semana 1 - 2012 iii

CIRCULO DE ESTUDIOS [NIVEL A1]

RAZ. MATEMATICO

Sucesiones Numéricas Importantes Sucesión Aritmética Lineal

Es aquella sucesión en la cual la diferencia entre los términos consecutivos es siempre constante, a esta constante se le llama razón diferencial. También es llamada Progresión

aritmética o sucesión aritmética de orden.

En general, el término enésimo de toda progresión aritmética (razón constante) se calcula mediante la expresión:

Donde:

: Primer Término; : Término Enésimo

: Razón Aritmética : Número de Términos

Sucesión Cuadrática

Son aquellas sucesiones en el cual la razón constante aparece en segunda instancia o segundo orden y su término enésimo tiene la forma de un polinomio de segundo grado.

También se le denomina sucesión aritmética de orden.

Donde son constantes cualesquiera,

: Número de Términos.

Regla Práctica: Para hallar

Progresión Geométrica

Es aquella en la cual la razón geométrica se obtiene como la división de dos términos consecutivos y generalmente se expresa como un término cualquiera que al multiplicarse por la razón constante nos resulta el siguiente.

El término enésimo de toda progresión geométrica (razón constante) se calcula mediante la expresión:

Donde:

: Primer Término

: Razón Geométrica: Número de Términos

Sucesión Especiales De los Números Primos

De Fibonacci

(La suma de dos términos consecutivos da el siguiente término, empieza con dos términos iguales.)

De Feinberg (“Tribonacci”)

(La suma de tres términos consecutivos da el siguiente término)

De Lucas

(La suma de dos términos consecutivos da el siguiente término)

De los Números Triangulares

De los Números Pentagonales

De los Números Hexagonales

Dirección: Prolongación Bacamatos # 585 – Urb. Miraflores Lambayeque.Teléfono: 502790 / Celular: 978862154 – 979112283 email: [email protected]


RAZ. MATEMATICO

SERIE ARITMÉTICAEs la adición indicada de los términos de una progresión o sucesión aritmética.

En general: Para toda sucesión aritmética de “ ”

términos:

La suma de todos sus términos se obtiene:

Donde : Primer Término; : Último Término: Número de Términos

SERIE GEOMÉTRICAPueden ser:

SERIE GEOMÉTRICA FINITA

Para toda progresión geométrica de “ ” términos:

La suma de todos sus términos se obtiene:

Donde: : Primer Término; : Razón : Número de Términos

SERIE GEOMÉTRICA INFINITA Para toda serie geométrica de infinitos términos su suma se calcula así

SUMATORIAS

Se denota por la letra , leeremos suma de sus elementos:

PROPIEDADES DE SUMATORIAS Número de términos:

SUMAS NOTABLES

Suma de los primeros “ ” números naturales:

Suma de los primeros “ ” números pares.

Suma de los primeros “ ” números impares.

Suma de los primeros “ ” cuadrados.

Suma de los primeros “ ” cubos.

Otras Fórmulas :



RAZ. MATEMATICO

PROBLEMITASSUCESIONES

1. Calcule el valor de K. si (2k + 1); 3k, (8k + 11) es una sucesión de primer orden.a) -1 b) -2 c) -3 d) 1 e) 2

2. Hallar “a - b”, en: 38; 59; 1517; 6444, ab;…a) 440 b) 310 c) 197 d) 207 e) 217

3. Un par de conejos da una vez al mes una cría de una par de conejitos (un macho y una hembra), al cabo de 2 meses de nacimientos los conejos recién nacidos ya dan cría. Cuántos conejos habrá el cabo de diez meses si al comienzo había un par de conejo.a) 110 b) 178 c) 288 d) 144 e) 127

4. Hallar el término que continua en la sucesión:6

a2;

3a;

32;

3a4; . .. .

a)

3a2

4 b)

3a2

8 c)

3a2

2 d)

3a2

16 e)

a2

85. Dadas la sucesiones S1 y S2, hallar cuántos términos

comunes tienen ambas sucesiones:S1 = 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; , , , , , ; 122S2 = 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; . . . . . .; 159a) 20 b) 11 c) 12 d) 10

e) 416. ¿Cuántos términos de tres cifras hay en la siguiente

sucesión: 3; 4; 11; 30; 67; 128;. . . . . .?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

e) 87. En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma del primer

y último término de la fila 25. 1 F1 3 5 F2 7 9 11 F3 13 15 17 19 F4 21 23 25 27 29 F5

a) 625 b) 325 c) 650 d) 1250 e) 3000

8. Benito decide ahorrar durante todo el mes de julio, de la siguiente manera; cada día 4 soles más que el día anterior. ¿En qué día se cumplirá que lo ahorrado en ese día, sea los 10/9 de lo ahorrado 5 días antes y además sea 2 veces lo ahorrado el primer día?

