SEMEJANZA Y CONGRUENCIA

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OBJETIVOSOBJETIVOS

• Conocer los conceptos, símbolos y diferencias entre figuras semejantes y congruentes.

• Identificar figuras semejantes y congruentes.• Construir segmentos, ángulos y triángulos

congruentes.• Apropiar los criterios de congruencia entre triángulos.• Aplicar los criterios de congruencia, a través del

concepto básico de proporcionalidad.• Aplicar los teoremas de Pitágoras y de Tales en la

construcción de figuras geométricas semejantes y congruentes.

EJEMPLOS DE EJEMPLOS DE PROPORCIONALIDADPROPORCIONALIDAD

Naranjas

(kg)

Precio

(€)

2 4

3 6

4 8

5 10

5

10

4

8

3

6

2

42

12

40

x

100

x

100

12

30

¿Cómo se halla el término desconocido en las proporciones dadas?

24

6 m

m

5

7

25

a

Observemos las siguientes Observemos las siguientes

figuras geométricas y figuras geométricas y

comparémoslascomparémoslas

Observemos las siguientes Observemos las siguientes

figuras geométricas y figuras geométricas y

comparémoslascomparémoslas

Observemos las siguientes Observemos las siguientes

figuras geométricas y figuras geométricas y

comparémoslascomparémoslas

Observemos las siguientes Observemos las siguientes

figuras geométricas y figuras geométricas y

comparémoslascomparémoslas

Observemos las siguientes Observemos las siguientes

figuras geométricas y figuras geométricas y

comparémoslascomparémoslas

SEMEJANZASEMEJANZA

Los polígonos de al lado tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño; ellos son semejantes.

Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace mediante el concepto de proporcionalidad.A

E

D B

SEMEJANZAFiguras semejantes

• Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.

• Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

• Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

SEMEJANZAFiguras semejantes: Planos

Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales.

ML

M'L'es la razón de semejanza

SEMEJANZASemejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

El cocientea b c

ka ' b ' c '

se llama razón de semejanza.

SEMEJANZAPrimer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A B

C

A' B'

C'A = A‘ y B = B‘ C = C'

A' B'

C'

B''

C''

1.- AA ( ángulo-ángulo)

SEMEJANZASegundo criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

a ' b ' c '

a b c

A' B'

C'

B''

C''

2. LLL (lado-lado-lado)

SEMEJANZATercer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

y A A' b' c'

b c

A' B'

C'

B''

C''

c

Matemáticas

9º SILENCIO.

3.- LAL (lado-ángulo-lado)

EjemploEjemplo

¿Son los siguientes triángulos semejantes?

25

65 25

65

¡SI!Por que al tener dos de

sus ángulos congruentes, cumplen

con el criterio AA

Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

1,5

3,5

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

1,5 3

= =3,5 7

510

Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son

iguales1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,53,5 • 10 = 7 • 5 = 35

Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?

A

B C4

3

DE

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39 =

412

Efectivamente así es, ya que los productos

“cruzados” son iguales3 • 12 = 4 • 9

¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes?

Por criterio LAL

Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos

Semejanza. Teorema de Tales

Teorema de Tales

IMAGEN FINAL

Los ángulos son iguales por tener los lados paralelos:

Construye un triángulo A´B´C´ y traza una paralela a uno de los lados y que corte a los otros lados.

B C

A´

B´ C´

Si medimos los valores de los lados de cada uno de los triángulos se

observa que son proporcionales:

A

a´

b´

c´

a

bc

Se forma así un triángulo pequeño ABC.

Vamos a comprobar que los dos triángulos son semejantes:

c´

c

b´

b

a´

a

´C C ´,B B ´,A A

Este resultado es válido para cualquier triángulo y se conoce como teorema de Tales.

Toda paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo pequeño, ABC, semejante al grande, A´B´C´ (A A´).

Los triángulos semejantes, ABC y A´B´C´ se dice que están en posición de Tales.

Matemáticas 9º SILENCIO 2012

ACTIVIDAD

IMAGEN FINAL

1. ¿Cuál es la anchura x del lago?

A

B

C

xM

N

2. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema).

3. ¿Cuál es el valor de la incógnita en los siguientes casos? Explique.

d

40

12

30

54

12 k

728

6 m

n

n 80

5

5

7

15

a