seguro de retiro, un enfoque argentino
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Seguros de retiro:
Un enfoque argentino
Concurso Proyección 2011
Septiembre 2011
Autores: Coltrane y Joseph Bauer
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2
ÍNDICE
Índice 2
Introducción 3
Aspecto biométrico 4
Aspecto Financiero 11
Seguro de Retiro: Un ejemplo argentino 18
Conclusión 26
Bibliografía 27
Anexo 28
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INTRODUCCIÓN
Según la Society of Actuaries (SOA), “el actuario es un profesional de negocios que analiza
las consecuencias financieras del riesgo. Los actuarios usan la matemática, la estadística y la
teoría de finanzas para estudiar eventos futuros inciertos, especialmente aquellos que están
vinculados con los seguros y los programas de pensiones… ”.
A partir de la definición anterior, creemos conveniente destacar la importancia para las
ciencias actuariales de dos de estas disciplinas:
- Por un lado, la estadística provee el herramental básico para la medición en términos de
probabilidades de los eventos de interés.- Por el otro, el cálculo financiero permite incluir en el análisis la noción del valor tiempo
del dinero y por ende contribuye a valuar sucesos que ocurren en un momento distinto al de
valuación.
En los orígenes de la profesión, la necesidad de valuar financieramente eventos aleatorios en
el campo de los seguros dio lugar al uso de técnicas que combinan ambas disciplinas y forman las
bases de las ciencias actuariales. Por este motivo, mediante la utilización del mencionado
herramental teórico nos proponemos en este trabajo: Diseñar un seguro de retiro que cubra a
ambos cónyuges de la contingencia de muerte durante la etapa activa y que a su vez permita
recibir un ingreso en la etapa pasiva, conservando una cobertura en caso de muerte, siempre
utilizando una experiencia argentina ya sea desde la mortalidad hasta la inversión de los fondos.
Para abordar este diseño dividiremos el trabajo en tres secciones. En una primera sección nos
abocaremos al aspecto biométrico, que tendrá como novedad la utilización de un enfoque
estocástico y la aplicación de una ley de mortalidad durante la etapa activa, y una cobertura por
orden de fallecimiento durante la etapa pasiva.
En una segunda sección referente al cálculo financiero, nos ocuparemos del diseño de la
estrategia de inversión que estará estructurada en tres carteras con distintos perfiles de riesgo
(conservador, moderado y agresivo). A través de esta aproximación, el asegurado podrá optar por
la cartera acorde con su nivel de tolerancia al riesgo.
Finalmente, materializaremos el seguro utilizando componentes argentinos y simularemos un
caso como ejemplo para mostrar su atractivo.
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ASPECTO BIOMÉTRICO
El campo de los seguros puede ser abordado desde distintos enfoques. Por un lado el enfoque
determinístico utiliza como sustento una tabla de mortalidad considerando que la misma sigue
ese comportamiento. Por el otro, el enfoque estocástico modela la función de densidad de la
mortalidad a través de una ley de mortalidad o de alguna distribución continua.
El enfoque determinístico presenta las siguientes características (Bowers et al, 1997):
• El grupo consiste de l0 vidas a la edad cero.
• Los miembros del grupo están sujetos a cada edad a la tasa efectiva de mortalidad
especificado por los valores de q x en la tabla de mortalidad.• El grupo es cerrado. No se permiten más ingresos más allá de las iniciales l0 vidas.
En el enfoque estocástico se definen algunas variables aleatorias y trabajaremos con las
funciones de distribución y de densidad:
• X: Edad al fallecimiento de un recién nacido
• T(x): Tiempo hasta el fallecimiento (X-x)
• F X (x): Función de distribución de X
• F T(x)(x): Función de distribución de T(x)
En este trabajo utilizaremos este último enfoque y a continuación desarrollaremos las fórmulas
que utilizaremos en la última sección de esta exposición.
Seguros pagaderos al momento de fallecimiento:
La prima del seguro de fallecimiento de los seguros de retiro se cotiza a prima natural por lo
que nuestro análisis será para coberturas de un año de plazo.
Definimos la función beneficio (bt ) y la función de descuento (vt ). t es la longitud del intervalodesde el momento de emisión hasta el momento de fallecimiento.
La función de valor presente se define como: zt =bt vt . El tiempo que media entre la emisión de
la póliza hasta el momento de fallecimiento del asegurado es el tiempo hasta el fallecimiento
(T(x)). Por lo tanto el valor presente del beneficio al momento de emisión es la variable aleatoria
zT (Z)..
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5
Para un seguro que abona una unidad al momento de fallecimiento durante un año de
cobertura:
1 1
0 1t
t
b t
≤
=
>
0t t v v t = ≥
1
0 1
T v T
Z T
≤
=
>
La prima pura de este seguro estará dada por el valor esperado de la variable aleatoria Z.
Esto es.
( )1 1
0 0
t T T T t x x
E Z E z z f t dt v p dt µ = = =∫ ∫
Como vemos más arriba, lo importante para poder calcular las primas de seguro es una función
de densidad para la variable Tiempo al fallecimiento.
