Secuencia1

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RegistrodesecuenciasdidácticasIdentificación

DatosdelprogramadeestudiosEjedisciplinar:Deltratamientodelespacio,laformaylamedida,alospensamientosgeométricoytrigonométrico.

Componentes:Estructuraytransformación:elementosbásicosdeGeometría.

Contenidoscentrales:Conceptosbásicosdelespacioylaforma:“logeométrico”.

Contenidosespecíficos:• Elementos,característicasynotacióndelosángulos.• Sistemasangularesdemedición:¿cómorealizarlasconversionesdeunsistemaaotro?,¿porquéexistenvariasformasde

medirángulos?,¿cuálessonlasrazonesporlascualessehacenlasconversiones?

Aprendizajesesperados:• Distingueconceptosbásicosderecta,segmento,semirrecta,líneacurva.• Interpretaloselementosylascaracterísticasdelosángulos.• Mide,manualeinstrumentalmente,losobjetostrigonométricosydatratamientoalasrelacionesentreloselementosde

untriángulo.• Trabajacondiferentessistemasdemedicióndelosángulos,realizaconversionesdemedidas.

Nombredelprofesor: Plantel:

Asignatura:GeometríayTrigonometría Campodisciplinar:Matemáticas Semestre:2 Carrera:

Capítulo1:Introducciónalageometríaenelplano. Periododeaplicación:Semana1

Secuencia1:Conceptosbásicosdelespacioylaforma:“logeométrico”. Duraciónenhorassemana:4horas

Fecha:

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Productoesperado:• Convertirdeunsistemademediciónaotro,medidasangulares.• Trazarymedirángulosconinstruccionesdeterminadas.• Mediryestimarángulos.

Competenciasgenéricasyatributos

2.Essensiblealarteyparticipaenlaapreciacióneinterpretacióndesusexpresionesendistintosgéneros.2.1Valoraelartecomomanifestacióndelabellezayexpresióndeideas,sensacionesyemociones.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos yherramientasapropiados.

4.1Expresaideasyconceptosmedianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasográficas.4.2Aplicadistintasestrategiascomunicativassegúnquienesseansusinterlocutores,elcontextoenelqueseencuentraylosobjetivosquepersigue.

5.Desarrollainnovacionesyproponesolucionesaproblemasapartirdemétodosestablecidos.5.1Sigueinstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocomocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobjetivo.

Competenciasdisciplinares

M6.Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomatemáticamentelasmagnitudesdelespacioylaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelorodean.M1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,geométricosyvariacionales,paralacomprensiónyanálisisdesituacionesreales,hipotéticasoformales.

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Inicio

Páginas Estrategiadeenseñanza

Sugerenciasdidácticas

Actividaddeevaluación/aprendizaje

Individual Enequipo Engrupo

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Lecturaintroductoria Con este curso los estudiantes inician o

refuerzanlashabilidadesindispensablesparasuvidaactualyfutura,apoyándoseenelestudiodelasmatemáticas.

Taleshabilidadessepresentanagrupadasen8tiposdecompetencias:

1. Pensaryrazonar2. Argumentar3. Comunicar4. Modelar5. Plantearyresolverproblemas6. Representar7. Utilizarellenguajesimbólico,formaly

técnicoylasoperaciones8. UtilizarlasherramientasTICs

Sobre el primer tipo de competencias,conviene recordar la frase del matemáticofrancés Jules Henri Poincaré (1854–1912): “Lageometría es el arte de razonar bien sobrefiguras mal dibujadas” y, en sentido contrario,podría agregarse que la intuición es el arte de“razonar mal” sobre figuras bien dibujadas. Deahí la importancia de no dejarse llevar por laintuiciónsinanteshaberrazonadoelproblema.Un ejemplo de lo anterior se presenta en el

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link: http://edutics.mx/5WB donde aparece unafiguraqueharía “pensar”que las rectasR1 aR7nosonparalelas.

