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São Carlos, v.10 n. 47 2008

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA

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Suplente do Chefe do Departamento:

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Editoração e Diagramação:

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MASAKI KAWABATA NETO MELINA BENATTI OSTINI

RODRIGO RIBEIRO PACCOLA TATIANE MALVESTIO SILVA

São Carlos, v.10 n. 47 2008

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SSUUMMÁÁRRIIOO Aplicação de recursos computacionais em projetos de edifícios em alvenaria Julio Antonio Razente & Marcio Antonio Ramalho 1 Método dos elementos finitos e técnicas de enriquecimento da aproximação aplicados à análise de tubos cilíndricos e cascas esféricas Gustavo Cabrelli Nirschl & Sergio Persival Baroncini Proença 17 Ladrilhos e revestimentos hidráulicos de alto desempenho Thiago Catoia & Jefferson Benedicto Libardi Liborio 53 Plásticos reciclados para elementos estruturais Ricardo Alves Parente & Libânio Miranda Pinheiro 75 Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto em situação de incêndio Ronaldo Rigobello & Jorge Munaiar Neto 97 Sobre a formulação de um modelo de dano para o concreto José Julio de Cerqueira Pituba & Sergio Persival Baroncini Proença 117

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 47, p. 1-15, 2008

APLICAÇÃO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS EM PROJETOS DE EDIFÍCIOS EM ALVENARIA

Julio Antonio Razente1 & Marcio Antonio Ramalho2

R e s u m o

A finalidade deste trabalho é apresentar o desenvolvimento, através da utilização da linguagem de programação AutoLISP, de programa computacional relacionado à etapa de projeto de edifícios em alvenaria. O programa, intitulado ALVPLUS, auxilia nas atividades de modulação das alvenarias, geração automática de elevações e inserção de detalhes relacionados à alvenaria estrutural como disposições construtivas, armaduras, quantitativos de materiais e legendas, dispostos em arquivos eletrônicos do seu banco de dados. A utilização deste programa propicia o aumento da produtividade e da padronização dos projetos de alvenarias, assim como o aumento da qualidade e entendimento desses projetos. Palavras-chave: projetos de edifício;, alvenaria estrutural; AutoLISP.

1 INTRODUÇÃO

Por muitos anos a alvenaria estrutural foi pouco utilizada devido a muitos fatores tais como: preconceito, maior domínio da tecnologia do concreto armado por parte de construtores e projetistas e pouca divulgação do assunto nas universidades durante o processo de formação do profissional. Muitos projetistas são leigos no que diz respeito a este sistema construtivo e acabam, assim, optando pelo concreto armado.

Nos últimos anos essa situação tem se alterado de forma significativa. O interesse por esse sistema estrutural cresceu de forma notável, especialmente pelas condições nitidamente favoráveis que se obtêm em termos de economia. E, no momento, o processo construtivo atende com sucesso ao desafio de se construir no prazo fixado, com qualidade e custo relativamente baixo, edificações residenciais, comerciais e industriais. O aperfeiçoamento dos métodos de cálculo e a melhoria dos componentes, ao longo dos anos, tornaram possível desenvolver edifícios de diversos padrões e estruturas cada vez mais altas.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Julio Antonio Razente & Marcio Antonio Ramalho


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Além disso, técnicas relacionadas à elaboração de projetos foram aperfeiçoadas através da utilização de computadores e ferramentas específicas para a engenharia. A implementação da informática nas etapas de projeto permitiu que estes fossem elaborados enfocando os princípios da racionalização construtiva, destacando-se: a compatibilização entre projetos, coordenação modular, melhor apresentação de detalhes construtivos e eventualmente de algumas técnicas de execução. Os recursos de informática permitem ainda que os profissionais envolvidos com projeto sejam mais competitivos, diminuindo o tempo gasto para a elaboração dos trabalhos e possibilitando a garantia de prazos relacionados às etapas da obra.

Neste trabalho, rotinas foram desenvolvidas, através da linguagem AutoLISP, para o programa AutoCAD®. Tais rotinas compõem um ambiente que auxilia o usuário nas atividades relacionadas com a representação gráfica de um projeto de alvenaria estrutural, permitindo que tarefas repetitivas e demoradas sejam eliminadas durante o desenvolvimento dos projetos de edifícios em alvenaria. O conjunto dessas rotinas permitiu-se criar o programa denominado ALVPLUS, com diversos comandos relacionados à técnica da coordenação modular.

2 APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA ALVPLUS

2.1 Considerações iniciais

O conjunto de rotinas desenvolvidas possibilita a realização de atividades relacionadas à modulação e ao detalhamento do projeto executivo das alvenarias, através de uma barra de ferramenta e de um menu que auxiliam o usuário, possibilitando maior rapidez nestes projetos.

Uma característica do ALVPLUS é que a ferramenta praticamente não altera o ambiente do AutoCAD definido inicialmente pelo usuário. Esta medida permite que o usuário adapte-se somente aos comandos do ALVPLUS, sendo que os demais recursos e comandos do AutoCAD permanecem inalterados.

Todas as informações que são definidas e alteradas pelo usuário são armazenadas em arquivos que depois o ALVPLUS utiliza para auxiliar na modulação em planta das alvenarias e geração das elevações. O banco de dados das rotinas também apresenta biblioteca predefinida de blocos encontrados no mercado e mais utilizados atualmente.

Além disso, existe uma biblioteca contendo alguns detalhes construtivos, tipos de folhas, notas e especificações. As informações especificadas no detalhamento do projeto estrutural devem estar de acordo com os critérios adotados durante a concepção do projeto estrutural.

A unidade utilizada na entrada de dados e nos desenhos deve ser o centímetro, exceto onde indicado.

Aplicação de recursos computacionais em projetos de edifícios em alvenaria


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2.2 Tela inicial do ALVPLUS

A Figura 1 indica a barra de ferramentas e o menu do ALVPLUS, onde as rotinas são acionadas quando selecionado um dos ícones desta barra ou através da escolha de um dos comandos apresentados no menu.

Através dos botões, as barras de ferramentas são um modo rápido de se acionar comandos, sem ter que utilizar os menus suspensos.

Figura 1 - Barra de ferramentas e menu do programa desenvolvido.

2.3 Definição dos parâmetros de projeto

2.3.1 Definição dos parâmetros do projeto de alvenaria

Inicialmente, o ALVPLUS necessita de alguns dados, fornecidos através de caixas de diálogo, nas quais o usuário define os parâmetros iniciais do edifício. Nesta mesma caixa de diálogo, é possível definir, através do acionamento de botões, os demais parâmetros relacionados às portas, janelas, armaduras convencionais, armaduras utilizadas nas juntas a prumo e cintas. O usuário ainda pode definir a família de blocos corrente.



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Durante os estudos relacionados à etapa de modulação, podem ser inseridos diversos blocos de distintas famílias de blocos, havendo apenas a necessidade de alterar a família de bloco utilizada.

Nesta fase, é importante que o usuário entre com todas as informações solicitadas pelas caixas de diálogo, para que o banco de dados seja criado.

2.3.2 Definição das aberturas

A definição de portas e de janelas deve ser realizada com o preenchimento das informações de todos os itens que constam nas tabelas relacionadas a este comando, informando as principais dimensões das aberturas.

2.3.3 Definição de armaduras e cintas

Nesta etapa de trabalho, pode-se definir as armaduras convencionais e as armaduras utilizadas nas juntas a prumo através do acionamento de comandos que ativarão caixas de diálogo referentes a essas armaduras. Os critérios adotados durante a análise estrutural deverão ser inseridos nas caixas de diálogo, com o intuito de permitir que o programa obtenha todas as informações necessárias para a geração automática das elevações.

Com relação às armaduras convencionais, a entrada de dados é feita em dois quadros da caixa de diálogo, onde o primeiro quadro refere às armaduras horizontais e o segundo quadro refere-se às armaduras verticais. Foi criado um auxílio ao usuário que permite a identificação de cada parâmetro da entrada de dados das armaduras.

A caixa de diálogo de armaduras utilizadas nas juntas a prumo requer do usuário o preenchimento das informações referentes ao tipo de armadura, a qual será utilizada nas paredes que se encontram e que não apresentam amarração entre seus blocos. As possíveis soluções dessas armaduras são do tipo grampo, tela ou ferro corrido. É necessário que o usuário preencha todas as informações solicitadas na coluna do tipo de armadura a ser utilizada. As informações referentes aos demais tipos de armaduras das juntas a prumo serão descartadas

A posição das cintas devem ser definidas utilizando a caixa de diálogo específica. Não é necessário o preenchimento de todos os espaços, já que serão ignoradas informações nulas ou inexistentes.

2.4 Definição de critérios atuais

2.4.1 Definição de “layers”

O termo “layer” significa nível ou camada. Pode-se comparar um “layer” a uma folha de papel vegetal, onde várias folhas sobrepostas podem ser manipuladas, visualizando-as todas de uma só vez. Ao começar um desenho, é conveniente pensar na organização dos elementos em “layers”, facilitando a produção dos desenhos do projeto a ser desenvolvido.



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Os nomes dos “layers” definidos pelo programa podem ser alterados desde que seja utilizada a rotina desenvolvida neste trabalho, permitindo que as demais configurações dos “layers” como cor, tipo de linha, e demais propriedades dos “layers” sejam alteradas conforme a necessidade do usuário. Recomenda-se que os “layers” sejam alterados no início do desenho, antes da inserção de blocos e aberturas.

2.4.2 Definição de blocos atuais

Antes do lançamento da modulação, é necessário que seja definido o bloco atual a ser inserido. Será apresentada uma listagem dos blocos da "Família de Blocos" corrente, onde o usuário pode observar uma exibição da vista em planta do bloco a ser escolhido. Para a inserção de bloco em elevação, pode-se escolher uma vista, mesmo em planta, e, através dos comandos relacionados à distribuição da modulação, o usuário optará pela vista a ser inserida.

2.4.3 Definição de aberturas atuais

O usuário deve também escolher quais as aberturas atuais a serem utilizadas para inserção de portas e janelas. A escolha da abertura pode ser feita através da escolha da janela ou da porta atual, ou mesmo ambos os itens.

2.5 Modulações em planta

As etapas de projeto de edifícios em alvenaria que despendem maior tempo dos profissionais envolvidos são o lançamento e o detalhamento das alvenarias. Todos os comandos relacionados às modulações em planta foram criados com o intuito de aumentar a produtividade da distribuição dos blocos, utilizando os conceitos de coordenação modular, e possibilitar a geração automática das elevações das paredes.

2.5.1 Inserção de 1 bloco

A rotina de inserção de um bloco, bloco atual, foi desenvolvida com o auxílio de uma caixa de diálogo que permite ao usuário escolher o ponto de inserção do bloco atual (Figura 2).

Esse ponto de inserção deve ser um ponto qualquer do desenho, podendo aproveitar elementos da arquitetura. Deve-se escolher um canto ou o centro do bloco como ponto de inserção do bloco. Por exemplo, ao escolher o PT1, um bloco atual será inserido posicionando o canto inferior esquerdo do bloco no ponto selecionado pelo usuário. Também é possível informar o ângulo principal de inserção do bloco através do acionamento dos botões do tipo rádio ("radio_button"), permitindo a inserção de blocos para os ângulos principais iguais a 0º ou 90º, ou ainda, adicionando qualquer ângulo ao ângulo principal. É possível que o bloco inserido seja afastado de uma distância definida por valores denominados "offsets". Caso os



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valores desses "offsets" sejam nulos, o canto ou centro do bloco escolhido será inserido exatamente no ponto selecionado.

A opção de escolha da vista do bloco permite que sejam inseridos não apenas a vista em planta do bloco atual, mas também é permitido que sejam inseridas as demais vistas longitudinais e transversais do bloco. Por último, no quadro inferior direito da caixa de diálogo, pode-se definir o “layer” do bloco a ser inserido como 1ª ou 2ª fiada através dos botões de rádio.

Figura 2 - Caixa de diálogo do comando “Inserção de 1 bloco”.

2.5.2 Inserção de 1 bloco com referência

A rotina de inserção de um bloco com referência foi desenvolvida para facilitar a inserção de um bloco atual com alinhamento automático em relação a um bloco existente, levando em consideração as juntas. Primeiramente, é necessário que o usuário, depois de definido o bloco atual, escolha um bloco já inserido em desenho e, em seguida, um ponto auxiliar, o qual definirá o sentido do bloco a ser inserido, na mesma direção do primeiro bloco. Todas as rotinas relacionadas a modulações foram criadas com um filtro de seleção para escolha de elementos do tipo “bloco”.



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O bloco será inserido no mesmo “layer” do bloco existente, portanto, para realizar a modulação da 2ª fiada, por exemplo, recomenda-se que o usuário congele o “layer” da 1ª fiada, evitando escolha incorreta do ponto desejado.

Esta rotina também foi desenvolvida para auxiliar no detalhamento das elevações. Caso seja selecionado um bloco em elevação, o comando solicitará ao usuário a escolha entre elevação longitudinal e transversal, inserindo a elevação do bloco atual com alinhamento automático em relação à elevação de um bloco existente.

Todas as rotinas relacionadas à inserção de blocos com referência foram desenvolvidas para funcionar com alvenarias inseridas em qualquer ângulo, aumentando a produtividade durante o lançamento das modulações.

2.5.3 Inserção de N blocos

A rotina de inserção de N blocos solicita ao usuário qual o bloco de referência a ser considerado pelo programa. A próxima instrução pede para ser fornecida a quantidade de blocos a serem inseridos na mesma direção do primeiro bloco e em seguida também é necessário fornecer um ponto auxiliar, o qual definirá o sentido dos N blocos a serem inseridos.

2.5.4 Inserção de 1 bloco rotacionado

Foram desenvolvidas três rotinas relacionadas à inserção de um bloco rotacionado em relação a um bloco existente. A primeira rotina refere-se à inserção de um bloco ortogonal e alinhado a uma das faces do bloco existente. Este comando solicita ao usuário a escolha de um bloco já existente e ponto auxiliar, o qual definirá a posição do bloco a ser inserido. A Figura 3 indica algumas possibilidades de inserção de um bloco rotacionado e alinhado a uma das faces do bloco existente.



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Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT2

Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT1

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1

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Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"

Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT3Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT1

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Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT3Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT5Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"

Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"


Figura 3 - Insere 1 bloco rotacionado e alinhado em relação a uma das faces do bloco existente.

A segunda rotina refere-se à inserção de um bloco cujo eixo seja perpendicular ao eixo longitudinal do bloco existente. O bloco será inserido na menor face do bloco existente. A Figura 4 indica algumas possibilidades de inserção do bloco ortogonal em relação ao primeiro bloco.



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Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado2"Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT3Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT4

Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado2"


3 4

2

1

Figura 4 - Insere 1 bloco rotacionado na menor face do bloco existente.

A terceira rotina refere-se à inserção de um bloco cujo eixo seja perpendicular ao eixo longitudinal do bloco existente. O bloco será inserido na maior face do bloco existente. A Figura 5 indica algumas possibilidades de inserção do bloco ortogonal em relação ao primeiro bloco.




3

Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT1Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT2

4

1

2

Figura 5 - Insere 1 bloco rotacionado na maior face do bloco existente.



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2.5.5 Rotaciona bloco 180º

Através da seleção de um bloco existente, essa rotina acrescenta 180º ao ângulo de inserção do bloco escolhido e foi desenvolvida com o intuito de facilitar na rotação de blocos especiais inseridos em posição errada.

2.5.6 Substitui bloco

Este comando foi desenvolvido para substituir um bloco já inserido por um bloco definido como atual. Assim, é possível que o usuário, após definir a modulação sem se preocupar com os blocos a serem grauteados, substitua um bloco comum por um bloco grauteado, de acordo com as necessidades estruturais ou construtivas.

2.5.7 Conta bloco em planta

Ao selecionar a opção “Extrai Tabela de Blocos em Planta” do menu ALVPLUS, pode-se fazer a contagem e extração da tabela de blocos em planta, através da seleção de blocos da primeira fiada. Este comando pede que seja selecionada uma janela, dentro da qual serão contadas todas as entidades do tipo "insert". Por último, solicita-se um ponto onde será inserida a tabela de blocos em planta.

2.6 Inserção de aberturas em planta

2.6.1 Inserir janela atual

Esta rotina possibilita maior agilidade na inserção de janelas em planta. A caixa de diálogo e o seu funcionamento são muito semelhantes à rotina "Inserção de 1 bloco atual", o que facilita ao usuário o aprendizado e utilização do comando.