Ley de mortalidad: estimación de parámetros
Benjamin Gompertz al momento de presentar su famosa ley de mortalidad en 1835
consideraba que la mortalidad estaba sujeta a dos causas coexistentes: una “el azar”, la otra la
“creciente inhabilidad de soportar la destrucción”. En su ley Gompertz sólo consideró la segunda
de estas causas. La incorporación de la primera fue realizada veinticinco años más adelante por
Makeham mediante la adición de un término constante a la tasa instantánea de mortalidad
(Jordan, 1967):
x x A Bc µ = +
O también
x x c x l ks g =
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6
Esta fórmula de Makeham no es útil para las edades iniciales o más avanzadas (Gonzales
Galé, 1977). Para darle mayor flexibilidad, él mismo añadió un término adicional dependiente de
la edad, haciendo que:
x x A Hx Bc µ = + +
O
2 x x x c x
l ks w g =
Esta última ley es la que utilizaremos a lo largo de nuestro trabajo. Los parámetros que
debemos estimar son cinco: k, s, w, g y c. Para la estimación usaremos el método de King y
Hardy.
El método de King y Hardy consiste en formar la misma cantidad de series de datos
experimentales como de parámetros a estimar. En nuestro caso particular, dado que la tabla tiene
cien años, hemos agrupado series de veinte datos cada una.
En primera instancia, debemos tomar el logaritmo de l x para simplificar las operaciones al
utilizar sumas:
2log log log log logx
x l k x s x w c g = + + +
Luego, el método nos indica que sumemos miembro a miembro todos los valores
correspondientes a cada serie de datos:
1 1 1 1 12log log log log log
x x x
x t x t x t x t x t
x
x
x
x
l k x s x w c g + − + − + − + − + −
= + + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Donde t es el número de edades que intervienen en cada serie. Resolviendo las sumas queda:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 12 1 6 2 3 6 1log log log log log
2 6 1
x x
x
t t
x
c c x t t tx x t t t t x l t k s w g
c
+ − −+ − + + − − −= + + + +
−∑
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7
Las cuatro series restantes son:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
22 1
2 3 1 6 3 14 9 6 1log log log log2 6
1log
1
x t
x
x
t
t
x
t
x t t tx x t t t t x l t k s w
c c g
c
+ −
+
+
+ − + + − − −= + + + +
−
+−
∑
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
3
23 1
2
24 1
3
5 1
4
2 5 1 6 5 38 15 6 1log log log log
2 6
1 log1
2 7 1 6 7 74 21 6 1log log log log
2 6
1log
1
2 9 1log log lo
2
x t
x t
x t
x t
x
x t t
x t
x
x t t
x t
x
x t t tx x t t t t x l t k s w
c c g c
x t t tx x t t t t x l t k s w
c c g
c
x t t l t k
+ −
+
+ −
+
+
+
−
+
+
+ − + + − − −= + + + +
−
+−
+ − + + − − −= + + + +
−
+−
+ −
= +
∑
∑
∑ ( ) ( ) ( )
( )
2
4
6 9 122 27 6 1g log
6
1log
1
x t t
tx x t t t t x s w
c c g
c
+
+ + − − −
+ + +
−
+−
Una vez que planteadas estas ecuaciones, debemos hallar hasta la diferencia finita de tercer
orden.
Las de primer orden serán:
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8
( )
( )
( )
( )
22 2 2
22 2 2
2 22 2 2
2
2 2 2
3
( 1)log log 2 2 1 log log
1
( 1)log log 2 4 1 log log
1
( 1)log log 2 6 1 log log
1
log log 2 8 1 log
x t
x
x t t
x t
x t t
x t
x
x t
c c l t s xt t t w g
c
c c l t s xt t t w g
c
c c l t s xt t t w g
c
c l t s xt t t w
+
+
+
+
+
+
−∆ = + + − +
−
−∆ = + + − +
−
−∆ = + + − +
−
∆ = + + − +
3 2( 1)log
1
t t c g
c
−
−
Las de segundo orden:3
2 3
32 3
2 32 3
2
( 1)log 2 log log
1
( 1)log 2 log log
1
( 1)log 2 log log
1
x t
x
x t t
x t
x t t
x t
c c l t w g
c
c c l t w g
c
c c l t w g
c
+
+
+
+
∆
∆
−= +
−
−= +
−
−=∆ +
−
Finalmente las diferencias terceras son:
43
43
( 1)log log
1
( 1)log log
1
x t
x
x t t
x t
c c l g
c
c c l g
c
+
+
−=
−
−
−
∆
∆ =
Realizando el cociente de estas diferencias se conseguirá el valor de t c
3
3
log
log
t x t
x
l c
l
+∆
∆=
Con este valor despejo g y luego voy reemplazando en cada diferencia de orden inferior para
obtener el resto de los valores faltantes.
Entre los parámetros de l x y los de µ x existen las siguientes relaciones:
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9
2
x
A ln s
B ln g ln c
H ln w
= −
= −
= −
Funciones contigentes: Beneficio por orden de fallecimiento
Tal como enunciamos en la Introducción, durante la etapa de cobro de rentas se incluirá una
cobertura por orden de fallecimiento en caso que fallezca el cónyuge del titular del seguro. Esto
permitirá reducir la prima pura a abonar por los asegurados haciendo más atractivo este producto.
A continuación explicaremos los pasos para obtener esta cobertura desde el punto de vista
conceptual. En todos los casos asumiremos vidas independientes.
