INTERNACIONALNI UNIVERZITET U TRAVNIKUFAKULTET POLITEHNIČKIH NAUKAŠkolska godina 2014./2015.Semestar I

Nastavni predmet: MATEMATIKA I

SEMINARSKI RAD

Tema:

VEKTORI

Vrijeme izrade: Januar,2014.Student: Alić VedadSmjer studija: Putevi

Predmetni profesor: Doc.dr Sead Rešić.

Bodovi: Ocjena

SADRŽAJ:

1. Uvod......................................................................................................................................................32. Vektor i skalar.......................................................................................................................................43. Podela vektora prema prirodi fizičke veličine.....................................................................................54. Proizvod i količnik vektora i skalara....................................................................................................55. Jedinični vektor ili ort vektora..............................................................................................................66. Vektor položaja ili radijus vektor.........................................................................................................67. Sabiranje i oduzimanje vektora.............................................................................................................68. Razlaganje vektora na komponente......................................................................................................79. Kolinearni i komplanarni vektori..........................................................................................................810. Projekcija vektora..............................................................................................................................911. Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora...................................................912. Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora............................................................................................1013. Vektorski ili spoljasnji proizvod dva vektora...................................................................................1214. Orijentacija površine i predstavljanje površine vektorom................................................................1415. Proizvod tri vektora..........................................................................................................................1516. Literatura...........................................................................................................................................18

2

1. Uvod

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primeri vezani za geometriju u prostoru gde se vektor određuje pravcem, smerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

3

2. Vektor i skalar

Poznato je da se neke fizičke veličine mogu prikazivati jednim brojem. Ogovarajući brojevi određenih jedinica ne zahtevaju nove dopunske komponente za karakterisanje veličine koju prikazuju. Te veličine koje se mogu prikazivati jednim brojem nazivaju se skalarne veličine ili skalari. Broj koji tu veličinu kvantitativno prikazuje naziva se brojna vrednost skalarne veličine. Brojevi moraju biti realni, a mogu biti pozitivni i negativni. Zato se obična algebra može smatrati kao skalarna algebra.Prirodno, skalari potiču iz fizike, ali oni su i fizičke i matematičke veličine. Priroda skalarnih fizičkih veličina ne iscrpljuje se jednim brojem koji predstavlja njenu vrednost, tj. njena brojna vrednost nije njena jedina karakteristika. Na primer masa; jedna njena karakteristika je odgovarajući broj jedinica ali ona je i mera za inerciju tela. Skalarne veličine se označavaju običnim slovima kao t (vreme), m (masa), V (zapremina) itd.Vrlo su važne veličine koje se ne mogu baš najbolje prikazati jednim brojem. Ako uzmemo, na primer silu. Na neko telo može delovati manja ili veća sila pa to predstavlja intezitet. Odmah se postavlja pitanje u kom pravcu deluje ta sila, ali i pravac ima dva smera, što znači...Ovakve veličine su orjentisane i nazivaju se vektorske velićine ili vektori.Znači karakteristike vektora su;

1. intezitet (jačina)2. pravac3. smer.

Intezitet vektora se može nazvati i dužinom vektora, veličinom vektora, mernim brojem vektoraitd. Ali intezitet nije ništa drugo nego apsolutna vrednost vektora.Za vektorske veličine važi slično kao i za skalarne veličine (da imaju različita svojstva prema svojoj prirodi) pa se ne može reći da ih navedena tri svojstva vektora potpuno karakterišu. Ali, za kvantitativno fizičko prikazivanje, ispostavlja se da su ta tri elementa vektora vrlo efikasni, pa je utoliko veća i njihova važnost, ako i vektora uopšte.Vektor se predstavlja usmerenom duži, a dužina duži predstavlja veličinu vektora. Vektor ima početnu tačku ili početak i naravno krajnju tačku ili kraj. Smer vektora označava se strelicom na kraju duži.

A-početak vektora; B-krajnja tačka vektora

Vektori se obeležavaju malim slovima latinice sa strelicom iznad (a⃗ ) ili velikim slovima latinice

sa strelicama ( A⃗B ).Brojna vrednost vektora ili modul vektora označavamo istim slivom kao i vektor, ali bez strelice,

npr. Modul vektora a⃗ označavamo sa | a⃗ |.Apsolutna vrednost (intezitet) vektora je skalarna veličina koja ne može biti negativna.Dva vektora su međusobno jednaka ako su jednaki njihovi inteziteti (apsolutne vrednosti), ako su istog pravca i istog smera.

a⃗=b⃗ ako su sve tri karakteristike vektora jednake. Dva jednaka vektora ne moraju biti prestavljeni jednom istom usmerenom duži već to mogu biti i paralelne duži.

