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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Flächentragwerke – WS 2014/2015
4. Schalen
4.1 Einführung
4.1.1 Allgemeines
4.1.2 Aufteilung der Schalen
4.1.3 Rotationsschalen
4.1.4 Translationsschalen
4.1.5 Regelschalen
4.1.6 Gleichungen für einige Schalenformen
4.1.7 Andere Schalenformen
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
4.1.1 Allgemeines
Vorteile:
➢Optimale Konstruktionsform
➢Hohe Tragfähigkeit
➢Günstiges Tragverhalten
➢Minimaler Materialeinsatz
➢Geringes Gewicht (leicht)
➢Ästhetisch reizvoll
Nachteile:
➢Aufwendige statische Berechnungen
➢Komplizierte Herstellung bzw. Fertigung
➢Stabilitätsprobleme (Beulen)
➢Empfindlich gegen Imperfektionen
Schalen sind dünnwandige und gekrümmte Flächentragwerke.
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Vorbilder aus der Natur
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Vorbilder aus der Natur
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Vorbilder aus der Natur
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Schalen
Rotationsschalen
Translationsschalen
Regelschalen
4.1.2 Aufteilung der Schalen
Aufteilung nach der
Entstehung
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Schalen
Membrantheorie
(Membranspannungszusatnd)
Biegetheorie
(Biegespannungszustand)
Behältertheorie
4.1.2 Aufteilung der Schalen
Aufteilung nach dem
Spannungszustand
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Aufteilung nach der
Krümmung
4.1.2 Aufteilung der Schalen
1
2
1 1
1
2 2
2
1 2
1 2
: 1. Hauptkrümmungsradius
: 2. Hauptkrümmungsradius
1: = 1. Hauptkrümmung
1: = 2. Hauptkrümmung
1: = GAUSSsches Krümmungsmaß
r
r
r
r
K Kr r
=
Einfach gekrümmt
K=0
Doppelt gekrümmt
K>0
1r2r
1r
2r
2r1r =
Doppelt gekrümmt
K<0
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Schalen
Einfach gekrümmte
Schalen
K=0:Parabolische
Fläche
Doppelt gekrümmte
Schalen
K>0: Elliptische
Fläche
K<0:Hyperbolische
Fläche
4.1.2 Aufteilung der Schalen
Aufteilung nach der
Krümmung
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4.1.2 Aufteilung der Schalen
http://de.wikipedia.org/wiki/Schale_(Technische_Mechanik)
K=0
➢Abwickelbare Fläche
➢Lastabtragung durch
Membranwirkung (Dehnung)
und Biegung
➢Nicht so steif wie bei K>0
K>0
➢Buckelfläche
➢Nicht abwickelbar
➢Lastabtragung durch
Membranwirkung
➢Sehr steif
K<0
➢Sattelfläche
➢Nicht abwickelbar
➢Lastabtragung durch
Dehnung und Biegung
➢Nicht so steif wie bei
K>0
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4.1.3 Rotationsschalen
Rotationsschalen entstehen durch
die Drehung einer glatten Kurve um
die Rotationsachse!
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4.1.3 Rotationsschalen
RotationsachseMeridianlinie
Breitenkreislinie
Erzeugende
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsfläche
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http://de.wikipedia.org/wiki/RotationskörperHeinle, E. Und Schlaich, J.: Kuppeln aller
Zeiten - aller Kulturen, Deutsche Verlags-
Anstalt, Stuttgart 1996.
4.1.3 Rotationsschalen
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Erzeugende
Erzeugende
Erzeugende
Zylinderschale Kegelschale
4.1.3 Rotationsschalen
http://www.mathcurve.com/surfaces/conedere
volution/conederevolution.shtml
http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_
(Geometrie)
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http://www.allcontainer.de/leistungen/
spezialcontainer/tankcontainer
4.1.3 Rotationsschalen
http://www.triag-
ing.eu/projekteexamples/strukturenberechnen/
indexframesprojstrukturen.html
http://www.bvs-bw.com/on-
tour/lengfurtmain-klinker-silo/
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Das Baptisterium in Pisa mit seinem kreisrunden Zentralraum wurde 1152 begonnen. Die
oberen Teile und die äußere Kuppel wurden erst im 13. und 14. Jahrhundert ergänzt. An
das die Laterne tragende Konusgewölbe lehnt sich eine äußere Kegelschale an.
Quelle: Heinle, E./Schlaich, J.: Kuppeln aller Zeiten - aller Kulturen, Deutsche Verlags-
Anstalt, Stuttgart 1996, Seite 82.
