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São Jerônimo Escritor – CaravaggioSão Jerônimo Escritor – Caravaggio

RADIAÇÃO

DE

CORPO NEGRO

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA

“ Consideramos, porém –este é o ponto mais importantede todo o cálculo – que a energiados osciladores é a soma de umnúmero inteiro de partes iguais ”– Max Planck

José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville

Física para Engenharia Elétrica – Radiação de Corpo Negro

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

2. Resultados Experimentais

3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck

4. Modelo de Rayleigh-Jeans

1. Introdução



Existem situações práticas para um engenheiro onde elese depara com a chamada radiação de corpo negro.

Uma delas é saber como se mede a temperatura, porexemplo, de um alto-forno.

Pirômetro óptico medindo temperatura de metal fundido.

1. INTRODUÇÃO

Importância da Radiação Térmica para a Engenharia



Pirômetro óptico usado na

siderurgia.

Para tal situação existe um equipamento chamadopirômetro óptico capaz de fornecer a temperatura de um altoforno por medidas indiretas.

Figura esquemática de um pirômetro óptico.

1. INTRODUÇÃO



O pirômetro óptico

Esquema básico da constituição de um pirômetro óptico.

A temperatura da fonte (por exemplo, o alto-forno) édeterminada por comparação, variando a potência daradiação emitida pela lâmpada.

Para comparação utiliza-se um filtro que seleciona a coratravés do comprimento de onda ( λ = 650 nm– vermelho ).

Imagem observada no visor do pirômetro óptico.

1. INTRODUÇÃO



Funcionamento do pirômetro óptico

Esquema básico de um pirômetro óptico.

Se o filamento de tungstênio estiver a uma temperaturamenor do que a da fonte, o fundo estará mais brilhante que ofilamento (posição LOW).

Se o filamento de tungstênio estiver a uma temperaturamaior do que a da fonte (alto-forno), o filamento estará maisbrilhante que o fundo (posição HIGH).

1. INTRODUÇÃO



Visão do filamento do pirômetro óptico

Imagem observada no visor do pirômetro óptico.Esquema básico de um pirômetro óptico.

Se o filamento e a fonte estiverem à mesma temperatura,não se distingue as imagens (posição NULL ).

Quando a imagem do filamento desaparece a correnteelétrica que passa pela lâmpada indica a temperatura dafonte.

A temperatura do filamento épreviamente conhecida por calibração.

1. INTRODUÇÃO



O ajuste da cor do filamento no pirômetro óptico

Esquema básico de um pirômetro óptico.

Imagem no visor do

pirômetro óptico.

Em uma boa aproximação o filamento de tungstêniocomporta-se como um corpo negro, cuja curva de calibraçãopara a intensidade emissiva Rλ(λ) é mostrada abaixo.

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

125

2

Tk

ch

chR

B

CN

λλ

πλλ Já para o corpo cujatemperatura queremosmedir a curva de calibraçãodepende da emissividadedo corpo e(λ).

( ) ( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=1exp

125

2

Tk

ch

cheR

Bλλ

πλλλ

1. INTRODUÇÃO



A Física do comportamento do pirômetro óptico

h = 6,626184×10-34 J⋅s: constante de Planck.

c = 2,9979×108 m/s: velocidade da luz no vácuo.

kB = 1,380664×10-23 J/K: constante de Boltzmann.

λ: comprimento de onda da radiação emitida.

T: temperatura do corpo.

No comprimento de onda do filtro ( λ = 650 nm) os valoresdas potências luminosas emitidas pelo filamento detungstênio e pelo corpo são as mesmas.

Através desta igualdade, obtemos a equação abaixo.

( )[ ]filtrofiltroB

FTC

ech

k

TTλλ ln

11 ⋅⋅⋅

+=

Sabendo-se o valor da emissividade do corpo e(λfiltro ) parao comprimento de onda do filtro usado, determina-sefacilmente a temperatura do corpo.

1. INTRODUÇÃO



A determinação da temperatura do corpo

TFT: temperatura do filamento de tungstênio.

TC: temperatura do corpo a ser medida.

Ao lado mostramos a emissividade devários materiais (sólidos e líquidos)quando os iluminamos com luz decomprimento de onda λ = 650 nm.

( )[ ]filtrofiltroB

FTC

ech

k

TTλλ ln

11 ⋅⋅⋅

+=

1. INTRODUÇÃO



Emissividade de vários materiais para λ = 650 nm

Tabela mostrando a emissividade de vários materiais (λ = 650 nm).

Com a fórmula acima, e com osvalores conhecidos de e(λfiltro ) para ocomprimento de onda do filtro usado,determina-se facilmente a temperatura docorpo.

Por exemplo, da tabela acima, temos que emissividade doferro líquido é igual a e(λ = 650 nm) = 0,37.

( )[ ]filtrofiltroB

FTC

ech

k

TTλλ ln

11 ⋅⋅⋅

+=

1. INTRODUÇÃO



Emissividade de vários materiais para λ = 650 nm

Vamos admitir que ao apontar para ocorpo o filamento do pirômetro esteja atemperatura igual a TFT = 1675 K.

h = 6,626184×10-34 J⋅s

c = 2,9979×108 m/s

kB = 1,380664×10-23 J/K

Ferro líquido em seu estado de fusão.

Ao usar o pirômetro seu sistemainterno faz a correção e no visor apareceo valor de TC = 1811 K.


3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck


1. Introdução



Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética emum espectro contínuo , com maior intensidade na região doinfravermelho (IR).

Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbriotermodinâmico através de trocas de energia.

2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS



Emissão de radiação por corpos aquecidos

Imagem reconstruída a partir da emissão IR de

um homem.

Distinção entre dois corpos a temperaturas

distintas.

Definimos a intensidade emissiva (e) de um corpo comosendo a energia emitida por unidade de área e por unidadede tempo.

Definimos a absorvidade ouabsorbância (a) como sendo a fração daenergia incidente sobre a superfície de umcorpo que é absorvida por ele.




Algumas definições

Corpos a diferentes temperaturas com

emissividades distintas.

A absorbância de um corpo e o seu processo

de medida.

