
(3.71)
(3.72)
Dividiendo ambas ecuaciones por Vp y simplificando los voltajes de la ecuación (3.72) se puede escribir:
(3.73)
(3.74)
Se ha reducido la no linealidad de las ecuaciones, lo que debería permitir mejorar el comportamiento del proceso iterativo. Si fijamos arbitrariamente los Vp y Vq
del segundo miembro de la ecuación (3.73) en 1.0(pu), los coeficientes de ambas ecuaciones quedan iguales, es decir:
(3.75)
(3.76)
Matricialmente se tiene:
(3.77)
(3.78)
donde B’ es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB, sin la fila y columna correspondiente a la barra slack y B” es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB sin las filas y columnas correspondientes a las barras slack y PV
Una estrategia típica de solución es:1.- Calcular los errores iniciales DP/V2.- Resolver la ecuación (3.77) para determinar Dq3.- Actualizar los ángulos q y usarlos para calcular los errores DQ/V4.- Resolver (3.78) para calcular DV5.- Actualizar las magnitudes del voltaje V y usarlas para calcular los nuevos errores DP/V6.- Volver al punto 2. y repetir el proceso hasta que todos los errores estén dentro de la tolerancias especificadas.
Ejemplo 3.4. Para el ejemplo 3.1 escriba la matriz Jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado rápido.
Solución: A partir de los valores de la matriz [B] del Ejemplo 3.2 se tiene:
3.6.- Flujo de Carga “DC” o Flujo de Potencia en Corriente Continua
Recibe este nombre no porque se aplique a sistemas que operan con corriente continua. El método es aplicable a los Sistemas Eléctricos de Potencia que operan a corriente alterna haciendo ciertas simplificaciones que permitan analizar la red como si fuera de corriente continua, teniendo la ventaja de que se trabaja con números reales, simplificando mucho los cálculos. Sin embargo, sólo se obtienen los flujos de potencia activa.
El análisis considera la base fundamental de los flujos de potencia en corriente alterna ya estudiados.
Consideremos la línea conectada entre los nudos p y q de la Figura 3.9.-
Figura 3.9.- Modelo de una línea de transmisión para el cálculo de flujo de potencia DC
La potencia compleja que va desde la barra p a la barra q es:
(3.79)
Sea:
(3.80)
(3.81)
Entonces:
(3.82)
Es decir:
(3.83)
Por lo que la potencia activa entre las barras p y q es:
(3.84)
suposiciones simplificatorias:
a) a) Vp = Vq = 1.0 (pu)b) b) Rpq << Xpqc) c) qpq = qp - qq es muy pequeño
A partir de b) y considerando (3.81) se tiene que:
(3.85)
(3.86)
Según c)
Por lo tanto (3.84) queda:
(3.87)
Para una red eléctrica que tiene n nudos la potencia neta inyectada en cada nodo se pueden escribir:
(3.88)
donde q considera todos los nodos directamente conectados al nodo p. Luego, para los n nudos se tiene:
(3.89)
o sea:
(3.90)
en que:
: Vector de potencias activas netas en cada barra
: Matriz de susceptancias del sistema
: Vector de ángulos de las tensiones de barra
Los elementos de la Matriz [B] se determinan como sigue:
con p ¹ referencia (3.91)
q incluye todas las líneas conectadas al nudo p
con p = referencia (3.92)
con p ¹ referencia y q ¹ referencia (3.93)
con p = referencia o q = referencia (3.94)
De acuerdo con lo indicado en las expresiones (3.91) a (3.94), la matriz , tal como se planteó en (3.89) es singular ya que la fila y columna correspondientes a la barra de referencia contienen solamente ceros. Así, para un sistema de n barras sólo hay (n-1) ecuaciones linealmente independientes, por lo que se debe considerar la submatriz de [B] con dimensión (n-1)x(n-1), la que puede invertirse para solucionar el problema del cálculo de los ángulos de fase de las tensiones de las barras. A partir de (3.90) se obtiene entonces:
(3.95)
Como se aprecia, el procedimiento es muy sencillo, ya que el sistema es lineal y por lo
tanto todos los ángulos de las tensiones de las barras se pueden determinar utilizando
(3.95) para luego mediante (3.87), determinar los flujos de potencia activa en las líneas.
Ejemplo 3.5. Resuelva el Ejemplo 3.1 utilizando el método de Flujo DC.
Solución: A partir de los parámetros dados en el ejemplo 3.1 se tiene:
Por otra parte: P1=-0,6; P2=0,2; luego, la ecuación matricial queda, según (2.90):
Resolviendo la ecuación se obtiene:
Con estos valores se determinan los flujos de potencia activa en las líneas, utilizando (3.87)
La potencia que entrega el generador en la barra slack es:
La potencia recibida por la carga es:
3.7. Problemas propuestos
3.1. En el sistema mostrado en la Figura 3.10, empleando el método de Gauss Seidel-
YB, calcular la tensión en las barras 2 y 3 en la segunda iteración y la potencia compleja entregada por el generador en estas condiciones. La tensión en la barra 1 se mantiene constante en su valor nominal y los datos en % están dados considerando SB=100 MVA.
3.2. En el sistema de la Figura 3.11 y empleando el método de Gauss-Seidel-YB, determinar:
a. La tensión en la barra 3 considerando que b. Las potencias activa y reactiva suministradas por el Generador G y las pérdidas de potencia activa y reactiva del sistema.
Figura 3.10 Figura 3.11
3.3. Para el sistema de la Figura 3.12, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2.a. Determinar el voltaje en todas las barras, haciendo dos iteraciones con el método de
Gauss-Seidel YB y con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas. b. Determinar los elementos del Jacobiano desacoplado rápido del sistema.c. Correr un flujo DC y determinar los ángulos de los voltajes, los flujos de potencia activa en las líneas y la potencia activa entregada por el generador G3
3.4. La Figura 3.13 muestra un sistema de tres barras. La barra 1 es la barra slack y su voltaje es 1,05 (pu), la barra 3 es de tensión controlada (BTC) y el módulo del voltaje en ella está especificado en 1,05 (pu). La potencia reactiva del condensador síncrono puede variar entre 0 y 0,6 (pu). Determinar: a. Las tensiones en las barras, haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YBb. Los flujos de potencia activa y reactiva en las líneasc. Las pérdidas de potencia activa y reactivad. La potencia compleja entregada por el generador G1e. La potencia reactiva suministrada por el condensador de la barra 3.
3.5. En el sistema de la Figura 3.13, suponga que los valores de las tensiones en una iteración cualquiera son: V1 = 1,05 0º; V2 = 1,04 -2,5º; V3 = 1,05 -1,5º. Determinar:a. El Jacobiano completo en esa iteraciónb. El Jacobiano desacopladoc. La matrices [B'] y [B"]
Figura 3.13
3.6. En el sistema de dos barras de la Figura 3.14, los datos en pu están en base 100 MVA, la barra 1 es la barra slack y su voltaje es 1,04 (pu). En la barra 2, hay un compensador síncrono (CS) que mantiene constante el módulo del voltaje en 1,05 (pu). a. Determinar el voltaje en la barra 2 haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YB y con los valores anteriores, calcular la potencia reactiva que debe entregar (recibir) el compensador síncrono y las potencias activa y reactiva que debe entregar (recibir) el generador.b. Determinar los elementos de la matriz Jacobiana completa, considerando que los voltajes en la barra 1 y 2 son de 1,04 0º y 1,05 -4.5º respectivamente.
Figura 3.14
3.7. En el sistema de la Figura 3.15, la barra 3 es BTC con una tensión de 1 (pu). Empleando el método de Gauss-Seidel-YB, determine:
a. La tensión en la barra 3, considerando que <= 0,5b. Las potencias activa y reactiva suministradas por el Generador G y las pérdidas de potencia activa y reactiva del sistema. c. La potencia reactiva que debe entregar el condensador ubicado en la barra 3. Los datos están en pu base 100 MVA.
Figura 3.15
4.1.- INTRODUCCION
Las condiciones anormales de funcionamiento de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), se deben a fenómenos transitorios, los cuales se pueden clasificar, de acuerdo al tiempo de duración en las siguientes categorías:
a.- Fenómenos transitorios ultrarápidos
Corresponden sustancialmente a descargas atmosféricas sobre las líneas de transmisión y a los fenómenos producidos por operaciones de conexión y desconexión de diversos componentes de la red del SEP. (fundamentalmente, las líneas). Las perturbaciones de este tipo dan origen a ondas de tensión y corriente que viajan prácticamente a la velocidad de la luz, pero su efecto dura unos pocos milisegundos después de iniciado. Sin embargo, los procesos de reflexión de las ondas producen elevadas tensiones que pueden llegar a destruir el equipo asociado a las líneas.
La razón del estudio de estos fenómenos radica en el hecho de que su análisis suministra las bases necesarias para la selección adecuada del nivel de aislación de los equipos eléctricos asociados a las líneas y de las líneas mismas.
b.- Fenómenos transitorios medianamente rápidos
En este grupo se incluyen los fenómenos causados por cambios abruptos de la estructura del SEP, o sea los cortocircuitos o líneas abiertas. Usualmente, sólo los 10 primeros ciclos son de importancia práctica y se estudian en el rango de 10 a 100 milisegundos siguientes a la falla.
c.- Fenómenos transitorios lentos
Cuando ocurre un cortocircuito en una línea de transmisión importante y no se
desconecta oportunamente la sección afectada, puede producirse uno de los
fenómenos más peligrosos de un SEP, esto es, oscilaciones mecánicas de los rotores
de los generadores. Se producen fenómenos transitorios electromecánicos que se
estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria.
Las oscilaciones mecánicas de los rotores son relativamente lentas, en
consecuencia, los estudios de estabilidad transitoria se realizan en el rango de
fracción de segundo hasta un minuto.
