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CriptografiaRSA: uma
aplicacao dosnumerosprimos
Profo JoseSergio
Itens
Motivacao
Introducao
Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Criptografia RSA: uma aplicacao dos numerosprimos
Profo Jose Sergio
Universidade Estadual de Montes ClarosDepartamento de Ciencias Exatas/Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas
Caixa Postal 126 – 39401-089 – Montes Claros – MG – [email protected]
9 de junho de 2010
Profo Jose Sergio Criptografia RSA: uma aplicacao dos numeros primos
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CriptografiaRSA: uma
aplicacao dosnumerosprimos
Profo JoseSergio
Itens
Motivacao
Introducao
Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
1 Motivacao
2 Introducao
3 Um pouco de Historia
4 Fundamentacao Teorica do RSA
5 Metodologia
6 Exemplo
7 Como quebrar o RSA?
8 Referencias
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Motivacao
Introducao
Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Motivacao
Relembrar alguns conceitos basicos da Teoria dosNumeros.
Relembrar a definicao de Numeros Primos e suas principaispropriedades.
Mostrar uma das milhares de aplicacoes diretas damatematica no cotidiano do ser humano.
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Introducao
Um pouco deHistoria
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Motivacao
Relembrar alguns conceitos basicos da Teoria dosNumeros.
Relembrar a definicao de Numeros Primos e suas principaispropriedades.
Mostrar uma das milhares de aplicacoes diretas damatematica no cotidiano do ser humano.
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Um pouco deHistoria
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Metodologia
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Como quebraro RSA?
Referencias
Motivacao
Relembrar alguns conceitos basicos da Teoria dosNumeros.
Relembrar a definicao de Numeros Primos e suas principaispropriedades.
Mostrar uma das milhares de aplicacoes diretas damatematica no cotidiano do ser humano.
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Introducao
Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Introducao
Encaminhar mensagens de forma segura e uma praticaantiga (Grecia Antiga).
Nos dias de hoje o sigilo de informacoes e fundamental.
As mensagens transmitidas pela internet podem serinterceptadas com certa facilidade.
Portanto, e necessario codifica-las.
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Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Introducao
Encaminhar mensagens de forma segura e uma praticaantiga (Grecia Antiga).
Nos dias de hoje o sigilo de informacoes e fundamental.
As mensagens transmitidas pela internet podem serinterceptadas com certa facilidade.
Portanto, e necessario codifica-las.
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Introducao
Encaminhar mensagens de forma segura e uma praticaantiga (Grecia Antiga).
Nos dias de hoje o sigilo de informacoes e fundamental.
As mensagens transmitidas pela internet podem serinterceptadas com certa facilidade.
Portanto, e necessario codifica-las.
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Introducao
Encaminhar mensagens de forma segura e uma praticaantiga (Grecia Antiga).
Nos dias de hoje o sigilo de informacoes e fundamental.
As mensagens transmitidas pela internet podem serinterceptadas com certa facilidade.
Portanto, e necessario codifica-las.
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Introducao
Para manter tais informacoes em sigilo, foi necessario criarcodigos difıceis de serem quebrados, mesmo com a ajudade computadores.
O codigo (metodo) mais utilizado nos dias de hoje e oRSA.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Introducao
Para manter tais informacoes em sigilo, foi necessario criarcodigos difıceis de serem quebrados, mesmo com a ajudade computadores.
O codigo (metodo) mais utilizado nos dias de hoje e oRSA.
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Introducao
O RSA, foi criado em 1978, por R. L. Rivest, A. Shamir eL. Adleman, quando trabalhavam no M.I.T.
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Introducao
A implementacao do metodo depende da obtencao de doisnumeros primos muito grandes.
Daı a existencia desse trabalho, que dentre outras coisas,apresenta um algoritmo de verificacao de primalidade.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Introducao
A implementacao do metodo depende da obtencao de doisnumeros primos muito grandes.
Daı a existencia desse trabalho, que dentre outras coisas,apresenta um algoritmo de verificacao de primalidade.
