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1/20

1

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ÁlgebraNúmeros complejos I

NIVEL BÁSICO

1. Indique la secuencia correcta de verdade-

ro (V) o falso (F) respecto de las siguientes

proposiciones I. i i i

356343

=

II. i13+ i– 14+ i15+ i – 16+...+ i43=– 1

III.a bi

b ai

n n n n+−

( ) ( ) ( )× +1 × +2 × +3=1, n ∈ Z

A) VVV B) VFV C) FVV

D) FFV E) FFF

2. Determine la sumatoria siguiente.

n n i

n ni n

n

− +( )+ +

=∑ 1

11

20

A) 7 B) 5 C) 1

D) 6 E) 0

3. Señale la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F). Considere z y w números com-

plejos.

I. z w i z w i+ = +22

II. z w z w* *=

III. Si z= z*, entonces z es imaginario puro.

A) VFV B) VVV C) FVV

D) FFV E) FFF

4. ¿Cuántos números complejos verifican las si-

guientes igualdades adjuntas?

z

z

z

z i

−

−

= ∧−

+

=2

41

1

2

1

2

A) 1 B) 2 C) 0

D) 3 E) 4

5. Dado el complejo z i= +3

2,

calcule z z

z

3 3

21

+

−

.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 3 E) 3 3

6. Determine la suma de todos los números com-

plejos que cumplan la siguiente igualdad.

1+ z= z+ z+ i

A) 1 B) i C) 2 i

D) 3 i E) 3

7. Determine si los siguientes enunciados son ver-

daderos (V) o falsos (F). Considere abmn ≠ 0.

I. z z z× = * .

II. Sia bi

m ni

+

+

es un complejo real,

entoncesa

m

b

n= .

III. Sia bi

m ni

+

+ es un complejo imaginario puro,

entoncesa

n

b

m=

−

.

A) VFV B) VVV C) FVV

D) FFV E) FFF

8. Si α β+ = − i a bi3 , donde

α β; ; ; ,a b i{ } ⊂ ∧ = −R 1 calcule el valor de

1 13 3

−

−

α β

a b.

A) 16

B) 14

C) 8

D) 6

E) 9

NIVEL INTERMEDIO

9.Calcule el área de la región que se forma alunir los afijos de los siguientes números com-

plejos

z=(a; b); z+ i; z+a;

z+a+ bi

A)ab a+

2 B) ab a−

2 C)

ab+1

2

D) ab b+

2 E)

ab b−2

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3/20

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4/20

Álgebra

4


19. Si z=( x; y) es un número complejo

y z x y

− = −

1 1

2

1

2; es su recíproco,

indique la gráfica que mejor represente a to-

dos los z que cumplan dicha condición.

A)Im

Re

B)Im

Re

C)Im

Re

D) Im

Re

E) Im

Re

NIVEL AVANZADO

20. Según las siguientes proposiciones, determine

la secuencia correcta de veracidad (V) o false-

dad (F). Considere z y w números complejos.

I. z+ w2+ z – w2=2( z+ w)

II. z+ w2 – z – w2=4Re( zw) III. | z+ w| ≤ z+ w

A) VVV B) VFV C) VFF

D) FVV E) FFF

21. Determine el complejo que equidiste de los

lados del triángulo que se obtiene al unir los

afijos de los siguientes complejos:

z1=(12; 17), z2=(12; 1) y z3=(0; 17)

Considere el complejo ubicado en el interior

del triángulo.

A) (9; 13) B) (7; 14) C) (8; 13)

D) (9; 14) E) (8; 14)

22. Calcule la gráfica de todos los complejos z, tal

que z+2 – z – 2=2

A) B)

C)

D) E)

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ÁlgebraNúmeros complejos II

NIVEL BÁSICO

1. Dados los siguientes complejos

z=1+ i y w i= − +1 3 , calcule el complejo z× w en su forma polar.

A) 2 2 11

12cis

π

B) 2 2 7

12cis

π

C) 2 2 15

12cis

π

D) 2 2 13

6

cis π

E) 2 13

12cis

π

2. Indique la secuencia correcta de verda-

dero (V) o falso (F) respecto de los siguientes

enunciados.

I. (cos x+ isen x) n=cos( nx)+ isen( nx)

II. (cos x – isen x) n=cos( nx) – isen( nx)

III. z=cis x ↔ z=cis(– x)

A) VVF B) VFV C) VVV

D) FFV E) FFF

3. Sea z i= +cos2

55

2

55

π πsen y w = cis

π

20. Deter-

mine z33 w36.

