scambi fra donatori di reni: modellizzazione e mechanism design
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Scambi fra Scambi fra donatori di reni:donatori di reni:
Scambi fra Scambi fra donatori di reni:donatori di reni:
modellizzazione e “mechanism modellizzazione e “mechanism design”design”
modellizzazione e “mechanism modellizzazione e “mechanism design”design”
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Liste d’attesa per un Liste d’attesa per un trapianto di renetrapianto di rene
al 31 dicembre 2005:al 31 dicembre 2005:• Iscritti: 6362• Tempo media d’attesa: 2,99 anni• Percentuale mortalità: 1,52%
Trapianti di rene nel Trapianti di rene nel 20052005
• 1662 interventi
• 75 da donatore vivente
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0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
2002 2003 2004 2005
rene
fegato
cuore
Liste d’attesa Liste d’attesa rene – fegato - cuorerene – fegato - cuore
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Idea alla base del lavoro:Idea alla base del lavoro:• Implementare scambi tra coppie
donatore-paziente tra di loro non compatibili
Paziente1Paziente1 Paziente2Paziente2
Donatore2Donatore2
Donatore1Donatore1
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Semplificazioni al Semplificazioni al problema:problema:
• Scambi tra coppie
• Modello statunitense: compatibilità 0-1
• N = {1,2,…,n} insieme di pazienti
• Di donatori per il paziente i
• A insieme dei matching
• R insieme dei preordini degli elementi di N sull’insieme A
Modellizzazione del Modellizzazione del problema:problema:
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Matching in A:Matching in A:
il paziente i non viene associato
i viene associato a j, se c’è compatibilitàavverrà lo scambio
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• Consideriamo:
•Le preferenze di i sono:
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Consideriamo:Consideriamo:
Pareto-efficienti: massimali
scambio tra i e j
il paziente i non riceve un rene
Razionalità individuale:
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Implementiamo la “social choice rule”:
attraverso il attraverso il meccanismo di prioritàmeccanismo di priorità
Ordine di priorità: permutazione dei pazienti in modo che il k-esimo giocatore abbia la k-esima priorità
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Meccanismo di priorità
Consideriamo un ordine di priorità (1,2,…,n) sui pazienti
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Definendo la game form attraverso il meccanismo di priorità, una strategia
dominante consiste nel:
• dichiarare come accettabile l’intero insieme di giocatori;
• dichiarare interamente il proprio insieme di donatori
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Decomposizione di Gallai-Edmonds
Underdemanded patients:
Overdemanded patients:
Perfectly matched patients:
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Esempio di gioco:
33
44
66 16161515
1414
1212
111110108877
22
99
1313
55
11
OverdemandedOverdemanded
Underdemanded:Underdemanded: 2,1\NN U
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• Lotteria: distribuzione di probabilità sull’insieme dei matching
• Meccanismo stocastico: procedura sistematica che seleziona una lotteria
Meccanismo egualitarioMeccanismo egualitario
• Matrice di allocazione: riassume la probabilità che i sia associato con j
• Profilo di utilità: :
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• Chiamiamo D l’insieme delle componenti dispari tra gli underdemanded patients, riordinate in ordine decrescente di priorità
• Consideriamo:Definiamo l’insieme dei vicini di in I:
• Per ogni definiamo
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Partizioniamo in e in
nel seguente modo:
Passo 1:
Passo k:
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Costruiamo nel modo seguente:
Profilo di utilità egualitarioProfilo di utilità egualitario
Il profilo di utilità egualitario è fattibile.
Nel nostro esempio:
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Esempio di gioco:
33
44
66 16161515
1414
1212
111110108877
22
99
1313
55
11
OverdemandedOverdemanded
Underdemanded:Underdemanded: 2,1\NN U
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Dominanza secondo LorenzDominanza secondo LorenzRiordiniamo il vettore in ordine crescente
Diciamo che il profilo di utilità egualitario domina secondo Lorenz ogni altro profilo di utilità fattibile, cioè che
per ogni v profilo di utilità fattibile ordinato in ordine crescente
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Curva di LorenzPer una popolazione di cardinalità n, alla quale viene attribuita una sequenza di valori
in ordine crescente, la curva di Lorenz è la poligonale che congiunge dove
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Per il nostro esempio:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
% of households
% o
f in
com
e
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Indice di Gini
L’indice di Gini per il nostro problema è quindi dell’ 8,85%
Coefficiente di Gini:
Nel nostro esempio: