scuola e didattica - carlofelicemanara.it ed... · lo matematica non è qualificata dai suoi...
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SCUOLA E DIDATTICA� Quindicinale di problemi e orientamenti per la scuola media
Direttore Aldo Agazzi
Editrice La Scuota - 25186 Brescia
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'::;;~i~fJ.ç{f~:~\al':m9m~rit6~.dè'~J:t:ivO':'è«;tClnàlitiçq;;;~,sé·,dn·, . .'ne, .fantç:1siQ creatriçee Figbre, di .d~uzi0né;,viLen~>qrni< ;'0
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fo <:ia~o_ ~O~p~ttP'q~,~-I{~f1)pQr,re Iln$~gnt;1l:'0§;Slt~ ~Ju:npl~·"'.: ,~' .',r~rnan.~pr:lC~rte:;\fE?:r~.c0~ {1~~e.;q~aD:l~O~0;:q~1l9·,rntJ.tefn,9: :''- .: .go ael.cllçtgr9mm:(gr 111l1~so 'qr;:t;qh~,:A.e.!lè,~e,ùpTeel'eme[ì:<;.',.:" )lq<;l-!I.su!;t~r~b.beo~t.r'çtttp::? p'uràffleote'f<?rPçi~5fl'e.\ Sl?~[l01j' >: .fa' esenti de@li. qSP.e:ttf.l~gittimò'm.e.ntè'·:cQlit€lstabiJ( ::::;. ::.rDi,r(Ì$sé;·'OlQienp.ih liné:a~di~pfìnCi·p'ì0';":Ql>~ci!GOI6nùme.-;~':··
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.o a .. d!r1g0~ ,,';-"te dI ~.hi. sl·ott~nd,e [Dlr~c~!l.çi91,1~.IFlt.ro~~ZJq':."/·.'}P~,~.·El"s~~~r~ 9\J~r~.9tl:ç9.F'f1~,~~,!~~~I;SJ!UZL~QI.:,:Q~~e elle acchme nella:sGuoIG; rDa,'nonlrlt~ndlamoi,. :.,':.ry,,: l;colco.rt·'r:rtlm?r'lcl':o°c.eiil finii .'::-!;.\<::'::. ~ ...~.,;> ,.,-,;. ,:-'-0'.
eg ire i.n questa dir~zfone,.J:?er~~e..v.?fr-ecn0c5 .Q9.n," ~ >,. _''In~Jt!l?~f~tirnEk!{6Ff,qr:nis9'9~? g.li.-:~:tf~0èl'!li ·s(r'Y1.l?oifYi p~r,:·· ceooare [o ostra attenzLOPl.e· SUI rapportI tra. questa In-. . ,rappresentare.'çertEnealta, :e_per· conQscernele-lèg~'
li e e l'insegnanientò(jeUà mafemafiGd.. ". ':0 'gL I nuinerj:~rl'çjtùr:èip. 'ç6stjfuj~çoryo:infoftriJ·;pri~bJflc?h~ .' . . __ "~>~, ::'~,:::,~'~~,); \,\:.).:::~ ;;:~:,·t,~'> ~.,:.~" ',->.;:-:: ~ ", :t:.·,- ;~
tro del giovane con g1i strumenti matematici, e gli per- sura della diagonale dél rettangolo; il teorema di Pimettono di dominare gli insiemi finiti'~'eoperaziqni su tagora dimo~trCl che trçJ lemiswte,consid~rqte SI;J?si~te'.
,', di essi. l numeri razionalì introduco'nò il 'giovc:ine studen- , la ,re;rdticm~nofm' ',~." ,.' '.' .'� · te"nel mondo dellemisurei é gli p,ernjettòno.quifldi'di".,: .... . .�
. .. d9rninare le'grdhdè4ze; cioè:élLcompiereil prirnqpas- ."'.(.1)",<. '., . "'.;'. ·· .. ··d~~a; ~.b.2. "~ '~~ 's'o verso Id conoscenza. fisiép-motematica;deFm9ndo" '. " '. ,': i. , , '. " , '.' ',...,
, "'."rndteri:ble ché'ci' Circonda. P.ertarjto Id'.conosCenza €i :NeHa.maggiorànza ,dei çasi; si, pE!nsQ 'Ghe ,Iplforrnutd . '. ,Iò:utillzzazioné dei~ri(jmeri costituiscono'i primi passi del-' (1) e~ourisca lo queS'tionédiconosç,$re 1.9 Illisura.··d~!- . ,;""b educazione matemdtlcae sCientifica del giovQne; la diogondle quando si conoscono le,mIsure ,del ,Iotl.·· '''. '>" "maòfiche lo realizzàzione,ébncretà .delle struttt,Jf(~fbr-;' , Tuttavia questa convinzione non è pienamente, giusti; ,:'-"~'ri1ali che.'studierq ~éi segui!o:S1eil<:l ~ù9,carrierò-;sc9Ia-'. " fi~at<;l, quando si, vogliono 6ttener~delle ,lnfoimc;iiioni .' ,·'",sticd trovQne] calcolo num.èr)co, ~Ioe nella fTlanovra\· .. ':concrete che cip6rm~tt9no'didiri'gere razionalmente' ":. çièlle'mi,s~re dj ,grqndezze cor\cret~,-i1cç>flfrbllo suna ,,' "/i'l nostro oomJ:iòÌidme.nt0.' I)ei rìgI;J.drdi dell9,J6oltq 'fisi~ "':',' r.edltò e la veriflcadel·cont~llu.to~:x?[losèitivodella ma" , ':Cçlsullà ·qua'le· òperiamo.'· ',' .:. ". ' ". <,.' '.
"ternefica·che, egli·è tenutoa,·studlqre. " .' ·.Infatti i nuhìerìO; b e.d,:ch'e 'abbiamo nominato, sono ., ;'·'~ .. $'e,94è:dìqui ch~..ra mQnovrcid~1 cOlc910 numerico do-', . '. iiìÌeòriedéìn.LJmeri.reali;·con' le.qpituafi:convenzioni ' ·"Vrepl:;)e. essere consìde.ratd. qome:un,.elemento fonda- .per rappresènt9re ql;Je$ti nl,J meri,.essCsono rappres~n~ .
'~:.: mentale d~lI'educaziore~r:natemé:lticp.. .,' .:tatj'dei frdziòni dec'irQqlj, ~quif:ldi d9 allineamenti di ci-· · Mo·.ocèor:rè, anche ri.éordarè 'che spesso il calcolo nu- .' fre chés900Pote:nziplmÉ?nte'infiniti. ;Ma.la prdticçi dei.
',' . i,' meriçQ risulta noioso.ed qsti'è9; e.peranto non sempre: , cà.I,coli èsCIl,lpe ovviamente che sipossd bPerare-su .al-,,, , "glrrnsegnanfi d€ioicqqoaqe,ssoil ternpo e la fatica che ,', lineamenti infinlti:.'in portitqlare gli strurnentr cre pos- ..
