BAB II

PEMBAHASAN

A.Perkembangan Angka di Eropa

Kira-kira tahun 825, seorang ahli Matematika Persia bernama Al-

Khawarizmi menulis buku tentang Aljabar yang antara lain berisi tentang sistem

bilangan Hindu secara lengkap. Kemudian buku ini diterjemahkan ke dalam

bahasa Latin pada abad 12 dan buku-bukunya berpengaruh di Eropa. Terjemahan

inilah yang memperkenalkan sistem bilangan Hindu-Arab ke Eropa.

Perkembangan bilangan dari India - Eropa.

Pada simbol Brahmi belum mengenal angka nol. Angka nol mulai ada

setelah tahun 500 yaitu pada simbol Hindu hingga sekarang. Selanjutnya sistem

ini disempurnakan di Eropa dan hasil penyempurnaan itulah yang kita kenal

sekarang dalam sistem bilangan atau sistem Arab-Hindu.

Pada awal masuknya angka arab ke eropa, angka yang sering digunakan

orang-orang eropa untuk memcahkan masalah adalah menggunakan angka

romawi dimana dalam kode numerik angka romawi itu tidak ada istilah untuk

menyatakan angka nol, sehingga angka awalnya adalah satu dan seterusnya.

Silvister II yang dikenal dengan gerbert, setelah menyelesaikan studinya di

andalus dimana masa itu adalah masa pesatnya perkembangan islam, ia mencoba

memberi solusi masyarakat eropa yang tersendak pemikiran mereka dalam

perhitungan dikarenakan tidak adanya angka nol. Dengan kata lain silvister ingin

menunjukkan bahwa angka arab lebih lengkap ketimbang angka romawi.

Dalam perjalanannya selanjutnya, ia mendapatkan kendala karena

masyarkat eropa secara dominan lebih menjunjung tinggi budaya gereja mereka

dan budaya yunani, sehingga ia takut dikatakan bagian dari “barbarian

civilization”. Suatu istilah yang tunjukkan untuk sekelompok orang yang

mempunyai pemikiran berbeda dari yang lain. Ia pun menempuh jalan lain untuk

memasukkan angka arab ini ke eropa hingga pada ahirnya ia menemukan suatu

cara baru untuk mengelabuhi masyarakat eropa yaitu dengan menciptakan alat

yang disebut dengan abakus Gerbert.

Gambar Abakus Gerbert

Dalam abakus gerbert ini, kebanyakan pengoprasiannya dengan menggunakan

angka arab dan masyarakat eropa pun tak menyadari hal itu sehingga silvister II

ini oleh orang eropa dikenal dengan bapak angka.

Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selam

1000 tahun matematika berkembangdi Asia kecil (Yubabi, Arab). Tahun 400 –

120 perkembangan matematika dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang

mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain),

diantara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir

Leonardo Fibonacci. Barulah pada ke-16, pusat perkembangan matematika berada

di Eropa.

Leonardo dari Pisa

Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan

lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya

anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh

karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang

dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang

selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.

Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada

kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika

ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan

keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman

Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan

notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang

dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada

matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya

yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria,

Yunani, Sisilia.

B. Tokoh –Tokoh Matematika Eropa sampai Abad ke XIV

Periode semenjak jatuhnya kekaisaran Romawi dalam abad ke V sampai

abad ke XI, dikenal sebagai masa suramnya ilmu pengetahuan di Eropa. Hanya

segelintir kaum pendeta biara dan masyarakat yang sedikit mengenal ilmu yang

berasal dari Yunani latin. Bagi mereka yang perlu dipelajari adalah aspek-aspek

praktis yang berhubungan dengan perdagangan dan tenik. Baru mulai abad ke XII

bangsa Eropa mulai bnagkit dari ketinggalannya dari bidang matematika dengan

munculnya mathematician terkenal. Yang akan dibahas pada pembahasan di

bawah ini;

1. JHON PHILOPONUS

Pada abad ke VI muncul sarjana terkenal bernama Jhon piloponus dari

Alexandria. Dia adalah seorang ahli fisika terkenal di dunia pada zamannya yang

tidak sependapat dengan hokum aristoteles mengenai gerakan benda-benda serta

kemustahilan ruang hampa udara. Philoponus juga menghasilkan karya dalam

bidang matematika diantaranya komentarnya atas karya

Nicomachus,”introduction to aritmatic”.