Debido a los fenómenos transitorios se pueden producir en un SEP, diversas alteraciones que reciben el nombre de fallas. Sin embargo, dentro del curso, designaremos como fallas a los cortocircuitos y las fases abiertas.
4.2. Tipos de fallas
- Cortocircuitos: Trifásico simétrico, aislado o a tierra, bifásico aislado (cortocircuito entre 2 líneas), bifásico a tierra (entre dos líneas y el conjunto a tierra) y monofásico (una línea conectada a tierra).
- Fases abiertas: Una fase abierta, dos fases abiertas y tres fases abiertas. La última situación significa que la línea o dispositivo sale completamente de servicio.
Los cortocircuitos trifásicos dan origen a fallas simétricas pues el SEP permanece eléctricamente balanceado, en cambio los cortocircuitos bifásicos aislado y a tierra y el monofásico, así como 1 ó 2 fases abiertas corresponden a fallas asimétricas, ya que el sistema queda eléctricamente desbalanceado en el punto de falla.
En el caso de fallas simétricas, el cálculo se realiza en base a una representación monofásica (por fase) de la red del SEP y se aplican las técnicas normales de análisis de circuitos. Para el cálculo de las fallas asimétricas, resulta conveniente utilizar al Método de las Componentes Simétricas.4.3.- CALCULO DE CORTOCIRCUITOS
En general las corrientes de cortocircuito alcanzan magnitudes mucho mayores
que los valores nominales de los generadores, transformadores y líneas. Si se
permite que estas corrientes circulen por un período prolongado, pueden causar un
serio daño térmico al equipo y problemas de estabilidad de funcionamiento en el
SEP.
En este aspecto, el tipo de cortocircuito más severo es el trifásico, el que
además de dar valores elevados de corriente, reduce a cero la capacidad de
transmisión de una línea, lo siguen los cortocircuitos bifásico y finalmente el
monofásico . En cambio, el tipo mas frecuente es el monofásico (aproximadamente
el 75 % de los casos) y el menos frecuente es el trifásico (aproximadamente el 5 %
de los casos).
En muchas oportunidades las corrientes de cortocircuito se auto extinguen y se
reestablece la aislación . Debido a este hecho, se utilizan en la práctica interruptores
que reconectan automáticamente la línea dañada, una, dos o más veces para
probar si la falla se ha eliminado. Sólo en el caso de que la falla persista, el
interruptor desconecta la línea en forma definitiva.
4.3.1.-Objetivos del Cálculo de Cortocircuitos
a. - Definir la capacidad de ruptura de los interruptores necesarios en las diversas partes de un SEP, para lo que se realiza normalmente un cálculo de cortocircuito trifásico simétrico, debido a que este tipo de falla produce las corrientes de cortocircuito más elevadas en la mayoría de los casos.b. - - Ayudar a establecer un sistema adecuado de protección para diversas condiciones de falla, para lo que se debe realizar un cálculo de distribución de corrientes en la red del SEP tanto para cortocircuitos simétricos como asimétricos (usualmente el cortocircuito monofásico).
En general, el Cálculo de Cortocircuitos debe proporcionar los siguientes resultados:
- La corriente en el punto de falla
- La potencia de cortocircuito en el punto de falla
- La distribución de corrientes post-falla en todas las líneas del SEP
- Las tensiones post-falla en todas las barras
4.3.2.-Aproximaciones
a.-Las máquinas síncronas se representan por los circuitos equivalentes aproximados, que se muestran en la Fig. 4.1
Fig 4.1.- Circuito equivalente para las Maquinas Síncronas
b.-Las cargas, cuando se estima necesario incluirlas, se suponen independientes de la tensión y se representan por una impedancia o admitancia equivalente.
c.-Todas las tensiones internas de los generadores se suponen iguales entre si e iguales a 1,0 (pu)
d.-Se desprecian las corrientes pre-falla
e.-En muchos casos se desprecian las resistencias de los elementos y sólo se consideran sus reactancias
f.-Los transformadores con cambio de Taps se consideran en su razón nominal
4.4.-CORTOCIRCUITOS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS
4.4.1.-Comportamiento de un generador en condiciones de cortocircuito trifásico simétrico
a.- El generador en vacío antes de producirse la falla
La corriente que circula por cada fase del generador en cortocircuito, es similar a la que circula por un circuito R-L serie, alimentado brúscamente por una fuente de tensión sinusoidal; es decir, la corriente es asimétrica respecto al eje de tiempo y disminuye en forma exponencial. Sin embargo, existe una diferencia fundamental y ella radica en el hecho de que la reactancia del generador no permanece constante durante el fenómeno (Fig. 4.1.-).
Las corrientes en las 3 fases de un generador en cortocircuito, se ilustran en la Fig 4.2.-
Usualmente la corriente continua no se considera en el análisis y su efecto se considera posteriormente en el cálculo de las corrientes instantáneas y de interrupción de los interruptores. Despreciando el efecto de la componente continua, la corriente de cortocircuito de una fase cualquiera, resulta simétrica, como se muestra en la Fig. 4.3, que corresponde a un generador con enrollados amortiguadores y en vacío antes de producirse la falla.
Fig 4.2.- Corrientes de cortocircuito en un Generador Síncrono
Fig 4.3.- Corriente de cortocircuito en un G. S. Despreciando la componente de CC
Directamente de la Fig. 4.3 se definen los siguientes valores eficaces de corrientes de cortocircuito.
- Corriente subtransiente (4.1)
- Corriente transiente (4.2)
- Corriente permanente (4.3)
b.- El generador en carga antes de la falla
En este caso, la fuerza electromotriz (fem) interna E se va modificando a medida que transcurre el fenómeno y, para determinar las corrientes subtransiente y transiente de cortocircuito se deben considerar los circuitos mostrados en las Figura 4.4 y 4.5, respectivamente, donde Ze es una impedancia externa que puede existir entre los terminales del generador y el punto de Falla F y Zc es la impedancia del consumo.
Fig 4.4.- Circuito Subtransiente Fig. 4.5.-Circuito Transiente
Para realizar el cálculo se pueden emplear dos procedimientos
bl.- Aplicando el teorema de Thevenin en el punto de Falla
En la Fig. 4.4.-, sean:
VF(0): tensión en el punto F antes de producirse la falla
I* : corriente subtransiente de cortocircuito
ZTH :Impedancia equivalente de Thevenin calculada desde los puntos de falla,
donde:
(4.4)
Por lo tanto el circuito de la Fig. 4.4.- se transforma en el de la Fig. 4.6.-
Fig. 4.6.-Circuito equivalente de Thevenin en Régimen subtransitorio
Luego:
(4.5)
de la misma forma, para la figura 4.5.- se tiene:
(4.6)
b2.- Empleando las tensiones detrás de las reactancias subtransiente o transiente
Cuando circula corriente de carga antes de la falla, se pueden visualizar tres tensiones internas posibles y sus correspondientes reactancias según se mencionó antenormente. Las Figuras 4.7 a) y b) muestran los circuitos equivalentes y los diagramas fasoriales respectivos.
Figura 4.7.- Cálculo de Corriente de Cortocircuito, empleando las tensiones internas. a) Circuito Equivalente b) Diagrama Fasorial
A partir de la Figura 4.7.- se puede escribir :
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Luego, las corrientes de falla son:
(4.10)
(4.11)
(4.12)
c.- Concepto de Potencia de Cortocircuito
Durante un cortocircuito trifásico simétrico en un SEP, las tensiones en las barras no falladas disminuyen. La magnitud de la caída de tensión en las barras es una indicación de la capacidad de SEP para reaccionar frente al cortocircuito. Es conveniente disponer de una medida de esta propiedad del sistema como asimismo de la severidad de la falla. Ambos objetivos se pueden cumplir definiendo una cantidad denominada "Potencia de cortocircuito", "Capacidad de cortocircuito", o "nivel de falla" de la barra fallada.
Consideremos una barra (p) cualquiera del SEP en la cual se ha producido un cortocircuito trifásico simétrico.
Figura 4.8.- SEP con un cortocircuito trifásico en la barra p
Sean: Vp(0) : tensión en la barra p antes de producirse la falla
Ipf : corriente de cortocircuito o de falla en la barra p.
Entonces, por definición, la potencia de cortocircuito Scc en la barra p será :
Scc = Vp(0) Ipf
(4,13)
Por otra parte si VB e IB son el voltaje base y la corriente base en el sector que corresponde a la barra p, se puede demostrar que:
o bien: (4.14)
en que Zpf es la impedancia de cortocircuito en la barra (p) y corresponde a la impedancia equivalente de Thevenin calculada desde la barra p hacia el interior del SEP.
d.- Algunos antecedentes relativos a la selección de interruptores
Los valores de corriente suministrados por un cálculo de cortocircuito, corresponden a corrientes simétricas respecto al eje del tiempo y por lo tanto no incluyen la componente de corriente contínua. En la selección de interruptores debe tenerse en cuenta la componente de corriente continua, por ello se distinguen dos valores de corriente:
- Corriente instantánea
Es la corriente que debe soportar un interruptor inmediatamente después de ocurrida la falla. Para determinarla, se calcula en primer lugar la corriente simétrica de cortocircuito utilizando las reactancias subtransientes de los generadores, motores sincrónicos y de inducción. Luego, el valor así calculado, se multiplica por un factor que depende de la tensión de operación del interruptor. Los factores usualmente empleados se indican en la Tabla 4.1.
Tabla 4.1.- Factores de corrección para la corriente instantánea
- Corriente de interrupción
Es la corriente que un interruptor debe ser capaz de interrumpir en el momento que se abren sus contactos. Para determinar su valor, se procede primero a calcular la corriente simétrica de cortocircuito y luego se aplica un factor que depende de la velocidad de operación del interruptor. La Tabla 4.2 muestra algunos valores típicos.