A) – 1 B) 1 C) 3D) i E) 0

4. Calcule el módulo y el argumento del complejo z.

z e

e

i

i=

×

+

2 80 2

1

20

90

cis º º

º

A) 4 y 45º B) 1 y 15º C) 2 y 25º

D) 2 y 15º E) 2 y 20º

5. Calcule el equivalente de z= i i.

A) e–p /2 B) 1 C) 2

D) e E) e i

6. Si las raíces cuadradas del complejo 5cis15º

son z y w, entonces, determine ( z+ w) z× w.

A) 2 B) 4 C) 1

D) 8 E) 0

7. El valor de la expresión cos π π

2 2

77

+

isen es

A) 1 B) – 1 C) – i

D) i E) 1+ i

UNI 2001 - I

8. Si zi z i= +( )[ ] =4 12

, , Arg π

entonces el número

complejo z en su forma polar es

A) 44 4

cosπ π

+

isen

B) 24 4

cosπ π

+

isen

C) cosπ π

4 4

+

isen

D) − +

cos

π π4 4

isen

E) − +

2 4 4

cosπ π

isen

NIVEL INTERMEDIO

9. Indique la secuencia correcta de verdadero (V)

o falso (F) respecto de las siguientes proposi-ciones. Considere que z, w y q ∈ C q ≠ 0.

I. Arg( z3)=3Arg( z)

II. Arg( zw / q)=Arg( z)+Arg( w) – Arg( q)

III. Arg( z)+Arg(– z)=0

IV. Arg( z)+Arg( z)=0

A) VVVF B) VVFV C) VFVV

D) VFFF E) VVFF

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6/20

Álgebra

6


10. Determine el módulo de

zi e e i

i= ×

× −

ππ

7 3 2

13cis

A) e B) e3 C) 2

D) 1 E) p

11. Señale las proposiciones que son correctas.

I. (cis x1)(cis x2)(cisx3)...(cis x n)=cisa

tal que a= x1+ x2+ x3+...+ x n

II. eb i= e(2p+b) i=1

III. z zi= → = +

cis cisβ

β π22

A) solo I B) I y II C) todasD) solo II E) II y III

12. Halle el argumento de un número complejo

que equidista de los complejos

– 2; – 2 i y 3 24 4

cos π π

+

isen

A) p /8 B) p /6 C) p /4

D) p /3 E) 2p / 3

UNI 2006 - II

13. Según las siguientes proposiciones, determine la

secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F).

I. arg arg1

2 z z

= −

π

II. Si z=cis x → arg( z isen x)=0. III. Si x+ y=p, entonces cis x=cis y.

A) VVFB) VFV

C) FVF

D) FFV

E) FFF

14. Indique gráficamente todos los puntos del pla-

no que verifican las relaciones

e z ≤ 1 y z ≤ 1, donde z= x+ iy.

A) Im

Re

B) Im

Re

C) Im

Re

D) Im

Re

E) Im

Re

UNI 2003 - II

15. Determine una raíz cuarta que se ubica en el

segundo cuadrante de z i= +3 3 .

A) 12 195

2

8cis

º

B) 12 195

2

4cis

º

C) 12 185

2

4cis

º

D) 12 185

2

8cis

º

E) 24 195

2

8cis

º

16. Halle el área del polígono formado al unir lasraíces sextas del complejo

z e e i= − +− −642 4 2

A) 6 e

B) 6 3

C) 3 3

D) 2 3

E) 2 e

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7/20

Álgebra

7


17. Grafique el lugar geométrico que genera todos

los números complejos de la forma r cis37

90

p,

tal que r ∈ R+. Luego, determine la menordistancia de separación que se puede obtener

respecto al número5cis

37

180

p.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 0 E) 1

18. Si ω ≠ ±1 es la raíz n-ésima de la unidad, calcu-le el valor de

w+w3+w5+...+w2 n – 1; n es impar.