"::;::mèritei':ebbe~.p€k"èyita(e, che l'ins~gt)Qm'entodella ma- . sediamo eçt al qu.oli ,facciamo rift?rimento,.manovrq-., . .;' .tematiC'o si riduca ad una nlemotizzazlone inutile e vuo-' no soltanto un nUmerò di cifre che 'abitùalm'ente è 8,' :""'. tqd( fo.imule s~nza moltq presa su'l:lq realtò che il gio- Di conseguenzò qùandb òecorre trddurre r:lella :prati.- ' " '-vari~ manippla: Awiene.r~fqttispessoche lo memo~ ca ,la formula (1),;oocorre lener ,conto ,del fatto che il . ';. d.z.zòzione dei risultati-'d!3Ue'.,moltipliqazioni dei numen ;sbstituiredegli ollineamenfi:finiti ò quelli potenzialmente,
:'.; ,'di: una' cifra' tl.~· cosiddett~«tab~J/i!1$»o" come si dice- .il)tiniti phe dovrebbèro, rappresentare, i numeri 'reali,.� '. vO>l,lna yol.tc:i/I.a· «tavolapifago(ica»)·risultì sgradita e comporta degli errori, che occorre conoscereesoper'�
'~> ,sùséitì fepl,llsrone e fastiClio;'Ne'consegue che spesso dominare, À qlJe~;tòsco'p,o.saran'iiodedkate le pagj'.' . gli. esercizi s\,Ji 'calcoli numeridprovoccm.o noia e ad-- ne che 'seguono., ma intendiamp·prirnd giL!stfficare : -..~. d,irittur.ad,istolgonodallo studio' çerti Qlunrìi.~he potreb- questo 'nost(o lavoro; anch$ p~rribadire lo concezio: .'
".' .bèro rtusc.ire moltO:: bene nelle materie·sçientifiche, ne della matematica comè sCienza: di pro.cedùre dJ cui ,.... 'il) questo ordine di..idee'èch(a~o che J,q,'possibilìtò di' . abbiamo, detto· sopra, , '.',' _"; .
. utiJiz~are strumenti mo.lto potènti è molto diffusi potrà sol- Infatti, quandq si sia'oc'cettatq questq .cqncezione, è' .' levçJre insegnanti e'studenti <:;la .un.6'fQtica mentale'che ragionevole porsi· una domonda:guestèproced\,Jre a
· '"risèhiq dJ allontanarè dalla, r:rràternQtica alcune delle . quale scòpo 501'10 rivolte? A questo 'propqsito vor,rem- . .intelligen;z:e.che spesso posseggono:delle prec'ise di-, mo ricordare ciò 'che .qffermaya il grande matemath
, .sposi;z:ioni scier:ltifiche,ma sòno'an.noiqte dalla-pratica" co italiano Giusepp~ Peano, dicendO che«...1'0 mate~ " . deil.iGlddesJr::òm~nt6 dei calcoli. . '.' . ' .....' , . matica è una logica perfezionata». Traducenao il pen. ,/È· nòtò'ché 'le 'pi~cQtè;çalcolatrici.tasCCtbi.li sOno ven~, siElro di Peano con altre parole, vorrem.mo dire.che lo " . '. dL!fe or:m.ai ad un prèZzo irrisoriq, sQno. Clddiritturà con- . scopo çlelle prqcedure d~ll.a m9temat'ca: COSI come
,:si'derate dei giocattoli ed a:lcune sono incluse in certe ~el res~o.lo ~copo'della logica, e quello di dare delle -:. cOnfeziOni eré.galatè'dalleditte, come uhd voltò si re- "InformaZIOni esatte,. . . . . . ' .
... gaJavanole figuriné \') r:buoni-premio, Sar~bbe quindi' .' . Nello"stesso ordine dI ideèSi può pensare anche che.. ' " vanopénsaredi,proibire I~impìego di questi strumenti· lo sQluzi6[le di un problema matematico miri a dare,
agl1 aillievi:' essipensèrebberO qd una 'imposizione del con ·mezzi razionali,' più informazioni di quelle che si .. 'tufto·arbitraria,"e la giudicherebbero'comeuna enne-o .. avevanq aH'initio;'o, m'egliQ, miri a rendere esplicite ed 'sima provadelfatto che la scuola si·distaccasefTlpre applicabili nellapraticci le informa~ioni che. sono im
,~. di più dalla vIta reale, Pensiaf'!ìo invece che là scuola plicite nell'enunciato delproblema considerato, beninc , "debba assumere una posizione attiva nei riguardi di teso' qualora. esso sia ben posto, , . 'qUElStçJ diffusioA6 capillare di nuovi mezzi di calcOl.o; ,Co~ì per esempio, s$ s'i trotta di un problema di geo" ."ed 'anzj'pd~~q ayvalersi' di queSti per poter dare una . mefria classica.(euclidE1a), che richiede la posizione di '
immoginE1 della matematica che sia più modernq e.d certi e,lementi geometrici (punti, o rette, o oltre figure) aderehte,alla'realtàiispètto d.quella che viene usual~ che debbOno soddisfare a·determinate richieste, Iaso
... 'mente data, e possa così ampliare l'orizzonte'rnentale'' .fuzione consiste neH'indicare le costruzioni geometriche� .. degli .alunni." . .. .... . conerete che conducono alla determinazione degli� • ' , : elementi cercàti. ..� · ..2 ~ Ql,i,ando parliamo di .urja immagine della matema- ... Se cerchiamo di applièare qUeste considerazioni 01� . tica pii:i moderna ed aderente alla rèalfò ci: ricolleghia-. probl$lT)a di determinare lo misura della diagonòled.el moa Ciò'che abbiamo detto poco fa,:osservando che rettangolo, quando si conoscano le misure dei lati, sid- . lo matematica non è qualificata dai suoi contenuti, ma mo portati, nella pratica dei calcoli, ad approfondire
.. piutk)stq dalle sue procedure; ed in queste procedu- . il significato delle informazioni che, a livello teOrico, ci . · re'noi pensiamo,che'si posso annoverare anche il col- sOrio date dòlla formUla (1), . . . .
colo numerico;'che porta lo strumento rnatematico ad In partièolare se I.e informazioni ohe siharmo sonò de: Immediato contatte>' cç>n quella realtà che il linguag-. sunte:.da operazioni pratiche di misur'q, le. risposte dogio matematico cerca di rappresentarè. Infatti presso vranno anche essere commisur.ate çJlle operazioni pra
· molte persone,onche colte; la matematica si presen~ tiçhe dq eseguire per.cÒntroliarel'a,lo(O validità o per·� , ..� fa come Un ~oàc,ervodj-formu:le astratté, che rirnan-.: utilizzare le informazioni stesse ai fini teorici' E?prafìci.
gono n~lIa memor'iadimolti soggetti dopo' '9, scuola. Per esempio, se le misure dei: laWdèl retf~ngqlo"sono 'mediacome dei relitti inL!tili. e morti. .. . date in metri, con ordine 9i appross.imazib'(ìe del cen- . Per spiegare meglio il nostro pensiero fòremo riferimen- timetro, pare ovvio che anche le risposte. sia'flO date
,to ad un esempio concretb~ si pensi per esempio ad con quell'ordine di àpprossimazio,rie, perctié le ope· un rettangolo, e si indichino con a e.b lè misure .<:lei suoi razioni 'materiali di misura, nel caso cQncre.to, non Po.s·Iati.; m.isure esegUite con lo Scelta di una deterr:ninata .sono aver sE?ns,o per una precisione ulterì.ore,· Risu!teunità, ed espresse con nur:neri. Indic~·iarn~.cof)d la mi- rebbe,quindi f~utile fornire 6 cifre decimali,della misu-'
'C ~e 'agonale, perché, nel caso in esame, non ebbe senso alcuna misura che pretenda di tag'giun
gere una precisione superiore; pertanto'e le'cito'Con- ' , cluder~ che quelle '6 cifre decimali non ,hanno alcul! ': signiflcçlto rE;lole di inforl"l1a'zione sensata, La cosa del
resto è presentabile sotto altra forma dicendo che lo matematico insegna a dedurre, non od inventare le informazioni: se, i dati.hemno un certo margine di erro'r~;' nQn é possibile che lo manipolazion~.matematico ' faccia diminuire il margine stesso; al massimo lo rnan-, ' terrà dello stesso ordine di grandezza, ma.'in gen~rdle lo farà aumentare.