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Metodologia
Exemplo
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Referencias
Introducao
Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo)
estudo do oculto
Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita)
arte de esconder mensagens
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Introducao
Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo)
estudo do oculto
Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita)
arte de esconder mensagens
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Metodologia
Exemplo
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Referencias
Introducao
Decifrar
ler a mensagem sem autorizacao
Decodificar
ler a mensagem com autorizacao
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Introducao
Decifrar
ler a mensagem sem autorizacao
Decodificar
ler a mensagem com autorizacao
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Um pouco de Historia
O primeiro a utilizar a criptografia como meio de esconderinformacoes secretas foi Cesar.
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Um pouco de Historia
O codigo de Cesar foi utilizado por muito tempo paratransmitir mensagens militares.
Ela e um tipo de cifra de substituicao na qual cada letrado texto e substituıda por outra, que se apresenta noalfabeto abaixo dela um numero fixo de vezes.
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Um pouco de Historia
O codigo de Cesar foi utilizado por muito tempo paratransmitir mensagens militares.
Ela e um tipo de cifra de substituicao na qual cada letrado texto e substituıda por outra, que se apresenta noalfabeto abaixo dela um numero fixo de vezes.
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Um pouco de Historia
Um exemplo do codigo de Cesar e o seguinte:
A B C D E F G H I J K L M
D E F G H I J K L M N O P
N O P Q R S T U V W X Y Z
Q R S T U V W X Y Z A B C
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Um pouco de Historia
Basicamente, o que o codigo acima faz, e transladar as letrasdo alfabeto.
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Um pouco de Historia
Dessa forma, a codificacao de “Pesquisa cientıfica” sera:
Shvtxlvd flhqwlifld
Ja a decodificacao de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” e:
A Matematica e linda!
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Um pouco de Historia
Dessa forma, a codificacao de “Pesquisa cientıfica” sera:
Shvtxlvd flhqwlifld
Ja a decodificacao de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” e:
A Matematica e linda!
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Um pouco de Historia
E um metodo interessante, mas com imperfeicoes graves:
E de facil decodificacao (frequencia das letras).
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de um canal seguro.
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Metodologia
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Referencias
Um pouco de Historia
E um metodo interessante, mas com imperfeicoes graves:
E de facil decodificacao (frequencia das letras).
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de um canal seguro.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Um pouco de Historia
E um metodo interessante, mas com imperfeicoes graves:
E de facil decodificacao (frequencia das letras).
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de um canal seguro.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Existem dois tipos de codigos criptograficos:
1 Chave secreta
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de canal seguro.
2 Chave Publica
Saber codificar nao implica saber decodificar.
Nao precisa de canal seguro.
O mais popular e o RSA.
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Metodologia
Exemplo
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Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Existem dois tipos de codigos criptograficos:
1 Chave secreta
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de canal seguro.
2 Chave Publica
Saber codificar nao implica saber decodificar.
Nao precisa de canal seguro.
O mais popular e o RSA.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Existem dois tipos de codigos criptograficos:
1 Chave secreta
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de canal seguro.
2 Chave Publica
Saber codificar nao implica saber decodificar.
Nao precisa de canal seguro.
O mais popular e o RSA.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Existem dois tipos de codigos criptograficos:
1 Chave secreta
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de canal seguro.
2 Chave Publica
Saber codificar nao implica saber decodificar.
Nao precisa de canal seguro.
O mais popular e o RSA.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Existem dois tipos de codigos criptograficos:
1 Chave secreta
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de canal seguro.
2 Chave Publica
Saber codificar nao implica saber decodificar.
Nao precisa de canal seguro.
O mais popular e o RSA.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Existem dois tipos de codigos criptograficos:
1 Chave secreta
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de canal seguro.
2 Chave Publica
Saber codificar nao implica saber decodificar.
Nao precisa de canal seguro.
O mais popular e o RSA.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Existem dois tipos de codigos criptograficos:
1 Chave secreta
Saber codificar implica em saber decodificar.
