semana 9-operaciones con matrices nueva
TRANSCRIPT
-
ANLISIS MATEMTICO 2
FORMACIN POR COMPETENCIAS
Operaciones con
matrices e inversa de
una matriz
-
Objetivos
Definir las operaciones con matrices.
Calcular el ncleo, imagen y la matriz asociada de una transformacin es lineal.
Calcular el determinante de una matriz de orden n.
Identificar los menores y cofactores de una matriz.
Reconocer la Adjunta de una matriz.
Calcular la inversa de una matriz mediante la Adjunta.
Aplicar los mtodos estudiados a diferentes problemas de contexto real.
-
Suma de matrices
Sea A = y = dos matrices de orden ,
entonces la suma A + , es otra matriz de orden , definida por:
Ejemplo:
Sea A =4 3 52 23 1
y =2 1 53 9 7
, hallar: A +
Solucin
= + = +
-
Multiplicacin por un escalar
Si A = es una matriz de orden , y es un
nmero real, se llama producto del escalar por la matriz , a la matriz:
Ejemplo:
Sea A =2 4 21 11 4
, hallar: 4A
Solucin
. = .
-
Producto de matrices
Sean A = y = dos matrices de orden
y respectivamente, entonces el producto A. es otra matriz de orden , definido por:
= 11 + 22 ++ donde:
= 1; 2; ; y = 1; 2; ;
El producto est definido si el nmero de columnas de la
matriz A es igual al nmero de filas de la matriz .
= . =
-
Regla para determinar un producto
Sean las matrices 32 y 22, entonces:
32. 22 = 32
11 1221 2231 32
.11 1221 22
=
11 1221 2231 32
11 = 1111 + 1221
-
Regla para determinar un producto
Sean las matrices 32 y 22, entonces:
32. 22 = 32
11 1221 2231 32
11 = 1111 + 1221
11 1221 22
11 1221 2231 32
-
Ejercicios
1) Calcule (), sabiendo que:
=3 4 2 + 17 5
es simtrica y = 2 + 95
es antisimtrica.
Solucin:
-
Ejercicios
2) Suponga que un contratista ha aceptado pedidos para 5 casas
con estilo rstico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial,
sus pedidos pueden representarse por la siguiente matriz:
Q = 5 7 12
Adems, suponga que las materias primas que se utilizan en
cada tipo de casa son acero (A), madera (M), vidrio (V), pintura
(P) y mano de obra (M.o); tal como se muestra en la siguiente
matriz:
Calcular la cantidad que se requiere de cada materia para
satisfacer todos sus pedidos.
Solucin:
-
Ncleo o Kernel
Sea T: una transformacin lineal, llamaremos ncleo o Kernel de al conjunto denotado por:
= * / = 0+
Sea T: una transformacin lineal, llamaremos imagen de al conjunto denotado por:
= * / y = +
-
Ejercicios
3) Calcule los valores de y de modo que la transformacin lineal : 2 2 definida por ; = + 5; 6 + , tenga como ncleo la recta = 3. Solucin:
-
Ejercicios
4) Dada la transformacin lineal : 3 2 definida por ; ; = ; , determine el ().
5) Dada la transformacin lineal : 3 3 definida por ; ; = + 3 + 4; 3 + 4 + 7;2 2 , determine el ().
Solucin:
-
Ejercicios
6) Determine la matriz estndar (asociada) a cada una de las
siguientes transformaciones lineales:
a. : 3 2 definida por: ; ; = 2; 2 +
b. : 3 3definida por:
; ; = 2 + 3 + ; 3 + 3 + ; 2 + 4 +
Solucin:
-
Ejercicios
7) Dada la transformacin lineal : 2 3 definida por ; = + ; ; + 2 , determine el ().
Solucin:
-
Definicin
Sea A una matriz cuadrada, asociado a est matriz hay un nmero real, llamado determinante de la matriz .
Nmero real
-
Determinantes de orden
El determinante de una matriz de orden 2 2, esta dada por:
=11 1221 22
Ejemplo:
= 1122 2112
Hallar el determinante de la matriz: =2 54 3
-
Determinantes de orden 3 3
3 5 21 4 15 2 4
= 3 4 4 + 5 1 5 + 1 2 2
, 5 4 2 + 5 1 4 + 1 2 3 -
= 83
-
Ejercicios
8) Calcule los siguientes determinantes:
) 3 2 14 1 15 1 2
)1 7 02 6 43 9 6
Solucin:
-
Propiedades
Sea A = una matriz cuadrada, entonces se cumple:
1. =
2. Si todos los elementos de una fila o columna de A son ceros, entonces = 0.
3. Si A es triangular (superior o inferior), entonces = .
4. Si tiene dos filas o dos columnas iguales (o proporcionales), entonces = 0.
5. Si todos los elementos de una fila o de una columna de se multiplican por un nmero, entonces queda multiplicada por dicho nmero.
Consecuencia: si es una matriz de orden y es un escalar, entonces:
=
-
Propiedades
6.- Si a una fila (o columna) se le suma o resta el mltiplo escalar de otra fila o columna, entonces el determinante NO SE ALTERA.
