seccion-03' dinamica

8/15/2019 seccion-03' Dinamica

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2

2, < = ?

M G m s g

R= =

En consecuencia, si un o)eto tiene una masa m, su peso en la cercanía de la super%icie terrestre

será igual a w 6 m g

Si un o)eto se encuentra apo"ado li)remente so)re una super%icie *ori'ontal, eercerá so)re esta/ltima una %uer'a &ertical *acia a)ao igual a su peso, ante ello, con%orme a la tercera le" dee Ne#ton, la super%icie de apo"o reaccionará so)re el mencionado o)eto con una %uer'a de igualmagnitud apuntada *acia arri)a, %uer'a +ue se conoce como ! fuerza normal $

3.3 ABEF( DE A44GN

uando un o)eto desli'a so)re una super%icie, esta /ltima eerce una acci-n contraria al mo&imientoconocida como %uer'a de roce o %uer'a de %ricci-n cin0tica. Esta %uer'a, f > , está dirigida en sentidocontrario a la &elocidad del m-&il " su magnitud es directamente proporcional a la reacci-n normalreali'ada por la super%icie so)re el m-&il, esto es

f > 6 µ > N

uando el o)eto se encuentra en reposo so)re la super%icie " se pretende ponerlo en mo&imiento, seencuentra una reacci-n contraria a tal %in cu"o &alor máimo esta dado por

f s 6 µ s N

µ > " µ s son los coe%icientes de roce cin0tico " estático respecti&amente " su &alor depende de lanaturale'a del par de super%icies en contacto.

A(BLT(D DE 4N5EN4E4( OAESO CB(N 5B(D(LBE 4NO 2:1:

H:

N

mgmg

α

N 6 mg cos α


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3.H LEYES DE IELE

El mo&imiento planetario o)edece a la interacci-n gra&itacional descrita por la correspondiente le"de Ne#ton. Lo anterior conduce a las le"es planteadas por Iepler en )ase a o)ser&acionesastron-micas del Sistema Solar, estas son

rimera le"J Todos los planetas giran en torno al Sol descri)iendo una -r)ita elíptica tal +ue el Sol seencuentra en uno de los %ocos de la elipse.

Segunda le"J El radio &ector de un planeta )arre áreas iguales en inter&alos de tiempo iguales.

Tercera le"J El cu)o de las distancia media al Sol de un planeta, es directamente proporcional alcuadrado de su período de re&oluci-n.

5enerali'ando esta /ltima le", se puede asegurar +ue si un o)eto astron-mico gira en torno a uncentro de rotaci-n cu"a masa es M de modo +ue el radio promedio de su -r)ita es R " su períodode re&oluci-n es T , de)e cumplirse +ue

3

2 2H

R G M T π

=

Lo +ue tam)i0n podría epresarse seKalando +ue si el radio promedio de la -r)ita de un planetacon respecto al centro de rotaci-n es R " su período de re&oluci-n es T , se tiene +ue.

33 3

1 2

2 2 2

1 2

x

x

R R R

T T T = =


H1


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3. OMLE(S ESBELTOS

1. El coe%iciente de roce cin0tico entre la masa λm " el plano *ori'ontal es igual a µ 6 :,2.En la primera situaci-n mostrada, se o)ser&a +ue el sistema acelera con a 6 g =17. (

continuaci-n se reduce la %ricci-n en el plano a un &alor desprecia)le " el sistema sedispone de la segunda %orma, notándose +ue, en esta ocasi-n, la masa m asciende con unaaceleraci-n a 6 g =

• Determine el &alor del ángulo de ele&aci-n del plano inclinado +ue permite se produ'ca la situaci-n anteriormente descrita.