Precisa de canal seguro.
2 Chave Publica
Saber codificar nao implica saber decodificar.
Nao precisa de canal seguro.
O mais popular e o RSA.
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Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos:
Existem infinitos numeros primos.
Quanto maior for um numero, mais difıcil de fatora-lo.
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Motivacao
Introducao
Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos:
Existem infinitos numeros primos.
Quanto maior for um numero, mais difıcil de fatora-lo.
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CriptografiaRSA: uma
aplicacao dosnumerosprimos
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FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Sendo assim, para entender o RSA e necessario:
Um bom conhecimento de resultados da Teoria dosNumeros.
Principalmente dos que se referem aos numeros primos.
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Fundamentacao Teorica do RSA
Sendo assim, para entender o RSA e necessario:
Um bom conhecimento de resultados da Teoria dosNumeros.
Principalmente dos que se referem aos numeros primos.
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Fundamentacao Teorica do RSA
- Numeros Primos (Definicao e exemplos)
Um numero inteiro positivo p 6= 1 e dito primo, se possuiapenas dois divisores.
Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o proprionumero.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
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Metodologia
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Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
- Numeros Primos (Definicao e exemplos)
Um numero inteiro positivo p 6= 1 e dito primo, se possuiapenas dois divisores.
Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o proprionumero.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
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Fundamentacao Teorica do RSA
- Numeros Primos (Definicao e exemplos)
Um numero inteiro positivo p 6= 1 e dito primo, se possuiapenas dois divisores.
Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o proprionumero.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
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Metodologia
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Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Exemplo de um algoritmo de verificacao de primalidade,implementado em linguagem JAVA.
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Fundamentacao Teorica do RSA
Vamos, agora, estudar a Matematica basica para seentender o RSA
- Congruencia Modulo n:
Dizemos que a, b ∈ Z sao congruentes modulo n se, esomente se, a e b deixam o mesmo resto na divisao por n.Quando isso ocorrer, escrevemos
a ≡ b (mod n)
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Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Exemplos
1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tambem.
2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tambem.
3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divisao por 5.
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Exemplos
1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tambem.
2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tambem.
3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divisao por 5.
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Exemplos
1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tambem.
2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tambem.
3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divisao por 5.
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Fundamentacao Teorica do RSA
- Anel dos Inteiros Modulo n, Zn:
Indicaremos por a a classe de todos os inteiroscongruentes a a modulo n. Exemplo:
1 Em modulo 4 temos
0 = {...,−8,−4, 0, 4, ...}1 = {...,−7,−3, 1, 5, ...}2 = {...,−6,−2, 2, 6, ...}3 = {...,−5,−1, 3, 7, ...}
Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3}
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Fundamentacao Teorica do RSA
- Anel dos Inteiros Modulo n, Zn:
Indicaremos por a a classe de todos os inteiroscongruentes a a modulo n. Exemplo:
1 Em modulo 4 temos
0 = {...,−8,−4, 0, 4, ...}1 = {...,−7,−3, 1, 5, ...}2 = {...,−6,−2, 2, 6, ...}3 = {...,−5,−1, 3, 7, ...}
Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3}
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Em geral, temos que
Zn = {0, 1, ..., n − 1}
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- Unidades em Zn:
Dizemos que a e uma unidade em Zn quandoa · x ≡ 1 (mod n), para algum x ∈ Zn.
Em Z6 temos
U(Z6) = U(6) = {1, 5} pois,
1 · 1 = 1 ≡ 1 (mod 6).
5 · 5 = 25 ≡ 1 (mod 6).
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Fundamentacao Teorica do RSA
- Funcao ϕ de Euler:
Se p e q sao dois numeros primos distintos, definimos a funcaoϕ de Euler da seguinte forma:
ϕ(p) = p − 1 e ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)
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Metodologia
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Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Encontrar a funcao ϕ de Euler para x ∈ Z+, significadescobrir:
“quantos inteiros positivos t, com t < x , sao coprimoscom x , ou seja, onde mdc(x , t) = 1.”