A) 1

B) 2 n

C) nD) 0

E) 3

19. Si z= w y Arg( z)+Arg( w)=p /5, calcule Arg( z+ w).

A) p /5

B) p /8

C) p /10

D) p /6

E) p /12

NIVEL AVANZADO

20. Si z z

x+ =1

2cos , entonces, calcule el valor de

z z

5

5

1

+

A) cos(5 x) B) 2cos x C) 32cos x

D) 2cos(5 x) E) cos(32 x)

21. Calcule todos los z ∈ C , que cumplen la si-guiente igualdad.

e iz= e z

A) z= np(1 – i); n ∈ ZB) z= np(1+ i); n ∈ ZC) z=2 np(1+ i); n ∈ ZD) z= np(1 – i); n ∈ Z+

E) z=2 np(1 – i); n ∈ Z

22. Determine el valor reducido de

1

1

+ ++ −

sen

sen

α αα α

i

i

ncos

cos

A) e inp B) e i( na) C) e i n

nπ

α2 −

D) e i nπ

α2 +

E) e i nπ

α2 −

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8/208


ÁlgebraEcuaciones polinomiales I

NIVEL BÁSICO

1. Un profesor de matemática califica en un día

16 exámenes y el otro día los 2/5 de lo que fal-

ta. Si todavía le queda los 3/7 del total, ¿cuán-tos exámenes debe calificar en total?

A) 124 B) 56 C) 62

D) 75 E) 48

2. Resuelva la siguiente ecuación.

x x x x

2 6 12 11030+ + + + =...

A) {33} B) {22} C) {32}

D) {23} E) {44}

3. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a la ecuación paramé-

trica.

( n2 – n – 2) x= n2+ n

I. Si n=0, entonces es incompatible.

II. Si n=– 1, entonces es compatible.

III. Si n=2; entonces es indeterminado.

A) VVV B) VFV C) FVV

D) FVF E) FFF

4. Determine la mayor solución que presenta la

ecuación

30 x(7 x – 3)=91 x – 39

A) 5/7 B) 3/7 C) 13/30

D) 12/29 E) 7/3

5. Resuelva la siguiente ecuación.

x2

3 2 4 0− + =

Determine el cuadrado de la mayor raíz que

presenta.

A) 4 B) 6 C) 9

D) 8 E) 10

6. Calcule el valor de (a2+ b2 – 2ab)2 si a y b son

las raíces de la ecuación x2 – 2 x – 1=0.

A) 16 B) 36 C) 4

D) 8 E) 64

7. Si n y m son las raíces de la ecuación x2+ x+2015=1

entonces, determine el valor de

( m2+2014)3( n2+2014)3

A) 2014 B) 20142 C) 20143

D) 20144 E) 1

8. Determine la suma de los valores enteros po-

sitivos de n para que el siguiente polinomiopresente raíces reales.

P( x)= x2 – 6 x+ n – 1

A) 55 B) 45 C) 66

D) 35 E) 42

NIVEL INTERMEDIO

9. Si a y b son raíces de la ecuación

mx2 – mx+ n=0

entonces, halle una ecuación de raíces

a – 1 y b – 1.

A) mx2+ mx – n=0

B) mx2+ nx – n=0

C) mx2 – mx+ n=0

D) mx2+ mx+ n=0

E) mx2+ nx+ m=0

10. Resuelva la ecuación lineal

x – 2=2×2!+3×3!+...+ n× n!

A) {( n+1)!}

B) { n!}

C) { n+1}

D) {2 n!}

E) { n}

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9/20

Álgebra

9


11. Respecto a la ecuación polinomial

( x – 2)12 – 3 n( x – n – 1)2 n – 4( x – 4) n+5=0

indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F).

I. Presenta 3 soluciones.

II. Tiene 13 raíces. III. La suma de raíces excede en 40 a la suma

de soluciones.

IV. 2 es una raíz de multiplicidad 3.

A) VVFV B) VVVV C) FVVV

D) FFVV E) FFFV

12. Si a; b y c son raíces de la ecuación

2 x3 – 6 x2+4 x – 1=0

determine el valor de

1 2 1

3 2

2 1

3 2

2 1

3 2

3 3 3

abc

a

a

b

b

c

c

−−

−−

−−

A) 64 B) 8 C) 16

D) 24 E) 32

13. La ecuación cuadrática

mx2+ m3 x+1=9 mx, presenta raíces simétricas

y la ecuación x x n

22

12− + = tiene raíces recí-

procas. Halle el menor valor de 6 n+ m.

A) 2 B) 1 C) 4

D) 3 E) – 1

14. Determine el valor de k para que la siguiente

ecuación presente raíz múltiple.