, ,
, 3':j~itorneremo,nel seguito su questi argor:Qenti: i quçìli .foono parte degli spunti didattici che ce,rcherèmo di presentare ai nostri lettori. Riprendendo qui ,il discorso s,ulla rappresentazione'dei numeri reali d,r'iqttaccliiamq d Ciò' chè abbiamo già dètlo; osservando che' un
,numero reale è abitualmente rappresentato da un al- , "Iineament.o potenzialmente infihifq di simboli; siano essi , le cifre dello ràppresentazione decimale, oppure iquo.zientipafziçlli di una frazione continua, oppure altri sfru
, , ,menti pensòbili per ,rappresentàre ~m numerq, reale. ' " " , '. Orò nel.la pratica è possibile manovrare ,'soltanto dei
',simboli' costituiti da segni in numero fii"lito;,ne.conse,gue ' 'éhe un numero reale a dovrebbe in ogni casò essere' rapi:xesentato con ,una coppia di disuguaglianzE?:'
, , ,
a' < a < a", , ,
, dove i numeri a' ed a" sono numeri razionali. Nèi casi più comuni, qU,ando questi sono rappresentati' in forma decimale, i numeri stessi sono assegnati con un cer
, to numero di cifre dopo il punto decimale. Come è' noto, i numeri razionali a' ed a" sono spesso chiàmati rispettivamente valori approssimati per difetto e per eccesso del numero reale a su cui si vuole cal.colare. ' È,pure noto che spesso i valori per difetto e per eccesso sono scelti ,in modo,tale' che, dato per esempio un
, ,valore per difetto, 'si può costrUire un valore per eccesso con ~n'op~razionemolto semplice; questa consiste nell'aggiungere al valore per difetto considerato una unità
"',dell'ultimo ordine decìmale che si è scritto, , "Cosi~ per esempio,' sapendo che il razionale 2,23606 , $ un valore approssimato per difetto del nuntero reale "radi,èe .positiva dell'eqùazione algebrica:
, ,
'(3)
\;In valore approssimato per eccesso della stessò radice sarà dato dàl,razionale 2',23607,'e si potrà quindi scrivere:
~4) 2,23606 < {5 < 2,23607.
Spesso le tavole numeriche e le macchine calcolatrici forniscono dei valori approssimati per difetto dei numeri reali e dei risultati delle operazioni. qualora tali risultati abbiano un numero di cifre che supera lo portata della macchina stessa; tali valori sono anche detti «valori troncati» dei numeri in questione. Spesso invece le tavole numeriche e le macchine calcolatrici forniscono dei valori che vengono chiamati «arrotondati»; un valore cosiffatto 'si ottiene con lo seguente operazione, che viene chiamata appunto «arrotondamento»; il numera decimale viene scritto come un valore troncato se la prima cifra decimple successiva a quella che'si scrive è Ooppure 1, 2, 3, 4: l'ultima cifra ,che si scrive' viene aumentata di un'unità se la prima cifra decimale successiva è S, 6, 7, 8,9, CasT per esempiò un valore arrotondato con quattro cifre decimali di {5 è 2,2361, perché il valore troncato con ,quattro clfre decimali è 2,2360, ma lo prima cifra successiva all'ultima che si scrive è un 6, come si può vedere dalle (4),
È interessante sapere se le tO\lol~ a cui si fO eventual�mente r~férimentQ,~ppLire lefDacc,hihè,pic,cple ogran
,<;:li, che"si,impi$gano; riportà,no'deVvalqri·,.tronèati op-:"� pure arroton~ati qei numei"j' re.alich.e inte:res:s;Gf)Q: Jn~ .
, fatti abbiamo'd~tto che loscopq '$,lçOI9010 nUf)1~ri~ co è quello di, dare deJle informazionlesçtte'" helJa mF sl,lradel-possibire, e qùindl dì. conòsc,ere gli ~rrori:e'di~, dominarli. Assumendo il numerorazi6nole a! come và- :, lore del numero reale a e-dèfinendo ~ètroré còn la differenza a - a', è chiaro che I<errore cne SI commette ' ha :sempre il segno positivo;'ed ha 'yqlo(e.oSsQJuto non· supeJiore ,é:lWunità, dell'ultimo ordine deèitnale 's,crifto.· If')Vece assùmendo come vaiore',del'num;ero Tè~àle l,lh
, valore,otrotor')dato, l'errQre che si: oorr'im~ft-e ,può eSsere p6sftiyo o negativo; e questa Cir.costanzçi 'rèrlde spesso difflcile'il precisare le·infor.ma~io.ni çfi~ ,si troQ-' gono dqi calcb'li, Tuttavia il valore Q~S6lutò gell'.errore ": non supera ià metà dell'unità dell'orqine,.dell\lltlmq c\-- ;, fra decim'àle scritta, ,", ", '" '",' , Qudlch,e Aut<?re di recenti Iibr.i di fisica aqdiri:ttura, ()v'" verte che ùn valore numerico con un .certo numero di. cifre d,ecirnaiivuole significare,una 1111s~r9 la quale~p\::16 , aver,e":U:n valore dppartenente ad·lJn'int.e,t'Ì91IQ:Ch~'si
, ottiene 9umeritando oppure diminuendo .il numer.o, 'scritto <;:li una unità dell'ultimo orqine de'cimale pr$sen;, 'tato, Conciò' l'errore oltre a non,avare,uri segno noti::>, non ~upera una unità dell'ultimo ordine',ç:lecimaIe:' :-. Con 6orwenzioni di questo tipo possOno aécaderè anche dei casi apparentemente 'par,ad6ssaH: p~r esempio può awenire che un picc% cplcolatore tascabi~
, le esegua la estrazione di radice pre~entandodei valori arrotondati del risultato, L'incaùto'operatore ch,epòi elevi al quadrato tale risultato PlJò,riòttenere, sempre per opera degli arrotondamenti~'il numerò di partenza e quindi può trarre da questi risultati'·la convinzione che per esem'pio lo radice quadrata di'S sia un numero razionate: infatti eseguendo il quadrato di un num~ro razionale, rappresentato da,un.allineamento decimalE;) finito, si è, ottenuto un il')terò!f . ,
4 - Vedremo ,nel seguito con 'quali ç>peraziorii molto semplici si PljÒ accertQre che il di~positivo con cui si lavora opera con valori troncati oppure con valòri qrrotondat;, 'Qui:vorremmo oss,erV9re che non sempre, nella praticàdidattica e nei manllòli, si insiste sul fatto che vi sond certi. nurneri.che han possono ess$re roppresentati senza errç>re:, irwecémolto,spesso sipossono vedere degli elenchi:ai numeri fissI, presehtati come frazioni decimali esqtte, Cç>sì capita di. leggere che l'altezza del triangolo equilatero si ottiene moltiplicando il lato per il numero fiSSQ 0,86602, e la lungheza della circonferenza si ottiene moltipliçqndo il,diametro per il numero fisso 3,14, Questo modo di presentare.la mòtematico ed i calcoli ci pare pocç> opportuno; ed è proprio nostra intenzi~ne cercare di avvalerti degli sfrumenti èhe oggi sono alla portata 'di tutti' per dlutare i ~:jocenti ad introdurre una immdgine 'più ragionevole della matematica, ',,'.' , Per' questa ràQioné pre$enfiamo qùi alcune oS,servaziqni, del tutto elementari, che ci aiuteranno tuttàvia ad impostare 91i spunti didattici di è:\Ji diremo nel segUito... Come abbiamo visto, un numero re'are'a può ,esse're presentato soltanto con una .coppiqrdi diseguagliònze, del tipò ,dèlla' (2), oppuJe,còme 'ùbbiamç5 qetto, , con altre convenzioni, le quali dOvrepb.ew·in ogni ca-'
, so permettere di determinare un Ii'i'nite su'periore dell'errore che si commette assumendo.un-'numero'razio
:f)ale come vdlote appr-ossirnato del 'nu tT1ero ,reqle in questione, _, . , . ',':. ' .' <":: ':' ',./" ~.' Supponiamo cbesia' doro'un' secondo 'F\'umèro reale b, con ~na anàlogò coPPia",gi'diS~9UqgJi,anze:.