Ysinembargo,¡síloson!Es así que el contenido de este curso buscareforzar el desarrollo de las competencias yamencionadas, muchas de las cuales, en buenamedida, el estudiante ha experimentado en suvida cotidiana, comodeterminar lahoraenquedebe salir para llegar a tiempo a la escuela,conocerladistanciaqueloseparadesucasaylavelocidad del tráfico a esa hora, pormencionaralgunas.

§ SolicitealgrupoquerealicelaEvaluaciónDiagnóstica de la página 11 del libro detexto.

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Desarrollo

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Sugerenciasdidácticas

Actividaddeevaluación/aprendizaje

Individual Enequipo Engrupo

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Distincióndelosconceptosbásicosdelageometría

Una de las competencias que están involucradasen losconceptosbásicosdepunto,recta,segmentoysemirrecta es laderepresentar,puesvivimosenun mundo tridimensional y estos elementosgeométricos tienen menos dimensiones: el punto,sin dimensión o dimensión cero; y la recta, elsegmentoy la semirrecta con sólounadimensión.Es decir, no los podemos ver, por lo que se haceunarepresentacióndeellos.

Generalmente, en gramática se habla de puntofinal y de puntos suspensivos, estos sonrepresentados con círculosmuy pequeños que enrealidad son esferas o cilindros de radio y alturacasi cero. De la misma manera, una línea es enrealidaduncilindroderadiocasicero(elvolumenes despreciable) aunque hay un relieve sobre lahojadepapel.

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Compartirvideo

• =ó

=

Por lo tanto, éste es el primer ejercicio derepresentaciónfísicadeunconceptoabstracto.Porejemplo, en lavida cotidiana sehabladepuntodereunión en caso de ocurrir un desalojo ante unaalertasísmicao en laconvocatoriaparaungrupoque decide iniciar un viaje. En tales condiciones,dichopuntoseasociaaunalocalizaciónymientrasmásespecíficasea ladescripcióndelsitiomásnosacercamosalconceptoabstracto.Hagamención de frases como la siguiente: “sueledecirse que la línea divisoria entre el genio y lalocura esmuydelgada”. Pregunte sobre la validezdedichaexpresión.Delamismamanera,seencuentranfrasescomola siguiente: “suele decirse que la línea divisoriaentreelgenioyla locuraesmuydelgada”,aunqueenrealidadla líneanotieneespesor.Sinembargo,ésta se asocia a una separación de regiones si seubicaenunplano.Dado loanterior, losconceptosdepuntoy líneaalnotenerningunaclasedeconsistenciamaterial—dimensión, densidad o espesor—, en el mundotridimensional, se expresan con representacionesgeométricas.Lamismasituaciónsucedeconobjetosdedimensiónmayoratres,cuyarepresentaciónes

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sólo la proyección de un mundo de másdimensiones. Un ejemplo de ello es nuestrasombra,yaqueesnuestraproyecciónenunplano.§ Elvideo1,¿Quéeslaquintadimensión,ilustralas

características de la representación de unobjetode5dimensiones,ennuestromundodetres.Propongaelvideoalosestudiantes.

Pidaalgrupoque lleveacabo laActividad1de lapágina12.Preguntealgrupolosiguiente:

a) ¿Larectaposeesólounadimensión?b) ¿Cuántasrectassepuedentrazarquepasen

porelpuntoA?

Preguntealgrupo¿Larectaposeesólounadimensión?¿CuántasrectaspuedentrazarsequepasenporelpuntoA?Respuestas:

a) Si.b) Unainfinidadderectas.

§ Para identificar las diferencias entre losconceptosderecta,semirrectaysegmentopidaalgruporevisarelEjemplo1delapágina13yrealizarelEjercicio1delamismapágina.

Observequepara cada trazodeuna semirrectaqueinicieenAhayotraalternativa.Asimismo,para

1http://edutics.mx/5W2

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elánguloenCesposibletrazarunacircunferenciaconcentroenCy cualquierparde radiosdefiniráunángulo,comosemuestraacontinuación:

§ Para concluir esta sección pida el grupo que

analice el dibujo del Problema 1 y lo resuelvaconbaseenlasdefinicionesderecta,segmento,semirrectayángulo.

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Mediciónde

ángulos:Sistemadecimal

Exposiciónintroductoriaporpartedelprofesor(a).El estudio de los ángulos es muy antiguo ysurgióapartirdenecesidadesqueenlaactualidadparecierannoexistir,peronoesasí.Suestudioesrelevanteparalavidacotidiana,comoeselcasodela ingeniería civil y la ingeniería industrial, entreotrasáreas.Dado el tipo de aplicación y de utilidad, lamedidadeunángulosepuededarentressistemasdistintos:

• Sexagesimal. Los ángulos se miden engrados y las fracciones en minutos ysegundos,sieselcaso.

• Sistema internacional o radial. Los

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ángulos se miden en radianes y lasfraccionesendecimalesderadián.

• Centesimal. Los ángulos se miden engradianes o gons que se expresan ennúmeros enteros y las fracciones endecimales,sieselcaso.

Este último sistema, intentó sustituir alsexagesimal,sinéxito,yhoyendíasóloseempleaenlatopografía,construccióndecarreterasyenlaartillería militar. Se construye a partir de unacircunferencia completa que corresponde a unángulo de 400 gradianes o 400g Sin embargo, eltemanosetrataráenestecapítulo.§ Recomiende el sitio2 Sistemas de Medición de

ángulos, donde el grupo puede profundizar enlascaracterísticasdeestossistemasyencuentreejemplos de conversión de un sistema a otroparaunángulodeterminado.

En el sistema sexagesimal, donde una vueltacompleta sobre la circunferencia equivale a 360°,es común encontrar que el instrumento másutilizado paramedir ángulos es el transportador,cuya forma es semejante a una regla graduada encentímetrosymilímetros, en laque cadagrado sedivide en 10 partes iguales, dando lugar a larepresentacióndecimaldeunángulo..

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2http://edutics.mx/5W6

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§ PidaalgruporealizarelEjercicio2delapágina

15dellibrodetexto.Ejerciciosdeapoyo:I. Calcula el valor del ángulo correspondiente acadagirodelallave.Tomaencuentaquetodoslosángulosquesemuestranpuedenexpresarseentérminosdeoctavosde360°.Cadaoctavoesigual a 360°/8 = 45° y puede asociarse con laletragriegaalfa(α).a) 5α=225°c)12α=540°e)α=45°b) 2α=90°d)4α=180°f)17α=765°

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II. Responde1. ¿Cuál es el valor del ángulo producido al

girar1/3devuelta?R=360°/3=120°

2. ¿Cuál es el valor del ángulo producido algirar2vueltas?R=360°x2=720°

3. ¿Cuál es el valor del ángulo producido algirar21/3devueltas?R=360°x(2+1/3)=360°x7/3=840°4.¿Cuáleselvalordelánguloproducidoalgirar3.8vueltas?R=360°x3.8=1368°

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Mediciónde

ángulos:Sistemasexagesimal

Exposiciónintroductoriaporpartedelprofesor(a).Elusodelnúmero60surgiócomobasepara lamedicióndeángulos,decoordenadasydemedidasde tiempo en relación con la astronomía y latrigonometríaantiguas.Elusodelnúmero60comobasedeun sistemasedebe aquematemáticamente es el númeromáspequeño divisible entre 2, 3, 4, 5 y 6; lo queresultabaútilparatrabajarcálculosconfraccionesdeesenúmero.Ademásdequetambiénesdivisibleentre10,12,15,20y30.Despuésdehacernotarque la construcciónde

este sistema de medición es similar a la maneracomomedimoseltiempo,pidaalgrupoquereviselos ejemplos 3 y 4 del libro de texto que abordanlosprocedimientosparatransformarlosvaloresdeun ángulo de una representación decimal asexagesimalyviceversa.Nota: Observe que en el ejemplo 3 después demultiplicar la fracción original por 3600 paraobtener los segundos totales que representa ydividir entre 60 para obtener los minutos, ladivisióndebedetenerseunavezqueseobtieneelvalor entero en el cociente, ya que, hasta esemomento, el residuo son los segundosy las cifrasdecimalesqueaparezcaneneldividendoseveránreproducidas en los segundos (vea el caso delejercicio3,dondeapareceránlosnúmeros5y8.