4

Ako je vektor a⃗ nepokretan, onda se vektor b⃗ , koji mu je jednak, može paralelnim pomeranjem

poklopiti sa vektorom a⃗ tj. Tačke A i C će se pokolopiti, kao početne i tačke B i D kao završne.

a⃗= A⃗B=b⃗=C⃗D|a⃗|=a=AB=|b⃗|=b=CDAB||CD

Nulti vektor je onaj vektor čija je dužina jednaka nuli.

a⃗0= 0⃗

Početak i kraj nulti vektora se nalaze u jednoj tački. Svi nulti vektori su međusobno jednaki. Oni mogu biti bez pravca pa se predstavljaju kao geometriska tačka. Ali, ako nulti vektor predstavlja limes vektora konačne dužine koja opada prema nuli onda se smatra da nulti vektor uzima pravac tog vektora. Nulti vektor se smatra bez orjentacije i to tako da se obični vektor ne menja sabiranjem sa nultim vektorom, a proizvod običnog i nultog vektora je jednak nuli.

3. Podela vektora prema prirodi fizičke veličine

Početak vektora posmatran kao “napadna” tačka vektora može biti proizvoljno uzet, a može biti određen u izvesnom domenu ili potpino u čitavom prostoru pa prema tome vektori se dele na:1. SLOBODNI VEKTORI – kod ovog vektora napadna tačka se može proizvoljno izabrati u prostoru pri čemu modul, pravac i smer vektora ostaju nepromenjeni. Slobodni vektor se može paralelno pomerati, a da ne dođe do ikakve promene. Kao primer slobodnog vektora uzimamo brzinu translatornog kretanja tela. Svaka tačka tela ima istu brzinu pri translatornom kretanju pa zato možemo odabrati bilo koju za napadnu tačku našeg slobodnog vektora.2. LINIJSKI VEKTORI – kod ovog vektora se početna tačka može pomerati po liniji koja se poklapa sa pravcem vektora. Primer klizećeg vektora je vektor sile koja deluje na čvrsto telo. Pomeranje napadne tačke sile duž prave koja se poklapa sa pravcem sile ne remeti prvobitno kretanje.3. VEZANI VEKTORI – ovom vektoru određena je početna tačka pa se on ne može pomerati, jer će u različitim tačkama biti drugačiji. Primer vezanog vektora je vektor polja gde je u svakoj tački polja različiti vektor kao predstavnik fizičke veličine u dotičnom polju.

4. Proizvod i količnik vektora i skalara

Proizvod vektora i skalara je vektor istog pravca i onoliko puta veće apsolutne vrednosti koliko taj skalar ima jedinica. Istog smera ako je skalar pozitivan, a suprotnog ako je negativan. To znači da

je proizvod vektora a⃗ i skalara k novi vektor b⃗ , koji ima isti pavac kao i vektor a⃗ i isti smer ako je k>0, a suprotan smer ako je k<0.

Apsolutna vrednost vektora b⃗ je: b⃗=|a⃗|k

Ako je k=1, onda je b⃗=a⃗ , a to znači da su jednaki vektori paralelni i

istog smera. Ako je k=-1, onda je b⃗=−a⃗ pa se za takva dva vektora kaže da su međusobno suprotni, a samim tim znači da su paralelni (da imaju iste brojne vrednosti) ali su suprotnog smera. Takvi vektori se nazivaju antiparalelni.

5

Iz ovoga sledi:

k⋅⃗a=a⃗⋅k k,m – skalarne veličine

k (m⋅a⃗ )=(k⋅m) a⃗=m(k⋅⃗a )(k+m) a⃗=k a⃗+m a⃗

Vektor a⃗ se može dobiti ako se vektor b⃗ podeli skalarom k a⃗= b⃗

k .Kao količnik dobija se vektor istog pravca kao i prvobitni vektor, a apsolutne veličine onoliko puta manje koliko jedinica ima ta skalarna veličina. Novi vektor ima isti smer kao i prvobitni ako je

skalar pozitivan, a suprotan smer ako je negativan. Uopšte, ako se neki vektor a⃗ podeli skalarnom

veličinom dobija se vektor, a ako se taj vektor označi sa c⃗ njegova apsolutna vrednost biće:

|c⃗|=c=|a⃗||m|

5. Jedinični vektor ili ort vektora

Vektor čija je apsolutna vrednost jednaka jedinici naziva se jedinični vektor. Svaki vektor se može prikazati kao proizvod svojeg inteziteta i jediničnog vektora koji je orentisan kao taj dati vektor.Jedinični vektor koji ima isti pravac i smer kao dati vektor naziva se jedinični vektor ili ort datog vektora.Jedinični vektor se obično označava isto kao i njegov vektor ali sa indeksom nula.a⃗=a⋅⃗a0

a⃗0=a⃗a

|a⃗0|=1Svaki vektor je jednak proizvodu svoje apsolutne vrednosti i svoga orta, a ort jednog vektora jednak je količniku tog vektora i apsolutne vrednosti istog vektora.