(S) ,
essendo ànche' quib' e q'; dei nùmerira'zfonali, per' esempio rappresentati conallinèàmen;ti decimali finiti.'
: ".'
çhe, eseguendo le el~mentari verificM~'~uggerite,nn, , .' segndnte ovrà oceçi~iQr;reçli'ribad.ir6"il·~i9nìfìcatodel~ " .;; .c·lè·lnf.ormo?iorii :ch'e si otteng'ono. Infottr s(9 jl'RCT lavoro ,', . ~.' ;4 cOn vòlori,trémcati:'r"T!oltfplieando il nUl")'ìero (1) per 3 n.on . ,'~',' si bttie.he. ,2; irche potreq.be. portare quàlche scolato· :. ," a pènsdrè' che lo divisione non sia"l'operazio.ne ir'wer~'. sOéjeIlO'moltiplfc'oziè>.rìe:.ln prqtica si I?UÒ otten~r(9; con
.~ un PCT 'di questo. tipo:- . ..';i .. 'o. • \ ., • .~
..: "
1,99.~9999 .òppur~ 1,9999,998..
" 'Nel prim~ c.os6 ci~ può sighì!icare ?heil PCT lav<;>rocon' valori troncoti, maJ)Qn'mostra s~1 vl~or~ tutte le Cifre che
"':ottien~n-e.l calcoloi nel secondo cosQ il calcolatore·mo" .stra 'sul'vis0re t'Littè'le cifre che oìtiene 'dal calcol~,
Nel caso 'in cui'iI peI ravarie.ori"valori arrotondati, si può ."·ottenèfe.oome risultato deflé:l aivtsione di 2 PE?r.3 il nu!ne'reo:': '. .', . .. ....
6~666666j", "
: . "" . ' .' .', ... ' .• '. . ... : .' . ", . , ..'. . " , 'èd:~se.gu~n~ò la~i1iàltipliqbzrohe' pe{:3: çii' qL!~sto n~-
:: ·..·ifJ:lero :si; pqfrebqe :ott~nere. 2, Il che potrebt;>e,ln<:!urre" , . , ":èmcora'un.a voltaqùalche scolaro a pensare c!'1e Ilnu
'.. , ' 'rnerò sfessOSiaiLrfsultatò (Cesoftò» deWoperazior)e di di.~ ",' v:i.s~ibhe·di2 per'3, ' ... '. ~ .,' ... , ...,' '::::.,.. .": ' " - ' . , : 2 - Pare' inutile osser.vare qui .che con un' piçcolo cal, é%tore tascabile, anche di primo livello, l'insegr.lan
fe~può Seguire e. tòre esegl.jire·i çalcoli Ohé,o.l?biomo , . '. prese.n}oto nel CapitQlp prec.edente, ed inyentdre a ' ;. '.sua volta ulteriori eser.cìzi .di calcolo numet:iço. Come
· è ohiaro, lo scopo'di questi ésercizì'non è soltqn.to quello dLtrovme dei vatati 'numerici, ma .soprattut!0·'quèllo q(·dominareJo s.tfumento che si possiede, dando if giu'sto' signifiçafo alle informazionLche, se ne ottengono, Lo scopo tinàlE{è' ovviamente quello' di sfatare lo concezione fàlso qhe presenta lo matematica·come·uno ',~pecie qi magio, il cui dominio è riservato a pochi pri
, vilegiqti, e çhe 'ha la prèfogativa della precisi~iìe as: " : solUta ed indiscutibile,.lnvero la precisioDe matemati. ·:cd." cOrne abb,iamo già detto; nQh consistè ri.elrinven
.tar'e delle informazioni' in apparenza motto precise e che 'non hcmnò riférimento concreto, ma nel presenta
" .re··s.òltdnto le informazioni vere chesi possono'dedurre rigoro'samente· <:;la idati. '.. '. .
,Nellostesso ordine di idee, 'vorremmo presentare qui aitri spljnti didqtticì, che- ci paiqno stimolanti perché escono ddlla sttadoabituolmente battuta, ohe consi- . 'ste nella utiHzzazione di formule s'tabilite e spesso me
:--' morizzateed utilizzate con poco senso critico, , Osse.rvicùlio anzituftp che.le poche osservazioni di cal(~0IQ numerico presentate nel capitolo precedente possono essere confortate dq esercizi.pratici realizzabili anche con i· PCT dj'primo livello, Ciò potrebbe costituire ljh primo avvio all'impiego di questi strumenti, che sarebb~r0 altrimenti c00siderati da,una parte come dei puri giocattoli e dall'altra come dei piccoli feticci, i cui.' responsi sono inappellabili, mentre invece spesso, co~ me abbiamo c.ercato di far vedere, debbono essere utiiizzati oon 'conoscenza'di causa. Come,vedremo, è pos~ibile utilizzare questi strumenti del tutto elementari anche per eseguire dei calcoli i cui risultati non-appaiono esplicitamente nei tastt delle operazioni di cui essi sono capaQi: peresempioi come, vedremo, è possibi
· le calcolare anche lo radice cubica di un numero; con:\.m .procediQlento molto facile 'e ch~ ci porejstruttivo, ' · nell'ordine di idee ·èhe stiamo esponendo."
,.'. T'uttavlo gli, spunti' piÙ interessanti si ottengonO', .come , è comprensibile, .con i PCT di. secondo live.1l0, phe, co- .
. '" .me abbiamo detto, vengono presentatidoi'costruttorì ·spesso come «calcolatrici sCientifiche».. .
