semana9-2016-1 cinetica de cuerpo rigido en el plano-u.pdf
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Dinmica 2016-1
Semana 09
T
ema: Cintica de Cuerpo Rgido en el Plano
ANALISIS PARA DETERMINAR PARAMETROS EN UN SOLO ESTADODINAMICO DE LOS CUERPOS RIGIDOS
ES DECIR PARA UN TIEMPO t ESPECIFICO
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IntroduccinMomentos de Inercia de Masas de figuras regularesconocidas.
Propiedades y Ecuaciones fundamentales.
Cintica de cuerpos rgidos en 2D.
Tipos de movimiento.
Ecuaciones de fuerzas y aceleraciones.
Aplicaciones en 2D.
TEMARIO
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Una bailarina tendr mayor
momento de inercia si
extiende los brazos, girando
ms rpido, que si los
contrae.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/CF46618267_109996904033.gif -
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El Momento de Inercia(smbolo I) es una medida de laInerciarotacional de un cuerpo.
El momento de inercia slo depende de la geometra delcuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no dependede las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia mide la resistencia de un cuerpoa la aceleracin angular(M=I) del mismo modo que lamasa mide la resistencia de un cuerpo a la aceleracin(F=ma).
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Para un cuerpo de masa continua (Medio Continuo),
se generaliza como:
22
.I
r dm r dV
2
i iI m r
Para un cuerpo de masa distribuida (Medio Discreto),se generaliza como:
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Con respecto a que eje 1 o 2:Cul de estos giros resulta ms difcil?El momento de inercia de un cuerpo indica suresistencia a adquirir una aceleracin angular.
2
12II
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2mDII GZ
Teorema de Steiner en 2D
Gm
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RADIO DE GIRO K
2
ZZ mKI
2. GG KmI
2mDII GZ Del Teorema de Steiner:
2 2 2
Z GK K D Obtenemos una relacin entre los radios de giro
respecto de un eje cualesquiera Z y el eje
centroidal G a travs de la distancia entre ejes D:
2 2 2 Z GmK mK mD
De vez en cuando, el Momento de Inercia de un cuerpo respecto de un eje especifico,
se reporta en Manuales por medio del radio de giro, k:
Z
Z
IK
m
GGI
Km
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21
12Y ZI I mL
2 21 ( )12
XI m b h
0X
I
VALORES DE MOMENTOS DE INERCIA PARA FIGURAS
REGULARES CONOCIDAS
VARILLA
PLACA RECTANGULAR DELGADA
2
2
1
12
1
12
Y
Z
I mb
I mh
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21
2XI mR
21
4Y ZI I mR
DISCO DELGADO El espesor t es muy delgado
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Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, segn su naturaleza, en:
1.- Traslacin Pura. Tiene dos casos, traslacin pura rectilnea y curvilnea.2.- Rotacin en torno a un eje fijo.
3.- Movimiento plano cualquiera. Traslacin + rotacinLos dos primeros, son casos particulares del Movimiento plano cualquiera.
Traslacin Pura Rectilnea
Traslacin Pura Curvilnea
Rotacin Pura
Traslacin + Rotacin
TIPOS DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO
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Ecuaciones en Traslacindel Movimiento Planocualquiera de un Cuerpo Rgido
GamF
Causas dinmicas Efectos dinmicos
en traslacin
Causas dinmicas
Efectos dinmicos
En Traslacin
Se obtienen del D.C.L.
Se obtienen del D.C.L.
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G GM I
Ecuaciones en Rotaciondel Movimiento Planocualquiera de un Cuerpo Rgido
Causas dinmicas
en rotacin
Efectos dinmicos
en Rotacin
Causas dinmicas
Efectos dinmicos
en Rotacin
Con respecto al centro
de masa G
Se obtienen del D.C.L.
Se obtienen del D.C.L.
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Ecuaciones para Traslacin Pura Rectilinea yCurvilnea
Durante la Traslacin, no hay movimiento angular (= = 0); por tanto, todas laspartes del cuerpo tienen la misma velocidady la misma aceleracin lineal encualquier punto del cuerpo en estudio.
