SEMANA 8 DIVISIBILIDAD II 1.Lasumadetrecenmeros enterosconsecutivosesdela forma4a9a.Halleelmayorde los nmeros. A) 363 B) 368C) 369 D) 375E) 374 RESOLUCIN De la condicin: ( ) ( ) ( )N 6 N 5 N 4 ...... + + + + ( ) ( )N ...... N 5 N 6 4a9a + + + + + = Efectuando la suma indicada: 13N 4a9a = 04a9a 13 = () ( ) ()01 4 4 a 3 9 1(a) 13 + =a = 7 13 N = 4797 N = 369

( )El mayor nmero:N 6 375 + = RPTA.: D 2.Siunnmerode4dgitosdonde sus 3 ltimas cifras son iguales se leharestadootroqueseobtuvo al invertir el orden de las cifras del primero.Siladiferenciaes mltiplo de 7. Halle la diferencia. A) 777B) 1 554C) 2 331 D) 4 662E) 6 993 RESOLUCIN 07 = bbba abbb Descomponiendo 0999 a 999 b 7 =07 ) ( 999 = b a 7 = b a . La diferencia:999(7) 6993 = RPTA.: E 3.Si: 0abc 11 = 0bac 7 = 0cab 5 =Calcule el menor valor de:(a + b + c) A) 16 B) 10 C) 15 D) 12 E) 14 RESOLUCIN 0 011 11 = + = c b a abc 0 0bac 7 2 b 3 a c 7 = + + =5 50= = b cabDe las ecuaciones: a + c =5 1 7 2 3 7 30 0 = = + a c aa = 3c = 3 a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10. RPTA.: B

4.Se cumple:0mnp 22 = 0pnm 7 = 0mp 9 = Calcule: m x n x p A) 72 B) 81 C) 90D) 126E) 162 RESOLUCIN : 220p mnp =par;0m n p 11 =(+)(-)(+) 011 = + p n m 07 = pnm ; 2 3 1 07 3 2 = + + m n p ... 09 = mp09 = + p m ; p: par. 9 = + p m en 9 - n = 11 n = 9 en09p 277 + + = 07 36 = + pp = 6m = 3 = p n m162 6 9 3 = RPTA.: E 5.Cuntosnmeroscapicasde5 cifras no son mltiplos de 495? A) 872B) 890C) 896 D) 898E) 899 RESOLUCIN 05 b c b 5 99 = 1 (10) 1 (10) 1 099 5 10 10 5 = + + + + b c b 010 20b c 99 + + = 4 9 98 Hay 2 nmeros 0495. a b c b a0 0 11 1 22 2 3. . .. . .. . .9 9 910 10 9 900#s.+ + + =

Nmeros que no son 0495 900 - 2 = 898 RPTA.: D 6.Si: 1185a2476032000 19! =Halle a A) 4B) 5C) 6 D) 7E) 8 131233 20abcba 495 = 05099 RESOLUCIN Elcriteriomsprecisoes 09 ; porque se analiza todas las cifras. Tendremos 09 ! 19 11 8 5a2 4 760302000 9 =09 3 = + aa = 6 RPTA.: C 7.Halle:( ) n x p + +si:( )0x8 n 5 nx 25 = y ( )0n 5 ppxp 7 = A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20 RESOLUCIN ( )0x8 n 5 nx 25 =( )0n 5 ppxp 7 = n 5 1 ; n 6 > > Criterio: 0257 ; 250= = n nx07x 25 ; x 5 = =07 2 = ppxpCriterio 707 5 2 = p pp31 231 -+( ) ( )03p 15 p 6 7 + + = 02p 9 7 + =p + n + x = 18 RPTA.: D 8.Sabiendo que: abcd 364(d a 2b 3c) = + + . Halle la expresin: ( ) ab cd + A) 50 B) 52 C) 54 D) 56 E) 58 RESOLUCIN Como 364 = 07 abcd 7 =