Abaixo listamos algumas propriedades importantes parao campo de radiação, além das relações entre elas.

cuI ⋅=




Propriedades mecânicas da radiação

a) Energia ( U) e densidade de energia ( u);

b) intensidade ( I );

c) momento linear ( p);

d) pressão de radiação ( P);

e) pressão de radiação de cavidade ( PRC);

c

Up = uPRC ⋅=

3

1c = 2,9979×108 m/s

Definimos radiância (R) como sendo a quantidade deenergia irradiada pelo elemento de área dS que contém umponto P, por unidade de tempo, por unidade de área, pelocorpo aquecido a uma temperatura T.

( )dtdS

UdPR

⋅=

2

[ ] SImWsmJR 22 // =⋅=

Intensidade!!!

( )TRR =




Mais definições

Radiação emitida por um ponto P a uma temperaturaT




Radiância de uma cavidade

Assim como definimos a pressão de radiação para umacavidade, também podemos definir a radiância de umacavidade RC.

Obtemos também uma relação entre a radiância de umacavidade RC e a densidade de energia u existente dentro dela.

cuRC ⋅⋅=4

1Cavidade a

temperatura T emitindo radiação.

c = 2,9979×108 m/s

Definimos radiância espectral Rλ (em termos docomprimento de onda ) tal que a quantidade Rλ·dλ seja a taxatemporal com que a energia de um corpo aquecido éirradiada, por unidade de área, nos comprimentos de ondaentre λ e λ + dλ.

( )λ

λλ d

dRR =

[ ] SImWmmWR 32 // =⋅=λ




Definições de termos específicos para a radiação

Funcionamento de um espectrômetro

de rede de difração.

Definimos radiância espectral Rν (em termos dafrequência ) tal que a quantidade Rν·dν seja a taxa temporalcom que a energia de um corpo aquecido é irradiada, porunidade de área, nas frequências entre ν e ν + dν.

( )ν

νν d

dRR =

[ ] SImsWHzmWR 22 // ⋅=⋅=ν




Mais definições específicas

Geração do espectro.

A radiância R(T) e as radiâncias espectrais Rν ou Rλ estãorelacionadas pela equação mostrada abaixo.

( ) ( )∫∫∞∞

⋅=⋅=00

ννλλ νλ dRdRR

ννλν

λR

cR

cR ⋅=⋅=

2

2




Relação entre estas radiâncias espectrais

Esquema básico do princípio usado para obter o espectro.

Da mesma forma, definimos a densidade espectral deenergia uν(ν) em termos da frequência .

Analogamente, definimos a densidade espectral deenergia uλ(λ) em termos do comprimento de onda .

( )λ

λλ d

duu = ( )∫

∞

⋅=0

λλλ duu

( )ν

νν d

duu = ( )∫

∞

⋅=0

ννν duu

⇒

⇒


Densidades espectrais de energia



As densidades espectrais de energia uν(ν) e uλ(λ) estãorelacionadas com as respectivas radiâncias espectrais Rν(ν) eRλ(λ) através das equações mostradas abaixo.

Por sua vez, as densidadesespectrais de energia uν(ν) e uλ(λ)estão relacionadas entre si através deuma relação similar àquela para asradiâncias espectrais Rν(ν) e Rλ(λ).

( ) ( ) cuR ⋅⋅= λλ λλ 4

1 ( ) ( ) cuR ⋅⋅= νν νν 4

1

( ) ( ) ( )νννλ

λ ννλ uc

uc

u ⋅=⋅=2

2

⇒

λν c=


Propriedades das densidades espectrais de energia



Em 1853 William Ritchie usou um termômetro diferenciale obteve o resultado mostrado abaixo.

2

2

1

1

a

e

a

e=

Termômetro diferencial de Leslie.




Primeiros (e antigos) resultados experimentais

N é CORPO NEGRO

Vamos considerar a situação em que um corpo (porexemplo o corpo 2 → N), absorva totalmente a radiação queincide sobre ele, ou seja, aN = 1.

Como por definição temos que a1 < 1, então este fatoimplica que eN > e1.

12 == Naa1

1

a

eeN =

11 <a 1eeN >


O corpo N (corpo negro) tem a maior absorbância e a maior emissividade possível entre todos os corpos!!!

⇒

⇒



Conclusões e definições a partir do resultado de Ritchie

CORPO NEGRO É O ORIFÍCIO!!

Para obtermos resultados teóricos sobre o tema,construímos um modelo para o Corpo Negro .

Este modelo deve ser tal que ele absorva toda radiaçãoque incide sobre ele ( aN = 1)




Modelo de corpo negro

Cavidades com pequeno orifício que representam

o corpo negro.

Gustav Kirchoff.

Um dos primeiros cientistas a tratar quantitativamente daemissão de radiação de corpos aquecidos foi Gustav RobertKirchoff (1824-1887).




A dependência da emissividade com a temperatura

A chamada Lei de Kirchhoff da RadiaçãoTérmica declara que “ em equilíbrio térmico, aemissividade de um corpo (ou superfície) éigual à sua absorbância ”.

A partir desta formulação Kirchoff concluiuque a emissividade de um corpo negro é umafunção universal independente da forma,tamanho e composição química do corpo.

Fio de platina.

( ) ( )2 111,4e T e T= ⋅John Tyndall.

Em 1864, John Tyndall (1820-1893) realizou experimentoenvolvendo a radiação emitida por um fio de platina em duastemperaturas diferentes.

T1 = 525 °C

T2= 1200 °C




Resultados quantitativos obtidos por Tyndall

⇓

T1 = 798 K⇒

T2 = 1473 K⇒

JosephStefan.

Em 1879, Joseph Stefan (1835-1893) escreveu umtrabalho no qual usou os dados de Tyndall .

( )00,4

798

1473log

4,11log =

=n

( ) nTTR ⋅= σ

( ) 4TTR ⋅= σσ = 5,67×10-8 W/m2 ⋅K4

Dados de Tyndall Proposta de Stefan

Cálculo de StefanFórmula de Stefan




Resultados sistematizados por Stefan

⇓

⇓ ⇓

T1 = 525 °C ⇒ T1 = 798 K

T2= 1200 °C ⇒ T2 = 1473 K

Ludwig Boltzmann.

4R Tσ= ⋅

Em 1884, Ludwig Boltzmann (1844-1906) demonstrourigorosamente esta expressão, com base na existência dapressão de radiação dentro da cavidade ( corpo negro ).

Boltzmann considerou a radiaçãocomo uma máquina térmica , sujeitaàs leis da termodinâmica .




Comprovação teórica obtida por Boltzmann

σ = 5,67×10-8 W/m2 ⋅K4: constante de Stefan-Boltzmann.

Churrasqueira como fonte de calor.

