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Seminario di Metodi Matematici per l’ottimizzazioneA.A.2011/2012

Interpolazione Trigonometrica

Daniele Santamaria – Marco Ventura

Sommario Introduzione. Interpolazione. Interpolazione nel piano complesso. Radici n-esime. Interpolazione trigonometrica. Esempi. Implementazione in Matlab.

IntroduzioneApprossimare le funzioni è utile quando:

Manca l’espressione che descrive un fenomeno e abbiamo solo alcuni valori.

L’espressione è nota, ma difficile da gestire.

Introduzione

Nel primo sostituiamo la funzione f con una più

semplice g, che sia quanto più possibile “vicina” a quella

approssimata, rispettando una certa tolleranza:

Nel secondo caso cerchiamo una funzione approssimante che passi per i punti noti (interpolazione).

tolleranzagf ||||

Interpolazione

Nel caso dell’interpolazione vogliamo che la funzione interpolante passi esattamente per alcuni punti.Date n coppie di numeri reali unafunzione g è detta interpolante se:

Se come funzione interpolante usiamo i polinomi, l’interpolazione si dirà:

Interpolazione Polinomiale.

niyx ii ,....,0,,

niyxg ii ,.......,0)(

Interpolazione

Nel corso di Formazione Numerica abbiamostudiato vari metodi di interpolazione: Metodo dei coefficienti Indeterminati. Lagrange. Metodo delle differenze divise di Newton. Hermite.

Interpolazione

Cosa accade però se la funzione da interpolare è periodica?Ricordiamo che f è periodica di periodo T se:

Se f è periodica di periodo T, lo è anche di periodo kT, con k intero.

xTxfxfconf ,)()(:

Interpolazione

Per approssimare funzioni periodiche non possiamo usare i classici polinomi, in quanto non periodici.

Allora dobbiamo considerare i polinomi composti da funzioni che siano: Periodiche. Facili da calcolare.

Ovviamente ci riferiamo alle funzioni seno e coseno.

Interpolazione

Le funzioni seno e coseno godono delle seguenti proprietà: Sono periodiche. Facili da calcolare. Sono ortogonali tra loro in un intervallo di , allora

sono anche linearmente indipendenti e quindi formano una base.

Le loro derivate e primitive sono funzioni della stessa classe.

]2,0[

InterpolazioneVogliamo calcolare un nuovo polinomio, ovvero un Polinomio Trigonometrico, la cui base è data dalle funzioni:

In particolare una funzione del tipo:

È detta Polinomio Trigonometrico di grado m.

m

jjj jxjxxF

0

)sincos()(

,.......)2sin,2cos,sin,cos,1( xxxx

InterpolazioneQuindi, data funzione periodica, il problema dell’interpolazione trigonometrica è quello di trovare

Dove, dati n punti:

[2,0[:)( xf

1,........,0,)( nkyxF kk

)(

1,....,0,2

kk

k

xfy

nkn

kx

Interpolazione nel piano complessoPer trovare F(x) nel piano reale possiamo partiredal caso generale nel piano complesso. Infatti, dato che una funzione a valori reali può essere considerata come una particolare funzione a valori complessi il problema in R puòessere considerato un caso particolare del problema in C.

Pertanto, il problema dell’interpolazione trigonometrica è riconducibile al problema di interpolazione polinomiale sul cerchio unitario nel piano complesso.

Interpolazione nel piano complessoNel piano complesso gli n nodi corrispondono alleradici n-esime dell’unita, cioè dei punti del cerchio unitario.

Geometricamente sono i verticidi un poligono regolare di n latii cui vertici sono disposti lungo la circonferenza unitaria,radialmente equispaziati e con un vertice in (1,0).

