1

Tratamiento de los Hogares en un DSGE típico

Juan Carlos SEGURA-ORTIZ

jcsegura@lasalle.edu.co

Universidad de La Salle, Bogotá (Colombia)

Mayo, 2010

2

Los Hogares: (Wickens, 2009; Ljunqvist+Sargent, 2004)

Hay un número grande de hogares iguales cuyo problema típico es:

��� �� ����, �� ���� �

Sujeta a:

�1 + ��� � + 1 − �� �� = �1 − �����1 − �� � + !�"� + #�$ + %�!�&' = 1 − ( !� + ��

Note que �� = !�&' − 1 − ( !� ; reemplazando en el balance del hogar da:

�1 − �����1 − �� � + !�"� + #�$ + %� − 1 − �� �!�&' − 1 − ( !�$− 1 + ��� � = 0

3

#� el beneficio de las firmas, %� una transferencia del gobierno y �� un incentivo

a la inversión, por ejemplo.

La función de Lagrange es:

ℒ. =� ��,��, �� ����+ -�.�1 − �����1 − �� � + !�"� + #�$ + %�− 1 − �� �!�&' − 1 − ( !�$ − 1 + ��� �/0

Las Condiciones de Primer Orden son:

��$: 0 = ��,��23 − -�1 + ��� 0 ���$: 0 = ��,�423 − -��1 − ���� �0 �!�&'$: 0 = ��5−-�1 − �� 6 + ��&',-�&'.�1 − ��&'� �"�&' + 1 − ��&' 1 − ( /0

4

De ��$ y ���$: �423��23 =

�1 − ����1 + ��� �

Por otra parte, de ��$ se tiene: -� = 7829�'&:28�

De la condición relativa al capital, �!�&'$: ��5-�1 − �� 6 = ��&',-�&'.�1 − ��&'� �"�&' + 1 − ��&' 1 − ( /0 -�1 − �� = �

�&'�� ,-�&'.�1 − ��&'� �"�&' + 1 − ��&' 1 − ( /0

Es decir, las condiciones de equilibrio intertemporal son, para los hogares:

��23 ';<2 �'&:28� = � �

782=>9�'&:2=>8 � .�1 − ��&'� �"�&' + 1 − ��&' 1 − ( /� (1)

5

7?297829 =�';:2@��'&:28� � (2)

La forma como estos resultados sobre los hogares opera sobre el modelo parte

de la consideración de las firmas. En un contexto más amplio que el que se ha

mostrado para las firmas al ser divididas en competitivas y no competitivas (en

el sentido monopolístico), una firma típica representativa resuelve, siendo #� el

beneficio:

A��#� = A��,B�!�C , ��, D�� − �E� + "�!�C0 Las FOC:

.!�C/: 0 = BF3�!�C , ��, D�� − "� ���$: 0 = B43�!�C , ��, D�� − �

6

De donde surge la condición de tangencia habitual,

BF3�!�C , ��, D��B43�!�C , ��, D�� = GAHGF,4 =

"� � El Modelo Completo reúne todos los resultados obtenidos hasta el momento:

��23 ';<2 �'&:28� = � �

782=>9�'&:2=>8 � .�1 − ��&'� �BF3�!�&'C , ��&', D�&'� + 1 − ��&' 1 − ( /�

7?297829 =�';:2@��'&:28� B43�!�C , ��, D��

I� = � + J� + �� I� = B�!�C , ��, D�� ���I� + ���� = J� + %� + ��K� !�&' = 1 − ( !� + ��

7

Mientras que en el estado estacionario resulta que:

��3 1 − � 1 + �� = � ���31 + �� �1 − �� BF3!C , �, 0 + 1 − � 1 − ( $L

1 − � = �51 − �� BF3!C , �, 0 + 1 − � 1 − ( 6

∴ 1 = � N';:@ ';< BF3!C , �, 0 + 1 − � 1 − ( O∎

8

Referencias:

- Ljunqvist, L. and T. Sargent (2004): Recursive Macroeconomic Theory. Cambridge:

The MIT press.

- Sargent, T. (1987): Dynamic Macroeconomic Theory. Cambridge: Harvard University

Press.

- Wickens, M. (2009): Macroeconomic Theory. A Dynamic General Equilibrium

Approach. N.Y.: Princeton.