6. Vektor položaja ili radijus vektor

Položaj neke tačke se određuje vektorom,a usvojeno je da to bude vektor položaja ili radijus vektor. Usvojeno je i to da se vektor položaja neke tačke završava u toj tački, odnosno da je

orjentisan ka toj tački. Ort vektora položaja se označava kao r⃗0 .

r⃗=r⋅⃗r0=|r⃗|⋅r⃗0

r⃗0=r⃗r=

r⃗|r⃗|

6

7. Sabiranje i oduzimanje vektora

Imamo vektor a⃗ i vektor b⃗ . Zbir ta dva vektora se dobija kada na vrh vektora a⃗ stavi početak

vektora b⃗ koji se paralelno samom sebi prenese. Zbir a⃗+ b⃗= c⃗ je takođe vektor koji počinje u

početku vektora a⃗ , a završava se na završetku tako prenesenog vektora b⃗ . Pravilo sabiranja vektora poznato je u fizici kod paralelograma sila.

Zbir tri vektora ( a⃗ , b⃗ , c⃗ ) nalazi se kada se sa vektorom a⃗ sabere vektor b⃗ , pa sa tim zbirom

sabere vektor c⃗ ili kada se na taj a⃗ nanese b⃗ , a na kraj b⃗ nanese c⃗ , a zbir ova tri vektora je

vektor koji polazi iz početka vektora a⃗ , a završava se u završetku vektora c⃗ . To znači da za sabiranje vektora važi pravilo poligona koje važi i za proizvoljan broj vektora. Za zbir vektora važe sledeća svojstva :

1. komutativnost a⃗+ b⃗= b⃗+a⃗

2. asocijativnost ( a⃗+ b⃗)+ c⃗=a⃗+( b⃗+c⃗ )

3. distributivnost k⋅( a⃗+ b⃗+c⃗ )=k⋅a⃗+k⋅⃗b+k⋅⃗c

Oduzimanje vektora vrši se na taj način što se razlika dva vektora dobija kao zbir prvog vektora i

vektora koji je suprotan drugom vektoru, odnosno a⃗−b⃗=a⃗+(− b⃗) .

8. Razlaganje vektora na komponente

Iz pravila o sabiranju vektora proizilazi da se jedan vektor prema potrebi može razložiti na dva ili više vektora tako da dati vektor bude njihov vektorski zbir. Vektori na koje se dati vektor razlaže nazivaju se komponente vektora.Pravci komponenata mahom zavise od prirode i zahteva problema koji se tretira. U fizici se vektori ( sile, brzine...) razlažu uglavnom na dve ili tri komponente. Ali, ogromna većina problema zahteva razlaganje na dve komponente u ravni, i to skoro redovno na dve komponente koje su međusobno normalne.Uzmimo, npr, kosi hitac. Za nalaženje potrebnih veličina odmah se na početku razlaže brzina, kojom se telo baci, na dve komponente i to na jednu horizontalnu i drugu vertikalnu.

7

Ako se neki vektor c⃗ može razložiti na dve komponente, onda važi relacija : c⃗=k a⃗+l b⃗

Na isti način se može izraziti i veći broj komponenata vektora c⃗ ,

c⃗1=k1 a⃗+l1 b⃗

c⃗2=k2 a⃗+l2 b⃗____________

c⃗= c⃗+ c⃗2+.. .+c⃗n=( k1+k 2+. ..+k n )⋅⃗a+( l1+l2+. ..+ln )⋅b⃗

ako je c⃗=0 , onda i k 1+k2+ .. .+kn=0 i l1+l2+. . .+ ln=0 .

9. Kolinearni i komplanarni vektori

Dva vektora su kolinearna kada su paralelna jednoj pravoj ili se nalaze na jednoj pravoj. Znači, kolinearni vektori mogu biti vektori različite brojne vrednosti i smera, a glavno je samo da budu paralelni.

Pošto je proizvod vektora i skalara takođe vektor onda kažemo da je vektor b⃗=k a⃗ kolinearan

vektorom a⃗ .Uslov kolinearnosti dva vektora može se prikazivati i ovako:

−k a⃗+b⃗=0−kλ=ηη a⃗+ λ b⃗=0

Tri ili više vektora su komplanarni kada su paralelni jednoj ravni ili se nalaze u jednoj ravni. Neka

su data tri vektora a⃗ ,b⃗ i c⃗ u jednoj ravni. Onda je moguće vektor razložiti na dve komponente c⃗1 i

c⃗2 koje su paralelne vektorima a⃗ i b⃗ .

8

c⃗=k a⃗+l b⃗−k a⃗−l b⃗+c⃗=0η a⃗+ λ b⃗+μ c⃗=0−kμ=η−lμ=λ

10. Projekcija vektora

Poznato je da se projekcija neke tačke na datoj osi dobija kada se iz te tačke povuče normala na tu osu. Presečna tačka normale iz te tačke i ose biće projekcija tačke na osi. Kao projekcija vektora na nekoj osi uzima se rastojanje među pravama provučenim kroz krajnje tačke vektora normalno na datu osu.

