selección de portafolios. markowitz

7/25/2019 Seleccin de Portafolios. Markowitz

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PORTFOLIO SELECTION*

HARRY MARKOWITZ

The Rand Corporation

El proceso de seleccin de una cartera puede dividirse en dos etapas. La primeraetapa comienza con la observacin y la experiencia y termina con las expectativas

de los futuros rendimientos de los ttulos disponibles. La segunda etapa se inicia

con las expectativas relevantes sobre los futuros rendimientos y termina con la

eleccin de la cartera. Este documento hace referencia a la segunda etapa. En

primer lugar consideremos la regla que hace el inversor (o debera) de maximizar

los rendimientos esperados descontados o anticipados. Esta regla es rechazada

como una hiptesis para explicar y a la vez es un m!ximo que gua el

comportamiento del inversor." continuacin consideramosla regla que hace el

inversor (o debera) en considerar el rendimiento esperado como algo deseable y

la varianza de los rendimientos como una cosa indeseable. Esta regla tiene

muchos puntos racionales como una m!xima e hiptesis sobre el comportamiento

del inversor. #os ilustran geom$tricamente las relaciones entre las expectativas y

la eleccin de cartera de acuerdo con la regla de %retorno esperado y la varianza

de los retornos%.

&n tipo de regla sobre la eleccin de cartera que hace el inversor (o debera) es la

de maximizar el valor actualizado (o capitalizado) de los rendimientos futuros.

'uesto que el futuro no se conoce con certeza los retornos deben ser esperados

o anticipados los cuales se descuentan. Las variaciones de este tipo de regla

pueden ser sugeridas. *iguiendo a +ic,s podramos de-ar que los retornos

esperados incluyan una provisin por riesgo. podramos de-ar que la tasa a la

que capitalizamos los rendimientos de determinados valores vare con el riesgo.

La regla anterior no implica la diversificacin no importa cmo se forman los

rendimientos esperados/ si los mismos o diferentes tipos de descuento se utilizan

para diferentes valores/ no importa cmo estas tasas de descuento se deciden o

cmo varan con el tiempo. La hiptesis implica que los lugares de los inversores

todos sus fondos en la seguridad con el mayor valor de descuento. *i dos o m!s

ttulos tienen el mismo valor entonces cualquiera de estos o cualquier

combinacin de $stos es tan buena como cualquier otra.

'odemos ver esto analticamente0 supongamos que existen # valores/ donde

rit es el retorno anticipado en el tiempo t por cada dlar invertido en el valor

i /d it es la tasa a la cual el retorno en el i

th

valor en el tiempo t es


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descontado de vuelta al presente/Xi es la cantidad relativa invertida en el valor

i . Excluimos las ventas en corto por lo tantoXi 0para todo i . El retorno

anticipado descontado del portafolio es0

R=t=1

i=1

N

d itr itX

i=1

N

Xi(t=1

d itrit)

R=t=1

d itr it Es el retorno descontado de los ith

valores por lo tanto

R= XiRi 1onde Ri es independiente de Xi desde Xi 0 para todo

i y Xi=1 R es un promedio ponderado de Ri con Xi como

ponderaciones no negativas. 'ara maximizar R de-amos queXi=1 para i

con m!ximaRi . *i varios

R , =1, . , K son entonces cualquier asignacin

m!xima con m!xima R . En ning2n caso todos los portafolios no diversificados

son preferidos sobre un portafolio diversificado.

=1

K

X

En este punto es conveniente considerar un modelo est!tico. En lugar de hablar

de las series temporales de los rendimientos de los ith

valores

(ri1 ,ri2 ,, rit) hablaremos sobre el flu-o de los rendimientos (ri) de los

ith valores. El flu-o de los rendimientos del portafolio en con-unto es R= Xi .