( x+5)( x – k+1)=(2 x+10)( x+ k – 3)

A) 7 B) 10 C) 9

D) 4 E) 6

15. Respecto a la ecuación cuadrática

cx2 – 2ax+ b=0; {a; b; c} ⊂ R, indique la se-cuencia correcta de verdadero (V) o falso (F).

I. Si a2 > bc, entonces presenta raíces reales y

diferentes.

II. Si a2

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10/20

Álgebra

10


NIVEL AVANZADO

20. Resuelva la ecuación

x2 – (1+ i) x+4 – 7 i=0

A) {– 2 – 3 i; 3+4 i}

B) {2 – 3 i; 1+2 i}

C) {– 2 – 3 i; – 1+ i}

D) {2+3 i; – 1 – 2 i}

E) {2+3 i; 1– 2 i}

21. Si la gráfica del polinomio cuadrático

P( x)=ax2– bx+c

es la que se muestra

Y

X

indique las proposiciones que son correctas. I. Presenta raíces reales e iguales. II. La ecuación P( x)=0 presenta única solución

negativa. III. La ecuación P( x+ b)=0 presenta raíces rea-

les negativas.

A) VVV

B) VFV

C) FVV

D) FFV

E) FFF

22. Respecto a la ecuación

2 x2 – 2(a+ b) x+(a – b)2+1=0; {a; b} ⊂ Z+ indi-que la proposición correcta. Considere que a

y b son pares o los dos son impares.

A) Presenta raíces enteras negativas.

B) Presenta raíces racionales.

C) Presenta raíces enteras positivas.

D) Presenta raíces naturales.

E) No presenta raíces racionales.

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11/2011


ÁlgebraEcuaciones polinomiales II

NIVEL BÁSICO

1. Resuelva la ecuación

x3+3 x2 – 5 x– 15=0

A)− −{ }3 3 3; ;

B) 5 5 5; ;−{ }

C) − −{ }3 5 5; ;

D) 3 2 2; ; −{ }

E) − −{ }5 2 2; ;

2. Resuelva la siguiente ecuación. 2 x3+7 x2+4 x+3=0

Dé como respuesta la suma de las soluciones

no reales.

A) 2 B) – 1/2 C) 1

D) 1/2 E) 4

3. Luego de resolver la siguiente ecuación, deter-

mine la suma de sus soluciones.

x4+2 x3 – 3 x2 – 4 x+4=0

A) 6 B) – 1 C) – 2

D) 7 E) 4

4. Determine el cuadrado de las suma de quin-

tas de las raíces que presenta el polinomio

P( x)= x5 – 12 x – 1.

A) 25 B) 4 C) 36

D) 3 E) 1

5. Dada la siguiente ecuación

2 x4+4 x2+ x+1=0

determine el valor numérico de1 1 1 1

1 2 1 3 1 4 3 4 x x x x x x x x+ + +

tal que x1; x2; x3 y x4son sus raíces.

A) 6 B) 8 C) 12

D) 4 E) 14

6. Se sabe que las raíces de la ecuación

x3 – 12 x2+ rx – 28=0 están en progresión aritmé-

tica. Halle el valor de r .

A) 28 B) 39 C) 36

D) 52 E) 42

7. Si 2 3− es una raíz del polinomio P( x)=2 x

3 – 10 x2+ax+ b

determine a+ b.

A) 1 B) 0 C) 8

D) 12 E) 4

8. Si 2 – i es una raíz del polinomio

P( x)= x4– 2 x3+2 x2+ax+ b

determine a+ b.

A) 25 B) 15 C) 16

D) 21 E) 12

9. Calcule la suma de los coeficientes reales del

polinomio mónico de menor grado posible

que acepte como raíces a los siguientes núme-

ros 2 2 i i; ; .

A) – 6 B) 5 C) 3

D) 8 E) 12

NIVEL INTERMEDIO

10. Al resolver la ecuación polinomial

2 x3 – x2+3=0, se obtiene como conjunto solu-

ción a CS={a; b; c}, entonces determine

a

a

b

b

c

c

2

3

2

3

3

2

1

1

1

1

1

1

−+

−+

+−

A) 8 B) 6 C) 1

D) 2 E) 4

11. Determine el número de raíces reales que pre-

senta la ecuación

x4+3 x3+6 x2+ x+6=0

A) 4 B) 3 C) 1

D) 0 E) 2

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12/20

Álgebra

12


12. Si las raíces de la ecuación

x4 – 30 x2+( m – 2)2=0

están en progresión aritmética, halle la suma

de valores de m.