A inserção das janelas em planta é feita através de um elemento do tipo “poliline”, na cota Z igual a 800,0 acrescida do número da janela, ou seja, como são permitidos 8 tipos de janelas, a janela J01 será inserida na cota Z=801,0, a janela J02 na cota Z=802,0 e assim por diante.

2.6.2 Inserir porta atual

Esta rotina possibilita maior agilidade na inserção de portas em planta. A caixa de diálogo e o seu funcionamento são praticamente idênticos à rotina de inserção de janelas em planta. Apenas a cota Z adotada será igual a 700,0 acrescida do número da porta.



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2.7 Geração automática de elevação de paredes

2.7.1 Elevação através da 1ª e 2ª fiadas

Primeiramente, o comando solicita ao usuário, a definição de uma janela contendo todos os elementos da elevação. Em seguida, devem ser definidos: a vista da elevação, título da parede, número de repetições e ponto de inserção da elevação.

Conforme a escolha do ponto da vista da elevação, a rotina desenha o identificador da parede contendo o título da mesma e posicionando o identificador no centro da vista da parede. O título da parede deve ser definido com no máximo sete letras, não podendo haver espaços em branco entre os caracteres do título da parede.

Durante a inserção automática das armaduras dos elementos estruturais, existe a verificação de que, caso a fiada da contraverga seja a mesma fiada que a da cinta, a armadura da contraverga não é detalhada. Outro critério adotado nas elevações foi que, nas paredes onde houvesse portas, não são detalhadas cintas intermediárias. Caso haja a necessidade de cinta nas paredes com portas, o usuário terá que fazer o detalhamento manualmente. O número de repetições da parede servirá como multiplicador das armaduras.

2.7.2 Conta bloco em elevação

Ao selecionar a opção “Extrai Tabela de Blocos em Elevação” do menu ALVPLUS, pode-se fazer a contagem e extração da tabela de blocos em planta, através da seleção de blocos da primeira fiada. Este comando pede que seja selecionada uma janela, dentro da qual serão contadas todas as entidades do tipo "insert". Por último, solicita-se um ponto onde será inserida a tabela de blocos em elevação.

2.8 Detalhamento das armaduras

2.8.1 Armaduras

Os textos de armaduras inseridos nas elevações apresentam formato padronizado, de forma que a armadura seja incluída na tabela de armaduras. Cada elevação criada determina um conjunto de armação. Cada armadura a ser inserida é armazenada numa posição, não devendo se repetir. A quantidade e o diâmetro da armadura (“bitola”) são obtidos a partir da definição feita pelo usuário através da opção “Definição das Armaduras Convencionais” nos “Parâmetros de Alvenaria”. O comprimento de cada armadura é calculado automaticamente. Caso haja a necessidade de repetição de uma mesma posição, é possível acrescentar um multiplicador da posição seguindo o mesmo critério do comando “TA – Texto de Armadura”. Se o comprimento da armadura for superior a 12,00 metros, a armadura apresentada na elevação será do tipo corrida, havendo a necessidade do usuário inserir o comprimento da emenda da armadura.



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2.8.2 Verificação das posições

O comando VP é utilizado para verificar a existência de posições vazias em um conjunto de armação. Se for encontrada uma posição em branco, as armaduras são rearranjadas de maneira a existir sempre o menor número possível de posições.

2.8.3 Quantitativos de armaduras

Através desse comando, é possível extrair automaticamente a Tabela e o Resumo das Armaduras.

2.9 Outras aplicações do programa

2.9.1 Inserção de detalhes construtivos

Esta rotina permite agilizar a inserção de detalhes construtivos no projeto estrutural. O comando exibe caixa de diálogo padrão do AutoCAD, selecionando todos os arquivos de desenho com extensão DWG contidos no banco de dados do programa. Estes desenhos podem ser alterados e outros arquivos podem ser adicionados a esta pasta com o objetivo de aumentar a produtividade e melhorar a apresentação dos projetos de edifícios em alvenaria.

2.9.2 Criação de novos blocos na biblioteca de blocos

Foram criados para as famílias dos blocos 30x15, 40x15 e 40x20 os blocos usuais empregados no mercado. Além dessas famílias, há a possibilidade de serem acrescentadas 3 novas famílias de blocos, denominadas Família 4, 5 e 6. Para cada família, não existe nenhuma limitação da quantidade de blocos que podem ser utilizados pelo usuário, permitindo-se a inserção de novos blocos mesmo para as famílias 30x15, 40x15 e 40x20.

3 CONCLUSÕES

Este trabalho atendeu ao objetivo proposto de desenvolvimento de um programa que auxiliasse nos projetos de edifícios em alvenaria, visando a redução do tempo dos projetos estruturais através da eliminação de tarefas repetitivas e, ao mesmo tempo, diminuindo a possibilidade de erros do projeto executivo das alvenarias. O programa ALVPLUS pode ser empregado nos projetos de edifícios em alvenaria estrutural, como também em qualquer outro sistema construtivo para o qual, através dos conceitos da coordenação modular, se deseja atingir um nível satisfatório de racionalização construtiva.

Desde o início deste trabalho, a principal intenção foi realizar a distribuição das modulações em planta, desde que permitisse a geração automática das elevações. Para isso, preocupou-se em trabalhar com desenhos em planta, evitando o



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detalhamento tridimensional das estruturas, já que a maioria dos profissionais não possui o conhecimento necessário para utilizar esse recurso.

Com o intuito de atender às principais necessidades dos usuários em relação à inserção dos blocos, a primeira etapa do trabalho foi a criação das rotinas relacionadas à distribuição das modulações em planta.

A interface gráfica do programa é apresentada através de menu e barras de ferramentas, ambos contendo os principais comandos do programa, sempre visando o aumento da produtividade do projeto estrutural. Outro recurso utilizado para melhorar a interface gráfica foi o desenvolvimento de diversas caixas de diálogo, facilitando a entrada de dados solicitada pelo programa. Todas as informações especificadas nas caixas de diálogo são salvas em um banco de dados para depois serem utilizadas nas demais etapas de projeto. A facilidade de operação deste programa proporciona ao usuário uma grande confiabilidade no resultado final do projeto.

Diversos blocos estruturais encontrados no mercado foram inseridos no banco de dados do programa. Também foram desenvolvidos alguns detalhes construtivos típicos que podem ser utilizados nos projetos de alvenaria. Todos os desenhos desenvolvidos podem ser editados conforme a necessidade de cada usuário.

Em seguida, foram criados comandos de inserção automática de aberturas em planta, possibilitando que as informações definidas nos parâmetros de projetos auxiliassem na geração das elevações.

Outra etapa atingida satisfatoriamente foi o desenvolvimento das rotinas relacionadas à geração das elevações através das 1ª e 2ª fiadas, apresentando o posicionamento correto dos blocos em elevações longitudinal e transversal, a disposição das aberturas e das armaduras de vergas, contravergas e cintas.

Rotinas relacionadas à extração de tabelas de blocos e armaduras foram feitas com o objetivo de quantificar os principais componentes empregados nas alvenarias.

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ISSN 1809-5860


MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAÇÃO

APLICADOS À ANÁLISE DE TUBOS CILÍNDRICOS E CASCAS ESFÉRICAS

Gustavo Cabrelli Nirschl1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

R e s u m o

Sabe-se que o Método dos Elementos Finitos (MEF) em sua forma convencional é uma ferramenta poderosa no cálculo estrutural moderno. Porém, se o problema apresenta singularidades, como os efeitos de borda tipicamente introduzidos pelos vínculos nas estruturas em casca, a análise pode exigir grande refinamento da malha. Procurando resolver mais eficientemente esse tipo de problema, e restringindo o estudo às estruturas em casca com simetria de revolução como os tubos cilíndricos e as cúpulas esféricas, sugere-se neste trabalho o emprego de formas não-convencionais do Método dos Elementos Finitos. Dadas às simetrias de forma e carregamento, a abordagem pode ser feita em campo unidimensional. Inicialmente resumem-se as respostas analíticas, em termos de deslocamentos e esforços, para as estruturas citadas, partindo-se de suas equações diferenciais governantes. Em seguida, soluções aproximativas para as formas fracas correspondentes são propostas, aplicando-se o Método dos Elementos Finitos e incorporando-se alguns tipos de enriquecimento que caracterizam uma abordagem não-convencional para este método. Por fim, mediante exemplos de aplicação, confrontam-se os resultados aproximados entre si, tendo-se por base soluções analíticas, comprovando o bom desempenho e grande potencial das alternativas sugeridas. Palavras-chave: tubo cilíndrico; casca esférica; método dos elementos finitos; técnicas de enriquecimento.

1 INTRODUÇÃO

O Método dos Elementos Finitos é, sem dúvida, uma ferramenta bastante poderosa e eficiente para a solução numérica de problemas no âmbito da análise estrutural. Qualidade e representatividade da solução são garantidas na medida em que a solução exata é suficientemente “suave”, MELENK e BABUŠKA (1996). Boas propriedades de aproximação das soluções polinomiais geradas por elementos finitos decorrem ainda do emprego de técnicas de refinamento, como os refinamentos h 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Gustavo Cabrelli Nirschl & Sergio Persival Baroncini Proença


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(grau fixo do polinômio e refinamento progressivo da malha) e p (malha fixa e aumento progressivo do grau polinomial). Porém, dependendo da tipologia da estrutura e de particularidades relacionadas à sua geometria e carregamento, a boa qualidade dos resultados fornecidos pelo MEF pode exigir um refinamento considerável da malha, ou a utilização de polinômios de alta ordem, encarecendo os custos computacionais da análise. Nesse contexto, as técnicas não-convencionais de enriquecimento da aproximação construída com o MEF objetivam obter soluções satisfatórias, mesmo empregando-se malhas pouco refinadas e enriquecimentos da aproximação inicial definida por funções de forma polinomiais de baixo grau. O enriquecimento mediante funções especiais, por exemplo, constitui-se em alternativa que pode ser explorada com vantagens em problemas cuja solução exata tenha variações fortemente localizadas. Neste trabalho, esta e outras possibilidades são empregadas na análise de cascas cilíndricas e esféricas (fig. 1.1), particularmente porque essas estruturas apresentam efeitos de flexão que se concentram nas regiões de vinculação imposta e são de difícil reprodução numérica.

Figura 1.1 - Estruturas estudadas.

2 CASCAS DE REVOLUÇÃO

A teoria linear das cascas delgadas, ou finas, GRAVINA (1957), tem por base as seguintes hipóteses fundamentais: 1 – O material da estrutura é homogêneo, isótropo e obedece à Lei de Hooke. 2 – A espessura é pequena em relação às outras dimensões. 3 – As tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às demais componentes de tensão. 4 – Os pontos pertencentes, antes da deformação, a retas normais à superfície média, encontram-se sobre retas perpendiculares à superfície média deformada. 5 - Os deslocamentos são muito pequenos em relação à espessura. Observa-se que, no caso de estrutura de superfície com espessura muito pequena, a hipótese 5 perde validade, sendo necessário considerar uma abordagem

Método dos elementos finitos e técnicas de enriquecimento da aproximação aplicados à...


19

geometricamente não-linear. Este trabalho se restringe à abordagem linear, que preserva, em particular, a sobreposição de efeitos.

2.1 Casca ou tubo cilíndrico

A formulação analítica para o tubo cilíndrico em regime linear submetido a solicitação externa com simetria de revolução é clássica e encontra-se descrita em vários livros, entre eles: BELLUZZI (1967) e BILLINGTON (1965). Observa-se que o tubo cilíndrico submetido internamente à pressão linearmente distribuída, (fig. 2.1), recebe neste texto a denominação: reservatório cilíndrico.

Figura 2.1 - Reservatório cilíndrico.

Adotam-se, portanto, as hipóteses gerais de simetria axial em geometria e carregamento, além de espessura delgada. Essa última hipótese é garantida se a relação entre a espessura da parede e o raio do reservatório for menor ou igual a 1/20. Em regime linear, o chamado problema dos reservatórios em regime de flexão, formulado em termos de deslocamentos axiais e radiais, resulta desacoplado, uma vez que as equações diferenciais que envolvem tais componentes são independentes. A equação que envolve os deslocamentos radiais é claramente aquela de maior interesse. Tendo-se em vista os comentários anteriores, pode-se mostrar que a combinação das relações de equilíbrio, compatibilidade e constitutiva leva à seguinte equação diferencial, BILLINGTON (1965):

)y(p)y(w*r

)y(h*E)y(dy

wd*)y(Ddyd

22

2

2

2=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (2.1)

em que: y é uma coordenada de posição vertical, com origem na base do reservatório;



20

w(y) é a função que descreve o deslocamento horizontal ao longo da parede do reservatório, com valores positivos apontando para o centro da casca;

D(y) é a rigidez à flexão da casca, igual a: )1(*12

)y(h*E2

3

ν−;

r é o raio médio do reservatório;

ν é o coeficiente de Poisson; h(y) é a espessura da parede do reservatório na posição y; E é o módulo de elasticidade; p(y) é a função que descreve a solicitação externa, na forma de pressão interna linearmente distribuída. Acrescentam-se ainda os seguintes dados:

γP é o peso específico do material da parede do reservatório; e H é a altura total do tubo. Para o caso particular de espessura constante (h(y)=h), a eq. (2.1) passa a ser escrita como:

D)y(p)y(w**4)y(

dywd 44

4=β+ (2.2)

O coeficiente β que aparece na relação anterior tem, por definição:

422

2

h*r)1(*3 ν−

=β (2.3)

Tem-se, em geral, para a solução da forma homogênea da eq. (2.2):

))y*(sen*C)y*cos(*C(*e

))y*(sen*C)y*cos(*C(*e)y(w

43)y*(

21)y*(

h

β+β+

+β+β=β−

β

(2.4)

sendo C1 a C4 constantes a determinar. Para o caso de pressão interna linearmente distribuída, tem-se a seguinte solução particular:

h*Er*)y(p)y(w

2

p = (2.5)

Deve-se observar que a solução dada pela eq. (2.5) tem por correspondência o “regime de membrana” do reservatório, uma vez que dela decorrem esforços de flexão nulos. A solução geral para os deslocamentos horizontais da parede do reservatório compõe-se da soma das eqs. (2.4) e (2.5) – solução da homogênea mais solução particular. Em boa parte dos textos clássicos no tema, as constantes C1 e C2 são impostas como nulas para efeitos de simplificação dos cálculos. Desde que o



21

reservatório seja longo, essa simplificação reproduz bem o fato de que efeitos de flexão de uma borda não se propagam até a outra borda. Neste trabalho, entretanto, pretende-se resolver o problema sem recorrer à tal simplificação. As constantes C1 a C4 dependem, portanto, dos vínculos adotados em cada caso considerado. De modo mais freqüente estão as condições de contorno para reservatórios de base engastada ou articulada fixa, com topo livre. Por outro lado, independente das condições de contorno consideradas, os esforços solicitantes (esforço normal tangencial Nθ, momentos fletores My e Mθ e esforço cortante Qy) relacionam-se com os deslocamentos radiais mediante as seguintes equações:

)y(w*r

h*E)y(N −=θ (2.6)

)y(dy

wd*D)y(M 2

2

y −= (2.7)

yM*)y(M ν=θ (2.8)

)y(dy

wd*D)y(Q 3

3

y −= (2.9)

Na fig. 2.2, pode-se visualizar a convenção de sinais positivos para os esforços indicados nas eqs. (2.6) a (2.9).

NM

Q

w(y) w(y)

y

N

M

y

θ

θN

Ny

y

yQ

y

My

θθM

Figura 2.2 - Convenções de sinal para esforços em reservatório cilíndrico.

A relação para o esforço Ny(y) resulta de uma análise de equilíbrio independente. Quando se considera o peso próprio da parede, a relação resultante é a seguinte:



22

h*)yH(*)y(N py −γ−= (2.10)

2.2 Casca esférica

Uma casca esférica (ou, cúpula esférica) é uma estrutura laminar de dupla curvatura (ver fig. 1.1) usualmente empregada como cobertura. Os aspectos principais da teoria clássica, GRAVINA (1957), para formulação e resolução do problema da cúpula com carregamento de revolução são resumidos a seguir. Inicialmente, considera-se uma casca esférica sujeita ao peso próprio, conforme ilustra a fig. 2.3. Entre os elementos que lá aparecem indicados estão: g: a função representativa do peso próprio da cúpula (por unidade de área); t: a espessura (constante) da cúpula; R: o raio cúpula;

ωC : o ângulo central de abertura da cúpula.