Considere uma churrasqueira como sendo uma cavidadeque emita como um corpo negro.




A potência térmica de uma churrasqueira

Vamos estimar aquantidade de calor emitida poresta churrasqueira por unidadede tempo, admitindo que elatenha uma abertura de área0,500 m2 e o carvão queime talque a temperatura dentro delaseja de 400°C.

A churrasqueira pode ser considerada uma cavidade que emite radiação de corpo negro.

A radiância total R é a medida da intensidade da radiaçãoemitida por uma cavidade que está a uma temperatura T.




A churrasqueira se comportando como um corpo negro

Consideramos que achurrasqueira ao emitir calor o façacomo sendo um corpo negro.

Neste caso, podemos usar aEquação de Stefan-Boltzmann ecalcular a intensidade de radiaçãona forma de calor emitida pelachurrasqueira.

Carvão queimando em uma churrasqueira.

Inicialmente, devemos expressar a temperatura dachurrasqueira em graus Kelvin (unidade padrão detemperatura.




O cálculo da da intensidade de radiação emitida

4R Tσ= ⋅ σ = 5,67×10-8 W/m2 ⋅K4

T2= 400 °C ⇒ T2 = 673 K

( ) ( )48 6731067,5 ⋅×= −R

23 /106,11 mWR ×=A radiância é

intensidade!!!

⇓

Carvão sendo consumido na churrasqueira.

O calor emitido por unidade de tempo nada mais é do quea potência de calor emitida pela churrasqueira.




O cálculo da potência da churrasqueira

A = 0,500 m2

( ) ( )500,01016,1 3 ⋅×=P

kWP 80,5=⇒

Para calcular esta potência, basta tomarmos aintensidade e multiplicarmos pela área da churrasqueira.

ARP ⋅=

Ao lado mostramos resultadosexperimentais obtidos por Otto Lummer(1860-1925) e Ernst Pringsheim (1859-1917) em 1899.

Este resultado foi obtido noPhysicalisch-Technische Reichsanstall ,hoje conhecido como Max Planck Institute .

Otto Lummer.

Ernst Pringsheim.




Curvas para a radiância espectral R λ

Espectro de corpo negro obtido por Lummer e

Pringsheim.

Friedrich Paschen.

Esta lei foi verificada experimentalmente inúmeras vezes.

bTMAX =⋅λ

A confirmação mais cuidadosa desta leifoi obtida por Friedrich Paschen (1865-1947)também em 1899.

Um resultado numérico muito importante é conhecidocomo Lei de Deslocamento .

Lei de Deslocamento de Wien.




A Lei de Deslocamento

bA = 2,89×10-3 m⋅K

Abaixo mostramos uma comparaçãoentre o resultado obtido por Lummer ePringsheim com aquele obtido a partir demedidas atuais mais precisas.

bTMAX =⋅λbL&P = 2,94×10-3 m⋅K




Determinação da constante da Lei de Deslocamento

Espectro de corpo negro obtido por Lummer e

Pringsheim.

Arranjo experimental para obter o espectro de corpo negro.

bA = 2,89×10-3 m⋅K

Seja uma explosãotermonuclear na qual atemperatura no local alcanceo valor de 10 milhões de K(1,0×107 K).

bTMAX =⋅λ




Exemplo do uso da Lei de Deslocamento

Explosão de uma bomba atômica.

Vamos usar a Lei deDeslocamento de Wien paracalcular o comprimento deonda onde a radiação emitidaé máxima.

T = 1,0×107 K

Substituímos o valor datemperatura T = 1,0×107 K na Lei deDeslocamento de Wien paradeterminar o valor de λMAX.

bTMAX =⋅λ




Cálculo de λMAX

Explosão de uma bomba atômica.

Este comprimento de onda indica que aexplosão emite preferencialmente Raios-X .

mMAX10109,2 −×=λ

bA = 2,89×10-3 m⋅K

RAIOS-X

⇓


3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck


1. Introdução



Wilhelm Wien.

De 1893 a 1896 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Wien(1864-1928) se dedicou a estudos teóricos e empíricos paraobter uma expressão para a densidade espectral de energiauν(ν).

3. O MODELO DE WIEN



A busca de Wien pela solução do problema

Prêmio Nobel de Física de 1911 –

“pelas descobertas das leis de irradiação

do calor” Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física.

Para isto, Wien considerou o Efeito Doppler que aradiação (onda eletromagnética) sofre ao incidir sobre umaparede espelhada em movimento.

Wien simulou o movimento de um pistão dentro docilindro, atribuindo á radiação uma característica mecâni ca.

Wien , a seguir, generalizou o raciocínio de Boltzmann ,aplicando as leis da Termodinâmica à radiação contida emcada intervalo de frequência entre ν e ν + dν.

3. O MODELO DE WIEN



As hipóteses de Wien

Inicialmente Wien obteve uma relação geral, conhecidacomo Fórmula de Wien apenas relacionando a densidadeespectral de energia com a frequência e a temperatura.

Após um cálculo exaustivo, Wien então obteve a relaçãomostrada abaixo.

( )

⋅=T

fuνννν

3

Problema: nem os princípios e relações básicas daTermodinâmica , nem do Eletromagnetismo permitemdeterminar a forma funcional da função f(ν/T).

( ) ( )TgTu ⋅⋅= λλ

λλ 5

1,

Para determinar a forma funcional de f(ν/T) Wien fezentão uma conjectura.

3. O MODELO DE WIEN



O primeiro resultado de Wien obtido em 1893

⇒

Uma conjectura é uma ideia, fórmula ou frase, a qual nãofoi provada ser verdadeira, baseada em suposições ou idéiascom fundamento não verificado .

Conjectura de Wien : a densidade espectral de energiadeve ser do tipo daquela proposta por Maxwell para adistribuição de velocidades de moléculas de um gás.

TeT

fνβν ⋅−

∝

( ) Tk

vm

Bevn ⋅⋅−

∝2

3. O MODELO DE WIEN



A conjectura de Wien

⇒

Abaixo, reproduzimos as próprias palavras de Wien emum dos seus artigos científicos.

“ ...uma visão atualmente aceita é que as cargas elétricasdas moléculas podem excitar ondas eletromagnéticas ... ecomo o comprimento de onda λ da radiação emitida por umadada molécula é uma função da velocidade v, esta velocidadetambém é uma função de λ”.