Tabla 4.2.- Factores de corrección para la corriente de interrupción
Para el cálculo se recomienda emplear las reactancias subtransientes de los generadores, las reactancias transientes de los motores y condensadores síncronos. Los motores de inducción no se consideran.
Ejemplo 4.1. En el sistema de la Figura 4.9, los datos en pu están en base 2.000 kVA y 480 Volt. Si ocurre un cortocircuito trifásico en la barra m, cuando el voltaje en esta barra es el nominal y los motores están trabajando en condiciones nominales, determinar la corriente subtransitoria de falla (Amperes) en cada uno de los motores y en la línea, así como la corriente de falla en la barra m, considerando la corriente de pre-falla y utilizando:a. El método de las tensiones internas b. El método de Thevenin
Figura 4.9.- SCC3Ø es la Potencia de Cortocircuito trifásico en la barra del sistema.
Solución:
a) Cálculos previos:
Figura 4.10
b) Método de las tensiones internas: Figura 4.10
En falla, Vm=0; por lo tanto, del circuito (Figura 4.11):
Figura 4.11
Valores en amperes: Multiplicando por la corriente base se obtiene:
d) Usando el Teorema de Thevenin
A partir de la Figura 4.10, cortocircuitado las fuentes de tensión se obtiene la Impedancia de Thevenin:
Además, VTH=Vm(0)=1 0º (pu)
4.4.2.- Cortocircuitos trifásicos simétricos en un SEP
a.- Método tradicional
Como en el caso de un cortocircuito trifásico simétrico, el SEP queda balanceado, es posible trabajar utilizando el circuito equivalente por fase, con las aproximaciones usuales, aplicando Thevenin en el punto de falla. El método es cómodo para resolver problemas con pocos nudos; sin embargo, cuando se trata de sistemas de mayor tamaño, resulta poco práctico. Por otra parte, para calcular un cortocircuito en otra barra es necesario hacer de nuevo todos los cálculos. Adicionalmente, la determinación de los voltajes en las otras barras y el cálculo de las corrientes en las líneas significa resolver la red completa del SEP.
b.- Cálculo sistemático de Cortocircuitos trifásicos (Método general)
Cuando se trata de sistemas de gran magnitud, los cálculos manuales resultan demasiado engorrosos y se debe recurrir al uso de los computadores digitales. El procedimiento que se sigue, en vez de calcular las corrientes en el punto de falla, para luego repartirlas en todo el sistema; consiste en calcular directamente las tensiones en los distintos nudos, con ayuda de un modelo nodal de impedancias. Conocidas las tensiones durante la falla, pueden calcularse a continuación las corrientes por las diversas ramas. Debido a la rapidez del cálculo digital, la matriz de impedancia puede por ejemplo, incluir las admitancias paralelo tales como las asociadas a las cargas.
Las tensiones, post-falla se pueden obtener como la superposición de la situación prefalla (obtenida normalmente de un cálculo de flujo de potencia) con la situación durante la falla solamente, es decir :
(4.15)
donde : :Vector de tensiones post falla
:Vector de tensiones prefalla
:Vector de tensiones debido sólo a la falla:
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Aplicando el método de resolución nodal a la red del SEP, después de falla se tiene:
(4.19)
En que [IF]es el vector de corrientes (de falla) inyectadas en las distintas barras y [ZB] es la matriz de Impedancia de barras que corresponde a la inversa de la matriz de admitancia de barras [YB] ; definidas como:
(4,20)
(4.21)
Como en realidad no se inyecta corriente en ninguna de las barras, sino que se extrae corriente exclusivamente desde la barra fallada (por ejemplo, la barra p), entonces sólo uno de
los elementos del vector de corrientes inyectadas es distinto de cero y vale
Introduciendo (4.19), (4.20) y (4.21) en (4.15), considerando (4.16), (4.17) y lo dicho
recién respecto a la corriente se obtiene:
(4.22)
Si existe una impedancia de falla ZF entre la barra fallada p y tierra se tiene:
(4.23)
reemplazando (4.23) en la p-ésima ecuación de (4.22) se obtiene finalmente:
(4.24)
expresión que permite calcular la corriente en la barra fallada. Así mismo, el voltaje en esta barra es:
(4.25)
Análogamente se puede obtener el voltaje en cualquier otra barra y la corriente de falla en una línea cualquiera conectada entre las barras p y q cuya impedancia es zpq:
(4.26)
(4.27)
Ejemplo 4.2. En el sistema de la Figura 4.12, todos los datos en por unidad, están en base común. Determinar las corrientes en cada una de las líneas y en los generadores, cuando ocurre un cortocircuito trifásico simétrico en la barra 2, estando el sistema en vacío y utilizando: a. El método tradicionalb. El método general (Matricial)
Figura 4.12
Solución:a) Método tradicional: El circuito equivalente se muestra en la Figura 4.13. Para encontrar la impedancia de Thevenin en la barra 2 es necesario reducirlo. La Figura 4.14 muestra el circuito anterior donde se ha realizado una transformación de Delta a Estrella entre los nudos 1, 2 y 3. Los valores de la estrella equivalente son:
A partir del circuito de la Figura 4.14, la impedancia equivalente de Thevenin en la barra 2 queda:
Figura 4.13 Figura 4.14
El circuito equivalente de Thevenin queda tal como se muestra en la Figura 4.15, donde, debido a que el cortocircuito es directo, se tiene que V2F=0 y, por lo tanto:
Figura 4.15
Considerando la Figura 4.14 se pueden determinar las corrientes y voltajes:
b) Método general: Considerando el circuito de la Figura 4.13, se determina la matriz YB, que resulta:
Utilizando las expresiones (4.24) a (4.27) con ZF=0 se obtienen:
Las corrientes en los generadores se determinan aplicando la Ley de Kirchhoff de corrientes en los nudos 1, 2 y 3 respectivamente:
4.5.- Cortocircuitos Asimétricos
4.5.1.- Componentes simétricas
El cálculo de cortocircuitos asimétricos en un SEP, se realiza normalmente empleando el método de las componentes simétricas, por lo que es conveniente iniciar este estudio resumiendo algunos puntos fundamentales relacionados con su teoría.
El Método de las Componentes Simétricas se basa en el teorema de Fortescue. Se trata de un método particular de transformación lineal que consiste básicamente en descomponer un conjunto de fasores desbalanceados en otro conjunto de fasores de características tales que permitan un análisis más sencillo del problema original. En el caso particular de tensiones y corrientes trifásicas desequilibradas, este método los transforma en tres sistemas de fasores balanceados. Los conjuntos balanceados de componentes son: - Componentes de secuencia positiva: formado por tres fasores de igual
magnitud, desfasados 120° entre si y con la misma secuencia de fase que el sistema original.
- Componentes de secuencia negativa: formado por tres fasores de igual módulo, con desfase de 120° uno de otro y con la secuencia de fases opuesta a la de los fasores originales.
- Componentes de secuencia cero: formada por tres fasores de igual módulo y con desfase nulo.
Cuando se resuelve un problema utilizando componentes simétricas, se
acostumbra designar las tres fases del sistema como a, b y c, de forma que la secuencia de fase de los voltajes y las corrientes en el sistema es abc. Así, la secuencia de fase de las componentes de secuencia positiva es abc y la secuencia de fase de las componentes de secuencia negativa es acb. Si los fasores originales de voltaje se designan como Va, Vb y Vc, los tres conjuntos de componentes simétricas se designan agregando un subíndice (o superíndice) adicional 1 para las componentes de secuencia positiva, 2 para las de secuencia negativa y 0 para las de secuencia cero. Una vez obtenidos los resultados en el dominio de las componentes simétricas, los valores reales en cantidades de fase se calculan haciendo uso de una transformación inversa adecuada.
b. Relación entre voltajes(corrientes) de secuencia y de fase
La Figura 4.16.- muestra los tres sistemas equilibrados de vectores (considerándolos como tensiones) y la suma gráfica de los componentes para obtener los fasores desbalanceados.
Figura 4.16.- Componentes de secuencia: a) positiva, b) negativa, c) cero. d) Suma gráfica de ellas
Como cada uno de los vectores desequilibrados originales es igual a la suma de sus componentes, se puede escribir:
(4.28)
Si se consideran como referencia los fasores Va1, Va2 y Va0, respectivamente se tiene:
(4.29)
Designando como "a", al operador que origina un desplazamiento de 120º, es
decir:
(4.30)
e introduciendo las expresiones (4.29) y (4.30) en (4.28), esta última se puede escribir como:
(4.31)
La ecuación (4.31) se puede escribir en forma matricial, tal como se muestra en la expresión (4.32) siguiente:
(4.32)
o bién:
(4.33)
donde:
(4.34)La matriz de transformación T permite obtener las componentes de fase abc a
partir de las de secuencia 012 .Esta matriz es no singular y por lo tanto existe su inversa, de manera que es posible obtener las componentes de secuencia 012 a partir de las de fase abc. Premultiplicando (4.33) por la inversa de T, se obtiene:
(4.35)
en que:
(4.36)
y la ecuación (4.35) queda
(4.37)
Las ecuaciones (4.32) y (4.37) son válidas también para las corrientes, es decir:
(4.38)
De la segunda ecuación de (4.38) se puede concluir que si en un sistema trifásico no existen conductor neutro o conexiones a tierra, o si el sistema está balanceado, la corriente de secuencia cero es nula.
c.Potencia en función de los componentes simétricas
Si se conocen las componentes de secuencia de la corriente y tensión, se puede calcular directamente la potencia suministrada en un circuito trifásico a partir de las componentes. La potencia compleja total transmitida en un circuito trifásico por 3 líneas; a, b y c viene dada por:
(4.39)
en que Va, Vb y Vc son las tensiones respecto al neutro en los terminales e Ia, Ib e Ic las corrientes que entran al circuito por las tres líneas. Puede existir o no neutro.