2. ALCUIN(735-804)

Alcuin dari York dilahirkan bertepatan dengan meninggalnya BeDe (673-

735), dia adalah mathematician Inggris yang banyak sekali menulis tentang

matematika, diantaranya yang paling terkenal adalah mengenai kalemder dan

finger reckoning (menghitung dengan jari). Alcuin mempunyai koleksi tentang

problem “puzzele” dan”rekreasi” berjudul “problems for the quickening of mind”,

diantara problem yang terdapat dalam buku ini adalah;

1) Apabila 100 gantang gandum dibagikan untuk 100 orang, dimana setiap laki-

laki memperoleh 3 gantang, wanita 2 gantang, sedangkan anak-anak

memperoleh masing-masing ½ gantang. Berapakah banyaknya laki-laki,

wanita dan anak-anak yang ada disana.

2) Seekor srigala, seekor kambing dan sebuah lobak akan dibawa menyeberang

sungai dengan perahu yang hanya bisa memuat salah satu dari ketiganya ini

disamping anak perahu. Bagaimanakah caranya tukang perahu membawa

mereka keseberang agar kambing tidak memakan lobak atau kambing tidak

dimakan serigala?

3) Seorang ayah yang akan meninggal dunia berpesan kepada istrinya yang

sedang hamil, apabila yang lahir seorang bayi laki-laki, anaknnya ini akan

memperoleh ¾ bagian dari harta yang ditinggalkan nya dan si ibu akan

memperoleh ¼ bagian sisanya. Tetapi jika yang lahi adalah anak perempuan,

puterinya ini akan memperoleh 7/12 bahagian dan si ibu mendapatkan sisanya

5/12 bahagian. Bagaimana cara membagi harta warisan si ayah jika yang lahir

adalah anak kembar, seorang laki-laki dan perempuan?

Selain itu Alcuin juga menulis tentang astronomi, tetapi karyanya ini tidak

sebaik karya-karya penulis Yunani.

3.      GERBERT (940-1003)

Gerbert dilahirkan di Averge, perancis tetapi mendapatkan pendidikan di

Spanyol dan Italia. Dia pernah bekerja sebagai guru di Jerman dan diangkat

menjadi penasehat Kaisar Roma. Otto III, setelah menjadi Uskup Agung.

Kemudian pada tahun 999 Gerbert diangkat menjadi Paus dengan gelar Paus

Sylfester II. Dia adalah orang Kristen pertama yang belajar di sekolah Islam. Dia

membawa system numerasi Hindu tanpa nol ke Eropa. Gerbert juga menulis

tentang aritmatika dan geometri.

Masa ini juga disebut sebagai zaman kejayaan pengetahuan Islam tetapi

sarjana-sarjana latin tidak sedikitpun menghargai karya-karya Islam ini.

4.      ADELARD (1075-1160)

Adelard adalah seorang sarjana Kristen yang belajar di sekolah Islam di

Spanyol. Mathematician yang berasal dari Inggris ini juga melakukan perjalanan

secara intensif ke Mesir, Yunani dan Syria.

Adelard menerjemahkan Elementsnya Euclid dari bahasa Arab ke bahasa

Latin, serta tabel-tabel astronomi dari Alkhawarizmi. Aderland juga

menerjemahkan Almagest karya Ptolemi kedalam bahasa Latin dari bahasa

Yunani tahun 1155.

5.      GHERARDO dari Cremona (11114-1187)

Gherardo adalah penerjemah kelompok Spanyol yang terbesar pada

zamannya. Diantara kaya terjemahannya adalah versi baru dari Elements Euclid

karya Thabit ibn qurra dari bahasa Arab ke bahasa Latin. Dia juga menerjemahkan

karya Ptolemi yang berjudul Almagest, juga menerjemahkan lebih dari 90 karya

bahasa Arab termasuk Hisab aljabar wal muqubalah karya alkhawarizmi.