Projekcija vektora a⃗= A⃗B na osi XX

predstavljena je sa A1 B1 . Veličina te projekcije je rastojanje među dvema navedenim pravama. Projekcija vektora na osi se smatra skalarnom veličinom, a projekcija vektora na pravoj vektorskom veličinom.

Ako sa α označimo ugao između vektora a⃗ i ose

x onda će projekcija iznositi ax=acos α .

11. Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora

Neka su OX, OY i OZ tri uzajamno normalne orijentisane prave koje se seku u tački O. Orijentisane prave OX, OY i OZ se nazivaju koordinatne ose i to x-oca, y-osa , z-osa, a tačka O je koordinantni početak. Ovim elementima je određen Dekardov pravougli koordinantni sistem u prostoru.

Dat je vektor O⃗P= a⃗ u koordinantnom sistemu. Dati vektor možemo razložiti na tri vektora duž koordinantnih osa.

O⃗P= a⃗=O⃗A+O⃗B+O⃗C

Vektori, O⃗A ,O⃗B ,O⃗C predstavljaju komponente vektora a⃗ . Projekcije vektora a⃗ na ose su

algebarske veličine: OA=ax ,OB=a y ,OC=az

9

To su koordinate vektora O⃗P= a⃗ . Koordinantni ortovi i⃗ , j⃗ i k⃗ isto tako su ortovi ( jedinični

vektori ) komponenata vektora a⃗ , pa prema tome : O⃗A=ax i⃗ ,O⃗B=ay j⃗ ,O⃗C=az k⃗ .

Tako se vektor a⃗ može napisati u obliku zbira njegovih komponenata koje su paralelne sa koordinantnim osama tj.

a⃗=ax i⃗+a j⃗+az k⃗

ax=acos α1 , a y=acosα 2 , az=acos α3

Po Pitagori a2=ax

2+a y2 +az

2, pa sledi

|a|=√ax2+a y

2+az2

.

1. Neka su dati a⃗=( x1 , y1 , z1) i b⃗=( x2 , y2 , z2) proizvoljni vektori. Tada je a⃗=x1 i⃗+ y1 j⃗+z1 k⃗ i

b⃗=x2 i⃗+ y2 j⃗+z2 k⃗ . Sabiranjem ova dva vektora dobijamo :

a⃗+ b⃗=( x1 i⃗+ y1 j⃗+ z k⃗ )+( x i⃗+ y2 j⃗+z2 k⃗ )=( x1+x2 )i⃗+( y1+ y2 ) j⃗+( z1+z2 ) k⃗ tj.

a⃗+ b⃗=( x1+x2 , y1+ y2 , z1+z2 ).2.

a⃗=x1 i⃗+ y1 j⃗+z1 k⃗

λa=λ( x1 i⃗+ y1 j⃗+z1 k⃗ )=( λx1 ) i⃗+( λy1) j⃗+( λz1) k⃗

λ a⃗=( λx1 , λy1 , λz1 )

3. - a⃗ je suprotan vektoru a⃗=( x1 , y1 , z1) pa sledi −a⃗=(−x1 ,− y1 ,−z1 )

4. a⃗−b⃗=a⃗+(− b⃗)=( x1 , y1 , z1 )+(−x2 ,− y2 ,−z2 ) tj. a⃗−b⃗=( x1−x2 , y1− y2 , z1−z2 )

12. Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora

Dato je telo koje se moše kretati po horizontalnoj podlozi. Ako na njega deluje drugo telo silom F⃗ , onda je iz elementarne fizike poznato da se rad vrši samo ako se telo pomerilo za izvesno rastojanje.

Uzmimo najpre slučaj da sila F⃗ deluje paralelno podlozi i neka je taj određeni put s. Znamo da je pri

10

tom izvesni rad A=Fs. Rad je prema svojoj prirodi tipično skalarna veličina. Odmah se vidi da je ta skalarna veličina u ovom slučaju jadnaka proizvodu intenziteta vektora sile i vektora puta.

U opštem slučaju sila ne deluje baš u pravcu kretanja tela, nego sa tim pravcem zahvata neki ugao q.

Prema tome rad vrši samo ona komponenta tih sila koja je u pravcu kretanja tela. Zato se sila F⃗

razlaže na komponente F⃗1 i F⃗2 . Prva je definisana kao pomeraj tela, a druga je nmormalna na nju.

Sila F⃗2ne izaziva nikakvo pomeranje tela, pa ne vrši ni rad, tako da aktivna sila koja vrši rad nije

celokupna sila F⃗ , nego samo njena komponenta F⃗1 .A=F1⋅s

F1=F cosθ=F cos( F⃗ , s⃗ )⇒ A=F⋅s⋅cosθ=F⋅s⋅cos ( F⃗ , s⃗ )Ovo je skalarani proizvod dva vektora.