Matricialmente se tiene:
(4.40)
Introduciendo (4.33) y (4.38) en (4.40) y haciendo las operaciones correspondientes se obtiene:
(4.41)
Es decir, esta transformación no es invariante a la potencia compleja. 4.5.2.- Circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes de un SEP
La aplicación del método de las componentes simétricas al cálculo de cortocircuitos asimétricos implica que cada componente del SEP se representa por tres circuitos equivalentes monofásicos, correspondiendo cada uno a una determinada secuencia. En cada uno de estos circuitos equivalentes las variables tensiones y corrientes corresponden a una misma secuencia y las impedancias asociadas a los elementos reciben el nombre de impedancia a la secuencia que corresponde. Veremos a continuación, los circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes del sistema. - Líneas
Las líneas se representan de la siguiente forma:
Figura 4.17.- Circuitos equivalentes de secuencia: a) Positiva; b) Negativa y c) cero de líneas de transmisión
Generalmente: Z1 = Z2 ¹ Z0; ya que en secuencia cero es necesario considerar
tanto el efecto del retorno por tierra, como el de los conductores de guardia, en caso que ellos existan, ya que la corriente se reparte por ambos caminos - Generadores
Un generador de rotor cilíndrico operando en condiciones de carga balanceada y despreciando el efecto de la resistencia de sus enrollados, se puede representar según el circuito equivalente que se muestra en la Figura 4.18.- Directamente de esta figura se puede escribir:
(4.42)
o bien:
(4.43)
Figura 4.18.- Generador de rotor cilíndrico operando en condiciones balanceadas
El análisis de un generador operando en régimen permanente y con carga desbalanceada, es mucho más complicado que el caso anterior; sin embargo, sus ecuaciones de comportamiento tienen la misma forma, variando sólo en la matriz de impedancia.
Se puede demostrar que en este caso:
(4.44)
donde: Zs, Zm1 y Zm2 son funciones complicadas de las inductancias propias y mutuas de todos los enrollados de la máquina. Esta matriz se puede transformar a una matriz de impedancia de secuencia, utilizando la siguiente expresión:
(4.45)
Introduciendo (4.44) en (4.45) y haciendo las operaciones respectivas se obtiene:
(4.46)
donde:
(4.47)
Se observa aqui, que Z0, Z1 y Z2 son distintas y que no existe impedancia mútua entre las redes de secuencia, ya que los elementos fuera de la diagonal de la matriz de impedancia de secuencia son todos nulos. Esto significa, que las redes de secuencia resultan desacopladas.
La expresión (4.43) en componentes simétricas queda:
(4.48)
Es decir:
(4.49)
o bien:
(4.50)
Estas ecuaciones permiten representar elgenerador mediante tres circuitos monofásicos independientes (uno para cadasecuencia). La Figura 4.19 muestra los circuitos equivalentes de secuencia de ungenerador síncrono, donde se ha considerado que, como ocurre normalmente, lastensiones generadas son equilibradas y por lo tanto:
(4.51)
Figura 4.19.- Circuitos equivalentes de secuencia de una generador síncrono: a) Secuencia cero; b) secuencia positiva; c) secuencia negativa
Las impedancias de secuencia Z0, Z1, Z2, de un generador se pueden calcular en
forma analítica a partir de los parámetros fundamentales de la máquina; sin embargo, usualmente se determinan en forma experimental.
La corriente de secuencia cero existirá sólo si el generador está puesto a tierra, directamente o a través de una impedancia.
La barra de referencia para las redes de secuencia positiva y negativa es el neutro del generador ya que por la impedancia Zn sólo circula corriente de secuencia cero (Figura 4.18). La barra de referencia para la red de secuencia cero es la tierra del generador.
- La corriente es , por lo tanto, la caída de tensión de secuencia cero entre una fase cualquiera y tierra es . Como la malla de secuencia cero es un circuito monofásico (por fase) por el que se supone circula sólo la corriente de secuencia cero de una fase, debe tener una impedancia total de 3 Zn + Z0.
De lo anterior se puede inferir que habrá distintos tipos de mallas de secuencia cero, dependiendo de la conexión del generador, algunas de las cuales se muestran en la Figura 4.20.
a) b) c)Figura 4.20.- Circuitos equivalentes de secuencia cero de un generador síncrono en
conexión: a) Estrella aislada de tierra; b) Estrella a tierra directa; c) Estrella a tierra a través de una impedancia Zn
- TransformadoresConsideremos el circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifásico
de dos enrollados operando en condiciones balanceadas, que se muestra en la Figura 4.21.
Figura 4.21.- Circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifásico de dos enrollados
Zeq2 es la impedancia equivalente referida al secundario.
De la Figura 4.21 se puede escribir:
(4.52)
o bien:
(4.53)
en que:
(4.54)
es la matriz de impedancia del transformador.
Cuando un transformador trifásico de dos enrollados opera con carga desbalanceada, no es posible emplear directamente la ecuación (4.45) para llevar la impedancia en componentes de fase, a componentes simétricas y de allí deducir los circuitos equivalentes de secuencia. Se puede verificar sin embargo, que los circuitos equivalentes de secuencia positiva y negativa son iguales entre sí y corresponden a los ya estudiados. En cambio, el circuito equivalente de secuencia cero depende del tipo de conexión de los enrollados primario y secundario y de la existencia de neutros conectados a tierra de los enrollados. La impedancia de secuencia cero puede tener valores totalmente diferentes según sean los terminales del transformador que se consideren.
La Figura 4.22, ilustra el diagrama general necesario para determinar experimentalmente la impedancia de secuencia cero de un transformador trifásico de tres enrollados. Las líneas de segmentos corresponden al caso que existan neutros conectados a tierra.
Figura 4.22.- Diagrama general para determinar la impedancia de secuencia cero
A partir de esta figura, la impedancia de secuencia cero es:
(4.55)
Tal como se ha señalado anteriormente, el valor de Z0 puede ser diferente según se hagan las mediciones en el primario o secundario. En Anexo I, se incluye una tabla con las mallas de secuencia cero asociadas a diferentes conexiones de transformadores trifásicos de dos y tres enrollados.
- Redes de secuencia
Un SEP balanceado se puede representar por tres redes de secuencia independientes entre si (sin acoplamientos); una red de secuencia positiva, una red de secuencia negativa y una red de secuencia cero. Cada red de secuencia representa una fase del SEP y todas las impedancias corresponden a una determinada secuencia.
La red de secuencia positiva es la única que normalmente contendrá fuentes de fem , según lo expuesto. Por otra parte, teniendo presente las aproximaciones usuales que se realizan en los cálculos de cortocircuito; es decir, que las fem de todos los generadores se consideran iguales en módulo y ángulo de fase y que se desprecian las corrientes de prefalla, se concluye que en ausencia de cortocircuitos en el sistema no existirán corrientes en ninguna de las redes de secuencia. Por lo tanto las redes de secuencia negativa y cero, son totalmente pasivas antes de falla.
Para los efectos del cálculo de cortocircuitos asimétricos es necesario establecer para cada red de secuencia, su circuito equivalente de Thévenin mirado desde el punto de falla. Supongamos que se produce una falla en el punto F de un sistema y que los circuitos equivalentes de Thévenin corresponden a los indicados en la Figura 4.24, donde la tensión prefalla en F es Va(0). La corriente de falla en dicho punto tendrá en general componentes de secuencia positiva, negativa y cero. En estas condiciones circularán corrientes en todas las redes de secuencia y aparecerán tensiones en sus terminales. Esto significa que las 3 redes deben interconectarse en una forma que dependerá del tipo particular de falla y cuyos detalles veremos luego. La situación post falla se puede ilustrar esquemáticamente como se muestra en la figura 4.24.-
Figura 4.24.- Mallas de secuencia y red de interconexión
Directamente de esta figura se puede escribir:
(4.56)
o bien:
(4.57)
Es decir:
(4.58)
4.5.3. Análisis de algunos tipos de cortocircuito
4.5.3.1- Cortocircuito monofásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF
- Diagrama esquemático
La Figura 4.25 muestra en forma esquemática esta situación
Figura 4.25.- Representación esquemática de un cortocircuito monofásico
Las condiciones impuestas por la falla son
(4.59)
Las componentes simétricas de las corrientes se pueden escribir:
(4.60)
de donde se obtiene:
(4.61)
Para las componentes simétricas de los voltajes se tiene:
(4.62)
y por lo tanto:
(4.63)
o bien, a partir de (4.61)
(3.64)
A partir de (4.61) y (4.64), se deduce que las mallas de secuencia quedan
conectadas en serie, tal como se muestra en la Figura 4.26.-
Figura 4.26.- Interconexión de las mallas de secuencia para una falla monofásica
Del circuito de la Figura 4.26 se tiene:
(4.65)
Conocidas las corrientes de secuencia, se pueden determinar las corrientes de las fases, utilizando la primera ecuación de (3.38) y se obtiene:
(4.66)
(4.67)
Para los voltajes de secuencia se puede escribir:
(4.68)
y por lo tanto los voltajes de las fases quedan:
(4.69)
(4.70)
(4.71)
Si el cortocircuito es directo a tierra, basta con hacer ZF = 0 en las expresiones (4.65) a (4.71). 4.5.3.2 Cortocircuito bifásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF
-Diagrama esquemático La Figura 4.27 muestra esta situación
Figura 4.27.-Representación esquemática de un cortocircuito bifásico a tierra a través de una impedancia
-Condiciones impuestas por la falla A partir de la Figura 4.27, se puede escribir:
(4.72)-Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simétricas de las corrientes y de los voltajes quedan:
(4.73)-Conexión de las mallas
A partir de las ecuaciones (4.73), las mallas de secuencia quedan conectadas en paralelo, tal como se muestra en la Figura 4.28.-
Haciendo ZF = 0 y ZF = ¥ (infinito), en el circuito de la Figura 4.28, es posible modelar el cortocircuito bifásico a tierra directo y el cortocircuito bifásico aislado, respectivamente.