3omo en el caso din!mico si el inversor desea maximizar los retornosanticipados del portafolio colocara todos sus fondos en los valores con m!ximosretornos anticipados+ay una regla que implica que el inversor debe diversificarse y a la vez maximizarlos retornos esperados. La norma establece que el inversor hace (o debera)diversificar sus fondos entre todos aquellos valores que dan el m!ximo retorno


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esperado. La ley de los grandes n2meros asegurar! que el rendimiento real de lacartera ser! casi el mismo que el rendimiento esperado. 4Esta regla es un casoespecial de la regla de los retornos esperados5varianza de los rendimientos. Estoasume que existe un portafolio que da tanto el m!ximo rendimiento esperadocomo varianza mnima.

Esta presuncin que la ley de los grandes n2meros se aplica a una cartera devalores no puede aceptarse. Los rendimientos de los ttulos est!n muyintercorrelacionados. La diversificacin no puede eliminar toda la varianza.La cartera con la m!xima rentabilidad esperada no es necesariamente la que tienela mnima varianza. +ay una tasa a la que el inversor puede ganar rentabilidadesperada mediante la adopcin varianza o reducir la varianza al renunciar arendimiento esperado.

6imos que la regla de los retornos esperados o retornos anticipados esinadecuada. 'asemos ahora a la regla de la rentabilidad esperada varianza de losretornos (E56). *er! necesario presentar primero unos conceptos elementales ylos resultados de la estadstica matem!tica. " continuacin se muestran algunasde las implicaciones de la regla E56. 1espu$s de esto vamos a hablar de suplausibilidad.

En nuestra presentacin tratamos de evitar enunciados y pruebas matem!ticascomplicadas. 3omo consecuencia de ello se paga un precio en t$rminos de rigor ygeneralidad. Las principales limitaciones de esta fuente son (4) que no se derivannuestros resultados analtica para el caso de n5valores/ en su lugar lospresentamos geom$tricamente para los casos de 7 y 8 valores/ (9) asumimoscreencias de probabilidad est!tica. En una presentacin general hay quereconocer que la distribucin de probabilidad de los rendimientos de los diversosvalores es una funcin del tiempo. El escritor tiene la intencin de presentar en elfuturo el tratamiento matem!tico general que elimina estas limitaciones.6amos a necesitar los siguientes conceptos elementales y los resultados de laestadstica matem!tica0

*ea Y una variable aleatoria es decir una variable cuyo valor se decide por

casualidad. *upongamos para simplificar la exposicin que Y puede adoptar

un n2mero finito de valores y

1, y

2, yN. 1e-e que la probabilidad de que

Y=y1

sea p1 / que

Y=y2

sea p2 El valor esperado (o media) de Y es

definido por

E=p1y

1+p

2y

2++pNy N

La varianza de Y es definida por

1 Williams, op. cit., pp. 68, 69.


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V=p1(y1E)2+p2(y2E)

2+ pN(yNE)2

V Es la desviacin media cuadrada de

Yrespecto a su valor esperado.

3om2nmente V es una medida de dispersin. tras medidas de dispersin

estrechamente relacionadas con V son la desviacin est!ndar =V y el

coeficiente de variacin /E

*upongamos que tenemos un n2mero de variables aleatorias0R

1, , Rn . *i

R es una suma ponderada (combinacin lineal) de laRi

R= R1+ R2++ Rn

Entonces R tambi$n es una variable aleatoria. ('or e-emploR

1 puede ser

el n2mero que gira sobre un dado/R

2 el de otro dado y R la suma de estos

n2meros. En este caso('or e-emplo :4 puede ser el n2mero que gira sobre un dado/ :9 que de otrodado y : la suma de estos n2meros En este caso n ; 9


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Es decir el valor esperado de ?(la desviacin de R

