sca4622 météorologie dynamique julie m....
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SCA4622Météorologie dynamique
Julie M. Thériault
Université du Québec à MontréalHiver 2016
Table des matières
Introduction 1
1 Revue mathématique 41.1 Manipulation de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Addition, soustraction et multiplication de vecteurs . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Dérivée de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Opérateur nabla (∇) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Approximation d’une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Dérivée totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Cinématique de champs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Les forces 192.1 Forces fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Force de gradient de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Force gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Force de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Forces apparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Force centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Force de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Équations Navier-Stokes 333.1 Distribution de la masse dans l’atmosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Équation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Équation hypsométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1 Référentiel inertiel et référentiel en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Équations du mouvement en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Équilibre géostrophique et hydrostatique (3.39) . . . . . . . . . . . . . . . 48
i
3.2.4 Vent agéostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.5 Nombre de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Applications de l’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.1 Coordonnée verticale de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.2 Vent géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.3 Vent thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.4 Écoulement courbé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.5 Vent géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.6 Vent cyclostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.7 Vent gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.1 Analyse de l’équation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Le tourbillon 864.1 Théorème de la circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.1 Changement de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Définition du tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 Équation du tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1 Analyse à l’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.2 Cas particulier pour un fluide hydrostatique et homogène . . . . . . . . . . 101
5 Théorie quasi-géostrophique 1065.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2 Suppositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3 Équation du tourbillon géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3.1 Analyse de l’advection du tourbillon relatif et planétaire . . . . . . . . . . 1145.4 Équation quasi-géostrophique des tendances du géopotentiel . . . . . . . . . . . . 1175.5 Équation quasi-géostrophique omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
ii
Introduction
La dynamique de l’atmosphère relève de la mécanique des fluides appliquée à l’air at-
mosphérique. Cette discipline combine deux sciences : la thermodynamique, qui étudie la
chaleur et les transferts d’énergie, et la dynamique, qui étudie les mouvements ainsi que
leurs causes. Le chapitre 1 fait le rappel sur les outils mathématiques qui seront utiles pour
étudier la dynamique de l’atmosphère aux latitudes moyennes.
L’air est un mélange de gaz et de particules en suspension (solides ou liquides - les
aérosols). Dans ce cours, nous considérons que l’air est formé d’un mélange de gaz idéaux
en proportions constantes, ce qui est une bonne approximation dans le cas de la troposphère,
région de l’atmosphère où ont lieu les phénomènes que nous étudions.
Nous savons tous intuitivement ce qu’est un fluide. Un fluide circule. Il épouse la forme
de son contenant. Il se déforme sous l’action des forces qui s’exercent sur lui. Nous savons
également que l’air atmosphérique ainsi que l’eau sont des fluides.
Le terme fluide englobe les gaz et les liquides. Malgré la grande différence de densité
entre l’eau et l’air, nous verrons que leur mouvement est décrit par les mêmes équations.
La différence essentielle entre les deux réside dans leur compressibilité. Les équations sont
plus complexes pour un gaz à cause de sa haute compressibilité.
La dynamique des fluides est évidemment l’étude du mouvement de ceux-ci. Nous ap-
pliquons les mêmes lois de la physique que celles de la dynamique des solides. En effet, les
principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie doivent
se vérifier en tout temps. Mais les conséquences de l’application de ces lois aux fluides sont
différentes.
L’application de la loi de Newton (qui, à l’origine, s’applique à un corps solide) re-
quiert l’introduction d’un modèle théorique de fluide appelé "parcelle" ou "élément" de
1
2
fluide ainsi que le concept des "champs continus". Les propriétés du fluide seront reliées à
l’élément de fluide. Cet élément doit satisfaire les conditions suivantes :
1. Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules, afin que les pro-
priétés moyennes soient bien définies.
2. Assez petit pour que les propriétés soient uniformes dans la parcelle afin d’y associer
des valeurs bien définies de pression, densité, température, vitesse, humidité, . . .
3. Soit identifiable pendant au moins un certain intervalle de temps.
La loi de Newton met en rapport le mouvement d’un corps et les forces qui agissent sur
lui. Cette loi est valide seulement dans un système de référence inertiel. Un référentiel en
rotation est non inertiel. La loi de Newton doit donc être modifiée afin de tenir compte de
l’accélération du système de référence, en additionnant les forces virtuelles de Coriolis et
centrifuge. Le chapitre 2 fait un rappel des forces fondamentales et apparentes appliquées
sur une parcelle d’air. Le début du chapitre 3 introduit le référentiel utilisé en météorologie
et l’expression des équations de base dans un référentiel non-inertiel.
Les équations qui décrivent l’évolution de la vitesse d’un fluide géophysique n’ont
pas de solution analytique, ce qui nous oblige à recourir aux solutions numériques, solu-
tions toujours approximatives. L’analyse dimensionnelle (chapitre 3) permet l’estimation
d’ordre de grandeur de chaque terme des équations qui gouvernent le mouvement dans
l’étude d’un phénomène précis. Le but du cours est d’étudier la formation et l’évolution
des systèmes météorologiques sur l’échelle synoptique aux latitudes moyennes. À la fin du
chapitre 3, les équations de conservation de la masse et de l’énergie seront développées
afin d’obtenir un système d’équations complet.
Une des signatures les plus impressionnantes de l’atmosphère terrestre vue de l’espace
est le caractère tourbillonnaire de son mouvement rendu visible par les nuages. Le concept
de tourbillon s’avère le plus utile dans l’analyse des systèmes météorologiques. Il est étroi-
tement lié à la divergence horizontale. Le chapitre 4 introduit les notions de circulation et
de tourbillon du champ de vitesse.
L’atmosphère qui enveloppe la Terre a une épaisseur moyenne de 100 km. Les phéno-
mènes qui nous intéressent en météorologie tels la formation d’un nuage ou d’une tornade,
ont une échelle de grandeur bien plus petite. Cependant, la compréhension de ces phéno-
mènes ne peut se faire sans étudier les phénomènes appartenant à une échelle supérieure.
3
Par exemple, si nous nous intéressons aux nuages ou à la formation de la précipitation, il
nous faut connaître la dynamique à grande échelle qui est à l’origine des mécanismes de
formation du nuage et comprendre comment les deux interagissent. Afin de pouvoir étudier
tous ces phénomènes en même temps, nous devons avoir recourt aux modèles numériques
complets. En revanche, il est possible de combiner les notions acquises précédemment
afin de développer la théorie quasi-géostrophique. Cette théorie est introduite dans le cha-pitre 5. Elle permet de développer un modèle conceptuel simplifié du comportement de
l’atmosphère sur l’échelle synoptique aux latitudes moyennes. À partir de la théorie quasi-
géostrophique, on verra, par exemple, (1) pourquoi une dépression à la surface est en aval
d’un creux en altitude et (2) le mécanisme principal responsable de la propagations des
dépressions à la surface.
Chapitre 1
Revue mathématique
Afin d’étudier le mouvement de l’air dans l’atmosphère, il est nécessaire de connaître
les notions de base de manipulation de vecteur.
Il existe deux façons de décrire une quantité physique. La première est un scalaire qui
définit la quantité physique en terme de grandeur (ou norme) seulement (Ex : volume, aire,
etc.). La deuxième est un vecteur qui défini en terme de grandeur et d’orientation (Ex :
vitesse, accélération, etc.)
On considère un vecteur ~A “ Axı ` Ay ` Azk où ı, , k sont des vecteurs unitaires et
Ax, Ay, Az sont les composantes de ~A en x, y, z respectivement.
- y
6z
x
~A
Az
Ay
Ax
La grandeur du vecteur ~A est donnée par :
| ~A| “`
A2x ` A
2y ` A
2z
˘12
4
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 5
1.1 Manipulation de vecteurs
1.1.1 Addition, soustraction et multiplication de vecteurs
On considère un deuxième vecteur ~B “ Bxı`By `Bzk.
-~B
— Addition : ~A` ~B “ pAx `Bxqı` pAy `Byq` pAz `Bzqk
~A
-~B
3
— Soustraction : ~A´ ~B “ pAx ´Bxqı` pAy ´Byq` pAz ´Bzqk
~A
~B
6
— Multiplication par un scalaire f : f ~A “ fAxı ` fAy ` fAzk. Le vecteur f ~A pointe
dans la même direction que ~A mais a une grandeur multipliée par f : f ¨ | ~A|.
f ~A
~A
— Produit scalaire : ~A ¨ ~B. Représente la projection du vecteur ~B sur le vecteur ~A mul-
tiplié par la grandeur de ~A.
~B
-~Aα
Par définition : ~A ¨ ~B “ | ~A|| ~B| cospαq où α est l’angle entre les vecteurs ~A et ~B.
— Produit vectoriel : ~Aˆ ~B
Représente un vecteur normal à la surface du parallélogramme créé par la projection
des vecteurs | ~A| et | ~B|.
~B-~A
?~Aˆ ~B
6~B ˆ ~A
α
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 6
Le produit vectoriel à une grandeur et une orientation. On peut le calculer avec la
méthode du déterminant où le vecteur résultant est toujours perpendiculaire au plan
associé aux vecteurs ~A et ~B.
~Aˆ ~B “
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Donc, le produit vectoriel est ~A ˆ ~B “ | ~A|| ~B| sinpαqn où n est un vecteur normal à
la surface du parallélogramme et α est l’angle entre les vecteurs ~A et ~B. La grandeur
du produit vectoriel est donnée par :
| ~Aˆ ~B| “ | ~A|| ~B| sinpαq
1.1.2 Dérivée de vecteurs
Il est possible de dériver un vecteur. On considère le vecteur vitesse suivant : ~V “ uı `
v` wk. Il est possible de le dériver :
d~v
dt“du
dtı`
dv
dt`
dw
dtk ` u
dı
dt` v
d
dt` w
dk
dt(1.1)
1.1.3 Opérateur nabla (∇)
L’opérateur nabla (∇) est souvent utilisé en dynamique des fluides.
Par définition :
∇ “B
Bxı`
B
By`
B
Bzk
‚ Gradient
L’opérateur nabla permet de calculer le gradient d’une fonction scalaire, par exemple
F . Son résultat est un vecteur :
∇F “ BFBx
ı`BF
By`
BF
Bzk
Le gradient pointe vers les valeurs maximales du champ étudié.
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 7
‚ Divergence
L’opérateur nabla permet de calculer la divergence d’un champ vectoriel, par exemple :~V “ uı` v` wk. Son résultat est un scalaire :
∇ ¨ ~v “ BuBx`Bv
By`Bw
Bz
— Le champ est divergent si ∇ ¨ ~v ą 0. Il représente la tendance d’un champ de
vecteur à s’éloigner d’un point de référence.
— Le champ est convergent si ∇ ¨ ~v ă 0. Il représente la tendance d’un champ de
vecteur à se rapprocher d’un point de référence.
‚ Rotationnel
L’opérateur nabla permet de calculer le rotationnel d’un champ vectoriel, par exemple :
~v “ uı ` v ` wk. Le rotationnel représente la rotation d’un vecteur. Son résultat est
un vecteur :
∇ˆ ~v “
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k
BBx BBy BBz
u v w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ “ˆ
Bw
By´Bv
Bz
˙
i´
ˆ
Bu
Bz´Bw
Bx
˙
j `
ˆ
Bv
Bx´Bu
By
˙
k
‚ Terme d’advection
L’opérateur nabla permet de calculer le terme d’advection en combinant le vecteur ~v
avec le gradientd’un champ scalaire, par exemple F :
~v ¨∇F “ uBF
Bx` v
BF
By` w
BF
Bz
‚ Laplacien
L’opérateur nabla permet de calculer le laplacien d’un champ vectoriel. Le lapla-
cien représente la divergence du gradient d’un champ scalaire, par exemple F . Son
résultat est un scalaire :
∇ ¨∇F “ ∇2F “B2F
Bx2`B2F
By2`B2F
Bz2
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 8
Exemple : Voici les isolignes de hauteur (m) associées à une montagne.
∇Z
∇Z
∇Z
∇Z
0 100
200 x
y
— On voit que Z Ò vers le centre.
— Plan horizontal (x-y) : ∇Z “ BZBxi`
BZ
Byj.
1. ∇Z “ 0 au centre car c’est un maximum.
2. ∇Z pointe vers le plus grand taux de changement.
3. Le Laplacien ∇ ¨∇Z représente le taux de changement du gradient.
4. ∇2Z ă 0 représente un maximum
5. ∇2Z ą 0 représente un minimum
1.2 Série de Taylor
Il s’avère parfois très utile de pouvoir estimer une fonction par une série polynomiale
comme le propose la série de Taylor. De façon générale, la série de Taylor d’une fonction
continue fpxq autour du point x “ x0 est donnée par :
fpxq “ fpx0q ` f1px0qpx´ x0q `
f2px0q
2!px´ x0q
2` ...`
fnpx0q
n!px´ x0q
n
La série de Taylor est souvent utilisée pour une valeur de px´x0q très petite. Dans un tel
cas, on peut négliger les termes de dérivée d’ordres supérieurs à 1. On obtient alors :
fpxq » fpx0q ` f1px0qpx´ x0q
1.3 Approximation d’une dérivée
Même si l’atmosphère est un fluide continu, les observations de ses caractéristiques sont
seulement disponibles en des points discrets dans le temps et dans l’espace. La méthode
utilisée pour approximer une dérivée est celle des différences finies (au centre).
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 9
Si on considère un premier point x1 “ x0 ´ ∆x et un deuxième point x2 “ x0 ` ∆x, on
peut estimer leurs valeurs fpx1q et fpx2q en utilisant la série de Taylor :
rx1
fpx1q
rx0 rx2
fpx2q
-∆x
-∆x
La série de Taylor autour de x0 est évaluée à x1 et x2, respectivement :
fpx1q “ fpx0 ´∆xq “ fpx0q ` f1px0qp´∆xq `
f2px0q
2!p´∆xq2 ` ...`
fnpx0q
n!p´∆xqn (1.2)
fpx2q “ fpx0 `∆xq “ fpx0q ` f1px0qp∆xq `
f2px0q
2!p∆xq2 ` ...`
fnpx0q
n!p∆xqn (1.3)
Si on soustrait (1.2) à (1.3), on obtient :
fpx2q´fpx1q “ fpx0`∆xq´fpx0´∆xq “ 2f1
px0qp∆xq`2f
3
px0q
3!p∆xq3` ...`
fnpx0q
n!p∆xqn
Puis, on isole la dérivée et on néglige les termes d’ordre supérieur (car ∆x est très petit) :
f1
px0q »fpx0 `∆xq ´ fpx0 ´∆xq
2∆x(1.4)
Donc, on a besoin de la valeur de la fonction en 2 points et la distance entre ces points.
1.4 Dérivée totale
L’atmosphère est en constante évolution et ses caractéristiques sont constamment su-
jettes à des changements dans le temps et dans l’espace. Par exemple, que veut-on dire
quand on affirme que la température a changé durant la dernière heure ?
1. La température d’une même parcelle d’air qui passe près du thermomètre varie en se
déplaçant dans l’espace. Ñ T change avec la parcelle d’air en mouvement.
2. La température d’une première parcelle d’air en contact avec le thermomètre est plus
froide que celle d’une deuxième parcelle qui était là et qui a été remplacée par le
transport de la première. Ñ T change à un point géographique fixe.
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 10
Ces façons d’interpréter les changements de température sont différentes l’une de l’autre.
Supposons une masse d’air Arctique qui se déplace vers Montréal en hiver :
X Montréal
Masse d’air Arctique
4 PM 2 PM Tp
Tp TM
Mathématiquement, supposons Q “ Qpx, y, z, tq, sa différentielle sera
dQ “
ˆ
BQ
Bx
˙
y,z,t
dx`
ˆ
BQ
By
˙
x,z,t
dy `
ˆ
BQ
Bz
˙
x,y,t
dz `
ˆ
BQ
Bt
˙
x,y,z
dt (1.5)
Dérivons par rapport au temps :
dQ
dt“
ˆ
BQ
Bx
˙
y,z,t
dx
dt`
ˆ
BQ
By
˙
x,z,t
dy
dt`
ˆ
BQ
Bz
˙
x,y,t
dz
dt`
ˆ
BQ
Bt
˙
x,y,z
dt
dt(1.6)
Si u “dx
dt, v “
dy
dtet w “
dz
dt:
dQ
dt“BQ
Bt` u
BQ
Bx` v
BQ
By` w
BQ
Bz(1.7)
On peut réécrire (1.7) sous forme vectorielle :
dQ
dt“BQ
Bt` ~v ¨∇Q (1.8)
où ~v “ uı` v` wk.
‚ Taux lagrangien (changement de Q suivant l’écoulement) :dQ
dt
‚ Taux eulérien (changement de Q en un point géographique fixe) :BQ
Bt
‚ Advection (transport de Q par le mouvement de l’air ~V ) : ~v ¨∇Q
On peut réécrire (1.8) en fonction du taux eulérien :
BQ
Bt“dQ
dt´ ~v ¨∇Q (1.9)
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 11
Schématiquement, on obtient :
Q0 `∆Q
Q0
Q0 ´∆Q
?
∇Q 6~vr BQBt
Voici une illustration de la différence entre la dérivée totale et la dérivée partielle pour le
cas d’un système météorologique idéalisé. Considérons un champ de pression à la surface
au temps t :
L998
X
1000
1008
-
x (vers l’est)t = 0
L996
X
1000
1008
t = t + ∆t
La pression au point X au temps t=0 est de p “ 1008 hPa. Supposons que la dépression se
creuse en se déplaçant vers l’est, quelle sera la pression au point X à t`∆t ? Le changement
de pression au point X (fixe) sera ÑBp
Bt“ ´12 hPa/∆t.
Si la dérivée totale est le changement de pression centrale de la dépression. Ce chan-
gement de pression est généralement associé avec un changement d’intensité du système
météorologique.
Ñ La dépression s’est creusée de 2 hPa :dp
dt“ ´2 hPa/∆t.
Si la dépression ne s’était pas creusée, le changement de pression local aurait été seule-
ment dû à l’advection et le changement de pression aurait été de -10 hPa/∆t (car le terme
d’advection est négatif). Vu que la dépression s’approche de X, il y a un transport de valeur
minimum de pression en ce point.
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 12
1.5 Analyse dimensionnelle
Il est très utile d’estimer l’ordre de grandeur des termes physiques d’une équation afin
de déterminer leurs importances relatives. L’analyse dimensionnelle sera très utile pour
simplifier les équations qui décrivent les fluides.
Par exemple, soit une piscine olympique. On se demande en combien de temps il est
possible de la remplir. Pour faire une approximation raisonnable, on doit connaître certaines
caractéristiques physiques importantes :
— Volume de la piscine : V » 3000 m3
— Débit disponible : D » 10 m3h´1
— Fuite dans la piscine : F » 0.001 m3h´1
— Évaporation : E » 0.00001 m3h´1
Les deux derniers paramètres (F et E) sont difficiles à estimer mais leurs valeurs sont
essentiellement très petites. En effet, on voit que 0.001 m3h´1 et 0.00001 m3h´1 sont très
petits comparé à taux de remplissage de la piscine (D). F et E sont donc négligeables
par rapport au taux de l’écoulement de l’eau. On obtient ainsi une valeur estimée pour le
temps : t “V
F ` E `D»V
D.
Un raisonnement semblable peut être appliqué pour le mouvement dans l’atmosphère :
pour chaque phénomène météorologique, on peut définir un ordre de grandeur typique qui
permettra de faire une analyse à l’échelle des équations de Navier-Stokes pour des systèmes
météorologiques sur l’échelle synoptique afin de simplifier les équations.
1.6 Cinématique de champs vectoriels
Il est possible de décrire le comportement d’un fluide dans le plan horizontal. Considé-
rons un plan xy et les composantes de la vitesse u et v. Il existe quatre dérivées de upx, yq
et vpx, yq dans le plan xy :Bu
Bx,Bu
By,Bv
Bx,Bv
By. La valeur du champ continu à px, yq “ p0, 0q est
estimée à l’aide de la série de Taylor (section 1.2, p.8) :
upx, yq “ u0 `
ˆ
Bu
Bx
˙
0
x`
ˆ
Bu
By
˙
0
y ` ... (1.10a)
vpx, yq “ v0 `
ˆ
Bv
Bx
˙
0
x`
ˆ
Bv
By
˙
0
y ` ... (1.10b)
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 13
On obtient 4 combinaisons possibles de ces dérivées qui ont une signification physique :
δ “Bu
Bx`Bv
By(1.11a)
ζ “Bv
Bx´Bu
By(1.11b)
D1 “Bu
Bx´Bv
By(1.11c)
D2 “Bv
Bx`Bu
By(1.11d)
Il est possible d’étudier le comportement d’un fluide de façon simplifiée. On considère
u0 “ v0 “ 0. À l’aide des équations (1.11), on peut réécrire les équations (1.10) comme
suit :
upx, yq “1
2pδx`D1x´ ζy `D2yq (1.12a)
vpx, yq “1
2pζx`D2x` δy ´D1yq (1.12b)
‚ Divergence pure (1.11a) : δ “ 1 et ζ “ D1 “ D2 “ 0
On a que u “1
2x et v “
1
2y.
6y
- x
6
?
-
x “ 0, y ą 0 Ñ v ą 0
x “ 0, y ă 0 Ñ v ă 0
y “ 0, x ą 0 Ñ u ă 0
y “ 0, x ă 0 Ñ u ą 0
L’aire de la parcelle d’air change dans un champ purement divergent.
6y
- x
6
?
-
t = 0
t > 0
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 14
Problème à faire en exercice :
1. Démontrer que1
A
dA
dt“ δ où A est l’aire de la parcelle d’air et δ est la divergence.
Expliquer clairement votre raisonnement.
2. Montrer à l’aide d’un dessin l’impact de la divergence pure sur une parcelle d’air.
Que se passe-t-il si δ “ ´1 ? Les lignes convergent vers un point.
‚ Tourbillon pur (1.11b) : ζ “ 1 et δ “ D1 “ D2 “ 0
On a que u “ ´1
2y et v “
1
2x.
6y
- x
-
?6
x = 0, y > 0 Ñ u < 0
x = 0, y < 0 Ñ u > 0
y = 0, x > 0 Ñ v > 0
y = 0, x < 0 Ñ v < 0
Que se passe-t-il si ζ “ ´1 ? Rotation dans le sens opposé.