A) 8 B) 6 C) 10D) 12 E) 4

13. ¿Qué condición debe cumplir n para que la si-

guiente ecuación bicuadrada presente raíces

reales x4+ mx3 – 2 n( n+3) x2+12 n3=0?

A) n > 0 B) n > 1 C) n < 0

D) n > 2 E) n < 3

14. Si a, b y q son las raíces de la ecuación polino-

mial x3 – 2 x2+ x – 1=0

calcule el valor de1 1 1

2 2 2α β θ+ + .

A) 5 B) 6 C) 1

D) 2 E) – 3

15. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de los si-

guientes enunciados I. Sea P( x)=ax

3+ bx2+cx+ d ; a ≠ 0, d ≠ 0. Si P

tiene tres raíces reales, entonces P x

1( ) tienelas mismas raíces.

II. Todo polinomio complejo siempre tiene

raíces complejas y sus respectivas conjuga-

das.

III. Si la suma de las raíces de un polinomio es

racional, entonces cada una de ellas tam-

bién es racional.

A) FFF B) FVV C) VFV

D) VVF E) VVV

UNI 2005 - II

16. Si el polinomio

P( x)= mx3+3 x2+ nx+2 es recíproco, entonces

determine el producto de las raíces no reales.

A) 2

B) 5

C) 4

D) 3

E) 1

17. Sean seca y csca dos raíces de la ecuación

ax3+(a+ b) x2+( b+c) x+c=0

halle la relación que existe entre a, b y c

(considere a ángulo no cuadrantal)

A) b2 – c2=2ac

B) b2+c2=2ac

C) a2+c2=2ac

D) a2 – c2=2 bc

E) c2 – b2=2 bc

18. Resuelva

x

x

x x

x

+

−

+− −

−

=1

1

2 1

1

13

6

2

2

Luego, determine la suma de las inversas de

las soluciones.

A) 2 B) 0 C) 1

D) 3 E) 4

19. Halle la suma de las soluciones positivas de la

ecuación

10

16

2

2

+ +

= − −

x x x x

A)− − +2 5 17

2

B)− + +2 5 17

2

C)2 5 17

2

+ +

D)− + +3 5 17

2

E)3 5 17

2

+ +

UNI 2009 - II

8/16/2019 scv_2016_x_01

13/20

Álgebra

13


NIVEL AVANZADO

20. Determine la condición que se debe estable-

cer a m para que sea la única raíz real del po-

linomio P( x)=– x

3+ x+ n; n es real.

A) 3 < 4 m2 B) 4 < 3 m2 C) 3 < 4 m2

D) 4 > 3 m2 E) 4

8/16/2019 scv_2016_x_01

14/2014


ÁlgebraDesigualdades

NIVEL BÁSICO

1. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a los siguientes conjutnos.

A x x x= ∈ < ≤ ∨ ={ }R 2 4 6 B x x x= ∈ < ≤ ∨ ={ }R 3 5 2

I. A ∪ B=[2; 5] ∪ {6}

II. A ∩ B=〈3; 4]

III. A– B=〈2; 3] ∪ {6}

A) VFF B) VVF C) VVV

D) FVF E) FFF

2. Determine las proposiciones correctas respec-to al conjunto.

I x x x x= ∈ ≥ − ∧ { }12

0R

A) 2 B) 1/2 C) no existe

D) 1 E) 0

5. Calcule el cardinal del conjunto

M x y

x y=

∈ < < ∧ < <

23

1 4 0 6; Z×Z

A) 10 B) 5 C) 12

D) 7 E) 0

6. Halle la variación de f si f x

x x( ) =

+

−

2 1

1; x ∈ 〈2; 4].

A) [3; 4〉 B) 〈2; 7] C) 〈3; 5]

D) [3; 5〉 E) 〈3; +∞〉

7. Determine los valores de h, si h( x)= x2 – 4 x – 5,

x ∈ 〈1; 4〉.