1 respecto a su media)

multiplicado por (la desviacin deR

2 respecto a su media)@. En general

definimos la covarianza entreR

1 yR

2 como

ij=E {[R iE (Ri )] [RjE (R j )] }

ij *e puede expresar en t$rminos del coeficiente de correlacin conocido

(pij) . La covarianza entre Ri y Rj es igual a ?(su correlacin) multiplicado

por (la desviacin est!ndar deRi ) multiplicado por (la desviacin est!ndar de

Rj)@0

ij=pij i j

La varianza de una suma ponderada es

V(R )=i=1

N

i2

V(Xi)+2i=1

N

i>1

N

i j ij

*i utilizamos el hecho de que la varianza deRi es

ii entonces

V(R )i=1

N

j=1

N

i j ij

*eaRi el retorno en el i

t h

valor. *eai el valor esperado de

Ri / ij

sea la covarianza entreRi y

Rj (por lo tantoii es la varianza de

Ri ).

*eaXi el porcenta-e de los activos que los inversores al valor i

t h

. El

rendimiento en el portafolio en su con-unto es


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R=R iXi

ElRi (y en consecuencia R ) son consideradas variables aleatorias.7 Los

Xi no son variables aleatorias pero son fi-adas por el inversor. Aa que lasXi

son porcenta-es tenemos Xi=1 . En nuestro an!lisis vamos a excluir los

valores negativos deXi (es decir las ventas en corto)/ por lo tanto

Xi 0

para todo i .

El retorno (R) en la cartera en su con-unto es una suma ponderada de

variables aleatorias (en el que el inversor puede las ponderaciones). 1e nuestra

discusin de tales sumas ponderadas vemos que el rendimiento esperado

E

dela cartera en su con-unto es

E=i=1

N

Xi i

A la varianza es

V(R )i=1

N

j=1

N

ijXiX

'ara las expectativas de probabilidad fi-a

( i ,ij)

el inversor tiene la opcin de

varias combinaciones de E y V dependiendo de la eleccin del portafolio

X1, ,X n . *upongamos que el con-unto de todas las posibles combinaciones

de (E , V) son como en la figura 4.

I.e., we assume that the investor does (and should) act as if he had probability beliefs concerning these variables. I n generalwe would expect that the investor could tell us, for any two events (A and B), whether he personally considered A more likely

than B, B more likely than A, or both equally likely. If the investor were consistent in his opinions on such matters, he wouldpossess a system of probability beliefs. e cannot expect the investor to be consistent in every detail. e can, however, expect

his probability beliefs to be roughly consistent on important matters that have been carefully considered. e should also expectthat he will base his actions upon these probability beliefs!even though they be in part sub"ective.#his paper does not consider thedifficult question of how investors do (or should) form their probability beliefs.


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La regla de EV establece que el inversor podra (o debera) desear

seleccionar una de las carteras que se sit2an dentro de las combinaciones

indicadas como eficientes en la figura (E , V) / es decir aquellas con V

mnima dado mayor E y m!ximo E dado menor V .

+ay t$cnicas mediante las cuales podemos calcular el con-unto de carteras

eficientes y eficaces (E , V) combinaciones asociadas con dado i y ij .

#o vamos a presentar estas t$cnicas aqu. *in embargo ilustraremos la

naturaleza geom$trica de las superficies eficientes para los casos en los que N

(el n2mero de ttulos disponibles) es pequeBo.

El c!lculo de superficies eficientes posiblemente podra ser de uso pr!ctico. Calvez hay maneras mediante la combinacin de t$cnicas estadsticas y el -uicio de

los expertos para formar expectativas razonables de probabilidad

( i ,ij)

.

'odramos utilizar estas expectativas para calcular las posibles combinaciones


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eficientes de (E , V) . El inversor estando informado de las posibles

combinaciones (E , V) podra afirmar cual desea. Entonces podramos

encontrar la cartera que dio esta combinacin deseada. 6olveremos a estosasuntos m!s tarde.