‚ Déformation étirement (1.11c) : D1 “ 1 et δ “ ζ “ D2 “ 0
On a que u “1
2x et v “ ´
1
2y.
6y
- x
?
6
-
x = 0, y > 0 Ñ v < 0
x = 0, y < 0 Ñ v > 0
y = 0, x > 0 Ñ u > 0
y = 0, x < 0 Ñ u < 0
L’écoulement se dilate le long de l’axe x et se contracte le long de l’axe y, c’est-à-
dire que le fluide s’étire le long de l’axe x et rétrécit le long de l’axe y.
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 15
6y
- x
?
6
-
Aire de la parcelle ne change pas car δ = 0.
t = 0
t > 0
Quelle est la différence entre confluence et convergence ? Le trafic qui monte sur une
bretelle de l’autoroute par une rampe est confluent mais ne converge pas, à moins
qu’il y ait un accident.
‚ Déformation cisaillement (1.11d) : D2 “ 1 et δ “ ζ “ D1 “ 0
On a que u “1
2y et v “
1
2x.
6y
- x
-
?6
x = 0, y > 0 Ñ u > 0
x = 0, y < 0 Ñ u < 0
y = 0, x > 0 Ñ v > 0
y = 0, x < 0 Ñ v < 0
En général, le terme déformation totale comprend le terme de déformation étirement
et le terme de déformation cisaillement. Étant donné qu’il est difficile de faire la
différence entre la déformation due à l’étirement et celle due au cisaillement, on
considère seulement la déformation totale D.
— Grandeur : D “`
D21 `D
22
˘12
— Orientation : θ “1
2tan´1
ˆ
D2
D1
˙
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 16
Exemple 1-1 : Calculer le Laplacien au centre de cette montagne. Supposer que les iso-
lignes hauteurs (m) sont espacées de 50 m et que le cercle du centre est 100 m de diamètre.
2001000
r∇2= ?
-6y
x
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 17
Exemple 1-2 : Considérer qu’un vent du sud de 10 km¨h´1 enregistré au point A. La
température diminue vers le nord de 5 ˝C/100 km. Quel sera le changement de température
au point A en supposant que la température d’une parcelle d’air ne varie pas dans le temps ?
10˝C
5˝C
0˝C
?
∇T 6~vr A
Si la température de la parcelle d’air ne varie pas dans le tempsˆ
dT
dt“ 0
˙
, le change-
ment de température en un point fixe est seulement dû à l’advection de température :BT
Bt“ ´~v ¨∇T
On développe en composante :BT
Bt“ ´u
BT
Bx´ v
BT
By
S’il fait froid au nord et chaud au sud, la température diminue SEULEMENT en y :BT
Bx“ 0. Le gradient devient : ∇T “ BT
Byj.
Le vent horizontal est ~v “ ui` vj. Si le vent souffle SEULEMENT du sud : ~v “ vj.
Le terme d’advection sera : ´~v ¨∇T “ ´vj ¨ BTByj “ ´v
BT
By.
Si v = 10 km h´1 etBT
By“ ´5˝C/100 km, on obtient
BT
Bt“ ´u
BT
Bx´ v
BT
By= - (10 km h´1)(- 5 ˝C/100 km) = 0.5 ˝C/h.
Donc, la température va augmenter à un taux de 0.5 ˝C/h.
CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 18
Question : Si le vent provient du Nord-ouest, quel sera le changement de température au
point A ?
Chapitre 2
Forces fondamentales et apparentes
Étant donné que l’atmosphère terrestre est un fluide, ses mouvements sont gouvernés
par les lois de la physique. Une de ces lois est la deuxième loi de Newton : La somme des
forces appliquées sur un objet est égale à la variation de sa quantité de mouvement
ÿ
~F “ md~v
dt“ m~a (2.1)
Par contre, cette loi est seulement valide dans un système de coordonnées au repos (ré-
férentiel inertiel). Le système de coordonnées le plus pratique pour étudier le mouvement
de l’air dans l’atmosphère est selon la latitude pxq, la longitude pyq et l’altitude pzq.
6
- Équateur
Pôle nordö
*AAK
xz
y
Comme la Terre tourne sur elle-même et autour du soleil, ce système de coordonnées est
continuellement en accélération. Par exemple, à un endroit fixe sur la surface de la Terre
lorsqu’on regarde vers l’est, cette direction change constamment parce que la Terre tourne.
Alors, le système de coordonnées tourne aussi.
La deuxième loi de Newton peut seulement être appliquée sur un objet dans un réfé-
rentiel inertiel. Pour appliquer la deuxième loi de Newton sur la Terre, il faut faire une
19
CHAPITRE 2. LES FORCES 20
correction pour la rotation de la Terre. Il faut donc définir deux catégories de forces afin
d’appliquer la deuxième loi de Newton sur un objet sur la Terre :
— Forces fondamentales : Forces qui s’appliquent sur un objet même s’il n’y a pas de
rotation.
— Forces apparentes : Forces causées par la rotation de la Terre.
2.1 Forces fondamentales
On est plus familier avec les forces de gravité et de frottement parce qu’elles se mani-
festent dans la vie de tous les jours. Par contre, la force de gradient de pression est plus
difficile à observer.
2.1.1 Force de gradient de pression
La pression appliquée sur les côtés d’une parcelle d’air provient du mouvement molé-
culaire aléatoire de l’air. [Rappel : La pression est une force appliquée sur une unité de
surface (Unités : Nm´2 “ Pa).] À chaque fois qu’une molécule frappe un côté, il y a un
transfert de quantité de mouvement. La somme des transferts de quantité de mouvement
est égale à la force appliquée sur l’élément fluide (deuxième loi de Newton).
Supposons que la parcelle d’air est un cube de volume V “ δxδyδz et de masse M “ ρV ,
où ρ est la densité du fluide étudié. La pression au centre du cube est p0 “ ppx0, y0, z0q.
-
6
?
pB pA
AB
δx
δy
δzrp0FxAFxB
- x6z
y
p0 “ ppx0, y0, z0q
Volume = V = δxδyδzMasse = Vρ
Comme la pression est un champ continu, il est possible de l’évaluer sur les cotés A et
B de la parcelle en utilisant la série de Taylor (on néglige les termes d’ordres supérieurs).
CHAPITRE 2. LES FORCES 21
On obtient :
pA “ p0 `Bp
Bx
δx
2
pB “ p0 ´Bp
Bx
δx
2
Si Fx “ř
ppx ¨A ) où px est la pression selon x et A est l’aire de la surface où sa normale
est || à x , on obtient que
Fx “ ´FxA ` FxB
Fx “ ´pAδyδz ` pBδyδz “ p´pA ` pBqδyδz
Fx “ ´Bp
Bx
δx
2δyδz ´
Bp
Bx
δx
2δyδz
Fx “ ´Bp
Bxδxδyδz “ ´
Bp
Bx
M
ρ
On répète les mêmes étapes pour la composante y et z pour obtenir la forme générale :
~agp “~Fgpm
“ ´1
ρ∇p (2.2)
2.1.2 Force gravitationnelle
D’après la loi universelle gravitationnelle de Newton, deux corps de masses M et m
s’attirent en raison de l’existence d’une force proportionnelle à leur masse et inversement
proportionnelle à la distance séparant leur centre de masse.
&%'$qM
eqm
@@a
~r
Forme générale :~Fg “ ´
GMm
r2
~r
r(2.3)
où G est la constante gravitationnelle (G “ 6, 67ˆ 10´11 m3kg´1s´2), M , la masse de la
Terre (M “ 5, 9742 ˆ 1024 kg), m, la masse de la parcelle d’air et |~r|, la distance entre les
deux masses.
CHAPITRE 2. LES FORCES 22
Alors, l’accélération gravitationnelle est :
~ag “ ´~Fgm“ ´
GM
r2
~r
r
Si le rayon de la Terre, a, est 6371 km et la distance entre une parcelle d’air et la surface
de la Terre, z, est » 10 km, l’accélération gravitationnelle devient :
~g˚ “ ´GM
pa` zq2~r
r» ´
GM
a2
~r
r» ´9.8 m/s2 k
2.1.3 Force de frottement
La force de friction agit généralement dans le sens opposé au mouvement. Par exemple,
si on fait glisser un livre sur une table, il va décélérer graduellement. Ceci est dû à la force
de friction entre le livre et la table. Le livre ne continuera pas à glisser sur la table parce
que la force de friction agit dans le sens opposé au mouvement.
Ce concept est un peu plus complexe pour une parcelle d’air. Un fluide est un ensemble
de molécules. La friction interne entre les différentes molécules engendre une résistance à
l’écoulement du fluide. Donc, si on a un fluide, l’atmosphère par exemple, qui se déplace,
sa vitesse va diminuer près de la surface de la Terre à cause du frottement.
- ~v-
-
6z
2.2 Forces apparentes
D’après la première loi de Newton : Un corps au repos ou en mouvement rectiligne
uniforme ne changera pas d’état, à moins qu’une force ne soit appliquée sur le corps. Au-
trement dit, une masse en mouvement uniforme par rapport à un système de coordonnées
fixe (référence inertiel) dans l’espace restera uniforme si aucune force n’est appliquée sur
cette masse.
CHAPITRE 2. LES FORCES 23
Si on considère que le système de coordonnées est lié à la surface de la Terre par la
latitude et la longitude, x et y respectivement, il est clair que ce système est en mouvement
en raison de la rotation de la Terre sur elle-même. Ainsi, il est seulement possible de décrire
le mouvement de l’air par rapport à notre système de référence px, y, zq si on corrige pour
la rotation du système de coordonnées [valider la 2ième loi de Newton].
On peut utiliser l’exemple d’une balle qui tombe dans un ascenseur au repos et en mou-
vement :
A
B
A
A
B
Dans le scénario A, l’observateur 1 et 2 voient la même chose car l’ascenseur est au
repos. Dans le scénario B, l’ascenseur descends à la même vitesse que la balle. Donc, l’ob-
servateur A voit que la balle est au repos tandis que l’observateur B voit la balle tomber. Par
conséquent, les 2 forces apparentes (la force centrifuge et Coriolis) doivent être définies.
2.2.1 Force centrifuge
Chaque objet terrestre se trouve à une certaine distance de l’axe de rotation de la Terre.
Sa vitesse dépend de cette distance constante. On peut alors comparer cet objet à une balle
au bout d’une corde dont l’accélération est donnée par :
~aCP “ ~ω ˆ p~ω ˆ ~rq “ ´ω2~r (2.4)
où ~ω est la vitesse angulaire de rotation de la balle et ~r “ rr est la distance entre l’axe de
rotation et la balle.
6ö ~ω
|~r|-r
~Fcp
-~Fcg
uLe lien entre la vitesse de rotation (~ω)et la vitesse tangente est ~v “ ~ω ˆ ~r
6ö ~ω
-~R
~v
CHAPITRE 2. LES FORCES 24
On voit bien d’après le dessin que la vitesse de la balle change constamment d’orien-
tation. Donc, il y a une accélération uniforme orientée vers l’axe de rotation causée par la
force de la corde qui tire sur la balle : c’est l’accélération centripète.
Si on observe la situation à partir d’un point sur la balle, on a l’impression que la balle
est stationnaire, même si une force est appliquée dessus. Pour appliquer la deuxième loi
de Newton sur la balle en mouvement (qui correspond à un objet sur la Terre en rotation),
une force apparente qui équilibre exactement la force centripète doit être appliquée sur la
balle : c’est la force centrifuge. Celle-ci est dirigée vers l’extérieur.
On peut déduire que la force centrifuge par unité de masse (accélération) associée à un
objet à la surface de la Terre est donnée par :
~aCF “ ´~Ωˆ p~Ωˆ ~rq “ Ω2~r (2.5)
où Ω est vitesse de rotation de la Terre (Ω “ 7.292 ˆ 10´5 s´1) et ~R est le vecteur position
par rapport à l’axe de rotation.
6
- Équateur
Pôle nord
ö ~Ω
a
φ
~g˚
-
-RΩ2 ~R
Ω2 ~R
~g
Sphère et la surface de la Terre
R = a cosφ où a : rayon de la Terre
et φ est la latitude
~g˚ pointe vers le centre
Ω2 ~R est la force centrifuge
~g = ~g˚ + Ω2 ~R
où ~g˚ est l’accélération gravitationnelle
@@I xzy
On remarque la force centrifuge a une composante selon k (l’accélération gravitation-
nelle est seulement en k et que la force centrifuge est en j et k), donc la force centrifuge
pointe dans la direction opposé de la force de gravité ce qui définit la force de gravité
effective :
~g “ ~g˚ ` Ω2 ~R (2.6)
Comme la Terre n’est pas exactement ronde, la gravité effective ne pointe pas nécessaire-
ment vers le centre de la Terre (sauf aux pôles et à l’équateur). La composante de la force
CHAPITRE 2. LES FORCES 25
centrifuge sur la force de gravité est l’effet de la rotation de la Terre sur un objet au repos
par rapport au référentiel de la Terre en rotation.
2.2.2 Force de Coriolis
Pour appliquer la deuxième loi de Newton d’un objet en mouvement dans le référentiel
de la Terre en rotation, on doit définir la force de Coriolis. Le développement de la force
de Coriolis ce fait en 2 étapes :
1. Augmentation de la force centrifuge pour un objet en mouvement zonale (latitude
constante).
2. Application de la loi de la conservation de la quantité de mouvement angulaire en
l’absence d’une force externe (mouvement méridional, latitude constante).
Étape 1
Considérons une rondelle de hockey qui glisse sur une surface lisse à une vitesse u (vers
l’est). À cette latitude, la force centrifuge par unité de masse agissant sur la rondelle va être
augmentée car, en plus de la rotation de la Terre, la rondelle se déplace vers l’est :
~a “ pΩ` ωrondelleq2 ~R
“
´
Ω`u
R
¯2~R
“ Ω2 ~Rloomoon
1
`u2 ~R
R2loomoon
2
` 2Ωu~R
Rloomoon
3
(2.7)
où ~v “ ~ω ˆ ~r. Alors, u = R ωrondelle.
‚ Terme 1 : accélération centrifuge incluse dans l’accélération gravitationnelle effec-
tive.
‚ Terme 2 : accélération causée par la déviation dirigée vers l’extérieur (perpendicu-
laire à l’axe de rotation). Afin de le comparer avec le terme 2, on peut le ré-écrire :
u2 ~R
R2“pωrondelleRq
2RR
R2“ ω2
rondelleRR “ ωrondellepωrondelleRqR “ ωrondelleuR
Alors, parce que u „ 10ms ăă ΩR (ΩR » 330 ms´1 à Montréal). On peut donc
négliger ce terme.
CHAPITRE 2. LES FORCES 26
‚ Terme 3 : accélération causée par la déviation dirigée vers l’extérieur (perpendicu-
laire à l’axe de rotation). Ce terme est un excès de la force centrifuge. Il représente
l’accélération de Coriolis résultant d’un mouvement relatif parallèle aux cercles de
latitudes. On peut le ré-écrire :
2Ωu~R
R“ 2ΩuR
où l’accélération de Coriolis pointe dans la direction R. Supposons un plan tangent
à la surface de la Terre (‹) :
@@
@@
@@I
y
z
- R
@@@
φ‹ φ
On voit que la force de Coriolis a deux composantes : une verticale pzq et une hori-
zontale pyq. On a que
R “ ´ sinφj ` cosφk
Donc, la composante méridionale et vertical de l’accélération de Coriolis sont :
dv
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
CO
“ ´2Ωu sinφ (2.8a)
dw
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
CO
“ 2Ωu cosφ (2.8b)
où φ correspond à la latitude.
Étape 2
Rappel : Le moment angulaire par unité de masse est ~L “ ~Rˆ~v. En l’absence du moment
angulaire externe, il doit être conservé ~Li “ ~Lf .
6~L
-~R
b ~v
CHAPITRE 2. LES FORCES 27
Pour démontrer l’effet de Coriolis lorsqu’un objet se déplace selon une longitude constante,
considérons une rondelle de hockey se déplaçant vers l’équateur (en y). Ce déplacement
méridional est aussi associé à une augmentation de la distance avec l’axe de rotation de la
Terre. Afin de conserver son moment angulaire, une rotation contraire se développe. Il y
aura par conséquent une modification de la vitesse pour ralentir la vitesse de la rondelle par
rapport à la Terre. Le moment angulaire est orienté vers le pôle nord car l’angle entre ~R et
~v est 90˝.
Li “ Lf (2.9)
ΩR2“
ˆ
Ω`δu
R ` δR
˙
pR ` δRq2 (2.10)
où δu “ ΩrondellepR ` δRq est la variation zonale de la rondelle à R + δR pour conserver la
quantité de mouvement lors de son déplacement méridional. Un déplacement méridional
engendre une variation de la distance entre la rondelle et l’axe de rotation (δR). On cherche
alors la grandeur de δR car son orientation n’a pas changée.
6
- Équateur
ö ~Ω
-RR
-RRδR
@@@R´δy
@@I xzy
On développe l’équation :
ΩR2“
ˆ
Ω`δu
R ` δR
˙
`
R2` 2RδR ` δR2
˘
(2.11)
Comme δR est très petit, le terme δR2 de (2.11) peut être négligé :
ΩR2“
ˆ
Ω`δu
R ` δR
˙
`
R2` 2RδR
˘
“ ΩR2` 2ΩRδR `
R2δu
R ` δR
2ΩRδR “ ´Rδu
CHAPITRE 2. LES FORCES 28
On obtient finalement :
δu “ ´2ΩδR (2.12)
R peut varier si un parcelle se déplace selon y et z seulement car un déplacement selon x
est toujours à la même latitude. Donc, si Ω est constant et R change, il y aura un variation de
la vitesse zonale puq. D’après un point initiale à la surface de la Terre (‹), on peut écrire que
δR = δRy + δRz. Trouvons δRy et δRz. [Note : Il faut le voir en 2 étapes : 1) déplacement
vers le sud et 2) déplacement vers le haut.]
@@
@@
@@I
y
z
‹R -Rφ ‚
φR+δR - RδRy δRz
δz-δy
δ R = δRy + δRz
cosφ “δR
δzÑ δRz “ δz cosφ
sinφ “δR
δyÑ δRy “ δy sinφ
La variation de vitesse zonale, δu aura donc 2 termes. On obtient que
δu “ ´2Ωp´δy sinφ` δz cosφq “ 2Ωδy sinφ´ 2Ωδz cosφ
On divise ensuite par δt et on prend la limite lorsque δtÑ 0 :
du
dt“ 2Ω sinφ
dy
dt´ 2Ω cosφ
dz
dt
Avecdy
dt“ v et
dz
dt“ w, on obtient :
du
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
CO
“ 2Ω sinφv ´ 2Ω cosφw (2.13)
On peut maintenant définir le paramètre de Coriolis : f “ 2Ω sinφ et combiner l’accélé-
ration de Coriolis méridionale et avec l’altitude :
du
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
CO
“ fv ´ 2Ωw cosφ (2.14a)
dv
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
CO
“ ´fu (2.14b)
dw
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
CO
“ 2Ωu cosφ (2.14c)
CHAPITRE 2. LES FORCES 29
L’accélération de Coriolis crée une déviation de la trajectoire d’une parcelle d’air en
mouvement. Par exemple, dans l’hémisphère nord :
— un déplacement vers l’est pu ą 0q engendre une accélération vers le sud.
— un déplacement vers le nord pv ą 0q engendre une accélération vers l’est.
Un objet en déplacement dans un plan horizontal dans l’hémisphère nord sera dévié vers la
droite (f > 0 car φ>0) tandis qu’un objet en déplacement dans l’hémisphère sud sera dévié
vers la gauche (f < 0 car φ<0). La force de Coriolis va seulement changer la direction d’un
objet. Elle ne peut pas initier un mouvement. Elle n’a donc pas d’impact sur un objet au
repos.
On remarque aussi que le paramètre Coriolis est de 0 à l’équateur (sin 0˝ “ 0), mais pas
la force de Coriolis. On garde les accélérationsdu
dtetdw
dtqui y sont maximum. Par contre
sur une échelle synoptique où la vitesse du vent est de 10 m s´1 à l’horizontal et de 0.01 m
s´1 à la verticale, on peut l’estimer comme nulle et maximum au pôles.
Il nous faut développer la vitesse de rotation de la Terre en ses composantes afin d’écrire
l’accélération de Coriolis sous forme vectorielle. Voici un plan tangent à la surface de la
Terre :
@@
@@Ij
k
6
Ω
φφφ
i
@@
On remarque que la vitesse de rotation de la Terre n’a pas de composante selon i car elle
est perpendiculaire à celui-ci. Elle possède donc une composante selon et k :
Ωy “ Ω cosφ (2.15a)
Ωz “ Ω sinφ (2.15b)
Vu que l’accélération de Coriolis à un effet sur une composante perpendiculaire à la vitesse,
on peut appliquer le produit vectoriel entre la vitesse angulaire de la Terre et la vitesse de
la parcelle d’air :
~aCO “ ´2~Ωˆ ~v “
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k
0 Ω cosφ Ω sinφ
u v w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (2.16)
“ ´2Ω”
p´v sinφ` w cosφq ı` u sinφ´ u cosφkı
(2.17)
CHAPITRE 2. LES FORCES 30
Donc, on obtient la forme vectorielle de l’accélération de Coriolis :
d~v
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
co
“ ´2~Ωˆ ~v (2.18)
où ~Ω “ Ω cosφj ` Ω sinφk et ~v “ ui` vj ` wk.
CHAPITRE 2. LES FORCES 31
Exemple 2-1 (Problème 2.2 de Martin) : Un joueur de baseball tire une balle vers le nord
sur une distance horizontal de 75 m en 2 s. Sur quelle distance et dans quelle direction la
balle sera déviée à cause de la rotation de la Terre ? Supposer que la partie de baseball se
joue à 30˝N.
CHAPITRE 2. LES FORCES 32
Exemple 2-2 (Problème 2.4 de Martin) : En prenant le train se dirigeant vers l’est pour
se rendre au travail, un passager a décidé de vérifier son poids : 542 N ; en retournant à la
maison, il a vérifié encore son poids dans le train en mouvement : 543 N. Il a parcouru la
distance de 50 km pour arriver au travail (et 50 km pour revenir). Combien de temps prend
le trajet pour aller au travail à une latitude de 40˝S ?