3. O MODELO DE WIEN



As palavras de Wien

Esta conjectura permitiu que Wien formulasse a seguinteproposta para a densidade espectral de energia uν(ν).

( )

⋅−⋅⋅=T

uνβνανν exp3

Wien usou então as relações entre uν(ν) e Rλ(λ) e obteve oresultado mostrado abaixo.

( )

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=T

ccR

λβ

λαλλ exp

1

4

15

5

3. O MODELO DE WIEN



O resultado final obtido por Wien

A equação obtida por Wien não é correta para todo oespectro eletromagnético.

( )

⋅−⋅⋅⋅⋅=T

cRνβνανν exp

4

1 3

Por outro lado, esta equaçãoconcorda muito bem para altasfrequências (comprimentos de ondapequenos ), mas é ruim para baixasfrequências (comprimentos de ondaelevados ).

3. O MODELO DE WIEN



Análise do resultado final obtido por Wien

Espectro em frequências da radiação de corpo negro.


3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck


1. Introdução



John William Strutt –Sir Rayleigh.

No final do Século XIX o físico inglês John William Strutt(1842-1919) tomou conhecimento dos resultados de Wien .

4. O MODELO DE RAYLEIGH -JEANS



A contribuição de Sir Rayleigh

Prêmio Nobel de Física de 1904 –

“pelas investigações sobre as densidades

dos gases e pela descoberta do

Argônio”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física.

Em consequência destes estudos, em Junho de 1900 SirRayleigh obteve uma nova expressão para uν(ν).

Sir Rayleigh passou a estudar então o fenômeno daradiação de corpo negro, fixando o seu olhar apenas nascaracterísticas da radiação.

Ele também sabia das limitações do resultado de Wien noque diz respeito ao comportamento ruim da densidade deenergia espectral para baixas frequências .




Sir Rayleigh e as características clássicas da radiação

Ao longo do desenvolvimento de seu modelo, SirRayleigh cometeu um pequeno erro de natureza geométrica.

Este erro foi observado e corrigido em 1905 pelo físicoinglês James Hopwood Jeans (1877-1946).

James Hopwood Jeans.

Por esta correção, a teoria clássica daradiação de corpo negro é conhecida comoModelo de Rayleigh-Jeans .




A contribuição de Jeans

Desta forma, Sir Rayleigh pôde aplicar o Teorema daEquipartição da Energia ao problema da radiação de corponegro.

A hipótese fundamental deste modelo é que o campo deradiação está em equilíbrio termodinâmico com o corponegro que o emite.

Com esta hipótese, Sir Rayleigh considerou a troca deenergia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e osmodos de oscilação do campo eletromagnético existentesdentro da cavidade (corpo negro ).




As trocas de energia na radiação de corpo negro

Abaixo enunciamos o Teorema da Equipartição deEnergia .




O Teorema da Equipartição da Energia

Em um sistema termodinâmico em equilíbrio térmico auma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um delescontribui para o sistema com a mesma quantidade de energiaelementar kB⋅T.

Assim, a energiatotal de um sistema comN graus de liberdade éigual a N⋅ kB⋅T.TkNU B ⋅⋅=


Nesta equação ∆n é o número de modos normais deoscilação (graus de liberdade) do campo de radiação comfrequência entre ν e ν + ∆ν.

Desta forma, a energia total contida no campo deradiação com frequência entre ν e ν + ∆ν é dada pela equaçãomostrada abaixo.

nTkU B ∆⋅⋅=∆




Aplicação deste teorema ao problema da radiação

Sir Rayleigh levou em conta ainda quea cavidade era feita com materialcondutor.

O problema então passa a ser construir um modelo parao cálculo da quantidade ∆n.

Para este cálculo, Sir Rayleigh considerou a radiação decorpo negro como sendo o campo eletromagnético dentro deuma cavidade a uma dada temperatura T.

Desta forma, o campo elétrico nasuperfície da cavidade deve ser nulo!!!




Características do campo eletromagnético na cavidade

Cavidade cúbica de aresta a e volume a3.

Após um cálculo exaustivo, e levando em conta acontribuição dada por Jeans , Sir Rayleigh obteve umaexpressão para o número de modos de oscilação do campoeletromagnético na cavidade.

ννπ ∆⋅⋅⋅⋅=∆ 23

3

8c

an




Os modos normais de oscilação do campo de radiação

Cavidade cúbica onde se propagam as ondas eletromagnéticas.

Após ter calculado o número total de modos de oscilaçãodo campo eletromagnético, Sir Rayleigh pôde entãodeterminar a energia do campo de radiação ∆U.

Lembremos que no modelo clássico proposto por SirRayleigh a energia do campo de radiação é proporcional akB⋅T e dada pela equação mostrada abaixo.

nTkU B ∆⋅⋅=∆ννπ ∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ 2

3

3

8 Tkc

aU B




De volta ao Teorema da Equipartição da Energia

⇒

Como a frequência do campo eletromagnético é umavariável contínua, Sir Rayleigh obteve a energia do campo deradiação dU com frequências entre ν e ν+dν.

ννπ dTkc

adU B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 2

3

3

8

Com este resultado, Sir Rayleigh pôde determinar adensidade espectral de energia do campo de radiação uν(ν).

( ) 23

8 νπνν ⋅⋅⋅⋅= Tkc

u B




A obtenção de uma fórmula para a radiância espectral

( ) 22


R B⇒

( ) 22


R B

Vamos agora fazer a comparaçãoentre o resultado teórico obtido por SirRayleigh (usando apenas argumentosclássicos) com os resultadosexperimentais.




Os problemas do modelo clássico de Rayleigh-Jeans

Usamos então as relações entre uν(ν) e Rλ(λ) paraobtermos a expressão para a radiância espectral mostradoabaixo.

Comparação entre o resultado de Sir Rayleigh e os dados experimentais.

Para evidenciar ainda mais a falha no resultado obtidopor Lord Rayleigh vamos calcular a energia total do campoeletromagnético contido na cavidade.

∫∞

⋅⋅=0

3 νν duaU ∫∞

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0

23

33 8 ννπ

dTkc

aaU B ∞→UAo aparecimento deste absurdo e

impossível infinito no resultado, dá-se onome de catástrofe do ultravioleta .

É importante frisar que o absurdo dacatástrofe do ultravioleta era doconhecimento de Lord Rayleigh .