( )364 d a 2b 3c = + + ( )07 d a 2b 3c 364(d a 2b 3c) + + + = + +( )0 07 363 d a 2b 3c (d a 2b 3c) 7 + + + + + =d a 2b 3c 21 + + =en abcd 364 21 7644 = = a = 7 b = 6 c = 4 d = 4Verificando:d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21 ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58 RPTA.: E 9.Elnmerodelaforma:aa0bbc alserdivididoentre4;9y25dejacomoresiduo2;4y7 respectivamente. Halle a. A) 6B) 4C) 3 D) 2E) 0 RESOLUCIN M aa0bbc = abcd1 2 3 1-+11M04 2 +09 4 +025 7 + Por lo tanto: Propiedad:M m.cm.(4;25) 82 = + 0M 100 82 = + entonces: aa0 8 8 209 4 = + 02a 9 4 = +

0a 9 2 = + ; a = 2 RPTA.: D 10.Halleelresiduoqueseobtieneal dividir: ab5ab1ab4Entre 11. A) 2B) 3C) 4 D) 1E) 6 RESOLUCIN 0M a b 1 a b 4 11 = = -+ -+ -+ 4 a + b +( )a 1 b + +( )011 = 011 3 +ab5 ab5 ab5M 11 3 11 3| |= + = + |\ . Gaus: modulo: 11 013 11 3 = + 023 11 9 = + 033 11 5 = + 043 11 4 = + 053 11 1 = +Cadavezquelapotenciade3es mltiplo de5 el residuo es 1. RPTA.: D 11.Cuntoscapicas de 4 cifras son divisibles por 99 pero no por 15? A) 8B) 9C) 10 D) 7E) 11 RESOLUCIN Sea: 0abba 99 15 a 5 = = =*Caso 1ab ba 99 + = a+ b = 9 90 81 72 63 45 36 27 18 Hay ocho nmeros *Caso 2ab ba 189 + = a 9 =b = 9 Hay un nmero Rpta. 9 nmeros RPTA.: B 12.Halleelresiduodedividirel nmero 5678979899 con 11. A) 5B) 6C) 7 D) 2E) 4 RESOLUCIN 5 6 7 8 9 10 11 12 98 99 =011 99 98 ... 10 56789+ + ++ + + + +=099 1011 90 5 7 9 6 82+ | |+ + + + |\ . =011 109.45 7 + +=011 6 +M0 04 2 80 4 82 + + = + 025 7 75 25 82 + + = +0100 82 +aa0bbc =b = 8c = 2 RPTA.: B 13.Halleelresiduodedividirel nmero 13579959799con 9. A) 6B) 7C) 3 D) 1E) 0 RESOLUCIN 135 7 . 95 97 99 99 ... 5 3 1 90+ + + + + = (Criterio de divisibilidad) = 2050 9+ (Suma de nmeros impares) =09 25 +09 7 = +RPTA.: B 14.Halle el resto de dividir el nmero: () 4N 321aaa321aaa =Entre 7. A) 1B) 2C) 3 D) 4E) 0 RESOLUCIN a a N 21 64 57 64 21 64 572 4+ + + = 040 0407 ) 1 7 ( 57 7 ) 1 7 ( 57 + + + + + = N114 7 57 57 70 0+ = + + = N0 0 0N 7 (7 2) 7 2 = + + = +2 7 = r NRPTA.: B 15.Setieneelnumerala53b72c4 esdivisiblepor8yquealser divididoentre11,elresiduoes10;yalserdivididoentre9el residuo es 2. Halle el mayor valor de:(a + b + c). A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 17 RESOLUCIN * 08 4 72 53 = c b a0 02c 4 8 8 2c 4 8 = + + =4 2 1c = 2; 6 * * 0a5 3b 72 c4 99 65 + + + = +0a5 3b c4 7 99 99 2 198 + + + = = = Sic 6 b 2 ; a 9 = = =17 = + + c b aRPTA.: E 16.Se sabe que ( )0m7mnpq 11 5 = +( )0n7mnpq 11 4 = ( )p 07mnpq 11 2 = CalculeelresiduodedividirN entre 11.Si ( )( )() 4mnp7N mnpq = A) 5B) 3C) 8 D) 2E) 1 RESOLUCIN ( )( )() 47mnpmnpq N =descomponiendo: ( )p n m mnp + + = 4 164 p n mmnpq mnpq mnpq N747167 =N =(57)(21a) (57)(21a)N =321 aaa321 aaa(4)(64)430 0a53b72c 4 11 10 55 11 65 = + + = +- + - + - + - +0 0a53b72c4 9 2 63 9 65 = + + = +a 5 3 b 7 2 c 4 ( ) ( )p n mmnpq mnpq mnpq N747167 =16 40 0N 11 5 11 4 11 2| | | | | |= + |||\ . \ . \ . 0 0 016 4N 11 5 11 4 11 2| | | | | |= + + |||\ . \ . \ . |.|