Chapitre 3
Dérivation des équations de Navier-Stokes
sur l’échelle synoptique
3.1 Distribution de la masse dans l’atmosphère
3.1.1 Équation hydrostatique
Sur l’échelle synoptique, une parcelle d’air ne subit aucune accélération verticale. Il y
a un équilibre entre la force de gravité et de gradient de pression. On appelle l’équilibre
hydrostatique.
p0 + ∆p
∆p
p0 - ∆p
6Z6
~GP
?~g
x
Composante verticale de la force de gradient de pression ~Fgp :
~Fgp “ ´1
ρ
Bp
Bzk (3.1)
Force de gravité ~Fg :~Fg “ ´gk (3.2)
33
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 34
Si la force de gravité et la force de gradient de pression sont en équilibre, on obtient
que :
´1
ρ
Bp
Bz´ g “ 0 (3.3)
Donc, l’équilibre hydrostatique est
Bp
Bz“ ´ρg (3.4)
L’équation hydrostatique est valide seulement lorsque ∆z (profondeur)ăă∆y (largeur).
Par exemple, pour un système synoptique où ∆z „ 10 km (hauteur de l’atmosphère) et
∆y „ 1000 km, l’équation hydrostatique est valable. On y reviendra plus tard dans le cours.
3.1.2 Équation hypsométrique
L’atmosphère est considérée comme un gaz parfait :
p “ ρRT (3.5)
et sur l’échelle synoptique, elle est en équilibre hydrostatique :
Bp
Bz“ ´ρg
On combine (3.4) et (3.5) pour obtenir
Bp
p“ ´
g
RTBz (3.6)
On intègre entre les surfaces de pression p1 et p2 de hauteurs z1 et z2 :ż p2
p1
TvB ln p “ ´g
R
ż z2
z1
Bz
où g et R sont des constantes que nous pouvons sortir de l’intégrale. On peut écrire
l’équation de cette façon :şp2p1TvB ln p
şp2p1B ln p
ż p2
p1
B ln p “ ´g
R
ż z2
z1
Bz
où nous pouvons définir la température virtuelle moyenne dans cette couche d’air :
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 35
xTvy “
şp2p1TvB ln p
şp2p1B ln p
(3.7)
Donc, on obtient l’équation hypsométrique :
∆z “ pz2 ´ z1q “RdxTvy
gln
ˆ
p1
p2
˙
(3.8)
La température virtuelle de la colonne d’air influence la hauteur des surfaces de pres-
sions. Si T Ò, ∆z Ó. C’est logique, car l’air chaud est moins dense que l’air froid, donc la
colonne d’air doit être plus épaisse pour garder une masse constante entre deux surfaces de
pression.
Définition : Φ “ gz est le géopotentiel. Il correspond à la hauteur (∆z) requise pour
élever une unité de masse au-dessus du niveau de la mer.
On peut ré-écrire l’équation hydrostatique en terme de Φ :
∆φ “ g∆z “ gpz2 ´ z1q “ RdxTvy ln
ˆ
p1
p2
˙
(3.9)
Nous en reparlerons davantage dans le cours de météorologie synoptique.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 36
Exemple 3-1 : Quelle est la masse de la couche d’air située entre 500 hPa et 1000 hPa ?
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 37
3.2 Équation du mouvement
Maintenant que l’on connaît la distribution de la masse dans l’atmosphère, il est possible
d’étudier son comportement grâce aux lois de la conservation de la quantité de mouvement.
3.2.1 Référentiel inertiel et référentiel en rotation
Rappel : Deuxième loi de Newton est la somme des forces appliquées sur un objet est
égale à la variation de la quantité de mouvement :
md~v
dt“ř
forces appliquées sur une parcelle d’air
dans un repère intertiel.
Comme la Terre est en rotation (tourne sur elle-même), le système de coordonnées fixe
à la Terre px, y, zq est en rotation. Il faut alors relier la dérivée lagrangienne d’un vecteur
dans le référentiel inertiel´
~A¯
à celui d’un vecteur dans le référentiel en rotation´
~A¯
. En
générale, le vecteur ~A peut être représenté dans le référentiel en mouvement (’) et inertiel :
Référentiel inertiel (fixe) : ~A “ Axı ` Ay ` Azk et Référentiel en mouvement : ~A “
A1xı1 ` A1y
1 ` A1zk1 :
Fixe
- x
6
z
y
Mouvement
-x16z1
y1
~A
D’après le dessin ci-haut, on remarque que les vecteurs unitaires ne changent pas de di-
rection. Donc, la dérivée totale de ~A par rapport au référentiel inertiel (au repos – référentiel
asbolu) estd ~A
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“dAxdt
ı`dAydt
`dAzdt
k
Par contre, la dérivée totale de ~A par rapport au référentiel absolu représentée dans le réfé-
rentiel en mouvement est
d ~A
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“dA1xdt
ı1 `dA1ydt
1 `dA1zdt
k1 ` A1xdı1
dt` A1y
d1
dt` A1z
dk1
dt
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 38
Ces 2 équations ne sont pas les mêmes car l’opérateur dérivée dépend du repère. On peut
alors ré-écrire la dérivée absolue :
d ~A
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“d ~A
dtloomoon
1
`A1xdı1
dt` A1y
d1
dt` A1z
dk1
dtloooooooooooooomoooooooooooooon
2
(3.10)
‚ Terme 1 :d ~A
dt“dA1xdt
ı1 `dA1ydt
1 `dA1zdt
k1
Taux de changement de ~A suivant le mouvement relatif dans le système en rotation.
[relatif au référentiel]
‚ Terme 2 :dı1
dt,d1
dt,dk1
dtChangement du vecteur unitaire dû à l’accélération du système de coordonnées px1, y1, z1q.
La dérivée de ces vecteurs unitaires représente le changement de direction de chacun
d’eux dû au mouvement du système de coordonnées. [mouvement du référentiel]
Appliquons ce principe à la Terre en rotation
Il faut se rappeler la définition de vitesse d’un objet tournant à une vitesse de rotation ~Ω à
une distance ~r de l’axe de rotation :
~v “ ~Ωˆ ~r
où ~r est le vecteur position. Les vecteurs unitaires placés à un point sur la Terre tournent à
une vitesse angulaire ~Ω.
Trouvons maintenant le lien entre le vecteur unitaire ı1 etdı1
dt. Supposons une vue du pôle
nord :
HHHHHH
δθ
i
AAAK
i` δi
ö
~Ω
iAAAK
i` δi
δi
δθ
où θ est la longitude. D’après le schéma, on a que |δı1| “ δθ|ı1|. En sachant que Ωδt “ δθ,
on obtient que
|δı1| “ Ωδt|ı1|
.
On divise maintenant par δt et on prend la limite où δtÑ0, on obtient
|dı1|
dt“ Ω|ı1|
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 39
Vu que l’angle entre le vecteur Ω et ı1 est 90˝, on peut en déduire la forme vectorielle :dı1
dt“ ~Ωˆ ı1
6
- Équateur
~Ωö6~Ω
~Ωˆ i
i
On peut ensuite répéter ces étapes pour déterminerd1
dtetdk1
dt.
selon j selon k
[pointe vers l’axe de rotation - pôle nord] [pointe vers l’extérieur]
HHHH
HH
δθ
HHHY
j
j ` δj
ö
~Ω
HHHY j
j ` δj?
δj δθ
HHHH
HH
δθ
HHHj
k
*
k ` δk
ö
~Ω
HHHj
k*
k ` δk ?
δkδθ
On aura quedı1
dt“ ~Ωˆ ı1 (3.11a)
d1
dt“ ~Ωˆ 1 (3.11b)
dk1
dt“ ~Ωˆ k1 (3.11c)
On peut donc écrire que :
A1xdı1
dt“ A1xp~Ωˆ ı
1q “ ~Ωˆ pA1xı
1q (3.12a)
A1yd1
dt“ A1yp
~Ωˆ 1q “ ~Ωˆ pA1y q (3.12b)
A1zdk1
dt“ A1zp~Ωˆ k
1q “ ~Ωˆ pA1zk1q (3.12c)
Et on obtient :
A1xdı1
dt` A1y
d1
dt` A1z
dk1
dt“ ~Ωˆ pA1xı
1` A1y
1` A1zk
1q
“ ~Ωˆ ~A
(3.13)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 40
où ~A est représenté dans le référentiel en mouvement (’).
Remplaçons (3.10) dans (3.13), et on obtient la relation entre la dérivée totale d’un
vecteur dans un référentiel inertiel et la dérivée totale d’un vecteur dans un référentiel en
rotation à une vitesse angulaire ~Ω :
d ~A
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“d ~A
dt` ~Ωˆ ~A (3.14)
Avec cette relation, il est possible de déterminer l’accélération d’une parcelle d’air par
rapport à un référentiel en rotation,d~v
dt. Pour ce faire, nous allons appliquer la formule de
changement de repère à 2 reprises :
1. On l’applique au vecteur position (~R) afin de déterminer la relation entre la vitesse
absolue (va) et relative (v) :6ö ~Ω
-~R
*z1
AAK
y1
d~R
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“d~R
dt` ~Ωˆ ~R
~va “ ~v ` ~Ωˆ ~R (3.15)
Donc, la vitesse d’une parcelle à la surface de la Terre (p.r. au centre de la Terre), p~vaq,
est égale à la vitesse relative de la parcelle p~vq (par rapport au système en rotation ) et
celle associée à la rotation de la Terre (système de coordonnées)´
~Ωˆ ~R¯
.
2. On l’applique à la vitesse absolue. Alors, on remplace ~va and (3.14) :
d~vadt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“d~vadt` ~Ωˆ ~va
“
ˆ
d
dt
´
~v ` ~Ωˆ ~R¯
˙
`
´
~Ωˆ´
~v ` ~Ωˆ ~R¯¯
“
ˆ
d~v
dt
˙
`
˜
~Ωˆd~R
dt
¸
`
´
~Ωˆ ~v¯
`
”
~Ωˆ´
~Ωˆ ~R¯ı
(3.16)
On trouve finalement l’accélération Lagrangienne dans un référentiel inertiel :
d~vadt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“d~v
dt` 2~Ωˆ ~v ´ Ω2 ~R (3.17)
oùˆ
d~v
dt
˙
est l’accélération de la parcelle d’air par rapport au référentiel en rotation,´
2~Ωˆ ~v¯
est l’accélération due à la force de Coriolis set´
Ω2 ~R¯
est l’accélération centripète associé
au repère en rotation.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 41
Rappelons nous les lois de Newton : la somme des forces appliquées sur une parcelle
d’air est égale à la variation de sa quantité de mouvement. Cette loi est seulement valide
dans un référentiel intertiel. L’accélération d’une parcelle d’air par rapport au référentiel
absolu (Ex : centre de la Terre) est :
d~vadt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“ ´1
ρ~∇p` ~g˚ ` ~Ff (3.18)
où le côté droit de l’équation est la somme des forces réelles.
En météorologie, on travaille dans un référentiel fixe à la surface de la Terre. Celle-ci
doit être ajustée pour un référentiel en rotation. Alors, :
d~vadt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
“d~v
dt` 2~Ωˆ ~v ´ Ω2 ~R “ ´
1
ρ~∇p` ~g˚ ` ~Ff (3.19)
où, de la gauche vers la droite, on a l’accélération dans le référentiel au repos, l’accélération
dans le référentiel en rotation, accélérations apparentes (Coriolis et centrifuge) et les 3
derniers termes sont les forces réelles.
Donc, on obtient une équation de l’accélération d’une parcelle d’air dans un référentiel
en rotation :d~v
dt“ ´
1
ρ~∇p` ~g ` ~Ff ´ 2~Ωˆ ~v (3.20)
où :
‚ Force par unité de masse du gradient de pression : ´1
ρ~∇p
‚ Force par unité de masse de gravité effective : g “ ~g˚ ` Ω2 ~R
‚ Force par unité de masse de Friction : ~Ff‚ Force par unité de masse de Coriolis : ´2~Ωˆ ~v
L’équation (3.20) est un résultat important. Par contre, il est très difficile à analyser sous
cette forme. Étant donné que la Terre est sphérique, il est plus pratique de réécrire cette
équation en coordonnées sphériques.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 42
3.2.2 Équations du mouvement en coordonnées sphériques
Il est de coutume de travailler dans un système de coordonnées x, y et z pointant vers
l’est, le nord et le haut, respectivement. Donc, la vitesse est ~v “ uı ` v ` wk. Un petit
déplacement selon la latitude φ, la longitude λ et l’altitude z, engendre des changements
selon x, y et z suivant :
Selon x : On peut déduire que δx “ Rδλ :
HHHH
HH
δλ δx
R
λ : longitudeR : position par rapport à l’axe de rotationδλR “ δxÑ pa` zq cosφδλ “ δx
où a : rayon de la Terre et z est l’altitude de la parcelle
Selon y : on obtient la composante vitesse selon y :
HHHH
HH
δφ δy
a` z
φ : latitudea : rayon de la Terreδφpa` zq “ δy
Vu que z < 10 km et que le rayon de la Terre est 6371 km, on peut supposer que (a + z) „
a. Alors, on obtientdx
dt“ a cosφ
dλ
dt“ u
dy
dt“ a
dφ
dt“ v
dz
dt“ w
L’orientation des vecteur de i, j et k dépends de la position de la parcelle d’air par rapport
à la surface de la Terre. En suivant le déplacement d’une parcelle d’air, l’orientation de ces
vecteurs unitaires changeront. Donc,
d~v
dt“du
dtı`
dv
dt`
dw
dtk ` u
dı
dt` v
d
dt` w
dk
dt(3.21)
Par exemple, le vecteur unitaire suit la longitude. On remarque sur le globe que les longi-
tudes convergent vers les pôles. Ceci implique que la direction de change avec sa position
à la surface de la Terre.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 43
Déterminons la variation des vecteurs unitaires selon leur positions par rapport à la sur-
face de la Terre qui est sphérique :
˜
dı
dt,d
dt,dk
dt
¸
. Commençons avecdı
dt:
dı
dt“Bı
Bt` u
Bı
Bx` v
Bı
By` w
Bı
Bz(3.22)
—Bı
Bt“ 0, car il n’y a pas de changement local dans la direction des coordonnées (c’est-
à-dire que pour n’importe quel endroit, l’est pointe toujours vers l’est).
—Bı
Bx‰ 0, car ı change lorsqu’on se déplace le long d’un cercle de latitude.
—Bı
By“ 0, car ı ne change pas lorsqu’on se déplace sur l’axe nord-sud le long d’une
ligne de même longitude.
—Bı
Bz“ 0, car ı ne change pas lorsqu’on se déplace en hauteur (selon z).
On déduit que :dı
dt“ u
Bı
Bx(3.23)
HHHHHH
ouest
est
δλ δx
i
AAAK
i` δi
öPN~Ω
iAAAK
i` δi
δi
δλ
D’après le dessin, on voit que δx “ a cosφδλ et que |δı| “ |ı|δλ “ δλ comme |ı| “ 1.
Ainsi :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
δı
δx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“δλ
a cosφ ¨ δλ“
1
a cosφ(3.24)
où δı est dirigé selon l’axe de rotation. Il faut donc exprimer δı en terme des composantes
λ, φ, z pour déterminer sa direction.6
-φ Équateur
~Ωö
@@@Ij
k
δi φφ
i @@@@I
j
k
@@ -|i| cosφk
|i| sinφj
φ
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 44
D’après le dessin, on voit que δı a des composantes en et k. On trouve donc :
δı
δx“
´
sinφ´ cosφk¯
a cosφ(3.25)
On prend la limite quand δxÑ 0 et δiÑ 0, on obtient alors que :
dı
dt“
u
a cosφ
´
sinφ´ cosφk¯
(3.26)
Continuons avecd
dt:
d
dt“B
Bt` u
B
Bx` v
B
By` w
B
Bz(3.27)
—B
Bt“ 0, car il n’y a pas de changement dans la direction des coordonnées (c’est-à-dire
que pour n’importe quel endroit, le nord pointe toujours vers le nord).
—B
Bx‰ 0, car change lorsqu’on se déplace sur un cercle de même latitude. ( converge
vers les pôles)
—B
By‰ 0, car change lorsqu’on se déplace sur une même longitude.
—B
Bz“ 0, car ne change pas lorsqu’on se déplace en hauteur (selon z).
L’équation se réduit à :d
dt“ u
B
Bx` v
B
By(3.28)
Pour déterminer la variation de i selon x, tracer une une ligne en partant d’un point à la
surface de la Terre vers les pôles suivant j jusqu’à l’axe de rotation (β) :
6
- Équateur
~Ωö
@@@
@@
β
φ
a
a cosφ
φ
φ
β Ña cosφ
β“ sinφ
β “a
tanφ
HHHHHH
δλ δx
HHHY j
j ` δj
ö
~Ω
ouestβ
est
HHHYj
j ` δj?
δj δλ
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 45
On voit que δx “ βδλ, et que |δ| “ ||δλ. Vu que δx “a
tanφδλ, on obtient :
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
δ
δx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“tanφ
a(3.29)
où est dirigé dans la direction ˆi. On prend la limite quand δxÑ 0, on trouve :
δ
δx“ ´
tanφ
aı (3.30)
Déterminons maintenant la variation de j selon y en dessinant le la variation de j en se
déplaçant vers le pôle nord :
6
- Équateur
~Ωö
@@@I
j
AAAK
j ` δj
δφ
δy
a
@@@@Ij ` δj
δj
AAAAAAK
jδφ
On voit que δy “ aδφ et que |δ| “ ||δφ “ δφ. Ainsi :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
δ
δy
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“1
a(3.31)
où est dirigé dans la direction ´k. On prend la limite quand δy Ñ 0, on trouve que :
δ
δy“ ´
1
ak (3.32)
Donc, on obtient que :d
dt“´u tanφ
aı´
v
ak (3.33)
On applique finalement un raisonnement semblable à la composantedk
dt:
dk
dt“Bk
Bt` u
Bk
Bx` v
Bk
By` w
Bk
Bz(3.34)
—Bk
Bt“ 0, car il n’y a pas de changement dans la direction des coordonnées (c’est-à-
dire que pour n’importe quel endroit, l’altitude ne change pas de direction).
—Bk
Bx‰ 0, car k car en se déplaçant sur un cercle de latitude il change de direction.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 46
—Bk
By‰ 0, car k car en se déplaçant méridionalement il change de direction.
—Bk
Bz“ 0, car k car l’altitude ne change pas de direction.
On en déduit que :dk
dt“ u
Bk
Bx` v
Bk
By(3.35)
On remarque si la parcelle se déplace en est-ouest et nord-sud, la direction de k changera :
6
- Équateur
~Ωö
k
φ
a
Développons la composante selon i et j :
Déplacement selon i
HHHH
HH
δλ δx
HHHj
k
*
k ` δk
ö
~Ω
ouesta
est
HHHjk
*k ` δk 6δkδλ
Déplacement selon i
HHHH
HH
δφ δy
HHHj
k
*
k ` δk
ö
~Ω
Equ.a
Pôle N.
HHHjk
*k ` δk 6δkδφ
Noter qu’on utilise a dans les 2 cas car on a besoin du rayon de la Terre et non de la
distance selon l’axe de rotation. On voit que δx “ aδλ et que |δk| “ |k|δλ “ δλ comme
|k| “ 1. Ainsi :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
δk
δx
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“1
a(3.36)
où δk est en i. On trouve queδk
δx“
1
aı. De la même façon, on obtient que
δk
δy“
1
a. On
prend la limite quand δxÑ 0 et δy Ñ 0 et on obtient que :
dk
dt“u
aı`
v
a (3.37)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 47
Maintenant que nous avons développé chacune des composantes de l’accélération en
coordonnées sphériques, (3.26), (3.33) et (3.37), on obtient :d~v
dt“
ˆ
du
dt´uv tanφ
a`uw
a
˙
ı
`
ˆ
dv
dt`u2 tanφ
a`vw
a
˙
`
ˆ
dw
dt´u2 ` v2
a
˙
k (3.38)
On a développé l’accélération d’une parcelle dans un référentiel en rotation (accélération
relative) :d~v
dt“ ´
1
ρ~∇p` ~g ´ 2~Ωˆ ~v ` ~Ff
Il est alors possible d’obtenir l’accélération d’une parcelle d’air en coordonnées sphériques
qui prend en compte l’effet de la courbure de la Terre :ˆ
du
dt´uv tanφ
a`uw
a
˙
ı`
ˆ
dv
dt`u2 tanφ
a`vw
a
˙
`
ˆ
dw
dt´u2 ` v2
a
˙
k “ ´1
ρ~∇p`~g` ~Ff´2~Ωˆ~v
En développant l’équation en ses composante selon i, j et k :du
dt´uv tanφ
a`uw
a“ ´
1
ρ
Bp
Bx` 2Ωv sinφ´ 2Ωw cosφ` Ffx (3.39a)
dv
dt`u2 tanφ
a`vw
a“ ´
1
ρ
Bp
By´ 2Ωu sinφ` Ffy (3.39b)
dw
dt´u2 ` v2
a“ ´
1
ρ
Bp
Bz´ g ` 2Ωu cosφ` Ffz (3.39c)
Les termes en1
aviennent de l’effet de courbure de la planète. Ce sont les termes de cour-
bure. Par exemple, si une parcelle d’air se déplace vers l’est (ou l’ouest) à partir d’une
latitude φ0, à cause de la courbure de la Terre, elle sera déplacée au sud de cette latitude :
Pôle Nordφ0 `∆φ
φ0
φ0 ´∆φ-u ą 0
Equateur
dv
dt9´
u2 tanφ
a
Pour u ą 0 et u ă 0 Ñdv
dtă 0
Donc, à cause de la courbure de la Terre, elle subira une accélération vers le sud.
On remarque que ces équations sont compliquées. On remarque que l’accélération La-
grangienne peut être développée en ses composantes et que ces équations sont non-linéaires.
Par contre, il est possible de les simplifier en appliquant l’analyse dimensionnelle pour des
phénomènes météo en particulier.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 48
3.2.3 Équilibre géostrophique et hydrostatique (3.39)
Afin de simplifier les équations du mouvement, on doit définir des ordres de grandeur
pour le type de système que nous voulons étudier. Dans le cours de dynamique de l’atmo-
sphère, nous l’appliquons aux systèmes météorologiques sur l’échelle synoptique. Donc,
on fait une analyse dimensionnelle de l’équation du mouvement sur cette échelle.