A “catástrofe do ultravioleta”


⇒

CATÁSTROFE DO ULTRAVIOLETA

MODELO CLÁSSICO É INADEQUADO⇒

FALHA AO USAR O TEOREMA DA

EQUIPARTIÇÃO DA ENERGIA

NECESSIDADE DE UM NOVO MODELO PARA

DESCREVER ASTROCAS DE ENERGIA ENTRE A

RADIAÇÃO E A MATÉRIA

O quadro abaixo mostra a situação encontrada por MaxPlanck quando ele resolveu atacar o problema da radiação decorpo negro a partir dos primeiros princípios da Física.

⇐

⇓




A necessidade de um novo modelo


3. Modelo de Wien

5. Modelo de Planck


1. Introdução



Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) era professorna Universidade Friedrich Wilhelm em Berlim no ano de 1900,sucedendo a Gustav Kirchoff na cadeira de Física Teórica ,quando desenvolveu a teoria sobre a radiação de corponegro.

Max Planck.

Abordagem histórica

5. O MODELO DE PLANCK



Prêmio Nobel de Física de 1918 –“ por trabalhos no desenvolvimento da Física e pela descoberta dos quanta de energia”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física.

Por residir em Berlim, Planck tinha contato permanentecom os pesquisadores do Physicalisch-TechnischeReichsanstall , tais como Lummer , Pringsheim , Rubens eKurlbaum .

Ao longo do ano de 1900, de Fevereiro aOutubro , estes cientistas haviam obtido umacurva experimental para a radiação emitida porum corpo negro.

Como já vimos, estes resultadoscontradiziam o modelo teóricoapresentado por Wien em 1896.

Um pouco mais de história




Espectro de corpo negro.

Planck decidiu então abordar o problema da radiação decorpo negro, já que havia um desafio em obter um modeloteórico que explicasse o resultado experimental.

Em Outubro de 1900 , Planck encontrou uma fórmula quefornecia um excelente ajuste a todos os resultadosexperimentais conhecidos.

Nos três meses seguintes, Planck buscou umejustificativa teórica para a sua fórmula.

Mais história




Para chegar ao resultado final, Planck utilizouargumentos da Teoria Eletromagnética , da Termodinâmica eda Mecânica Estatística .

Por desenvolver seu modelo no mesmo ano, Planck , aoque parece, não conhecia ou não deu importância aosresultados obtidos por Sir Rayleigh .

Como vemos, Planck procurou por um modelo teóricoque levasse em conta todos as grandes teorias existentes nasua época.

A abordagem de Planck




Planck considerou que o emissor de radiação eram ascargas elétricas presentes na superfície do corpo negro.

Assim, estas cargas elétricas comportavam -se comoosciladores radiantes .

Desta forma, para Planck era muito importante utilizar osconceitos da Teoria Eletromagnética .

Segundo Planck , as cargas elétricas oscilavam excitadaspela temperatura do corpo aquecido.

A origem da radiação nos corpos aquecidos




Por sua vez, Planck dominava como poucos os conceitosda Termodinâmica .

Ele percebeu que o conceito de entropia deveriadesempenhar um papel importante no processo de troca deenergia entre o corpo negro aquecido (matéria) e a radiação .

Por fim, como havia um número muito grande deosciladores presentes na matéria, Planck considerouimportante usar os conceitos da Mecânica Estatística .

O papel da entropia da radiação




No artigo “ Sobre um aperfeiçoamento da fórmula deWien ” publicado em 1900, Planck mostrou que a fórmula deWien não era válida para todas as frequências emitidas pelocorpo negro.

Como vimos, Planck partiu do princípio que a radiaçãoemitida por um corpo aquecido era proveniente das cargasdas paredes da cavidade, aceleradas pela temperatura.

A fórmula de Wien ela era apenas aproximadamentecorreta como caso limite para grandes frequências.

Uma primeira abordagem de Planck




Planck considerou a situação mais simples, na qual ascargas aceleradas executam um movimento harmônicosimples com frequência ν.

Estas cargas emmovimento harmônicosimples constituem -se emosciladores carregados.

Os osciladores carregados como emissores de radiação




Processo de emissão de radiação por um corpo negro a partir de osciladores carregados.

Em primeiro lugar Planck procurou escrever umaexpressão para a densidade de energia espectral uν docampo eletromagnético em termos da energia média dooscilador .

Para isto, Planck considerou que os osciladores dasparedes das cavidades estavam em equilíbrio termodinâmicocom a radiação eletromagnética estabelecida em seu interior.

Assim, a perda de energia de cada oscilador seriacompensada pela absorção da energia da radiação.

O papel do equilíbrio termodinâmico




( ) Uc

R ⋅⋅⋅= 22

2 νπνν

Esta expressão mostra que a radiância espectral daradiação é determinada pela energia média do conjunto dososciladores carregados.

Assim, impondo o equilíbrio termodinâmico entreosciladores e radiação em 1899 Planck obteve o conhecidoTeorema de Planck , cujo resultado é mostrado abaixo.

O Teorema de Planck




Após fazer um pequeno ajuste na fórmula de Wien ,Planck obteve a expressão para a energia média dososciladores, mostrada abaixo.

Planck substituiu estaexpressão em seu teorema e obteveo resultado mostrado abaixo.1exp −

⋅

=

TA

B

BU

( )

−

⋅

⋅⋅⋅=1exp

22

2

TA

B

B

cR

νπνν

O ajuste de curvas via correção na fórmula de Wien





Mas, e as constantes A e B? Como Planck asdeterminou?

Para determinar a constante B Planck seguiu oargumento de Wien tal que uν(ν) = ν3⋅f(ν/T) (correto!!! ).

Para satisfazer o argumento deWien , esta condição,necessariamente a constante B deveser proporcional à frequência.

ν⋅= 1cB ( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

2

1

3

21

TA

cc

cR

ννπνν

A obtenção do resultado correto!!!




Espectro de corpo negro de estrelas a várias temperaturas.

Assim, Planck obteve a expressão para a radiânciaespectral, mostrada abaixo.

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

2

1

3

21

TA

cc

cR

ννπνν

Este resultado ajusta-secompletamente com os dadosobtidos experimentalmente,dependendo apenas dos valoresdas constantes c1 e A!!!

O ajuste perfeito com a curva experimental





( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

2

1

3

21

TA

cc

cR

ννπνν

Este resultado foi publicado em 1900 no artigo “ Sobre umaperfeiçoamento da equação de Wien para o espectro ”, jácitado anteriormente.