Figura 4.28.-Conexión de las mallas de secuencia para un cortocircuito bifásico a tierra
Ejemplo 4.3. En el sistema de la Figura 4.29, ocurre una falla bifásica a tierra en la barra 1, a través de una impedancia de falla ZF=j0,05 (pu). Con las consideraciones usuales del cálculo de cortocircuitos y considerando que todos los datos en % están en base 100 MVA, determinar: a. Las corrientes de línea en Amperes, en el punto de falla b. Los voltajes entre líneas en kV, en el punto de fallac. Las corrientes de línea en Amperes en bornes de G1 y de G2
Figura 4.29
Solución: Mallas de secuencia: Figuras 4.30 a 4.32
- Secuencia positiva
Figura 4.30
- Secuencia negativa
Figura 4.31
- Secuencia cero
Figura 4.32
De la Figura 4.33 y a partir de las condiciones de prefalla se tiene que: Va(0)= 0º
Las impedancias Z1, Z2 y Z0 corresponden a las impedancias de Thevenin de las respectivas mallas de secuencia. Sus valores son: Z1=Z2=j0,16 y Z0=j0,05.
- Interconexión de las mallas
Figura 4.33
a) Corrientes de línea en el punto de falla
a1) Corrientes de secuencia: A partir del circuito de la Figura 4.33 se obtiene:
a2) Corrientes de línea en (pu): Utilizando la matriz de transformación [T]
a3) Corrientes de línea en Amperes (sector 1):
b) Voltajes entre líneas en el punto de falla
b1) Voltajes de secuencia: A partir de la Figura 4.33 se tiene que:
b2) Tensiones fase neutro: Utilizando la matriz de transformación [T]
b3) Voltajes entre líneas en (pu)
b4) Voltajes entre líneas en kV: Considerando que en ese sector (sector 1), VB1=15 kV, el voltaje base por fase será de kV, por lo tanto:
c) Corrientes de línea en bornes de G1 y G2
c1) Corrientes de secuencia en bornes de G1: De los circuitos de las Figura 4.30 a 4.32, se obtienen:
c2) Corrientes de línea en bornes de G1: Aplicando la matriz de transformación se tiene
c3) Corrientes de línea en Amperes en bornes de G1 (sector 1):
c4) Corrientes de secuencia en bornes de G2: De los circuitos de la Figura 4.30 a 4.32, se obtienen:
c5) Corrientes de línea en bornes de G2: Aplicando la matriz de transformación se tiene
c6) Corrientes de línea en Amperes en bornes de G2 (sector 3)
4.5.3.3. Cortocircuito entre dos fases a través de una impedancia de fallaEste tipo de falla es muy poco frecuente y produce sobrecorrientes inferiores a
las de los otros tipos de corcircuitos, por lo que sólo se calcula en casos excepcionales. Sin embargo, su análisis resulta interesante ya que es idéntico al de una carga conectada entre dos fases (carga bifásica). -Diagrama esquemático
Figura 4.34.- Representación esquemática de un cortocircuito entre dos fases
-Condiciones impuestas por la falla
(4.74)-Ecuaciones en componentes de secuencia
(4.75)-Conexión de las mallas
Las ecuaciones (4.75) nos indican que la malla de secuencia cero no interviene y que las mallas de secuencia positiva y negativa quedan conectadas en paralelo, según se muestra a continuación:
Figura 4.35.- Conexión de las mallas de secuencia para un cortocircuito entre dos fases
4.5.3.4.- Observaciones finales respecto a los cortocircuitos asimétricos -Las corrientes y tensiones de secuencia calculadas corresponden sólo al punto de falla, no a otro. Si se quiere calcular las corrientes y tensiones en otros puntos distintos, se debe resolver los respectivos circuitos.-Los cortocircuitos asimétricos pueden producir sobre tensiones en las fases no falladas, los que dependen de la relación entre X0 y X1 y de la existencia o no de impedancia de falla.-Para limitar los valores de corriente de cortocircuito de las fallas a tierra se utilizan impedancias entre el neutro y tierra, las que pueden ser de tipo resistiva pura o reactiva pura.-En aquellas partes del sistema que estén separadas del punto de falla por transformadores Y-D o viceversa, se deben considerar los desfases de las componentes simétricas de las corrientes y de los voltajes introducidos por la conexión del transformador.4.6.- Fases abiertas 4.6.1.- Introducción
Las fallas de conductor abierto o las fases abiertas, son los defectos producidos por la interrupción de una o más fases, sin contacto simultáneo con otras fases o tierra. Aunque no producen corrientes elevadas, provocan la circulación de corrientes de secuencia (en especial negativa) que son peligrosas para los equipos por el fuerte calentamiento que pueden originar.
A primera vista, el cálculo empleando componentes simétricos se ve complicado por el hecho de que las fallas implican una asimetría en las impedancias del sistema, lo que haría necesario considerar los acoplamientos entre mallas de secuencia.
El problema se resuelve aplicando a las mallas de secuencia, supuestas independientes y sin impedancias mutuas, las condiciones eléctricas impuestas por la falla. Como las condiciones impuestas a las tres mallas están relacionadas entre sí, ello equivale a interconectar las mallas en el punto de falla, en una forma fijada por el tipo de falla.
El fenómeno que sigue a la aparición de la falla es transiente, donde las corrientes máximas se producen en el instante inicial. Normalmente interesa determinar lo que ocurre al cabo de algunos ciclos de iniciada la falla (operación de las protecciones, apertura de interruptores, etc.), por lo que en secuencia positiva, los generadores se representan por la fem E' y la reactancia transitoria X'1 .Sólo cuando interesa verificar los esfuerzos electrodinámicos de los equipos o al especificar interruptores, se considera E'' tras X''1. Una dificultad preliminar en el estudio de este tipo de fallas será entonces la
de calcular las fem E' (o E"), a partir de las condiciones de operación existentes antes de la falla. Dada la simetría longitudinal de estas fallas, se acostumbra usar como variables de cálculo, las caídas longitudinales de tensión DVa, DVb y DVc entre los bornes P y Q de la zona en falla y las corrientes en las fases: Ia, Ib e Ic , tal como se indica en la Figura 4.36.-
Figura 4.36.- Modelación de fallas tipo fases abiertas
Para evitar la aparición de razones de transformación no reales (a, a2, etc) en las ecuaciones de conexión es preciso mantener en el análisis una simetría respecto a la fase de referencia a, por lo que la falla monofásica se supondrá en la fase a y la bifásica en las fases b y c. 4.6.2.- Una fase abierta
Esta situación se presenta por ejemplo cuando se emplean elementos de apertura que controlen individualmente cada una de las fases (fusibles o interruptores de accionamiento monopolar). A veces ocurre también al cortarse un conductor y quedar suspendido de tal forma de no hacer contacto con otra fase o tierra. -Diagrama esquemático
Figura 4.37.- Representación esquemática de una falla de una fase abierta
-Condiciones impuestas por la falla
(4.76)
Es decir:
(4.77)
-Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simétricas de las corrientes y de las caídas de voltajes quedan:
(4.78)-Conexión de las mallas
A partir de (4.78), se puede concluir que las mallas de secuencia quedan conectadas en paralelo entre los punto P y Q, tal como se indica en la Figura 4.38.-
Figura 4.38.- Conexión de las mallas de secuencia para una falla de una fase abierta
Puesto que las mallas de secuencia negativa y cero son pasivas, su efecto es el de intercalar una impedancia:
(4.79)
entre los bornes P y Q de la malla de secuencia positiva. Por lo tanto, aumenta la impedancia serie de la malla de secuencia positiva, lo que significa que se reduce la corriente y en consecuencia, la potencia activa transmitida. En algunos casos particulares y, debido a las conexiones de los transformadores vecinos a P y Q, puede resultar que Z0pq = ¥, en cuyo caso aumenta aún mas la impedancia serie agregada a la malla de secuencia positiva, haciendo que la disminución de potencia transmitida sea mayor. Es conveniente indicar que Z0pq y Z2pq son las impedancias equivalentes vistas en esas mallas desde los bornes P y Q.
Ejemplo 4.4. En el sistema de la Figura 4.39, se abre la fase "a" en la barra 3 cuando el motor M está recibiendo el 80% de su potencia nominal, con su tensión nominal en bornes, Factor de Potencia 0,8 inductivo. Calcular la potencia recibida por el motor (kVA) y las corrientes en los neutros de los transformadores en estas condiciones. Datos en % en base común 1.250 kVA.
Figura 4.39
Solución:
a) Condiciones de prefalla: El circuito equivalente por fase se muestra en la Figura 4.40
Del Circuito de la Figura 4.14 se tiene:
Figura 4.40
b) Condiciones de falla: Como se abre una sola fase las mallas de secuencia quedan en paralelo y se muestran en la Figura 4.41. A partir de este circuito se tiene:
Figura 4.41
c) Potencia que llega al motor en estas condiciones
d) Corrientes en los neutros de los transformadores en pu
d) Corrientes en los neutros de los transformadores en Amperes
=>
4.6.3.- Dos fases abiertas
Esta situación se presenta en las mismas situaciones que originan una fase abierta, pero con una frecuencia menor. -Diagrama esquemático
Figura 4.42.- Representación esquemática de una falla de dos fases abiertas
-Condiciones impuestas por la falla
(4.80)
-Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simétricas de las corrientes y de las caídas de voltajes quedan:
(4.81)-Conexión de las mallas
A partir de (4.81), se concluye que las mallas de secuencia quedan conectadas en serie tal como se indica en la Figura 4.43.