Pour faire une analyse dimensionnelle, nous devons premièrement définir les dimensions
caractéristiques des systèmes métrologiques sur l’échelle synoptique :
‚ Vitesse du vent horizontal : U „ 10 m s´1
‚ Vitesse du vent vertical : W „ 0.01 m s´1
‚ Longueur : distance entre le centre de 2 systèmes météorologiques L „ 106 m.
‚ Fluctuations horizontales de pression : Différence entre la valeur centrale d’une dé-
pression et d’une anticyclone : ∆p=4 000 Pa (ou kg s´2 m´1), donc,δp
ρ„ 103 m2s´2
‚ Densité de l’air à la surface : ρ „ 1 kg m3
‚ Temps :L
U„ 105 s (ou 1 jour)
‚ Paramètre de Coriolis : f0 „ 2Ω sinφ0 „ 2Ω cosφ0 „ 10´4s´1 où φ0 “ 45˝ [Latitudes
moyennes]
‚ Profondeur : H „ 104 m
‚ Pression à la surface : p0=105 kg m´1 s´2
‚ Coefficient de viscosité cinématique :ν » 1.5ˆ 10´5 m2s´1
‚ Rayon de la Terre : a „ 7000km „ 107
Deuxièmement, on remarquedu
dtetdv
dtsont similaires et que celle verticale,
dw
dt, est dif-
férente. Alors, on va appliquer l’analyse dimensionnelle en 2 étapes.
Étape 1 : Analyse dimensionnelle verticale :
Selon z :dw
dt
u2 ` v2
a
1
ρ
Bp
Bzg 2Ωu cosφ Ffy
Éq. aux dimensions :UW
L
U2
a
p0
ρHg f0U
νW
H2
Ordre de grandeur : 10´7 10´5 10 10 10´3 10´15
On obtient alors l’équation hydrostatique qui est l’équilibre entre la force de gravité et la
force de gradient de pression :
0 “ ´1
ρ
Bp
Bz´ g
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 49
Étape 2 : Analyse dimensionnelle horizontale :
Selon x :du
dt
uv tanφ
a
uw
a
1
ρ
Bp
Bx2Ωv sinφ 2Ωw cosφ Ffx
Selon y :dv
dt
u2 tanφ
a
vw
a
1
ρ
Bp
By2Ωu cosφ Ffy
Éq. aux dimensions :U2
L
U2
a
UW
a
δp
ρLf0U f0W
νU
H2
Ordre de grandeur : 10´4 10´5 10´8 10´3 10´3 10´6 10´12
Au premier ordre, on remarque que l’accélération de Coriolis et celle associée au gradient
de pression horizontal ont le même ordre de grandeur („10´3). On peut alors simplifier
l’équation du mouvement horizontal et obtenir l’équilibre géostrophique :
0 “ ´1
ρ
Bp
Bx` fv (3.40a)
0 “ ´1
ρ
Bp
By´ fu (3.40b)
On peut alors définir le vent géostrophique :
vg “1
fρ
Bp
Bx(3.41a)
ug “´1
fρ
Bp
By(3.41b)
Et sous forme vectorielle :
~vg “1
fρk ˆ∇p (3.42)
Remarques :
i. L’équilibre géostrophique démontre l’importance de la force de Coriolis et de la force
du gradient de pression.
ii. Le vent est géostrophique lorsque le vent n’accélère pas. C’est-à-dire que si le vent
change de vitesse ou de direction, il n’est plus géostrophique.
iii. |~vg| est inversement proportionnel au paramètre de Coriolis f .
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 50
iv. Si on connait le gradient de pression horizontal, il est possible de calculer le vent
géostrophique. ~vg est toujours parallèle aux isobares avec les plus grandes valeurs à sa
droite.
Équilibre géostrophique
L H
p0 - ∆ p p0 p0 + ∆ p
~GP
-~CO
6
~vg
Déséquilibre géostrophique - frottement La force de frottement diminue la vitesse
L H
p0 - ∆ p p0 p0 + ∆ p
~GP
-~CO
@@I
~v
du vent et engendre une diminution de la force de Coriolis sans changer la force de
gradient de pression. Le vent n’est plus géostrophique.
v. À l’équateur, le vent géostrophique serait beaucoup trop fort p8q d’après (3.42) parce
que f “ 0. L’équilibre n’est plus valide :
— L’échelle de pression utilisée est fausse.
— L’ordre de grandeur de temps est faux.
La variation horizontale de pression dans les tropiques est beaucoup plus petite qu’aux
latitudes moyennes. Aux latitudes moyennes, les forces dominantes sont les forces de
Coriolis et de gradient de pression.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 51
3.2.4 Vent agéostrophique
L’équilibre géostrophique implique que le vent n’accélère pas. Pour connaitre l’accélé-
ration de la vitesse du vent, on doit appliquer l’analyse dimensionnelle au deuxième ordre.
Pour ce faire, nous allons considérer le deuxième plus grand terme de l’analyse dimension-
nelle horizontale (ordre de grandeur > 10´4). L’accélération du vent apparait dans l’analyse
dimensionnelle au deuxième ordre :
du
dt“ ´
1
ρ
Bp
Bx` fv (3.43a)
dv
dt“ ´
1
ρ
Bp
Bx´ fu (3.43b)
On remarque que l’équilibre géostrophique n’est plus valide lorsqu’il y a accélération
du vent. Dans un tel cas, le vent à une composante agéostrophique. On définit alors le vent
réel de cette façon :
~v “ ~vg ` ~vag (3.44)
où ~vg est le vent géostrophique et ~vag, le vent agéostrophique.
Dérivons le vent agéostrohpique. Premièrement, on écrit l’équation de la quantité de
mouvement sur l’échelle synoptique :
d~v
dt“ ´
1
ρ∇zp´ fk ˆ ~v
d~v
dt“ ´
1
ρ∇zp´ fk ˆ p~vg ` ~vagq
Par définition le vent géostrophique est
~vg “1
fρk ˆ∇zp
Multiplions de chaque côté par kˆ afin d’isoler le gradient de pression horizontal :
fk ˆ ~vg “ ´1
ρ∇zp
On obtient qued~v
dt“ ´fk ˆ ~va (3.45)
En appliquant l’identité vectorielle kˆ de chaque côté de l’égalité, on obtient le vent
agéostrophique :
~va “1
fk ˆ
d~v
dt(3.46)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 52
Exemple d’un coeur de courant jet :
- - - - --6 d~v
dt
~va
?d~vdt
~va@@R~v
~v
Entrée Sortie
3.2.5 Nombre de Rossby
Comment savoir si l’atmosphère est à l’équilibre géostrophique ? Physiquement, on a
vu que l’équilibre géostrophique suppose une accélération du vent négligeable. Donc, si
on compare l’ordre de grandeur de l’accélération du vent avec l’ordre de grandeur du para-
mètre de Coriolis, on obtient de l’information sur la validité de l’équilibre géostrophique.
Par exemple, si l’accélération est plus importante que la force de Coriolis, l’écoulement
n’est pas géostrophique. Ceci nous amène à définir le nombre de Rossby :
Ro “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
d~V
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
|fk ˆ ~V |„U2L
foU„
U
foL(3.47)
— Pour un petit Ro (Ro ăă 0, 1), le vent horizontal est approximativement géostro-
phique, car la force de Coriolis est 10 fois plus importante que l’accélération du
vent.
— Pour un grand Ro (Ro ą 0, 1), le vent horizontal n’est pas géostrophique, car l’accé-
lération du vent est plus importante que la force de Coriolis.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 53
Exemple 3-3 Comparer le terme de la courbure de la Terre u2 tanφa et la force de Coriolis
pour un projectile envoyé vers l’est à une vitesse de 1000 m/s sur une latitude de 45oN.
Quelle sera la déviation associée à son déplacement vers l’est d’une distance de 1000 km
causé par ces 2 termes ? Est-ce qu’il est possible de négliger le terme de courbure de la
Terre ? Pourquoi ?
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 54
Exemple 3-4 Le vent géostrophique est
~vg “1
ρfk ˆ∇p
a) Développer en ses composantes.
b) Calculer le gradient de pression horizontal si la densité de l’air est 1 kg/m3 et que le
vent géostrophique souffle à 20 m/s vers le nord-est. Supposer que φ “ 45˝.
c) À l’aide d’un schéma, montrer la direction du vent géostrophique par rapport aux
isobares et la direction du gradient de pression.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 55
3.3 Applications de l’équation du mouvement
3.3.1 Coordonnée verticale de pression
Il est parfois plus simple d’utiliser la pression comme coordonnée verticale, car elle per-
met d’éliminer la densité dans les équations du mouvement. Ce changement de coordonnée
verticale va nous permettre d’analyser le changement de hauteur du géopotentiel sur une
surface de pression constante.
- x
*y
6z
p0 `∆p
p0z constant
p constant
On cherche à représenter un champ de hauteurs géopotentielles sur une surface de
pression constante. Appliquons la différentielle de pression sur une surface de pression
constante :
pdpqp “
ˆ
Bp
Bx
˙
y,z
dxp `
ˆ
Bp
By
˙
x,z
dyp `
ˆ
Bp
Bz
˙
x,y
dzp “ 0 (3.48)
Cette expression est nulle car on analyse une surface de pression constante. Les indices
indiquent les variables qui sont gardées constantes.
Vu que la hauteur du géopotentiel varie en x et y sur une surface de pression constante,
on peut développer dzp :ˆ
Bp
Bx
˙
y,z
dxp `
ˆ
Bp
By
˙
x,z
dyp `
ˆ
Bp
Bz
˙
x,y
«
ˆ
Bz
Bx
˙
y,p
dxp `
ˆ
Bz
By
˙
x,p
dyp
ff
“ 0
Les termes en dxp et dyp sont maintenant combinés :«
ˆ
Bp
Bx
˙
y,z
`
ˆ
Bp
Bz
˙
x,y
ˆ
Bz
Bx
˙
y,p
ff
dxp `
«
ˆ
Bp
By
˙
x,z
`
ˆ
Bp
Bz
˙
x,y
ˆ
Bz
By
˙
x,p
ff
dyp “ 0
On obtient alors queˆ
Bp
Bz
˙
x,y
ˆ
Bz
By
˙
x,p
“ ´
ˆ
Bp
By
˙
x,z
etˆ
Bp
Bz
˙
x,y
ˆ
Bz
Bx
˙
y,p
“ ´
ˆ
Bp
Bx
˙
y,z
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 56
Il est à noter qu’on ne peut pas annuler les Bz car ils ne sont pas égaux. Supposer que
∆p
∆x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
z0
`∆p
∆zA
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
x0
∆zB∆x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
p0
“ 0
- x
6
z
p0 ` 2∆p
p0 `∆p
p0
p0 ´∆p
z0
x0
ÒÓ
∆zBÒÓ
∆zA
Ð Ñ∆x
En utilisant l’équation hydrostatique, on obtient que
´ρg
ˆ
Bz
Bx
˙
y,p
“ ´
ˆ
Bp
Bx
˙
y,z
et ´ ρg
ˆ
Bz
By
˙
x,p
“ ´
ˆ
Bp
By
˙
x,z
Donc, on en déduit que la variation de pression sur une hauteur constante a la même ten-
dance que la variation de hauteur sur une surface de pression.
´1
ρ
ˆ
Bp
Bx
˙
y,z
“ ´g
ˆ
Bz
Bx
˙
y,p
“ ´
ˆ
BΦ
Bx
˙
y,p
(3.49a)
´1
ρ
ˆ
Bp
By
˙
x,z
“ ´g
ˆ
Bz
By
˙
x,p
“ ´
ˆ
BΦ
By
˙
x,p
(3.49b)
3.3.2 Vent géostrophique
L’équation du mouvement horizontal sans friction sur une hauteur constante est :
d~v
dt“ ´
1
ρ∇zp´ fk ˆ ~v (3.50)
où seules les forces de gradient de pression (par unité de masse) et de Coriolis (par unité
de masse) sont présentes.
On peut alors ré-écrire l’accélération causée par la force de gradient de pression hori-
zontal :~Fgp “ ´∇pΦ (3.51)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 57
On voit que la force de gradient de pression en coordonnées verticales de ne dépend plus
de la densité. Ceci simplifie énormément les équations et est la raison principale d’adopter
un tel système de coordonnées. On peut alors réécrire (3.50) :
d~v
dt“ ´∇pΦ´ fk ˆ ~v (3.52)
En supposant une accélération nulle, on obtient le vent géostrophique sur une surface de
pression consante :
~vg “1
fk ˆ∇pΦ (3.53)
Il est beaucoup plus facile d’estimer le vent géostrophique sur une carte météorologique
en coordonnée de pression, car on a les lignes de géopotentiel et on n’a plus besoin de
connaître la densité. Alors, le vent géostrophique est parallèle aux géoptentiels (Φ) et sa
grandeur est proportionnelle au gradient de géopotentiel et inversement proportionnelle à
f comme pour le vent géostrohpique sur une hauteur constante.
3.3.3 Vent thermique
Il existe deux principaux équilibres dans l’atmosphère à l’échelle synoptique : l’équi-
libre géostrophique (force de Coriolis en équilibre avec force de gradient de pression) pour
un mouvement horizontal et l’équilibre hydrostatique pour un mouvement vertical. Com-
binons ces deux équilibres :
p0 = 1000 hPa(((
(((((((
(((((((
(((((((
(((((( p = 500 hPa
p = 300 hPa
6
Hauteur
6
?
Nord (Froid)
∆zNord
6
?
Équateur (Chaud)
∆zSud X
jxa
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 58
— L’air chaud occupe plus d’espace que l’air froid. Donc, une colonne d’air chaud sera
plus épaisse qu’une colonne d’air froid.
— Sur la figure, la distance entre la surface de 1000 hPa and 800 hPa devrait être plus
grande à l’équateur qu’aux pôles. Donc, la surface de pression descend vers les pôles.
Même chose entre la surface de 800 hPa et 500 hPa : la pente devrait être encore plus
accentuée. La même logique peut être appliquée aux surfaces géopotentielles.
— On voit que la force gradient de pression augmente en altitude (pente de la surface
de pression plus accentuée) ce qui fait augmenter la grandeur du vent géostrophique.
On en déduit qu’il y a un lien entre le cisaillement du vent géostrophique et le gradient
de température. Dérivons ce lien de manière mathématique.
On sait que le vent géostrophique sur une surface de pression constante est :
~vg “1
fk ˆ∇pΦ
Dérivons-le par rapport à p, on trouve :
B ~vgBp
“1
fk ˆ∇p
BΦ
Bp(3.54)
On remarque qu’on peut ré-écrire l’équation hydrostatique en terme de Φ :
Bp
Bz“ ´ρg ùñ Bp “ ´ρBΦ ùñ ´
RT
p“BΦ
Bp
On remplace dans (3.68) et on obtient que
B ~vgBp
“ ´R
fpk ˆ∇pT (3.55)
Par définition, le vent thermique est le cisaillement vertical du vent géostrophique :
~vT ” ~vg2 ´ ~vg1 (3.56)
Alors on doit intégrer (3.55) entre le niveau de pression 1 et 2 :ż vg2
vg1
B ~vg “ ´
ż p2
p1
R
fk ˆ∇pTB ln p
~vT “ ~vg2 ´ ~vg1 “R
flnp1
p2k ˆ∇T
(3.57)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 59
Et dans ses composantes :
uT “ ´R
fln
ˆ
p1
p2
˙ˆ
BT
By
˙
(3.58a)
vT “R
fln
ˆ
p1
p2
˙ˆ
BT
Bx
˙
(3.58b)
On remarque que le vent thermique, cisaillement vertical du vent géostrophique est pro-
portionnel à la température moyenne de la couche d’air. D’après la relation hypsométrique,
il est relié à l’épaisseur de cette couche. Il souffle toujours parallèlement aux isobares.
Advection de température
L’advection de température est le transport horizontal de masse d’air dans le temps qui
mène à un changement de température à un endroit donné. Il y a advection de température
lorsque le vent souffle à travers les isobares :FROID
CHAUD
6
y-
~VT
@@@R
~vgsfc ~vghaut
-~vT
@@@I
~vgsfc ~vghaut
mA
mB1) Si on connaît la direction du vent thermique, on peut déterminer le signe de l’advec-
tion de température géostrophique dans une colonne d’air.
A- Le vent géostrophique tourne dans le sens anti-horaire en altitude, causant une advec-
tion froide de température.
B- Le vent géostrophique tourne dans le sens horaire en altitude, causant une advection
chaude de température.
2) On peut estimer l’advection de température p´~vg ¨∇T q en utilisant la direction du
vent moyen : ~vg´moy “1
2
`
~vg´haut ` ~vg´bas˘
.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 60
Définitions :
i. Atmosphère barotrope : La densité ne varie pas sur un niveau pression donné et il n’y
a pas de gradient de température. dépend seulement de la pression.
Ñ ∇T = 0 et le vent thermique est 0.
ii. Atmosphère équivalente-barotrope : La densité ne varie pas avec la pression et il y a
une gradient de température. Les isothermes et isobares sont parallèles. Il n’y a pas
d’advection de température.
Ñ ∇T ‰ 0 et le vent thermique ( ‰ 0) est perpendiculaire au gradient de température.
(cisaillement du vent vertical)
6
y- x
p0 ´∆p
p0
ρ0 ´∆ρ
ρ0
iii. Atmosphère barocline : La densité dépend de la pression et de la température. Les
isothermes et les isobares se croisent. Il y a advection de température.
Ñ ∇T ‰ 0 et le vent thermique ‰ 0 mais il y a un cisaillement vertical de la direction
du vent géostrophique. (cisaillement du vent vertical)
6
y- x
p0 ´∆p
p0
AA
AA
AA
ρ0 ´∆ρ
AA
AA
AA
ρ0
ö
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 61
Exemple 3-5 La température moyenne de la couche d’air 750 hPa et 500 hPa décroît
vers l’est à un taux de 3˝C par 100 km. Calculer le vent géostrophique à 500 hPa si le vent
géostrophique à 750 hPa est 20 m/s vers le sud-est. Supposer f “ 10´4s´1.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 62
Exemple 3-6 À partir de l’équilibre du vent thermique, expliquer pourquoi les vent do-
minants vont vers l’est dans l’hémisphère nord. Est-ce que c’est dans la même direction
dans l’hémisphère sud ?
1) Comme la Terre n’est pas réchauffée également par le soleil, il y a un gradient de
température entre les pôles et l’équateur.
∇HT “ ´
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
BT
By
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
j
FROID
CHAUD
6
y
T0 ´∆T
T0
T0 `∆T
2) L’air chaud occupe plus d’espace que l’air froid. Donc, une colonne d’air chaud sera
plus épaisse qu’une colonne d’air froid. En effet, sur la figure, la distance entre les surfaces
de 1000 hPa et 500 hPa est plus grande à l’équateur qu’aux pôles. Donc, la hauteur de
surface de pression diminue vers les pôles. C’est la même chose entre les surfaces de 500
hPa et 300 hPa avec une pente encore plus accentuée.
p0 = 1000 hPa((((
(((((((
(((((((
(((((((
((((( p = 500 hPa
p = 300 hPa
6
Hauteur
6
?
Nord (Froid)
∆ZNord
6
?
Équateur (Chaud)
∆ZEq X
jxa
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 63
3) Ce gradient de température engendre un gradient de hauteurs géopotentielles,
∇pz “ ´
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Bz
By
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
j
ce qui engendre un vent géostrophique zonal :
~vg “g
f
ˆ
´Bz
Byi`
Bz
Bxj
˙
“ |ug |i
Ouest Est x-
6
Z
-
-
-
et ce gradient de température implique que la variation de hauteur est plus grande en
altitude qu’à la surface. Alors,
ug|300hPa ą ug|1000hPa
4) Ainsi, le vecteur résultant ug|haut ´ ug|bas sera dirigé vers l’est (provient de l’ouest).
C’est pourquoi le vent dominant dans l’atmosphère souffle de l’ouest vers l’est.
FROID
CHAUD
6
y
ă T0 ´∆T ą
ă T0 ą
ă T0 `∆T ą
-ug|haut
- ug|bas
-uT
Si le vent géostrophique à la surface est beaucoup plus petit qu’en altitude, les vents
dominants vont de l’ouest vers l’est. Dans l’hémisphère sud, le paramètre de Coriolis est
négatif car (φ ă 0) et le gradient de température est inversé. Alors, le vecteur cisaillement
du vent vertical est dirigé dans la même direction que dans l’hémisphère nord.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 64
3.3.4 Écoulement courbé
En réalité, l’utilisation de l’équilibre géostrophique n’est pas toujours réellement appli-
cable, car il suppose un écoulement linéaire. Or, autour des anticyclones et des dépressions,
l’écoulement est courbé : une accélération centripète est introduite avec la force du gradient
de pression. D’après (3.20), l’accélération du vent horizontal est donné par :
d~v
dt“ ´∇zΦ´ fk ˆ ~v
Coordonnées naturelles
Il est plus simple d’utiliser les coordonnées naturelles pour l’étude de l’accélération du
vent dans les courbes. Dans le système de coordonnées naturelles, s suit l’écoulement, n
Φ0
Φ0-∆Φ
6
-
n
s
6
-
n
s
r–R <0 r+R >0
est normal à l’écoulement et à la gauche de s, et k est vertical. ~V “ V s où V “dl
dtdans la
direction de s. L’accélération du vent suivant l’écoulement est donnée par :
d~V
dt“dV
dts` V
ds
dt(3.59)
Le termeds
dt“ds
dl
dl
dt, alors δψR “ δl et δψ|s| “ |δs|.
HHHHHH
δψ δl
R
s
AAAK
s` δs
sAAAK
s` δs
δs
δψ
On isole δψ pour obtenir|δs|
δl“
1
Ret pointe dans la direction normale à l’écoulement.Alors,
ds
dt“ds
dl
dl
dt“n
RV
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 65
et l’accélération devientd~V
dt“dV
dts`
V 2
Rn (3.60)
oùdV
dts est l’accélération d’une parcelle d’air selon l’écoulement et
V 2
Rn est l’accélération
centripète due à la courbure de l’écoulement.