La probabilidad que una persona fallezca entre t y t+1 está definida por
( )1
|1
t
t s
t
x x q p x s ds µ
+
= +∫
En el caso de tener más de una cabeza se definirá la probabilidad que se extinga el grupo
como:
( ) ( )1
|1[ ]
t
t xy s xy
t
q p x s y s ds µ µ +
= + + +∫
Ahora, si a este último concepto le incorporamos que x fallezca antes que y estaremos diciendo
que el grupo se extingue sólo si x fallece primero:
( )1
1
|1
t
t s x
t xy
y q p x s ds µ
+
= +∫
Dada la ley de mortalidad seleccionada, tiene una forma conocida y la utilizaremos
para llegar a una expresión más sencilla para el cálculo que la anterior.
( ) ( )1
1
|1
t
t x s
t s xy x y
q p A H x s BC ds +
+
= + + + =∫
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10
( ) ( )
( ) ( )¯ ¯
¯ ¯
1 1 1
1 1
1: | : |
1
1 1: | : |
|1 2
2
t t t x y s x
s xy s xy s xy y x
t t x
s xy s xy x s y s y x xy n xy n
t
s x
t
y xy n xy
t t
t t
n
x
xy t y x
t
A e H x e s p ds
C q A
C C
C
A p ds H p x s ds p BC C C ds C C
C A e H xe s p ds p A H x s H y s ds
C C µ µ
+ + +
+ +
+ +
+
+ + +
+ −
+
= + + + + =
+
+ + + + − − + − +
+
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
¯ ¯ ¯
1 1
1 1 1: | : | : |
t t
s xy s xy xy n xy n t xy n t
e H x e s p ds H y e s p ds
+ +
− + − + =
∫ ∫
Para simplificar los cálculos reemplazaremos a x e y por la edad uniforme w, dado que
1 ¯
1
|1 1 |1: |
1 1 12 2 2
t x x x x x
t s ww t www w w w w x y ww n
t
C C C C C q e A H x y H s p ds q C C C C C
+
= − + − − + − +∫
Para poder calcular el valor de la prima pura de este seguro deberemos incorporar el
componente financiero dentro de la integral original haciendo que las resulten en rentas
vitalicias,|1t ww
q en un seguro de muerte y1t
s ww
t
s p ds +
∫ en1t
s ww
t
s E ds +
∫
Una vez terminado el desarrollo de los elementos de biometría que utilizaremos, seguimos con
el aspecto financiero.
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ASPECTO FINANCIERO
Elaboración de estrategias óptimas de inversión
Otro de los aspectos fuertes en los que las empresas aseguradores se valen de la teoría
financiera es el que se refiere a la inversión de las primas pagadas por los asegurados. Sabemos
que las compañías de seguro están reguladas en este sentido y es por ello que las estrategias de
inversión deben ser las mejores para poder garantizar las tasas de rendimientos mínimas con el
menor riesgo posible.
Marco teórico: Criterio de Media-Varianza
Cuando no se dispone de la información relativa a las preferencias de los inversores esnecesario diseñar métodos que permitan la elección entre distintos activos o carteras financieras.
En este sentido se desarrollan los denominados "criterios de eficiencia" que permiten determinar
mediante parámetros concretos un conjunto de activos a los que llamaremos "eficientes" y otro al
que llamaremos de activos "ineficientes" (los cuales no serán elegidos por ningún inversor
racional).
En el presente trabajo utilizaremos el criterio de eficiencia conocido como de "Media-
Varianza" el cual plantea una simplificación en relación a otros criterios al valerse únicamente delos dos primeros momentos de la distribución de probabilidad de los retornos. Este criterio
supone que los inversores tomarán sus decisiones basados exclusivamente en la información
proporcionada por la esperanza de los rendimientos y por la varianza de los mismos.
Formalmente definido, bajo un criterio de Media-Varianza una alternativa A domina a otra B
sí y sólo si
2 2( ) ( ) ( ) ( ) A B A B E R E R R Rσ σ ≥ ∧ < ó
2 2( ) ( ) ( ) ( ) A B A B
E R E R R Rσ σ > ∧ ≤
con
( ) A E R : Esperanza de la V.A "rendimiento de un activo"
2 ( ) A Rσ : Varianza de la V.A "rendimiento de un activo"
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12
( ) ( )( )
, ,
1
ˆ ˆ.ˆ
1
T t i i t j j
ij
t
R R
T
µ µ σ
=
− −=
−∑
( )
( )
2
2
1
ˆˆ
1
T i
i
R
T
µ σ
=
−=
−∑
1
ˆT
i
i
R
T µ
=
= ∑
Es importante notar que al no disponer de información sobre la distribución de probabilidades
de los rendimientos, los primeros dos momentos deben ser estimados de la distribución empírica
(normalmente este procedimiento es llevado a cabo mediante la recolección de una serie de datos
sobre los retornos previa al análisis). Es fundamental entonces, contar con los mejores
estimadores disponibles para el cálculo de estos momentos y de las medidas que los
complementan. En nuestro caso estaremos utilizando los siguientes estimadores para la media, la
varianza y la covarianza:
Por último queremos mencionar que el criterio de Media-Varianza es especialmente efectivo
cuando las tasas de rendimiento de las inversiones tienen una distribución normal. La asunción de
este último supuesto permite la utilización del criterio para cualquier individuo racional averso al
riesgo.