(4.82)
entre los bornes P1 y Q1 de la malla de secuencia positiva. Con ello se reduce la potencia activa transmitida en el sistema, en una cantidad mayor que para el caso de una fase abierta, ya que la impedancia es mas alta. Nótese que la transmisión se interrumpe totalmente si Z0pq = ¥, es decir si el sistema no está puesto a tierra.
Figura 4.43.- Conexión de las mallas de secuencia para una falla de una fase abierta
4.6.4.- Impedancias serie desequilibradas
Un efecto similar, aunque menos grave que el de las fases abiertas, produce la conexión de una impedancia anormal en una de las fases. Es una situación que se presenta, por ejemplo, en el caso de reemplazar temporalmente una unidad monofásica defectuosa en un banco de transformadores por otra de características diferentes, donde dos de las fases tendrán el mismo valor en su impedancia serie, el que será distinto al de la tercera. Otra situación de interés práctico se presenta cuando, debido a un cortocircuito monofásico a tierra en una línea trifásica, se desconecta la fase fallada por acción de los interruptores (monopolares) que protegen el tramo, que corresponde al caso de una fase abierta en dos puntos. -Diagrama esquemático
Figura 4.44.- Impedancias series desequilibradas
-Condiciones impuestas por la falla
(4.83)
-Ecuaciones en componentes de secuencia
(4.84)-Conexión de las mallas
Considerando las ecuaciones (4.84), las mallas de secuencia quedan conectadas en paralelo, tal como se indica en la Figura 4.45.
Figura 4.45.- Conexión de las mallas de secuencia cuando se tiene impedancias serie
desequilibrada
Para la transferencia de potencia activa, la conexión de las mallas de secuencia en esta forma, equivale a intercalar en la malla de secuencia positiva, la combinación de impedancias ZB en serie con el paralelo de 1/3(ZA - ZB) con (Z2pq + ZB) y con (Z0pq + ZB).
Si ZA ® ¥ y ZB ® 0 , se tiene el caso ya visto de una fase abierta.Si ZA ® 0 y ZB ® ¥ , se obtiene el caso de dos fases abiertas, pero para llegar a
las relaciones ya vistas hay que calcular primero el equivalente de las impedancias en paralelo, antes de hacer tender ZB a ¥ .
Si ZA=¥ y ZB corresponde a las respectivas impedancias de secuencia del tramo, se tiene el caso de una fase abierta en dos puntos. 4.7. Problemas propuestos
4.1. Un generador de 65 MVA, 15,5 kV, conectado en estrella alimenta el primario de un transformador de 65 MVA, 15,5/120 kV, conexión D/Y. La reactancia subtransiente del generador es de 0,12 (pu) y la reactancia del transformador es 0,1 (pu), ambas en base 65 MVA. a. Estando el generador en vacío se produce un cortocircuito trifásico simétrico en los terminales del secundario del transformador. Suponiendo que la tensión interna del generador es 1,0 (pu), determinar la corriente de falla subtransiente y el máximo valor posible de la componente de corriente continua.b. Se conecta una carga impedancia trifásica balanceada en los terminales del secundario del transformador, de valor (0,8+j0,6) (pu) en base 65 MVA, cuando la tensión en bornes del generador es la nominal. Posteriormente se produce un
cortocircuito trifásico simétrico en los terminales de la carga. Determinar la corriente subtransiente de falla en el generador incluyendo la corriente de prefalla.
4.2. En el sistema de la Figura 4.46, todos los datos en por unidad, están en base común. Determinar las corrientes en cada una de las líneas y en los generadores, cuando ocurre un cortocircuito trifásico simétrico a través de un impedancia ZF=j0,04 (pu) en la barra 1, estando el sistema en vacío, utilizando: a. El método tradicional (Thevenin)b. El método general (Matricial)
Figura 4.46
4.3. Repetir el Problema 4.2 considerando un cortocircuito trifásico simétrico:a. En la barra 2. b. En la barra 3.
4.4. En el sistema de la Figura 4.47, todos los parámetros están en tanto por unidad, en una base común. Para un cortocircuito trifásico directo en la barra 3 y utilizando el método general, (matricial); determinar los voltajes en todas las barras, las corrientes en las líneas y las corrientes en los generadores. Suponer que el sistema está en vacío antes de producirse la falla.
Figura 4.47
4.5. En el sistema de la Figura 4.48 ocurre un cortocircuito monofásico a tierra en la barra de 13,2 kV. Con las aproximaciones usuales del cálculo de cortocircuitos, determinar:
a. en el punto de falla.
b. en barra de 220 kV
c. en bornes de G.
d. (kV) en bornes de G.
Datos en % en base 100 MVAFigura 4.48
4.6. Repetir el Problema 4.5 considerando un cortocircuito bifásico a tierra en la barra de 13,2 kV
4.7. Repetir el Problema 4.5 considerando un cortocircuito monofásico a tierra en la barra de 220 kV
4.8. Repetir el Problema 4.5 considerando un cortocircuito bifásico a tierra en la barra de 220 kV
4.9. En el sistema de la Figura 4.49, ocurre una falla monofásica a tierra en la barra 2. Con las consideraciones usuales del cálculo de cortocircuitos y considerando que todos los datos en % están en base propia, determinar:a. La corriente de falla en Amperesb. Los voltajes entre líneas en kV, en el punto de falla c. Las corrientes en Amperes en bornes de G1 y G2 d. La corriente en Amperes, en los neutros de los transformadores y de los generadores e. Las corrientes de secuencia cero en Amperes, en el interior de la delta de los transformadores
Figura 4.49
4.10. Resuelva el problema 4.9, considerando una falla bifásica a tierra.
4.11. En el sistema de la Figura 4.50, los valores en % de los parámetros están en la base propia de cada equipo. El sistema se encuentra en vacío cuando ocurre un cortocircuito monofásico en el secundario del transformador conectado al generador G1. Determinar:a. La corriente de falla en Amperes y la tensión en el punto de falla en Volt. b. El valor que debería tener una resistencia de falla que limite la corriente de falla máxima a un 40% de su valor original.
Figura 4.50
4.12. En el sistema de la Figura 4.51 a) se produce una falla en F, del tipo mostrado en la Figura 4.51 b). Los parámetros están en tanto por unidad, en base común, 20 MVA. Determinar:a. La interconexión de las mallas de secuencia que permita representar dicha falla b. Las corrientes de falla en Amperes. c. Los voltajes entre líneas en el punto de falla en kV.
Figura 4.51 a)
Figura 4.51 b)
4.13. Un generador alimenta un motor a través de un transformador conectado en Y/D. El generador está conectado al lado en estrella del transformador. Se produce una falla entre los terminales del motor y el transformador. Las componentes simétricas de la corriente que circulan desde el motor hacia la falla: son
. Desde el transformador hacia la falla, las
corrientes son: . Todos los valores están en por
unidad, base común. Suponer que X1=X2 para el motor y el generador. Determinar:a. El tipo de falla b. La corriente previa a la falla en la fase a c. La corriente de falla.
4.14. Una carga cuya impedancia Zc=(1,1 + j 0,6) (pu) se conecta entre las fases "b" y "c" de un generador de 20 MVA, 13,8 kV; X1=25%; X2=35%; X0=10%. En estas condiciones y considerando que todos los parámetros están en base 20 MVA, determinar las tensiones entre líneas del generador (en volt).
4.15. Las reactancias de un generador de 100 MVA, 20 kV son: X1=X2=20%, X0=5%. El generador está conectado a un transformador DY1 de 100 MVA, 20/230 kV con una reactancia del 10%. El neutro del transformador está sólidamente aterrizado. El voltaje en terminales del generador es de 20 kV cuando ocurre una falla bifásica (entre las fases b y c) y a tierra en el lado del alto voltaje del transformador. Calcular:a. Las corrientes y voltajes de secuencia en el punto de falla (pu) b. Las corrientes de línea (A) y los voltajes entre líneas en el punto de falla (kV) c. La corriente en todas las fases del generador (A) d. La corriente en el neutro del transformador (A) e. La corriente de secuencia cero en la delta del transformador (A)
4.16. Se tiene un transformador trifásico de tres enrollados, con carga desequilibrada, tal como se muestra en la Figura 4.52. Las tensiones nominales son: 6.600/660/2.200 volt
(P/T/S). Considerando que la corriente en la carga , calcular la corriente en cada fase del primario y la corriente en el terciario.
Figura 4.52
4.17. En el sistema de la Figura 4.53, se abren las fases "b" y "c" en la barra 4 (bornes del motor) cuando el motor M está recibiendo el 80% de su potencia nominal, con su tensión nominal en bornes, Factor de Potencia 0,8 inductivo. Calcular la potencia recibida por el motor (kVA) y las corrientes en los neutros de los transformadores en estas condiciones. Datos en % en base común 1.250 kVA.
Figura 4.53
4.18. Un generador, está entregando 90 MW (en sus bornes), Factor de Potencia 0,9 inductivo a un motor, a través de un transformador cuando se abren las fase "b" y "c" en bornes del motor (secundario del transformador). La tensión en bornes del Generador en ese instante era de 13.860 volt (entre líneas). Los datos en tanto por unidad, con SB=100 MVA, son los siguientes: Generador: 13,2 kV; 100 MVA, X1=X'd=0,3; X2=0,1; X0=0,04. Conexión: Estrella con neutro a tierra Transformador: 13,2/6,6 kV, 100 MVA, X1=X2=X0=0,1. Conexión Delta-Estrella con neutro a tierra: DY1 Motor: 100 MVA; 6,6 kV; X'd=X1=X2=0,1; X0=0,04. Conexión: Estrella con neutro a tierra Determinar la potencia activa (MW) y reactiva (MVAr) que recibe el motor en estas condiciones.