1. Skalarni ili unutrašnji proizvod dva vektora je proizvod apsolutne vrednosti ( intenziteta ) jednog vektora i projekcije drugog vektora.

2. Skalarni proizvod dva vektora je proizvod njihovih apsolutnih vrednosti ( intenziteta ) i kosinusa ugla između tih vektora.

Taj proizvod je skalarna veličina pa se zato naziva skalarnim.Skalarni proizvod : vektor-tačka-vektor

a⃗⋅⃗b=|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos ( a⃗ , b⃗ )Iz ovoga se može videti da skalarni proizvod dva međusobno normalna vektora je jednak nuli.

1. komutativni zakon

cos ( a⃗ , b⃗ )=cos ( b⃗ , a⃗ )⇒ a⃗⋅b⃗=b⃗⋅⃗a2. distributivni zakon

a⃗⋅( b⃗+ c⃗ )= a⃗⋅b⃗+ a⃗⋅c⃗a⃗ ( b⃗+c⃗+d⃗+. .. )=a⃗⋅⃗b+ a⃗⋅c⃗+a⃗⋅⃗d+.. . .

Ovo se može proširiti i na proizvod vektorskih polinoma.

( a⃗+ b⃗)⋅( c⃗+d⃗ )=a⃗⋅c⃗+ b⃗⋅c⃗+a⃗⋅⃗d+b⃗⋅⃗da⃗⋅a⃗=a⋅a cos 0=a2

( a⃗±b⃗ )=a⃗⋅⃗a±2 a⃗⋅b⃗+ b⃗⋅b⃗( a⃗+ b⃗)( a⃗−b⃗ )= a⃗⋅a⃗−b⃗⋅⃗b=a2−b2

3. asocijativni zakon

(k⋅a⃗ )b⃗=k ( a⃗⋅b⃗ )=k⋅a⃗⋅⃗b=(k b⃗ ) a⃗

11

Skalarni proizvod dva vektora u analitičkom obliku :

a⃗=ax i⃗+a y j⃗+az k⃗

b⃗=bx i⃗+b y j⃗+bz k⃗

a⃗⋅⃗b=(ax i⃗+a y j⃗+az k⃗ )⋅(bx i⃗+b y j⃗+bz k⃗ )

a⃗⋅⃗b=ax bx+a y b y+az bz

i⃗⋅j⃗= j⃗⋅i⃗= j⃗⋅⃗k=k⃗⋅ j⃗=k⃗⋅⃗i=i⃗⋅⃗k=0

i⃗⋅i⃗= j⃗⋅ j⃗= k⃗⋅k⃗=i⃗2= j⃗2= k⃗2

Zadatak 5. Vektori a⃗ i b⃗ su uzajamno ortogonalni , a vektor c⃗ gradi sa njima uglove od

π3 . Ako je

|a⃗|=3 ,|b⃗|=5 ,|c⃗|=8 , naći:

a)

(3 a⃗−2b⃗ )( b⃗+3 c⃗ )=3 a⃗ b⃗+9 a⃗ c⃗−2 b⃗2−6 b⃗ c⃗=

9|a⃗||c⃗|cosπ3

−2|b⃗|2 cos0−6|b⃗||c⃗|cosπ3

=9⋅3⋅8⋅12−2⋅5⋅5−6⋅5⋅8⋅1

2=−62

b)

( a⃗+b⃗+ c⃗ )2=a⃗2+ b⃗2+ c⃗2+2 a⃗ b⃗+2 a⃗ c⃗+2 b⃗ c⃗=

|a⃗|2+|b⃗|2+|c⃗|2+2|a⃗||b⃗|cosπ2

+2|a⃗||c⃗|cosπ3

+2|b⃗||c⃗|cosπ3

=

9+25+64+24+40=162c)

( a⃗+2 b⃗−3 c⃗ )2= a⃗2+4 b⃗2+9 c⃗2+4 a⃗ b⃗+−6 a⃗ c⃗−12 b⃗ c⃗=

|a⃗|2+4|b⃗|2+9|c⃗|2−6|a⃗||c⃗|cosπ3

−12|b⃗||c⃗|cosπ3

=

9+100+576−72−240=373

13. Vektorski ili spoljašnji proizvod dva vektora

Vektorski proizvod dva vektora a⃗ i b⃗ je vektor c⃗ čiji je intezitet jednak površini paralelograma, čije su stranice dati vektori i koji je normalan na tu povrsinu, a takvog je smera da za posmatrača, koji

12

stoji uz vektor c⃗ rotacija najkraćim putem od a⃗ vektora do b⃗ vektora bude pozitivna (suprotno

smeru kazaljke na satu ).Vektori a⃗ ,b⃗ i c⃗ čine desni koordinatni sistem.Kao znak vektorskog mnozenja usvojeno je x.