Definición de la variable aleatoria: ¿Qué entendemos por rendimiento de los activos?
El primer paso en la implementación de nuestro modelo para la elección óptima de los activos
de inversión será definir con claridad la manera en que computaremos el rendimiento de losactivos.
La tasa de rendimiento aritmética es definida bajo cierto horizonte temporal como la ganancia
de capital más los eventuales pagos intermedios, esto es:
1
1
t t t t
t
P D Pr
P
−
−
+ −=
Con
Pt : El precio de nuestro activo financiero en el momento t.
Dt : Cualquier ganancia intermedia (Como ser los dividendos de las acciones).
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
13
El problema con la definición anterior radica en que ningún flujo intermedio es reinvertido
durante el período de tiempo analizado. Es por ello que, para períodos de tiempo relativamente
largos, lo más correcto es la utilización de los denominados rendimientos geométricos:
1
ln t t t
t
P D R
P−
+=
Esta manera de expresar los retornos posee dos ventajas fundamentales:
Posee un mayor significado económico: Si los retornos geométricos están normalmente
distribuidos entonces la distribución jamás podrá arribar a precios de los activos negativos
(cuestión que no ocurre con los retornos aritméticos). Permite (por las propiedades del logaritmo) extender el análisis a períodos múltiples de
una manera muy simple:
,2 2 1 1 2 1ln( / ) ln( / ) ln( / )t t t t t t t t t
R P P P P P P R R− − − − −
= = + = +
Por último es importante mencionar que para períodos de tiempo intermedios (meses) la
diferencia entre los retornos geométricos y los aritméticos es pequeña y justifica la adopción delos rendimientos geométricos por las ventajas antes expuestas.
Instrumentos financieros Argentinos: Particularidades para el cálculo de los rendimientos
El IAMC (Instituto Argentino de Mercado de Capitales) precisa en su trabajo publicado sobre
Análisis de Bonos que 'Para el cálculo de ciertos indicadores, entre ellos para obtener el
rendimiento histórico de un bono, es necesario contar con series de precios ajustados. Como por
lo general se dispone de precios corrientes, es necesario ajustarlas cada vez que el bono corta
cupón de renta y/o amortización. Esto se debe a que, al producirse el corte de cupón, el precio
de mercado del bono cae (en una magnitud igual a la del pago) por razones técnicas y no de
mercado, y por lo tanto ya no es comparable con los precios anteriores. Este precio se denomina
"ex cupón" y es el precio con el cual el bono comienza a cotizar en la rueda de la fecha de corte.'
Matemáticamente: 1t t I I C
−= −
It: Precio de mercado o inversión "ex cupón".
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
14
It-1: Cierre de mercado o inversión anterior
C: Pago en pesos de amortización y/o renta.
Para poder homogeneizar la serie debemos aplicar un coeficiente de ajuste:
1
1 1
t t
t t
I I C CA
I I
−
− −
−= =
El mismo concepto de homogeneización de la serie de precios es aplicable para acciones para
incluir en el análisis todos los eventos societarios (pagos de dividendos, suscripciones,
capitalización de ajuste integral del capital, capitalización de reservas, disminuciones de capital,
etc.)
Un paso más en la elaboración de la estrategia óptima de inversión: Medición de riesgo y
retorno de un portafolio
Normalmente, al realizar inversiones, las personas o empresas deciden invertir sus fondos en
más de un activo financiero. Este tipo de conducta no es casual, ya que existen importantes
beneficios asociados con lo que normalmente se denomina “diversificación de cartera”. Este
beneficio está relacionado con la disminución del riesgo total de la inversión y será comentado
con mayor detalle en lo subsiguiente.
El análisis de la inversión en portafolios comienza con una mención sobre la manera en que el
rendimiento esperado y la volatilizad de los mismos es calculada.
Sea wi la proporción de nuestra riqueza invertida en el activo i (sobre un total de n activos), tal
que ∑=
=
n
i
iw
1
1 podemos calcular el rendimiento esperado del portafolio mediante el siguiente
promedio ponderado:
∑=
=
n
i
ii pw R E R E
1
).()(
Del mismo modo la varianza del portafolio se puede calcular de la siguiente forma:
∑ ∑∑= = >
+=
n
i
n
i
n
j
ij jiii pwww R
1 1 1
222 ...2.)( σ σ σ
Que alternativamente puede expresarse en forma matricial como sigue:
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
15
[ ]
=
nnnn
n
n
n p
w
w
w
www R
....
...............
...
...
....)( 2
1
221
22
221
1122
1
21
2
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ
En cuanto a lo comentado sobre las ventajas de la diversificación de los portafolios se debe
notar que la inclusión de activos cuya covarianza sea negativa contribuirá a la disminución del
riesgo de la cartera en su conjunto, pues el efecto compensatorio generado por los rendimientos
de ambos activos disminuirá la dispersión total del portafolio.
Si el riesgo de invertir en un determinado portafolio es medido mediante la varianza de sus
rendimientos entonces dicho riesgo queda determinado por las siguientes tres variables: el monto
invertido en cada activo, la varianza en los rendimiento de cada activo y la variabilidad conjunta
de los rendimientos tomando los activos financieros de a pares, es decir, su covarianza.