6.      ROBERT dari Chester (1140)

Robert adalah seorang yang pertama kali menerjemahkan karya

Alkhawaritzmi, Hisab aljabar wal muqubalah pada tahun 1145. Dia juga orang

yang pertama kali menerjemahkan Al-Qur’an kedalam bahasa latin beberapa

tahun sebelum dia menerjemahkan karya Alkhawarizmi.

Karya-karya Alkhawarizmi merupakan karya yang paling terkenal pada

masa itu di Eropa, terutama karya Aljabarnya. Orang Eropa lebih menyenangi

matematika bangsa Arab dibandingkan dengan geometrinya Yunani.

Pada abad ke XII sarjana-sarjana latin bermunculan dan dengan serius

mempelajari trigonometri bangsa Arab yang muncul dalam karya-karya astronomi

Arab.perkataan SINUS pertamakali muncul dalam trigonometri berasal dari

Robert yang diambilnya dari bahasa arab “jiva” yang artinya teluk.

7.      JHON HALFAK

Pada abad ke XII muncul beberapa mathematician Eropa, salah satunya

adalah Jhon halifak yang berasal dari Inggris. Dia adalah seorang guru yang

mengajar di Inggris dan disamping itu dia juga menulis kumpulan dari dalil-dalil

aritmatika.

8.      LEONARDO FIBONACCI

Leonardo fibonaci atau yang lebih dikenal sebagai Leonardo de pisa adalah

mathematician yang paling berbakat pada abad pertengahan. Dia adalah anak

seorang pedagang yang mengikuti ayahnya berdagan ke Mesir, Sicilia,Yunani dan

Syria. Karyanya yang terbesar adalah subuah buku yang berjudul “Liber Abaci”

(buku Abacus). Buku ini berisi tentang problem-problem dengan menggunakan

lambing Hindu-Arab yang memperlihatkan bahwa dia dipengeruhi oleh aljabarnya

Alkhawarizmi dan Abu Kamil. Liber abaci ini lebih memfokuskan pada

aritmatika dibandingkan geometri, buku ini dimulai dengan penjelasan ‘sembilan

lambing bilangan India’ dengan menambahkan bilangan nol. Fibonacci pun secara

tetap menggunakan garis datar ( – ) sebagai lambang untuk menyatakan

pembagian, dalam buku ini Fibonacci menggunakan 3 jenis pecahan yaitu;

pecahan biasa, pecahan sexagesimal, dan pecahan unit.

Yang unik dari buku ini adalah cara penulisan pecahan campurannya

sebagai berikut;

misalnya pecahan 28  dalam buku ini ditulis 28

salah satu problem yang terdapat pada Liber Abaci ini adalah “ berapa

pasang kelinci yang akan dilahikan dalam satu tahun, yang dimulai dengan

sepasang kelinci, apabila setiap bulan masing-masing pasangan menghasilkan satu

pasang kelinci baru, dimana pasangan kelinci baru akan menghasilkan setelah

bulan ke-2. Problem ini dikenal sebagai barisan Fibonacci; 1,1,2,3,5,8,13,21 . . . .

Un dengan Un=Un-1+Un-2

bakat yang luar biasa dari Fibonacci ini menyababkan dia dipanggil oleh raja

Federick III untuk ikut dalam suatu perlombaan yang soalnya sudah disiapkan

oleh Jhon dari Pelermo, yaitu x2+5 adalah suatu kuadrat bilangan dan x2-5 juga

merupakan suatu kuadrat dari sebuah bilangan, dan Fibonacci menjawab dengan

tepat bahwa x bernilai   problem ini terdapat dalam buku Liber Quadrtorum,

selain itu Fibonacci juga menuliskanidentitas-identitas dalam buku Liber

Quadrtorum seperti;

(a2+b2)(c2+d2) =(ac+bd)2+(bc–ad)2                                              =(ad+bc)2+(ac–bd)2

problem ke-2 adalah menyelesaikan persamaan akar pangkat tiga dari

x3+2x2+10x=20 Fibonacci menyelesaikannya dengan pecahan sexadesimal yaitu

1;22,7,42,33,4,40 yang dalam pecahan decimal sama dengan 1,3688081075.