On peut maintenant simplifier l’équation pour faciliter l’analyse du vent :
‚ Force de Coriolis en coordonnées naturelles :
Étant donné que l’écoulement suit s et que la force de Coriolis est à 90˝ (perpen-
diculaire à droite) de l’écoulement, on aura que ~Fco va pointer dans la direction de
´n :~Fco “ ´fk ˆ ~V “ ´fV n (3.61)
‚ Force de gradient de pression en coordonnées naturelles :
Étant donné que la force de gradient de pression peut varier dans les deux directions :
~Fgp “ ´∇Φ “ ´
ˆ
BΦ
Bss`
BΦ
Bnn
˙
(3.62)
En utilisant (3.61) et (3.62), on obtient l’accélération en coordonnées naturelles :
d~V
dt“dV
dts`
V 2
Rn “ ´
ˆ
BΦ
Bss`
BΦ
Bnn
˙
´ fV n (3.63)
En faisant correspondre les termes selon s de (3.63), on trouve l’accélération du vent
parallèle à l’écoulement :dV
dt“ ´
BΦ
Bs(3.64)
et en faisant correspondre les termes selon n de (3.63), on trouve l’accélération du vent
perpendiculaire à l’écoulement :
V 2
R` fV “ ´
BΦ
Bn(3.65)
Note : Pour un cas particulier où l’écoulement est parallèle au isohypsesˆ
BΦ
Bs“ 0
˙
et
que la vitesse du vent est constante selon l’écoulementˆ
dV
dt“ 0
˙
, on peut étudier le vent
en se référant seulement au changement normal à l’écoulement (3.65).
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 66
Donc, dépendamment de la contribution relative des trois forces normales à l’écoule-
ment (force de Coriolis, force de gradient de pression, force centrifuge), trois types de
vents différents peuvent décrire la situation.
3.3.5 Vent géostrophique
Étant donné que le vent géostrophique n’accélère pas et qu’il souffle seulement en ligne
droite, l’accélération centrifuge est nulle : RÑ 8 ùñV 2
R“ 0.
(3.65) devient :
fV “ ´BΦ
Bn
où la force de gradient de pression et la force de Coriolis sont en équilibre. C’est l’équilibre
géostrophique.
Vg “ ´1
f
BΦ
Bn(3.66)
On voit que le vent dépend du gradient du géopotentiel normal à l’écoulement.
Φ0
Φ0-∆Φ6
-
n
s-Vg
3.3.6 Vent cyclostrophique
À petite échelle horizontale, en basse latitude (près de l’équateur), la force de Coriolis
à une très petite influence sur l’équilibre du vent : f “ 0 ùñ fV “ 0. L’équation (3.65)
devient :V 2
R“ ´
BΦ
Bn
où la force centrifuge et la force de gradient de pression sont en équilibre. C’est l’équi-
libre cyclostrophique.
V “
ˆ
´RBΦ
Bn
˙12
(3.67)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 67
Pour avoir une solution physique (V ą 0), il faut une racine carrée réelle donc ´RBΦ
Bną
0.
6
V
L -
CENGP
n
?
V
L --CENGP
n
R ą 0 etBΦ
Bnă 0 R ă 0 et
BΦ
Bną 0
Un écoulement cyclostrophique est associé à une force centrifuge beaucoup plus impor-
tante que la force de Coriolis. Si on fait le ratio des deux forces, on obtient le nombre de
Rossby (voir section 3.2.5, p.52) :
Ro “
ˆ
V 2
R
˙
fV“
V
Rf
Exemple : Tornade
V “ 100 m/s, R “ 1000 m et f » 10´4 s´1, Ro “100 m/s
10´4 s´1 ¨ 1000 m= 103
Donc, le vent associé aux tornades est en équilibre cyclostophique (grand nombre de
Rossby), ce qui implique qu’elles peuvent tourner autant dans le sens horaire que dans le
sens anti-horaire. Par contre, en pratique, les parcelles d’air associées aux tornades arrivent
de systèmes convectifs avec un tourbillon positif. Il y a donc un vortex positif de généré
(sens anti-horaire).
3.3.7 Vent gradient
Lorsqu’aucune force ne peut être négligée, la force de gradient de pression, la force de
Coriolis et la force centrifuge sont en équilibre. On a que :
V 2
R` fV `
BΦ
Bn“ 0 (3.68)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 68
Vent gradient :
V “ ´fR
2˘
ˆ
f2R2
4´R
BΦ
Bn
˙12
(3.69)
La direction de V va dépendre de la direction de R. Encore une fois, pour avoir une
solution physique (V ą 0), il faut une racine carrée réelle doncf2R2
4´R
BΦ
Bną 0.
Tableau 1 : Possibilités pour le vent gradient
R ą 0 R ă 0
BΦ
Bną 0 ` 1.a
Impossible
´ 1.b
Impossible
` 2.a
Possible´ 2.b
Impossible
BΦ
Bnă 0 ` 3.a
Possible´ 3.b
Impossible
` 4.a
Possible´ 4.b
Possible
Cas 1)BΦ
Bną 0 et R ą 0
D’après (3.69), on a que V “ ´fR
2loomoon
ă0
˘
ˆ
f2R2
4loomoon
ą0
´RBΦ
Bnloomoon
ă0
˙12
ùñfR
2ą
ˆ
f2R2
4´R
BΦ
Bn
˙12
Donc, pour 1.a) et 1.b), pour avoir une solution mathématiquef2R2
4´ R
BΦ
Bną 0. La
solution donnera toujours un V ă 0 car R > 0. Ce ne sont pas des solutions physiques.
Cas 2)BΦ
Bną 0 et R ă 0
D’après (3.69), on a que V “ ´fR
2loomoon
ą0
˘
ˆ
f2R2
4loomoon
ą0
´RBΦ
Bnloomoon
ą0
˙12
ùñfR
2ă
ˆ
f2R2
4´R
BΦ
Bn
˙12
‚ Pour 2.b) où ´?, V ă 0. Ce n’est pas une solution physique.
‚ Pour 2.a) où ´?, V ą 0. C’est une solution physique.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 69
Raisonnement :
— V tourne dans le sens horaire car R ă 0. (On peut donc définir la direction de
n)
— ~Fgp est dirigée vers l’intérieur carBΦ
Bną 0.
— ~Fco est dirigée vers l’intérieur à droite du vent (hémisphère nord).
— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fco et ~Fgp.
ùñ Dépression anormale : pas observée dans la nature
?
V
L -- CEN
GPnCo
Cas 3)BΦ
Bnă 0 et R ą 0
D’après (3.69), on a : V “ ´fR
2loomoon
ă0
˘
ˆ
f2R2
4loomoon
ą0
´RBΦ
Bnloomoon
ą0
˙12
ùñfR
2ă
ˆ
f2R2
4´R
BΦ
Bn
˙12
‚ Pour 3.b) où ´?, V ă 0. Ce n’est pas une solution physique.
‚ Pour 3.a) où `?, V ą 0. C’est une solution physique.
Raisonnement :
— V tourne dans le sens anti-horaire car R ą 0. (On peut donc définir la direction
de n)
— ~Fgp est dirigée vers l’intérieur carBΦ
Bnă 0.
— ~Fco est dirigée vers l’extérieur à droite du vent (hémisphère nord).
— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fgp.
ùñ Dépression normale.6
V
L -
-CENGP
n
Co
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 70
Cas 4)BΦ
Bnă 0 et R ă 0
D’après (3.69), on a que : V “ ´fR
2loomoon
ą0
˘
ˆ
f2R2
4loomoon
ą0
´RBΦ
Bnloomoon
ă0
˙12
Pour avoir une solution
mathématique, une contrainte s’applique :f2R2
4´ R
BΦ
Bną 0. En supposant que la
contrainte est respectée,
‚ Pour 4.a) où `?, on a que V ě ´fR
2. C’est une solution physique.
Schématiquement :
— V tourne dans le sens horaire car R ă 0. (On peut donc définir la direction de
n)
— ~Fgp est dirigée vers l’extérieur carBΦ
Bnă 0.
— ~Fco est dirigée vers l’intérieur à droite du vent (hémisphère nord).
— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fco.
Il faut faire attention à l’importance relative des termes.
On peut les réarranger et les multiplier par V : 2V 2
Rě ´fV . On voit bien que ~Fcen
est deux fois plus importante que ~Fco. Donc, ~Fcen doit être plus grande que ~Fgp.
ùñ Anticyclone anormal. ùñ Anticyclone normal.
?
V
H --
- GPCo
n
CEN
?
V
H --- GPCo
n
CEN
‚ Pour 4.b) où ´?, on a que V ď ´fR
2. C’est une solution physique.
Raisonnement :
— V tourne dans le sens horaire car R ă 0. (On peut donc définir la direction de
n)
— ~Fgp est dirigée vers l’extérieur carBΦ
Bnă 0.
— ~Fco est dirigée vers l’intérieur à droite du vent (hémisphère nord).
— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fco.
Au contraire, pour V ď ´fR
2, ~Fgp doit être plus grande que ~Fcen.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 71
Conséquences :
i. Contrainte sur l’équilibre des forces autour d’un système de haute pression :f2R2
4´R
BΦ
Bną 0 (3.70)
On obtient une contrainte sur le gradient de pression d’un anticyclone qui dépend
de sa position et de son rayon de courbure. Dans un anticyclone, le gradient de
pression a une limite à son intensité. C’est pourquoi un anticyclone est associé
à des vents calmes. Par contre, pour une dépression, il n’y a pas de contrainte.
On peut donc observer des vents beaucoup plus forts, dus à un grand gradient de
pression.
ii. Si on inclut le vent géostrophique en coordonnées naturelles (3.53) dans l’équi-
libre du vent gradient (3.68), on obtient :V 2
R` fV ´ fVg “ 0 (3.71)
Et on peut ainsi obtenir le vent agéostrophique :
Va “ V ´ Vg “ ´1
f
V 2
R(3.72)
On voit que le vent agéostrophique dépend de la force centrifuge. Ceci explique
pourquoi il y a une accélération du vent dans des régions de fortes courbures.
— Pour un R ă 0 (circulation horaire), on aura que V ą Vg : Vent super-
géostrophique.
— Pour un R ą 0 (circulation anti-horaire), on aura que V ă Vg : Vent sous-
géostrophique.
Φ0
Φ0-∆Φ
Φ0+∆Φ
rR <0
rR >0
-
-
JJJ
-
-
JJ
Explique les zones de convergence et divergence en altitude (p < 500 hPa) et donc le
mouvement des vents verticaux qui influencent le temps qu’il fait.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 72
Exemple 3-7 Calculer le vent géostrophique (m/s) pour un gradient de pression de 1
kPa/103km. Comparer avec toutes les possibilités de vitesse de vent gradient pour le même
gradient de pression et pour un rayon de courbure de ˘500 km. Suppoer que ρ=1 kg m´3
et f=10´4 s´1.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 73
3.4 Conservation de la masse
Dérivation de l’équation de continuité : Considérons un bassin d’eau où l’eau y rentre
et s’écoule à cause d’une fuite. Pour estimer le taux de remplissage du bassin, il faut avoir
une idée du taux de l’eau qui entre et du taux de la fuite (eau qui sort). On peut écrire la
variation de l’eau dans le bassin comme étant :
Bmeau
Bt“ Flux entrant´ Flux sortant
Représentation mathématique : On considère un cube infinitésimal, fixe dans l’espace, et
où l’air s’écoule à travers le cube. On peut dériver en série de Taylor afin de déterminer
- -
δx
δy
δzrρuEntrée Sortieρu = le flux d’air au centre du cube selon xρ = densité de l’airu = vitesse de l’air
le flux de masse à l’entrée du cube :„
ρu´B
Bxρuδx
2
δyδz et à la sortie„
ρu`B
Bxρuδx
2
δyδz
Le taux d’accumulation de masse à l’intérieur du cube est la différence entre ce qui entre
et ce qui sort du cube :
BMx
Bt“
„
ρu´B
Bxρuδx
2
δyδz ´
„
ρu`B
Bxρuδx
2
δyδz
Alors,BMx
Bt“ ´
B
Bxpρuqδxδyδz
On peut faire les mêmes suppositions selon y et z, respectivement,
BMy
Bt“ ´
B
Bypρuqδxδxδz
etBMz
Bt“ ´
B
Bzpρuqδxδxδy
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 74
Le taux net d’accumulation de masse dans le cube est
BM
Bt“ ´
„
Bpρuq
Bx`Bpρvq
By`Bpρwq
Bz
δxδyδz
Si le cube a un volume δxδyδz, l’équation de continuité sous forme de divergence de la
masse :Bρ
Bt“ ´
ˆ
Bpρuq
Bx`Bpρvq
By`Bpρwq
Bz
˙
“ ´∇ ¨ pρ~vq (3.73)
En développant le terme de droite de (3.73), on trouve :
∇ ¨´
ρ~V¯
“ ρ∇ ¨ ~V ` ~V ¨∇ρ (3.74)
En insérant (3.74) dans (3.73), on obtient :
Bρ
Bt` ρ∇ ¨ ~V ` ~V ¨∇ρ “ 0 (3.75)
On obtient finalement l’équation de continuité sous forme de la divergence de la masse :
1
ρ
dρ
dt`∇ ¨ ~V “ 0 (3.76)
Implications :
i. Un fluide ou une parcelle d’air qui ne change pas de densité lors de son mouvementˆ
dρ
dt“ 0
˙
est un fluide incompressible. On voit bien qu’un fluide incompressible est
non-divergent´
∇ ¨ ~V “ 0¯
. L’idéal serait de ne pas avoir à faire de supposition sur la
compressibilité.
ii. L’atmosphère est un fluide compressible. Lorsqu’il y a un mouvement vertical, la com-
pressibilité associée avec la variation de ρ doit être prise en compte.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 75
-
6
?
∇ ¨ ÝÑV <0
Volume = V = ∆x∆y∆z
∆x
∆y
∆z
Volume’ = V’ = ∆x1∆y1∆z1∆x1
∆y1
∆z1
V’ <V
∆x1 <∆x
∆y1 <∆y
∆z1 <∆z
ρ augmente
Considérons la figure ci-haut où par définition le bas et le haut du cube ont des niveaux
de pression p et p`∆p. Le volume de cette parcelle d’air devient alors
δV “´δxδyδp
ρg(3.77)
où on a utilisé l’équation hydrostatique pδp “ ´ρgδzq.
Vu que la masse de la parcelle ne change pas durant son déplacement pδM “ 0q, on peut
adopter la forme lagrangienne de la masse : δM “ ρδV “´δxδyδp
g. On obtient :
dδM
dt“ 0
“d
dt
ˆ
´δxδyδp
g
˙
“1
δxδyδp¨
ˆ
dpδxq
dtδyδp`
dpδyq
dtδxδp`
dpδpq
dtδxδy
˙
(3.78)
Sachant que,dpδxq
dt“ δu,
dpδyq
dt“ δv et
dpδpq
dt“ δω, (3.78) devient :
δu
δx`δv
δy`δω
δp“ 0 (3.79)
Si on prend la limite Ñ 0, on obtient la forme isobarique de l’équation de continuité :
Bu
Bx`Bv
By`Bω
Bp“ 0 (3.80)
Sachant que ∇ ¨ ~Vh “Bu
Bx`Bv
By, On peut réarranger (3.80) :
∇ ¨ ~Vh “ ´Bω
Bp(3.81)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 76
Supposons qu’une convergence horizontale réduise l’aire horizontale d’une parcelle
d’air confinée entre 2 surfaces de pression constante. Dans ce cas, la masse du volume
matériel ne change pas (car les surfaces de pression ne changent pas). La masse totale par
unité d’aire contenue dans la parcelle d’air est constante car l’atmosphère est hydrosta-
tique. La colonne d’air doit donc s’étirer verticalement pour compenser la réduction de
l’aire horizontale. Donc, le volume se comporte comme étant incompressible. On compare
avec l’équation en coordonnées cartésiennes :
-
∇ ¨ ÝÑV <0
Aire = A = ∆x∆y
∆x
∆y
∆p et ∆z
A
Aire = A’ = ∆x1∆y1∆x1
∆y1
∆p et ∆z1
A1
A’ <A
∆p is constant
∆z >∆z1
La vitesse verticale en utilisant l’altitude en coordonnées verticales est
w “dz
dt
La vitesse verticale en utilisant la pression en coordonnées verticales est
ω “dp
dt“Bp
Bt`ÝÑV ¨∇p` wdp
dz
Si on applique une analyse à l’échelle, le changement de pression vertical est un ordre de
grandeur plus grand que le changement de pression horizontal. Alors, on peut supposer que
ω „ wdp
dz„ ´gρw
Des valeurs typiques de vitesse verticale sur l’échelle synoptique sont w = 0.01 m/s = 1
cm/s et ω = 0.1 Pa/s = 1 µbar/s.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 77
3.4.1 Analyse de l’équation de continuité
On peut intégrer l’équation de continuité (3.81) de la surface à un niveau de pression p :
ż ωh
ωs
Bω “ ´
ż ph
ps
δ ¨ Bp
On obtient :
ωppq “ ωs ´
ż ph
ps
δ ¨ Bp (3.82)
En connaissant la vitesse verticale à la surface, il est possible de l’estimer à tous les
niveaux. De façon générale cependant, la vitesse verticale est nulle à la surface (ωs “ 0).
Par exemple, supposons une situation où on a de la divergence (δ ą 0) en altitude et de la
convergence (δ ă 0) à la surface et que ω=0 à la surface et au sommet de l’atmosphère : In-
6
-
-
ωtop „ 0
ωsfc “ 0
tuitivement, on voit que la masse est conservée et donc, qu’il y a un mouvement ascendant.
De façon plus rigoureuse, on peut arriver au même résultat avec l’équation de continuité.
On suppose que la divergence varie linéairement avec la pression. Ceci implique que δ »
0 à p » 500 hPa. Vu que la divergence varie linéairement avec la pression, le profil vertical
de vitesse verticale (omega) aura un maximum au milieu de l’atmosphère. En supposant
que ω » 0 à la surface et à la tropopause.
? -
– +0δ
δ „0Ñ p „ 500 hPa
p
psfc
ptop
? -
p
– +0ω
ωmax Ñ p „ 500 hPa
Donc, de la convergence à la surface est associée à une dépression alors que de la diver-
gence à la surface est associée à un anticyclone.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 78
Ex : Démontrer que l’équation de continuité pour un fluide de densité variable peut être
écrite sous cette forme :1
V
dV
dt“Bu
Bx`Bv
By`Bw
Bz
où V est le volume de la parcelle de fluide.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 79
3.5 Conservation de l’énergie
L’énergie thermique est étudiée à partir de la 1ère loi de thermodynamique où
∆q “ cv∆T ` p∆α (3.83)
où ∆q est le changement de chaleur dans une parcelle d’air. Ce ∆q d’une parcelle d’air est
répartie dans l’énergie interne (cv∆T - volume constant) et dans le travail accompli sur l’air
environnante (p∆α).
On cherche a développer une équation qui représente le changement de température
local :
1) Éq. d’état : pα = RT, on fait la différentielle : αdp` pdα “ RdT - Rappel : cv+R = cp,
travail extern pour changer volume et énergie interne.
2) On remplace dans (4.1) : ∆q “ cv∆T `RdT ´ αdp
3) On divise par ∆T , et on prend la limite où ∆t tends vers 0 :
dq
dt“ cv
dT
dt`R
dT
dt´ α
dp
dt(3.84)
En sachant que cp “ cv ` R, on peut réécrire l’équation de la première loi de la thermo-
dynamique en coordonnées de pression :
9q “ cpdT
dt´ α
dp
dt(3.85)
En développantdT
dten coordonnées de pression verticale :
dT
dt“BT
Bt` u
BT
Bx` v
BT
By` ω
BT
Bp(3.86)
où ω “dp
dt, on obtient que
9q “ cp
ˆ
BT
Bt` u
BT
Bx` v
BT
By` ω
BT
Bp
˙
´ αω (3.87)
Puis, en réarrangeant les termes, on obtient :
BT
Bt“ ´~v ¨∇hT
loomoon
1
`
ˆ
α
cp´BT
Bp
˙
ωlooooooomooooooon
2
`9q
cploomoon
3
(3.88)
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 80
‚ Terme 1 : Advection de température horizontale : ´~V ¨∇hT
Advection chaude de T Advection froide de T
10˝C 5˝C 0˝C
∇T
-~v
´~v ¨∇hT “ ´|~v||∇hT | cosα
“ ´|~v||∇hT | cosp180˝q
ą 0
ñBT
Btą 0
10˝C 5˝C 0˝C
∇T
~v
´~V ¨∇hT “ ´|~v||∇hT | cosα
“ ´|~v||∇hT | cosp0˝q
ă 0
ñBT
Btă 0
Remarque : L’advection de température est seulement causée par le vent horizontal.
‚ Terme 2 :ˆ
α
cp´BT
Bp
˙
ω
où σp “
ˆ
α
cp´BT
Bp
˙
est la stabilité statique. Elle dépend de la variation de T avec
l’altitude par rapport au changement de température verticale suivant l’adiabatique
sèche.
La variation de température causée par le mouvement vertical de l’air dépend de la
stabilité statique de l’atmosphère qui est toujours calculée par rapport au gradient
de température vertical de l’adiabatique sèche (Γd). Afin de l’analyser en détail, on
analyse des 2 composantes séparément :ˆ
α
cp´BT
Bp
˙
ω “α
cpω
loomoon
A
´BT
Bpω
loomoon
B
A. Changement adiabatique de température :α
cpω
Correspond à de l’expansion et de la compression adiabatique de l’air associées
au mouvement vertical de l’air. Le termeα
cpest le gradient de température verti-
cale adiabatique sec (Γd). Dérivons-le.