Nas palavras de Planck : “ como demonstrado por exemplosnuméricos, tal fórmula se ajusta muito bem aos dados experim entais existentes(com valores convenientes das constantes c 1 e A). Gostaria então de chamar anossa atenção para essa fórmula que considero a mais simples possível, além da

de Wien, sob o ponto de vista da teoria eletromagnética da rad iação ” .

A surpresa (??!!!) de Planck




Espectro de corpo negro mostrando o comportamento do

máximo de intensidade.

A fórmula obtida pelo ajuste de curvas ainda é EMPÍRICA,isto é, NÃO existe um modelo físico que a justifique.

FÓRMULA EMPÍRICA

Precisa de uma teoria que a justifique!!!

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅=1exp

2

1

3

21

TA

cc

cR

ννπνν ⇒ ⇒

O próprio Planck não ficou totalmente satisfeito com a“ dedução ” da fórmula acima, pois ele sabia que tal fórmulacarecia de fundamentação física.

Assim, Planck procurou ( e encontrou em algunsmeses!!! ) por um modelo que justificasse a equaçãoencontrada empiricamente.

A falta de um modelo físico




Ao procurar dar um conteúdo físico para sua fórmula,Planck se deu conta que a entropia dos osciladores teria queser determinada por argumentos probabilísticos.

Para tal, Planck utilizou-se dos conceitos da MecânicaEstatística , recém desenvolvida por Boltzmann .

N

UU =

O segundo trabalho de Planck: o modelo físico




M

UE =

N eM são números muito grandes.

Por outro lado, Planck admitiu quepoderiam existir M célulasindistinguíveis tal que a energia E de umúnico oscilador pode ser facilmentecalculado.

Desta forma, Planck distribuiu os N osciladores pelas Mcélulas e calculou o número total de estados possíveis Gdesta distribuição.

( )( )

( )!!

!

!1!

!1

NM

MN

NM

MNG

⋅+≅

−⋅−+=

M

UE =

Uma abordagem estatística




N eM são números muito grandes.

Pela Mecânica Estatística , a entropia de um sistema estáassociada ao número de estados possíveis G existentesdentro dele através da relação obtida por Boltzmann .

GkS B ln⋅=Assim, a entropia do sistema

de N osciladores distribuídospor M células é facilmentedeterminada.

( )( )

⋅+⋅=

!!

!ln

NM

MNkS B

O papel da entropia da radiação





Após um exaustivocálculo, Planck chegouentão ao resultado mostradoao lado.

+⋅=U

E

E

k

TB 1ln

1

A partir daí, Planck foi capaz de calcular a energia médiados osciladores como mostrado abaixo.

−

⋅

=1exp

Tk

E

EU

B

E é a energia de um único oscilador.

A obtenção da energia média dos osciladores




Planck propôs então que a energia de um único osciladorE fosse proporcional à frequência ν.

ν⋅= hE

−

⋅⋅⋅=

1expTk

h

hU

B

νν

h é uma constante a ser determinada (hoje chamada de

constante de Planck).

Esta proposição de Planck écoerente com os argumentos(corretos!!! ) de Wien quetenhamos uν(ν) = ν3⋅f(ν/T) e levaao resultado mostrado ao lado.

A energia de um único oscilador




h = 6,626184×10-34 J⋅s: constante de Planck.

Depois de calcular a energia média dos osciladores ,Planck utilizou o seu teorema e determinou a radiânciaespectral .

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

2 3

2

TA

hc

hR

ννπνν

A determinação da radiância espectral




Espectro em frequência da radiação de corpo negro para várias temperaturas.

Porém, após chegar com sucesso ao resultado corretopara o espectro de radiação de um corpo negro, uma questãoainda precisou ser respondida por Planck .

Qual comportamentodeve ter a interação daradiação com a matéria paraque um oscilador comenergia h⋅ν produza umaenergia média do conjunto deosciladores igual aoresultado obtido por ele?

−

⋅⋅⋅=

1expTk

h

hU

B

νν

????

Um questionamento de Planck




Planck admitiu que a interação entre o campo de radiaçãoe o corpo aquecido se dava através de trocas de energiasdiscretas (não-contínuas )!!!

O modelo de Planck está baseado no postuladofundamental de que a troca de energia entre os osciladores eo campo de radiação NÃO é uma grandeza contínua , mas sópode se dar através de valores discretos e múltiplos de umaquantidade elementar .

A resposta de Planck ao seu questionamento




n é um número inteiro.

Como as trocas de energia se dão de forma discreta,nesta situação a energia dos osciladores U também podeadmitir apenas valores discretos , múltiplos do QUANTUM DEENERGIA.

0UnUU n ⋅==

Assim, Planck propôs que a energia dos osciladores sópode ser múltiplo inteiro de uma quantidade elementar U 0.

U0 é o QUANTUM DE

ENERGIA.

As trocas de energia no modelo de Planck




Uc

R ⋅⋅⋅=2

22 νπν

( )

−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

2 3

2

Tk

hc

hR

B

ννπνν

Assim, a proposição de Planck de que as trocas deenergia entre a matéria ( osciladores!!! ) e a radiação sãoquantizadas leva ao resultado esperado para a radiânciaespectral para a radiação de corpo negro.

0UnU ⋅=

O resultado final e correto!!!




Espectro da radiação de corpo negro.

Partindo da fórmula de Planck , que é aquela que traduzcom exatidão os resultados experimentais, podemos fazeruma comparação entre todos os modelos estudados.

Com esta equação podemos estudar as situações limitespara baixas frequências (comprimentos de onda elevados) ealtas frequências (comprimentos de onda baixos).

Modelo de Wien e Modelo de Rayleigh-Jeans como casosparticulares do Modelo de Planck




Estes resultados são melhor visualizados graficamente,como mostrado a seguir.

Estes resultados podem ser sintetizados no gráficoabaixo.

( )4

2

λπλλ

TkchR B ⋅⋅⋅⋅⋅=

( )

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

Tk

chchR

Bλλπλλ exp

25

2

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

125

2

Tk

ch

chR

Bλλ

πλλ

W

R-J

P

Um olhar sobre as três equações relativas a cada modelo




Comparação entre os três modelos que tentam explicar o espectro da radiação de

corpo negro.

É possível afirmar sem medo de errar que a Física tomououtro rumo após a contribuição de Planck para acompreensão da radiação emitida por um corpo aquecido.