3onsideremos el caso de tres valores. En el caso de tres valores nuestro modelose reduce a

1E=i=1

3

Xii

2V(R )i=1

3

j=1

3

XiXj ij

3E=i=1

3

Xi=1

4 Xi 0 for i=1,2,3.

" partir de (7) obtenemos

3 'X3=1X1X2

*i sustituimos (7 D) en la ecuacin (4) y (9) obtenemos E y V como funciones

deX

1 yX

2 . 'or e-emplo encontramos

1'E=3+X1(13)+X2(23)


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Las frmulas exactas no son demasiado importantes aqu (la de V es

proporcionada aba-o).8*implemente podemos escribir

aE=E (X1 , X2)

V=V(X1 , X2)

! X10,X

20,1X

1X

2 0

ediante el uso de las relaciones (a) (b) (c) podemos traba-ar con la geometrade dos dimensiones. El con-unto de portafolios posibles consiste en todas lascarteras que satisfacen las restricciones (c) y (7 D) (o equivalente (7) y (8)). Las

combinaciones posibles deX

1, X

2 est!n representadas por el tri!ngulo abc en

la Figura 9. 3ualquier punto a la izquierda del e-eX

2 no es posible porque viola

la condicin de queX

10

. 3ualquier punto por deba-o del e-eX

1 no es

posible porque viola la condicin de queX

20

. 3ualquier punto por encima de

la lnea1X

1X

2=0

no es posible porque viola la condicin de que

X3=1X

1X

20.

1efinimos una curva iso5media ser el con-unto de todos los puntos (portafolios)con un rendimiento esperado dado. 1el mismo modo una lnea iso5varianza sedefine como el con-unto de todos los puntos (portafolios) con una variacin deretorno dada.

&n examen de las frmulas para E y V nos dice las formas de las curvas de

iso5media e iso5varianza. Especficamente nos dicen que por lo generalG lascurvas iso5media son un sistema de lneas rectas paralelas/ las curvas iso5varianza son un sistema de elipses conc$ntricas (ver Fig. 9). 'or e-emplo si

/

V=X12 ( 11213+33)+X2

2 ( 22223+33 )+2X1X2 ( 121323+33 )+2X1 ( 1333)+2X2 (23

0 #he isomean $curves$ are as described above except when

1=

2=

3 . In the latter case all portfolios have the same

expected return and the investor chooses the one with minimum variance. As to the assumptions implicit in our description of theisovariance curves see footnote


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1

" 2 la ecuacin 4 D puede escribir en la forma familiar

X2=+ X

1 /

especficamente (4)

X2=E

3

23

1

3

23 X1

"s la pendiente de la lnea iso5media asociada conE=E

0 is

#(1

3)/ (23 ) su intercepto (interseccin) es (E3)/ (23 ) . *i

cambiamos E cambiamos el intercepto (interseccin) pero no la pendiente de

la lnea de iso5media. Esto confirma la afirmacin de que las lneas iso5media

forman un sistema de lneas paralelas.

1el mismo modo mediante una aplicacin algo menos simple de la geometraanaltica podemos confirmar la afirmacin de que las lneas iso5varianza formanuna familia de elipses conc$ntricas. El %centro% del sistema es el punto que

minimiza V . Etiquetaremos como X a este punto. *u rendimiento esperado

y varianza los etiquetaremos como E y V . La varianza aumenta a medida

que uno se ale-a de X . 1e manera m!s precisa si una curva iso5varianza

$1 se encuentra m!s cerca de X que otro

$2 entonces

$1 es

asociado con una menor varianza que$

2 .

3on la ayuda del aparato geom$trica anterior busquemos los con-untos eficientes.

X el centro del sistema de elipses iso5varianza puede caer ya sea dentro o

fuera del con-unto posible. La Figura 8 ilustra un caso en el que X cae dentro

del con-unto factible. En este caso0 X es eficiente. #ing2n otro portafolio tiene

una V tan ba-a como X / por lo tanto ning2n portafolio puede una menor

V (con la misma o mayor E ) o mayor E con el mismo o menor V .