SOLB4ON

omo primera medida de)e calcularse el &alor de la constante λ, para tal e%ecto seanali'ará el diagrama de cuerpo li)re de cada )lo+ue en la situaci-n inicial


H2

θ

f λmg

N

T

mg

T

λm

m

λm

m


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(plicando la segunda le" de Ne#ton a la situaci-n mostrada en la %igura anterior se tiene +ue

m mg – T = maλm T – f = λma

onsiderando la relaci-n entre la %uer'a de %ricci-n cin0tica " la reacci-n Normal e incorporando

la in%ormaci-n respecto al &alor de la aceleraci-n, se tiene +ue, despu0s de sumar las ecuacionesanteriores,

mg – µ λ mg = m P λ + 1 g / 17

De donde resulta +ueJ λ 6 3

(nálogamente se anali'a la segunda disposici-n del sistema, esto es

3m 3mg sen θ – T’ = 3maQm T’ – mg = maQ

Despu0s de sumar las ecuaciones pre&ias " reempla'ando el &alor conocido de la aceleraci-n se

o)tiene

mg P 3 sen θ R 1 6 H mg =

sen θ 6 :,


H3

T’

3mg

mg

T’ N


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De acuerdo a la segunda le" de Ne#ton, las ecuaciones dinámicas de los )lo+ues serán

ma senmg T m

amT g mm

=°−

=−

38O

O β β β

Sumando las ecuaciones " reempla'ando el &alor conocido de la aceleraci-n, resulta posi)lecalcular el coe%iciente β, esto es

3

7,:O1P7,:

=

⋅+=⋅−

β

β β g mmg g m

ara el análisis de la segunda situaci-n de)emos considerar la presencia de la %uer'a de %ricci-ncin0tica so)re la masa +ue su)e por el plano inclinado, así entonces las ecuaciones cam)ian a

T3T3O3

:38cos

T38TO

amT g mm

mg N

ma f senmg T m k

=−

=°−

=−°−

onsiderando la relaci-n entre la %uer'a de reacci-n normal " la %uer'a de %ricci-n, el &alor conocido de la aceleraci-n del sistema " sumando las ecuaciones anteriores, se o)tiene

2

7,1E,:

2,:H38cos383

=

=

⋅=°−°−

µ

µ

µ g mmg senmg mg


H


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3. El mo&imiento de un o)eto a tra&0s de un %luido &iscoso está sueto a la acci-n de una %uer'ade ro'amiento cu"a intensidad depende tanto de ciertas características del medio como de lageometría del m-&il.La eperiencia seKala +ue la %ricci-n mencionada, en algunos casos, es directamente proporcional a la &elocidad con +ue se despla'a el m-&il a tra&0s del medio, es decir, f 6;λv, donde λ es el %actor asociado a la &iscosidad del %luido " a la geometría del o)eto.onsidere un o)eto de masa m +ue es deado li)re a cierta altura " +ue comien'a a caer atra&0s del %luido partiendo del reposo.

• Determine una epresi-n para la &elocidad con +ue desciende el o)eto en %unci-n deltiempo.

SOLB4ON

uando el o)eto &a descendiendo se encuentra sueto a la acci-n de dos %uer'as, su peso " laresistencia del aire, la segunda le" de Ne#ton para esta situaci-n es

amv g m =− λ

onsiderando +ue la aceleraci-n corresponde a la ra'-n de cam)io de la &elocidad en eltiempo, la ecuaci-n anterior se puede reescri)ir como

dt

vd mv g m =−λ

De esta %orma se *a conseguido una ecuaci-n di%erencial de &aria)les separa)les +ue, para suresoluci-n, se reordena de la siguiente manera

dt vmg

vd m =

− λ

Esta /ltima es de integraci-n inmediata, así entonces

∫ ∫ =−t v

dt vmg

vd

m :: TT

T

λ

esol&iendo las integrales anteriores resulta

( ) t v g mm v

=−−:

Tln λ λ


H7


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@alori'ando los límites se tiene +ue

t m g m

v g m λ λ −=

−ln

( tra&0s de la %unci-n in&ersa del logaritmo natural, es posi)le o)tener una epresi-n para la&elocidad, de esta %orma

t me

g m

v g mλ

λ −=

−

De donde, en de%initi&a, se encuentra +ue la &elocidad del o)eto durante su descenso &aría enel tiempo de acuerdo con

−=

−m

t

emg

t v

λ

λ

1OP

Notar +ue, si el o)eto cae desde una altura considera)le, la &elocidad tiende a un &alor constante, el +ue +ueda determinado al considerar el carácter decreciente de la %unci-neponencial de eponente negati&o, así entonces al ca)o de un tiempo relati&amente prolongado se tiene +ue el m-&il *a alcan'ado la &elocidad límite con la cual sigue sudescenso *asta +ue este conclu"e.