Exemplo:
ϕ(9) = 6, ja que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
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Metodologia
Exemplo
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Referencias
Fundamentacao Teorica do RSA
Encontrar a funcao ϕ de Euler para x ∈ Z+, significadescobrir:
“quantos inteiros positivos t, com t < x , sao coprimoscom x , ou seja, onde mdc(x , t) = 1.”
Exemplo:
ϕ(9) = 6, ja que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
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Como quebraro RSA?
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Fundamentacao Teorica do RSA
Encontrar a funcao ϕ de Euler para x ∈ Z+, significadescobrir:
“quantos inteiros positivos t, com t < x , sao coprimoscom x , ou seja, onde mdc(x , t) = 1.”
Exemplo:
ϕ(9) = 6, ja que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
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Metodologia
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Fundamentacao Teorica do RSA
A implementacao do RSA necessita de uma chave publica e deuma chave privada.
Chave publica: par ordenado de numeros, utilizado paracodificar uma mensagem.
Chave privada: par ordenado de numeros, utilizado paradecodificar uma mensagem previamente codificada.
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Fundamentacao Teorica do RSA
A implementacao do RSA necessita de uma chave publica e deuma chave privada.
Chave publica: par ordenado de numeros, utilizado paracodificar uma mensagem.
Chave privada: par ordenado de numeros, utilizado paradecodificar uma mensagem previamente codificada.
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Referencias
Metodologia
Escolhe-se p e q primos distintos.
Calcula-se n = pq.
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) commdc(ϕ(n), e) = 1.
Encontra-se d , tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso e, d e oinverso de e mod (ϕ(n)).
O par (n, e) sera a chave publica.
O par (n, d) sera a chave privada.
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Exemplo
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Referencias
Metodologia
Escolhe-se p e q primos distintos.
Calcula-se n = pq.
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) commdc(ϕ(n), e) = 1.
Encontra-se d , tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso e, d e oinverso de e mod (ϕ(n)).
O par (n, e) sera a chave publica.
O par (n, d) sera a chave privada.
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Metodologia
Escolhe-se p e q primos distintos.
Calcula-se n = pq.
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) commdc(ϕ(n), e) = 1.
Encontra-se d , tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso e, d e oinverso de e mod (ϕ(n)).
O par (n, e) sera a chave publica.
O par (n, d) sera a chave privada.
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Metodologia
Escolhe-se p e q primos distintos.
Calcula-se n = pq.
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) commdc(ϕ(n), e) = 1.
Encontra-se d , tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso e, d e oinverso de e mod (ϕ(n)).
O par (n, e) sera a chave publica.
O par (n, d) sera a chave privada.
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Metodologia
Escolhe-se p e q primos distintos.
Calcula-se n = pq.
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) commdc(ϕ(n), e) = 1.
Encontra-se d , tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso e, d e oinverso de e mod (ϕ(n)).
O par (n, e) sera a chave publica.
O par (n, d) sera a chave privada.
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Metodologia
Escolhe-se p e q primos distintos.
Calcula-se n = pq.
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) commdc(ϕ(n), e) = 1.
Encontra-se d , tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso e, d e oinverso de e mod (ϕ(n)).
O par (n, e) sera a chave publica.
O par (n, d) sera a chave privada.
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Exemplo
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Referencias
Metodologia
Escolhe-se p e q primos distintos.
Calcula-se n = pq.
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) commdc(ϕ(n), e) = 1.
Encontra-se d , tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso e, d e oinverso de e mod (ϕ(n)).
O par (n, e) sera a chave publica.
O par (n, d) sera a chave privada.
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Metodologia
Converte-se as letras da mensagem em numeros, usando atabela ASCII.
Teremos uma sequencia numerica que deve ser quebradaem blocos menores do que n.
Cada bloco m sera codificado usando a seguinte receita:
C (m) = me (mod n) = k
Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
D(k) = kd (mod n) = m
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Converte-se as letras da mensagem em numeros, usando atabela ASCII.