Penyelesaian problem ini terdapat dalam bukunya yang berjudul Flos (bunga)

kemudian buku terakhirnya berjudul “Patricia Geometrica” buku ini berisi

kumpulan dari karya-karya geometri dan trigonometri.

9.      JORDANUS NEMORARIUS

Jordanus adalah penulis dari karya-karya matematika seperti aritmatika,

geometri, astronomi, aljabar dan kemungkinan juga ststistika disampimg

mekanika.dia adalah mathematician yang pertamakali menggunakan huruf sebagai

lambang dari sebuah bilangan.

Bukunya  “Aritmatica” adalah buku yang merupakan basis bagi komentator-

komentator pada universitas Paris dalam abad ke XVI, buku ini hampir

menyerupai filsafah. Karya Jhordanus yang lainnya adalah “De numeris datis”,

buku ini berisikan kumpulan dair hokum-hukum aljabar. Sebagai contohnya:

Apabila suatu bilanganyang diketahui dibagi menjadi dua bagian sedemikian

sehingga perkalian bahagian yang satu dengan bahagian yang lain diketahui, maka

masing-masing dari kedua bahagian ini dapat di tentukan” hukum ini dinyatakan

oleh Jhordanus sebagai berikut “Misalnya diketahui bilangan abc dan misalkan

bilangan yang dibagi menjadi 2 adalah ab dan c dan misalkan lagi d adalah hasil

perkalian ab dan c, diketahui pula. Misalkan kuadrat dari abc adalah e dan

misalkan lagi 4 kali d adalah f dan misalkan g adalah hasil dari pengambilan f dari

e. maka g adalah kuadrat dari selisih antara ab dan c. misalkan h akar pangkat tiga

dari g, maka h adalah selisih antara ab dan ac. Karena h diketahui maka c dan ab

akan dapat ditentukan.

“algorismus demonstratus” adalah sebuah karya Jhon nemorarius yang

berisikan tentang penjelasan tentang hukum-hukum aritmatika.

10.  CAMPANUS dari Novara (1260)

Campanus mulai dikenal di Eropa mulai dikenal pada yahun 1260. Dia

adalah pendeta pada Paus Urban IV yang menerjemahkan karya Elements dari

Euclid. Pada akhir bab IV Elements dengan karya Jhordanus “de Triangulis”

yakni mengenai trisectin suatu sudut. Misalkan <AOB adalah sudut yang akan

dibagi menjadi tiga bagian yang sama besar, cara Campanus membagi <AOB ini

adalah dengan melukiskan <AOB pada lingkaran yang berpusat di O. sedemikian

sehingga panjang OA=OB, kemudian dari titik O do tarik garis OC yang tegak

lurus dengan garis OB dan melalui A dibuat garis AED sedemikian sehingga

panjang DE=OA.  Apabila ditarik garis OF yang sejajar dengan garis AED maka

besar <FOB adalah 1/3 dari <AOB.

11.  WILLIAM dari Moerbeke (1215-1286)

Tahun 1269 William Moerbeke mempublikasikansuatu terjemahan karya

terjemahan dari karya Archimedes tentang matematika dan limu pengetahuan

alan, semenjak itu orang lebih mengenal Archimedes. Karena Moerbeke ini

adalah seorang Uskup Agung jadi dia menerjemahkan karya Arcimedes ini secara

harfiah oleh sebab itu hasilnya kurang memuaskan. Karya Archimedes yang

diterjemahkan oleh Moerbeke diantaranya adalah; ‘on spiral’, ‘the quardature of

the parabola’, dan ‘on conoid and spheroid’ dan banyak lagi karya Archimedes

yang diterjemahkan oleh William ini.

12.  THOMAS BRADWARDINE

Thomas bradwardine adalah seorang filosof, ahli theology, juga

mathematician yang meninggal ketika menjadi uskup agung Centerbury. Dia

menulis pengembangan dari teori Bacthius tentang ‘n-tuple proportion’ dalam

bukunya yang berjudul “Tachtatus the proportonibus” pada th 1328. Disamping

itu Bradwardine jug menulis buku tentang “aritmatic”,“geometri”, “geometrica

speculative” dan “tactatus de continuo”.

13.  JOHN VON NEUMANN (1903 – 1957)

John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti

kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam

matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada

permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah

seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori

permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi

dan ia membuat strategi yang menghasilkan “pemenang” dalam permainan

pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan

masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.

Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun,

ia mampu melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar

kepala. Pada usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan

mempunyai trik tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat,

dan nomor telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia

menulis sebuah buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics,

yang digunakan dalam pengembangan energi atom.

Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk

memangku jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas

Princeton. Ia menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia

salah satu pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC

(Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat

selama Perang Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan

peluru nuklir.

Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan

terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu

berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon

istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena

kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita

telah makin luas.

C. Kemajuan Matematika di daratan Eropa pada Abad ke 17

Berikut tokoh-tokoh termasyhur di Eropa pada abad ke 17, diantaranya:

a. Galileo (1564-1642)

Penemuan terpenting Galileo ialah ditemukannya salah satu rumus

yang berlatar belakang kecepatan benda jatuh tidak tergantung pada berat

benda itu, dalil itu sangat berlawanan dengan dalil Archimedes. Kemudian

pada tahun 1607, ia membuat sebuah teleskop dengan kekuatan pembesar

30 kali diameter benda yang diamati. Dengan teleskop buatannya, ia

berhasil mengamati titik bintik matahari, relief bulan, fase dari cincin

venus dan saturnus dan menemukan 4 satelit Jupiter. Dengan penemuan

itu menguatkan pendapat Copernicus tentang sistem matahari dan

menerbitkan buku pendukung teori Copernicus, dengan hasil karyanya

sangat menyumbang pertumbuhan ilmu pengetahuan akan mekanika

benda jatuh bebas.

Penemuan lainya adalah parabola dari proyektif dalam ruang

hampa dan juga menemukan hukum momentum, mikroskop dan kompas

juga hasil kreatif Galileo. Hasil pemikirannya yang lain adalah

menyatakan ekuivalensi dari himpunan tak hingga yang menjadi dasar

teori himpunan. Juga menerbitkan buku yang berjudul “DISCORSI F

DIMONSTRAZIONI MATHEMATICHE A DUE NUOVE SCIENCE”

pada tahun 1638 di leiden.

b. Kepler (1571-1630)

Ketertarikan Kepler akan pengetahuan astronomi dan

ketekunannya dalam melakukan berbagai percobaan, membuat dia

menyusun hukum-hukum tentang pergerakan planet, hukumnya adalah:

1) Planet bergerak mengelilingi matahari dalam orbit eliptik dengan

matahari pada salah satu focus;

2) Jari-jari vector yang menghubungkan satu planet ke matahari

melalui suatu luas daerah yang sama dalam interval waktu yang

sama;

3) Kuadrat dari waktu satu putaran dari suatu planet mengelilingi

orbitnya sebanding dengan pangkat 3 rata-rata jarak planet itu ke

matahari.

Penyusunan dari hukum itu sebelumnya adalah merupakan data-

data yang ditulis brahe, ahli astronomi istana kaizar Rudolph II

Dan pada tahun 1800 orang gerik menggambarkan sifat-sifat kerucut,

dimana Keplerlah yang pertama memakainya dalam praktek ilmu

pengetahuan. Dengan memperkenalkan konsep integral sekalipun masih

berbentuk kasar, pada tahun 1615 Kepler sudah memakai langkah-langkah

untuk menentukan isi dari benda ruang yang berputar mengelilingi pada

suatu ruas garis pada bidang irisan kerucut.

Kepler juga menemukan beberapa polyhedron. Dari Kepler juga

dikenal istilah focus irisan kerucut, pendekatan keliling dari elips dengan

panjang setengah sumbu adalah a dan b diberikan rumus , Kepler

meletakkan dasar konsep kontinuitas yang menjadi postulat ke

takberhinggaan pada suatu bidang. Dan juga menyumbangkan

pengetahuan pada ilmu pengetahuan geometri.

c. Desargues (1593-1662)

Karya Desargues berbentuk risalat-risalat mengenai irisan kerucut.

