schema equazioni e disequazioni esponenziali 1 · 2017-11-13 · microsoft word - schema equazioni...
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione di potenza: !"!#$ …
volten
n aaaa ⋅⋅=
a base n esponente na potenza Proprietà delle potenze: +ℜ∈ba, 10 =a ; aa =1 ; 11 =n ; 00 =n 0≠n ; 1) nmnm aaa +=⋅ 3) ( )mmm baba ⋅=⋅
2) nmn
ma
aa −= 4)
n
n
n
ba
ba
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
5) ( ) nmnm aa ⋅=
6) n
nn
aaa ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛==− 11 Es:
22
34
43
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
7) n mnm
aa = , 0Nn∈ Es: 53
5 3 aa =
8) n m
nm
nm
aa
a 11==
−, 0Nn∈
Definizione di funzione esponenziale Una funzione si dice esponenziale se l’incognita compare all’esponente:
xaxf →: , con { }10 −ℜ∈ +a Tale funzione assume valori reali ℜ∈∀x , Esempio: xay = , 10 << a
x
y ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=21
Def di funzione decrescente 21
21xx aaxx >⇒< (cambia
il verso)
Esempio: xay = , base 1>a
xy 2= Def di funzione crescente
2121
xx aaxx <⇒< (si mantiene il verso)
Tutte le funzioni esponenziali passano dal punti (0; 1)
EQUAZIONI ESPONENZIALI (l’incognita è all’esponente)
1° Caso
)()()()( xgxfaa xgxf =⇒= Esempio:
162 =x 422 =x ⇒ 4=x 162 −=x impossibile 02 =x impossibile
⇒=⇒=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 4221621 x
x
4−=x
2° Caso
0)()()( =⇒= xfba xfxf Infatti se divido ambo i membri per
)(xfb
0)(10)()(
=⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ xfba
ba
ba xfxf
Esempio:
43
34012152 −⋅=+
⋅ xx
43409152 −⋅=⋅ x
x
Isoliamo la x al primo membro:
159340
159
9152 4 ⋅⋅=⋅⋅ −x
x
43382 −⋅⋅= xx 43
3322 −⋅= xx
33 32 −− = xx
1321
32 3
3
3=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒=⇒
−
−
− x
x
x
⇒=−⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
0332
32 03
xx
3=x
3° Caso Somma di potenze con la stessa
base Esempio:
7222 21 =++ −− xxx 722222 21 =⋅+⋅+ −− xxx
7412
2122 =⋅+⋅+ xxx
741
2112 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++x
7472 =⋅x
7472 ⋅=⇒ x
⇒=⇒=⇒ 22242 xx 2=x
4° Caso Somma di potenze con diversa base
Esempio: 232379 ⋅=⋅− xx
0183732 =−⋅− xx
Si pone yx =3 223 yx =⇒
01872 =−− yy
21217
272497 ±
=+±
=y
92117
1 =+
=y 22117
2 −=−
=y
Quindi andando a sostituire in yx =3 :
93 =x ⇒= 233x 2=x
23 −=x impossibile Casi particolari: 3! = 0 Impossibile 2! = −1 Impossibile, questo vale anche per le basi comprese tra 0 e 1.
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Si hanno gli stessi casi 1, 2, 3, 4 delle equazioni esponenziali con la seguente REGOLA: Se le basi sono maggiori di uno si ottiene una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti.(Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è crescente) Se le basi sono comprese tra 0 e 1 si ottiene una disequazione di verso contrario tra gli esponenti. (Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è decrescente)
Esempio: base maggiore di 1
255255 2 <⇒<⇒< xxx Il verso rimane lo stesso
Esempio: base compresa tra 0 e 1
521
21
321
21 5
>⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒<⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ xxx
Si inverte il verso della disequazione
Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: 1. 273 =x { }3=S 2. 825 3 ⋅=+ xx { }3−=S 3. 31333 121 =++ +−− xxx { }2=S
4. 1022 13 =+ +− xx { }0=S
Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:
1. 273 >x { }3>= xS
2. 3221
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛x
{ }5−>= xS
3. 825 3 ⋅<+ xx { }3−<= xS
4. 31333 121 >++ +−− xxx { }2>= xS