Construcción de la frontera eficiente
El problema de la construcción de una frontera eficiente (conjunto de portafolios eficientes)
implica la determinación de las proporciones de capital a invertir en cada uno de los activos
financieros.
Se trata de un problema dual que puede ser tratado desde cualquiera de estas dos perspectivas:
Encontrar la combinación de proporciones (i
w ) que hace mínima la varianza del
portafolio ( 2 ( ) p Rσ ) para un nivel de rendimiento esperado prefijado ( ( )
p E R ).
Encontrar la combinación de proporciones (iw ) que hacen máximo el rendimiento
esperado del portafolio ( ( ) p
E R ) para un nivel de riesgo prefijado ( 2 ( ) p
Rσ ).
En el presente desarrollaremos la construcción de la frontera eficiente encarando el problema
mediante la 1er alternativa a la que sumaremos la condición vinculada a la restricción
presupuestaria:
Mín ∑ ∑∑= = >
+=
n
i
n
i
n
j
ij jiii p www R1 1 1
222 ...2.)( σ σ σ
s.a:
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Seguros de retiro: Un enfoque
1
( ) ( ).n
p i i
i
E R E R w=
= ∑
1
1n
i
i
w=
=∑
Este problema puede ser
mediante el planteo de la sigui
2 2
1 1 1
. 2. .n n n
i i i
i i j
L w wσ = = >
= +∑ ∑∑
Probando con distintos re
minimizan la varianza del por
Sin embargo, como se visu
y por ende se deberá determi
portfolios eficientes e ineficie
Lagrange prescindiendo ahora
Gráfico 1. Conjunto de oportunidades de
propia.
5.00%
7.00%
9.00%
11.00%
13.00%
15.00%
17.00%
19.00%
21.00%
0.00% 10.00% 20.0
E s p e r a n z a
d e l p o r t a f o l i o
Conjunto de oport
rgentino
16
resuelto mediante el método de los multip
ente función:
1 21 1
. . ( ). ( ) .n n
j ij i i p i
i i
E R w E R wσ λ λ = =
+ − +
∑ ∑
ndimientos esperados se podrán obtener lo
afolio para un retorno determinado:
aliza en el gráfico, algunas de las carteras ob
ar el portafolio de mínima varianza el cual
ntes, para ello podemos utilizar el método de
de la condición vinculada al rendimiento pr
i
nversión para dos activos (coeficiente de correlación ρ = -0,9 ). El
% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% 70.00%
Desvío estándar del portfolio
nidades de inversión (Mín σ2 para E(Rp) fijo )
Po
Efi
Po
In
licadores de Lagrange
1
−
s diversos puntos que
enidas son ineficientes
permitirá dividir entre
los multiplicadores de
fijado.
l
aboración
rtafolios
cientes
rtafolios
ficientes
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
17
Restricciones adicionales sobre la frontera eficiente
En determinadas situaciones (como por ejemplo en la operatoria de las compañías de seguros
de retiro) hay ciertas limitaciones legales en cuanto a la operatoria financiera. Estas limitaciones
están vinculadas con la imposibilidad de realizar ventas en corto y con ciertas limitaciones sobre
la proporción de riqueza invertida que se puede tener en determinados activos, las mismas pueden
ser incluidas al problema de la minimización:
Mín ∑ ∑∑= = >
+=
n
i
n
i
n
j
ij jiii pwww R
1 1 1
222 ...2.)( σ σ σ
s.a:
1
( ) ( ).n
p i i
i
E R E R w=
= ∑
1
1n
i
i
w=
=∑
0iw ≥ i∀
i iw G≤ (siendo Gi la restricción correspondiente al activo i, si la hubiera)
La introducción de las restricciones de desigualdad transforma el problema en uno de
programación cuadrática.
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
18
SEGURO DE RETIRO: UN EJEMPLO ARGENTINO
A continuación integraremos los desarrollos de las secciones anteriores para confeccionar
nuestro seguro.
Como en todo seguro, es necesario definir cuáles serán las bases técnicas. Dado que en la
actualidad las compañías de seguros utilizan tablas extranjeras, consideramos que usar una
experiencia local haría un producto más accesible al público dado que la prima pura única de la
renta vitalicia será menor por la mayor mortalidad y colaboraría al desarrollo de tablas futuras
que puedan generalizarse en su uso al resto de las compañías.
La tabla es la Arg’01 que fue estimada por Grushka y Belliard (2009) en base a la tablaabreviada publicada por el INDEC (2005) y luego considerando estos datos estimamos los
parámetros de Makeham II. La tabla se encuentra en el anexo.
Entendemos que el uso de mortalidad del total del país no es lo más correcto pensando que los
contratantes de este tipo de productos tienen un nivel de vida que los hace tener una esperanza de
vida mayor.
La tasa técnica será efectiva anual del 4%.
En todo seguro de retiro debemos invertir el fondo de primas durante la etapa activa por lo
que también detallaremos el análisis de los instrumentos permitidos por la legislación para así
conformar las estrategias de inversión.