a) 26 b) 24 c) 22 d) 36 e) 279. Se tiene una P.A. creciente de 3 términos cuya suma de

términos es 36. Si se añaden 3 unidades al primero y al último término se forma una P.G. Calcular la razón de la P.A.

a) 4 b) 9 c) 3 d) 6 e) 1210. Una persona compra el primero de Enero 16 televisores y

regala 4, el día 2 compra 18 y regala 8, al día siguiente compra 22 y regala 14, el día 4 compra 28 y regala 22, y así sucesivamente, hasta que un día compró cierta cantidad de televisores y los regaló todos. ¿Qué día fue ese?

a) 7 de Enero b) 10 de enero c) 12 de enero d) 13 de enero e) 15 de enero

11. En el triángulo de pascal, calcular la suma de cifras del vigésimo término de la sucesión de números tetraédricos. a) 1771 b) 3 080 c) 1540 d) 1450 e) 1650

12. El primer día ahorré S/. 2, el segundo día S/. 2 menos de lo que ahorre el tercer día, y en éste día ahorré S/. 2 menos de

lo que ahorré el cuarto día, que es S/. 5 más de lo ahorrado en el primer día, y así sucesivamente. ¿Cuántos soles ahorré el quinto día a partir del tercer día?

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 13. En una P.G. creciente se sabe que el cuarto término es 9

veces el segundo término además el primer término aumentado en 2 es igual a la mitad del segundo. Hallar la razón de la P.G. y dar como respuesta la suma del t1 + t5

a) 128 b) 206 c) 605 d) 420 e) 32814. Pepito se dedica a la venta de revistas; el primer día vende

6; el segundo día vende 9, el tercer día vende 14, el cuarto día vende 21 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 630 revistas. ¿Cuántos días estuvo vendiendo?

a) 25 b) 22 c) 24 d) 23 e) 21 15. Rosario, en su jardín, cada día planta 3 rosas más de lo que

planta en el día anterior. El último día plantó tantas rosas como el quíntuplo de número de días que ha trabajado. ¿Cuántas rosas plantó el segundo día, sabiendo que los plantados el primer día y el último día totalizan 143?a) 46 b) 49 c) 43 d) 40 e) 20

16. Se reparte caramelos a un grupo de niños en cantidades diferentes que forman una progresión aritmética, al séptimo niño le toco la mitad de lo que le toco al último y a este el quíntuplo de lo que le toco al primero. ¿Cuántos niños son?a) 12 b) 13 c) 17 d) 21 e) 19

17. Dada la sucesión: -15, -6 , -3, -1, 1, xEl valor de x es:a) 10 b) -11/3 c) 1/3 d) 5/3 e) 11/3

18. Calcular x – 5, en:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, xa) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

19. Juan repartió $ 3280, entre sus amigos, el primero le dió $20 y a cada uno de los siguientes le daba $3 más que el anterior. Hallar ¿Cuántos amigos tenía?a) 39 b) 41 c) 40 d) 42 e) 43

20. Mary trabaja diariamente en un puesto de venta. El 30 de octubre obtiene 9 soles, al día siguiente gana 13 soles y gasta un sol, al día siguiente gana 17 soles y gasta 3 soles, al día siguiente gana 21 soles y gasta 6 soles y así sucesivamente ¿Qué día será cuando lo que gana es igual a lo que gasta?a) 8 de noviembre b) 7 de noviembrec) 9 de noviembre d) 10 de noviembree) 20 de noviembre

21. ¿Qué letra sigue en: B; E; H; K; ...?a) M b) N c) L d) Ñ e) O

22. Un tren lleva 7 pasajeros y en cada estación suben 2 pasajeros más de los que hay; si al llegar a la última estación hay 616 pasajeros. ¿En cuántas estaciones paró el tren?a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

23. En un cuartel, el mayor decide que cada cadete realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada al patio. A las 6:16 a.m. se realiza 2 abdominales; a las 6:17 a.m., 5 abdominales; a las 6:18 a.m., 9 abdominales; a las 6:19 a.m., 14 abdominales y así sucesivamente. Si Juan llegó al patio a las 6:59 a.m., ¿cuántas abdominales deberá realizar?a) 1025 b) 1034 c) 1038 d) 1304 e) 1044

SERIES Y SUMATORIAS

24. Hallar el valor de:

∑i=10

20

(2i−1 )

a) 319 b) 310 c) 300 d) 320 e) 290

25. Hallar n en:

∑a=(3 n2+4 n)

(3n2+5n-5 )

2=128



RAZ. MATEMATICO

a) 62 b) 60 c) 68 d) 64 e) 61

26. Efectuar:

∑i=1

n

(3 i2−3 i+1)

a) n2 b) n4 c) 2n3 d) 5n2 e) n3

27. Se tiene 635 panes y se reparten de tal manera que el primero recibe 1, el segundo 3, el tercero 5 y así sucesivamente. ¿Cuántos panes sobran? ¿Cuántos niños reciben pan?. Dar la suma

a) 25 b) 40 c) 33 d) 35 e) 2728. Sean: x; x + 7; x + 21, los tres primeros términos de una

progresión geométrica. Hallar la onceava parte de la suma de las cifras del 11° término de la progresión.a) 2 b) 8 c) 1 d) 6 e) 7