#ing2n punto (portafolio) con rendimiento esperado E menor que E es

eficiente. 'orque no tenemos E>E y V


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3onsidere todos los puntos con un rendimiento esperado dado E / es decir

todos los puntos de la lnea iso5media asociada con E . El punto de la lnea iso5

media en la cual V toma su valor mnimo es el punto en el que la lnea iso5

media es tangente a una curva iso5varianza. Llamamos a este punto^

X(E) . *i

de-amos variar a E ^X(E) traza una curva.

3onsideraciones algebraicas (que omitimos aqu) nos muestran que esta curva es

una lnea recta. La llamaremos la lnea crtica % . La lnea crtica pasa a trav$s

de X en este punto minimiza V para todos los puntos conE (X1 , X2 )=E . "

medida que % se mueve en cualquier direccin de X V incrementa. El

segmento de la lnea crtica de H hasta el punto donde la lnea crtica cruza ellmite del con-unto posible de portafolios es parte del con-unto eficiente.

El resto del con-unto eficiente es (en el caso ilustrado) es el segmento de la lnea

ab desde d hasta b. bes el punto m!ximo alcanzable de E . En la figura 7

X se encuentra fuera de la zona admisible pero la lnea crtica corta el !rea

admisible. La lnea eficiente comienza en el punto alcanzable con varianza mnima(en este caso en la lnea ab). *e mueve hacia b hasta que se cruza la lnea crtica*e mueve hacia bhasta que se cruza la lnea crtica se mueve a lo largo de la


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lnea crtica hasta cortar con la frontera y finalmente se mueve a lo largo de lafrontera con b. El lector puede construir y examinar los siguientes otros casos0 (4)

X se encuentra fuera del con-unto alcanzable y la lnea crtica no corta el

con-unto alcanzable. En este caso hay un valor el cual no entra en ning2n

portafolio eficiente. (9) 1os ttulos tienen la misma

1

. En este caso las lneasiso5media son paralelas a la lnea de lmite. 'uede suceder que el portafolio con la

m!xima eficiencia E es un portafolio diversificado. (7) &n caso en el que slo

una cartera es eficiente.

El con-unto eficiente en el caso de 8 valores es como en el de 7 valores y tambi$n

el caso de N valores una serie de segmentos de lneas conectadas. En un


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extremo del con-unto eficiente es el punto de mnima varianza/ en el otro extremoes un punto de m!ximo rendimiento esperadoI(v$ase la Fig. 8).

"hora que hemos visto la naturaleza del con-unto de portafolios eficientes no es

difcil ver la naturaleza de las combinaciones del con-unto eficiente (E , V) . En el

caso de tres valoresE=0+1X1+2X2 es un plano/

V=0+1X1+2X2+12X1X2+11X12+22X2

2

es un paraboloide.J3omo se muestra

en la Figura G la seccin del plano E sobre el con-unto de portafolios eficientes

es una serie de segmentos de lneas conectadas.

La seccin de la V 5paraboloide sobre el con-unto de portafolios eficientes es

una serie de segmentos de par!bola conectados. *i trazamos V contra E

para los portafolios eficientes obtendramos de nuevo una serie de segmentos depar!bola conectados. (6er Fig. I). Este resultado se obtiene para cualquiern2mero de valores.

6arias razones se recomiendan para el uso de la regla de los rendimientosesperados5varianza del rendimiento tanto como una hiptesis para explicar deforma bien establecida el comportamiento de las inversiones y como una m!ximaque gua la accin propia. La regla sirve me-or vamos a ver como una explicacinde y una gua para invertir que se diferencia del comportamiento especulativo

6

- %ee footnote &.