Desargues meletakkan dasar teori tentang involut daerah harmonis,

homologi garis kutub dan kutub perspektif. Teorema dasar geometri

proyektif dari Desargues berbunyi sebagai berikut: “Jika dua segitiga pada

suatu bidang atau tidak pada suatu bidang, terletak sedemikian sehingga

garis-garis yang menghubungkan dua titik sudut yang bersesuaian melalui

satu titik maka titik-titk potong bersesuaian terletak pada satu garis”.

d. Blaise Pascal (1623-1662)

Pada usia 12 tahun, Pascal sudah menemukan teorema geometri

elementer. Pada usia 14 tahun ikut serta dalam kelompok matematika

Perancis. Usia 16 tahun, menemukan teorema hexagram mistik dalam

geometri proyektif pada kurva-kurva. Isi dari Teorema tersebut adalah:

“jika suatu segi enam digambarkan dalam suatu irisan kerucut, maka titik-

titik potong dua sisi berhadapan terletak pada suatu garis”.

Dan teorema itu dibuktikan dengan benar untuk lingkaran. Dari

teorema ini, Blaise Pascal merumuskan 400 akibat teorema hexagram

mistik. Dan tahun 1640 mencetak karya lagi dengan judul “EASSY POUR

LES CONIQUES” dan mengumumkan semua penemuanya, salah satu

cetakan tersebut sekarang terdapat di hanover, satu lagi di perpustakaan

nasional Paris.

Teorema hexagram mistik terdapat pada cetakan itu, dalam aljabar

sekarang kita kenal segitiga Pascal. Unsur bilangan berikutnya adalah

diperoleh dari jumlah unsur sebelumnya, misalkan 56, maka itu terdiri dari

1+5+15+35, segitiga itu pada derajat tertentu digambar menurut diagonal.

Bilangan-bilangan pada diagonal itu adalah koefisien berturut-turut dari

pemangkatan binomial, misalnya bilangan pada diagonal kelima, yaitu

1,4,6,4,1 adalah koefisien pada penjabaran pangkat empat.

Kemudian pada usia 19 tahun, ia menemukan mesin hitung mekanika

fisika. Pada tahun 1648, ia kembali menunjukkan karyanya tentang irisan

kerucut secara lengkap, karena penyakit yang dideritanya pada tahun 1650,

ia memutuskan untuk meninggalkan matematika dan mengabdikan diri

pada renungan agama.

Namun pada tahun 1653, ia kembali pada kegiatan matematika dan

menulis buku dengan judul “TRAITE DU TRIANGLE

ARITHMATIQUE”, karya lainya adalah menemukan hukum Pascal, teori

peluang. Pada tahun 1654, ia mengalami kecelakaan ketika mengendarai

kuda, lalu meninggalkan kegiatan matematikanya lagi sama seperti yang

pernah dilakukannya sebelumnya. Kembali lagi pada kegiatan

matematikanya setelah dia sembuh, hasil pemikirannya adalah sifat

geometri dari cycloida.

e. Penemuan mesin hitung

Pada tahun 1642, mesin hitung pertama diperkenalkan oleh Pascal,

yaitu berfungsi untuk menjumlah, yang digunakan oleh bapaknya dalam

pemeriksaan pembukuan pemerintah di Ronen. Mesin hitung itu mampu

mengenal bilangan yang terdiri dari 6 angka. Keseluruhan mesin hitung

Pascal ada kurang lebih 50, satu diantaranya diawetkan di conservatoire

des arts et métiers di Paris.

Kemudian beberapa tokoh mulai mengembangkan mesin hitung,

seperti yang tampak pada tabel berikut.

TokohTahun

PenemuanFungsi

Blaise Pascal 1642 Mekanika dan fisika

Leibniz 1671 Perkalian

Samuel Morland 1673 Perkalian

Thomas de Colmer 1820 Mengurangi dan pembagian

Frank Stephen Baldwin 1875 Penjumlahan, mengurang,

perkalian dan pembagian

Charles babbage 1792-1871 Tabel matematika tertentu

Atas berkat keteguhan beberapa tokoh, mesin hitung semakin

berkembang hingga seperti mesin hitung kita kenal sekarang.

D. Pusat Perkembangan Matematika berada di Eropa

Pada Matematika Kontemporer (1850 – Sekarang), Aritmetika memiliki

peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif

landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan

McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya.

Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya

“otak elektronik”, komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika

daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para

pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.