Ako je q ugao između a⃗ i b⃗ , a c⃗0 ort vektora c⃗ biće: c⃗= a⃗ x b⃗=c⃗0⋅cApsolutna vrednost vektorskog proizvoda :

c=|c⃗|=|a⃗ x b⃗|=ab sinθ

Promenom reda faktora (a⃗ , b⃗ ) menja se znak proizvoda

tj. dobija se −c⃗ pa zbog toga se uzima: a⃗ x b⃗=− b⃗ x a⃗ . To znači da za vektorski proitvod ne važi komutativni zakon nego umesto njega važi antikomutativni ili alterativni

zakon. Posmatranjem paralelograma stranice a⃗ i b⃗ zaključujemo da se vektorski proizvod ne menja kada se jednom faktoru doda vektor paralelan sa drugim faktorom.

a⃗ x b⃗1=a⃗ x b⃗2=a⃗ x b⃗3

Vrhovi b⃗1 , b⃗2 , b⃗3 su na pravoj

koja je paralelna sa a⃗

Za vektorski proizvod vazi distributivni zakon:

a⃗×( b⃗+c⃗ )= a⃗× b⃗+a⃗×c⃗

Pri množenju vektorskog proizvoda skalarom važi asocijativni zakon:m⋅( a⃗× b⃗)=(m a⃗)×b⃗=ma⃗×b⃗

Uslov paralelnosti vektora je:a⃗×b⃗=0 tj. ugao između njih je nula stepeni, što znači da su paralelni.

Vektorski proizvod nekog vektora samim sobom je jednak nuli: a⃗×a⃗=0 . Uslov kolinearnosti

vektora: k a⃗×a⃗+ λ a⃗×b⃗=0⇒ a⃗×b⃗=0 .Kod vektorskog proizvoda ne postoji deljenje kao obrnuta operacija množenju. To znači da, ako se zna vektorski proizvod i jedan faktor, ne može se tek tako odrediti drugi faktor.

Vektorski proizvod koordinatnih ortova: i⃗× j⃗=k⃗ , j⃗× k⃗=i⃗ , k⃗×i⃗= j⃗ .

Vektorski proizvod dva vektora u analitičkom obliku

Data su dva vektora: a⃗=ax i⃗+a y j⃗+az k⃗ i b⃗=bx i⃗+b y j⃗+bz k⃗ , onda je:

a⃗×b⃗=(a y bz−az b y) i⃗+(az b x−ax bz ) j⃗+(ax b y−ay bx ) k⃗ .

Ako označimo a⃗×b⃗=c⃗ vidi se da su projekcije vektora c⃗ na koordinatnim osama vezane sa projekcijama vektora – faktora sledećim relacijama:c x=ay bz−az b y ;c y=az bx−ax bz ; cz=ax b y−a y bx

Vektorski proizvod se može prikayati i determinantom:

13

a⃗×b⃗=|i⃗ j⃗ k⃗

ax ay az

bx by bz

|

a možemo koristiti i šemu:

Zadatak 6. Koji uslov treba da ispunjavaju vektori a⃗ i b⃗ da bi vektori 2 a⃗+b⃗∧2 a⃗−b⃗ bili kolinearni.Rešenje:

(2 a⃗+b⃗ )×(2 a⃗−b⃗ )=2 a⃗×(2a⃗−b⃗ )+b⃗×(2 a⃗−b⃗ )=2 a⃗×2 a⃗−2 a⃗×b⃗+b⃗×2 a⃗−b⃗×b⃗==b⃗×2 a⃗+b⃗×2 a⃗=2( b⃗×2 a⃗ )=4 b⃗×a⃗=0

sledi, pošto su ova dva vektora kolinearna onda su a⃗ i b⃗ kolinearni.

14. Orijentacija površine i predstavljanje površine vektorom

U raznim oblastima fizike i matematike obe strane jedne površi ne igraju istu ulogu. Poznato je da između struje i magnetnog polja jednog provodnika nije isti na obe strane površine strujnog kola. Pojavila se potreba za orijentaciju površine a to znači da se jedna strana površine usvoji kao pozitivna, druga kao negativna. Kada je površini dat smer cirkulacije onda je pozitivni smer normale, odnosno

normalni ort n⃗ te površine takav da posmatraču koji stoji uz normalni ort, cirkulacija teče u pozitivnom

smeru ( pravilo desnog zavrtnja ). Strana površine prema normali n⃗ naziva se pozitivnom stranom, a suprotna strana je negativna strana.