Ley de mortalidad
Utilizando el método desarrollado en la primera parte de este trabajo se calculó la tasa
instantánea de mortalidad por edad:
2
x 3
(0.304129006697947 0.0739229787857179x
0.06961993389974311.09506755927654 )10
x µ
−
= + +
+
Esto implica que la probabilidad de supervivencia es:
2 2( ) t x t x t c t x p s w g + −
=
Donde
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c = 1.09506755927654
g = 0.999233689990787
La ley de mortalidad ajust
menores a 90 tal como se ve
superior a la real.
Dado que la tabla será utili
primeras edades no es un i
tendrán una edad superior.
Selección de instrumentos
Según el artículo 35 de la
"(...) a) Títulos u otros valo
b) Títulos públicos de
correspondientes a pólizas em
c) Debentures con garantí
país;
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
1 6 11 16 21 2
Comparació
T
Gráfico 2. Ajustamiento gráfico. Elaboraci
Seguros de retiro
19
w = 0.9999630391
s = 0.99969591723
bastante bien a la experiencia para las edad
en el Gráfico 2. Vemos que Makeham nos
zada para el cálculo de primas de seguros, q
pedimento ya que los potenciales compr
inancieros
ey 20.091 las compañías de seguros podrán i
res de la deuda pública nacional o garantiz
aíses extranjeros, hasta el importe de
itidas en moneda de esos países;
especial o flotante en primer grado sobre
31 36 41 46 51 56 61 66 71 76
n entre qx tabla y ley de mortalid
bla de mortalidad Ley de mortalidad
ón propia.
: Un enfoque argentino
3675
584
s mayores a 20 años y
brinda una mortalidad
e no ajuste bien en las
adores de este seguro
nvertir en:
dos por la Nación;
las reservas técnicas
bienes radicados en el
81 86 91 96
ad
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Seguros de retiro: Un enfoque
d) Préstamos con garantía
el país, con exclusión de yaci
por ciento (50%) del valor
asegurador;
e) Inmuebles situados en el
f) Acciones de sociedades
artículo 124 de la ley 19.550
servicios públicos dentro de l
g) Préstamos garantizado
hasta el cincuenta por ciento (h) Operaciones financier
financieras debidamente auto
Argentina, previa autorizació
el estado económico-financie
Para simplificar el prese
financieros a las categorías
sociedades anónimas que teng
la Nación.
En lo que respecta a los
cotización regular de los acti
de liquidez. En el sentido exp
Cuadro 1. Preselección de títulos público
rgentino
20
prendaria o hipotecaria en primer grado so
mientos, canteras y minas. El préstamo no
de realización del bien, especialmente ta
país para uso propio, edificación, renta o v
nónimas constituidas en el país o extranjer
o de extranjeras que tengan por principal
Nación, que se coticen en bolsas del país o
con títulos, debentures y acciones de los
50%) del valor de mercado de esos valores;s garantizadas en su totalidad por ban
rizadas a operar en el país por el Banco C
en cada caso de la autoridad de control, y
o del asegurado. (...)"
te análisis optamos por restringir nuestr
de títulos públicos garantizados por la N
an por principal objeto la prestación de servi
títulos públicos una primer selección obe
os que permitiese a la compañía cumplir co
esto se preseleccionaron los siguientes título
s
garantizados por la nación. Elaboración propia.
bre bienes situados en
xcederá del cincuenta
ado al efecto por el
nta;
as comprendidas en el
bjeto la prestación de
del extranjero;
incisos a), b), c) y f),
os u otras entidades
entral de la República
iempre que lo permita
conjunto de activos
ción y a acciones de
ios públicos dentro de
eció a un criterio de
los requisitos básicos
s públicos:
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En un segundo punto, y
especies expuestas aquellos
negociado más significativo:
En cuanto a las acciones, se t
arrojando como resultado las
Definición de la variable al
Para el presente análisis
comentáramos en el apartad
realizar posteriores análisis.
Cuadro 2. Volúmen promedio
mensual de títulos
preseleccionados. Elaboración
propia.
Cuadro 3. Selección de acciones de emp
Seguros de retiro
21
atentos también al criterio de liquidez, se
siete títulos que tuvieran los promedios
vieron en cuenta idénticos criterios que par
iguientes cinco especies:
eatoria y cálculo de medidas de tendencia ce
definimos la V.A. "Rendimiento geométri
teórico, nos permitirá contar con ciertas
r
áfico 3. Volúmen promedio mensual de títulos preseleccionados
esas de servicios públicos. Elaboración propia.
: Un enfoque argentino
leccionamos entre las
ensuales de volumen
la selección de bonos
tral y dispersión
co diario" que, como
ventajas a la hora de
.
Elaboración propia.
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Seguros de retiro: Un enfoque
Para el relevamiento de la i
12 activos seleccionados en
Considerando aquellos días e
datos. Con los mismos se calc
correlaciones de los activos:
Cuadro 4. Retornos promedio y desvíos
Cuadro 5. Matriz de varianzas y covaria
Cuadro 6. Matriz de coeficientes de cor
rgentino
22
nformación histórica se recurrió a la serie de
el período comprendido entre el 01/07/2
los que cotizaron todos los elementos lleg
ularon las estimaciones de las esperanzas, va
stándar para los activos financieros seleccionados. Elaboración pr
nzas para los activos financieros seleccionados. Elaboración propia
r
elación para los activos financieros seleccionados. Elaboración pr
precios ajustada de los
010 y el 31/06/2011.
mos a un total de 144
rianzas , covarianzas y
opia.