Le gradient de température vertical suivant l’adiabatique sèche est déterminé en
supposant qu’aucune chaleur n’est ajoutée au système, soit ∆q = 0. C’est un
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 81
processus adiabatique (aucun transfère de chaleur externe – changement de tem-
pérature seulement dû au travail accompli).
dq
dt“ cp
dT
dt´ α
dp
dt
0 “ cpd lnT
dt´R
d ln p
dt
Si on intègre entre T et θ et entre p et p0 :ż θ
TcpdplnT q “
ż p0
pRdpln pq (3.89)
On obtient la température potentielle :
θ “ T
ˆ
p0
p
˙Rcp
(3.90)
On peut alors dériver la température potentielle par rapport à z :
B ln θ
dz“B lnT
dz`R
cp
ˆ
B ln p0
Bz´B ln p
Bz
˙
(3.91)
Étant donné que p0 est une constante, elle se réduit à :
1
θ
Bθ
Bz“
1
T
BT
Bz´
R
cpp
Bp
Bz
À l’aide de l’équation de l’équilibre hydrostatique et de l’équation des gaz par-
faits, on trouve :T
θ
Bθ
Bz“BT
Bz`g
cp
Si la température potentielle ne varie pas avec l’altitudeˆ
Bθ
Bz“ 0
˙
, le taux de
changement de la température dans une atmosphère “sèche” est
´BT
Bz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
d
“g
cp“ Γd “ 9.8˝C ¨ km´1 (3.92)
On peut aussi représenter Γd en terme de variation avec la pression à l’aide de
l’équation hydrostatique :BT
Bp
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
d
“α
cp(3.93)
B. Advection de température verticale : ´BT
Bpω
Ici ´BT
Bpest la variation de température de l’air environnent.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 82
Mouvement ascendant Ñ ω ă 0
A.
6
h
Expansion adiabatique
ùñ ωα
cpă 0
ùñBT
Btă 0
Refroidissement adiabatique de l’air
B.
6
pÓ
-
TÑ
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
6ω ă 0
Advection chaude de TÑBT
Bpą 0
ùñ ´BT
Bpω ą 0
ùñBT
Btą 0
Mouvement descendant Ñ ω ą 0
A.
?h
Compression adiabatique
ùñ ωα
cpą 0
ùñBT
Btą 0
Réchauffement adiabatique de l’air
B.
6
pÓ
-
TÑ
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
?
ω ą 0
Advection froide de TÑBT
Bpą 0
ùñ ´BT
Bpω ă 0
ùñBT
Btă 0
Remarque : L’effet de la compression (expansion) adiabatique est toujours de signe
opposé à l’advection verticale de température.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 83
‚ Terme 3 : Chaleur diabatique :9q
cp
¨ Réchauffement (augmentation de la température) :9q
cpą 0
¨ Refroidissement (diminution de la température) :9q
cpă 0
Le réchauffement adiabatique, 9q est important près de la surface.
Calcul du mouvement vertical
Dans le cas particulier où on a une atmosphère sans dégagement/absorption de cha-
leur diabatique´
9Q “ 0¯
, en état stationnaireˆ
BT
Bt“ 0
˙
et à stratification stable (σp ą 0),
l’équation thermodynamique se réduit à :
´ ~vh ¨∇T´σp
“ ω (3.94)
On voit que le terme d’advection de température au numérateur et le paramètre de sta-
bilité au dénominateur sont tous deux reliés à la vitesse verticale de l’air.
Donc, l’advection chaude de température est reliée à un mouvement vertical ascendant
et l’advection froide, à un mouvement vertical descendant. Ces approximations sont assez
importantes mais représentent bien les phénomènes observés. Par contre, un mouvement
d’air ascendant créé par l’advection chaude de température (terme1) va engendrer un re-
froidissement adiabatique de la température (terme 2). Donc, les termes 1 et 2 agissent l’un
contre l’autre.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 84
Ex : Sur une surface de pression à 850 hPa, le vent souffle du sud-est à une vitesse de 50
km/h. Le gradient de température horizontal est 20 ˝C par 300 km vers le sud. Au même
moment, la température à 800 hPa est -10 ˝C et augmente linéairement de 3 ˝C/50 hPa
jusqu’à 900 hPa. Calculer la vitesse verticale de l’air (Pa/s) sur ce niveau de pression en
considérant des conditions adiabatiques et une température locale constante.
CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 85
3.6 Résumé
On a maintenant simplifié nos équations valides pour les systèmes météorologiques sur
l’échelle synoptique au latitudes-moyennes. Voici un résumé des équations en coordonnées
cartésiennes avec la pression comme coordonnée verticale :
‚ L’équation du mouvement horizontal sans friction :
du
dt“ fv ´
BΦ
Bx
dv
dt“ ´fu´
BΦ
By
où Φ “ gz, z= hauteur sur une surface de pression p etd
dt“B
Bt` u
B
Bx` v
B
By` ω
B
Bp.
‚ L’équilibre hydrostatique :BΦ
Bp“ ´
1
ρ
‚ L’équation d’état :
p “ ρRT
‚ L’équation de continuité :Bu
Bx`Bv
By`Bω
Bp“ 0
‚ L’équation d’énergie :
BT
Bt“ ´u
BT
Bx´ v
BT
By` σpω `
9q
cp
‚ La stabilité statique
σp “α
cp´BT
Bp
Si on connait le taux de réchauffement (refroidissement) diabatique, 9q et les variables
qui décrivent l’écoulement sont : u, v, ω, Φ, ρ, T, on a un système équations complet.
C’est-à-dire qu’on a 6 équations et 6 inconnues. Par contre, ce système ne peut être résolu
analytiquement car il comprend des termes non-linéaires. Certains de ces termes sont des
produits entre variables et leurs dérivées.
Dans un premier temps, nous allons les utiliser afin d’étudier le tourbillon dans l’atmo-
sphère. Dans un deuxième temps, il est possible de réduire ces équations à une seule si
l’inconnue est Φ en appliquant des approximations quasi-géostrophiques.
Chapitre 4
Circulation et tourbillon
L’atmosphère est caractérisée par l’omniprésence de plusieurs variétés de fluides tour-
billonnants. Les plus importants tourbillons dans l’atmosphère aux latitudes moyennes sont
les dépressions (cyclones).La circulation et le tourbillon sont deux quantités primaires dans
la mesure de la rotation dans un fluide. La circulation est une quantité intégrale scalaire qui
donne une mesure macroscopique de la rotation d’un élément fluide. Le tourbillon est un
champ vectoriel qui donne une mesure microscopique de la rotation à un point dans un
fluide. Le changement temporel et le changement de la distribution du tourbillon sont fon-
damentalement reliés au temps de vie des dépressions aux latitudes moyennes.
4.1 Théorème de la circulation
Soit un réservoir d’eau de petit rayon R où l’eau est au repos. Si on applique une vi-
tesse tangentielle au réservoir, que va-t-il arriver ? Rotation et Augmentation du moment
angulaire du fluide. On utilise une rame pour donner une vitesse à l’eau. Si on tourne sur la
moitié de la circonférence, le fluide va tourner moins vite que si on applique la vitesse sur
toute la circonférence. Plus on rame sur une grande distance, plus il y aura de circulation
induite. Ceci implique que la circulation dans un fluide dépend de la vitesse de la rame et
de la distance à laquelle la vitesse est appliquée.
La circulation ΓC autour d’un contour fermé C représentant un élément fluide est défi-
nie comme l’intégrale linéaire autour d’un contour fermé qui correspond à la composante
86
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 87
tangentielle de la vitesse :
ΓC “
¿
C
~v ¨ dl “
¿
C
|~v| cosα ¨ dl (4.1)
où lpsq est le vecteur position entre l’origine et le point spx, y, zq sur le contour C et dl est
la limite de δl “ lps` δsq ´ lpsq quand δsÑ 0.
BBBBBM
~v
((((((
~l(s)hhhhhhh
~l(s + δ s)d~l
Par convention, ΓC ą 0 est une circulation anti-horaire ou cyclonique alors que ΓC ă 0
est une circulation horaire ou anti-cyclonique.
4.1.1 Changement de circulation
S’il y a accélération du vent le contour se déplacera/déformera dans l’écoulement. On
peut le visualiser comme le déplacement d’un collier de perle où les perles sont les éléments
fluides qui forment le contour fermé. Par exemple, en météorologie, le changement de
circulation est associé à l’intensification des anticyclones et des dépressions. Si la vitesse
du vent augmente, il y aura augmentation de la circulation autour des anticyclones et des
dépressions.
Pour étudier le changement d’un contour, on utilise la dérivée lagrangienne (1.7) de la
circulation :dΓCdt
“d
dt
¨
˝
¿
C
~v ¨ d~l
˛
‚“
¿
C
„
d
dt
´
~v ¨ d~l¯
(4.2)
où la partie gauche de (4.2) peut être exprimée comme suit :
d
dt
´
~v ¨ d~l¯
“d~v
dt¨ d~l ` ~v ¨
d~l
dt(4.3)
Comme ~l est le vecteur déplacement,dpd~lq
dt“ ~v. (4.3) devient :
d
dtp~v ¨ d~lq “
d~v
dt¨ d~l ` ~v ¨ d~v (4.4)
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 88
Le taux de changement de circulation (4.2) est donc :
dΓCdt
“
¿
C
d~v
dt¨ d~l `
¿
C
~v ¨ d~v
“
¿
C
d~v
dt¨ d~l `
¿
C
1
2d p~v ¨ ~vq (4.5)
Pour un contour fermé
¨
˝
¿
C
1
2d p~v ¨ ~vq “ 0
˛
‚, (4.5) se réduit à :
dΓCdt
“
¿
C
d~v
dt¨ d~l (4.6)
On remarque un lien entre l’accélération du vent et le changement de circulation. Voici 2
applications de cette relation :
1. Théorème de circulation de Kelvin
L’accélération absolue (rappel : référentiel absolu - forces réelles seulement) est seule-
ment causée par la force de gradient de pression et de gravité :
dΓCabsdt
“
¿
C
d~vabsdt
¨ d~l “
¿
C
ˆ
´1
ρ∇p´∇φ
˙
¨ d~l
“ ´
¿
C
∇pρ¨ d~l ´
¿
C
∇φ ¨ d~l (4.7)
où ∇φ “ ´gk est sur un niveau de pression constant et représente la force de gravité. Étant
donné que d~l est parallèle à k, d~l ¨ k “ dz. La partie droite de (4.7) devient :
∇φ ¨ d~l “ ´gdz “ ´dφ
´
¿
C
∇φ ¨ d~l “¿
C
dφ “ 0 (4.8)
car dφ est une différentielle exacte. Ce résultat veut dire qu’aucun travail n’est accompli
par la force de gravité indépendamment du trajet pour un circuit fermé. On trouve donc :
dΓCabsdt
“ ´
¿
C
∇pρ¨ d~l “ ´
¿
C
dp
ρ(4.9)
car ∇p ¨ d~l “ dp (le gradient de pression le long du trajet est la variation de pression).
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 89
Cette expression représente le moment angulaire d’un fluide. Si la densité ne dépend pas
uniquement de la pression mais aussi de la température, il y aura un mouvement de l’air
induit. Cette circulation tend à faire diminuer l’énergie potentielle du système.
CAS PARTICULIER : Pour un fluide barotrope, l’équation des gaz parfaits (3.5) implique
que dp “ RTdρ. Alors, (4.9) devient :dΓCabsdt
“ ´
¿
C
dp
ρ
“ ´
¿
C
RTdρ
ρ“ ´
¿
C
RTd ln ρ
“ 0
(4.10)
C’est le théorème de circulation de Kelvin.
2. Théorème de circulation de Bjerknes
Pour étudier le comportement d’un fluide sur la Terre, on doit considérer la circulation
relative. La vitesse le long d’un cercle de latitude sur la Terre sphérique est :
~v “ ~Ωˆ ~R (4.11)
où V “ ΩR sin θ et R “ a cosφ. Vu que les champs sont perpendiculaires, θ “ 90˝ et la
circulation vers l’est causée par la rotation de la Terre est U “ Ωa cosφ.
Si on calcule la circulation le long d’un élément de latitude-longitude :
φ + Δφ
φ - Δφ
λ λ + Δλ
B
C
A
D
En coordonnées sphériques, la longueur zonale de l’élément est dx “ a cosφ ¨ δλ où λ est
la longitude. Comme la circulation zonale n’a pas de composante méridionale (~U et d~l sont
perpendiculaire sur λ), seuls les côtés A et B sont considérés dans le calcul de la circulation
car la Terre tourne selon l’axe de rotation pointant vers le pôle nord :
Γp “
¿
C
~U ¨ d~l “ UApdxqA ´ UBpdxqB (4.12)
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 90
On obtient que la variation de la circulation due à la rotation de la Terre avec le temps est :
dΓpdt
“ 2Ω sinφ ¨dA
dt(4.13)
La circulation absolue est la somme de la circulation relative de la Terre et la circulation
causée par la rotation de la Terre. Donc, le changement de la circulation relative est :
dΓreldt
“dΓCabsdt
´dΓpdt
“ ´
¿
C
dp
ρ´ 2Ω sinφ
dA
dt(4.14)
C’est le théorème de circulation de Bjerknes.
On obtient un résultat similaire si on remplace l’accélération sans frottement d’une par-
celle à la surface de la Terre (accélération relative) :
dΓreldt
“
¿
C
d~v
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
rel
¨ d~l
oùd~v
dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
rel
“ ´1
ρ∇p´ fk ˆ ~v
On obtientdΓreldt
“ ´
¿
C
1
ρ∇p ¨ d~l ´
¿
C
fk ˆ ~v ¨ d~l
Le 1er terme est la circulation absolue et le 2ième terme est la contribution de Coriolis (de
la rotation de la Terre).
&%'$
-
6
?
6
?
-
‚ Ω est dirigée vers l’extérieur de la page (cyclonique)
‚ Supposons un écoulement divergent
:
a) L’effet de Coriolis va engendrer un circulation anticyclonique :dΓrel
dt<0
b)dA
dt>0Ñ - 2Ω sinφ
dA
dtÑ
dCrel
dt<0
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 91
Exemple 4-1 Brise de mer : a) Dériver le changement de circulation induite associée
avec une brise de mer. b) Supposons que p0 “ 1000 hPa, p1 “ 900 hPa, T 2 ´ T 1 “ 10˝C,
L “ 20 km et h “ 1 km, quelle sera l’accélération du vent causée par cette circulation ? c)
Quelle sera la vitesse du vent induite après 1h ? d) Quelle sera la circulation si l’atmosphère
est barotrope ?
a) Le changement de circulation induite à l’interface Terre-océan peut être étudié avec
le théorème de la circulation. Cette circulation est le résultat d’une atmosphère barocline
où ρ “ ρpp, T q. [faire le dessin]
Durant la journée, la température est plus élevée au-dessus du sol qu’au-dessus de l’eau
(durant l’été), T 1 ă T 2. Dans ce cas, la densité est plus grande au-dessus de l’eau :
ρ2 ă ρ1 ă ρ0.
Pour un fluide barocline où nous pouvons négliger l’effet de Coriolis :
dΓCabsdt
“ ´
¿
C
dp
ρ“ ´
¿
C
RTdp
p“ ´
¿
C
RTd ln p
On peut diviser la surface en quatre côtés, A, B, C et D :
dΓCabsdt
“ ´
¿
C
RTd ln ρ “ ´R
„
pTd ln pqA ` pTd ln pqB ` pTd ln pqC ` pTd ln pqD
La circulation est nulle sur les côtés C et D, car la pression est constante (d ln p “ 0).
Alors :
dΓCabsdt
“ ´
¿
C
RTd ln ρ “ ´R
„
pT2d ln pqA ` pT1d ln pqB
Par définition, l’intégration se fait dans le sens anti-horaire :
dΓCabsdt
“ ´
¿
C
RTd ln ρ “ ´R
„ˆ
T 2 lnp1
p0
˙
A
`
ˆ
T 1 lnp0
p1
˙
B
Donc, la circulation induite est donnée par :dΓCabsdt
“ R lnp0
p1
`
T 2 ´ T 1
˘
où T 2 - T 1> 0, doncdΓCabsdt
ą 0.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 92
b) Avec p0 “ 1000 hPa, p1 “ 900 hPa, T 2 ´ T 1 “ 10˝C, L “ 20 km et h “ 1 km, il est
possible de calculer l’accélération du vent causée par la brise de mer.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 93
4.2 Définition du tourbillon
La circulation est une caractéristique importante d’un fluide. Malheureusement, il n’est
pas évident de mesurer la vitesse tangentielle autour d’un contour d’un nombre discret
d’éléments de fluide. On a vu au chapitre 1 que le tourbillon est une propriété cinématique
d’un fluide. Il représente une mesure microscopique de la rotation d’un fluide. Le tourbillon
est le rotationnel de la vitesse :~T “ ∇ˆ ~v (4.15)
En météorologie dynamique, on est particulièrement intéressé à la rotation d’un fluide dans
un plan horizontal (par exemple : dépressions aux latitudes moyennes, ouragans et tor-
nades), ce qui est relié à la composante verticale du tourbillon. On l’appelle le tourbillon
relatif :
ζ “ k ¨∇ˆ ~v “ Bv
Bx´Bu
By(4.16)
Supposons un élément fluide suivant placé dans un champ donné :
B D
A
C
δy
δx
A : u
B : v +Bv
Bxδx
C : u +Bu
Byδy
D : v
Par convention, on intègre dans le sens anti-horaire et la circulation autour de cet élément
fluide est
ΓC “
¿
C
udx` vdy “ uδx`
ˆ
v `Bv
Bxδx
˙
δy ´
ˆ
u`Bu
Byδy
˙
δx´ vδy “Bv
Bxδxδy ´
Bu
Byδyδx
(4.17)
où A “ δyδx est l’aire de l’élément de fluide.
La circulation est donc donnée par :
ΓC “
ˆ
Bv
Bx´Bu
By
˙
A (4.18)
On peut généraliser (4.18) en faisant la sommation de petits carrés dans un élément
fluide :
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 94
A B
- Diviser l’élément fluide en petits carrés.- Analyse la circulation sur chacun des carrés.- La circulation du coté A-B s’annule.- La sommation sur tous les carrés de l’élément fluide,Ñ seulement le contour extérieur de l’élément fluide
contribue à la circulation.
On obtient alors :
ΓC “
¿
C
udx` vdy “
ij
A
ˆ
Bv
Bx´Bu
By
˙
dxdy (4.19)
qui correspond au théorème de Stokes :¿
C
~v ¨ d~l “
ij
A
p∇ˆ ~vq n ¨ dA (4.20)
A
nSi A est dans le plan horizontal xyp∇ ¨ ~vq ¨ n pointe vers z positif
À partir du théorème de Stokes (4.20), il est aussi possible de déterminer le tourbillon
planétaire :
Tp “ΓpA“
2Ω ¨ A ¨ sinφ
A“ 2Ω sinφ “ f
Tourbillon absolu = tourbillon relatif + tourbillon planétaire :
η “Bv
Bx´Bu
By` f “ ζ ` f
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 95
Exercice : Un carré de 800 km de coté est introduit dans un écoulement vers l’ouest
qui diminue en grandeur vers le nord à un taux de 10 ms´1 par 400 km. Quelle sera la
circulation autour du cercle ? Quel sera le tourbillon relatif dans le carré ? Utiliser deux
méthodes pour y arriver.
(Mid-Latitude Atmospheric Dynamics – Jonathan E. Martin, problème 5.5)
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 96
4.3 Équation du tourbillon
Comme c’est souvent le cas en météorologie, on est intéressé par le changement tempo-
rel du tourbillonˆ
dζ
dt
˙
. On sait que ζ = BvBx ´
BuBy , alors
Bζ
Bt“B
Bt
ˆ
Bv
Bx´Bu
By
˙
Bζ
Bt“B
Bx
ˆ
Bv
Bt
˙
´B
By
ˆ
Bu
Bt
˙
(4.21)
On utilise l’équation de la quantité de mouvement en coordonnées cartésiennes sans frot-
tementd~v
dt“ ´fk ˆ ~v ´
1
ρ∇p
que nous avons développé en composante eulérienne :
Bu
Bt“ ´u
Bu
Bx´ v
Bu
By´ w
Bu
Bz` fv ´
1
ρ
Bp
Bx(4.22a)
Bv
Bt“ ´u
Bv
Bx´ v
Bv
By´ w
Bv
Bz´ fu´
1
ρ
Bp
By(4.22b)
pour dériver la variation de tourbillon absolu dans le temps. On peut alors remplacer dans
(4.22) et on obtient :
Bζ
Bt“ ´u
Bζ
Bx´ v
Bζ
By´ w
Bζ
Bz´ pζ ` fq
ˆ
Bu
Bx`Bv
By
˙
´
ˆ
Bw
Bx
Bv
Bz´Bw
By
Bu
Bz
˙
´ uBf
Bx
´vBf
By`
1
ρ2
ˆ
Bρ
Bx
Bp
By´Bρ
By
Bp
Bx
˙
(4.23)
Combinons les termes d’advection :
Bζ
Bt` u
Bζ
Bx` v
Bζ
By` w
Bζ
Bz` u
Bf
Bx` v
Bf
By“
´pζ ` fq
ˆ
Bu
Bx`Bv
By
˙
´
ˆ
Bw
Bx
Bv
By´Bw
By
Bu
Bz
˙
`1
ρ2
ˆ
Bρ
Bx
Bp
By´Bρ
By
Bp
Bx
˙
(4.24)
Comme f varie seulement en y, on peut écrire :
df
dt“Bf
Bt` u
Bf
Bx` v
Bf
By` w
Bf
Bz
df
dt“ v
Bf
By(4.25)
On obtient l’équation du tourbillon :
dpζ ` fq
dt“ ´pζ ` fq
ˆ
Bu
Bx`Bv
By
˙
´
ˆ
Bw
Bx
Bv
Bz´Bw
By
Bu
Bz
˙
`1
ρ2
ˆ
Bρ
Bx
Bp
By´Bρ
By
Bp
Bx
˙
(4.26)
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 97
‚ Taux de variation lagrangien du tourbillon absolu :dpζ ` fq
dt
‚ Terme de divergence : ´pζ ` fqˆ
Bu
Bx`Bv
By
˙
A. Analogie avec la conservation du moment angulaire (ex : un patineur artistique) :
Le tourbillon dans un fluide est le rapport entre la circulation et l’aire de l’élément
fluide :
— Lorsqu’il y a divergence dans un fluide, l’aire du fluide augmente. Si la cir-
culation est conservée, l’aire augmente à cause de la divergence, le tourbillon
va diminuer.
— Lorsqu’il y a convergence dans un fluide, l’aire du fluide diminue. Si la cir-
culation est conservée, l’aire diminue à cause de la convergence, le tourbillon
va augmenter.
-
-
-
-
-
t = 0 t > 0
A
A’
δ<0ζ>0
ζ’ > > 0
Convergence horizontale : δ < 0
Étirement : A > A’
Le tourbillon relatif augmente dans le temps : ζ<ζ’
Convergence horizontale fait augmenter le
tourbillon relatif :Bζ
Bt= -δζ >0
Augmentation (diminution) du tourbillon
cyclonique (anticyclonique)
B. Force de rappel
t = 0
-
6
?