Konvencijalno je uzeto da se orijentisana površina predstavlja vektorom, koji ima brojnu vrednost jednaku brojnoj vrednosti te površine a smer vektora je smer pozitivne normale na površini ( pravilo desne šake ). Napadna ( početna ) tačka M tog vektora je bilo koja tačka te površine. Brojna vrednost te površine neka je S, onda je

vektor koji predstavlja tu orijentisanu površinu : S⃗=S⋅⃗n gde je n⃗

jedinični vektor vektora S⃗ .Kada se usvoji desni koordinatni sistem onda je pozitivna strana površine orijentisana tako da osobi koja bi išla po konturi u ravni u

smeru orijentacije pozitivna strana površine u ravni ostaje stalno na levoj strani. Tu se radi o zatvorenoj ravnoj orijentisanoj površini.Kada bi se usvojio levi koordinantni sistem onda bi pozitivna strana površine bila ona strana koja je negativna. Kada se radi o orijentaciji površina nekog tela, onda treba da se zna da su površinski vektori orijentisani u smeru izvan tela. Tako su spoljašnje strane ravnih površina poliedara pozitivne. Na primer, trostrana piramida :

14

iz jednog temena idu 3 vektora a⃗ , b⃗ , c⃗ i to su ivice piramide, a ostale ivice predstavljaju razlike odgovarajućih vektora.

- glavno je da vektorski zbir stranica trougla bude jednak nuli

- dvostruka površina DAB je predstavljena kao 2 S⃗3=a⃗×b⃗ , DBC kao 2 S⃗2=b⃗× c⃗ , DCA kao 2 S⃗4= c⃗×a⃗ i ABC kao

2 S⃗1=( c⃗− a⃗)×( b⃗−a⃗ )∨2 S⃗1=( a⃗−b⃗ )×( c⃗−b⃗ ).

15. Proizvod tri vektora

Tri vektora se međusobno mogu množiti na osnovu skalarnog i vektorskog proizvoda tako da se dobija jedna od tri kombinacije proizvoda.1. Skalarni proizvod dva vektora se pomnoži trećim vektorom2. Vektorski proizvod dva vektora se skalarno pomnoži trećim ( mešoviti proizvod )3. Vektorski proizvod dva vektora se vektorski pomnoži trećim ( dvostruki vektorski proizvod )

1. Skalarni proizvod dva vektora je skalar. Proizvod tog skalara sa trećim vektorom je vektor

kolinearan sa trećim vektorom. Ako imamo tri vektora a⃗ , b⃗ , c⃗ onda je njihov proizvod :

( a⃗⋅b⃗ )⋅⃗c=c⃗⋅( a⃗⋅b⃗ )=( b⃗⋅a⃗ )⋅⃗c=a⋅b⋅c⃗⋅cos( a⃗ , b⃗)

Ovakvi proizvodi su različitog pravca i smera, pa je ( a⃗⋅b⃗ )⋅⃗c≠a⃗⋅( b⃗⋅⃗c )≠ b⃗⋅( a⃗⋅c⃗ )

2. Prema definiciji ovaj proizvod je ( a⃗×b⃗ )⋅⃗c . Vektorsko-skalarni proizvod je skalar ako se sluzimo

desnim koordinatnim sistemom i ako uzmemo da vektori a⃗ , b⃗ , c⃗ polaze iz iste tačke ali da nisu komplanarni onda:

- Vektorski proizvod a⃗×b⃗ brojno je jednak površini paralelograma ( stranica a i b) i predstavljen je vektorom

S⃗= a⃗× b⃗ ( koji je normalan na ravan vektora a⃗ i b⃗ .

- S⃗⋅c⃗=S⋅c⋅cos θ=S⋅h=V gde je V zapremina paralelopipeda.

-pošto ugao θ može biti i tup:( a⃗×b⃗ )⋅⃗c=±VMešoviti proizvod tri vektora brojno je jednak zapremini paralelopipeda, čije su ivice dati vektori, sa pozitivnim znakom ispred ako je redosled vektora isti kao kod osa

usvojenog sistema, a sa negativnim ako je redosled obrnut.

15

Cikličnom permutacijom tri vektora se ne menja njihov mešoviti proizvod:

(⃗a×b⃗ )⋅⃗c=( b⃗× c⃗ )⋅a⃗=( c⃗×a⃗ )⋅⃗b , a svakom drugom permutacijom se menja znak proizvoda kao na

primer ( a⃗×b⃗ )⋅⃗c=−( b⃗×a⃗ )⋅⃗c .Mešoviti proizvod vektora se ne menja kada se međusobno zamene znaci vektorskog i skalarnog

množenja ali samo ako se ne menja redosled faktora:( a⃗×b⃗ )⋅⃗c= a⃗⋅( b⃗×c⃗ ).Ako su u mešovitom proizvodu tri vektora dva vektora međusobno identična ili ako su data tri vektora komplanarna onda je taj proizvod jednak nuli.