Teremos uma sequencia numerica que deve ser quebradaem blocos menores do que n.
Cada bloco m sera codificado usando a seguinte receita:
C (m) = me (mod n) = k
Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
D(k) = kd (mod n) = m
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Referencias
Metodologia
Converte-se as letras da mensagem em numeros, usando atabela ASCII.
Teremos uma sequencia numerica que deve ser quebradaem blocos menores do que n.
Cada bloco m sera codificado usando a seguinte receita:
C (m) = me (mod n) = k
Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
D(k) = kd (mod n) = m
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Introducao
Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
Metodologia
Converte-se as letras da mensagem em numeros, usando atabela ASCII.
Teremos uma sequencia numerica que deve ser quebradaem blocos menores do que n.
Cada bloco m sera codificado usando a seguinte receita:
C (m) = me (mod n) = k
Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
D(k) = kd (mod n) = m
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Metodologia
A Tabela ASCII (American Standard Code for InformationInterchange) e usada pela maior parte da industria decomputadores para a troca de informacoes.
Cada caracter e representado por um codigo de 8 bits (umbyte).
Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
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A Tabela ASCII (American Standard Code for InformationInterchange) e usada pela maior parte da industria decomputadores para a troca de informacoes.
Cada caracter e representado por um codigo de 8 bits (umbyte).
Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
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A Tabela ASCII (American Standard Code for InformationInterchange) e usada pela maior parte da industria decomputadores para a troca de informacoes.
Cada caracter e representado por um codigo de 8 bits (umbyte).
Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
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Exemplo
Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
n = p · q = 77,
ϕ(n) = (7− 1) · (11− 1) = 6 · 10 = 60,
e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
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Exemplo
Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
n = p · q = 77,
ϕ(n) = (7− 1) · (11− 1) = 6 · 10 = 60,
e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
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Exemplo
Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
n = p · q = 77,
ϕ(n) = (7− 1) · (11− 1) = 6 · 10 = 60,
e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
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Exemplo
A chave publica (chave de codificacao) sera
(n, e) = (77, 7)
d = 43, ja que
43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Logo, a chave privada (chave de decodificacao) e o par
(77, 43).
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Exemplo
A chave publica (chave de codificacao) sera
(n, e) = (77, 7)
d = 43, ja que
43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Logo, a chave privada (chave de decodificacao) e o par
(77, 43).
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Exemplo
A chave publica (chave de codificacao) sera
(n, e) = (77, 7)
d = 43, ja que
43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Logo, a chave privada (chave de decodificacao) e o par
(77, 43).
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Exemplo
- Tabela de Codificacao
A Tabela de codificacao que itulizaremos e a seguinte:
A B C D E F G H I J K L M
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
N O P Q R S T U V W X Y Z
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
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Exemplo
Dessa forma, podemos concluir que
PRIMO = 2527182224.
Uma forma de quebrar esse numero em blocos de valoresmenores que 77 e
2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4
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Exemplo
Dessa forma, podemos concluir que
PRIMO = 2527182224.
Uma forma de quebrar esse numero em blocos de valoresmenores que 77 e
2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4
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A codificacao de cada bloco acima e dada por:
C (2) = 27 (mod 77) = 51 C (5) = 57 (mod 77) = 47
C (71) = 36 C (8) = 57
C (22) = 22 C (4) = 60
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Portanto, a mensagem codificada e
51− 47− 51− 36− 57− 51− 22− 60
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Exemplo
Para decodificar cada bloco ja codificado faremos o seguinte:
D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5
D(36) = 71 D(57) = 8
D(22) = 22 D(60) = 4
Logo, a sequencia decodificada sera
2− 5− 2− 71− 8− 2− 22− 4
Que corresponde, via tabela de conversao, a palavra
PRIMO.
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Referencias
Exemplo
Para decodificar cada bloco ja codificado faremos o seguinte:
D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5
D(36) = 71 D(57) = 8
D(22) = 22 D(60) = 4
Logo, a sequencia decodificada sera
2− 5− 2− 71− 8− 2− 22− 4
Que corresponde, via tabela de conversao, a palavra
PRIMO.