.
opia.
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Construcción de la frontera
Como mencionamos con
minimización de varianza n
problema de minimización de
un algoritmo en Matlab progr
La utilización del algoritm
eficientes:
Cuadro 7.Extracto de 20 portafolios efici
Gráfico 4. Frontera Eficiente para los
Seguros de retiro
23
eficiente y Selección de carteras
nterioridad la incorporación de restriccione
cesaria para la creación de la frontera e
uno de programación cuadrática. El mism
mado por Sebastián García (2011).
o nos permitió la generación de un conjunto
Gráfic
Eficiencia
caso la si
Como
el Cuadr
EDN y T
según el
Varianza
n
tes para los activos seleccionados (sobre total de 200). Elaborad
activos seleccionados. Elaboración propia.
: Un enfoque argentino
s de desigualdad en la
ficiente transforma el
fue resuelto mediante
de doscientas carteras
mente la frontera de
toma para nuestro
uiente forma:
se puede observar en
7 los activos DICP,
CO2 no son eficientes
criterio de Media-
ya que no reciben
o por Sebastián García.
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Seguros de retiro: Un enfoque
asignación de nuestra riqueza
Por otro lado, en el Gráfic
perfiles de riesgo siendo "A"
mínima varianza), "B" la corr
al perfil agresivo. No se han
cuenta el tipo de producto ofr
Numéricamente los result
"A", "B" y "C" son las marca
71 y 137 respectivamente.
Análisis de la adecuación
impuestas por el organismo re
Como bien es sabido, los
como la tasa que resulte
Queda entonces por último,
rendimientos anualizados par
Para realizar esta tarea sdistribución normal. Con la a
"Aleatorio" simulamos los r
hábiles en un año). Luego,
Gráfico 5. Histograma para los rendimienElaboración propia.
rgentino
24
para ninguna de las carteras.
4 se puede observar la elección que hemos
la cartera para el perfil conservador (y adici
espondiente al perfil de riesgo moderado y
onsiderado aquellas carteras con riesgo sup
cido.
dos de rendimiento, riesgo y ponderacione
das con color azul en el Cuadro 7 identifica
e los rendimientos de las carteras a las exi
gulador de la actividad aseguradora.
eguros de retiro deben garantizar un rendim
ayor entre la denominada "tasa técnica
n lo referente al armado de las carteras de
la cartera de mínima varianza
upusimos que los rendimientos geométricuda de Microsoft Excel y las funciones "Di
ndimientos para 252 días (aproximadamen
l estar utilizando rendimientos geométrico
rendi
obten
anual
proce
para
histo
rendi
C
en el
supu
t
os anualizados de la cartera conservadora.
echo para los distintos
nalmente la cartera de
"C" la correspondiente
rior a "C" teniendo en
(wi) para las carteras
as con los números 1,
encias de rendimiento
iento mínimo definido
y la "tasa testigo".
inversión, simular los
s diarios siguen unatr.Norm.Estand.Inv" y
te la cantidad de días
s, podemos sumar los
mientos diarios para
er el rendimiento
izado. Repitiendo este
dimiento 10000 veces
obtuvimos el
rama para los
mientos.
mo podemos observar
Gráfico 5 en base a os
stos realizados y la
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
25
metodología utilizada estaríamos ante una baja probabilidad de alcanzar rendimientos inferiores a
los que exige actualmente la SSN (4% anual para la tasa técnica).
Encontramos que los rendimientos obtenidos en todas las carteras son muy buenos por lo que hay
un incentivo para invertir localmente y agrandar el mercado de capitales argentino. Si esto mejora
el financiamiento de las empresas o del Estado, contribuirá al aumento del PBI y a su vez de las
pólizas de seguros emitidas ya que hay una correlación positiva entre estas variables.
Proyectando el beneficio
Para la proyección que sigue se utilizaron los siguientes supuestos:
Aporte mensual: $700
Edad del contratante: 30
Edad del cónyuge: 25
Inflación: 0%
Cartera elegida: Conservadora
Rendimiento excedente real: Entre ±3%
Gastos: 20% de la prima
Capital asegurado durante la etapa activa:$300000
Capital asegurado cónyuge: 50% del titular
Renta: mensual extensible al 70%
Capital asegurado cónyuge etapa pasiva:
50% etapa activa
Supuesto DUF para edades intermedias
Para el cálculo de las probabilidades de muerte se resolvió las integrales numéricamente a
través del método del trapecio con un h=0.001.
Se consideraron rendimientos excedentes aleatorios y se concedió un 50% del rendimiento
excedente en caso de ser positivos una vez por año.
Esto permitió acumular un fondo de aproximadamente $540.000 a los 65 años. Descontando el
costo del seguro por orden de fallecimiento ($17500), la renta que percibirá el titular es deaproximadamente $3500 mensuales. En el anexo se encuentra la marcha progresiva de este
seguro.
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
26
CONCLUSIÓN
A lo largo de este trabajo fuimos viendo como el cálculo financiero y la estadística intervienen
en el campo actuarial a través de toda la teoría explicada en las primeras secciones.
Demostramos cómo es posible efectuar un seguro íntegramente con una experiencia local.