Figura 2.3 - Casca esférica sujeita a peso próprio.

Explorando as simetrias de revolução em forma e carregamento, segundo um sistema de coordenadas esféricas, os esforços internos solicitantes e suas variações podem ser representados como indicado na fig. 2.4.

Figura 2.4 - Esforços atuantes na casca esférica.



23

Combinando-se as relações de equilíbrio, de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e constitutiva, é possível reduzir o conjunto de variáveis incógnitas à apenas duas, Qφ e Φ, e exprimir o equilíbrio mediante as seguintes relações:

)2(*)(sen*g*R)(*t*E

)(*)(gcot*)()(gcot*)(d

d)(

d

d

CC

C2

2

2

ν−ω+ωΦ−

=ων+ωω−ωωω

+ωω

φφφφ QQ

QQ (2.11)

)(*DR )(*)(gcot*)()(gcot*)(

dd)(

dd

C

2

C2

2

2ω=ωΦν+ωωΦ−ωω

ωΦ

+ωωΦ

φQ (2.12)

em que:

ω é a posição angular medida a partir do topo da cúpula esférica (fig. 2.5);

Φ(ω) é o giro sofrido pela tangente em ω ao meridiano, após a deformação da cúpula, como ilustrado na fig. 2.5;

DC é a rigidez à flexão da cúpula, igual a: )1(*12

t*E2

C

3C

ν−;

EC é o módulo de elasticidade do material da cúpula; e

νC é o coeficiente de Poisson do material da cúpula.

ω

Φ(ω)

antes da deformação

após a deformação

ξ(ω)

ω

Figura 2.5 - Deslocamento horizontal ξ e giro Φ, em função do ângulo ω, para casca esférica.

As equações diferenciais (2.11) e (2.12) possuem solução geral composta pelas parcelas de solução homogênea e particular. Aqui, como no caso da casca cilíndrica, a solução de membrana constitui boa aproximação para a solução particular do sistema, desde que, BELLUZZI (1967), a espessura da casca seja suficientemente pequena em relação ao raio.

Para o regime de membrana (em que Qφ = Mφ = Mθ = 0), reproduzem-se em seguida as relações representativas do deslocamento horizontal⎯ ξ e do giro Φ , além

dos esforços φN e θN , todos em função do ângulo ω (ver figs. 2.4 e 2.5).



24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−

ω+ν+

ω=ωξ )cos()cos(1

1*)(sen*t*E

R*g)( C

C

2

(2.13)

)(sen*)2(*t*E

R*g)( CC

ων+=ωΦ (2.14)

))cos(1(R*g)(

ω+−=ωΝφ (2.15)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−

ω+=ωΝθ )cos(

)cos(11*R*g)( (2.16)

O problema de flexão reúne os efeitos dos vínculos nas bordas ou ainda, de forma equivalente, os efeitos da aplicação externa de uma força horizontal HC e momento externo MC distribuídos na borda da cúpula esférica (fig. 2.6).

Figura 2.6 - Cúpula esférica sujeita a força horizontal HC e momento MC distribuído na borda.

A solução rigorosa do problema de flexão é detalhada na literatura, envolvendo séries hipergeométricas, mas apresenta-se muito trabalhosa, especialmente nos casos de estruturas delgadas, ou seja, com valores elevados da constante λ (eq. (2.20)). Além disso, nesses casos, a convergência das séries se dá com razão muito pequena, BELLUZZI (1967).

Uma solução analítica simplificada, válida para coeficientes λ mais elevados, que explora o amortecimento dos efeitos das singularidades de borda, como ocorre nos tubos, é fornecida pelo Método de Geckeler, GRAVINA (1957). A solução de Geckeler é válida também para cascas abatidas (ωC pequeno), desde que a relação R/t seja grande. Admitindo-se situações em que as hipóteses do Método de Geckeler sejam satisfeitas, os termos de ordem de derivação mais baixa da parte homogênea do sistema (2.11) e (2.12) podem ser desprezados em relação aos termos de ordens mais altas, obtendo-se:



25

)(*t*E )(d

dFC2

2

ωΦ−=ωω

φQ (2.17)

)(*DR)(

dd

C

2

2F

2ω=ω

ω

ΦφQ (2.18)

em que ΦF é a parcela de flexão de Φ.

Combinando-se (2.18) e (2.17), de modo a eliminar o giro ΦF, tem-se finalmente a equação diferencial que representa o regime de flexão da casca esférica:

0)(**4)(d

d 44

4

=ωλ+ωω

φφ Q

Q (2.19)

em que:

42

2C t

R*)1(*3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ν−=λ (2.20)

A solução da eq. (2.19) é semelhante àquela apresentada para a flexão do tubo cilíndrico (eq. (2.5)). Sendo assim:

))*(sen*L)*cos(*L(*e

))*(sen*L)*cos(*L(*e)(

43)*(

21)*(

ωλ+ωλ+

+ωλ+ωλ=ω

ωλ−

ωλφQ

(2.21)

em que:

ω−ω=ω C (ver fig. 2.5); e

L1 a L4 são constantes a determinar. A imposição das condições de contorno em cada caso permite identificar os valores das constantes L1 a L4. Em função da solução acima, os esforços solicitantes e as variáveis cinemáticas, para o regime de flexão, podem ser determinadas pelas seguintes equações:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ωων+ω

ωω−ω

=ωξ φφ )(gcot*)(*)(

dd

*t*E

)(sen*R)( CCC

CF Q

Q (2.22)

)(d

dt*E

1)( 2

2

Cω

ω=ωΦ φQ

*F (2.23)

)(gcot*)()( CF ω−ωω−=ω φφ QN (2.24)



26

)(d

d)(F ω

ω=ω φ

θQ

N (2.25)

)(d

dt*E*R

D)( 3

3

C

C ωω

=ω φφ

Q*M (2.26)

)(*)( C ων=ω φθ MM (2.27)

3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

3.1 MEF aplicado a cascas cilíndricas

De início, a equação diferencial da casca cilíndrica (eq. (2.1)) é reescrita de modo a permitir levar em conta, convenientemente, a possibilidade de variação da espessura. Nesse sentido, considere-se que a espessura do reservatório seja determinada por:

)y(f*h)y(h 0= (3.1)

em que h0 é a espessura na base do reservatório. Para o caso de variação linear da espessura ao longo da altura, pode-se definir f(y) como:

y*H

)1(1)y(f ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ γ−

−= (3.2)

em que γ é um coeficiente adimensional definido pela razão entre a espessura no topo e a espessura na base do reservatório. Deste modo, a eq. (2.1) passa a apresentar a seguinte forma:

0

402

23

2

2

D)y(p)y(w*)y(f**4)y(

dywd*)y(f

dyd

=β+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.3)

em que:

)1(*12h*ED 2

30

0ν−

= (3.4)

40

20

0 D*r*4h*E

=β (3.5)



27

Considerando-se uma função aproximativa )y(w~ , com boas propriedades de representatividade da solução, pode-se escrever, inicialmente, a seguinte forma em resíduos ponderados:

∫ =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−β+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛H

0 0

402

23

2

20dy*

D)y(p)y(w~*)y(f**4)y(

dyw~d*)y(f

dyd*)y(v (3.6)

em que: v(y) é uma função de ponderação; e

)y(w~ deve apresentar, pelo menos, continuidade até a ordem 3.

Adota-se, em seguida, uma discretização para o domínio da solução mediante um conjunto de nós e elementos. Neste trabalho, cada elemento contém 2 nós nas suas extremidades. Na fig. 3.1, os graus de liberdade associados à cada nó são indicados sobre um elemento genérico.

ELEMENTO N

ELEMENTO 2

ELEMENTO 1

DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS

FINITOS

ELEMENTOGENÉRICO

p(y)

we1

2ew

we4

3ew

ye

y

RESERVATÓRIOCILÍNDRICO

~~

~ ~

hep(y)

Figura 3.1 - Discretização de um reservatório cilíndrico para aplicação do MEF.

Considerando a divisão do domínio, a integral que aparece na eq. (3.6) passa a ser composta pela soma das integrais sobre os elementos. Pode-se então representar a forma fraca para um elemento genérico derivando-se duas vezes por partes a primeira parcela da eq. (3.6):

∫

∫∫+

++

++

=

=++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1ey

ey 0

1ey

ey4

01ey

ey 2

2

2

23

1ey

ey2

23

1ey

ey2

23

dy*)y(v*D

y)(p

dy*)y(v*(y)w~*)y(f**β4dy*)y(dy

vd*)y(dy

w~d*)y(f

)y(dydv*)y(

dyw~d*)y(f)y(v*)y(

dyw~d*)y(f

dyd

(3.7)



28

em que ye e ye+1 são, respectivamente, as coordenadas dos nós inicial e final do elemento “e”.

Note-se que na eq. (3.7) as derivadas sobre v(y) e )y(w~ são da mesma ordem, proporcionando simetria à formulação. De modo a garantir a existência de solução dentro dos limites do elemento, as integrais envolvendo as funções aproximativa e ponderadora (‘formas bilineares’) somadas devem apresentar valor finito; nesse sentido, adota-se uma função aproximativa polinomial de grau 3, que é o menor grau que garante aquela condição. Nessas condições, a aproximação passa a ser representada por:

)y(*w~)y(w~4

1j

ej

ej

e ∑=

φ= (3.8)

em que ejw~ são os graus de liberdade primários (deslocamento e giro nos nós de

coordenadas locais 0 e he). As quatro funções de forma do elemento, indicadas em (3.8), são dadas por:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=φ

e

2

e

e4

3

e

2

e

e3

2

e

e2

3

e

2

e

e1

hy

hy*y)y(

hy*2

hy*3)y(

hy1*y)y(

hy*2

hy*31)y(

(3.9)

As funções de forma (3.9) constituem uma base aproximativa hermitiana cúbica para o MEF. Outra base de interesse é a linear, indicada abaixo:

hy)y(N

hy1)y(N

e

e2

e

e1

=

−=

(3.10)

Utilizando-se a mesma base de aproximação para v(y) e )y(w~ (‘Galerkin’), a sua substituição na eq. (3.7) leva ao seguinte conjunto de equações para o elemento finito genérico:

[ ] ) 1,...,4 i ( 0Fw~*K ei

4

1j

ej

ej,i ==−∑

= (3.11)

em que:



29

223 4

02 204, ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) *e

eeh je e ei

i j e e i j

ddK f y y y y * β f y y * ( y ) y d yd y d y

φφ φ φ= + + +∫ (3.12)

00

( * ( ) *ehe e eei i i

p y y )F y d y QD

φ+= +∫ (3.13)

Os termos (3.12) compõem os componentes da chamada matriz de rigidez do elemento que, neste caso, é simétrica; já a eq. (3.13) fornece os componentes do chamado vetor de forças nodais do elemento “e”, isto é: as forças nodais correspondentes às forças diretamente aplicadas e às forças nodais prescritas nas extremidades do elemento. A geração em forma matricial do sistema global resolvente a partir das contribuições dos elementos é indicada na fig. 3.2, sendo N o número de elementos. Observa-se que, na ausência de forças nodais concentradas, os termos e

iQ (ver eq. (3.13)) anulam-se na sobreposição.

Figura 3.2 - Matriz de rigidez (K ) e vetor de forças nodais (F ) obtidos na formulação do MEF.

Na simbologia adotada para a matriz global K , indicada na fig. 3.2, cada quadrado preenchido representa a matriz de rigidez de um elemento, cujos valores são calculados pela eq. (3.12). No vetor global F , cada retângulo preenchido representa o vetor de forças nodais de um elemento, com seus valores calculados pela eq. (3.13).



30

A estrutura da matriz de rigidez global (K ) tem uma forma em banda, porque os nós do problema estão, por hipótese, numerados seqüencialmente no sentido crescente de y, e, além disso, é simétrica. As condições de contorno essenciais devem ser impostas diretamente no sistema global representado na fig. 3.2. Para o conjunto de problemas analisados, considera-se que o contorno superior é livre e o inferior pode ser engastado ou articulado fixo. Uma vez encontrado o vetor incógnito, é possível novamente considerar o arranjo de elementos e encontrar a distribuição de esforços ao longo de cada elemento finito:

)y(w~*r

)yy(h*E)y(N~ eee +−=θ (3.14)

)y(yd

d*w~*)yy(f*D)y(M~

4

1j2

ej

2ej

3e0

ey ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ φ+−= ∑

= (3.15)

)y(yd

M~d)y(Q~

eye

y = (3.16)

)y(M~*)y(M~ ey

e ν=θ (3.17)

3.2 MEF aplicado a cascas esféricas

A resolução numérica do problema da casca esférica mediante aplicação do MEF, poderia partir analogamente ao caso dos tubos, da ponderação do sistema de equações diferenciais descrito pelas (2.11) e (2.12). Entretanto, trata-se de um sistema misto envolvendo duas variáveis distintas a serem aproximadas. Tal procedimento será aqui simplificado, considerando-se apenas os efeitos de uma força horizontal HC e de um momento externo MC distribuídos ao longo da borda da casca esférica (fig.3.3). Desse modo, pode-se reduzir o sistema a uma única equação na variável representativa do esforço cortante, além do que são para estes casos que existe solução analítica de confronto.



31

ELEMENTOSFINITOS

CASCA ESFÉRICA

ω

ELEMENTOGENÉRICO

ω

ωE

1Q~ e

2Qe~~ eQ3

Q~

4e

c

ω

eω

ELEMENTO N

ELEMENTO 1

Hc

Mc

Figura 3.3 - Discretização de uma casca esférica para aplicação do MEF.

Uma vez obtida a forma fraca de (2.19), considerando-se uma solução aproximada )(~ ωφQ e adotada uma discretização formada por elementos finitos

definidos em função do ângulo de abertura da casca, fig. 3.3, a relação para um elemento resulta:

0d*)(v*)(~**4d*)(d

vd*)(d

~d

)(ddv*)(

d

~d)(v*)(

d

~d

1e

e

41e

e 2

2

2

2

1e

e2

21e

e3

3

=ωωωλ+ωωω

ωω

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω

ωω

ω−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ωω

ω

∫∫+ω

ω φ+ω

ω

φ

+ω

ω

φ+ω

ω

φ

QQ

QQ

(3.18)

em que:

v(ω) é uma função de ponderação; e

ωe e ωe+1 são as coordenadas angulares do nó inicial e final do elemento “e”. Adotando-se uma função aproximadora polinomial de grau máximo 3, como feito para os tubos, em coordenadas esféricas locais do elemento os parâmetros nodais assumem os seguintes significados:

)(d

~d~ )(~~

)0(d

~d~ )0(~~

E

ee4E

ee3

ee2

ee1

ωω

=ω=

ω==

φφ

φφ

QQQQ

QQQQ

(3.19)

Resulta, para o elemento finito genérico a seguinte aproximação:

)(*~)(~ 4

1j

ej

ej

e ∑=

φ ωφ=ω QQ (3.20)



32

sendo as funções de forma dadas por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωω

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

ω=ωφ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

=ωφ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

−ω=ωφ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ωω

−=ωφ

E

2

E

e4

3

E

2

E

e3

2

E

e2

3

E

2

E

e1

*)(

*2*3)(

1*)(

*2*31)(

(3.21)

Nas relações anteriores:

ωE é o ângulo de abertura do elemento “E”; e

ω é a coordenada angular local, indicada na fig. 3.3.