\||.|

\|+|.|

\|+ = 2 1 1 3 1 1 5 1 10 0 0N ) 3 33 ( 1 1 30 1 10 0 = = N3 1 10+ = N Resto: 3 RPTA.: B 17.Halleelresiduodedividircon10 el nmero cifrasabc7mnp0066...66| | | | |\ . A) 0B) 1C) 3 D) 6E) 8

RESOLUCIN ( )abcabcmnpoo 7cifras66...667 1mnp00| |= | |\ . ( )abc0abc4k 7cifras66...667 1 ;mnp00 4mnp00| |= = | |\ . ( )( )abcabck4 7cifras66...667 1mnp00| |= | |\ .

( )( )abcabck7cifras66...66...1 1mnp00| |= | |\ . abc7cifras66...66...0mnp00| |= | |\ . RPTA.: A 18.Cuntos valores puede tomar a sielnmero ( ) 9 aaa.............aa de 16 cifras es divisible entre 8? A) 2B) 4C) 6 D) 8E) 7 RESOLUCIN 16 cifras ( )09 8 ... = = aa aaa N0 08 16a 8 + = :se cumple para todo a a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 a toma 8 valores RPTA.: D 19.Calculeaxb;si ( ) 94a0567besdivisibleentre10yalser dividido entre 8 el resto es 2. A) 4B) 15 C) 35 D) 21 E) 5 RESOLUCIN * ( )094a0567b 10 b a 2 18 = = +-+-+- + b a 2 = * ( )0 094a0567b 8 2 a b 22 8 2 = + + + = +12 4 8 200 b a b a = + = + + Para12 = +b a b = 7 2 = a b a = 5 35 = b aRPTA.: C 20.UnanimalitovadeAhaciaB dandosaltosde15cmyregresa dandosaltosde16cm.Despus dehaberrecorrido1,22mse detiene.Cuntolefaltapara llegar al punto A? A) 48 cm. B) 42 cm.C) 52 cm. D) 58 cm. E) menos de40 cm. I RESOLUCIN 122 16 15 = + b a Modulo 03 2 3 1 3 30 0 0+ =|.|

\| + + b2 30+ = b Reemplazando: 122 ) 2 ( 16 15 = + a 122 32 90a 615 15= = = La distancia de A a B es: 16(6) = 90 cm Falta: 90 16(b) = 58 RPTA.: D 21.Si 0"n" cifras333... 41 =.Connmnimo. Culserelresiduoporexceso queseobtienealdividirentre26 almenornmerode5cifras diferentes de la base n? A) 8B) 12 C) 14 D) 16 E) 10 RESOLUCIN Menornmerode5cifras diferentes en base 5:( )r + =0526 10234 Descomponiendo: 694 4 5 3 5 2 0 5 12 4= + + + + Por defecto = 18 Por exceso = 8RPTA.: A 22.Unniosicuentasuscanicas agrupndolas de 5 en 5 le faltan 2 canicas; si las cuentan de6en 6 le sobran 3; y si las cuentan de8 en 8 le faltan 5; por lo que decidi agruparlosde9en9,asnole sobraningunacanica.Sila cantidaddecanicasseencuentra entre 400 y 650. Cuntas canicas tiene el nio? A) 438B) 480C) 483 D) 485E) 603 RESOLUCIN Sea N la cantidad de canicas que tiene el nio:3 83 63 5000++ =+N 3 120 3 ) 8 ; 6 ; 5 (0 0+ + = MCM N Entonces:N 123; 243; 363; 483; 603........ = Pero: 09 = N400 N 650