λ

λ

mg v

et m

t

=

→⇒∞→

−

:

H. El radio medio de la -r)ita de 5anímedes, la ma"or de las lunas de C/piter, es 1 :8: H:: m?" su período de re&oluci-n tiene una duraci-n de 8,17 días.

• alcule la masa del planeta C/piter


H8


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• Determine la &elocidad or)ital " la aceleraci-n centrípeta del sat0lite

SOLB4ON

ara el cálculo de la masa del planeta usamos la relaci-n de Iepler entre el radio medio de la -r)ita "el período de re&oluci-n, lle&ando toda la in%ormaci-n num0rica a unidades del Sistema 4nternacional

3 2 3

2 2 2

2 D 3

11 2

28

H

H

H P1,:8:H 1: < ?

7,78 1: P8,17 7H::

1,8 1: < ?

R G M R M

T GT

M kg

M kg

π

π

π −

= ⇒ =

×=

× ×

= ×

ara el cálculo de la &elocidad or)ital asumimos +ue el mo&imiento de 5anímedes es uni%orme,entonces

[ ]

[ ]

D2 2 1,:8:H 1:=

8,17 7H::

1:82 =

Rv v m s

T

v m s

π π × ×= ⇒ =

×

=

onociendo la &elocidad or)ital calculamos la aceleraci-n centrípeta del sat0lite

2 2

2

D

2

1:82=

1,:8:H 1:

:,11 =

va a m s

R

a m s

= ⇒ = ×

=

H.3 OMLE(S OBESTOS

1. El sistema mecánico +ue se muestra en la %igura está acelerando de modo +ue la cuerda deuni-n se encuentra soportando una tensi-n igual a la máima admisi)le por ella.


H


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m

3m

H:S

µ’ 6 :,L

µ6:,2

• alcule la aceleraci-n de los )lo+ues considerando +ue, en la secci-n superior del plano inclinado el coe%iciente de roce cin0tico aumenta del &alor = 0,2 al &alor ’

= 0,5.

2. onsidere el sistema mecánico, con%ormado por los )lo+ues de masas Hm " m, además dela %uer'a eterna F , +ue se muestra en la %igura adunta.

La super%icie so)re la cual se encuentran los )lo+ues es *ori'ontal " la %ricci-n estácaracteri'ada por el coe%iciente de roce cin0tico µ 6 :,2.Los )lo+ues seKalados poseen una estructura tal +ue, la máima %uer'a de contacto entreellos no puede superar el &alor Hmg .

• alcule el &alor de la máima %uer'a eterna +ue puede aplicarse en la %orma indicada

en la %igura de modo +ue el sistema acelere sin %racturarse.

3. Los )lo+ues de la %igura están unidos mediante una cuerda +ue puede soportar una tensi-nmáima igual al peso del )lo+ue más pesado. Entre la masa m " la super%icie *ori'ontaleiste %ricci-n de acuerdo a un coe%iciente cin0tico U 6 :,1 mientras +ue en el planoinclinado es desprecia)le.


H

F et

38

m

2m

F 4m m

37°

µ 6 :,2


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• alcule el &alor de la máima %uer'a eterna +ue puede aplicarse, como se seKala en la%igura, de modo +ue el sistema acelere sin +ue la cuerda se corte e indi+ue cual es laaceleraci-n de los )lo+ues en tal caso.

• Suponga +ue la %ricci-n en el plano *ori'ontal se &uel&e desprecia)le. alcule laaceleraci-n de cada )lo+ue en este caso asumiendo +ue se mantiene la %uer'a eternaanteriormente calculada.

H. onsidere el plano inclinado de la %igura, cuando la masa m es deada li)re so)re susuper%icie, desciende con aceleraci-n igual a :,H g .