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"l principio rechazamos la regla de los rendimientos esperados sobre la base queesto no implica la superioridad de la diversificacin. La regla de los rendimientosesperados5varianza de los rendimientos por otra parte implica la diversificacin

para una amplia gama dei , ij . Esto no significa que la regla EV no

implica la superioridad de un portafolio no diversificado.Es concebible que uno valor pueda tener un rendimiento extremadamente alto yuna varianza menor que el resto de valores/ tanto es as que un portafolio no

diversificado en particular podra dar el m!ximo E y el mnimo V . 'ara un

amplio presumiblemente rango representativo dei , ij la regla EV lleva a

portafolios eficientes los cuales casi todos se diversifican.

La hiptesis de EV no solo implica diversificacin implica el tipo adecuado

de diversificacin por la razn adecuada. Lo adecuado de la diversificacin no esconsiderado por los inversores que dependen 2nicamente en el n2mero dediferentes valores retenidos.&na cartera con sesenta diferentes valores de ferrocarril por e-emplo no serantan bien diversificada como la misma cartera de tamaBo con un poco de ferrocarrilalgunos servicios p2blicos minera varios tipo de fabricacin etc. la razn es quepor lo general es m!s probable que las empresas de un mismo sector hacer mal almismo tiempo que para las empresas de sectores diferentes.

1el mismo modo intentando tener una varianza pequeBa no es suficiente parainvertir en muchos valores. Es necesario evitar la inversin en valores con altoscovarianzas entre s. 1ebemos diversificar a trav$s de industrias porque lasempresas en diferentes industrias especialmente industrias con diferentescaractersticas econmicas tienen covarianzas m!s ba-as que las empresasdentro de una misma industria. Los conceptos de %rendimiento% y %riesgo%aparecen con frecuencia en los escritos financieros.Los conceptos de %rendimiento% y %riesgo% aparecen con frecuencia en los escritosfinancieros. 'or lo general si el t$rmino %rendimiento% se sustituye por%rendimiento esperado% o %rendimiento esperado% y %riesgo% por %varianza delretorno% resultara un pequeBo cambio de sentido aparente.

La varianza es una medida bien conocida de la dispersin del rendimiento. *i en

lugar de varianza el inversor ocupa la desviacin est!ndar=V

o el

coeficiente de dispersin /E su eleccin a2n se encontrara en el con-unto de

portafolios eficientes.

*upongamos que un inversor diversifica entre dos portafolios (es decir si pone unpoco de su dinero en un portafolio el resto de su dinero en otra. &n e-emplo dediversificacin entre portafolios es la compra de acciones de dos diferentes


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compaBas de inversin). *i los dos portafolios originales tienen igual varianzaentonces tpicamente la varianza del portafolio (compuesto) resultante ser! menorque la varianza de cualquiera de los dos portafolios originales. Esto se ilustra en la

figuraJ. 'ara interpretar la figura J se observa que un portafolio (&) el cual se

construye a partir de dos portafolios

*upongamos que un inversor diversifica entre dos carteras (es decir si se pone unpoco de su dinero en una cartera el resto de su dinero en la otra. &n e-emplo de ladiversificacin entre las carteras es la compra de las acciones de dos sociedadesde inversin diferentes). *i las dos carteras originales tienen la misma varianzaentonces tpicamente la varianza de la cartera resultante (compuesto) ser! menorque la varianza de cualquiera de cartera original. Esto se ilustra en la Figura J.

'ara interpretar la figura J se observa que un portafolio (& ) que se construye a

partir de dos portafolios &'=(X'1, X

'2) y &

''=(X''1, X''2) es de la forma

&= &'+(1 )&' '=( X'1+ (1 )X' ' , X'2+(1 )X' '2) . & est! en la lnea recta

que conecta &' y &' ' .

El principio EV es m!s plausible como regla de comportamiento de la

inversin a diferencia de comportamiento especulativo. El tercer momentoK(

3

de la distribucin de probabilidad de los rendimientos del portafolio puede estarconectado con una propensin al -uego. 'or e-emplo si el inversor maximiza la

utilidad ()) que depende de E yV(

)=

)(E ,V

),

* )

* E>0,

*)

* E

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