Pada abad 20, perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi.

Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih “mengeraskan”

aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut “arimetisasi”. Abstraksi dan

generalisasi pada abad 20, telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya

geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory,

DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai “hipothetico-deductive”

dengan cara Euclid.

Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap

sifat-sifat sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada

tahun 1875, pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan “metode postulatsional”.

Dengan demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah

abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano

berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti

dapat “menghasilkan”) sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya

melalui postulat pada bilangan alam.

Permasalahan terakhir adalah masalah “landasan” atau “pondasi”

matematika atas struktur matematika itu dibentuk. Matematika yang telah

berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata

dapat diajarkan kepada anak-anak “hanya” dalam beberapa tahun di sekolah. Oleh

karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika adalah kreasi

manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi sesama manusia.

Dengan demikian matematika perlu dijaga dan dikembangkan untuk

mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.

Landasan dan Paradoks dalam Matematika

Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya

paradoks atau antinomi dalam matematika.

Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam

geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua

‘teori proporsi’ model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak

segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan

penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.

Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini

sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya

‘infinitesial’. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk

menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy

dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep ‘limit’. Dengan aritmetisasi

oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.

Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut

antusias oleh para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan

cabang-cabang matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-

paradoks dalam teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah

himpunan semua x sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat

diatasi. Melalui filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan

program-program mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin

mengatasi krisis ini, yang memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan

intuisionis.

Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan

Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan

logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin

mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh

landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat

matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.

Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead,

menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah

cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu

dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya

monumental “Principia Mathematica”. Dalam buku ini hukum ‘excluded middle’

dan hukum ‘kontradiksi’ adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka

merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak

disukai.

Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai

konsekuensi dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika.

Matematika haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah

langkah finit. Mereka menolak hukum ‘excluded middle’ jika akan diberlakukan

untuk langkah infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan

lambang-lambang yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa

banyak keberadaan matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat

logika) yang diperlukan.

Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika,

sebagai konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa

makna. Untuk mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan

‘teori bukti’ untuk menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal

kaum formalis menghasilkan karya monumentalnya “Grunlagen der

Mathematik:”, jilid I dan II. Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia

menunjukkan bahwa konsistensi suatu perangkat aksioma karya Hilbert ‘tak dapat

ditentukan’, bahkan sebelum buku Hilebrt II diterbitkan.

Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif

maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat.

Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas

terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara

eksponensial pertumbuhan biologis.

Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan.

Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, “dahulu”,

“pertengahan”, dan “sekarang”. Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan

matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua,

pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut

penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2)

Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum

dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17,

(6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti

perkembangan kebudayaan Eropa.

Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri

khas yang umum. Pada periode “dahulu”, ciri khasnya adalah empiris,

mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode “pertengahan”

mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada

periode “sekarang” ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi.

Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh

lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika

yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan bernalar”,

Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance

Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang

signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani,

matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki

dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad

berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin

berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul

geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).

Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa

cabang menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di

antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah

menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami

para matematikawan untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad

ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand

Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.

Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula

diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar

belakang ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada

perdagangan, asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika

dapat dimotivasi oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk

‘makanan’ para pakar matematika. Bagi para pakar matematika ‘murni’ tidak ada

tujuan apa pun terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa

memikirkan apakah kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).

Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para

pekerja matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman

meninggalkan hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan

matematika. Jadi hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak

perlu mati. Dan pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-

sia.

http://ulyanajra.blogspot.com/2012/01/perkembangan-matematika-eropa-

sampai.html

http://www.suaramedia.com/sejarah/sejarah-islam/13072-ahmad-ibnu-yusuf-

ilmuwan-ahli-matematika-dari-mesir.html

http://duniawiie.blogspot.com/2011/10/matematika-dan-warisan-budaya.html

http://akuyudhipblg.blogspot.com/2012/03/asal-mula-bilangan-nol-bilangan-

prima.html

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2007/11/matematika-di-indonesia-

bagian-1.pdf

http://nadiyyazummi.blogspot.com/2012/09/perkembangan-matematika-pada-

abad.html