4.19. El sistema de la Figura 4.54 está trabajando en las condiciones indicadas, esto es, el motor está recibiendo una potencia de 100 MW, Factor de Potencia 0,95 inductivo a tensión nominal en bornes, cuando es necesario cambiar el transformador de la fase "a" del banco trifásico. El nuevo transformador monofásico es de 40 MVA, pero su reactancia es del 7% en base propia. Determine las corrientes que circulan por las líneas, en estas condiciones. Los datos están en base común 120 MVA.
Figura 4.54
4.20. El sistema de la Figura 4.55, está trabajando en las condiciones indicadas, esto es, la carga, conectada en estrella con neutro a tierra, está recibiendo la potencia de (80+j60) MVA a voltaje nominal en sus bornes, cuando se abre la fase "a" en este punto. Representando la carga como una impedancia constante, con Z1C=Z2C=Z0C,
determine los voltajes en los bornes del generador en estas condiciones. Los datos están en base 100 MVA.
Figura 4.55
ANEXO I
5.1.-Introducción
Se dice que un sistema de potencia está en una condición de operación de estado estable si todas las cantidades físicas que se miden (o se calculan) y que describen la condición de operación del sistema, se pueden considerar constantes para propósitos de análisis. Si, cuando se está en una condición de estado estable, ocurre un cambio repentino o una secuencia de cambios en uno o más parámetros del sistema o en una o más de sus cantidades de operación, se dice que el sistema experimenta un disturbio o una perturbación de su condición de operación de estado estable. Las perturbaciones pueden ser grandes o pequeñas de acuerdo con su origen.
Una perturbación grande es aquella para la cual las ecuaciones no lineales que describen la dinámica del sistema de potencia no se pueden linealizar de forma válida para propósitos de análisis. Las fallas en los sistemas de potencia, los cambios repentinos y grandes de carga, la pérdida de unidades generadoras y las maniobras en líneas son ejemplos de perturbaciones grandes y se estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria. Los estudios de estabilidad transitoria, normalmente se hacen en base a la primera oscilación lo que significa considerar tiempos de hasta un segundo.
Si el sistema de potencia está operando en una condición estable y experimenta un cambio que puede ser analizado de manera apropiada a través de versiones linealizadas de sus ecuaciones dinámicas, se dice que ha ocurrido una perturbación pequeña. Como ejemplos, podemos mencionar, un cambio pequeño y gradual de carga, un cambio en la ganancia de un regulador automático de voltaje en el sistema de excitación de una gran unidad generadora, etc, los que se estudian bajo el nombre de estabilidad permanente. Los estudios de estabilidad permanente consideran múltiples oscilaciones lo que significa tiempos bastante mayores que los de la estabilidad transitoria (del orden de los minutos) y por lo tanto, en algunos casos pueden ser importantes los efectos de los sistemas de control de las unidades generadoras.
En resumen entonces, la estabilidad es la propiedad de un SEP o de sus partes componentes de mantener un estado de equilibrio (sincronismo), cuando ha sido sometido a acciones perturbadoras. El concepto puede ser aplicado a una o un grupo de máquinas sincrónicas para señalar la condición de que ellas permanecen en sincronismo respecto de otras cuando se producen perturbaciones.5.1.-Introducción
Se dice que un sistema de potencia está en una condición de operación de estado estable si todas las cantidades físicas que se miden (o se calculan) y que describen la condición de operación del sistema, se pueden considerar constantes para propósitos de análisis. Si, cuando se está en una condición de estado estable, ocurre un cambio repentino o una secuencia de cambios en uno o más parámetros del sistema o en una o más de sus cantidades de operación, se dice que el sistema experimenta un disturbio o una perturbación de su condición de operación de estado estable. Las perturbaciones pueden ser grandes o pequeñas de acuerdo con su origen.
Una perturbación grande es aquella para la cual las ecuaciones no lineales que describen la dinámica del sistema de potencia no se pueden linealizar de forma válida
para propósitos de análisis. Las fallas en los sistemas de potencia, los cambios repentinos y grandes de carga, la pérdida de unidades generadoras y las maniobras en líneas son ejemplos de perturbaciones grandes y se estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria. Los estudios de estabilidad transitoria, normalmente se hacen en base a la primera oscilación lo que significa considerar tiempos de hasta un segundo.
Si el sistema de potencia está operando en una condición estable y experimenta un cambio que puede ser analizado de manera apropiada a través de versiones linealizadas de sus ecuaciones dinámicas, se dice que ha ocurrido una perturbación pequeña. Como ejemplos, podemos mencionar, un cambio pequeño y gradual de carga, un cambio en la ganancia de un regulador automático de voltaje en el sistema de excitación de una gran unidad generadora, etc, los que se estudian bajo el nombre de estabilidad permanente. Los estudios de estabilidad permanente consideran múltiples oscilaciones lo que significa tiempos bastante mayores que los de la estabilidad transitoria (del orden de los minutos) y por lo tanto, en algunos casos pueden ser importantes los efectos de los sistemas de control de las unidades generadoras.
En resumen entonces, la estabilidad es la propiedad de un SEP o de sus partes componentes de mantener un estado de equilibrio (sincronismo), cuando ha sido sometido a acciones perturbadoras. El concepto puede ser aplicado a una o un grupo de máquinas sincrónicas para señalar la condición de que ellas permanecen en sincronismo respecto de otras cuando se producen perturbaciones.5.3.- Estabilidad estática o permanente 5.3.1.- Introducción
El sistema de potencia forma un grupo de elementos electromecánicos interconectados, cuyo movimiento puede ser representado por ecuaciones diferenciales apropiadas. Cuando las perturbaciones son grandes, el sistema de ecuaciones es no lineal pero si ocurren cambios pequeños, las ecuaciones pueden ser linealizadas.
En los estudios de estabilidad estática se pretende aclarar la duda de si acaso la operación cuasiestacionaria de un sistema con n máquinas es estable frente a los cambios en la magnitud de los consumos. Ya se ha dicho que existe una potencia máxima con la cual se puede operar en forma estable, que constituye el límite de estabilidad permanente.
Este límite depende no sólo de las características constructivas del sistema, sino también en gran medida de los reguladores de tensión, ya que si el regulador incrementa la excitación en función de la carga, el ángulo límite se extiende más allá de los valores puramente constructivos.
Para el análisis se recurre a las mismas ecuaciones diferenciales usadas en los estudios de estabilidad transitoria, pero admitiendo algunas simplificaciones derivadas de la lentitud y pequeñez de las oscilaciones. Por ejemplo, la máquina puede ser representada en su forma normal, con la fem permanente E y la reactancia permanente Xd, ya que para frecuencias de oscilación del orden de 1 a 3 Hz no vale la pena considerar X'd. En todo caso, se estará en el lado seguro al usar el mayor valor posible de la reactancia. 5.3.2.- Generador conectado a una barra infinita
- Despreciando el efecto de amortiguación
La ecuación de oscilación es:
(5.65)
Como las perturbaciones son pequeñas, es posible linealizar la ecuación de la potencia eléctrica Pg alrededor del punto de operación d0, para pequeñas variaciones d1 del ángulo, es decir: d (t)=d 0+d1(t) y por lo tanto: Pg(d)=Pg(d0+d1). Desarrollando Pg en serie de Taylor se puede escribir:
(5.66)
Despreciando los términos de orden igual o superior a 2, dado que d1 es pequeño; se tiene:
(5.67)
Cuya solución es del tipo:
(5.68)
en que C1, C2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales y p1, p2 son las raíces de la ecuación característica (5.69), siguiente:
(5.69)
(5.70)Sea:
el coeficiente de potencia sincronizante. Para la ecuación (5.70) tenemos 3 situaciones: 1.- Si K > 0: ambas raíces son imaginarias y el movimiento es oscilatorio no amortiguado. El sistema es estable considerando el hecho de que se ha despreciado PD. 2.- Si K < 0: ambas raíces son reales, una positiva y una negativa, y el sistema es inestable.
3.- Si d0 = 90° Þ K = 0 y el sistema está en el límite de estabilidad ya que las raíces son cero.
De lo anterior se deduce que basta con calcular el coeficiente de potencia sincronizante para determinar si el sistema es estable o inestable. - Con efecto de Amortiguamiento
En este caso, la ecuación diferencial incluyendo D, queda:
(5.71)
y la ecuación característica es:
(5.72)
en que D es el coeficiente de roce (asociado al efecto de los enrollados amortiguadores, fundamentalmente). Las raíces de (5.72) son:
(5.73)donde se cumple también, que si K < 0, el sistema es inestable y si K > 0 y
además (K/M) ) (D/2M)2 el sistema es estable. 5.3.3.- Estabilidad de un sistema de "n" máquinas - Despreciando el efecto de los reguladores y del roce
La ecuación de oscilación de la máquina i es:
(5.74)
en que, la potencia eléctrica de la máquina i se puede escribir como:
(5.75)en que Yij incluye la reactancia síncrona de eje directo; es decir, la matriz de
admitancia de barras se calcula referida a las tensiones internas de las máquinas. La ecuación (5.75) se puede escribir:
(5.76)
Si dj = dj0 +dDj , en que dj0 es el ángulo de régimen permanente y Ddj es un pequeño incremento del ángulo desde dj0; la ecuación (5.76) se puede desarrollar en serie de Taylor en torno de dj0, con j=1,2,.......,n. Despreciando los terminos de orden superior a 1 y reemplazando en (5.74) se puede escribir:
(5.77)donde:
(5.78)
(5.79)
Para la n máquinas y en forma matricial se puede escribir:
(5.80)
o bién:
(5.81)
Premultiplicando (5.80) por se obtiene:
(5.82)
que corresponde al problema de valores propios:
(5.83)
donde es la matriz de estado del sistema, [ I ] es la matriz unitaria y l = p2 corresponde a los valores propios.
Si l es un real negativo Þ p es imaginario puro y por lo tanto, la respuesta es oscilatoria y el sistema es estable.