G
x XF m a
pto ptoCausas Efectos
M M
G
y YF m a
0Gz
M
Causas dinmicas
en rotacin
Efectos dinmicos
en Rotacin
A0
yF
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Ecuaciones para Rotacin en torno a un eje fijoEste tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpodescriben trayectorias circulares alrededor de un eje fijo.
x GxF ma mx
En la figura de la derecha: aG= 0; por lo tanto, las ecuacionespara un movimiento plano cualquiera se reducen a
0
0
Gx
Gy
a
a
0yF
Gz Gz M I
0xF
y GyF ma my
Gz Gz M I
Para los centros de la polea y para el
engranaje se cumplen estas ultimasecuaciones
G
En Coordenadas
rectangulares
En Componentes
intrnsecas
En Coordenadas
polares
t
t GF ma mv 2( )
r
r GF ma mr r
2
n
n G
vF ma m
( 2 )
GF ma m r r
Casos singulares:
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Ecuaciones del Movimiento plano cualquieraTraslacion + Rotacin: Caso general
GamF
G GM I
pto ptoCausas Efectos
M M x Gx
y Gy
F m a
F m a
GG
G
G
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El Tambor tiene una masa de 60 kg. Una cuerda de masa despreciable, se enrolla
alrededor de la periferia del tambor y esta sujeta a un bloque de 20 kg de masa. Si
este se suelta desde el punto de reposo, determine:
a.- La aceleracin angular del tambor.(m/s2)
b.- la fuerza de tensin del cable.(N)
c.- La fuerza de reaccin horizontal en O.(N)
d.- La fuerza de reaccin vertical en O.(N)
e.- La aceleracin angular del disco.(rad/s2)
f) La aceleracin lineal del bloque.(m/s2)
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SOLUCION:
T
bm g
bm a
=
1.- Anlisis del bloque: (Traslacin pura rectilnea)
Y
GYF ma
196 20
20 196........(1)
Tj j aj
T a
20(9,8) 196b
m g N60(9,8) 588T
m g N
2.- Anlisis del Tambor: (Rotacin pura)
OX
OY
T Tm g
Nota: El centro de masa no tienen movimiento
=
Causas Efectos
Causas
OI
. (0) 0GXX
F m a m
0X
O
. (0) 0G
YYF m a m
........(25 8 0 )8Y
O T
O OM I
0,4O
Tk I k
2 2 21
0,5(60)(0,4) 4,8 .2OI mr kg m .0 .,4 ..4, ..8 0 ..(3)T
Efectos
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3.- Cinematicamente en la periferia del tambor:.........( )0,4 4
a r
a
...2 .0 ....(1 1)96T a
........(25 8 0 )8Y
O T
.0 .,4 ..4, ..8 0 ..(3)T
Reemplazando (4) en (1):
20(0,4 ) 196
8 196
T
T
2
117,6
9,8 /
T N
rad s
Finalmente reemplazando en(2):
Luego trabajando con la ecuacin (3):
588 117,6 0Y
O705,6YO N
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Responder:
( a ) La barra delgada uniforme de 40 kg se apoya en la camioneta en su
extremo A y en B, que se apoya sin friccin en la parte superior de la cabina.
Si la camioneta parte del reposo con una aceleracin a = 15 m/s2
.
a.- Determine la fuerza de contacto en B. (En N)
b.- Determine la fuerza de reaccin en el apoyo A sobre la barra. (En N)
EJERCICIOS
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) A Acausas efectosa M M
(3) (2,5 ) (0,833)
2 23 40(9,8).(2,5( )) 40(15)(0,833)
3141,3842
B
B
B
R mg Cos ma
R
R N
) Xb F ma
( ) . 600
1141, 3842( ) 600
3
X B
X
A R Sen m a N
A
) 0Yc F ( ) 0
2 2141, 3842( ) 392 0
3
Y B
Y
A R Cos mg
A
0,833m
Causas dinmicas Efectos dinmicos
2.5Cos
2.5Sen=0,833m
647,128xA N 258,7016YA N
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El tronco delgado y uniforme de dimetro 1600 mm y masa 200 kg esta
articulado con el Camin de 2 toneladas de traccin posterior, con centro de
masa en G, que se mueve con una aceleracin de 10 m/s2hacia la derecha. Se
sabe que la friccin en la rueda B es despreciable y utilice S = 0.5. Lasdimensiones estn en mm. Determine:
a.- La fuerza de reaccin horizontal C sobre el tronco.(N)
b.- La aceleracin angular del tronco.(rad/s2)
c.- La fuerza de reaccin en B.(N)
d.- La fuerza de reaccin en A.(N)
Lo primero que tenemos
que hacer es el D.C.L.
tanto en las CAUSAS como
En los EFECTOS
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0,75m
0,8m
CY
CX
mCg=1960 NT
=
1.- Hacemos el DCL del tronco:
200a
IG=64
2 2 21 1(200)(0,8) 64 .
2 2GI mr kg m
) CCa M I
) 0
1960 0
1960
Y
Y
Y
b F
C
C N
0,75 64 0............(1
(0,75) 64(
)
)T k
T
k
2000............(
.
200
2)
)
X
G
X X
X
c F m a
C
C T
T a
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=
CX
2000a
mg=19600 N
2.- Hacemos el DCL del camin:
NANB
fA
21560........
) 0
19600 1960 0
.....(3)B
A
A
Y
B
N
a F
N N
N
0, 5 20000............
) 20
.
00
20 0
(4)
0
A
X
X
X
A
b F a
f C
N
a
C
CY=1960N
) A Acausas efectosc M M
(2, 4) 1960(0,75) 19600(1,8) (3,6) 20002,4 3,6 12750..........
(10)(...
1, 2)(5)X B
X B
CC N
N
) 0
(1,8) 1960(1,05) (1, 2) 0
1, 2 1, 2 1,8 2058........
, 5 (1, 2
......(5)
) (1,8) 0
G
B X A A
X A B
c M
N C N N
C N N
Otra opcin: alternativa a (5)
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TABLA DE RESULTADOS
Incgnitas CX T NA NB Ctes
1 2 3 4 5
1 0 0,75 -64 0 0 0
2 1 -1 0 0 0 2000
3 0 0 0 1 1 21560
4 -1 0 0 0,5 0 20000
5 2,4 0 0 0 3,6 12750
Resultados -16486,25 -18,486,25 -216,6358 7027,5 14532,5
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TABLA DE RESULTADOSIncgnitas CX T NA NB Ctes
1 2 3 4 5
1 0 0,75 -64 0 0 0
2 1 -1 0 0 0 2000
3 0 0 0 1 1 21560
4
-1 0 0 0,5 0 200005 1,2 0 0 -1,2 1,8 -2058
Resultados -16486,25 -18,486,25 -216,6358 7027,5 14532,5
-16486,25 -18,486,25 -216,6358 7027,5 14532,5
RESULTADOS PROBLEMA 2
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION (no llenar)
a CX 16486,25 N
b 216,6358 rad/s2
c RB 14532,5 N
d RA 7856,9838 N
Con la ecuacin alterna (5) en verde los resultados tambin se visualizan en color verde:
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El cilindro de 2 kg cuelga deldisco de 20kg y 0.2m de radio, si el
cilindro pequeo desciende en eseinstante con 2 m/s, calcule:
La aceleracin angular del disco.
La magnitud de la fuerza detensin en la cuerda (N)
La magnitud de la fuerza dereaccin en A, relativo al eje X(N)
La magnitud de la fuerza dereaccin en A, relativo al eje Y(N)
a.- 8,1666 rad/s2
b.- 16,3333 N
c.- 0
d.- 212,3333 N
TALLER
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El cilindro de 2 kg cuelga deldisco de 20kg y 0.2m de radio, si el
cilindro pequeo desciende en eseinstante con 2 m/s, calcule:
La aceleracin angular del disco.
La magnitud de la fuerza detensin en la cuerda (N)
La magnitud de la fuerza dereaccin en A, relativo al eje X(N)
La magnitud de la fuerza de
reaccin en A, relativo al eje Y(N)
a.- 8,1666 rad/s2
b.- 16,3333 N
c.- 0
d.- 212,3333 N
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PROBLEMA
La barra uniforme AB de 25 kg empieza a moverse
del reposo en la posicin indicada bajo la accin de
su peso y del Par aplicado. Las guas son lisas y
estn en el mismo plano vertical. Para ese instantedetermine:
a.- La magnitud de la aceleracin angular de la
barra.(rad/s2)
b.- La magnitud de la fuerza de reaccin en el apoyo
B.(N)
c.- La magnitud de la fuerza de reaccin en el apoyoA.(N)
d.- La magnitud de la aceleracin lineal del centro de
masa de la barra AB .(m/s2)
1GRUPO en entregar correctamente: + 3 ptos en la 3PC
2GRUPO en entregar correctamente: + 2 ptos en la 3PC
3GRUPO en entregar correctamente: + 1 ptos en la 3PC
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RESULTADOS PROBLEMA
VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES
a AB 1,4724 rad/s2
b aGX 1,1476 m/s2
c aAGY 0,6626 m/s2
d AX 28,6913 N
b NB 261,5654 N
c aA 1,3252 m/s2
d aB 2,2953 m/s2
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THE END!
Higher Education
Lets make it all that it can be and needs to be
Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser! Profesor: M.Sc Tito Vilchez