4.1.3 Rotationsschalen
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://www.triag-
ing.eu/projekteexamples/strukturenbe
rechnen/indexframesprojstrukturen.ht
ml
4.1.3 Rotationsschalen
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Kugelschale Torusschale
4.1.3 Rotationsschalen
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsflächehttp://www.mathcurve.com/surfaces/sphere/sp
here.shtml
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://www.phoxim.de/forum/index.php?
topic=1445.0
http://www.triag-
ing.eu/projekteexamples/strukturenberechnen/in
dexframesprojstrukturen.html
4.1.3 Rotationsschalen
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://tecnisysteminstitute.com/de/refinery-systems.asp
4.1.3 Rotationsschalen
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Ellipsoidschale Ellipsoidschale
4.1.3 Rotationsschalen
http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Heinle, E. Und Schlaich, J.: Kuppeln aller Zeiten - aller Kulturen, Deutsche Verlags-
Anstalt, Stuttgart 1996.
4.1.3 Rotationsschalen
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
4.1.3 Rotationsschalen
http://www.mathcurve.com/surfaces/revolution/revolution.shtml
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Paraboloidschale
4.1.3 Rotationsschalen
http://www.mathcurve.com/surfaces/revolution/
revolution.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid
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Einschalige Hyperboloidschale Zweischalige Hyperboloidschale
4.1.3 Rotationsschalen
http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://de.wikipedia.org/
4.1.3 Rotationsschalen
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://www.heise.de/tp/artikel/30/30247/1.html#30247_17
4.1.3 Rotationsschalen
Bild: University of Arizona
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Translationsschalen entstehen durch
die Parallelverschiebung einer glatten
Kurve (Erzeugende) entlang einer
zweiten Kurve (Leitlinie)!
4.1.4 Translationsschalen
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
4.1.4 Translationsschalen
Erzeugende
Leitlinie
http://www.mathcurve.com/surfaces/translation/translation.shtml
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Quelle: H. Engel (1997). Tragsysteme / Structure Systems. Ostfilden-Ruit,
Deutschland: Verlag Gerd Hatje. ISBN: 3-7757-0709-9.
Leitlinie
Erzeugende
Tonnenschale
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
PAUSA Tonnenhalle zur Stadtbücherei Mössingen (http://www.akbw.de/)
Tonnenschale
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://www.textilbeton-aachen.de/anwendungen/tragsysteme/flaechige-systeme-mehrfach-
verformt/kugelschale-segmentiert/
Kugelkappe
Leitlinie
Erzeugende
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid
http://www.mathcurve.com/surfaces/translation/translation.shtml
Hyparschale
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Translationsschalen: Weitere Beispiele
http://www.mathcurve.com/
surfaces/paraboloidelliptic/
paraboloidelliptic.shtmlhttp://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)
Kreiszylinderschale
Parabolische
Zylinderschale
Hyperbolische
Zylinderschale
Elliptische
Paraboloidschale
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
4.1.5 Regelschalen
Regelschalen entstehen durch die
Bewegung einer Geraden
(Erzeugende) längs einer Kurve
(Leitlinie) im Raum!
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://www.mathematikwelt2.de/
anschauliche-mathematik.html
http://de.wikipedia.org/wiki/
Zylinder_(Geometrie)
Regelschalen: Weitere Beispiele
Kreiszylinder
Elliptische
ZylinderElliptische
KegelParabolische
Zylinder
Hyperbolische
Zylinder
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Hyperboloidschale
http://www.mathcurve.com/
surfaces/hyperboloid/hyper
boloid1.shtml
http://de.wikipedia.org/wi
ki/Hyperboloid
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
http://www.surynkova.info/Picasa-
galerie/Galerie-
3Dmodely/Surfaces/index.html
Hyperbolische Paraboloidschale (Hyparschale)
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Hyperbolische Paraboloidschale (Hyparschale)
http://de.wikipedia.org/wiki/Paraboloid
Windschiefe Hyparschale
(Parabeln + Geraden)
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Warszawa Ochota railway station
http://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid
1. Leitlinie
2. LeitlinieErzeugende
http://www.mathcurve.com/surfaces/translation/translation.shtml
Hyperbolische Paraboloidschale (Hyparschale)
Windschiefe Hyparschale
(Geraden)
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http://mdg.vsb.cz/jdolezal/DgFAST/http://www.grg21oe.at/mathe_
geom/Kurs/regelflaechen.htm
1. Leitlinie
2. Leitlinie
Erzeugende
Erzeugende1. Leitlinie
2. Leitlinie
Konoidschale
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http://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik
4.1.6 Gleichungen für einige Schalenformen
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http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/analytical+geometry
Mathematische Gleichungen einiger Schalenformen
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4.1.7 Andere Schalenformen: Gitterschalen
http://www.sbp.de/de/build/show/1694-
Yas_Hotel
http://afasiaarq.blogspot.com/2010/1
2/studio-ltd.html
http://www.dbz.de/artikel/bildpo
pup_1022381.html?image=0
http://structurae.de/bauwerke/riesent
ropenhalle-gondwanaland
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Andere Schalenformen: Membrantragwerke
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensile_structurehttp://www.mero.de/index.php/bausysteme/
bausysteme-referenzen/membrantragwerke