Ao invocar ideias da Mecânica Estatística para obter suafórmula, Planck só conseguiu este objetivo introduzindoconceitos totalmente contraditórios à Física Clássica .

Nas palavras do próprio Planck : “ Consideramos, porém –este é o ponto mais importante de todo o cálculo – que aenergia dos osciladores é a soma de um número inteiro departes iguais ”.

O legado de Max Planck para a Física




Por muitos anos Planck procurou conciliar asconcepções clássicas com a ideia da quantização, ao pontode, em 1931 afirmar que seu rompimento com a FísicaClássica foi “ um ato de desespero ”.

Apesar de sua contribuição revolucionária, ironicamentePlanck era, por formação, um físico muito conservador,convicto da validade da Física Clássica .

Por causa disso o físico e historiador da CiênciaAbraham Pais caracterizou Planck como um “ revolucionáriorelutante ”.

Planck, o revolucionário relutante




Einstein foi o primeiro físico – e por cerca de 25 anos , oúnico – a perceber as consequências revolucionárias dosresultados de Planck sobre a natureza da radiação,baseando-se nelas para introduzir o conceito de fóton .

A rigor, o nome “ quantum de energia ” foi dado porEinstein em 1905 em seu trabalho sobre o Efeito Fotoelétrico .

A formulação quantitativa da Mecânica Quântica sóocorreu a partir de 1925 com os trabalhos de Heisenberg ,Schroedinger , Dirac e Born .

Planck e o “quantum de energia”




Uma das verificações experimentais mais belas eprecisas da fórmula de Planck é a determinação do espectroda radiação térmica cosmológica de fundo , remanescente daorigem do Universo ( Big Bang ).

Agora vamos expor rapidamente uma “ contribuição ” dePlanck para a Física Contemporânea.

Os dados mais atuais (que dão grande suporte ao modelodo Big Bang ) foram obtidos a partir de 2003 pelo satéliteWMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe ).

A radiação de corpo negro e o Big-Bang




Pelos dados da WMAP, a expansão do Universo resfrioua radiação cósmica de fundo até a sua temperatura atual de2,73 K com intensidade máxima na região de micro-ondas(λMAX = 1,059 mm).

Resultados para a radiação cósmica de fundo




Sondas para medir o espectro

da radiação cósmica de fundo.

Espectro de corpo negro da

radiação cósmica de

fundo.

Para verificar experimentalmente os dados da WMAPdecide-se medir a radiância espectral desde um comprimentode onda menor que λmax para o qual Rλ(λ) = 0,200⋅Rλ(λmax) atéum valor de comprimento de onda maior que λmax para o qualtemos Rλ(λ) = 0,200⋅Rλ(λmax) novamente.

Exemplo da aplicação da fórmula de Planck




Espectro de corpo negro da radiação cósmica de fundo.

Queremos saber entre que valoresde comprimento de onda devem serfeitas as medidas.

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

125

2

Tk

ch

chR

Bλλ

πλλ

Inicialmente determinamos o valor da radiância espectralmáxima, correspondente à temperatura de T = 2,73 K ecomprimento de onda λmax = 1,059 mm.

Análise gráfica do problema





( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

125

2

Tk

ch

chR

MAXB

MAXMAX

λλπλλ

bTMAX =⋅λb= 2,89×10-3 m⋅K

h = 6,626184×10-34 J⋅s

c = 2,9979×108 m/s

kB = 1,380664×10-23 J/K

310932,6

1exp

1 −×=

−

⋅⋅⋅

Tk

ch

MAXB λ

Assim, obtemos um resultado numérico para a radiânciaespectral máxima.

O cálculo da radiância espectral máxima





( ) 35

2

10932,62 −×⋅⋅⋅⋅=

MAXMAX

chR

λπλλ

Queremos saber os valores doscomprimentos de onda quesatisfazem a condição Rλ(λ) =0,200⋅Rλ(λmax).

35

2

5

2

10932,62

200,0

1exp

12 −×⋅⋅⋅⋅⋅=

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

MAX

B

ch

Tk

ch

ch

λπ

λλ

π

Com esta igualdade obtemos uma equação na variável λa ser resolvida numericamente.

A criação de uma variável adimensional





Fazemos uma mudança devariável, definindo a grandeza ycomo a razão entre λ e λmax.

5

310386,1

1exp

1

⋅×=

−

⋅⋅⋅

−

MAX

B Tk

ch λλ

λ

MAX

yλ

λ=5310386,1

1exp

1y

Tky

ch

MAXB

⋅×=

−

⋅⋅⋅⋅

−

λ⇒

Lembramos que o produto λMAX⋅T = b = 2,89×10-3 m⋅K éconhecido, de forma que podemos calcular o termo dentro daexponencial.

Resultado para a variável adimensional





Resolvemos esta equaçãotranscendental numericamente eobtemos dois valores para a variável y.

978,4=

⋅⋅⋅

Tk

ch

BMAXλ

491,01 =y

5310386,1

1978,4

exp

1y

y

⋅×=

−

−

646,21 =y

⇒

Com os dois valores de y determinados, calculamos osvalores dos comprimentos de onda λ1 e λ2 que resolvemnosso problema.

O cálculo dos comprimentos de onda desejável.





491,01 =y

646,22 =y

mµλ 520,01 =

mµλ 802,22 =

Assim, as medidas de radiânciaespectral devem ser feitas no intervalo0,520µm < λ < 2,802µm.

⇒

⇒

λMAX = 1,059 mmMAX

yλ

λ=

Seja um irradiador de cavidade colocado a 6000 Kque temum orifício de 0,100 mmde diâmetro feito em sua parede.

Neste caso, o orifício representa ocorpo negro.




O cálculo da potência de um irradiador de cavidade

Queremos determinar a potência irradiada através doorifício no intervalo de comprimentos de onda entre 550 nme552 nm.

Cavidade aquecida com orifício recebendo e emitindo radiação

Definimos radiância como sendo a energia irradiada porum corpo aquecido, por unidade de área, por unidade detempo.

Assim, a radiância nada mais é do que a potênciairradiada por unidade de área .




O cálculo da potência de um irradiador de cavidade

( ) ATRP ⋅=( )

4

2DTRP

⋅⋅= π4

2DA

⋅= π

Cavidade aquecida com orifício recebendo e emitindo radiação.

D: diâmetro do orifício.

A: área do orifício.

Por sua vez, a radiância é determinada através daintegração da radiância espectral no intervalo decomprimentos de onda solicitado.