.: Cogliamo l'occasione per ossefva~e che la presenza . ',sul mercato di questi strumenti potrebbe permettere al
!'insegneinte 'di sfronqare in modo radicale 'il capftolo
.� . . '. richiamare qui una proced~ra abitualmènt~..chiama; :0 :...�
della trigonometria; abbiamo avuto occasioiìe ai e .� mere.rec:entemente il nostro .stupore nel'Qover consta�fare·eome,:. (lncòra"Q4èsto':vet\Jsto GapitòlQ di geome�
.,',trio elemer;'lfare.occupj cé.ntinaia dipogine oppure sia� · addirittura'òrgòmento di· ap·posi,ti .. v()l\Jfni, inuti·l,mente� poderosi., " .", , .' ',,<' ,'.,.�
Eno~tra opinione che la presenza di hùovi rf1e..Fi'di cçll�colo e dielaboràiione. d~i1'infor.mazionepos:sa. permet�terei di potare al mossimo quèsta.ed altre brànche .del�l'insegnam~mtòclassico delta m~tematiòanellescuore secondarie, Noi pensiamo inoltre che questa pota�tura possa per~ttere ai discenti di appr<;Dpriarsi con�
.. . sicurèàa dei èoricetti fondamentali della trigonome-, ~ trla, in 'mod9 tale dà sqpere 'utilizzare in moqp s~n~ato
, questa dottrind: infatti ci pare di p'oter dire che spes-. SO 'sotto la caterva di formule complica.f~r,j"Q'ememzZQ
· te 'senza entusiasmo e senia convinzione: i disèel')ti di> .menficavano ben volentieri la radIce e'la motivazione . . deile'forrnu'le stesse, e si trovdvanoi[ì·jmQarazzo,quan.. '.. :~, dodov.èvano applicarle nei.probiemi più ~.Ier:nentari, '.
3' - Nell";~rdi~~' di id~e in ~Ui d Sìd~~ ~9sti .v6ir~'m~0 '
, ta «pr()ce9ìmen~0?iiterdziòne~);c?m~ è.notol~ p,~:o-, ,'. la «iterazione» denva dal termlnelotlno.çhe.Slg~lflca, . «ripetizione», In questo caso specifico la parola signitl-. ca una ripètizion~di calcoli che si svolge come segue; . siadarisolvereun'èquazione"chesipossascr~vere(lel-Io forma: .;
(1) x = f(x)"
'essendo f(;) una fLJnzione di cl,Ji si sa calcol.an9 il valore in corrispo'ndenza ad un x che appartiene ad Un .op-· , portl:Jno'insieme, Allora, quando la funzione f(x) soddisfa a certe ipotesfdi cui diremo, il calcolo di un valore approssimate della radice dell'equazione (1) potrebbe 'essere esegljito nel mQdo seguente: ". . '. si partqda un' valore x(O) che, per qualche buonò ragione; si o.on~iderd.'com~ un valore approssimato qella radice cercata; si calcoli poi
x( 1) = f[x(O)),
,·poi
(3) x(2) '!= f[~( 1')],
· e così via, ponendo in generale:
(4) x(n+1) = f[x(n)] ,
Sotto certe condizioni, che esporremo in ~eg'\Jito sotto form9. elei1)entar.e geometrica, la successione:
(5) X(O); x( 1), x(2}, .. , x(n), ',,:
converge alla radice cercata. ' ..� t'insegnante òccorto e colto non lascerà. passare l'oc�casione per osservare che anche J'e'procedurememo�rizzate e codificate p~r il calcoto di certi irrazionali', per� esempio per il calcolo della. radice quàdrata, si ridu�cono sostanzialmente alla costruzion,e di ,certe succes�sioni di va'tori 9PprossimOti,.successÌ'(:ini che,si ottengo�no con la ripeti.zione di opportuni. tentativi, razionalmente predisposti. . ". ' .', . Sia per esempio dariso.!vere l'equèl't!ohe:····
, (6): ~.
3X - 47 ...= O,','::. ~,: .....
cioè sia da calcolare la radice cubica'di ifl, disponendo soltanto di un calcolatore di primo livello, Si può osservare chè .l'equazione. (6) può essere scritta nella forma seguente: , " '
x = )J47 * x;
, ,
3)
2) Uomo vitruviano di Leonardo da Vinci. Trasformazioni di 4) Variazione, trasformazione, di John Roy. Char/es Csuri.
Il :l ~(2 j)la~
~ .L:? .~ J~( I~ '~( ~( n
1� , -CJ -r:::r ,.-----."�'2 f-{ ,,(fl~ r\.~ I C'I�
('\,~ ['( l() fJ -L:( ,~ ~ ,�
rl f) lr::c ~G -~ ~ r\,~,
('( " j,(fl le:? ,r:-'; ...---.. , ('\l~~
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~
f::r� r= ...---=» cOfl I C'l ,{}fl f---:; .~
~n� f:( .~
,...L;J -~ - ..
3 4
'
. utilizzato nella istruzione 70 pE;:lr determ.inare lo possibi'" . .Jitò"o rnena,qEiIl.d prç)sBpuzi9.n~del-.cdl!:~x?>!o. '.
:,: j§j~~X70.:SejHViCIY.trovàtO':nel'sottoprq.gr.all)mo.è diverd~(' 'SOidéf:'~' ·cìò~.:$:e.:i çilj9:·ç6e.ffiCienti~A.E?B·1")00:~ODQ'primi
: tra -lòro;"sLr.jmçmdq<QII'Q.T'lntH\tio.,ohe.:reqt)à~ior\e .dgta'.: .. Oo~:'èhsoI0~lJe in .numeri.lr\t~d,.al)nuhci:Q ~~~ vien~qa::.~·.. .
:"... -<,...•; •.. ,.. ,.~ •. ~,;: fo éon Ib' iStr.tJziòne"·160. 'Altrimenti si. esploiqno, .cqme . ."",::.,.•.. ,".'".....::." '$ì-<~( d~~Q, ...tutti i.' nU"0eri'.c~e ,c'omp'~}~no al:.se?,ondo. ,'
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" ":. ~' ;·IStr:":1.30'.;A-rrèsta làprocedurd ql;.jè,uidQ"A'è:divJsorè çJel ,. ,~,:~··:.'.:;;Ql:Jm~rp:tfov'ot'6::Se'qu.E?stQhQn'è, fa Istr.j·50 fa riQo~ìn-:
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60 N=Y .' . 70 GOS"uB 160. 80 IF Z >1 GOTO, 120 90 Y=Y+l
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" " ': ~ J.' , :':, , '" "" ' ',.; . ,'.110. Gç>TCl: .0 èOMMENJO; È.data.l'eqùaii9n~:;' :;.':~r: '{~"'?;:f, <:;-'..'.' 120 ·Y=Y+l,�
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"~ ·sto proplema·vi~n~·~pesso Indlca-lG co;rne ~p~Obre~q,. , . .' 180'R =jv!_ Q*N; '> .di ana!ìsi'i r'!o'eterm1hqta di prirhO ..gr:O.dq);~ ..i3 f,u tra~ato .... '. ì90" ÌF, B~O' Gote)' 2]0 ,'.�
" 'metodì6òmeA·te;dCl LE(il?ro':. ,:;, .. , ~~'~~">' '/" '.... ,..iOOjv!=N. ., ':.: .. _� , :Si:v.èr:ifjeci:immediqfa~èrite'Ghe i'C:9~ffi~ient.i.·A,~B~e?<:: .. '210 }i~R •.�
bòno eS$ere, pri,r:nitreUoro., cinè 9r'e S(·~,~ve·a,\1~r!9;. ""'.: '22'0 'COTO 160' .� "': ..... '. '.'" .' ~':,', '.'~"'.""' ... "''.'', .;' .. " :"~ ":'.'., ':" '230'Z':'N','�
, (2), ~:,' '~" '.: '.•'. ,MC[)(A.:a)·.~ 'rr/~ ...... '.;;':. "', ::<';~':"":' ' 249~iURN .�
.. Si,dimo~tra p'a'i èhe la. condiziòne (2) è àn'9tie s~fficien~,.· COMMENTO, Avendo i~'dicato con X un intero natura- . te' perchè.esisto almef)'o una sOluzione; inoltre se una .IE;" in.dic6iamò. qui Con il simbolo' F(X) la. funzione che
.. 801'uiione èsiste,ne es'istonoirifihitè si osséNt;J· in(ottict'le . " torhisce il numero dei nùmeri naturali che sono minori , se'due interi~X·ed YsòddisfanQ>IQ,(1)~ allòrd: si. 'hci .dn~ '. di Xe.cne hann'o,MCD con Xuguale ad.1; in <;lltrepa
-: che; .qudi~;ch~.·sfa,Frnter(fK: ">'.-:' ',';,"~. '.. ~." . .' rolé: il numero ,dei naturali minori di X e primi con X,
. ,·.·t~J·.:::A.~,(X:~~ ~:*'i; ·~':1.<:; B·'*:CY.-h"rt:·~):\:·'··.'~ ,'.': ··<~t~~~:~·~61ò;,lo fun'zi6~~ suddetta è.stataintrodotta� .' ':'. ',:". '. ,.:,; ':. ";', '.:. ',.' ',..:' :'.:-:".~,' :'..d<:rEiJlerQ; 'essa può venir calcO'lqta'utilìzzan'do c.erte�
.' " Una.soluz}on~ GlellaJ1)rneIlC:.lpo~e~1 (2), puo e~ser~Ge.~~ .'. -'to'rmule che ·sfrUttano.la -decomposizione dì X in fattori� r' . cdt9pon, va.n proc~ql~entl/ ~UI sl:?ape~<~oto c~~ l0. ':'" primi... ".:':":.. ,~:.,.,., ',.'- c' . :. . .',�
. '., ,~olyzlone. ..~S)st~" ~Iq S"~E1rca, dqndp pl'? II)(?Ogr:ttq Y..: .. Qu'j il calcolq V-ieneeseguito con un procedimento dI"� " qenvolqn I~ten crescentlflnoçl cb~,§I-trov<?al ~~~0r.'d?, . r~ttQ, passando, in rivistah,lttiJ nUmeri naturàlL a parti.: fT1.embrQ della (1) un C1umero;Che E3:mujtlpl.o.çl.',A; . '. 're da 1 fiho ad X-1 .6alcoland0,jl MCD di Ciascuno�
'IStL. 20;30; Si intrO:dù.6'opo-':i co~ffide'r)ti qeH'i1(1}.. ·/' : ·éij';essi é'diX~etene~do il contO'di quei numeri per i� .lstr,:40,B;O: 191i coeffièientiv.enQono.introE:!etti:dnG.he:nel- ",: " quali· tàìe·'r\/'CD vClleJ. ,': . ,'; '. '.' .'.� . ·Ie' m~rnorie'f\1. èdN;-per poter: sfrutttlr~ Il:pr:ogra'n,ìma, ...,' F?r:eCisainente'; chioma-lo. Yun numero n,òtL!rqle minore�
, .. .I, q'l!osCOp9·pi· yerrfi~àreSe,!d. ?at'!dili!?tl~néCes;sqri,?.,·.çjjXlè6n:le·isfr~Ziof!J;5Q,60,7Q,si~ir,naÌìda'iI.calc.910 ~el ::- (2)·E?,soddlsfatta.> :' ..,: ',' ,;.'\ ... /. ..:.~.-:; " ., .. : .:.', ry1CD (ì.(Y) dlla subroutlne.rappre~e[ltatadalle Istruzlo�
.... ·Istr'; 60. Questé-istruiione rimanda aélÙn~~ottdpromam:;:··C •. 'ni da 160.0.240. Quihdi l'islru4iòne 80 Qecide di fare� , -mà, .ehe$ Scrittodo~ò1C1'fin~ d~I.:pr:9~lqrnh'làpre~e~2,;~.'::aume(ìtaredi:~n.auni:tà;il numèr6' K:che indica il nu�
.: '. · ..te~cioè 'dopo l'i::ìtruziòne.:.1.90:Un"~o'ltopt.(jg;i'Qr:nmò.cq-,.: .··mèfo dei nUll)eri Y.primi COI1X oPP\-l~(;9 di passore a,! , .. siffçittt.0·Vienèabjtuòlm.entechiòrpdtQ(~~tfbr9Y:tìnè» :r\~r ". ·h'umero S.l.p:::essivò'a seèondq çhè'~ia':MCD ,(x'Y)·::·1 op
, .' g,ergo informatico'di' cui sJ:.di~€lv:aç,. f··.,;;:·.. .• .. :. purè noTistruzione 40 ~a terr;ninareJl'calcolo quando. c'~. 'Si v.er.ificache lei~tr0~j'oni çla 200 CJc'26el del,.-sott.opro... · .. y hd raggiunto X. .".' .' .,.-: ,- ': . ". ". ' .
. ..' Qklmma'.coin.cidono coh'q\i$lle'da'~~20 a \8,0 d~f:p'r0: "':'.$j può. osservàre ,ch'e per po.s$ore, in ~~vista fL!~i !num.e~i·. .gr:òmma L ovvi?rr:i~n!e~.~e.noçlejn;Urn~rj.'che ..c:ori:- ..-:. eH ur:' in.siéme eSlst<;>no.procedurep!u.se,mpllcle rapl-trod~istiflgUono le.lstruzronLstesse.. . :. "',>'::" ' .. ·,.(jed1quellada nOI qUI adott?t?,procedure 9he son~ Istr,,270.. 1t MCD trova-to viene fndicato: ·é'on·Z~e-Ver(à~.. ~spòst!9 inJutti i ,buoni manuali dI programmqzlone, ,QUI • ,', ~ _ or .. ' .". .": -., :'.'_;.-.':~ " " "',_ ' • ;,c", '-,,c;':.,_,, >::'" :-':, .::.. .. "'~'. _ '. ,_;"' . . .. . ... _",0 •• l.
:: 'l ~ .. '.. .
, . . . ,r.. '. r , I~' '~', • ~
.' .. 99 REM' lNVBIN • • • v . ':" , : c',:, ';-.J~xJ~"O.·., .:'. .