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Para reforzar el aprendizaje de losprocedimientos de conversión entre unarepresentación y otra, analice la posibilidad dedividir al grupo en equipos para competir entreellos y resolver el ejercicio 3 en elmenor tiempoposible(sinelusodeunacalculadora).

Reorganice al grupo para que los alumnos semezclen y no formen parte del equipo anterior,pídales que resuelvan el ejercicio 4. De estamanera, reforzará la integración y comunicaciónentretodoelgrupo.Ejerciciosdeapoyo:Ejercicio3

1. 37.285°−37°17’6”2. 0.16°−0°9’36”3. 9.75°−9°45’0”4. 215.42°−215°25’12”5. 121.478°−121°28’40.8”6. 89.6°−89°36’0”7. 15.71°−15°42’36”8. 288.954°−288°57’14.4”9. 288.02°−288°1’12”

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Ejercicio4Un procedimiento alternativo, pero equivalente,consiste en convertir los segundos a fracción deminutos, esto se lleva a cabo dividiendo entre 60los segundos, al resultado sumarle los minutos ydividir nuevamentedicho resultado entre60paratener la fracción de grado y luego sumarle losgrados.Siel resultadoesmayorque60, sedivide,porterceravez,entre60(véaseelproblema9).Usando este procedimiento en el problema seobtiene:

1. −43°15´18”a) 18/60=0.3b) 15+0.3=15.3c) 15.3/60=0.255d) 43+0.255=43.255°(resultadofinal)

§ Utiliceelvideo3ConvertirGradosSexagesimales

a Números Decimales y Viceversa comoreforzamiento para el aprendizaje de estosprocedimientosdeconversión.2.8’6”−0.135°3.65°15’18”=65.255°4.7°36”−7.6°5.47”−0.783°6.148°54’−148.9°7.170°30’36”−179.61°8.26°15’−26.25°9.255’20”−4.256°

Eneldocumento4Sistemasdemedidasangularesel grupo encontrará ejercicios para reforzar suaprendizajesobrelaconversióndeunidades.

3http://edutics.mx/5Wu4http://edutics.mx/5WL

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Clasificacióndelosángulos

Importante: No confundir el sistema centesimalde medición de ángulos con la representacióndecimalqueseofreceenellibro.Una forma de reforzar el aprendizaje sobre laclasificación de los ángulos es integrar lasdefiniciones en una tabla y asociar los conceptoscon lo ya aprendido sobre sistemas de medición.Aunque hasta ahora sólo se ha presentado elsistema sexagesimal y su representación decimal,ésta les serádeutilidad cuandonuevos conceptossevayansumando.§ Pida al grupo que construya una tabla con la

clasificacióndelosángulosenlaqueseindiquesu valor o intervalo de valores en el sistemasexagesimal. La tabla se completará cuando sepresenteelsistemaradial,dondelosángulossemidenenradianes.

Comopartedelcierredeestasemanasolicitealgrupo que revise el ejemplo 5 y que realice elejercicio5.Apoyoparaelejercicio:1a.

x+26°+3x−90°4x=90°−26=64°x=16°α=x+26°=42°β=3x=48°α+β=90°

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2a.x+2x−78°=180°3x=180°+78°=258°x=86°α=x=86β=2x−78°=94α+β=180°

§ Cierrelasemanapidiendoalgrupoquerealicela actividad de reforzamiento que admitedistintasrespuestasentrelosalumnos.