Si l es un real positivo o un número complejo, una raiz p tendrá parte real positiva y el sistema es inestable
En las expresiones anteriores se está trabajando con ángulos absolutos en cuyo caso, un valor propio debe ser cero ya que la matriz A es singular. Por esta razón conviene trabajar con ángulos relativos, considerando una de las máquinas como referencia.
- Considerando el efecto del amortiguamiento
Si se agrega el efecto del roce y de los enrollados amortiguadores, la ecuación (5.80) queda de la forma:
(5.84)
donde:
(5.85)
y en que D1, D2, . . ., Dn son los coeficientes de amortiguación provistos por ejemplo, por los enrollados de amortiguación de la máquina.
5.4. Problemas propuestos
5.1. En un sistema eléctrico de potencia, se han establecido las siguientes ecuaciones de Pg=Pg()d: PgAF=1,8 sin d (pu); PgF=0,5 sin d (pu) y PgFD=1,2 sin d (pu). Determinar el tiempo crítico de despeje de la falla, si Pm=1 (pu) y M=2,5x10-4 (pu).
5.2. Dadas las ecuaciones Pg=Pg(d) y las curvas de oscilación para falla sostenida, de los sistemas 1 y 2 siguientes, determinar:a. Las áreas acelerantes y desacelerantes para despeje de la falla en 0,4 y 0,25 seg, indicando, en ambos casos, si el sistema es estable o inestable b. El tiempo máximo de despeje para que el sistema sea estable
Sistema 1: PgAF=2 sin d (pu); PgF=0,75 sin d(pu) y PgFD=1,5 sin d (pu); Pm=1,0 (pu)
Sistema 2: PgAF=2 sin (d+15º) (pu); PgF=0,5 sin d (pu) y PgFD=1,5 sin d (pu); Pm=1,0 (pu)
5.3. Un generador que tiene una constante de inercia de 2,5 seg, está suministrando una potencia de 0,8 (pu) a una barra infinita, a través de una red completamente reactiva cuando se produce una falla que reduce la máxima potencia posible de salida a 0,5 (pu). La potencia máxima que se puede transmitir antes de la falla es de 1,5 (pu) y de 1,3 (pu) después del despeje de la falla. Si el despeje se produce a los 0,2 seg: Dibujara. La curva de oscilación hasta 1 seg. b. Las curvas de Pg =Pg(d) indicando claramente las áreas acelerantes y desacelerantes.
5.4. El sistema de la Figura 5.25, está operando en condiciones normales, esto es, el generador está entregando 125 MVA, factor de potencia 0,8 inductivo a la barra infinita; E'=1,8 (pu); X'd=0,9 (pu); V=1 0º (pu), H=5 seg, reactancia de cada línea 0,4 (pu); cuando ocurre un cortocircuito trifásico en el medio de la línea inferior. Los interruptores 1 y 2 despejan simultáneamente la falla en un tiempo t1 tal que d (t1)=90º. Los interruptores permanecen abiertos hasta t2 seg, donde d(t2)=120º. En t2, los interruptores reconectan la línea y la falla ha desaparecido. Considerando que todos los datos están en una base común (100 MVA), determinar si en estas condiciones, el sistema es estable o inestable.
Figura 5.25
5.5. El sistema de la Figura 5.25, está operando en condiciones normales, esto es, el generador entregando 120 MW a la barra infinita, E'=1,65 (pu), X'd=X1=0,6 (pu); X2=0,3 (pu); X0=0,1 (pu), V=1 0º (pu), H=5 seg, f=50 Hertz cuando ocurre un cortocircuito monofásico en la línea 2, al lado de la barra del Generador. Los interruptores 1 y 2 (tripolares) despejan simultáneamente la falla. Los datos de la línea son: X1=X2=0,3 (pu); X0=0,5 (pu). Todos los parámetros están en tanto por unidad, base común 100 MVA. Determinar el tiempo crítico de despeje de la falla.
5.6.- Un generador de 60 Hertz está suministrando el 60% de la potencia eléctrica máxima a través de una red completamente reactiva, cuando ocurre una falla que incrementa la reactancia de la red entre el voltaje interno del generador y la barra infinita en un 400%. Cuando la falla es despejada, la potencia máxima que se puede suministrar es el 80% del valor máximo original. Determine el ángulo crítico de despeje de la falla.
5.7.- Si el generador del problema anterior tiene una constante de inercia H de 6 [MJ/MVA] y la potencia mecánica es de 1 (pu), determinar el tiempo crítico de despeje de la falla. ¿A qué velocidad gira la máquina en ese instante?
5.8.- Un generador síncrono está entregando el 25 % de la potencia máxima que es capaz de entregar a una barra infinita. Si la potencia eléctrica entregada por el generador a la barra infinita se triplica bruscamente, determinar el valor máximo alcanzado por el ángulo d durante las oscilaciones alrededor del nuevo punto de equilibrio. ¿Cuál es el ángulo d de régimen permanente en el nuevo punto de equilibrio?
5.9.- Un generador que está operando a 50 Hz, entrega una potencia de 1 (pu) a una barra infinita a través de una red completamente reactiva, cuando ocurre una falla que
reduce la máxima potencia transferible a 0,4 (pu), mientras que la máxima potencia transferible antes de falla era de 1,8 (pu) y de 1,25 (pu) después que la falla es despejada. La constante de inercia es de 4 seg. La falla se despeja a los 0,2 seg y el sistema se reconecta exitosamente 0,15 seg después que la falla ha sido despejada. Utilizando exclusivamente la curva de oscilación, determinar si el sistema es estable en las condiciones planteadas.
5.10.- En el sistema de la Figura 5.26, todos los parámetros en pu están en base 100
MVA. La potencia compleja en el punto indicado es , cuando ocurre un cortocircuito trifásico en el punto F (al medio de la línea). La falla es despejada simultáneamente por ambos interruptores. Determine las ecuaciones de Pg(d) antes de falla, en falla y en falla despejada.
Figura 5.26
5.11.- Repetir el Problema 5.10, considerando que la falla ocurre al comienzo de la línea; es decir, al lado del interruptor Nº 1).
5.12.- Repetir el Problema 5.11, considerando que la carga es un reactor de 10 MVAr.
5.13.- Las ecuaciones de Pg=Pg(d) de un sistema Generador-Barra infinita son: PgAF=2,5 sin d ; PgF=PgFD=0. La potencia que el generador entregaba a la barra infinita en el momento de producirse la falla era de 1,0 (pu). La falla es despejada a los 0,1 seg y 0,1 seg más tarde se hace una reconexión exitosa. Todos los datos están en una base común. H=5 seg., f=50 Hz. Determine el valor máximo alcanzado por el ángulo d durante las oscilaciones.
5.14.- Un generador de 50 Hz con H=5 (MJ/MVA) está conectado a través de un transformador elevador a una línea de transmisión. En el otro extremo de la línea hay un transformador reductor que une la línea a una barra infinita. Las reactancias en pu del generador son: X1=0,3; X2=0,15; X0=0,05, las de los transformadores X1=X2=X0=0,1 y las de las línea de transmisión son: X1=X2=0,25 y X0=0,70. Los transformadores están conectados en delta en el lado de baja tensión y en estrella con el neutro a tierra en el lado de alta tensión. Se produce una falla monofásica en el lado de alta tensión del transformador conectado al generador, en el momento que éste está suministrando una potencia de 1,0 (pu). La tensión interna del generador es 1,24 (pu) y la tensión de la barra infinita es de 1,05 (pu). La falla es aislada simultáneamente por interruptores monopolares a ambos lados. Estos la aislan en 0,15 seg. y se reconectan 25 ciclos después de la apertura. Determinar si el sistema permanece estable en estas condiciones.
5.15.- El sistema de la Figura 5.27 está trabajando en las condiciones indicadas. Todos los parámetros en porcentaje están en base 100 MVA. Determinar el tiempo máximo de despeje de la falla si ocurre un cortocircuito monofásico a tierra en el punto F, al comienzo de la línea, y ésta tiene interruptores monopolares.
5.16.- Resuelva el problema 5.15, considerando que los interruptores son tripolares y que se produce reconexión automática exitosa 0,1 seg después que la falla ha sido despejada.
Figura 5.27
5.17.- En el sistema de la Figura 5.28 ocurre un cortocircuito bifásico a tierra en el punto F, al comienzo de la línea, cuando la potencia transmitida en el punto indicado es
. Todos los datos están en base común 100 MVA. a. Si los interruptores son tripolares y despejan la falla en forma simultánea, calcular el tiempo de aclaramiento de la falla (sin reconexión) b. Si los interruptores reconectan la línea 10º después del despeje, calcular el tiempo de aclaramiento de la falla en esta nueva condición.
Figura 5.28
5.18.- El sistema de la Figura 5.29 está entregando la potencia indicada a la barra infinita, cuando se abre la fase "a" de la línea en el punto P, próximo a la barra 2. Determinar el máximo valor alcanzado por el ángulo d al producirse la oscilación del rotor de generador. Todos los datos en % están en base 50 MVA.
Figura 5.29
5.19.- Determinar si los sistema de las Figuras 5.30 y 5.31 siguientes, son estables o inestables para los condiciones permanentes indicadas y suponiendo perturbaciones pequeñas. Los datos en porcentaje están en base común.
Figura 5.30
Figura 5.31
5.20.- En el sistema de la Figura 5.32, ocurre un cortocircuito trifásico en el punto F (mitad de la línea inferior), cuando el sistema estaba trabajando en las condiciones indicadas. Todos los datos están en base 100 MVA. La falla es despejada por ambos interruptores en forma simultánea y luego el sistema se reconecta. Determinar:a. Las ecuaciones de PgAF, PgF y PgFD. b. La potencia eléctrica que estaba entregando el generador y su ángulo de torque en el momento en que ocurrió la falla
Figura 5.32