A) [0; 5〉 B) 〈– 8; – 5〉 C) 〈– 9; 0]D) 〈– 9; – 5〉 E) [– 9; – 5〉

8. Calcule la longitud del conjunto

M x

x x=

+ ∈ > −

+2

11R

A) 1 B) 1/4 C) 1/2

D) 2 E) 0

9.Indique la secuencia de verdadero (V) o fal-so (F) respecto de los siguientes enunciados.

I. Si x > 0 → x ≥ 1. II. Si x ≥ 1 → x > 0. III. Si 2

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15/20

Álgebra

15


11. Halle el complemento de B.

A={2 x – 1 ∈ R /3 ≤ x ∨ x ≤ 1} B={ x+1 ∈ R / x –1 ∈ A}

A) 〈1; 5〉 B) [1; 5] C) [3; 7〉

D) 〈3; 7〉 E) [3; +∞〉

12. Si se tiene que

( x; y) ∈ [2; 3〉×[– 1; 4〉 determine la variación de E = x2+ y2– 2 xy+1.

A) [1; 17〉 B) [0; 7〉 C) 〈1; 17]

D) [1; 17] E) 〈0; 7〉

13. Si

m ∈ 〈– 4; 1]

n – 1 ∈ [– 4; 1〉 determine los valores de A= mn+1 – m+ n.

A) [– 6; 14〉 B) 〈– 8; 12〉 C) [– 8; 12〉

D) [– 6; 12〉 E) 〈– 8; 14]

14. Si2 1

2

1

2

x

x

−

−

∈ −∞; , halle los valores de x.

A) 〈– 1; 2〉 B) [0; 2〉 C) 〈0; 2〉

D) 〈0; 3〉 E) 〈– 1; 3〉

15. Determine el valor de verdad de las afirmacio-

nes.

I. Si x x

∈ − →

+

∈1 5 3

2 50 1; ;

II. Si x x

x x∈ →

−

+ − + >0 4

16

21 0;

III. Si x

x x x

−

+

> → < −1

33

A) FVV B) FVF C) FFV

D) FFF E) VVV

UNI 2002 - II

16. Calcule la semisuma entre el supremo e ínfi-

mo de f .

f x x

x x x( ) =

+ +

+ +

2

2

4

1; x ∈ R

A) 2 B) 3 C) 3,5

D) 2,5 E) 1,5

17. Un agricultor quiere levantar una cerca alrede-

dor de un terreno rectangular que está ubica-

do en la ribera de un río, usando 1000 m de

material. ¿Cuál es el área más grande que pue-

de cercar, considerando que no va a poner una

cerca a lo largo del río?

río

A) 50 000 m2

B) 62 500 m2

C) 67 500 m2

D) 100 000 m2

E) 125 000 m2

UNI 2009 - I

18. Si x > 0; a > 0; b > 0, halle el mayor valor de

ψ( ; ; ) x a b ab x

ax b=

+

22

A) 2 B) 3 C) 1

D) 4 E) 2 2

19. La suma de todas las aristas del sólido que se

muestra

c

a

b

resulta 8 cm. Calcule el máximo valor que pue-

de alcanzar su volumen.

A) 27 cm3

B) 8/9 cm3

C) 1/27 cm3

D) 8 cm3

E) 8/27 cm3

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16/20

Álgebra

16


NIVEL AVANZADO

20. Determine la variación de f si f x x

x x x( ) =

+

−

2

2

2

2;

∀ x ∈ 〈0; 2〉 ∪ 〈2; 3].

A) − − ∪ +∞ ∞; ;1

27

B) −

1

27;

C) − ∪ +[∞ ∞; ;1

27

D) 0 7 1

2; −{ }

E) − − ∪ +∞ ∞; ;1

27

21. Según expresión E x x n n

n

= + +( )+

− −

2 1

22

1

2 1 ;

x ∈ [– 1; 1〉 ∧ n ∈ Z+ ∧ n ≥ 2, indique el valorde verdad (V) o falsedad (F) respecto de las

siguientes afirmaciones.

I. ∃ x ∈ [–1; 1〉 tal que E n

=1

22

siendo n ≥ 2 ∧

n ∈ Z+.

II. El supremo de E es 1.

III. ∃ x ∈ [– 1; 1〉 tal que

E n

= +

+

1

2

1

2 12; n ∈ Z+ n ≥ 2

A) VFF B) FVF C) FFFD) VVV E) FVV

22. Se desea fabricar una caja de base cuadrada

y sin tapa, con una plancha de cartulina cua-

drada de lado a, cortando cuadrados de lado

b en cada esquina y doblando los lados. Halle

la variación de a para que numéricamente el

volumen sea mayor que el área total de la caja.