a⃗⋅( a⃗×c⃗ )=0∧ a⃗⋅( b⃗× c⃗ )=0⇔ a⃗ ,b⃗ , c⃗ su komplanarni

Mešoviti proizvod koordinatnih ortova je jednak jedinici:i⃗⋅( j⃗×k⃗ )=1=i⃗⋅i⃗ , a u obrnutom redosledu

je:i⃗⋅( k⃗× j⃗)=i⃗⋅(−i⃗)=−1

Analitički oblik mešovitog proizvoda:

a⃗=ax i⃗+a y j⃗+az k⃗

b⃗=bx i⃗+b y j⃗+bz k⃗

c⃗=cx i⃗+c y j⃗+cz k⃗

a⃗ ( b⃗× c⃗ )=(ax i⃗+ay j⃗+az k⃗ )⋅[(b y cz−bz c y )⋅⃗i+(bz c x−bx cz )⋅ j⃗+(bx c y−b y c x)⋅k⃗ ]=|ax ay az

bx by bz

c x c y cz

|

3. Prema definiciji ovaj proizvod je a⃗×( b⃗×c⃗ ). Vektorsko-vektorski proizvod je vektor. On je normalan i na

vektor proizvoda b⃗×c⃗ i na vektor a⃗ . To znači da se konačni vektor nalazi u ravni b⃗∧c⃗ tj. on je komplanaran sa njima.

Iz uslova komplanarnosti se dobija: a⃗×( b⃗×c⃗ )=k b⃗+mc⃗ gde su k i m skalarni faktori. Ove skalarne faktore

nije lako odrediti pa se uvodi pomoćni vektor d⃗ koji je u ravni sa b⃗∧c⃗ i normalan je na vektor c⃗ .

Smer vektora d⃗ tako da vektori d⃗ , c⃗ ,b⃗ budu redosleda desnog sistema. Množenjem se dobija:

16

[ a⃗×( b⃗× c⃗ )]⋅⃗d=k⋅( b⃗⋅d⃗ )

[( b⃗× c⃗ )×d⃗ ]⋅a⃗=k⋅( b⃗⋅d⃗ )

Sa slike vidimo da je vektor ( b⃗×c⃗ )× d⃗ usmeren po vektoru c⃗ i :

( b⃗×c⃗ )× d⃗=bcd sin( b⃗ , c⃗ )sinπ2=cbd cos( b⃗ , d⃗ )=c⃗ ( b⃗⋅d⃗ )⇒( b⃗× c⃗ )×d⃗=c⃗ ( b⃗⋅d⃗ )

zamenom se dobija

[( b⃗× c⃗ )×d⃗ ]⋅a⃗=( a⃗⋅c⃗ )( b⃗⋅d⃗ )=k⋅( b⃗⋅d⃗ )k=a⃗⋅c⃗

Da bi dobili m relaciju a⃗×( b⃗×c⃗ )=k⋅b⃗+m⋅c⃗ ćemo da napišemo u obliku

a⃗×( b⃗×c⃗ )=−( a⃗⋅c⃗ )⋅b⃗−mc⃗ odakle je m=−( a⃗⋅b⃗) . Napokon se dobija:

a⃗×( b⃗×c⃗ )=b⃗( a⃗⋅c⃗ )−c⃗ ( a⃗⋅b⃗ )Vektorsko-vektorski proizvod tri vektora transformira se u razliku dva vektora, od kojih je prvi proizvod srednjih vektora i skalarnog proizvoda krajnjih vektora, a drugi proizvod drugog vektora iz zagrade i skalarnog proizvoda ostala dva vektora.Ciklična permutacija dovodi do tri potpuno različita vektora.

a⃗×( b⃗×c⃗ )=b⃗⋅( a⃗⋅⃗c )− c⃗( a⃗⋅b⃗ )

b⃗×( c⃗×a⃗ )=⃗c⋅¿( b⃗⋅a⃗ )− a⃗⋅( b⃗⋅c⃗ ) ¿ c⃗×( a⃗× b⃗)=a⃗⋅( c⃗⋅⃗b )−b⃗⋅( c⃗⋅a⃗)Promena mesta zagrade izaziva promenu:

a⃗×( b⃗×c⃗ )≠( a⃗×b⃗ )× c⃗Analitičko izvođenje

-ako je p⃗=( b⃗×c⃗ )onda je koordinata na x-osi

[ a⃗×( b⃗× c⃗ )]x=a y pz−az py=a y( bx c y−b y cx )−az (bz c x−bx cz )

-ako dodamo identitet ax bx c x−ax bx cx=0 matematički sledi

[ a⃗×( b⃗× c⃗ )]=bx (ax cx+ay c y+az cz )−cx( ax bx+a y b y+az bz )=bx( a⃗×c⃗ )−c x( a⃗×b⃗ )

- ako je a⃗=c⃗ matematički sledi a⃗×( b⃗×a⃗ )= a⃗2⋅b⃗− a⃗⋅( a⃗⋅b⃗ )

17

16. Literatura

1. Matematika za III razred srednje škole2. Zbirka rešenih zadataka za treći razred gimnazija i tehničkih škola3. Internet

18