Substituindo-se (3.20) em (3.18) e considerando-se para v(ω) uma aproximação dada pelas mesmas funções de forma de )(~ ωφQ , resulta:

[ ] 0~*K4

1j

ej

ej,i =∑

=

Q (3.22)

em que:

224

2 204, ( ) * ( ) * ( ) *E

eee eje ii ji j

ddK * * ( ) dd d

ω φφ ω ω λ φ ω φ ω ωω ω

= +∫ (3.23)

As contribuições das matrizes de rigidez e dos vetores de forças nodais dos elementos geram um sistema global que segue sistemática idêntica àquela apresentada para casca cilíndrica indicada na fig. 3.2. As condições de contorno que devem ser impostas diretamente ao sistema global correspondem à força HC e momento MC aplicados na borda inferior da casca. Depois de encontrado o vetor incógnito, é possível voltar ao arranjo de elementos e encontrar as outras variáveis de interesse (deslocamento horizontal e~ξ ,

giro e~Φ , esforço normal e~φN ,esforço tangencial e~

θN e momentos e~φM e e~

θM , de

acordo com as figs. 2.4 e 2.5):

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ω+ωων+ω

ω−

ω+ω=ωξ φ

φ )(gcot*)(~*)(d

~d*

t*E)(sen*R)(~

ee

C

e

C

ee QQ

(3.24)



33

)(d

~dt*E

1)(~2

e2

C

e ωω

=ωΦ φQ* (3.25)

)(gcot*)(~)(~e

ee ω+ωω−=ω φφ QN (3.26)

)(d

~d)(~

ee ω

ω−=ω φ

θQ

N (3.27)

)(d

~dt*E*R

D)(~3

e3

C

Ce ωω

−=ω φφ

Q*M (3.28)

)(~*)(~ eC

e ων=ω φθ MM (3.29)

4 ENRIQUECIMENTO DAS APROXIMAÇÕES DO MEF

4.1 Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG)

O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), DUARTE, BABUŠKA e ODEN (2000), TORRES (2003), incorpora na estrutura básica do MEF técnicas e recursos dos chamados Métodos sem Malha, com o propósito de melhorar a aproximação no domínio do problema. O MEFG tem como principal característica o enriquecimento sobre aproximações que se caracterizam como “partição da unidade”, (PU), ou conjunto de funções cujo somatório dos valores num ponto do domínio é igual à unidade. No MEF clássico, embora seja possível construir espaços de funções não-polinomiais que fornecem boas propriedades de aproximação local, tal procedimento não garante a continuidade entre elementos da função de aproximação global, MELENK e BABUŠKA (1996). Já o MEFG, ao explorar a PU, garante a construção de espaços de aproximação conformes, mesmo utilizando funções não-polinomiais. No MEFG, o número de funções de forma é composto pelas funções de forma originais do MEF, que constituem uma PU, mais uma combinação delas com outras funções, chamadas “enriquecedoras”. Porém, se forem enriquecidas também outras funções da base aproximativa que não constituam uma PU, o enriquecimento não é, a rigor, um MEFG, e sim um MEF hierárquico. Genericamente, a função aproximativa do MEFG para um campo u, num domínio governado pela variável x, tem a seguinte forma:

b*)x(FE)x(u*)x()x(u)j(I

1jj

n

1jjj

n

1jj ∑∑∑

=α

αα

==

ϕ+ϕ= (4.1)

em que αjb são parâmetros nodais acrescentados pelo enriquecimento.



34

Acrescenta-se que o enriquecimento pode ser seletivo, isto é, feito apenas em uma região específica do domínio, sendo a parte restante aproximada sem enriquecimento e com a estrutura convencional do MEF. Como exemplo do procedimento de enriquecimento, considere-se uma base aproximativa do MEF dada por 4 funções de forma, e

1ϕ , e2ϕ , e

3ϕ e e4ϕ , e seja FE uma

função enriquecedora. Admita-se que, dessa base, apenas e1ϕ e e

3ϕ formem uma PU.

De acordo com o MEFG, para a região enriquecida, haverá 6 funções de forma: e1ϕ ,

e2ϕ , e

3ϕ , e4ϕ , e

1ϕ *FE e e3ϕ *FE. Na fig. 4.1 está representado o sistema correspondente

ao exemplo, para o caso de 2 elementos, com os três nós enriquecidos.

u

1 2

111u u 2 u 1

3 u 14

2u 2u

u23

24b 1 2b

2b

3b

2

u 1

u 23

4

u 3^ 1 u 1

^ 2

u1

u 1

1

1b

b2 b2

b3

42u

enriquecimento

22u

K = F =

Figura 4.1 - Esquema de enriquecimento pelo MEFG.

4.2 Alternativas de enriquecimento

O procedimento chamado aqui de MEFH caracteriza-se por conter funções na base aproximativa que apesar de não formarem uma PU podem ser multiplicadas por funções de enriquecimento. Na fig. 4.2 está indicado um sistema genérico montado de acordo com o MEFH, para 2 elementos e 1 função enriquecedora adicionada à mesma base polinomial descrita no item 4.1. No procedimento denominado enriquecimento por base expandida, MEFBA, a base inicial é ampliada mediante adição de funções de forma especiais de interesse. Obviamente, à cada função adicionada se associa um grau de liberdade primário, não-atrelado à nó e sem qualquer significado físico. Neste caso, o sistema global terá um aumento em sua ordem igual ao número de funções enriquecedoras. Encontra-se na fig. 4.3 uma visualização de um sistema genérico do MEFBA com 2 elementos e 1 função enriquecedora adicionada à mesma base polinomial descrita no item 4.1. A função aproximadora de um campo u, num domínio governado pela variável x global, no caso do MEFBA, tem a seguinte forma:



35

( ) b*)x(FEu*)x()x(u)j(I

1j

n

1jj ∑∑

=ααα

=

+ϕ= (4.2)

5b24u

u

u

u1^ 1

1b u 2^ 1

b u 22

u3b31

1

^3

5bu 342^1

2

4u 2

b

bb3

41

23u

u3

1

1

13

2

u

u

12u

11u

b 2 b 4

b 4

b 6

2b

4b

6b

22

b4

u

K = F = enriquecimento

Figura 4.2 - Esquema de enriquecimento MEFH.

24u

u

u

u1^ 1

1bu 2^ 1

u 22

u31

1

^ u 342^1

2

4u 2

41

23u

u

1

13

2

u

u

12u

11u

u 22

1b

^K = F = enriquecimento

Figura 4.3 - Esquema de enriquecimento MEFBA.

4.3 Enriquecimentos do MEF aplicados aos tubos

No caso dos tubos, empregam-se nas alternativas de enriquecimento comentadas no item anterior, funções que fazem parte da solução analítica para espessura constante. Assim, adotam-se:

)y*cos(*e)y(f y*3 β= β− (4.3)

)y*(sen*e)y(f y*4 β= β− (4.4)



36

As possibilidades de emprego do MEF testadas, que incluem as alternativas de enriquecimento, estão descritas abaixo com as siglas a elas associadas. 1) RMEFL: Caso particular do MEF utilizando as funções de forma lineares dadas em (3.10). Aplica-se essa aproximação exclusivamente para análise do regime de membrana (base deslizante) do reservatório com espessura constante. 2) RMEF: Caso particular do MEF convencional sem enriquecimento utilizando como base aproximativa as funções de forma dadas em (3.9). 3) RMEFH: MEFH utilizando as funções (4.3) e (4.4) para enriquecer todas as funções da base (3.9). 4) RMEFG: MEFG utilizando as funções (4.3) e (4.4) para enriquecer as funções da base (3.9) que constituem uma PU. 5) RMEFBA: MEFBA utilizando como base aproximativa as funções de forma dadas em (3.9), sendo realizado enriquecimento com as funções (4.3) e (4.4).

5 PROGRAMA

Elaborou-se um programa em linguagem FORTRAN, cuja apresentação encontra-se descrita no que segue. 1) Uma janela de apresentação (fig. 5.1) aparece quando o aplicativo é executado.

Figura 5.1 - Janela de apresentação do aplicativo.

2) Acionando-se o botão “INICIAR”, aparece a janela para as escolhas da estrutura a ser calculada e da base aproximativa de funções do MEF (fig. 5.2). Nota-se que, independentemente da escolha do método aproximado, os gráficos de respostas exibem sempre a solução analítica da estrutura.



37

O reservatório cilíndrico pode ser analisado somente com forças linearmente distribuídas na parede e a cúpula admite análise dos efeitos de peso próprio (solução analítica) ou de forças e momentos distribuídos uniformemente em sua extremidade.

Figura 5.2 - Janela para escolha da estrutura e método de cálculo aproximado.

3) Aciona-se o botão “AVANÇAR” e, dependendo da escolha estrutural, uma janela aparece para a entrada de dados referentes à geometria, às forças externas e ao método de enriquecimento (se desejado). Na fig. 5.3 é mostrada a janela de entrada de dados para reservatório cilíndrico e, na fig. 5.4, a janela de entrada de dados para cúpula esférica sujeita a força horizontal (Hc) e momento concentrado na extremidade (Mc).



38

Figura 5.3 - Janela de entrada de dados referente a reservatório cilíndrico.

Figura 5.4 - Janela de entrada de dados referente a cúpula esférica sujeita a Hc e Mc.



39

Os dados referentes ao número de elementos finitos, seguindo a convenção dada na figura que aparece na janela de entrada de dados, devem ser preenchidos no grupo “DADOS SOBRE O MEF”. Para se utilizar elementos de comprimentos iguais em todo o domínio, deve-se informar o número de elementos na caixa de edição do grupo “TODOS OS ELEMENTOS COM O MESMO COMPRIMENTO” e acionar, em seguida, o botão “INCLUIR ELEMENTOS”. Fazendo isso, os comprimentos dos elementos são exibidos na lista do grupo “COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS”, bem como são exibidos o somatório dos comprimentos dos elementos e o número de elementos nas caixas estáticas do canto inferior direito do grupo “DADOS SOBRE O MEF”. Para se utilizar comprimentos diferentes dos elementos, seus valores devem ser cadastrados um a um, na caixa de edição do grupo “ELEMENTOS COM COMPRIMENTOS DIFERENTES”, acionando-se o botão “INCLUIR ELEMENTO” para incluir um elemento na lista do grupo “COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS”. Cadastrados os elementos, devem ser fornecidos os dados sobre o enriquecimento, no grupo “DADOS SOBRE O ENRIQUECIMENTO”. Deve-se escolher o tipo de enriquecimento por meio da caixa de lista no grupo “ESCOLHA O TIPO DE ENRIQUECIMENTO”, sendo que as funções enriquecedoras podem ser visualizadas acionando-se o botão “VER FUNÇÕES DISPONÍVEIS”. Feito isso, incluem-se os nós a serem enriquecidos por meio dos botões no grupo “NÓS A SEREM ENRIQUECIDOS”. Tais nós podem ser cadastrados um a um, no grupo “INCLUSÃO INDIVIDUAL”, ou todos de uma vez, pelo botão “TODOS”. Na lista “NÓS ENRIQUECIDOS” aparecem os nós a serem enriquecidos. Na fig. 5.5 aparece a janela de entrada de dados para cúpula esférica sujeita a peso próprio, em que apenas é possível a análise da solução analítica.

Figura 5.5 - Janela de entrada de dados referente a cúpula esférica sujeita a peso próprio.



40

4) Preenchidos os dados de entrada, pode-se conferir visualmente os dados fornecidos, para os casos representados nas figs. 5.3 e 5.4, acionando-se o botão “VERIFICAR DADOS”. Aparece uma janela gráfica independente, como a das figs. 5.6 (reservatório cilíndrico) e 5.7 (cúpula esférica), cujos desenhos são apenas para verificação, não apresentando uma escala definida.

Figura 5.6 - Janela de verificação gráfica dos dados de entrada - reservatório cilíndrico.

5) Preenchidos e verificados os dados de entrada, nas janelas das figs. 5.3, 5.4 ou 5.5, aciona-se o botão “CALCULAR”, aparecendo uma janela de confirmação (fig. 5.8) depois de concluído o processamento.

Figura 5.7 - Janela de verificação gráfica dos dados de entrada para cúpula esférica sujeita a

força horizontal e momento concentrado na base.



41

Figura 5.8 - Janela de confirmação do sucesso dos cálculos.

Acionando-se o botão “CONTINUAR” na janela da fig. 5.8, aparece a janela referente aos resultados. Nas figs. 5.9, 5.10 e 5.11 são mostradas as janelas de resultados para os três casos representados nas figs. 5.3, 5.4 e 5.5, respectivamente.

Figura 5.9 - Janela de resultados referente a reservatório cilíndrico.



42

Figura 5.10 - Janela de resultados referente a cúpula esférica sujeita a Hc e Mc.

Figura 5.11 - Janela de resultados referente a cúpula esférica sujeita a peso próprio.

Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, aparece uma figura referente à convenção para os sentidos positivos dos parâmetros de saída. Tal ilustração também não oferece interatividade nem obedece a uma escala geométrica. Os dados de saída têm seus valores impressos em listas organizadas segundo os valores nodais (caso haja método de cálculo aproximado) após pós-



43

processamento (coluna esquerda) e segundo 200 pontos igualmente espaçados sobre o domínio (coluna direita). Além das janelas dos dados de saída no programa, os dados numéricos de saída são impressos no arquivo RESULTADOS.TXT. Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, existem ainda botões na parte superior que, depois de acionados, exibem, em uma janela gráfica independente, os gráficos correspondentes aos parâmetros ao longo do domínio. Na fig. 5.12 é exibido um exemplo de gráfico de saída de deslocamento para reservatório cilíndrico. Uma última consideração é que a aplicação criada não é restrita a um sistema fixo de unidades. Estão indicadas, ao lado das caixas de edição de entrada de dados e ao lado dos valores de saída, as dimensões de cada variável, sendo elas: L (dimensão de comprimento) e F (dimensão de força).

Figura 5.12 - Exemplo de janela de gráfico de deslocamento referente a reservatório cilíndrico.

6 EXEMPLOS NUMÉRICOS

6.1 Resultados para reservatório cilíndrico

A tabela 6.1 apresenta os dados de entrada escolhidos para o exemplo numérico de reservatório cilíndrico.



44

Tabela 6.1 - Dados de entrada utilizados para o cálculo de reservatório cilíndrico. PARÂMETRO VALOR

Altura (m) 10,00 Raio (m) 8,00

Espessura constante (m) 0,05 Coeficiente de Poisson 0,30

Módulo de elasticidade (kN/m2) 2,10*109

Peso específico do líquido de preenchimento (kN/m3) 1000,00

Colocam-se em confronto os valores de deslocamento horizontal w, esforço cortante Qy e momento fletor My, com suas convenções de sinal e direção visualizadas nas fig. 2.2. Os valores de Nθ e Mθ não são aqui exibidos, já que são proporcionais a w e My, respectivamente (ver eq. (3.14) e (3.17)). O primeiro resultado refere-se ao regime de membrana do reservatório (base deslizante), cujo único procedimento aproximado aplicado foi o RMEFL. No gráfico 6.1 são apresentadas as soluções aproximada e analítica dos deslocamentos para 10 elementos igualmente espaçados. Naturalmente, o esforço cortante Qy e o momento fletor My são nulos, de acordo com as hipóteses do regime de membrana.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00

deslocamento horizontal w (m) - base deslizante

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEFL Posições dos nós Gráfico 6.1 - Curva de deslocamento w para o caso RMEFL.

Acrescenta-se que com apenas um elemento os deslocamentos obtidos com o procedimento RMEFL são exatos, pois a solução analítica é regida por uma função linear. Para uma comparação entre os procedimentos descritos no caso de base articulada fixa, considera-se uma discretização como a mostrada na fig. 6.1. Lembra-se que, no caso RMEFBA, o enriquecimento não é mais seletivo.



45

Figura 6.1 - Discretização adotada para reservatório cilíndrico com base articulada fixa.

Nos gráficos 6.2 a 6.4 mostram-se curvas obtidas para deslocamento horizontal w, momento fletor My e esforço cortante Qy, pelos procedimentos RMEF, RMEFH, RMEFG e RMEFBA, além da solução analítica.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00

deslocamento horizontal w (m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Nós enriquecidos Nós não enriquecidos Gráfico 6.2 - Deslocamento horizontal - base articulada fixa.



46

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-450 -350 -250 -150 -50 50

momento fletor My (kN*m/m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Nós enriquecidos Nós não enriquecidos

Gráfico 6.3 - Momento fletor - base articulada fixa.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500

esforço cortante Qy (kN/m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atór

io (m

)

Solução analítica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Nós enriquecidos Nós não enriquecidos

Gráfico 6.4 - Esforço cortante - base articulada fixa.

As diferenças entre o RMEF e os procedimentos enriquecidos são mais marcantes quando se analisam os esforços (gráficos 6.3 e 6.4), já que nos procedimentos enriquecidos as derivadas das funções enriquecedoras exponenciais resultam ainda em funções exponenciais, o que não acontece no RMEF. Pode-se afirmar que o RMEFH e o RMEFBA apresentam os melhores resultados. Observa-se que o RMEFH tem custo computacional bem maior do que o RMEF ou o RMEFBA. Este fato, que é desprezível para o caso unidimensional, pode vir a ser importante num equacionamento em duas ou três dimensões. Acrescenta-se que o RMEFBA, com apenas 1 elemento, apresenta soluções exatas para deslocamento e esforços. Para reservatório com base engastada é necessário um número maior de elementos para aproximar bem os resultados, em comparação com a base articulada



47

fixa. Os resultados comparativos são, entretanto, qualitativamente iguais aos apresentados para essa última base.