29. El tercer término de una P.A. es 12 y el octavo 27. Halle la

suma de los términos comprendidos entre el cuarto término

y el vigésimo quinto término.

a) 930 b) 940 c) 920 d) 925 e) 95030. Hallar: a + b + c + d

1.2.7+2.3.8+3.4.9+…+20.21.26=abcbda) 15 b) 20 c) 18 d) 17 e) 16

31. Hallar la suma de las 10 primeras filas de:

a) 2048 b) 3080 c) 3000 d) 1024 e) 103

32. Calcular el valor de S: S=1+(1+4 ) +(1+4+7 )+(1+4+7+10 )+.. .⏟

20 términosa) 16820 b) 12820 c) 19620 d) 18760 e) 18620

33. Si: a1 , a2 , a3 , a4 ,son números naturales en progresión

aritmética. Además:a1+a2+a3+a4=26

a1.a2 .a3 .a4=880

Calcular: N=a

12+a22+a32+a42

a) 184 b) 214 c) 216 d) 218 e) 19534. ¿Cuántas cifras tiene el menor número cuya suma de cifras

sea 110?a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

35. Si: SK = 32–K, entonces el valor de S = S4 + S5 + S6+ ... +Sn, cuando n tiende al infinito es:a) 1/3 b) 1/6 c) 2/9 d) 3/2 e) 2/3

36. Determine la suma de las áreas de los infinitos cuadrados

formados. El lado de cada cuadrado es la mitad del lado del

cuadrado anterior

a) 16 cm2 b) 64/3 cm2 c) 36 cm2

d) 32/3 cm2 e) 48 cm2

37. Calcular: S=1

3+ 2

32+ 3

33+ 4

34+. ..∞

a)

35 b)

12

c)

43

d)

34 e)

53

38. Se define:

=

ab x c

Calcule:

S= + + + + +

a)

220221 b)

210211 c)

211210

d)

221220

e)

1211

39. Dada la serie:

11a

+101

a2+1001

a3+10 001

a4+. ..

Donde a > 10

Hallar: “a”, si esta serie converge a: 1+

119

a) 20 b) 11 c) 30 d) 40 e) 2540. A los términos de la serie: S = 2+5+8+11+...

Se le entrega 1; 2; 3; 4;.... Respectivamente, de tal manera que la suma de la nueva serie sea igual a 1830 ¿Cuántos términos tiene la serie original?

a) 20 b) 30 c) 24 d) 28 e) 3541. La reina y el rey salen a pasear por los bosques de sus

dominios; mientras la reina da 20 pasos en forma constante por cada minuto, el rey avanza 1 paso en el primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final llegan juntos a su destino. ¿Cuál es la distancia que han recorrido?

a) 750 pasos b) 760 pasosc) 770 pasos d) 780 pasos e) 790

pasos42. Hallar el valor de:

M= 11. 4

+ 14 .7

+ 17 . 10

+. . .. .. .+ 128 .31

a) 10/24 b) 13/31 c) 10/31 d) 12/41 e) 15/41

43. La suma de la última fila del arreglo es 2380. ¿Cuántas filas se tienen?

12 + 3

3 + 4 + 54 + 5 + 6 + 7

……………….........…………………...........

a) 46 b) 48 c) 39 d) 42 e) 40

44. Calcular:

S= 14 x5

+ 25 x7

+ 37 x10

+…⏟40 sumandos

a)

205824 b)

210821 c)

215824 d)

204825 e)

211824

45. ¿Cuál es el resultado de sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar cada número de dos cifras por su consecutivo?. (De como respuesta la suma de sus cifras)a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30

46. Una empresa de seguros de vida contrata a una señorita para afiliar clientes prometiéndole pagar una suma por el primer cliente que afilie y luego se irá duplicando dicha suma por cada nuevo cliente afiliado. Si afilia 13 clientes y recibe S/. 24 573. ¿Cuánto le pagaron por el décimo cliente afiliado?a) 384 b) 768 c) 1536 d) 6144 e) 6164


2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

2 F1

4 6 F2

8 10 12 F3

14 16 18 20 F4

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

20

191211

4711

34

7

224

112


RAZ. MATEMATICO

47. Un comerciante advierte que la demanda de su producto va en aumento, por lo que decide comprar cada día 5 unidades más respecto al día anterior y de esa manera satisfacer a los clientes. Si empezó comprando 19 unidades y el penúltimo día compró 169 unidades. ¿Cuántas unidades compró en total? a) 3005 b) 3088 c) 3006 d) 3107 e) 3012

PROF. JUAN A. NÚÑEZ CONCHA


semana 1 - 2012 iii

Documents