• Suponga +ue, mediante una cuerda " una polea ligera, el sistema se modi%icaagregando la masa mQ. alcule el &alor de tal masa mQ +ue permitirá a la masa mascender por el plano inclinado con una aceleraci-n igual a :, g

. onsidere el sistema mecánico con%ormado por las masas m, 3m " mQ +ue se muestran enla %igura adunta.


:

m m ’

3 m

mQ

38

m


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uando la %ricci-n en el plano inclinado es desprecia)le, se o)ser&a +ue el )lo+ue de masa3m desciende con aceleraci-n constante igual a :,2 g .

Suponga +ue con posterioridad el plano inclinado es sometido a un tratamiento +ue generaentre 0l " los )lo+ues una %ricci-n caracteri'ada por el coe%iciente de roce cin0tico cu"o&alor es µ 6 :,2.

• alcule la aceleraci-n del sistema en esta nue&a situaci-n

• E&al/e porcentualmente los cam)ios eperimentados por la tensi-n en la cuerda deuni-n " por la %uer'a de contacto entre m " mQ.

7. Bna lámpara cuelga &erticalmente desde el tec*o de un ascensor +ue desciende. Elascensor &a %renando a ra'-n de 2,H:


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• Determine el &alor de la máima %uer'a *ori'ontal F +ue puede aplicarse al )lo+uein%erior de modo +ue el conunto acelere sin +ue el )lo+ue superior res)ale so)re elin%erior.

. Los )lo+ues de la %igura son arrastrados so)re el plano *ori'ontal, mediante la %uer'a F +uese seKala. El coe%iciente de roce cin0tico entre los )lo+ues " el plano es µ 6 1=3.

• alcule el &alor de la %uer'a F re+uerida para +ue el sistema acelere *acia la derec*acon una aceleraci-n de magnitud igual a g =3.

• Suponga +ue la máima tensi-n admisi)le en la cuerda de uni-n es igual a mg . alculeel &alor de la máima %uer'a *ori'ontal +ue puede aplicarse so)re la masa 2m para +ueel sistema acelere sin +ue la cuerda se corte.

. Los )lo+ues de la %igura se encuentran en el plano inclinado de modo +ue ante la %uer'aeterna aplicada *ori'ontalmente el sistema asciende con aceleraci-n de magnitud igual a:,2g. El coe%iciente de roce cin0tico entre el plano " los )lo+ues es igual a :,:.


2

F

m 6 H g?

mQ 6 g?

m 2m 38

F


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• alcule la magnitud de la %uer'a eterna F " de la %uer'a de contacto entre los )lo+ues.

1:. onsidere el sistema de estrellas )inarias +ue se muestra en la %igura %ormado por una estrellade masa m " radio R " otra de masa βm " radio 2 R, separadas una distancia 12 . Las%uer'as gra&itacionales netas de dos cuerpos de igual masa, colocados en ( " M estánrelacionadas porJ ( 6 1: M

• Determine el &alor de la constante β.

11. Bn astronauta desciende en un asteroide " su)e a una montaKa de 1::: < m ? donde &eri%ica+ue la aceleraci-n de gra&edad es un 1V menor +ue la eistente en la super%icie. or otra parte comprue)a +ue la na&e nodri'a, +ue está or)itando a 1: m? so)re la super%icie, tieneun período de 1,:


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su composici-n es prácticamente la misma, calcule la aceleraci-n de gra&edad en lasuper%icie de aronte.

13. El m-dulo lunar de una misi-n (polo se mantu&o en -r)ita circular de radio igual a 38:m? con un período de re&oluci-n de 7 *oras.

• alcule la masa de la Luna• Determine la &elocidad or)ital " la aceleraci-n centrípeta del &e*ículo espacial• alcule el radio +ue de)ería tener la -r)ita del m-dulo si se precisara +ue el período de

rotaci-n %uese igual a 2H *oras.

1H. Despu0s de 5anímedes, la segunda luna más grande de C/piter es alisto cu"o período dere&oluci-n es igual a 17,7 días.

• onsiderando la in%ormaci-n entregada en el pro)lema resuelto re%erida a 5anímedes,calcule el radio medio de la -r)ita de alisto


H

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