6.2 Resultados para cúpula esférica

Neste exemplo, os resultados numéricos obtidos com o MEF, aplicado segundo o procedimento descrito no item 3.2, para o problema da cúpula esférica são comparados com as respostas analíticas. Os dados da cúpula estão indicados na tabela 6.2 e a discretização adotada representada na fig. 6.2. Tabela 6.2 - Dados de entrada utilizados para a análise da cúpula esférica.

PARÂMETRO VALOR Ângulo de abertura (graus) 60

Raio (m) 8,00 Espessura constante (m) 0,05 Coeficiente de Poisson 0,30

Módulo de elasticidade (kN/m2) 2,10*109 Hc (kN/m) 1,00

Mc (KN*m/m) 1,00

Figura 6.2 - Discretização adotada para cúpula esférica.

Nos gráficos 6.5 a 6.9 estão as curvas para esforço cortante Qφ, momento fletor Mφ, esforço tangencial Nθ, giro Φ e deslocamento horizontal ξ, obtidos com o MEF e confrontados com a solução analítica.



48

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-1.1 -0.6 -0.1 0.4 0.9 1.4

esforço cortante Qφ (kN/m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.5 - Curva de esforço cortante Qφ para o caso MEF.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-0.2 0.1 0.4 0.7 1

momento Mφ (kN*m/m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.6 - Curva de momento fletor Mφ para o caso MEF.



49

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-25 -5 15 35 55 75 95

esforço tangencial Nθ (kN/m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.7 - Curva de esforço tangencial Nθ para o caso MEF.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-6.00E-06 4.00E-06 1.40E-05 2.40E-05

giro Φ (radianos)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.8 - Curva de giro Φ para o caso MEF.



50

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-1.70E-06 3.00E-07 2.30E-06 4.30E-06 6.30E-06

deslocamento ξ (m)

ângu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Solução analítica CMEF Posições dos nós Gráfico 6.9 - Curva de deslocamento horizontal ξ para o caso MEF.

Os valores de Nφ e Mθ não estão aqui exibidos porque são proporcionais a Qφ e Mφ, respectivamente (ver eqs. (3.26) e (3.29)).

Nota-se que as respostas, exceto momento fletor Mφ (gráfico 6.6), são bem próximas das exatas. Para Mφ a função aproximativa resulta uma composição de polinômios lineares (terceira derivada do esforço cortante), o que explica a menor precisão e a necessidade por uma discretização mais refinada.

7 CONCLUSÕES

Nota-se o grande potencial do enriquecimento com funções especiais para a solução numérica do problema do reservatório cilíndrico, principalmente em relação à descrição dos esforços. A aplicação convencional do MEF, que emprega base aproximativa hermitiana é limitada, particularmente no que se refere à descrição dos esforços internos generalizados. De fato, os gráficos dos esforços apresentam descontinuidades entre os elementos, em razão da menor ordem de continuidade das derivadas da base aproximativa, diretamente empregadas na descrição do momento fletor e da força cortante. As descontinuidades nos esforços são reduzidas com os procedimentos de enriquecimento propostos, quase desaparecendo para o RMEFH e para o RMEFBA. Cabe observar, entretanto, que a continuidade entre elementos da base aproximativa determina também a continuidade da aproximação enriquecida, independente do grau de enriquecimento atingido no interior do elemento. Portanto, a eficácia dos procedimentos de enriquecimento depende fortemente da continuidade da base aproximativa utilizada. De fato, considerando-se bases muito simples, apesar dos esforços serem mais bem representados pelos procedimentos enriquecidos em comparação com o MEF convencional, a continuidade entre os elementos, para as derivadas, não é necessariamente garantida. Nesse aspecto o enriquecimento por base estendida mostra-se mais eficiente, permitindo contornar a questão de



51

continuidade, dispensando a alternativa de um aumento do grau de continuidade da aproximação base. Em relação às cúpulas esféricas, a variável aproximada pelas funções base foi diretamente um esforço solicitante, de modo que a forma convencional do MEF, recorrendo apenas ao refinamento da malha mostrou-se eficiente.

8 AGRADECIMENTOS

Agradecemos a CAPES, pelo apoio financeiro, e aos funcionários do Departamento de Estruturas da USP de São Carlos, que forneceram toda a estrutura necessária para a realização das pesquisas.

9 REFERÊNCIAS

BARROS, F. B. (2002). Métodos sem Malha e Método dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas. 222p. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

BELLUZZI, O. (1967). Ciência de la Contruccion. v. 3. Madrid: Aguilar.

BILLINGTON, D. P. (1965). Thin shell concrete structures. McGraw Hill Book Company, Inc.

DUARTE, C. A.; BABUŠKA, I.; ODEN, J. (2000). Generalized finite element methods for three-dimensional structural mechanics problems. Computers & Structures, v. 77, n. 2, p. 215–232.

GRAVINA, P. B. J. (1957). Teoria e cálculo das cascas. São Paulo.

MELENK, J. M.; BABUŠKA, I. (1996). The partition of unity finite element method: Basic theory and applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 39, p. 289–314.

NIRSCHL, G. C. (2005). Método dos elementos finitos e técnicas de enriquecimento da aproximação aplicados à análise de tubos cilíndricos e cascas esféricas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

REDDY, J. N. (1993). An introduction to the Finite Element Method. New York. McGraw-Hill.

TORRES, I. F. R. (2003). Desenvolvimento e aplicação do método dos elementos finitos Generalizados em análise tridimensional não-linear de sólidos. São Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

ZIENKIEWICZ, O. C. (1986). The Finite element method. London; New-York. McGraw-Hill.

ISSN 1809-5860


LADRILHOS E REVESTIMENTOS HIDRÁULICOS DE ALTO DESEMPENHO

Thiago Catoia1 & Jefferson Benedicto Libardi Liborio2

R e s u m o

Os ladrilhos hidráulicos são revestimentos produzidos utilizando aglomerante hidráulico, cuja tecnologia de produção não acompanhou a grande evolução tecnológica dos concretos, as disponibilidades de novos materiais e técnicas de utilização ocorrentes nos últimos anos, sendo assim esses revestimentos perderam espaço e competitividade no mercado pela característica artesanal de sua produção. O trabalho tem como objetivo desenvolver uma argamassa para produção de ladrilhos hidráulicos utilizando a tecnologia utilizada na produção de concretos de alto desempenho. Os agregados foram selecionados e compostos utilizando diferentes técnicas de empacotamento de partículas, essas técnicas foram implementadas experimentalmente e seus resultados foram analisados e comparados através da medida de massa unitária no estado compactado seco. Os aglomerantes foram selecionados de forma a atender a utilização de pigmentos claros e escuros necessários para a produção de ladrilhos hidráulicos decorativos, assim foram elaboradas duas diferentes composições de aglomerantes, a primeira com cimento Portland branco estrutural e metacaulinita branca, e a segunda com cimento Portland de alta resistência inicial resistente a sulfatos e sílica ativa de ferro-silício. Diferentes aditivos superplastificantes foram testados, sendo a medida de compatibilidade com os aglomerantes e a determinação dos teores ideais a serem utilizados com cada tipo de aglomerantes, realizadas através da medida de consistência em mesa cadente. A avaliação das argamassas desenvolvidas para produção dos ladrilhos hidráulicos foi realizada através dos ensaios de compressão axial simples, tração na compressão diametral, e determinação do módulo de elasticidade. Os ladrilhos hidráulicos foram produzidos em fôrmas previamente elaboradas e moldados com auxílio de vibração, após desmoldagem e cura foram avaliados através dos ensaios de módulo de flexão, desgaste por abrasão, absorção de água, retração por secagem, ação química, e determinação das variações de dimensões em diferentes tempos de cura. Após elaboração, produção e avaliação dos ladrilhos hidráulicos, também foram realizados alguns testes práticos, e avaliados os custos dos materiais para produção desses revestimentos, como parte de um estudo para implementação da produção desses elementos em escala industrial. Os ladrilhos hidráulicos desenvolvidos apresentaram alto desempenho nas características avaliadas, com resistência à compressão axial simples de até 143 MPa e absorção de água próxima a 1 %, também apresentando viabilidade de produção. Palavras-chave: ladrilho hidráulico; argamassa; CAD; revestimento; durabilidade.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas EESC-USP, [email protected] 2 Coordenador do Laboratório de Materiais Avançados à Base de Cimento EESC-USP, [email protected]

Thiago Catoia & Jefferson Benedicto Libardi Libório


54

1 INTRODUÇÃO

Os ladrilhos hidráulicos são revestimentos produzidos com aglomerantes hidráulicos (cimentos Portland), definido pela NBR 9457:1986 como placa de concreto de alta resistência ao desgaste para acabamento de paredes e pisos internos e externos, contendo uma superfície com textura lisa ou em relevo, colorido ou não, de formato quadrado, retangular ou outra forma geométrica definida. Os ladrilhos hidráulicos foram introduzidos no Brasil pelos italianos e, embora no passado fosse uma alternativa na produção de revestimentos, essencialmente com caráter decorativo, pelas disponibilidades existentes, seu uso foi abandonado com o advento da indústria cerâmica. Embora nos anos 80 arquitetos e decoradores começarem a valorizar novamente os revestimentos hidráulicos, como forma de personalizar projetos e até pela possibilidade de utilização em mosaicos, a inserção no mercado de produtos com bom aspecto visual ainda passa por uma produção artesanal que está embasada no empirismo, com pouco cientificismo, sendo ainda utilizada as técnicas trazidas da Itália. O advento do concreto de alto desempenho, com valores de resistência a compressão que podem atingir os 200 MPa, permite que seja transposto para a prática um novo conceito de um revestimento hidráulico, com realces marcantes no tocante à durabilidade, resistências mecânicas (flexão, compressão, tração, desgaste, etc) e resistências químicas proporcionadas inclusive pela alta impermeabilidade. Enquanto numa fábrica de cerâmica a média diária de produção por pessoa é de 10 mil m2, em empresas de ladrilhos não passa de 20 m2, justificada pela mão de obra artesanal. Com isso, seu preço não é módico: peças de 20 x 20, 15 x 15, 10 x 10 e 5 x 5 centímetros custam entre R$ 1,50 e R$ 6,00 a unidade. Modelos que compõem barrados são vendidos aproximadamente a R$ 28,00 o metro linear. Esses custos poderiam então atingir valores, como os preços de março de 2003, de R$ 150,00/m2, evidenciando que o uso desse material se deve hoje aos saudosistas e abastados, visto que a implantação final ultrapassaria hoje R$ 200,00/m2 (MEDEIROS, CAPPI e PALHAIS, 2003). Com isso, esse material não apresenta competitividade com outros revestimentos como os porcelanatos, granitos, e qualquer outro revestimento cerâmico, que podem inclusive imitar os mosaicos bizantinos. Daí a importância do trabalho, que pretendeu contribuir com a melhora do produto e da produção, podendo levar os ladrilhos hidráulicos a uma maior diversidade de aplicação e a uma melhor competitividade no mercado. O presente trabalho tem como objetivo demonstrar a possibilidade de produção de revestimentos hidráulicos para piso e paredes, de alto desempenho e alta resistência, a partir de toda tecnologia existente utilizada no desenvolvimento do concreto de alto desempenho.

Ladrilhos e revestimentos hidráulicos de alto desempenho

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 10, n. 47, p. 53-74, 2008

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2 DOSAGEM E CARACTERIZAÇÃO DAS ARGAMASSAS

2.1 Seleção dos materiais

Como fator relevante para a escolha dos agregados miúdos além de ser utilizada a granulometria foi levado em conta a disponibilidade comercial dos agregados, e a morfologia das partículas que os compõem, pois agregados mais arredondados possuem menor área superficial, o que pode reduzir a quantidade de água no produto final podendo aumentar a resistência mecânica e refinar a porosidade. As areias selecionadas foram as areias quartzosas (AM1 e AM2) de origens diversas com mesma massa específica (2,63 kg/dm3). Um dos agregados miúdos utilizados se trata de um agregado bem mais fino que os agregados geralmente utilizados na construção civil (AM3), de origem quartzosa com massa específica de 2,63 kg/dm3, foi escolhida por apresentar partículas que promovem um bom empacotamento na composição dos agregados miúdos que são utilizados convencionalmente na construção civil. Na escolha dos cimentos para fabricação de ladrilhos e revestimentos hidráulicos não basta levar em conta somente a resistência mecânica e química, mas também as características decorativas. No presente trabalho, visando atender ao maior número possível de aplicações, foram selecionados dois tipos de cimentos estruturais, o CPB 40 Estrutural, e o CP V ARI RS. As adições foram escolhidas visando a reatividade pozolânica e o efeito microfiler para o refinamento dos poros. Considerando também as características decorativas, foi escolhida a metacaulinita branca, que foi utilizada conjuntamente com o cimento CPB 40 para compor uma mistura clara, para realçar a coloração dos pigmentos, e a sílica ativa utilizada juntamente com o cimento CP V ARI RS compondo uma mistura mais escura compatível com pigmentos mais escuros. O uso de aditivo superplastificante é justificado pela necessidade de redução de água de amassamento e refinamento da porosidade, que beneficia tanto os fatores de resistência quando os de durabilidades. O desempenho e a compatibilidade de alguns aditivos superplastificantes com os cimentos e adições selecionados foram medidos experimentalmente. Os pigmentos comercialmente disponível no mercado, utilizados para colorir a argamassa, atribuiram características decorativas aos revestimentos elaborados.

2.2 Empacotamento de partículas dos agregados

O empacotamento de partículas visa minimizar os vazios existentes na mistura tornando o produto final mais compacto e consequentemente mais resistente. No estudo do empacotamento dos agregados convencionais selecionados (AM1 AM2) utilizaram-se três modelos para encontrar a melhor composição entre os agregados miúdos que foram comparados através da massa unitária no estado compactado seco (NBR 7810:1983).

2.2.1 Modelo 1 O modelo 1, indicado por Helene e Terzian (1992), consiste na comparação da massa unitária no estado compactado seco de diferentes combinações de



56

proporções dos dois componentes em que se deseja obter o melhor empacotamento. Para determinar a melhor proporção entre os agregados miúdos (AM1 e AM2), estabeleceram-se diversas combinações com variação de 10 %, em seguida mediu-se a massa unitária no estado compactado seco de cada combinação como indicado na Figura 1.

1,650

1,660

1,670

1,680

1,690

1,700

100/0 90/10 80/20 70/30 60/40 50/50

Composição de areias AM1/AM2

Mas

sa u

nitá

ria

Figura 1 - Variação da massa unitária nas diversas proporções entre as areias.

No modelo 1 conclui-se que a melhor proporção entre os agregados foi aquela composta por 80 % do agregado mais grosso (AM1) e 20 % do agregado mais fino (AM2), pois essa proporção apresentou a maior massa unitária no estado compactado seco (1,687 kg/dm3) e proporcionou um maior preenchimento dos vazios existentes entre as partículas de agregados.

2.2.2 Modelo 2 Este modelo consiste em determinar a fração de cheios (Fch) de um componente através da relação entre a massa unitária no estado compactado seco (γcomp.) e a massa específica (ρ), para em seguida obter a fração de vazios (Fvz) ocupada pelo agregado e então determinar a quantidade de um componente com partículas menores necessária para preencher os vazios entre as partículas do componente inicial, relações indicadas por Bomfim (2005). Este modelo permite compor dois componentes e após a determinação da massa específica e unitária da mistura, compor um terceiro componente e assim sucessivamente, partindo do componente com partículas maiores para o com partículas menores. Assim determinou-se a fração de cheios do agregado mais grosso (AM1) dividindo sua massa unitária no estado compactado seco (1,66 kg/dm3) por sua massa específica (2,63 kg/dm3), em seguida encontrou-se a fração de vazios subtraindo de 1 a fração de cheios. Com a fração de vazios existente nesse agregado determinou-se a quantidade de agregado mais fino (AM2) necessária para ocupar esses vazios, multiplicando a fração de vazios de AM1 pela massa unitária no estado compactado seco de AM2 (1,59 kg/dm3). Determinando a proporção de cada areia obteve-se 74 % de AM1 e 26 % de AM2 que resultou uma massa unitária no estado compactado seco de 1,689 kg/dm3.