δ < 0
t > 0
-
6
?L Hémisphère nord
Bζ
Bt> 0
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 98
‚ Terme de basculement : ´ˆ
Bw
Bx
Bv
Bz´Bw
By
Bu
Bz
˙
Ce terme est le basculement du tourbillon horizontal dans le plan vertical.
Supposons un cas idéalisé où une augmentation d’un tourbillon cyclonique est asso-
ciée àBu
Bzą 0 et
Bv
Bz“ 0 :
Bu
Bzą 0
6
-
-
-œ
Bw
Byą 0
6
-6
6ö
Cisaillement vertical du vent horizontal :Bu
Bz> 0
Variation du vent vertical horizontalement :
Bw
By> 0. Donc,
Bζ
Bt“Bu
Bz
Bw
By> 0
Augmentation du tourbillon cyclonique
(composante k)
Ce terme est important quand les termes du cisaillement du vent horizontal et de la
vitesse verticale sont grands. Par exemple, il peut servir de mécanisme de formation
des cyclones à l’échelle méso (ex :orages).
‚ Terme solénoïde (ou barocline) :1
ρ2
ˆ
Bρ
Bx
Bp
By´Bρ
By
Bp
Bx
˙
6
y- x
t = 0 - Atmosphère barocline - t > 0 - Atmosphère équivalent barotrope -
p0 ´∆p
p0
AA
AA
AA
ρ0 ´∆ρ
AA
AA
AA
ρ0
p0 ´∆p
p0
ρ0 ´∆ρ
ρ0
Bp
Byă 0 et
Bp
Bx“ 0 ;
Bρ
Bx< 0Ñ
Bζ
Bt> 0
ö
Bp
Byă 0 et
Bρ
By“ 0Ñ
Bζ
Bt= 0
Ce terme n’est généralement pas important à l’échelle synoptique. Il est important pour
la circulation associée à la brise de mer et de Terre. Dans ce cas, le tourbillon n’est pas par
rapport à k mais par rapport à un axe horizontal.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 99
4.3.1 Analyse à l’échelle
Afin de simplifier l’équation du tourbillon, il est utile de lui appliquer une analyse à
l’échelle.
‚ Tourbillon relatif : ζ “Bv
Bx´Bu
By„U
L„ 10´5 s´1
‚ Tourbillon planétaire : f0 “ 10´4 s´1
Le tourbillon planétaire est plus important que le tourbillon relatif par un ordre de
grandeur (10ˆ plus important).
‚ Changement local de tourbillon :Bζ
Bt„U2
L2„ 10´10 s´2
‚ Terme d’advection de tourbillon relatif :
¨ uBζ
Bx, vBζ
By„U2
L2„ 10´10 s´2
¨ wBζ
Bz„WU
HL„ 10´11 s´2
‚ Terme d’advection de tourbillon planétaire : vBf
By„ Uβ „ 10´10 s´2
‚ Terme de divergence : ´pζ ` fqδ „ ´fδ „f0U
L„ 10´9 s´2
‚ Terme de basculement :ˆ
Bw
Bx
Bv
Bz´Bw
By
Bu
Bz
˙
„ 10´11 s´2
‚ Terme solénoïde :1
ρ2
ˆ
Bρ
Bx
Bp
By´Bρ
By
Bp
Bx
˙
„ 10´11 s´2
Note : Certains termes font intervenir une somme de dérivées. Il est possible que ces
dérivées s’annulent entre elles. Ceci résulterait en une valeur encore plus petite que suggère
l’analyse à l’échelle typique.
L’analyse à l’échelle suggère que le changement local de tourbillon et les termes d’ad-
vection du tourbillon et de divergence sont les plus importants. Si l’advection a un ordre de
grandeur de 10´10 s´1 et f0 “ 10´4 s´1, la divergence a un ordre de grandeur de δ „ 10´6
s´1.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 100
Et l’équation du tourbillon absolu (4.26) se réduit à :
Bζ
Bt` u
Bζ
Bx` v
Bζ
By` v
Bf
By“ ´pζ ` fq
ˆ
Bu
Bx`Bv
By
˙
(4.27)
Étant donné quedf
dt“ v
Bf
By, et que η “ ζ ` f , on peut réécrire (4.27) comme suit :
dη
dt“Bη
Bt` ~v ¨∇η “ ´ηδ (4.28)
Résumé : Sur l’échelle synoptique, la rotation dans un fluide dépend de la présence
de divergence dans le fluide. La divergence dans le fluide implique aussi la présence de
mouvements ascendants et descendants associés à l’équation de continuité.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 101
4.3.2 Cas particulier pour un fluide hydrostatique et homogène
Suppositions :
— Homogène : ρ “ constante (incompressible).
— Hydrostatique :Bp
Bz“ ´ρg
— Barotrope : ppρq9ppT q.
Conséquences :
dpζ ` fq
dt“ ´pζ ` fq
ˆ
Bu
Bx`Bv
By
˙
´
ˆ
Bw
Bx
Bv
Bz´Bw
By
Bu
Bz
˙
`1
ρ2
ˆ
Bρ
Bx
Bp
By´Bρ
By
Bp
Bx
˙
— Terme solénoïde = 0 car homogène donc incompressible.
— Terme de basculement = 0, car hydrostatique et homogène. Ainsi u et v sont indé-
pendant de z initialement et vont le rester. (∇T = 0,Bu
Bz“Bv
Bz“ 0)
Le changement de tourbillon absolu (4.26) est donc réduit à :
d
dtpζ ` fq “ ´pζ ` fqδ (4.29)
En utilisant l’équation de continuité en coordonnées cartésiennes pour un fluide incom-
pressible :d
dtpζ ` fq “ pζ ` fq
Bw
Bz(4.30)
La hauteur d’une colonne d’air varie seulement en fonction de la topographie à la surface
ps “ hbpx, yqq et varie dans le temps en altitude ph “ hpx, y, tqq :
h
s h(x,y)
h(x,y,t) z
Étant donné que dans un fluide barotrope, il n’y a pas de cisaillement dans le vent vertical
(∇hT “ 0), on peut écrire :ż h
s
d
dtpζ ` fqdz “
ż h
spζ ` fq
Bw
Bzdz
d
dtpζ ` fqph´ sq “ pζ ` fqpwh ´ wsq (4.31)
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 102
où ws “ds
dtet wh “
dh
dtparce que, par définition, w “
dz
dt. En développant (4.31), on
trouve :d
dtpζ ` fqph´ sq “ pζ ` fq
d
dtph´ sq
d
dtlnpζ ` fq “
d
dtlnph´ sq
d
dtlnpζ ` fq ´
d
dtlnph´ sq “
d
dtlnpζ ` fq
ph´ sq“ 0
Si on définit H comme étant la hauteur de la colonne d’air tel que H “ h´s, on obtient :
d
dtlnpζ ` fq
H“ 0 (4.32)
Ainsi en intégrant (4.32), on conclut que l’équation du tourbillon potentiel pour le mo-
dèle d’eau peu profonde est :pζ ` fq
H“ constante (4.33)
Donc, une parcelle d’air en se déplaçant doit conserver le tourbillon potentiel.
Exemple 1 : Tracer la trajectoire d’une parcelle d’air se déplaçant vers le nord en terrain
plat.
En terrain plat, la hauteur du tube vortex ne change pas et le tourbillon absolu doit être
conservé :ζ ` f
H“ cst. Noter que H est constant en terrain plat.
Nord
ζ=0
ζ>0
ζ<0
La trajectoire d’une parcelle se déplaçant initialement vers le nord aura un trajectoire en
oscillation.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 103
Exemple 2 : Quelle est la trajectoire d’un tube vortex passant au-dessus d’une montagne de
l’ouest vers l’est ?
On confine une parcelle d’air (tube vortex, tv) qui s’étire entre la surface et la tropo-
pause. Le sommet de la troposphère s’étend sur une distance horizontale plus grande que
la montagne.
Vent de l’ouest 6
?
H
On applique la conservation du tourbillon potentiel :pζ ` fq
H“ constante où H est la hau-
teur entre la surface et la tropopause.
A. Un vent purement de l’ouest aura un f constant (même latitude) et mouvement rectiligne
sans cisaillement horizontal (ζ=0).
B. À mesure que le tv s’approche de la montagne, HÒ ce qui implique que (f ` ζ) Ò. Vu
que f est constant, ζ Ò.
C. Lorsque le tv monte la montagne, HÓ ce qui implique que (f ` ζ) Ó donc vu que f > 0
étant donné le déplacement vers le nord, ζ ă 0 assez pour compensser l’effet de f.
D. Le tv descends la montagne (HÒ), ce qui implique que (f ` ζ) Ò donc vu que f < 0 étant
donné le déplacement vers le sud, ζ ą 0 assez pour compensser l’effet de f.
E. La hauteur de la troposphère diminue (HÓ), ce qui implique que (f ` ζ) Ó donc, vu que
f > 0 à cause du déplacement vers le nord, ζ ă 0 doit diminuer.
Donc, on remarque que f ne varie pas dans la même direction que ζ. Le concept de la
conservation du tourbillon potentiel explique la formation d’un creux aux pieds des mon-
tagnes associé avec un vent de l’ouest. La trajectoire de la parcelle d’air oscillera.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 104
Exemple 3 : Quelle est la trajectoire d’un tube vortex passant au-dessus d’une montagne de
l’est vers l’ouest ?
On confine une parcelle d’air (tube vortex, tv) s’étirent entre la surface et la tropopause.
Le sommet de la troposphère s’étend sur une distance horizontal plus grande que la mon-
tagne.
Vent de l’est6
?
H
On applique la conservation du tourbillon potentiel :pζ ` fq
H“ constante où H est la hau-
teur entre la surface et la tropopause.
A. Un vent purement de l’est aura un f constant (même latitude) et mouvement rectiligne
sans cisaillement horizontale (ζ=0).
B. À mesure que le tv s’approche de la montagne, HÒ ce qui implique que (f ` ζ) Ò. Vu
que f est constant, ζ Ò.
C. Lorsque le tv monte la montagne, HÓ ce qui implique que (f ` ζ) Ó donc vu que f < 0
étant donné le déplacement vers le sud, ζ ă 0 assez pour compasser l’effet de f.
D. Le tv descends la montagne (HÒ), ce qui implique que (f ` ζ) Ò donc vu que f > 0 étant
donné le déplacement vers le sud, ζ ą 0 assez pour compasser l’effet de f.
E. La hauteur de la troposphère diminue (HÓ), ce qui implique que (f ` ζ) Ó mais vu que f
et ζ agissent dans le même sens, la trajectoire revient a peu près à sa position de départ.
Ceci implique aucune oscillation dans la trajectoire de la parcelle d’air.
CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 105
Exercice : (Mid-Latitude Atmospheric Dynamics – Jonathan E. Martin, problème 5.9)
Une colonne d’air est initialement au sommet d’une montagne à 5000 m d’altitude à 40˝S,
s’étire à 10 km d’altitude et a un tourbillon relatif de 0. Supposer que cette colonne d’air
est transportée vers l’est jusqu’à une élévation de 1000 m. Quelle sera le tourbillon relatif
si l’écoulement est barotrope ?
Chapitre 5
Théorie quasi-géostrophique
5.1 Introduction
La théorie quasi-géostrophique permet d’analyser et de prévoir le mouvement et l’inten-
sité des systèmes météorologiques aux latitudes moyennes étant donné que l’atmosphère
tente d’être en équilibre géostrophique et hydrostatique. Il est alors possible de réécrire
l’équation thermodynamique, l’équation du tourbillon et l’équation de continuité en termes
de vents géostrophique et agéostrophique en faisant trois suppositions principales.
Ces équations vont permettre de développer des relations entre chacun des processus
observés dans l’atmosphère afin de prédire le changement des hauteurs du géopotentiel et
de diagnostiquer la vitesse verticale de l’air.
106
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 107
5.2 Suppositions
L’approximation quasi-géostrophique est basée sur 3 suppositions principales. Ces sup-
positions sont ensuite appliquées au système d’équations développé pour les systèmes mé-
téorologiques sur l’échelle synoptique.
Rappel :d~v
dt` fk ˆ ~v “ ´∇Φ (5.1)
BΦ
Bp“ ´α “ ´
RT
p(5.2)
∇ ¨ ~v ` BωBp“ 0 (5.3)
ˆ
B
Bt` ~v ¨∇
˙
T ´ σpω “9Q
cp(5.4)
où ω “dp
dtet σp “ ´T
B ln θ
Bp.
La dérivée totale lagrangienne en coordonnées isobariques est :
dQ
dt“
ˆ
BQ
Bt
˙
p
` p~v ¨∇Qqp ` ωBQ
Bp(5.5)
où Q est un champ quelconque.
Premièrement, on a défini que ~v “ ~vg ` ~va et que pour notre système d’équation |~va| ăă
|~vg| i.e. ~v est presque géostrophique. Pour ces systèmes météorologiques, |w| ăă |vH | où
w „ 1 cm/s et vH „ 10 m/s. Alors, l’advection verticale de la quantité de mouvement estˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ωBu
Bp
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
„10´1Pasˆ 10ms
105Pa„ 10´5ms´2.
Comparons la avec l’advection horizontale : uBu
Bxou v
Bv
By„UU
L„
100m2s2
106m„ 10´4ms´2.
On peut alors négliger la composante verticale de l’advection de la quantité de mouvement.
On peut ainsi estimer la dérivée Lagrangienne quasi-géostrophique :du
dt„Bu
Bt`u
Bu
Bx`vBu
By
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 108
Deuxièmement, l’approximation quasi-géostrophique implique une analyse proche des
latitudes moyennes :
6y et φ
φ0, y = 0
cercle de latitude
6
-
10 000 km
φ0
y “ 0
Ceci permet de simplifier le paramètre de Coriolis : f “ 2Ω sinφ en développant en série
de Taylor autour d’une latitude de référence φ0 :
fpyq “ fpy “ 0q ` f 1py “ 0qy
où y = 0 correspond à φ0. On sait que dy “ adφ et y= a(φ - φ0). Alors,
f 1pφ0q “df
dy
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
y“0
“df
dφ
dφ
dy“
1
a
df
dφ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
φ0
“2Ω cosφ0
a“ β
On obtient l’approximation du plan-β aux latitudes moyennes :
fpyq “ f0 ` βy (5.6)
où le paramètre β “2Ω cos Φ0
a“ 1.6ˆ 10´11 m´1s´1 (à 45˝ N).
Comparons l’ordre de grandeur des 2 termes de l’expansion de Taylor :
βy
f0“
2Ω cos Φ0
a
ˆ
y
2Ω sin Φ0
˙
“y
a
si |y| « a = 6731 km. Donc, pour f “ f0 ` βy, on peut dire que le deuxième terme est plus
petit que le premier si |y| « a.
Troisièmement, en gardant βy petit comparé à f0, on obtient que ug “ ´1
f
Bφ
By“ ´
1
f0 ` βy
Bφ
By„
´1
f0
Bφ
By. Donc, le vent géostrophique devient ~vg “
1
f0ˆ∇Φ.
Utilisons la composante x de l’équation de la quantité de mouvement :du
dt“ ´
BΦ
Bx` fv
Si u “ ug ` ua et v “ vg ` va et qu’on néglige ω BuBp , on obtient que
B
Btpug ` uaq ` pug ` uaq
B
Bxpug ` uaq ` pvg ` vaq
B
Bypug ` uaq “ ´
Bφ
Bx` pf0 ` βyqpvg ` vaq
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 109
Si |ug| ąą |ua| et |vg| ąą |va|, elle se réduit à
BugBt` ug
BugBx
` vgBugBy
“ ´BΦ
Bx` f0vg ` f0va ` βyvg ` βyva
En utilisant la définition du vent géostrophique sur une latitude constante :
dugdt
“ f0va ` βyvg
De façon similaire, la composante y de l’équation de la quantité de mouvement quasi-
géostrophique devientdvgdt“ ´f0ua ´ βyug
Donc, la dérivée Lagrangienne peut-être estimée comme la dérivée Lagrangienne géostro-
phique :d
dt„dgdt“B
Bt` ug
B
Bx` vg
B
By
En résumé :
1. On définit l’approximation du plan-β aux latitudes moyennes :
fpyq “ f0 ` βy (5.7)
où le paramètre β “2Ω cosφ0
a“ 1.6ˆ 10´11 m´1s´1 (à 45˝ nord).
2. Il est raisonnable d’utiliser une valeur constante du paramètre de Coriolis pour cal-
culer le vent géostrophique car |f0| ą |βy|. On peut écrire le vent géostrophique par
rapport à une latitude de référence φ0 : ~vg “1
f0k ˆ∇Φ.
3. Par définition ~v “ ~vg ` ~va et généralement (1) |~vg| ąą |~va| et |uBu
Bx| ą |ω
Bu
Bp|, il est
possible d’approximer le taux de changement du vent réel suivant une parcelle d’air
comme le taux de changement du vent géostrophique :
d~v
dt»dg~vgdt
“B~vgBt` ug
B~vgBx
` vgB~vgBy
(5.8)
À partir de ces suppositions quasi-géostrophiques, on peut simplifier autres équations.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 110
Conservation de la masse
Vu que le vent géostrophique est défini sur un f0, il est non-divergent [À démontrer].
∇ ¨ ~v “ ∇ ¨ ~va “BuaBx
`BvaBy
L’équation de la conservation de la masse devient :
∇ ¨ ~va `Bω
Bp“ 0 (5.9)
Donc, le mouvement vertical de l’air est déterminé uniquement par la composante agéo-
strophique du vent.
Équation thermodynamique
L’advection horizontale est estimée par sa valeur géostrophique. Par contre, l’advec-
tion verticale n’est pas négligeable et fait partie du terme de réchauffement/refroidissement
adiabatique. Comme la stabilité statique de l’atmosphère est grande à l’échelle synoptique,
le terme adiabatique causé par le mouvement vertical est du même ordre de grandeur que
l’advection de température horizontale, et ce, même si la valeur de la vitesse verticale est
très petite. Alors, on peut écrire l’équation thermodynamique :ˆ
B
Bt` ~vg ¨∇
˙
T ´´
σp
R
¯
ω “9q
cp(5.10)
où σ “ ´RT
p
d ln θ
dpest la stabilité statique, avec θ qui correspond à la température po-
tentielle de l’état de base de la température T . On peut estimer l’ordre de grandeur de la
stabilité statique au milieu de l’atmosphère : σ “ ´RT
p
d ln θ
dp“ 2ˆ 10´6 m2Pa´2s´2.
Il est possible de représenter l’équation thermodynamique en terme de Φ en utilisant
l’équation hydrostatique :BΦ
Bp“ ´α “ ´
RT
p
T “ ´p
R
BΦ
Bp
On peut alors écrire (5.10) en fonction du géopotentiel :
B
Bt
ˆ
´p
R
BΦ
Bp
˙
“ ´~vg ¨∇ˆ
´p
R
BΦ
Bp
˙
`
´
σp
R
¯
ω `9q
cp
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 111
Finalement, comme on est en coordonnées isobariques, p est constant sur une surface de
pression constante. On obtient :
B
Bt
ˆ
´BΦ
Bp
˙
“ ´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
` σω `R
pcp9q (5.11)
5.3 Équation du tourbillon géostrophique
Dans la théorie quasi-géostrophique, le vent géostrophique est non-divergent, il est pos-
sible d’écrire le tourbillon géostrophique comme suit :
ζg “BvgBx
´BugBy
“1
f0
ˆ
B2Φ
Bx2`B2Φ
By2
˙
“1
f0∇2Φ
Physiquement, le tourbillon géostrophique est proportionnel à la concavité des géopoten-
tiels. Si les géopotentiels sur une surface de pression constante ont une ouverture vers le
haut, le tourbillon est positif. Donc, il y a une circulation anti-horaire. Au contraire, pour
une courbure convexe, le tourbillon sera négatif et il y aura une circulation horaire. On peut
alors écrire queBζgBt“
1
f0∇2BΦ
Bt
On peut également développer le changement du tourbillon géostrophique dans le temps
en utilisant l’équation du mouvement quasi-géostrophique :
d~vgdt“ ´f0k ˆ
#”va ´ βyk ˆ ~vg (5.12)
où les composantes sont
dugdt
“f0va ` βyvg (5.13a)
dvgdt“´ f0ua ´ βyug (5.13b)
On peut alors écrire que :
d
dt
ˆ
BvgBx
˙
´d
dt
ˆ
BugBy
˙
“´ f0BuaBx
´ f0BvaBy
´ βvg ´ βyBugBx
´ βyBvgBy
“´ f0BuaBx
´ f0BvaBy
´ βvg ´ βy
ˆ
BugBx
`BvgBy
˙
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 112
On trouve ainsi la dérivée totale lagrangienne du tourbillon géostrophique :
dζgdt“ ´f0
ˆ
BuaBx
`BvaBy
˙
´ βvg
En utilisant l’équation de continuité,
BζgBt“ ´~vg ¨∇ζg ´ βvg ` f0
Bω
Bp
On peut finalement écrire la tendance du tourbillon géostrophique en terme de Φ :
B
Bt
ˆ
1
f0∇2Φ
˙
“ ´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
` f0Bω
Bp(5.14)
Le changement du tourbillon temporel dépend de l’advection du tourbillon absolu et de
la divergence du vent agéostrophique.
Supposons un train d’onde où la norme du vent géostrophique est constante :
ζgmin ζgmax
A B C D
Φ
Φ´∆Φ
Φ`∆Φ
Regardons le signe de l’advection du tourbillon relatif et planétaire :
A B C D
ug + + + + écoulement vers l’est
vg 0 - 0 + dépend de la position dans l’onde
ζg - 0 + 0
∇ζg 0 + 0 -
∇f “ df
dy+ + + + toujours positif
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 113
1) Vu que ug ą 0 et que le ∇ζg “BζgBx
i : B : ´~vg ¨∇ζg <0 et D : ´~vg ¨∇ζg ą 0
Une advection positive (négative) du tourbillon relatif géostrophique fait augmenter (di-
minuer) le tourbillon géostrophique localement.
ÑBζgBt9´ ~vg ¨∇ζg
Ex à D : Une ´~vg ¨∇ζg ą 0 fait augmenter le tourbillon relatif,BζgBtą 0, et introduit une
courbure cyclonique dans les isophypses.