'100 Im'UT "S="; S: .' 110'W';'S .' n~quàZi~Ae'd6t~;,fciJ~~mò .npot~~j ch~ l~ fu r7lzi9ne':f ~Cà
·� 120 N=O , 'cbntinuo'.in 'un ;ìnt.efvallO dòto, do :lìmifazibni'del. tip'o:"ÙO IF 101\N> W GOTO 210 .� . . . . ~~;.><.;<.' ~'.:" \: :l, ":'" ,.~.~ _.)'{ .,'. ~:~ r .•. ~~ •• ·, '.o"
.' i40' A=S/10� ': . ('5)' .....'. :.1 ~:;:...:' ':~: .,...: 'I? ~""A - '\'("" . B-: "J .~,. l"; .; ~" ,. '. . . . ,':' ... /"\ < /\, < . , i " . "i 150'B = IN'Ì'(A) -',' / ..\ . "".:: ~~ ~:.~.,~- ~:,.~.i;:",~;~~ ~l?~.~:..".. ::~.:~ ...... , " ~,::~.~>{;':.:.;.: ."_ ",~." ",':,~ ,
.... 160 C' = 10*B " e '~UPPQrrenio inòltr,è 'di ,aver,aécertaf<Ycne:'néU'jnter- '. ':' 170 b';s-c v6110' (QH·'èqÙ9·zjQne'(4j'hèi'-t.~O:a :s61,d ròdi'ge/~di Bo,6~··' 180 Y=Y+D*2I\}j . ·segtll?rfzo· .che Ib:Nhzi.òheJ:q~:q:Yista'v.a[0.rl. di. :segno, .. '.
· :190 S"B ", •� " o" .conJrc:lr~o,'OE?' ,etu$'B-sfr~JTli 'd~lnçilè.\vdl:lp::···.~:>.:,·· ..•.. ',' .
195 N=N+l.· . ' ..... ;In queste i"pòfe.si.laJicercò:'tàiibnale·di·!ìuove-.ìOforma-·" ·� 200 GOTO 130 .' .: ,>zlohi:·~f)~J~n.-!gli6·rir.io,:q.~e~I~,~bt~;ç!q~~é~t~1'.'phQ.~~·serE?'; , ·� 210 P!UNT':" ;INVBIN( IIWf~) :; "'1.11 / 1 . : ' ,.. ~SE?gl:Jlta;~llJì~Zzaf:'cj.g,.·rll::tterV91!o(eF:g'pP[~S.~htPto,: çJa , '220.END ':. 'qlJè.st~:qiqegWa9)jqozé;'oVYiam~nté':ih;~priq:gene.ipçr
" . " . " .;.'.',., ,; ;te,?.i.àmr.nesSèi.in:,UIJ9~ò.lÒ:Qérdue)~'ter:VòUF:par.zial:i:la· "~Q~~~NTO, S!yossono ri~àdir~ qUi. alsune;QsseryJ,-· •. ,.. ~g,~ql.ì:~,r:l~J4)(lVtOiJg,·s~(~r~cid!F~1·~ :qtJe~tQ;irit~rVa}l<? i,... z~onl gla fatte In· precedenzQ::. .... .~sor.a asS,unto.'·cQ,me 'rlt:lOV0. Jni~p1.oIJ.Qfn·'cul·sl~se.gulriQ, '. I$tr, 1.10, Il simbolo S, costituito da.uria s~ccessiòne d,i .•...'.Id ~iq.er.èò"l'0peT'ÒziQneJ:iOtht:{ess~re:·r.fp~}u1çdinc<J tra- '
. simboli «l.» e «O», viene introdotto in uri'osecqnda·me-. .. 'vareqh, intefv'aUb tt~v::ùL·'lùiìg~,e.~zç('Sia,:s,Gd(jjistoç$nte" .'� moria. perché, duraote il calçolo, esso'sarç) cambiato. . . . menté·piç·cò[ci n~l..q.Ùàtè":àt(.oYd.:k:i, rcièliÒè. ' .::: .Istr, da 140 a 170.11 simbolo Sviene trattato'come se. Questa·.proé~~ur-d~ r.i'pe.tlct'n:)9, sOJéJJbe''tiòppo'~rÒij<>~,. fosse quellp di un numero rappresentdto nella forma s'9 se~eseguitq rnpi)l;Jàl.ménfe~cl'è~·resa)iòssipile·bol:' decimale abituale. Le istrùzioni hanno lo scopo di iso- !'impiego Cii maçchine'pr;ograrririiqbilj; ,i' ':.-<.; ... " .'
.� ~ -' .....: :.; '.< .... :.'.";...;.., ..:: ~' .~;\
C--.... ............� .... " ~~:,:~:::":';:"'"i"'---....� ......,. .~ . . ~, '.
Fig. 2� A ,. f'" !T . 0.,. ...... f.~ "'.... .. ~ , ", o/y...........�
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};:';';3·':,,:;j'::r\;:4·;i;t;';i;~j(f;/f&;'i··"~:·'I?f:ji'}' .', ~~"'::". ·~~cdfl;qùelle·che.ç:c(d~vano:qJfiht,e,(nO "d,i '\Jn'Qltto: Essi ot:'··-;:~::)?J'rn'erG?~:Go$ì).fr\a~stlfu~{gt)?f~ol<i ~à'.··::::·:';'" ~ ,
i:.,~h;', ;"::;,R;~~~~io/~t;t~\t;1:~;: , " ~g ~~(~~~~ /.~~9 QO '? . Vql:ote'ph:c:p diJfe.,r.isq$'.... p.ef §ièè~s6, 901 valore di Pi. per' ,~ ~.b .p~ ,SQR(B*C;)�"': ',' . meno di·O'02\·. . :"'f.;, .,:-:; .. ' .... .... .,' ," . 90A":(:,'·., '.: -, "� ._~. '. ,.~ No·i.eSP9rr~m6 q0i': pe,rìl~aJc~lo.di ·YOlorl-dPprossimq-.'~·.·~ 100 ·i=D ".-" ...:' :'.' .-: '� ~; .. ':'.ti ·Oi. Pi; 'un~e proceetu'rg çhè:·'l:i~,tiè~pès·so. chiemata' :.. 110 N=N+io. ,,:., .' . ': '� ., ... '. "i(M~todo dègli ·i~0p~~lrnetfl.»! è·:cbe qlCùAi Sfot,iCi "qttri> . '. '120 :GOTO"60 ...., , ..� . . bulscç)no'~1 Cdrp!~q[~;:~i?9PJ8>P'~ :qu~9·.~~~.§tQ.pr9-;:-: ~J.9 PÙNT-4iJi·-:~I.<pi';<· tI 4jC.�
ç~dura.mlrq q. stl.ll10re,,ti r~ggJ.q·9r Una'CLI'C0.QfwenzQ:_· '140 ~END.-' '� .:'QheaQl;Dia ùnq l.ùnQ.be,~id-ass$~inQtQ;'~cGiòf9hQdÒdosi·· ... ' ,. .'�..