57

2.2.3 Modelo 3 O modelo 3 é o modelo de Alfred, descrito por Oliveira et al (2000), que consiste em estabelecer uma porcentagem acumulada de partículas (CPFT) menores que um determinado diâmetro DP (diâmetro da partícula), de acordo com a Equação 1.

100DD

DDq

Sq

L

qS

qPCPFT ⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−= (1)

Onde: DL = diâmetro da maior partícula; DS = Diâmetro da menor partícula; q = módulo ou coeficiente de distribuição, que de acordo com Funk e Dinger (1993) apud Oliveira et al (2000) assume o valor de 0,37 para os casos de máxima densidade de empacotamento. Neste modelo foi determinada uma distribuição granulométrica utilizando a equação proposta por Alfred com os diâmetros das partículas correspondentes aos diâmetros com quantidade mais significativas no estudo da granulometria dos agregados selecionados, de forma a obter uma curva granulométrica possível de ser montada utilizando os agregados selecionados, e compatível com os outros modelos do estudo de empacotamento dos agregados. Portanto utilizou-se DL = 0,6 mm, DS = 0,037 mm e q = 0,37 para determinar a distribuição granulométrica teórica. Após a determinação da distribuição granulométrica do modelo 3 foram separadas as partículas de acordo com o diâmetro das peneiras e em seguida misturadas nas devidas proporções para se obter o agregado com a distribuição granulométrica calculada, em seguida foi realizado o ensaio para determinação da massa unitária no estado compactado seco que resultou em 1,724 kg/dm3.

2.2.4 Comparação dos modelos Visando melhor comparar os três modelos de empacotamento de agregados apresentados foram reunidos os valores da massa unitária no estado compactado seco das areias e das diferentes composições na Figura 2, também foram sobrepostas as distribuições granulométricas dos agregados miúdos selecionados assim como a distribuição granulométrica do modelo 3 e as curvas granulométricas da composição obtida através do modelo 1 (80 % de AM1 e 20 % de AM2), e do modelo 2 (74% de AM1 e 26 % de AM2). O modelo 3 apesar de apresentar a maior massa unitária no estado compactado seco é um modelo de aplicação prática inviável, pois para se obter a distribuição contínua indicada foi preciso separar as partículas em diferentes dimensões para depois juntá-las na proporção adequada o que consumiria um tempo inexistente na produção de revestimentos hidráulicos. Observando os resultados obtidos nos modelo 1 e 2, pode-se dizer que apesar desses modelos poderem alcançar valores semelhantes, eles apresentam diferenças significativas no trabalho e no tempo de realização de ensaios. O modelo 1 poderia atingir o mesmo resultado que o modelo 2 se após a determinação da massa unitária das proporções pré-definidas fosse refinada as medições entre as proporções que alcançaram melhor resultado. Entretanto o modelo 2, que utiliza cálculos e medições práticas, apresentou a melhor composição com um menor número de ensaios. Portanto a proporção entre os agregados adotada é de 74 % do agregado



58

miúdo mais grosso (AM1) e 26 % do agregado miúdo mais fino (AM2) obtida através do modelo 2.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0.60.30.150,0750,037Abertura das Peneiras (mm)

% R

etid

a A

cum

ulad

a

Areia (AM1)

Areia (AM2)

Distribuição do Modelo 3

Composição Modelo 2 (74%AM1+26%AM2)


NBR 7810:1983

1,660 kg/dm3

1,589 kg/dm3

1,724 kg/dm3

1,689 kg/dm3

1,687 kg/dm3

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0.60.30.150,0750,037Abertura das Peneiras (mm)

% R

etid

a A

cum

ulad

a

Areia (AM1)

Areia (AM2)

Distribuição do Modelo 3



NBR 7810:1983

1,660 kg/dm3

1,589 kg/dm3

1,724 kg/dm3

1,689 kg/dm3

1,687 kg/dm3

Figura 2 - Sobreposição da curvas granulométricas.

2.3 Empacotamento de partículas do traço

Para melhorar o empacotamento das partículas do traço utilizou-se um agregado (AM3) com partículas menores que as partículas que compõe o empacotamento dos agregados convencionais, com o intuito de preencher os vazios ainda existentes entre as partículas maiores de agregado e aproximar as dimensões entre as partículas de agregados e aglomerantes, além de melhorar o acabamento superficial dos ladrilhos, fator importante na produção de revestimentos. A quantidade aproximada desse agregado foi determinada pelo modelo 3, pela inviabilidade em determinar a massa unitária no estado compactado de partículas muito finas, estendendo o diâmetro das partículas até 25 μm (abertura da peneira que passa a grande maioria das partículas de AM3, 99,3 %) que resultou em um teor próximo a 9 %. Como o empacotamento de partículas dos agregados não possui a distribuição granulométrica do modelo 3, e consequentemente apresenta uma quantidade de vazios maior a ser preenchido, adotou-se um teor de 10 % de AM3 dividindo os 90 % restantes de acordo com a proporção indicado no empacotamento das partículas dos agregados (74 % de AM1 e 26 % de AM2). Portanto o novo empacotamento de partículas é composto de 67 % de AM1, 23 % de AM2 e 10 % de AM3. Para verificar a eficiência do novo empacotamento, compôs-se dois traços semelhantes de argamassa, comparando o empacotamento de partículas dos agregados com o empacotamento de partículas do traço, assim o traço em que foi empregado AM3 apresentou aproximadamente 10 % de resistência a compressão axial simples a mais que o traço em que foi somente utilizado as areias AM1 e AM2, comprovando o preenchimento dos vazios e o refinamento dos poros da argamassa.



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2.4 Traço da argamassa

Ponderando os fatores de custo, calor de hidratação, e refinamento da porosidade, e tentando preencher os vazios existentes entre as partículas de agregados com partículas de cimento, fixou-se o traço em massa em 1:2, com incorporação das adições feita em substituição volumétrica com o intuito de manter o volume final da mistura. O teor de sílica ativa adotado foi 10 % em substituição volumétrica ao cimento, pois segundo Melo (2000) um teor de sílica ativa de aproximadamente 10 % é capaz de contribuir de modo eficiente para o ganho de resistência e o refinamento da porosidade, e teores de sílica acima de 10 % apesar de indicarem um significativo ganho de resistência nas primeiras idades, alcançam as mesmas resistências que menores teores de sílica nas idades avançadas. Adotou-se o teor de metacaulinita, em substituição volumétrica, de 10 % da massa do cimento, pois segundo Lacerda (2005) a sílica ativa e a metacaulinita podem apresentar atuações semelhantes quando utilizadas como adição. A trabalhabilidade da argamassa está diretamente relacionada à dificuldade de lançamento e moldagem das peças de revestimento, uma trabalhabilidade baixa pode ocasionar falha na moldagem ou necessitar de uma energia de adensamento muito elevada, e uma trabalhabilidade elevada pode prejudicar o refinamento da porosidade, pelo aumento da relação água/aglomerante, ou pelo uso antieconômico do aditivo superplastificante. Associando-se o parâmetro trabalhabilidade ao parâmetro consistência, foi determinada uma consistência (250 ± 20 mm) medida em ensaio de consistência em mesa cadente apresentado na Figura 3, como forma de resolver a problemática, possibilitando boas condições de lançamento e moldagem dos elementos de revestimento, levando em conta a relação água/aglomerante e o teor de aditivo superplastificante.

Figura 3 - Medida de consistência de argamassa em mesa cadente.

A ordem de mistura dos materiais para execução da argamassa está diretamente relacionada com a reologia da mistura e com a atuação dos componentes, assim foram testadas três diferentes ordens de mistura, e a que refletiu um melhor desempenho da mistura foi a que se misturaram inicialmente os aglomerantes e a água, em seguida foi acrescentado o aditivo em duas partes e por fim foram inseridos os agregados.



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Após a seleção de todos os materiais e determinação do traço das argamassas verificou-se a compatibilidade do aditivo superplastificante com o pigmento, não se constatando qualquer incompatibilidade entre esses materiais.

2.5 Caracterização da argamassa

A caracterização das argamassas é importante para conhecer as características do material que irá constituir os ladrilhos hidráulicos, além de possibilitar a relação dos resultados da avaliação das argamassas com a avaliação dos revestimentos.

2.5.1 Moldagem, preparo e cura de corpos-de-prova cilíndricos Foram moldados corpos-de-prova cilíndricos de argamassa com diâmetro de 50 mm e altura de 100 mm de acordo com a NBR 7215:1991. A cura dos corpos-de-prova se iniciou logo após a moldagem, isolando a superfície exposta dos corpos-de-prova com filme plástico para impedir a perda de umidade da argamassa, pois uma parte significativa do processo de hidratação do cimento ocorre antes da mistura estar pronto para o desmolde. Os corpos-de-prova foram desmoldados 15 horas após a moldagem e permaneceram na cura por imersão até as datas de ensaio. O preparo dos corpos-de-prova para ensaios de compressão axial simples e determinação do módulo de elasticidade foi realizado retificando suas superfícies (topo e base) de acordo com a NBR 5738:1994, por meio de um faceador de corpos-de-prova com disco diamantado mostrado na Figura 4, com o intuito de promover a regularização das superfícies que terão contato com os pratos da prensa servo-hidráulica.

Figura 4 - Faceador para corpos-de-prova com detalhe do disco.

2.5.2 Resistência à compressão axial simples O ensaio de compressão axial simples em corpos-de-prova cilíndricos de argamassa foi realizado de acordo com a NBR 5739:1994, com velocidade de carregamento constante e igual a 0,6 MPa/s. Na Figura 5 mostra-se um corpo-de-



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prova de argamassa sendo solicitado à compressão axial simples. Foi possível comprovar a validade dos ensaios de compressão axial simples através da ocorrência de ruptura cônica dos corpos-de-prova, apresentada na Figura 5, que representa a correta distribuição de tensões durante as solicitações.

Figura 5 - Corpo-de-prova solicitado à compressão axial simples com ruptura cônica.

2.5.3 Resistência à tração na compressão diametral O ensaio de tração na compressão simples diametral em corpos-de-prova cilíndricos de argamassa foi realizado de acordo com a NBR 7222:1994, com velocidade de carregamento constante e igual a 0,06 MPa/s. Exemplifica-se na Figura 6 um corpo-de-prova de argamassa sendo solicitado à compressão simples diametral. Utilizou-se um aparato para manter o corpo-de-prova corretamente posicionado durante o ensaio. Foi possível comprovar a validade dos ensaios de compressão simples diametral através da ocorrência de ruptura colunar central dos corpos-de-prova, demonstrada na Figura 6.

Figura 6 - Corpo-de-prova solicitado à compressão diametral com ruptura colunar.



62

2.5.4 Módulo de elasticidade O módulo de elasticidade foi determinado seguindo recomendações da NBR 8522:1984, solicitando os corpos-de-prova à compressão axial simples com velocidade de carregamento de 0,6 MPa/s até 80 % da carga de ruptura, e realizando-se medições de deslocamento a cada 5 segundos através de extensômetros elétricos de base removível, posicionados em lados opostos do corpo-de-prova. Na Figura 7 é mostrado a realização do ensaio em um corpo-de-prova.

Figura 7 - Ensaio para determinação do módulo de elasticidade.

2.5.5 Resultados Para melhor apresentar as características de cada mistura estudada elaborou-se a Tabela 1 onde são apresentados os materiais selecionados, o consumo de materiais por metro cúbico, as características da argamassa fresca, e os resultados dos ensaios mecânicos realizados nas idades de 3, 7, 28, 63 e 91 dias. Os resultados apresentados na Tabela 1 indicam alta resistência mecânica da argamassa logo nas primeiras idades, os valores de resistência à compressão simples e do módulo de elasticidade são valores dificilmente alcançados na produção de argamassa, estando compatível com a produção de ladrilhos hidráulicos de alto desempenho.



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Tabela 1 - Características das misturas estudadas e resultados dos ensaios. Mistura Clara Escura

Cimento CPB 40 Estrutural CP V ARI RS Adição Metacaulinita Sílica Ativa Materiais

Aditivo Superplastificante Éster policarboxílico Éster policarboxílico1:m 1:2 1:2

Teor de adição (%) 10 10 Relação a/a 0,30 0,30

Traço

Teor de aditivo (%) 2,3 1,6 Consistência em mesa cadente (mm) 250 ± 20 250 ± 20

Massa específica (kg/m3) 2255 2275 Cimento 648,78 652,11 Adição 54,41 44,46 Água 210,96 208,97

Aditivo 16,17 11,15 AM1 (67%) 957,72 964,08 AM2 (23%) 328,77 330,95

Consumo de materiais por m3

(kg)

Areia AM3 (10%) 142,94 143,89

3 dias 60,2 79,8 7dias 74,1 98,8

28 dias 91,5 127,4 63 dias 96,6 141,0

Resistência à compressão axial simples

(MPa) 91 dias 97,2 142,9 3 dias 3,1 3,5 7dias 3,2 3,9

28 dias 3,4 4,0 63 dias 3,5 4,0

Resistência à tração por

compressão diametral (MPa)

91 dias 3,5 4,0 3 dias 27,4 31,9 7 dias 33,3 37,2

28 dias 34,8 42,2 63 dias 35,1 44,0

Módulo de elasticidade

(GPa)

91 dias 36,9 45,4

3 PRODUÇÃO E AVALIAÇÃO DOS REVESTIMENTOS HIDRÁULICOS

3.1 Produção dos ladrilhos hidráulicos

Para definir o material da fôrma foram produzidos elementos hidráulicos, com fôrmas de diferentes materiais, tal que possibilitasse uma superfície lisa e brilhante. A Figura 8 mostra o bom acabamento superficial do elemento hidráulico produzido, sem qualquer tratamento da superfície após a desforma.



64

Figura 8 - Acabamento superficial obtido no elemento hidráulico.

A utilização de uma fôrma com base metálica possibilita uma rigidez adequada para moldagem, além de suportar um grande número de ciclos de moldagem. Na Figura 9 apresenta-se a fôrma revestida com o material selecionado.Tomou-se o cuidado de se iniciar a cura logo após a moldagem, com a utilização de um filme plástico mostrado também na Figura 9. Após a desforma, a cura foi prosseguida por imersão em água, até as datas de ensaios.

Figura 9 - Fôrma, moldagem e cura dos ladrilhos hidráulico.

3.2 Avaliação dos ladrilhos hidráulicos

A avaliação dos revestimentos produzidos com as argamassas (clara e escura) visou estabelecer as características dos revestimentos hidráulicos, da desmoldagem à situações de utilização.

3.2.1 Variação dimensional Os ensaios dimensional e visual consistiram em verificar se as peças coincidem com os moldes, se a qualidade da superfície aparente foi alcançada uniformemente e mantida durante a cura, e se as dimensões das peças variaram no



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intervalo de tempo entre a desmoldagem e o fim da cura. Foram utilizadas peças de 20 x 20 cm e 10 mm de espessura, as medições foram realizadas em torre eletrônica de medição com resolução de 5 x 10-6 m sobre base plana, e a análise visual foi realizada em peças saturadas superfície seca, após desmoldagem e nas idades de 3 e 28 dias.

3.2.2 Resistência à flexão O ensaio de flexão em ladrilhos hidráulicos foi realizado em prensa servo-elétrica até a ruptura, seguindo recomendações da NBR 13818:1997, solicitando as placas à flexão por três apoios com velocidade de carregamento controlada e igual a 1,0 MPa/s. As placas utilizadas nos ensaios de flexão foram moldadas em fôrmas retangulares de 20 x 100 cm e 10 mm de espessura, em seguida cortadas nas dimensões de 20 x 45 cm. Na Figura 10 apresenta-se, o detalhe de uma placa de ladrilho hidráulico submetida à flexão com comprimento entre apoios de 40 cm, e a ruptura da placa no terço central permitindo a validação dos ensaios representando a correta solicitação da placa.

Figura 10 - Ladrilho hidráulico solicitado à flexão com ruptura no terço central.

Os apoios são barras cilíndricas com 38 mm de diâmetro com graus de liberdade que permitem a flexão das placas sem a solicitação em outras direções, foram também utilizadas borrachas entre os apoios e as placas para possibilitar uma melhor transferência de carga, distribuindo-as uniformemente. A carga de ruptura e o módulo de resistência à flexão foram calculados utilizando a força de ruptura obtida no ensaio, as disposições das peças e as Equações 2 e 3.

bLFCR ⋅

= (2)

Onde: CR = carga de ruptura (N); F = força de ruptura (N); L = distância entre as barras de apoio (mm); B = largura da placa ao longo da ruptura (mm).



