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Scattering in Meccanica Quantistica
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Fabrizio Bianchi 2
Sommario
• Trattazione indipendente dal tempo dello scattering
• Sviluppo in onde parziali
• Teorema ottico
• Regola d’oro e scattering
• Esempio: potenziale di Yukawa
• Scattering elastico ed anelastico
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Fabrizio Bianchi 3
Formule Utili
12
4)(cos)(cos
2
2cos
cos
cos
'
4 '
ldPP
i
eesenx
eex
isenxxe
isenxxe
llll
ixix
ixix
ix
ix
Formule di Eulero
Ortonormalita’ dei Polinomi di Legendre
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Fabrizio Bianchi 4
Scattering in MQ
• Diversi modi di descrivere i processi di collisione/decadimento:
• Modo indipendente dal tempo– Descrizione in termini di stati di scattering, analoghi a
quelli stazionari– Soluzione dell’equazione di Schroedinger, sviluppo in
onde parziali
• Modo dipendente dal tempo– Descrizione in termini di evoluzione temporale– Applicazione della regola d’oro
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Fabrizio Bianchi 5
Trattazione Indipendente dal Tempo (1)
• Diffusione di una particella da un potenziale di range finito.– A grande distanza gli stati asintotici saranno stati di particella libera.
• Fascio incidente ha direzione e momento ben definiti: onda piana progressiva lungo l’asse z: eikz
• Scattering elastico: cambiamento di direzione della particella incidente conservando l’energia.
• Fascio diffuso non ha una direzione particolare, ma conserva il modulo del momento del fascio incidente. Puo’ essere rappresentato da un’onda sferica uscente dal centro di diffusione: eikr/r
• Soluzione dell’equazione di Schroedinger sara’ una combinazione lineare dell’onda incidente e quella diffusa:
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Fabrizio Bianchi 6
Trattazione Indipendente dal Tempo (2)
• f(q) Ampiezza di Scattering, [L]
• Probabilita’ per unita’ di tempo che la particella diffonda nell’elemento di superficie dS=r2dW e’ dato dal flusso per dS (ossia |Y|2 per la velocita’ v per dS):
• Dividendo per v (flusso onda incidente) si ha la sezione d’urto differenziale:
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Fabrizio Bianchi 7
Sviluppo in Onde Parziali (1)• Soluzione generale dell’equazione di Schroedinger in
potenziale centrale, richiedendo simmetria assiale attorno all’asse z (direzione particelle incidenti):
• Pl sono i polinomi di Legendre. Le funzioni radiali Rl sono soluzioni dell’eq. radiale:
• Per kr>>1, hanno la forma asintotica:
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Fabrizio Bianchi 8
Sviluppo in Onde Parziali (2)• Lo sviluppo della slide 6 corrisponde ad analizzare lo stato di
scattering in autostali del momento angolare L. Possiamo scrivere:
• Un onda piana, nel limite asintotico si puo’ scrivere come:
• D’altro canto dall’espressione di Y della slide 4:ikz
ikr
er
ef )(
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Fabrizio Bianchi 9
Sviluppo in Onde Parziali (3)• Quindi:
1)(cos)12(2
11)(cos)12(
2)(
1)(cos)12(2
)(cos)12(2
)(cos)12(2
)(cos)12(2
)(cos)12(2
)(cos)12(2
)(
)(cos)12(2
)(cos)12(2
)(
222
2)2
(
)2
()2
(2)2
()2
(
)2
()2
(2)2
()2
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)2
()2
()2
()2
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ll
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ilikr
lkrilkri
ll
llkrilkri
ll
l
ikr
ePlik
eePlik
if
eePlikr
i
eeeeePlikr
i
eePlikr
ieeePli
kr
i
eePlikr
ieeeePlei
kr
i
r
ef
eePlikr
ieePlA
kr
i
r
ef
• Ponendo Al=iledl
• Da cui:
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Fabrizio Bianchi 10
Sviluppo in Onde Parziali (4)• L’ampiezza di scattering e’ completamente determinata dagli
sfasamenti dl, a loro volta determinati dal potenziale.
• Il processo di scattering e’ descritto da un insieme (in principio infinito) di ampiezze parziali ognuna corrispondente ad un particolare valore di l. L’ampiezza l-esima e’ data da:
• La sezione d’urto totale :
• diventa, sfruttando la relazione di ortonormalita’ dei polinomi di Legendre,:
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Fabrizio Bianchi 11
Sviluppo in Onde Parziali (5)Poiche’:
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Fabrizio Bianchi 12
Regola d’Oro e Scattering (1)
Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:
Stati iniziale e finale: Onde piane
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Fabrizio Bianchi 13
Regola d’Oro e Scattering (2)
• Caso di diffusione elastica da un potenziale fisso
• Sezione d’urto differenziale:
• Eventualmente: Generalizzazione– Numeratore– Prob. di trans./Unita' di ang. solido, Energia, ..., Unita' di tempo
• Es. Onde piane con direzione entro dW a ( ,q f)
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Regola d’Oro e Scattering (3)
Probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati del continuo:
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Regola d’Oro e Scattering (4)
Esempio: scattering elastico:
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Fabrizio Bianchi 16
Regola d’Oro e Scattering (5)
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Fabrizio Bianchi 17
Esempio: Potenziale di Yukawa (1)
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Esempio: Potenziale di Yukawa (2)
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Fabrizio Bianchi 19
Esempio: Potenziale di Yukawa (3)
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Fabrizio Bianchi 20
Scattering fra Particelle
• Esempio considerato: interazione particella – potenziale
• Esempi piu’ realistici: interazione particella – particella
• Regole generali per collisioni non relativistiche:
• Conservazione/Non conservazione energia cinetica totale– Scattering elastico/anelastico
• Conservazione quantita’ di moto totale
• Conservazione mom. angolare totale:– Scattering: Stati iniziale e finale non hanno di solito mom.
angolare definito– Decadimenti: Stati iniziale e finale hanno mom. angolare definito
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Fabrizio Bianchi 21
Scattering Elastico vs Anelastico
• Per collisioni e decadimenti in approssimazione non relativistica
• Scattering elastico:– Lo stato interno di proiettile e bersaglio restano invariati nella
collisione– Conservazione della massa– Conservazione dell’energia totale (cinetica)– Conservazione della quantita’ di moto totale
• Scattering anelastico:– Lo stato interno di proiettile e/o bersaglio cambia nella collisione– Conservazione della massa– Conservazione dell’energia totale (cinetica+potenziale)– Conservazione della quantita’ di moto totale