( )∫ ⋅= 2

1

λ

λ λ λλ dRR Vamos usar nesta equação a fórmulade Rλ(λ) obtida por Planck para a radiaçãode corpo negro.




O uso da Lei de Planck para a radiação de corpo negro

( )

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1exp

125

2

Tk

ch

chR

Bλλ

πλλ

Cavidade aquecida com

orifício recebendo e

emitindo radiação.

Substituímos então a fórmula de Planck na integral ecalculamos a radiância no intervalo de comprimentos deonda solicitado.

( ) ∫ ⋅

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= 2

1

1exp

125

2λ

λλ

λλ

πd

Tk

ch

chTR

B




Caso específico de pequenos intervalos de λ

Aqui nós observamosque o intervalo decomprimentos de ondasolicitado é de apenas 2 nm(de 550 nma 552 nm).

Cavidade aquecida com orifício recebendo e

emitindo radiação.

nm2=∆λ12 λλλ −=∆ ⇒

Para intervalos de comprimentos de ondasuficientemente pequenos (como é o caso neste problema),podemos aproximar o resultado da integral por aquelemostrado abaixo.

∫ ⋅

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= 2

1

1exp

125

2λ

λλ

λλ

πd

Tk

ch

chR

B




O cálculo usando esta aproximação

( ) λλλ ∆⋅= RR

Radiação de corpo negro.

⇒

Com estas condições calculamos a potência irradiadapelo orifício pela aplicação da fórmula mostrada abaixo.

λπ

λλ

π ∆⋅⋅⋅

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=4

1exp

12 2

5

2 D

Tk

ch

chP

B

Com estes dados, obtemoso resultado mostrado abaixo.

mWP 50,1=




O cálculo da potência irradiada pelo orifício

c = 2,9979×108 m/s

h = 6,626184×10-34 J⋅s

kB = 1,380664×10-23 J/K T= 6000 K D= 0,100 mm

∆λ= 2 nm

Radiação emitida por uma cavidade (corpo

negro).

Neste caso, não podemos simplificar o cálculo daintegral, como feito anteriormente e assim devemos resolvera integral já esquematizada no exemplo anterior, nos limitessolicitados pelo problema.

( ) ∫ ⋅

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= 2

1

1exp

125

2λ

λλ

λλ

πd

Tkch

chTR

B




O cálculo para intervalos maiores de λ

Queremos agora determinar a potência irradiada atravésdo orifício no intervalo de comprimentos de onda entre 400nm e 700 nm.

λ1= 400 nm

λ2= 700 nm

Espectro de

radiação de corpo negro.

Esta integral não tem solução analítica e para o seucálculo devemos fazê-lo através de métodos numéricos.

Para resolver a integral na expressão acima, fazemos amudança de variável indicada abaixo, com as suasimplicações.

( )Tk

chx

B ⋅⋅⋅=

λλ

Assim, nos limitesentre 400 nm e 700 nm, ocálculo da potência ficacomo mostrada ao lado.

( ) ∫ ⋅

−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nm

nm

B

d

Tk

chch

DTP

800

200 52

2

1exp

112

4λ

λλ

ππ

( )Tkx

chx

B ⋅⋅⋅=λ dx

xTk

chd

B

⋅⋅⋅⋅−=

2

1λ




Mudanças de variável importantes

⇒

Substituímos a expressão para λ e dλ na integral eobtemos a expressão para a potência mostrada abaixo.

( ) ∫ ⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= mai

men

x

x xB dx

e

x

ch

TkDTP

12

3

23

4422π

Indicamos abaixo a forma de calcular os limites deintegração, xmen e xmai.

( )Tk

chx

B ⋅⋅⋅=

λλ

Tk

chx

Bmaimen ⋅⋅

⋅=λ Tk

chx

Bmenmai ⋅⋅

⋅=λ




O cálculo dos limites de integração

⇒

Após a substituição dos valores dos dados, chegamosaos valores de xmen e xmai mostrados abaixo.

Tk

chx

Bmai ⋅⋅⋅=

λmin Tk

chx

Bmen ⋅⋅⋅=

λmax

99,5=maix

43,3=menx




A montagem do problema

h = 6,626184×10-34 J⋅s

c = 2,9979×108 m/s

kB = 1,380664×10-23 J/K T= 6000 K

O resultado do cálculo de xmen e xmai é mostrado abaixo.

λmai = 700 nm λmen = 400 nm

( ) ∫ ⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=99,5

43,3

3

23

4422

12dx

e

x

ch

TkDTP

xBπ

⇒

Calculamos a integralnumericamente e obtemos oresultado mostrado ao lado.

42,21

99,5

43,3

3

=⋅−∫ dx

e

xx

mWP 214=

Usamos o resultado calculado acima para determinarmosa potência irradiada pelo orifício.

∫ ⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=99,5

43,3

3

23

4422

12dx

e

x

ch

TkDP

xBπ




O cálculo da potência irradiada pelo orifício

h = 6,626184×10-34 J⋅sc = 2,9979×108 m/s

kB = 1,380664×10-23 J/K

T= 6000 K

D= 0,100 mm

⇒

Afora a sua grande contribuição para o avanço daCiência, Planck foi também um grande humanista.

Planck permaneceu na Alemanha durante a 2a GuerraMundial , e segundo relato de Heisenberg tentou convencerHitler a não expulsar os cientistas judeus das universidade salemãs.

Planck também sofreu muito com as duas GrandesGuerras Mundiais: na primeira morreu seu filho mais velho ena segunda seu outro filho foi covardemente assassinadopela Gestapo .

O legado de Max Planck para a humanidade




RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO - BIBLIOGRAFIA


Bibliografia

1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica ; EditoraCampus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 19-47 .

2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna ; ElsevierEditora; São Paulo, 2006; páginas 299-329 .

3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna ; EditoraPolígono; São Paulo, 1969; páginas 282-287 .

4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4 ; EditoraEdgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 246-249 .


A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO - BIBLIOGRAFIA


Bibliografia

5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.;Fundamentos de Física – Volume 4 – 4 a Edição ; LivrosTécnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 158-159 .

6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN,R. A.; Física IV; 10 a Edição ; Pearson Education do Brasil; SãoPaulo, 2004; páginas 204-208 .

7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna ;Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001 ;páginas 83-87 .


A Ceia em Emaús – Caravaggio

são jerônimo escritor – caravaggio são jerônimo escritor ... · emissividade de vários...

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