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2mineb2LF3MRF

⋅⋅

⋅⋅= (3)

Onde: MRF = módulo de resistência a flexão (MPa); e min = espessura mínima da placa (mm). A carga de ruptura está relacionada com as dimensões da placa, enquanto o módulo de resistência a flexão está ligado ao material que constitui o revestimento.

3.2.3 Desgaste por abrasão Para avaliar a resistência ao desgaste por abrasão dos ladrilhos hidráulicos utilizou-se a NBR 12042:1992, peças com dimensões de 7 x 7 cm foram cortadas a partir de peças de 20 x 20 cm com 25 mm de espessura. Após as medidas de espessura, dois corpos-de-prova foram colocados em uma máquina Amsler, onde ficaram dispostos diametralmente opostos, sob carga de 66 N em um disco de ferro fundido com 2 m de perímetro, alimentado com areia normal com vazão de 72 cm3/min e posto a girar com 30 rpm, enquanto os corpos-de-prova rotacionam a 0,6 rpm em torno de seu próprio eixo perpendicular a superfície de contato. O desgaste foi indicado pela média da redução da espessura, em milímetros, dos corpos-de-prova após um percurso equivalente a 1000 m. A Figura 11 apresenta a disposição dos corpos-de-prova sobre o disco metálico durante o ensaio, além de detalhar um corpo-de-prova sendo solicitado à abrasão.

Figura 11 - Ensaio de abrasão em máquina Amsler com detalhe do corpo-de-prova.

3.2.4 Absorção de água O ensaio para determinação da absorção de água dos ladrilhos hidráulicos foi realizado seguindo recomendações da NBR 9778:1987 e da NBR 13818:1997. Foram utilizadas peças com dimensões de 20 x 20 x 1 cm, imersas verticalmente com o nível de água de aproximadamente 5 cm acima delas. Na data do ensaio as peças foram retiradas da cura e após secagem de superfície com toalha absorvente foi determinada a massa saturada com superfície seca de cada peça em balança com resolução de 0,01 % da massa da peça, em seguida as peças foram encaminhas para a estufa e mantidas por 24 horas a temperatura de 60 ± 5 ºC onde atingiram constância de massa em pesagens com intervalo de 4 horas, então as peças foram retiradas da estufa e após equilíbrio térmico (25 ± 5 ºC) foi determinada a massa seca



67

de cada peça. O teor de absorção de água é porcentagem da diferença entre a peça saturada e a peça seca em relação à peça seca.

3.2.5 Retração por secagem O ensaio de retração por secagem foi realizado conjuntamente com o ensaio de absorção de água medindo as peças de revestimentos hidráulicos saturadas com superfície seca, nas duas direções com dimensões de 20 cm. O equipamento utilizado para medição foi uma torre eletrônica de medição com resolução de 5 x 10-6 m sobre base plana, onde as peças de ladrilhos hidráulicos foram apoiadas e medidas como se pode ver na Figura 12.

Figura 12 - Medida de ladrilhos hidráulicos em torre eletrônica de medição.

Utilizando diferentes peças para cada data de ensaio, as peças foram medidas antes e após a secagem, tomando o cuidado de aquecer as peças somente até 60º C, que simula a temperatura alcançada por esses revestimentos expostos à insolação, determinou-se a retração por secagem calculando a porcentagem de retração dos revestimentos pela diferença da peça seca com a saturada em relação à peça saturada.

3.2.6 Resistência ao ataque químico O ensaio de ataque químico simula a ação de produtos químicos que normalmente entram em contato com esses revestimentos. Os reagentes utilizados foram o cloreto de amônia e o hipoclorito de sódio com aproximadamente 10 % de cloro ativo, indicados pela NBR 13818:1997. A solução que simula a ação de produtos químicos domésticos é composta de 100 g/l de cloreto de amônia, e a que simula a ação química de produtos para tratamento de água de piscina é composta de 20 mg/l de hipoclorito de sódio.



68

O ensaio consiste em submeter os revestimentos à ação dos reagentes e analisar, através de avaliação visual a olho nu, qualquer alteração na superfície das peças. Na data dos ensaios as peças foram imersas verticalmente nas soluções definidas, onde permaneceram por 12 dias a uma profundidade de 25 ± 2 mm, a temperatura de 25 ± 5 ºC. As análises visuais foram realizadas antes da imersão e após a retirada das peças das soluções, mediante lavagem e secagem a temperatura e umidade ambiente.

3.2.7 Resultados Para melhor apresentar as características dos revestimentos produzidos com cada mistura elaborou-se a Tabela 2, onde são apresentados os materiais utilizados e os resultados dos ensaios realizados nas idades de 3 e 28 dias. Analisando os resultados dos ensaios de avaliação dos revestimentos desenvolvidos e comparando com alguns limites estabelecido pela NBR 9457:1986, como 8 % de absorção de água e 5 MPa de módulo de resistência a flexão, pode-se observar o elevado desempenho dos ladrilhos hidráulicos estudados.

Tabela 2 - Características e resultados dos ensaios de ladrilhos hidráulicos. Revestimento Hidráulico Claro Escuro

Cimento CPB 40 Estrutural CP V ARI RS Adição Metacaulinita Sílica Ativa

Aditivo Superplastificante Éster policarboxílico AM1 (67 %) AM2 (23 %)

Materiais

Agregado Miúdo AM3 (10 %)

3 dias inalterada inalterada Análise visual

28 dias inalterada inalterada 3 dias 0,022 0,012

Expansão por cura (%) 28 dias 0,016 0,008 3 dias 455 480

Carga de ruptura à flexão (N) 28 dias 520 573 3 dias 6,83 7,20

Módulo de resistência à flexão (MPa) 28 dias 7,80 8,60 3 dias 7,58 4,62

Desgaste por abrasão (mm) 28 dias 4,64 3,26 3 dias 3,19 2,79

Absorção de água (%) 28 dias 1,63 1,27 3 dias 0,064 0,072

Retração por secagem (%) 28 dias 0,063 0,048 3 dias alta alta Produtos químicos

domésticos 28 dias alta alta 3 dias alta alta

Resistência ao ataque químico Produtos para tratamento

de água de piscina 28 dias alta alta



69

Cabe ressaltar também a possibilidade de produção de uma grande variedade de tipos, cores, formas e texturas de revestimentos, para diversas aplicações com diferentes necessidades específicas de utilização. A Figura 13 ilustra a variedade de cores obtidas utilizando a argamassa escura e clara sem e com pigmentos.

Figura 13 - Diversidade de ladrilhos hidráulicos moldados com e sem pigmento.

3.3 Junção de peças

Na produção atual dos ladrilhos hidráulicos, para se obter ladrilhos com figuras, as argamassas com diferentes pigmentos são misturadas ainda frescas com auxílio de moldes metálicos, isso torna a produção artesanal, pois as peças devem ser feitas uma a uma, exigindo profissionais ultra qualificados e tornando lenta a produção, que reflete no custo final do produto. Uma alternativa para acelerar o processo produtivo desses revestimentos decorados, seria utilizar peças em forma de desenhos ou figuras, previamente moldados com argamassa. A união de argamassas de diferentes idades poderia minimizar o trabalho e possibilitar maiores alternativas na produção de peças com figuras decorativas, além de propiciar a obtenção de efeitos inovadores. Esse processo de junção de peças de diferentes idades é facilitado pela utilização de adições aglomerantes, como é o caso da sílica ativa Fe-Si e da metacaulinita, e o conseqüente tratamento da zona de interface possibilitado pelo efeito micro-filer e pela reação pozolânica. Fagury (2002) demonstrou que a utilização de a sílica ativa Fe-Si possibilita o tratamento da zona de interface permitindo que a ligação de um concreto de alto desempenho (novo) com um concreto convencional (velho), seja mais resistente que o próprio concreto convencional. Para verificar a possibilidade de junção de peças produzidas com a argamassa desenvolvida nessa pesquisa, inicialmente moldaram-se elementos hidráulicos em fôrma plástica com a argamassa clara e diferentes pigmentos, em seguida os elementos foram cortados com serra policorte com disco rotativo diamantado, e posicionados na fôrma ocupando metade do espaço, por fim a metade



70

vazia das fôrmas foi preenchida com argamassa composta com outros pigmentos para facilitar a análise da interface. Após moldagem e cura, as peças foram desmoldadas, quando foi possível comprovar a possibilidade da junção dos elementos hidráulicos de diferentes idades, pois a interface entre a peça velha e a nova apresentou-se regular e contínua sem qualquer irregularidade ou falha de moldagem. A Figura 14 apresenta os elementos após a junção, demonstrando a boa qualidade da interface de união.

Figura 14 - Elementos hidráulicos após junção de argamassas em diferentes idades.

Portanto, peças de argamassa em forma de desenhos ou figuras, podem ser utilizadas na produção de ladrilhos decorados, unindo argamassas de diferentes idades para se obter desenhos ou efeitos, dispondo as peças de figuras na fôrma final para em seguida moldar o elemento em sua dimensão final.

3.4 Restauração dos revestimentos

Os ladrilhos hidráulicos são revestimentos moldados a frio que possuem toda a espessura, ou parte dela, composta pelo mesmo material (argamassa), diferente da maioria dos revestimentos cerâmicos que apresentam somente uma película esmaltada na superfície aparente. Essa característica possibilita que esses revestimentos hidráulicos sejam recuperados após o desgaste da superfície aparente. Com o intuito de confirmar a possibilidade de recuperação da superfície aparente dos ladrilhos hidráulicos, submeteram-se ladrilhos de 20 x 20 cm e 10 mm de espessura, ao processo de polimento semelhante ao utilizado em rochas ornamentais. Esse processo consiste em lixar, utilizando lixadeira elétrica, a superfície do revestimento como uma seqüência de lixas, partindo de uma lixa grossa até alcançar a lixa fina utilizada no polimento. A Figura 15 mostra os ladrilhos hidráulicos, produzidos com argamassa clara e escura, após recuperação de superfície pelo processo descrito. Através da análise da superfície restaurada do ladrilho é possível dizer que a vida útil desses revestimentos pode ser prolongada, utilizando um processo de polimento já difundido



71

no mercado. Processos semelhantes ao descrito são utilizados em pisos de madeira, em rochas ornamentais e até mesmo em concretos polidos. Portanto, quando os revestimentos hidráulicos chegam ao fim de sua vida útil, após um grande tempo de utilização, eles podem ser recuperados sem qualquer perda de suas características ornamentais e mecânicas, pois as características da argamassa são semelhantes em toda a espessura do revestimento.

Figura 15 - Ladrilhos hidráulicos após restauração de superfície.

3.5 Custo de materiais

Para uma análise inicial do custo dos revestimentos desenvolvidos nesse estudo, determinou-se o custo dos materiais que compõem os revestimentos produzidos com argamassa clara e escura. Primeiramente determinou-se o custo de material por metro cúbico de cada argamassa, em seguida considerou-se a espessura dos revestimentos igual a 10 mm para o cálculo do custo de material por metro quadrado de cada tipo de revestimento.

Tabela 3 - Custo dos materiais que compõem a mistura clara.

Venda

Unidade PreçoPreço/ Kg

Consumo/ m3

Custo / m3

Consumo/ m2

Custo/ m2 Material

(R$) (R$) (Kg) (R$) (Kg) (R$) CPB 40 Estrutural 25 Kg 18,00 0,70 648,78 454,15 6,488 4,54 Metacaulinita Branca 20 Kg 12,00 0,60 54,41 32,65 0,544 0,33 Aditivo Superplastificante 20 Kg 200,00 10,00 16,17 161,70 0,162 1,62 Areia (AM1) 5 m3 64,00 0,01 957,72 8,34 9,577 0,08 Areia (AM2) 5 m3 70,00 0,01 328,77 3,34 3,288 0,03 Areia (AM3) 1 Ton 500,00 0,50 142,94 71,47 1,429 0,71 Custo de material /m3 de argamassa e /m2 de revestimento 731,64 7,32



72

Nessa análise inicial não foram consideradas as perdas de argamassa, o custo de fôrmas, ou qualquer custo produtivo como mão-de-obra, maquinário, infra-estrutura ou impostos. Outro fator que não foi considerado foi o custo de pigmentos, devido a grande variedade de combinações e teores possíveis. Portanto foi determinado o custo dos revestimentos caracterizados, produzidos com argamassa clara e escura. Na Tabela 3 e na Tabela 4 que seguem, estão detalhados os materiais utilizados em cada mistura, seus respectivos preços por unidade de venda e por Kg, o consumo e custo de cada material por metro cúbico de argamassa e por metro quadrado de revestimento, além do custo total de materiais por metro cúbico de argamassa e por metro quadrado de revestimento. Apesar do custo por metro cúbico de argamassa ser maior que o custo de concretos ou argamassa convencionais, ele não representa um custo elevado dos revestimentos devido a seu emprego final e a sua espessura reduzida. Também cabe ressaltar que apesar do custo da metacaulinita ser inferior ao da sílica ativa Fe-Si, o custo da argamassa clara é superior devido ao maior custo do cimento Portland branco estrutural e sua maior representatividade no custo final da argamassa.

Tabela 4 - Custo dos materiais que compõem a mistura escura.

Venda

Unidade PreçoPreço/ Kg

Consumo/ m3

Custo/ m3

Consumo / m2

Custo/ m2 Material

(R$) (R$) (Kg) (R$) (Kg) (R$) CP V ARI RS 40 Kg 12,00 0,30 652,11 195,63 6,521 1,96 Sílica Ativa de Fe-Si 25 Kg 20,00 0,80 44,46 35,57 0,445 0,36 Aditivo Superplastificante 20 Kg 200,00 10,00 11,15 111,50 0,112 1,12 Areia (AM1) 5 m3 64,00 0,01 964,08 8,39 9,641 0,08 Areia (AM2) 5 m3 70,00 0,01 330,95 3,36 3,310 0,03 Areia (AM3) 1 Ton 500,00 0,50 143,89 71,95 1,439 0,72 Custo de material /m3 de argamassa e /m2 de revestimento 426,40 4,26

4 CONCLUSÕES

Com base no desenvolvimento experimental e nos resultados dos ensaios realizados conclui-se que o objetivo de produzir revestimentos hidráulicos para pisos e paredes, de alto desempenho e alta resistência, a partir da tecnologia utilizada no desenvolvimento do concreto de alto desempenho, foi alcançado. De maneira mais específica pode-se afirmar que os revestimentos hidráulicos produzidos com as argamassas de alto desempenho elaboradas, apresentam elevada resistência à compressão, elevado módulo de elasticidade, resistência à abrasão compatível, baixíssima absorção de água, alta resistência à ação química, baixa retração por secagem, elevada resistência à flexão, e bom acabamento superficial.



73

5 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelos apoios concedidos.

6 REFERÊNCIAS

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1994). NBR 5739 – Concreto – Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (1991). NBR 7215 – Cimento Portland – Determinação da resistência à compressão. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1994). NBR 7222 – Argamassa e concreto – Determinação da resistência à tração por compressão diametral de corpos-de-prova cilíndricos. São Paulo.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1983). NBR 7810 – Agregado em estado compactado e seco – Determinação da massa unitária. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1984). NBR 8522 – Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação. São Paulo.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1986). NBR 9457 – Ladrilhos hidráulicos – Especificação. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1987). NBR 9778 – Argamassa e concreto endurecidos – Determinação da absorção de água por imersão – Índice de vazios e massa específica. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1992). NBR 12042 – Materiais inorgânicos – Determinação do desgaste por abrasão. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1997). NBR 13818 – Placas cerâmicas para revestimento – Especificação e métodos de ensaios. Rio de Janeiro.

BOMFIM, D. A. (2005). Um novo método para dosagem de concretos estruturais de cimento Portland. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Ciência e Engenharia de Materiais – Universidade Federal de São Carlos.

CATOIA, T. (2007). Ladrilhos e revestimentos hidráulicos de alto desempenho. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.



74

FAGURY, S. C. (2002). Concretos e pastas de elevado desempenho: contribuição aos estudos de reparos estruturais e ligações entre concretos novo e velho, com tratamento da zona de interface. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Interunidades em Ciências e Engenharia de Materiais, EESC / IQSC / IFSC – Universidade de São Paulo.

HELENE, P. R. L.; TERZIAN, P. (1992). Manual de dosagem e controle do concreto. São Paulo: Pini, 349p.