-se propage vers l’estD
Pour un écoulement de l’ouest, ce terme contribue à la propagation de l’onde vers l’est.
2) Vu que vg “ 0 à A et C, que vg ă 0 à B et que vg ą 0 à D : B : ´~vg ¨ ∇f >0 et D :
´~vg ¨∇f ă 0
Une advection positive (négative) du tourbillon planétaire fait augmenter (diminuer) le
tourbillon géostrophique localement.
ÑBζgBt9´ ~vg ¨∇f
Ex à D : Une ´~vg ¨∇f ă 0 fait diminuer le tourbillon relatif,BζgBt
ă 0, et introduit une
courbure anti-cyclonique dans les isophypses.
se propage vers l’ouestD
Pour un écoulement de l’ouest, ce terme contribue à la propagation de l’onde vers
l’ouest.
Les 2 termes d’advection s’opposent.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 114
5.3.1 Analyse de l’advection du tourbillon relatif et planétaire
Afin de comparer les deux termes, on suppose que le champ des hauteurs du géopotentiel
est la somme d’un courant zonal et d’une perturbation :
U “ ´1
f0
BΦ
By(5.15)
Supposons que l’écoulement total est la somme de l’écoulement de base et une perturba-
tion :
Φpx, y, p, tq “ Φ` Φ1px, y, p, tq
On intègre par rapport à y :
´
ż y
0f0UBy “
ż Φpy,pq
ΦppqBΦ
et on obtient un écoulement de base : Φpy, pq “ Φppq ´ f0Uy.
Si la perturbation est un série de minimum et maximum de Φ, on a que Φ1px, y, p, tq “
Φ1pp, tq sin kx cos ly où k “2π
Lxet l “
2π
Lyet Φ1pp, tq est l’amplitude.
L’écoulement total est
Φpx, y, p, tq “ Φppq ´ f0Uy ` Φ1 sin kx cos ly
Regard sur une fenêtre dans le plan horizontal xy
U -
U -
U -
+
Φ Écoulement de base
&%'$
– &%'$
+ =
Φ1 Perturbation
-
-
-
-
-
-
Φ “ Φ` Φ1 Écoulement total
La somme du champ de base et de la perturbation crée une série de creux et de crêtes :
— Écoulement cyclonique + base = creux
— Écoulement anti-cyclonique + base = crête
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 115
On cherche à calculer l’advection du tourbillon relatif et l’advection du tourbillon plané-
taire. À partir de l’expression totale de l’écoulement, on peut dériver le vent géostrophique :
Ug “ ´1
f0
BΦ
By“ ´
1
f0
B
ByrΦ` Φ1px, y, p, tqs “ ´
1
f0
B
ByrΦppq ´ f0Uy ` Φ1 sin kx cos lys
Ug “ U `l
f0Φ1 sin kx sin ly
De la même façon, on obtient Vg “ 1f0BΦBx “
kf0
Φ1 cos kx cos ly
et le tourbillon géostrophique :
ζg “1
f0∇2Φ “
1
f0
B2Φ
Bx2`
1
f0
B2Φ
By2“ ´
l2 ` k2
f0Φ1 sin kx cos ly
Tracer le graphique de Φ(x,0) et de ζgpx, 0q sur y = 0.
-
6
1) Calculer l’advection du tourbillon géostrophique.
´~vg ¨∇ζg “ ´ugBζgBx
´ vgBζgBy
“ ´
ˆ
U `l
f0Φ1 sin kx sin ly
˙ˆ
´kl2 ` k2
f0Φ1 cos kx cos ly
˙
´
ˆ
k
f0Φ1 cos kx cos ly
˙ˆ
`ll2 ` k2
f0Φ1 sin kx sin ly
˙
“ U
ˆ
l2 ` k2
f0
˙
kΦ1 cos kx cos ly
Maximum à x=0 et y=0 et minimum à y=0 et x=Lx2
2) Calculer l’advection du tourbillon planétaire.
´~vg ¨∇f “ ´vgBf
By“ ´βvg
“ ´βk
f0Φ1 cos kx cos ly
3) Comparer ζg avec ´~vg ¨∇ζg et ´~vgβ sur y = 0.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 116
ζg et ´~vg ¨∇ζgˆ
BζgBt
˙
ζg et ´~vg ¨∇fˆ
BζgBt
˙
Φ et ´~vg ¨∇f et ´~vg ¨∇ζg
-
6
-
6
-
6
Remarques :
— ´~vg ¨∇ζg contribue auchangement temporel de tourbillon relatifˆ
BζgBt
˙
. L’onde as-
sociée avecˆ
BζgBt
˙
est à la droite de ζg ce qui implique que ce terme contribue à
propager l’onde vers la droite.
— ´~vgβ contribue au changement temporel de tourbillon relatifˆ
BζgBt
˙
. L’onde asso-
ciée avecˆ
BζgBt
˙
est à la gauche de ζg ce qui implique que ce terme contribue à
propager l’onde vers la gauche.
Lequel de ces termes domine ? Comparons la norme de ces termes :
r “| ´ ~vg ¨∇ζg|| ´ vgβ|
“
U´
l2`k2
f0
¯
k
β kf0
“U
βpl2 ` k2
q
1. Pour pl2 ` k2q ăβ
U:
r<1 et le terme ´βvg domine. Cette condition est valide pour Lx et Ly grand (grande
longueur d’onde) et l’onde devrait se déplacer vers l’ouest.
2. Pour pl2 ` k2q ąβ
U:
r>1 et le terme ´~vg ¨∇ζg domine. Cette onde se propage vers l’est.
3. Pour pl2 ` k2q “β
U:
r=1, les 2 termes sont en équilibre et l’onde ne se propage pas. Un valeur typique
d’onde longue est Lx “ Ly “ L ą 10000 km et d’onde courte L ă 3000 km.
D’après notre analyse, une onde longue se propagera vers l’ouest et une onde courte vers
l’est. Par contre, une onde qui se propage vers l’ouest est rarement observée. En résume,
plus la longueur d’onde, augmente plus sa vitesse de propagation diminue pour devenir
stationnaire.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 117
5.4 Équation quasi-géostrophique des tendances du géopoten-
tiel
Afin de développer une équation de tendance du géopotentiel, l’idée est de combiner
l’équation thermodynamique et l’équation du tourbillon quasi-géostrophique. De cette fa-
çon, il sera possible d’obtenir une équation de variation dans le temps du géopotentiel, ce
qui permettra d’étudier le mouvement des systèmes météorologiques dans l’atmosphère.
A. On faitf2
0
σ
B
Bp[Éq. thermodynamique QG] adiabatique :
´B
Bp
f20
σ
B
Bp
ˆ
BΦ
Bt
˙
“B
Bp
f20
σ
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
`B
Bpf2
0ω (5.16)
B. On fait f0ˆ [Éq. du tourbillon QG] :
∇2
ˆ
BΦ
Bt
˙
“ ´f0~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
` f20Bω
Bp(5.17)
C. On définit la tendance du géopotentiel comme suit : χ “BΦ
Bt. L’équation du tourbillon
sans frottement devient :
∇2χ “ ´f0~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
` f20Bω
Bp(5.18)
Et l’équation thermodynamique (5.16) adiabatique devient :
´B
Bp
f20
σ
B
Bpχ “
B
Bp
f20
σ
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
`B
Bpf2
0ω (5.19)
D. On fait (5.19) ´ (5.18) et on obtient l’équation quasi-géostrophique des tendances du
géopotentiel sans frottement et adiabatique :ˆ
∇2`f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χloooooooooomoooooooooon
1
“ ´B
Bp
f20
σ
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
looooooooooooooomooooooooooooooon
2
´ f0~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
loooooooooooooomoooooooooooooon
3
(5.20)
Si on connait Φ partout à un temps donné, on peut calculer les termes 2 et 3 et résoudre
pour χ. On connait alors la variation de Φ dans le temps et il est possible de le calculer à t
= t+∆t. Cette équation était utilisée dans les années 50-60 pour faire les prévisions météo-
rologiques. C’est une équation pronostique.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 118
‚ Terme 1 : Laplacien de χ en trois dimensions
Supposons que χ a cette forme :
χpx, y, p, tq „ χ0ptq cos
ˆ
πp
p0
˙
sinpkxq cosplyq
où p0 est la pression à la surface, k “2π
Lxet l “
2π
Ly
6z
-χ
p0=1000 hPa
500 hPa
6y- x
j&%'$
+ j&%'$
–
ˆ
∇2`f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ “
ˆ
´k2´ l2 ´
f20
σ
π2
p20
˙
χ0ptq cos
ˆ
πp
p0
˙
sinpkxq cosplyq
ˆ
∇2`f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ “ ´
ˆ
k2` l2 `
f20
σ
π2
p20
˙
χ
Parce que σ > 0, pk2 ` l2q ą 0 etˆ
f20
σ
π2
p20
˙
ą 0,ˆ
∇2 `f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ9´ χ.
Alors, pour
ˆ
∇2 `f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ ą 0 ùñ χ ă 0 ùñBΦ
Btă 0 : Chute des hauteurs du géopotentiel.
ˆ
∇2 `f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ ă 0 ùñ χ ą 0 ùñBΦ
Btą 0 : Augmentation des hauteurs du géo-
potentiel
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 119
‚ Terme 2 : Différentiel vertical d’advection de température (ou d’épaisseur)
Pour une advection chaude de température : ´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
9´ ~vg ¨∇T ą 0
Si l’advection de température décroit avec l’altitude, on aura que
´B
Bp
f20
σ
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
ă 0 ùñ
ˆ
∇2`f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ ă 0 ùñ χ ą 0
Analysons Φ sur le niveau de 500 hPa :t = 0
1000 hPa
500 hPa
200 hPa
´ #”v g ¨∇T ą 0
´ #”v g ¨∇T „ 0
t > 0
1000 hPa
500 hPa
200 hPa
´ #”v g ¨∇T ą 0
´ #”v g ¨∇T „ 0
Pour une advection froide de température : ´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
9´ ~vg ¨∇T ă 0
Si l’advection de température augmente avec l’altitude, on aura que :
´B
Bp
f20
σ
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
ą 0 ùñ
ˆ
∇2`f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ ą 0 ùñ χ ă 0
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 120
Note : En général, l’atmosphère devient de plus en plus barotrope avec l’altitude.
L’advection de température est plus importante dans la région inférieure de l’atmo-
sphère.
-
x
6z
Φ`∆Φ
Φ
@@
@@
@@
@@@
@@@
@@
@@
@@@
@@@
@@@
@@
@@@
@@
@@
@@@
@@@
@@@
@@@
@@
200 hPa
500 hPa
H L H ´ #”v g ¨∇T ă 0 ´ #”v g ¨∇T ą 0
CRETE CREUX CRETE
— Devient de plus en plus équivalente-barotrope avec la hauteur
— Barocline niveau ą 500 hPa ùñ advection devient plus importante
— L’advection de température chaude fait monter les isohypses :
Ce terme est responsable de l’intensification des creux/crêtes en altitude.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 121
‚ Terme 3 : Advection du tourbillon absolu géostrophique
On peut séparer les termes :
´ f0~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
“ ´f0~vg ¨∇ζg ´ f0~vg ¨∇f
L’interprétation de l’advection du tourbillon absolu géostrophique est similaire à
l’advection de tourbillon absolu.
QQQs
3
-
#”v g
#”v g
#”v g
ζg<0ζg>0
ζg<0
∇ζg>0
-ugBζgBx
<0
-f0 #”v g ¨∇ζg<0 ùñ χ ą 0
∇f>0
-vgBf
By>0
-f0 #”v g ¨∇f>0 ùñ χ ă 0
∇ζg<0
-ugBζgBx
>0
-f0 #”v g ¨∇ζg>0 ùñ χ ă 0
∇f>0
-vgBf
By<0
-f0 #”v g ¨∇f<0 ùñ χ ą 0
Note :
i. On obtient le même résultat avec l’équation du tourbillon parce queBζgBt“
1
f0∇2BΦ
Bt.
ii. L’advection de tourbillon relatif tend à déplacer l’onde vers l’est. L’advection du
tourbillon planétaire tend à déplacer l’onde vers l’ouest. La propagation de l’onde
dépend donc du terme dominant.
iii. ∇ζg “ 0 et vg “ 0 dans l’axe associé à un creux ou à une crête. Ceci implique que
l’advection de tourbillon absolu ne peux changer l’intensité d’une onde, elle peut
seulement la déplacer.
Ce terme est responsable de la propagation des creux/crêtes en altitude.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 122
5.5 Équation quasi-géostrophique omega
A) On faitB
Bp[Éq. tourbillon QG] sans friction :
∇2Bχ
Bp“ f0
B
Bp
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
` f20B2ω
Bp2(5.21)
B) On fait ∇2[Éq. thermodynamique QG] adiabatique :
´∇2Bχ
Bp“ ∇2
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
` σ∇2ω (5.22)
C) On fait (5.21) + (5.22) et on obtient l’équation quasi-géostrophique omega sans frotte-
ment et adiabatique :ˆ
f20
σ
B2
Bp2`∇2
˙
ωloooooooooomoooooooooon
1
“ ´f0
σ
B
Bp
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
2
´1
σ∇2
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
loooooooooooooomoooooooooooooon
3
(5.23)
On définit ω comme suit ωpx, y, pq „ ω0 sin
ˆ
πp
p0
˙
sinpkxq sinplyq et le terme 1 devient :
ˆ
∇2`f2
0
σ
B2
Bp2
˙
ω “ ´
ˆ
k2` l2 `
f20
σ
π2
p20
˙
ω0 sin
ˆ
πp
p0
˙
sinpkxq cosplyq “ ´
ˆ
k2` l2 `
f20
σ
π2
p20
˙
ω
6z
-ω
p0
„500 hPa
6y- x
j&%'$
+ j&%'$
–
Alors,
´
ˆ
k2` l2 `
f20
σ
π2
p20
˙
ω “ ´f0
σ
B
Bp
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
´1
σ∇2
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 123
Afin de simplifier l’analyse de l’équation QG ´ ω qualitative, on peut la simplifier en
remplaçant ω „ ´gρw et l’équation hydrostatique :
ˆ
k2` l2 `
f20
σ
π2
p20
˙
ρgw “f0
σ
1
ρg
B
Bz
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
´1
σ∇2
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
Car´
k2 ` l2 ` f20
σπ2
p20
¯
>0 et σ>0 , on peut généraliser la vitesse verticale de l’air :
w9B
Bz
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
´∇2p´~vg ¨∇T q
Donc, on peut utiliser cette équation pour déduire la distribution du mouvement vertical
de l’air dans un système synoptique en développement :
1) Le taux de changement d’advection du tourbillon avec la hauteur. Généralement,
l’advection du tourbillon absolu est petite près de la surface et sa grandeur augmente avec
l’altitude
2) Le laplacien de l’advection géostrophique de température. Lorsqu’un champ d’advec-
tion de température a un minimum/maximum local, le Laplacien aura aussi un minimum
/maximum local.
Voici maintenant la description physique de chacun des termes :
‚ Terme 1 : Note sur la stabilité statique
On remarque que la stabilité statique σ est présente dans l’équation. Elle est gé-
néralement positive. Par contre, sa valeur va influencer l’intensité du mouvement
vertical. Comme dans l’équation de température, une grande stabilité influence la
température plus qu’une petite stabilité. Donc, plus l’atmosphère est stable plus le
mouvement sera petit pour un même forçage synoptique.
L’équation quasi-géostrophique omega est une équation diagnostique qui permet
d’évaluer le mouvement vertical à un temps donné, et non son évolution dans le
temps comme l’équation QG-χ.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 124
‚ Terme 2 : Advection de tourbillon géostrophique absolu différentiel
Considérons un système synoptique en développement :
6
z
- x
-
´ #”v ¨∇ζg ă 0
´ #”v ¨∇ζg „ 0H
?
w ă 0
´ #”v ¨∇ζg ą 0
´ #”v ¨∇ζg „ 0
L
6w ą 0
Pour une onde courte (< 3000 km), l’advection du tourbillon relatif est plus impor-
tante que l’advection du tourbillon planétaire. À 500 hPa, l’advection du tourbillon
absolu est cyclonique (anticyclonique) en aval d’un creux (d’une crête). Vu que ∇p =
0 au centre d’une dépression/anticyclone, l’advection de tourbillon absolu est nulle.
Donc, l’advection du tourbillon relatif augmente avec la hauteur au-dessus d’une dé-
pression et décroît avec la hauteur au-dessus d’un anticyclone.
Pour une longueur d’onde courte,
f0
σ
B
Bz
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
ă 0 au-dessus de H ùñ w ă 0
f0
σ
B
Bz
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
ą 0 au-dessus de L ùñ w ă 0
Ce terme est responsable de l’intensification d’une dépression/anticyclone. Il ex-
plique aussi la position de L/H à la surface.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 125
‚ Terme 3 : Laplacien de l’advection horizontale de température ou l’advection de tem-
pérature
Supposons des systèmes météorologiques en développement :
6
-
y
x
H L
FROID
+
CHAUD
––6A
?B
-
6D?C
-
On doit localiser les régions où il y a cisaillement du vent vertical car ces régions
sont associées avec l’advection de température horizontale dans une couche d’air :
A) Le vent géostrophique tourne dans le sens horaire, donc, il y a transport d’air
chaud.
´∇2p´~vg ¨∇T q ùñ ´∇2pą 0q ùñ ´∇2p´~vg ¨∇T q ą 0 ùñ w ą 0
B) Le vent géostrophique tourne dans le sens anti-horaire, donc, il y a transport d’air
froid.
´∇2p´~vg ¨∇T q ùñ ´∇2pă 0q ùñ ´∇2p´~vg ¨∇T q ă 0 ùñ w ă 0
C) Même raisonnement que pour B.
D) Même raisonnement que pour A.
Ce terme est responsable de la propagation du système météorologique à la surface.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 126
5.6 Résumé
On peut combiner les équations quasi-géostrophique des tendances géopotentielles (5.20)
et quasi-géostrophique omega (5.23) afin d’illustrer l’essentiel de la structure d’une onde
barocline dans l’atmosphère.
Équation pronostique :ˆ
∇2`f2
0
σ
B2
Bp2
˙
χ “ ´B
Bp
f20
σ
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
´ f0~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
Équation diagnostique :ˆ
f20
σ
B2
Bp2`∇2
˙
ω “ ´f0
σ
B
Bp
„
´~vg ¨∇ˆ
1
f0∇2Φ` f
˙
´1
σ∇2
„
´~vg ¨∇ˆ
´BΦ
Bp
˙
L’équation QG-χ
Le géopotentielˆ
descendmonte
˙
9 advection du tourbillon absoluˆ
cycloniqueanticyclonique
˙
+ taux de diminution de l’advection de températureˆ
froidechaude
˙
avec
l’altitude.
L’équation QG-ω
Le mouvement vertical vers leˆ
hautbas
˙
9
augmentation de l’advection du tourbillon absoluˆ
cycloniqueanticyclonique
˙
avec l’alti-
tude
+ advection de températureˆ
chaudefroide
˙
.
Le mouvement vertical de l’air ω est la circulation secondaire produite par un déséqui-
libre géostrophique. Cette circulation contribue à garder le changement de température hy-
drostatique et le changement de tourbillon géostrophique afin de maintenir l’équilibre du
vent thermique. L’advection géostrophique (termes de forçage) tend a détruire l’équilibre
géostrophique.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 127
Chacun des termes a une implication dans la propagation et l’intensification des sys-
tèmes météorologiques en altitude et à la surface :
TABLE 5.1 – Résumé des termes de forçage des l’équations QG-χ et QG-ω
Intensité Propagation
Altitude (QG-χ) -B
Bpr´ #”vg ¨∇T s - #”vg ¨∇pζg ` fq
Surface (QG-ω) -B
Bpr´ #”vg ¨∇pζg ` fqs -∇2r´ #”vg ¨∇T s
‚ ´ #”vg ¨∇pζg ` fq est responsable de la propagation d’un creux. Ce terme ne peut pas
amplifier un creux car vg “ 0 et ∇ζg “ 0 dans l’axe d’un creux (maximum du
tourbillon cyclonique).
‚ -B
Bpr´ #”vg ¨∇T s est responsable de l’intensification du système en altitude. Il ne contri-
bue pas à changer la position du maximum de tourbillon absolu mais bien à faire
diminuer les Φ et à faire augmenter le tourbillon relatif dans l’axe du creux ou de la
crête.
‚ ´ #”vg ¨ ∇pζg ` fq est plus faible à la surface parce que l’écoulement de fond est plus
faible et les systèmes sont circulaires. Vu que ∇p “ 0 au centre de la dépression,#”v g “ 0 et l’advection du tourbillon absolu au centre de la dépression est nulle.
‚ La position de la dépression à la surface est déterminée par l’advection du tourbillon
différentiel et non par l’advection de température. Vu que #”v g “ 0 et l’advection de
température est nulle à cet endroit.
‚ Si l’advection de température est nulle au centre de la dépression, ce terme de forçage
ne peut intensifier le système mais contribue à sa propagation.
CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 128
Exemple 5-1
Supposer que le géopotentiel est :
Φpx, y, p, tq “ Φpy, pq ` Φ1pp, tq sinpkxq cosplyq
où k “2π
Lxet l “
2π
Lysont des nombres d’onde et Lx et Ly sont les longueurs d’onde et
Φpy, pq “ Φ0ppq´f0Uy où Φppq est une distribution du géopotentiel d’une atmosphère stan-
dard et U est la vitesse constante zonale.
a) Démontrer que ζg “ ´pk2 ` l2qpΦ´ Φqf0.
b) L’advection du tourbillon dans l’équation de tendance du géopotentiel est
´f0rÝÑv g ¨∇ppζg ` fqs
Expliquer ce que signifie la dépendance de ζg sur pk2 ` l2q de a).
c) Considérer le champ de tourbillon relatif à la Figure 1. Tracer Φ associés avec ce
patron de tourbillon relatif.
L 0 L
+12 12 ×10 6 s 1
FIGURE 5.1 – Tourbillon relatif de l’exemple # 5-1.
d) Pour ce géopotentiel, supposer que le vent est constant à 30 m s´1 et que le vent à
x=0 est exactement du sud-est. Déterminer l’échelle de longueur (2∆L) où l’advection du
tourbillon produit une onde stationnaire. Faites les simplifications raisonnables et supposer
une latitude de 45˝N et β = 1.62ˆ10´11s´1m´1.