2 31 3 3 3
7.- Si se intercambian dos columnas (o dos filas) el determinante cambia de signo
2 1
1 3
-
Ejercicios
9) Dadas las matrices A = y = adems
= 3 y = 2, calcule el determinante de:
) 2 . 3 ) )
Solucin:
5 5 5 5
-
Ejercicios
10) Calcule el valor de:
3 3 3 2 2 2
+ 8 8 8
sabiendo que
= 5
Solucin:
-
Ejercicios
11) Calcule la siguiente suma:
Solucin:
3
2 2
0
0 0 0 0 0 110 0 0
0 0 0 0 23
0 0 0 3 46 0 0
0 0 3 31 0,51 2 0
0 2 2 214 45 ln 2
1 1 12
x
x
xe
x yx
x ysen
x y z
-
Menor de
Sea A = una matriz de orden , el menor correspondiente a
es una matriz de orden 1 y se denota por .
= .
Ejemplo: Sea la matriz A =
11 12 1321 22 2331 32 33
, entonces la
menor correspondiente a 32, es:
=11 1321 23
-
Cofactor correspondiente a
Sea A = una matriz de orden ( > 1), el cofactor
correspondiente a es un nmero denotado por y est
dado por:
donde es la menor correspondiente a =
+. ()
Ejemplo: Sea la matriz A =3 4 5
1 2 7
0 2 6
, entonces el cofactor
correspondiente a 32, es:
= (1)3+2.3 51 7
= 26
-
Determinante de una matriz por cofactores
Sea A = una matriz de orden ( > 1), el determinante de
la matriz A, se define como:
donde es el cofactor correspondiente a
= 1
=1
1
Para calcular el se puede hacer mediante el desarrollo por cofactores de cualquier fila o columna.
-
Ejercicios
12) Calcular los siguientes determinantes:
Solucin:
1 2 3 4 0 5 2 1
2 3 4 1 1 0 5 2 a) b)
3 4 1 2 2 1 0 5
4
1 2 3
5 2 1 0
-
Ejercicios
13) Se sabe que la ecuacin de una parbola que pasa por los
puntos (1; 1), (2; 2) y (3; 3), est dada por el siguiente determinante:
a. Modele la ecuacin en forma de determinante para la
parbola que pasa por los puntos 2; 2013 , (0; 2013) y 1; 2016 .
b. Demuestre que para 1 = 1; 2 = 0; 3 = 1, la ecuacin de la parbola obtenida es:
= 2 +1
23 1 +
1
2(1 22 + 3)
2
Solucin:
2
2
1 1 1
2
2 2 2
2
3 3 3
1
1
1
1
y x x
y x x
y x x
y x x
=
-
Ejercicios
14) Considere la transformacin lineal definida por la regla de
correspondencia:
; ; = ( + 3 + 4; 3 + 4 + 7;2 + 2)
Determine (con respecto a la transformacin lineal)
a. La matriz asociada.
b. El determinante de la matriz en (a)
c. El ncleo.
Solucin:
-
Definicin
Sea una matriz de orden . Si existe una matriz de orden , tal que
. = . = donde es la matriz identidad, entonces se dice que es una matriz no singular o invertible y es la matriz inversa de y se denota:
= 1 Si carece de inversa se le llama matriz singular.
Sean , dos matrices no singulares: a. (1)1= b. (. )1= 1. 1 c. ()1= (1)
Una matriz es no singular si y
solo si:
0
-
Matriz de cofactores
Sea una matriz de orden , donde es el cofactor correspondiente a , entonces la
matriz de cofactores se define como:
() =
11 12 121
22
2
1 2
-
Ejercicios
15) Hallar la matriz de cofactores de:
A =3 4 5
1 2 7
0 2 6
Solucin:
-
Matriz adjunta
Sea una matriz de orden , y sea () la matriz de cofactores, la matriz Adjunta de , denotada por Adj() se define como:
Adj() = ()
a. Sea una matriz de orden , entonces: . A = .
b. Una matriz es invertible si y solo si 0.
-
Clculo de la matriz inversa por el mtodo de la adjunta
Sea una matriz de orden . Si , la matriz inversa de se define como:
=A()
a. =
b. ()= ()= c. = d. Adj() =
-
Inversa de una matriz de orden
Sea =
una matriz de orden 2.
Si = . , entonces la matriz inversa de se calcula de la siguiente manera:
=1
-
Ejercicios
16) Siendo: A =5 1 2
0 2
4 1 0
a. Cules son los valores de cuando 1 no existe?
b. Si le asigna a el valor de cero qu valor tendra la determinante de la inversa de ?
Solucin:
-
Ejercicios
17) Dada la matriz A = y = 2, determine la
determinante de:
) 1 ) Adj ) . Adj()
5 5
Solucin:
-
Ejercicios
18) Dadas las matrices
A =3 5 4
1 2 1
2 3 4
y B =1 1 1
1 1 0
1 2 1
Determine la matriz inversa de cada uno usando el mtodo de
la adjunta. Solucin:
-
Ejercicios
19) Una matriz cuadrada A cuyo determinante es 2 verifica la siguiente relacin:
Adj() =1 1 1
10 2
7 3 1
a. Determine el valor de la constante .
b. Modele la inversa de A .
Solucin:
-
Bibliografa
4. Calculus Larson Edwards
3. Matemticas para administracin Ernest F. Haeussler,
Jr. Richard S. Paul y Richard J. Wood.
1. Algebra lineal y sus aplicaciones David C. Lay.
2. Preclculo Franklin D. Demana; Bert K. Waits; Gregory D. Foley y Daniel Kennedy