"'. :. .sull~.(el<:~ì?iQ~i ch~ le·Qàno:i~r;oQ~i,~:~J.rap9temJ.dj·(j~e;.~. I ~d1o'H dr'pari~r)za sì'riferiscono pd UQ quadrato circo:~ ~.. potlgo.nlr~Qol.afl ..cM.~ Ijqn.~o ~lo.~te,~s9'peqf,n~~r9i ~:I t,j- '.' 'scrItto ad uri cerchio dj raggio unitmiò. Quindi il primo~' .::: : no gel·.q~,alt O~,~lq,1.1;:.n:u~~·fG·dl;l€!fl;d?p!?!O ,d,~!! 9.ftr9· .-, .': valore de,Ii'OPQte.ma è 1, e~ il' primo valore del raggio2· ..' A<;:l,~~sto.pròl!>o~lto..§~ çllrn?~tro·f<pç~.lrnent~çlìe.~ d9!~H;m - . ·é .\1'2;. il perimetro del poligònoè ovviamente .. 8: ~,. '.' poligono re..@olore:çlw latl;'msontt0 {n'.un c~roh,o .dl ''I:'ag"· . :' . .'. -. . .' .,.. . . ". "~,,'. gio r, :~d'fndlc6to 9bÌ:)~'Òifs.u6.·dpQf~;r:n.6; :WpoliQQr)'qre: . . .. !I progr.arT)m,? olle~ato_~on r1?hl~de~ommentl, e, pe.r ..', :: 'golare di 2n·loti.che,ho'lo'stesso perimetm ha un·.apo- ès~r:nPlo,. facendo M - 15 St ottiene.· '., Jemaa'c;he·è;ddtodò:-·····' .,.,:.... ':. :""". ),., .... ".'. ..} . .' .... '
. ~:: ',.", ::, "":>:'~_':;;:;~'.." -.:>.>'..... :.' 0:•.: • :.: .·,·(7~, :..'~ •. ·3}4159:2?53·< ~i~< 3.,'1t:t1592654. .' (2)····:'····... ··,' '.d'·::I.'(o+r)/2· .. ·.';, ,.', - . ,:", .. '.' .: " ·.t:;> ':',;.:,~';':' ..:'":-:''' "<;:'. :.~:,:«~ ".' ", ,.~ .. '. .':;.~. ': .::"'.' .. .1 risultati'dei' calcoli vanno valutati tenendo conto' del ed·è ins,critto,:ir).\.JJ) ç~rçbk) il.:éui. raggip'( e. ç;loto oa;' . ,nlJmero cii citre.con cui 'lavorQ la macchina di'cui si di
, . :"; • . 'v ..' .... .' - '';'' ,. ", '.; 'spone;'eterréndQ anche conto degli eventuali arroton(3) . '.. ',' .O'" ~·:·l··=-IJ(à'., "~.., ';.' .' "d'a~~nti.che-la.' inacchina .esegue sl,li d~.~ltq·ti. ..'; .<'v'
. . :' ',' .. '. ~ '" " . '." -"." ',' :.. . ; AltrI' programmi'potranno essere costrUiti dag.1I Inse. " .. Q.\J~te relqzi.0rij;·§Ù6~€f~f.)0·.S~:éon~içjerdZi6l)r:dfgeo~' .,~ Qrtélnti,~e!~f:~n:pio.<;alcolandodire~.ament~dei va.:.: m'etriCr ele,rnentare,.ché illatto.re po!ra sv.olgere· fQ~U- '.' !Qr!:app.r~~~I,:,?t~ '?ell area .del cerchiO, seguendo re .: mente partE:?Rd6.dbllò figpra anne,ssa; in. q~ést<::fSi.tìa· .,'.. I?~e d~gIlEg!zlanlch.e abblam? esposto' sopra, ~ pro: - (cff. Tir;;. 3):'-" ... ,-,':.. ": '. ,' ..,.'... :'" ':"_ .' ...',. )ttt<;:Jndo d~1 ~<:,~o ?he I~ macchme per':l:ettonodl.es~-
. .. ..' ",i'.~ ~",.' . ". -gUlfe molt,rsslml calcoli In un tempo breve, oppure SVI"v'
(4) " ',.;' OC:.d. r;' OG .=i' à ' ~ .,,' .luppandç>.le''1dee'di Archimede, idee ~he pure si ba'. "1:' .' .::.' .... " -. •. ," '. 'sapQ:supro.c~dure çlr geometria elefn~ntareé condu
ed AB è il loto aeJ- pòÙg~:)RO :di n10.11. '/nc;lire s:i hc;:é -.' "" cono aqdpp(o~$imarelo lunghezza .d~lla circon'feren..... '. '.';' .. '.>, . .",,'~"" +:- :;," ',' za ç:fj dato r'Qggiocon i perimetri di unç:quccessione (5)� " ,'. '."'. QA:;':,OB 'f:::"'OC":;"r: . :'. ~.-.'/.; ,di poligonUég6lari'insérifti e circoscritti, raddoppian. . -'.' ÀD'::FDO = èE ~ E,B:'" .~ :::',>.;~ .,... .~C? ad ogni'p9?'~0 il' numero dei lati de.I poligonQ con
. -"< - .'. .',. ,'...•, " slderQto '. .
DE èJI 'latod~l' Po;'ìQbnot.~g~io:r~<~di~2~· :ì~tj~6~' h~ ;10 '. .....: ,_ ...: '. '.. " ..... .'. ,';.,.. .. stesso' pèrimE?tro di gLieH6.àhE;i: lid cqm~~I~t9'A~; ~<tè ..5:~. Cip ç~e ~b~.I~mo. eSf?osio ·fl.noTO ·~?~!ttlJ~sc.e, soltanchiaramente,:'" ,Y. '.' '-, ,.:. ".- ...,.,: ;' :.". ' ..• ,' . to ~f)q s.camq InSieme d~ spunti dldat:ttcl, diretti a sug
: . _ 1 .- ,'. . ••• ; >,'. "', , '.<." ,: ,. ;':\\;'. ':.': -. '. ",'C;:. F g~rrre ai:doé~r)th:-ln.impìeg9ir.tt~lJi.ge[),te ed-autonomo :.' '(6)' .' ',' ".' <PD··;;.-('; ','OF'~ ,ci.~. ';,,~'.",:'-::' ,~: >/:'. ~ 'l' ';: ..1;;,' ·,der n.uòvi ~rr~mf?nti·d.i 'calcot9-' Ripeti'am'o.qui che a no~:}. . '" ", ," ...: ~.. ;,' "'.;/' ".'" , " .•.. >"::.;' ..,.. ;,.-.:: ::',;. ,:'-;;.'. >.. ~sfro PQr,ére9gn,i ~forz6, dOVore.btJ,e ès'$~rè.,faf:t9 per evi.: ":,;'lIcqìlcolo'puÒ"owiOrTlè'nfe e.ssere.ripètufàpaité,~dod6i ;: ·· .. tdre.:che,questo inipiegq djvehti<préh;~sto,perpigrizia ~: ~~'fluovi V91òti d~1 raggio e ct~lI!qp'otemd,.:.: :: ..... ~ :',f~: " n:~htàle ·e'.pérd!.pengenzo·iiltellet!(.(Ole, eper confe"; ·.l'ann~sso,prqgrqmriia·ripeteil cqlcolo per'un'numero ..... rire invece all'inségnamentò~dellamatematica quel
.,~' stabilito M dkVolte,. ~ . < ... ',o, .... :'.: ,1<'1 dimér\,sionè formativa che; a· n'OstrO. parere, è il suo';.' '. ':...
. ' .,. -:.' ;: ',' .. '::~~' .. :, '. '", aspèftp:·piO importante (Ocirlo Feli~e Manara, Ordi' +O~M.;PIGR4 '.' , ". . . ' :~ : ~ . pàrio .di Jsf·ifuzioni di Geomefrìa sUpe.riòre.; Universifà di Mì' .20 INP,uT ',./ M-= 11 ;.~ : . '. . ..•. '.' • "'9'n?),.. . . .
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