A) 0 2 11

; b b b

+−

B) 〈2 b; +∞〉

C) 2 1

1 b

b

b

+−

+; ∞

D) 2 2 1

1 b b

b

b;

+−

E) 〈0; 2 b〉

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17/2017


ÁlgebraInecuaciones cuadráticas

NIVEL BÁSICO

1. Resuelva la inecuación

x x x

3

1

2 6

1

3 6

2

6

− ≤ + < +

A) 〈– ∞; 5] B) [5; +∞〉 C) fD) [0; 5〉 E) 2 5;

2. Determine las soluciones de la inecuación li-

neal.

x+2 x+4 x+...+2 n x ≤ 2 n+2 – 2

A) 〈0; +∞〉 B) 〈– ∞; 0〉 C) 〈0; 2]D) 〈– ∞; 2] E) 〈1; 2]

3. Determine el complemento del siguiente con-

junto.

A={ x ∈ R / x2 ≥ 4 ∨ x2 ≥ 3 x}

A) 〈– ∞; 0] ∪ [2; +∞〉B) R

C) fD) 〈0; 2〉E) 〈0; 3〉

4. Si el conjunto solución de

4 x –1 2

III. x x x2 2 2 2+ ≥ ∀ ∈; R

A) VFV

B) VVV

C) VFF

D) FFF

E) FVV

7. Calcule el complemento del conjunto solución

( x –1)2+8 ≥ 6 2 22 x x x− −

A) 0 2;

B) −∞ ∪ + ∞; ;2 6

C) fD) R

E) 2{ }

8. Resuelva

2

4

3

10

2 x x+ + ≥π

A) R+ B) [0; +∞〉 C) R

D) 〈–∞; p〉 E)1

π

; + ∞

9. Determine los valores de K para que x2 – 2 x –1 ≥ K ; ∀ x ∈ R

A) 〈– ∞; – 2]B) [– 2; +∞〉C) 〈– ∞; 2]D) 〈– 2; +∞〉E) [– 2; 2]

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Álgebra

18


NIVEL INTERMEDIO

10. Determine el número de soluciones enteras

que presenta la inecuación

x x2

5 2 10+ ≤ +

A) 7 B) 6 C) 5

D) 4 E) 3

11. Calcule el cardinal del conjunto

A={ x ∈ Z / x2+(2 – n) x ≤ 2 n2+ n –1 ∧ n ∈ Z+}

A) 6 n B) 2 n+3 C) 3 n

D) 2 n+1 E) 3 n+1

12. Halle la relación entre m y n para que el con-

junto solución de x2 – mx+ n>0 sea

1 1

3π π;

−

C

A) m=p n B) 3 m= n C) m=3 nD) n=p m E) m=3p n

13.La inecuación x

2

– 2 bx –c6 x} B={– x ∈ R / x2+9 ≥ 6 x}

C

x x x= ∈ + ≤{ }1 16 1 8

2R /

determine C ∪ ( B ∩ A).

A) {1} B) R – {2} C) R

D)R − 1

5 E) 2

1

5;

15. Si la inecuación

x2 – 2 nx+2 m ≤ 0 tiene CS={6}, calcule

n

m

.

A) 3 B) 2 C)1

3

D)2

3 E)

3

2

16. Determine el número de soluciones enteras de

x2 – 6 x+1 ≤ 0

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

17. Halle los valores de a. P( x)=ax

2 – 2 x+a

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Álgebra

19


NIVEL AVANZADO

20. Indique la secuencia correcta de veracidad (V)

o falsedad (F) respecto al siguiente polinomio.

P( x)=ax2+ bx+c ∧ a ≠ 0 I. P( x)>0 ∀ x ∈ R ↔ b

20} B={( x – 2) ∈ R / x2+6 x+9 ≥ 0}

C

x x x= ∈ − + ≤{ }1 4 4 1 02R /

D={ x ∈ R / 25 x2+10 x+1

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20/20

Semestral UNI

NÚMEROS COMPLEJOS I

NÚMEROS COMPLEJOS II

ECUACIONES POLINOMIALES I

ECUACIONES POLINOMIALES II

DESIGUALDADES

INECUACIONES CUADRÁTICAS

scv_2016_x_01

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