Para salvar el problema de la menor mortalidad de los contratantes de este tipo de seguro, en un
análisis futuro se podría usar una tabla de la Ciudad de Buenos Aires. Queda pendiente estudiar si
el efecto de una menor mortalidad en el cálculo de la renta vitalicia (aumentando su costo) es
compensado por el efecto de la baja en el costo del seguro de vida durante la etapa activa.En lo relativo a las inversiones del plan, el hecho de realizar las inversiones localmente tiene
un efecto positivo para el crecimiento del país y tal como dijimos anteriormente, cuando el país
crece las compañías de seguro emiten una mayor cantidad de pólizas, creando una sinergia que
favorece a todas las partes.
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
27
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COPELAND, Thomas E., WESTON, J.Fred & KULDEEP SHASTRI, Joseph M. Katz.
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
28
ANEXO
Tabla de Mortalidad Arg’01
X q(x) e(x)
0 0.0192 70.05
1 0.0011 70.42
2 0.00071 69.5
3 0.00059 68.54
4 0.0005 67.58
5 0.00044 66.62
6 0.00039 65.65
7 0.00035 64.67
8 0.00031 63.7
9 0.00029 62.72
10 0.00027 61.73
11 0.00028 60.75
12 0.0003 59.77
13 0.00038 58.79
14 0.00046 57.81
15 0.00059 56.83
16 0.00071 55.87
17 0.00083 54.91
18 0.00096 53.95
19 0.0011 5320 0.00124 52.06
21 0.00137 51.13
22 0.00147 50.19
23 0.00155 49.27
24 0.0016 48.34
25 0.00164 47.42
26 0.00169 46.5
27 0.00173 45.57
28 0.00179 44.65
29 0.00185 43.73
30 0.00192 42.8131 0.00199 41.89
32 0.00207 40.98
33 0.00216 40.06
34 0.00225 39.15
35 0.00236 38.23
36 0.00247 37.32
37 0.00261 36.41
38 0.00277 35.51
39 0.00295 34.61
40 0.00315 33.71
X q(x) e(x)
41 0.00338 32.81
42 0.00364 31.92
43 0.00394 31.04
44 0.00428 30.16
45 0.00465 29.28
46 0.00507 28.42
47 0.00553 27.56
48 0.00604 26.71
49 0.00661 25.87
50 0.00723 25.04
51 0.00791 24.22
52 0.00867 23.41
53 0.0095 22.61
54 0.01042 21.82
55 0.01142 21.04
56 0.01249 20.28
57 0.01366 19.53
58 0.01491 18.79
59 0.01626 18.07
60 0.01772 17.3661 0.01931 16.67
62 0.02103 15.98
63 0.02291 15.32
64 0.02497 14.66
65 0.0272 14.03
66 0.02957 13.41
67 0.03208 12.8
68 0.03475 12.21
69 0.03761 11.63
70 0.04071 11.06
71 0.04412 10.5172 0.04794 9.97
73 0.05222 9.45
74 0.05708 8.94
75 0.06256 8.45
76 0.06846 7.99
77 0.07476 7.54
78 0.08156 7.1
79 0.08895 6.69
80 0.09704 6.3
81 0.10584 5.92
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Seguros de retiro: Un enfoque argentino
29
X q(x) e(x)
82 0.11543 5.56
83 0.12593 5.22
84 0.1374 4.9
85 0.14948 4.6
86 0.16251 4.32
87 0.17685 4.06
88 0.19059 3.83
89 0.2055 3.61
90 0.22157 3.42
X q(x) e(x)
91 0.23879 3.25
92 0.25759 3.11
93 0.2751 3.01
94 0.28605 2.96
95 0.28986 2.95
96 0.28986 2.95
97 0.28986 2.95
98 0.28986 2.95
99 0.28986 2.95
Evolución del Saldo de la cuenta individual
Edad Saldo Cuenta Individual
30.00 433.92 ARS
31.00 5,815.91 ARS
32.00 11,488.54 ARS
33.00 17,373.73 ARS
34.00 23,580.89 ARS
35.00 30,206.78 ARS
36.00 36,938.22 ARS
37.00 44,058.05 ARS
38.00 51,322.83 ARS
39.00 58,796.81 ARS
40.00 66,964.33 ARS
41.00 75,330.10 ARS
42.00 83,964.17 ARS
43.00 93,277.00 ARS
44.00 102,800.03 ARS
45.00 113,216.00 ARS
46.00 123,859.05 ARS
47.00 135,557.63 ARS
Edad Saldo Cuenta Individual
48.00 147,701.86 ARS
49.00 160,360.42 ARS
50.00 173,580.09 ARS
51.00 187,967.60 ARS
52.00 202,854.10 ARS
53.00 218,934.22 ARS
54.00 234,605.84 ARS
55.00 253,442.20 ARS
56.00 272,469.92 ARS
57.00 292,392.73 ARS
58.00 314,840.16 ARS
59.00 338,065.12 ARS
60.00 364,744.18 ARS
61.00 392,944.21 ARS
62.00 422,347.98 ARS
63.00 458,337.97 ARS
64.00 497,945.03 ARS
65.00 540,542.75 ARS
El valor de la renta extensible es de ARS 147.81 por cada peso