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Como quebrar o RSA?
A chave de decodificacao e (n, d).
Todos conhecem n, mas d so e conhecido por uma pessoaatorizada.
Para alguem nao autorizado encontrar d ele deve:
1 Conhecer ϕ(n).
2 Para conhecer ϕ(n) e necessario conhecer p e q.
3 Entao, basta fatorar n.
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Como quebrar o RSA?
A chave de decodificacao e (n, d).
Todos conhecem n, mas d so e conhecido por uma pessoaatorizada.
Para alguem nao autorizado encontrar d ele deve:
1 Conhecer ϕ(n).
2 Para conhecer ϕ(n) e necessario conhecer p e q.
3 Entao, basta fatorar n.
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A chave de decodificacao e (n, d).
Todos conhecem n, mas d so e conhecido por uma pessoaatorizada.
Para alguem nao autorizado encontrar d ele deve:
1 Conhecer ϕ(n).
2 Para conhecer ϕ(n) e necessario conhecer p e q.
3 Entao, basta fatorar n.
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A chave de decodificacao e (n, d).
Todos conhecem n, mas d so e conhecido por uma pessoaatorizada.
Para alguem nao autorizado encontrar d ele deve:
1 Conhecer ϕ(n).
2 Para conhecer ϕ(n) e necessario conhecer p e q.
3 Entao, basta fatorar n.
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A chave de decodificacao e (n, d).
Todos conhecem n, mas d so e conhecido por uma pessoaatorizada.
Para alguem nao autorizado encontrar d ele deve:
1 Conhecer ϕ(n).
2 Para conhecer ϕ(n) e necessario conhecer p e q.
3 Entao, basta fatorar n.
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Como quebrar o RSA?
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Todos conhecem n, mas d so e conhecido por uma pessoaatorizada.
Para alguem nao autorizado encontrar d ele deve:
1 Conhecer ϕ(n).
2 Para conhecer ϕ(n) e necessario conhecer p e q.
3 Entao, basta fatorar n.
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Como quebrar o RSA?
Mas, na implementacao do RSA, sao usados dois primosmuito grandes.
Eles sao da ordem aproximada de 1050.
Um computador executa cerca de 1010 divisoes porsegundo.
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Como quebrar o RSA?
Mas, na implementacao do RSA, sao usados dois primosmuito grandes.
Eles sao da ordem aproximada de 1050.
Um computador executa cerca de 1010 divisoes porsegundo.
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Referencias
Como quebrar o RSA?
Mas, na implementacao do RSA, sao usados dois primosmuito grandes.
Eles sao da ordem aproximada de 1050.
Um computador executa cerca de 1010 divisoes porsegundo.
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Referencias
Como quebrar o RSA?
Logo, o tempo gasto para se fatorar um numero da ordemde 1050 e aproximadamente:
1050
1010 = 1040 segundos ' 1031 anos
Idade do universo ' 1011 anos !!!!
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Logo, o tempo gasto para se fatorar um numero da ordemde 1050 e aproximadamente:
1050
1010 = 1040 segundos ' 1031 anos
Idade do universo ' 1011 anos !!!!
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Logo, o tempo gasto para se fatorar um numero da ordemde 1050 e aproximadamente:
1050
1010 = 1040 segundos ' 1031 anos
Idade do universo ' 1011 anos !!!!
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Como quebrar o RSA?
Portanto, encontrar p e q conhecendo apenasn = pq e muito difıcil.
E e por isso, que garantimos a seguranca dometodo.
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Portanto, encontrar p e q conhecendo apenasn = pq e muito difıcil.
E e por isso, que garantimos a seguranca dometodo.
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Referencias
1 [1] Coutinho, S.C., Numeros Inteiros e Criptografia RSA,
IMPA, Serie de Computacao e Matematica - Segunda Edicao.