Radice n-esima

Nel piano complesso gli n nodi sono le radici n-esime dell’unità, cioè i punti del cerchio unitario:

1,....,0,2

nke n

kikn

Interpolazione nel piano complessoL’interpolazione polinomiale nel piano complesso consistenel trovare i numeri complessi coefficienti del polinomio di grado al più n-1:

Tale che:

1,....,0, njz j

1

0

)(n

j

jjzp

1,....,0,)( nkyp kkn

1

2

Interpolazione nel piano complessoPartendo dalle precedenti formule (1 e 2) si ha che i coefficienti z si ricavano risolvendo il sistema:

Con:yVz

Tn

Tn

zzzz

yyyy

].,,.........,[

],,.........,[

110

110

3

Interpolazione nel piano complessoV è la matrice di Vandermonde con elementi

1,......,0,,1, njkv jnjk

1210

12

22

12

02

11

21

11

01

....

:..:

:..:

....

....

nnnnn

n

n

V

Interpolazione nel piano complessoSe n=3

2

1

0

2

1

0

233

222

211

2

1

0

2

1

0

23

13

03

22

12

02

21

11

01

1

1

1

y

y

y

z

z

z

y

y

y

z

z

z

Interpolazione nel piano complesso

Dobbiamo risolvere il sistema 3.

Definita la trasposta i cui elementi sono i coniugati degli elementi di V si ha che:

Quindi:

yVz 1HV

HH Vn

VnIVV11

yVn

z H1


Il vettore z è la Trasformata Discreta di Fourier:

Il vettore y è la Trasformata Discreta Inversa di Fourier:

1,,.........0,1

)(1

0

njyn

zyDFTzn

k

jknkj

1,........,0,)(1

0

nkzyzIDFTyn

j

jknjk

4

Interpolazione nel piano complessoOsserviamo che ponendo i valori

Corrispondono alle radici n-esime dell’unità

E, per la 3, ai valori

ixe

1,.....,0,2

nkn

kxk

kixn

kikn ee

2

1,.......,0, nkyk


Adesso abbiamo quello che serve per calcolare il polinomio 1:

Distingueremo due casi, uno per n pari e l’altro pern dispari.

1

0

)(n

j

jjzp

Interpolazione nel piano complessoSe n è dispari, ponendo n=2m-1, avremo:

221

10

221

0

22

0

1

0

)(

m

mj

jkj

m

j

jkj

m

mj

jkj

m

j

jkj

m

j

jkj

n

j

jkj

zzz

zz

zzP


Alla fine, per n dispari si ottiene:

Analogamente per n pari poniamo n=2m, allora

1

0

*0)(

m

j

jknj

jknj zzzP

mknm

m

j

jknj

jknj

m

j

jknj

n

j

jknj

zzzz

zzP

1

1

*0

12

0

1

0

)(

)(


Iniziamo calcolando

Visto che (formula di Eulero):

kkijxjk

n jxijxe k sincos

1

0

*0)(

m

j

jknj

jknj zzzP


1

1

*0 ))sin()(cos()sin(cos...

m

jkkjkkj jxijxzjxijxzz

Si ottiene

Ma e , allora:)cos()cos()sin()sin(

1

1

**0 )sin)(cos)((...

m

jkjjkjj jxzzijxzzz

Interpolazione nel piano complessoPongo

Ottenendo

1,...,0),(,,2

1 **00 njzzizzz jjjjjj

1

1

0 )sincos(2

m

jkjkjk jxjxy


Calcoliamo il coefficiente, , e per la 4: *jjj zz

1

0

1

0

1

0

1

0

)(1

)(1

11

n

k

ijxijxk

n

k

jkn

jknk

n

k

jknk

n

k

jknkj

kk eeyn

yn

yn

yn


Richiamando Eulero:

Otteniamo:2

cosixix ee

x

1,......,0,cos2

cos21

)(1

1

0

1

0

1

0

njjxyn

jxyn

eeynn

kkk

n

kkk

n

k

ijxijxkj

kk

Interpolazione nel piano complessoCalcoliamo il coefficiente, , per la 4: )( *

jjj zzi

1,.....,0,)(1

0

1

0

1

0

njeeyn

i

yn

iy

n

i

n

k

ijxijxk

n

k

jknk

n

k

jknkj

kk


Richiamando Eulero:Otteniamo: i

eex

ixix

2sin

1,......,0

,sin2

sin)2(

sin2)(

1

0

1

0

1

0

1

0

nj

jxyn

jxyn

ii

jxiyn

ieey

n

i

n

kkk

n

kkk

n

kkk

n

k

ijxijxkj

kk

Interpolazione nel piano complessoTorniamo al polinomio:

con

mknm

m

j

jknj

jknj zzzzP

1

1

*0 )()(

kmkn mxcos

1

0

1 n

k

mknkm y

nz

1

0

1

0

2

2

1

0

21

0

1

0

11

111

n

k

kik

n

k

m

kim

k

n

k

n

kim

k

n

k

imxk

n

k

mknkm

eyn

eyn

eyn

eyn

yn

z k

Interpolazione nel piano complessoConsiderando che:

Abbiamo:

xixe ix sincos

1

0

1

0

)1(1

)sin(cos1

...

n

kk

k

n

kk

yn

kikyn

Interpolazione nel piano complessoPonendo:

1

0

)1(2

2n

kk

kmm y

nz

Interpolazione TrigonometricaSi ha che il polinomio trigonometrico di interpolazione dellafunzione negli n punti vale:

Ponendo n=2m-1 se n è dispari e n=2m se è pari.

1

1

0

1

1

0

2,cos2

)sincos(2

12,)sincos(2

)(m

j

mjj

m

jjj

n

mnsemxjxjx

mnsejxjx

xF

Interpolazione TrigonometricaI coefficienti sono dati da:

1

0

1

0

1

0

)()1(2

sin)(2

cos)(2

n

kk

km

k

n

kkj

k

n

kkj

xfn

jxxfn

jxxfn

EsempiCalcoliamo il polinomio trigonometrico per una semplice funzione periodica.

Consideriamoed f sia periodica.

Supponiamo di voler interpolare su 4 punti.

xxff )(:[2,0[:

Esempi

Avremo:Dividiamo il dominio in punti equidistanti:

24 mn

1,....0,2

nkn

kxk

kx

)( kxf

k

2

0

0

02

2

3

2

3

1 2 3

Esempin è pari, allora calcoleremo

ovvero

1

1

0 cos2

)sincos(2

)(m

j

mjjn mxjxjxxF

mxxx

mxjxjxxF

m

j

mjj

cos2

)sincos(2

cos2

)sincos(2

)(

110

1

1

04

Esempi

Calcoliamo i coefficienti: , , , .0 1 m1

2

3)

2

3

20(

2

1)0cos()(

2

1

)0cos()(4

2)cos()(

2

3

0

14

0

1

00

kk

kk

kk

n

kk

xf

xxfjxxfn

EsempiContinuando, si ha:

2)

2

3cos

2

3cos

2cos2

0(2

1

)cos()(2

1 3

01

kk

k xxf

2)

2

3sin

2

3sin

2sin2

0(2

1

)sin()(2

1 3

01

kk

k xxf

EsempiL’ultimo coefficiente vale:

2))1(

2

3)1(

20(

2

1

)()1(2

1 3

0

k

kk

m xf

EsempiPertanto il polinomio cercato nei 4 punti vale:

)2cos2

sincos2

3(2

2cos4

)sin2

cos2

(4

3

cos2

)sincos(2

)(1

1

04

xxx

xxx

mxjxjxxFj

mjj

Esempi

Risultato grafico su tre periodi di f

Esempi

Interpolazione su 10 punti:

Esempi

Interpolazione su 25 punti:

Esempi

Proviamo con: e n=5 12

)(

x

xexf

x

Esempi


)(

x

xexf

x

Implementazione in MatLab

InterpolazioneTri.m

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