2 [2] Hefez, A., Elementos de Aritmetica, SBM, Textos
Universitarios.
3 [3] Oliveira, P.E.R.; Andrade, P.T.E.; Oliveira, R.L.G., RSA -
UFU.
4 [4] Filho, Joel G. Silva. Informacao, Codificacao e Seguranca
de Dados. Unb - Faculdade de Tecnologia - Departamento de
Engenharia Eletrica.
5 [5] Domingues, J.S., Utilizacao de Algoritmos de Primalidade
na Criptografia RSA. DPPG - CEFET MG.
Profo Jose Sergio Criptografia RSA: uma aplicacao dos numeros primos
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CriptografiaRSA: uma
aplicacao dosnumerosprimos
Profo JoseSergio
Itens
Motivacao
Introducao
Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
Metodologia
Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
1 [1] Coutinho, S.C., Numeros Inteiros e Criptografia RSA,
IMPA, Serie de Computacao e Matematica - Segunda Edicao.
2 [2] Hefez, A., Elementos de Aritmetica, SBM, Textos
Universitarios.
3 [3] Oliveira, P.E.R.; Andrade, P.T.E.; Oliveira, R.L.G., RSA -
UFU.
4 [4] Filho, Joel G. Silva. Informacao, Codificacao e Seguranca
de Dados. Unb - Faculdade de Tecnologia - Departamento de
Engenharia Eletrica.
5 [5] Domingues, J.S., Utilizacao de Algoritmos de Primalidade
na Criptografia RSA. DPPG - CEFET MG.
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Introducao
Um pouco deHistoria
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Metodologia
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Como quebraro RSA?
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1 [1] Coutinho, S.C., Numeros Inteiros e Criptografia RSA,
IMPA, Serie de Computacao e Matematica - Segunda Edicao.
2 [2] Hefez, A., Elementos de Aritmetica, SBM, Textos
Universitarios.
3 [3] Oliveira, P.E.R.; Andrade, P.T.E.; Oliveira, R.L.G., RSA -
UFU.
4 [4] Filho, Joel G. Silva. Informacao, Codificacao e Seguranca
de Dados. Unb - Faculdade de Tecnologia - Departamento de
Engenharia Eletrica.
5 [5] Domingues, J.S., Utilizacao de Algoritmos de Primalidade
na Criptografia RSA. DPPG - CEFET MG.
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aplicacao dosnumerosprimos
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Um pouco deHistoria
FundamentacaoTeorica doRSA
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Exemplo
Como quebraro RSA?
Referencias
1 [1] Coutinho, S.C., Numeros Inteiros e Criptografia RSA,
IMPA, Serie de Computacao e Matematica - Segunda Edicao.
2 [2] Hefez, A., Elementos de Aritmetica, SBM, Textos
Universitarios.
3 [3] Oliveira, P.E.R.; Andrade, P.T.E.; Oliveira, R.L.G., RSA -
UFU.
4 [4] Filho, Joel G. Silva. Informacao, Codificacao e Seguranca
de Dados. Unb - Faculdade de Tecnologia - Departamento de
Engenharia Eletrica.
5 [5] Domingues, J.S., Utilizacao de Algoritmos de Primalidade
na Criptografia RSA. DPPG - CEFET MG.
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Referencias
1 [1] Coutinho, S.C., Numeros Inteiros e Criptografia RSA,
IMPA, Serie de Computacao e Matematica - Segunda Edicao.
2 [2] Hefez, A., Elementos de Aritmetica, SBM, Textos
Universitarios.
3 [3] Oliveira, P.E.R.; Andrade, P.T.E.; Oliveira, R.L.G., RSA -
UFU.
4 [4] Filho, Joel G. Silva. Informacao, Codificacao e Seguranca
de Dados. Unb - Faculdade de Tecnologia - Departamento de
Engenharia Eletrica.
5 [5] Domingues, J.S., Utilizacao de Algoritmos de Primalidade
na Criptografia RSA. DPPG - CEFET MG.
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