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MELO, A. B. (2000). Influência da cura térmica (vapor) sob pressão atmosférica no desenvolvimento da microestrutura dos concretos de cimento Portland. São Carlos. Tese (Doutorado) – Interunidades em Ciências e Engenharia de Materiais, EESC / IQSC / IFSC – Universidade de São Paulo.

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ISSN 1809-5860


PLÁSTICOS RECICLADOS PARA ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Ricardo Alves Parente1 & Libânio Miranda Pinheiro2

R e s u m o

Apresenta-se uma reunião da literatura existente, enfocando o estado da arte e os avanços obtidos no emprego do plástico, reciclado ou não, com função estrutural, na construção civil. São discutidos alguns aspectos pertinentes a um projeto de Engenharia e, posteriormente, apresentados alguns conceitos e considerações específicos a um projeto de estruturas de material plástico. Ao fim deste trabalho, pode-se concluir que o mercado dos elementos estruturais de plástico reciclado é um nicho a ser explorado e, como a pesquisa sobre o tema é ainda incipiente, há muito a ser estudado, pesquisado e, posteriormente, desenvolvido. Pode-se afirmar que a baixa rigidez do plástico reciclado frente aos materiais de construção tradicionais é a sua maior deficiência. O seu comportamento viscoelástico, dependente do tempo, e a sua sensibilidade à variação de temperatura tornam complexo o dimensionamento com esse material, desencorajando o seu emprego pelos projetistas de estruturas. Desde que sejam desenvolvidas formas de se contornar essas deficiências, como a adição de fibras, o emprego de armaduras de protensão nos elementos estruturais e a aplicação de aditivos, o plástico reciclado como elemento estrutural mostra-se não só tecnicamente viável, é também bastante promissor. Palavras-chave: plásticos reciclados; propriedades; elementos estruturais; projeto.

1 INTRODUÇÃO

É difícil imaginar o mundo moderno sem o uso dos plásticos. Desde a

descoberta do primeiro plástico sintético, no início do século XX, eles vêm sendo

aperfeiçoados e aplicados com sucesso, nas mais diversas atividades do ser humano.

Formados a partir de longas cadeias de macromoléculas, ou polímeros, eles

possuem propriedades que os tornam atrativos em relação a outros materiais: são

leves, resilientes (resistem ao impacto sem se deformar definitivamente), indiferentes à

deterioração por decomposição e por ataque de microorganismos, resistentes à

corrosão, de fácil processamento e de reduzido custo de manutenção.

Segundo Nielsen e Landel (1994), a maioria dos plásticos é aplicada em função

das características mecânicas e do custo. Por essa razão, as propriedades mecânicas

Ricardo Alves Parente & Libânio Miranda Pinheiro


76

são as mais importantes das propriedades físicas e químicas consideradas.

Projetar elementos de plástico exige, ao menos, um conhecimento elementar do

comportamento mecânico e de que forma esse comportamento pode variar em função

de fatores estruturais que podem ser modificados nos polímeros.

No entanto, essa liberdade possibilitada pelos plásticos é vista como uma

confusa complexidade (NIELSEN e LANDEL, 1994). É necessária uma avaliação dos

diversos aspectos que afetam o comportamento estrutural, bem como a reunião e a

organização do conhecimento existente e o estado da arte. Dessa maneira, algumas

contribuições deste trabalho são a desmistificação e a divulgação dos elementos

estruturais de termoplásticos reciclados, junto às comunidades técnica e acadêmica.

Nas propriedades mecânicas, a dependência do tempo e da temperatura é

bastante acentuada. Isto se deve à natureza viscoelástica, que implica no

comportamento dual de um líquido viscoso e de um sólido elástico. Nos sistemas

viscosos, o trabalho é dissipado sob a forma de calor, enquanto que nos sistemas

elásticos, é acumulado sob a forma de energia potencial (NIELSEN e LANDEL, 1994).

É função do engenheiro de estruturas o estudo dos materiais que constituem a

estrutura a ser projetada, para que haja uma concepção racional e uso otimizado dos

recursos disponíveis. Em paralelo, com o avanço da ciência dos materiais e com o

empenho do homem em buscar melhorias, novos materiais foram desenvolvidos. Com

essa diversidade, a escolha do material tem se tornado, no projeto, um aspecto crítico

na busca pela solução estrutural mais adequada.

Este artigo é baseado na dissertação de mestrado de Parente (2006), na qual

podem ser encontrados maiores detalhes sobre os assuntos aqui tratados.

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Um projeto estrutural exige o conhecimento das propriedades mecânicas para

definir o comportamento e adequar, com mais precisão, técnicas e métodos de análise

e de previsão do desempenho do material, sob as ações de projeto.

Os plásticos se comportam de maneira diferente da madeira, do aço e do

concreto. Quando se objetiva viabilizar o plástico como material estrutural, é

importante tratar minuciosa e claramente os fundamentos teóricos que tratam das

suas propriedades mecânicas e dos seus modelos preditivos.

2.1 Tipos de comportamento

A figura 1 ilustra a diferença do diagrama da deformação ao longo do tempo para

materiais elástico, viscoso e viscoelástico, quando sujeitos a tensão constante. Essa

Plásticos reciclados para elementos estruturais


77

tensão é aplicada no tempo t 0= e mantida constante em um tempo 1t (figura 1a).

Como mostrado na figura 1b, a resposta da deformação de um corpo-de-prova

elástico tem a mesma forma da tensão aplicada. Na aplicação da força, a deformação

alcança, instantaneamente, certo valor 0ε e permanece constante.

Figura 1 - Comparação da deformação para os materiais elástico, viscoso e viscoelástico submetidos a uma tensão constante durante o tempo t1. Fonte: HADDAD, 1995.

Para um fluido viscoso (figura 1c), o material flui a uma taxa constante e a

resposta da deformação é proporcional ao tempo.

Já para o corpo-de-prova viscoelástico (figura 1d), existe um aumento

relativamente rápido nas deformações, para pequenos valores de t , imediatamente

após a aplicação da força. Com o aumento de t , a inclinação da tangente à curva

diminui e aproxima-se de zero ou de um valor finito, mantida uma tensão constante.

Com a remoção da força no tempo 1t , as deformações recuperar-se-ão das

maneiras mostradas na figura 1.

O sólido perfeitamente elástico recuperar-se-á instantaneamente (figura 1b).

Entretanto, com a remoção da força, o corpo-de-prova viscoelástico recuperará

rapidamente a sua deformação elástica; no entanto, a parte retardada da resposta

necessitará de mais tempo para se recuperar (figura 1d).



78

Num estado de tensão constante, a deformação de um material viscoelástico

por fluência pode ser dividida, com referência à figura 2, em três componentes

(LETHERSICH, 1950 apud HADDAD, 1995):

Figura 2 - Deformação de um material viscoelástico submetido a uma tensão constante durante

o tempo t1. Fonte: HADDAD, 1995.

(a) Deformação elástica instantânea ( )e 0+ε . Essa parcela é atribuída às

deformações das ligações moleculares, incluindo a deformação das ligações fracas de

Van de Waals entre as cadeias moleculares. Essa deformação é reversível.

(b) Deformação elástica retardada ( )d tε . A taxa de crescimento dessa parcela

da deformação diminui rapidamente com o tempo. Também é elástica, mas, depois da

remoção da força, requer um tempo para uma completa recuperação. É, geralmente,

chamada de “fluência primária” ou “efeito elástico posterior”.

(c) Fluidez viscosa ( )v tε . Esse é um componente irreversível da deformação,

que pode ou não aumentar linearmente com a aplicação das tensões. Num material

polimérico, é característico do escorregamento intermolecular. No descarregamento do

corpo-de-prova viscoelástico no tempo 1t , a resposta elástica instantânea ocorre

rapidamente e a resposta elástica retardada manifesta-se gradualmente, mas a fluidez

viscosa permanece (WARD, 1983 apud HADDAD, 1995).

2.2 Propriedades mecânicas Uma particularidade dos plásticos é seu caráter viscoelástico: suas propriedades

mecânicas agregam características dos líquidos viscosos e dos sólidos elásticos.

Essa natureza explica o seu comportamento complexo – dependente do tempo,

da temperatura e da taxa de deformação.

Os fenômenos da fluência e da relaxação das tensões também são verificados



79

nos plásticos, como conseqüência da sua natureza viscoelástica. A fluência é a

denominação dada ao aumento das deformações para um nível de tensões constante.

O comportamento restaurador dos plásticos, quando descarregado, tem sua

explicação a partir do mesmo princípio da fluência. Na relaxação, ou seja, admitida

uma deformação constante ao longo do tempo, as tensões necessárias para mantê-la

reduzem-se ao longo do tempo (CRAWFORD, 1987).

Conforme ilustra a figura 3, quando se aplica uma força, ocorre uma primeira

deformação, instantânea, que representa a parcela elástica (intervalo O–A). Com a

manutenção das tensões, ocorre o fenômeno da fluência, que aumenta as

deformações, representando a parcela viscoelástica (intervalo A–B). A restauração

das deformações, quando se descarrega o material, ocorre de maneira similar. Tem-

se, inicialmente, uma parcela de restauração elástica (intervalo B–C) e, ao longo do

tempo, a restauração viscoelástica (intervalo C–D).

Figura 3 - Fluência e recuperação de um material plástico. Fonte: CRAWFORD, 1987.

Assim como para os metais, a fadiga dos plásticos também deve ser

considerada. O carregamento cíclico pode provocar a degradação do material,

fazendo-o chegar à ruptura com forças inferiores à de um carregamento estático. A

fluência pode também levar o material à ruptura, como conseqüência das deformações

excessivas. Esse fenômeno é conhecido como fadiga estática (CRAWFORD, 1987).

As propriedades mecânicas supracitadas, no entanto, podem variar em função

de vários fatores, tanto externos como intrínsecos ao material. A tabela 1 sumariza

algumas causas e os efeitos no módulo de elasticidade e na dutilidade.



80

Tabela 1 - Relações entre a rigidez e a dutilidade. Fonte: CRAWFORD, 1987.

Efeito Causa

Módulo de Elasticidade Dutilidade

Redução da temperatura ↑ aumenta ↓ diminui

Aumento da taxa de deformação ↑ aumenta ↓ diminui

Campo multiaxial de tensões ↑ aumenta ↓ diminui

Incorporação de plastificante1 ↓ diminui ↑ aumenta

Incorporação de material emborrachado ↓ diminui ↑ aumenta

Incorporação de fibras de vidro ↑ aumenta ↓ diminui

Incorporação de material particulado ↑ aumenta ↓ diminui

1- Substância adicionada ao plástico com a função de torná-lo mais flexível.

3 ESTADO DA ARTE

O uso dos materiais poliméricos tem se intensificado nas últimas décadas,

principalmente devido ao avanço da ciência dos materiais, às melhorias agregadas ao

processamento dos plásticos e ao desenvolvimento dos materiais compósitos.

Desde 1988, nos Estados Unidos, pesquisas têm sido desenvolvidas com o

intuito de entender o comportamento do plástico reciclado, para a substituição em

diversas aplicações na construção civil que, anteriormente, eram exclusivas da

madeira.

O progresso obtido reflete-se nas normas da ASTM, nos métodos de ensaios

desenvolvidos e nos diversos produtos que surgiram: mourões, postes, dormentes de

ferrovias e estruturas de portos, marinas e pontes (LAMPO e NOSKER, 2001).

Krishnaswamy et al. (1997), a pedido do Departamento de Recursos Naturais de

Ohio, nos Estados Unidos, realizaram ensaios em paletes de plástico reciclado (PPR).

No relatório que descreve desde a concepção da forma do palete, a sua comparação

com outros materiais, a análise do comportamento mecânico e o estudo de viabilidade

econômica, Krishnaswamy et al. obtêm as seguintes conclusões:

• Os PPR’s são uma opção viável e, dependendo da capacidade de carga

requerida no projeto, podem ser dimensionados para casos particulares;

• O desempenho dos PPR’s em laboratório e em campo alcança e até excede

o de paletes de madeira e de aço galvanizado. A integridade estrutural e as

características de durabilidade são excelentes;

• Apesar de o custo inicial ser maior que o dos outros materiais, o desempenho

e a vida útil viabilizam os PPR’s, tornando-os comercialmente aceitáveis.



81

Sullivan e Wolfgang (1999) desenvolveram um compósito polimérico a partir de

plástico reciclado, um componente polimérico emborrachado e um de preenchimento

contendo mica.

O material resultante é sugerido para diversos usos na construção: dormentes

de ferrovias, meio-fios de estacionamentos e estacas em marinas. Ainda, segundo os

autores, um dos benefícios do uso do plástico é a combinação de baixo peso e

adequada resistência. As propriedades químicas, elétricas e físicas podem ser

modificadas de acordo com o critério de utilização dos materiais componentes.

Pesquisadores da AMIPP, Centro de Materiais Avançados via Processamento de

Polímeros Imiscíveis, da Universidade Rutgers em New Jersey/EUA, têm conseguido

sucesso no desenvolvimento e na aplicação de materiais plásticos em estruturas.

Nosker e Renfree são exemplos da inovação na AMIPP.

Eles desenvolveram uma blenda, composta por 35% de poliestireno, PS, e 65%

de polietileno de alta densidade, PEAD, obtendo um material mais resistente que o

PEAD e mais rígido que o PS. A grande rigidez deve-se à densa estrutura molecular,

resultado da interconexão do PS com o PEAD (GUTERMAN, 2003).

A descoberta da blenda, a partir de dois polímeros imiscíveis, ocorreu em 1988,

havendo pouco reconhecimento da comunidade científica por, aproximadamente, uma

década. Em 1996, Nosker e Renfree iniciaram a construção de pequenas pontes, com

o material desenvolvido. Em 1999, construiu-se uma ponte mista, de plástico e aço, no

Missouri (EUA) e, dois anos depois, uma em New York, de plástico e fibra de vidro.

Nosker e Renfree (1999a) desenvolveram um dormente para ferrovias a partir de

um compósito de plástico reciclado. De acordo com esses autores, vários fatores

limitam o uso dos dormentes tradicionais de madeira: a reduzida vida útil, devido à

ação de microorganismos e da umidade; a maior rigidez das normas de controle e

preservação, pois grandes áreas de florestas são necessárias para suprir o mercado

de dormentes, além do uso de preservativos químicos na madeira.

O dimensionamento do dormente com plástico reciclado (DCPR) baseou-se nas

propriedades do tradicional dormente de madeira. Apesar do desempenho

comprovado empiricamente através dos tempos, foi considerada a possibilidade de

que as propriedades mecânicas da madeira não fossem otimizadas. Ensaios de flexão

foram realizados com o DCPR e a resistência última e o módulo de elasticidade foram

28MPa e 2069MPa, respectivamente.

Os DCPR’s foram instalados em várias ferrovias, com resultados satisfatórios,

sem evidências de fraturas, laminação ou quaisquer outros sinais de degradação.

A empresa Polywood Plastic Lumber, de New Jersey/EUA, está utilizando a



82

tecnologia desenvolvida pela AMIPP, na fabricação de dormentes e de outros

elementos estruturais. A figura 5 mostra os dormentes produzidos.

Figura 5 - Dormentes de plástico reciclado produzidos pela Polywood Plastic Lumber.

Além da Polywood, mais duas empresas estão investindo na fabricação de

dormentes de plástico reciclado: TieTek e U.S. Plastic Lumber, ambas nos EUA.

A produção das três empresas difere, mas todas partem do polietileno de alta

densidade reciclado, misturado e não lavado, utilizam um sistema de extrusão e

realizam uma moldagem sob pressão em moldes fechados, com a finalidade de evitar

vazios no interior dos dormentes.

A maioria dos processos utiliza maquinário pesado e são bastante lentos. Após o

preenchimento dos moldes, eles são levados para uma banheira de resfriamento e,

posteriormente, são desmoldados hidraulicamente e deixados ao ar livre para o

resfriamento total.

A partir do projeto e da fabricação de dormentes de compósito de plástico

reciclado, Nosker e Renfree (1999b) continuaram a estudar as diversas aplicações

desse material como substituto da madeira. Compararam-se as propriedades

mecânicas dos elementos estruturais de plástico com as relativas aos de madeira, e

observou-se que o módulo de elasticidade do plástico ainda é bastante deficiente. Isso

é evidenciado quando se comparam os módulos de elasticidade do pinho, cerca de

8.300MPa a 11.000MPa, com o mais alto valor obtido com o plástico, de 2.000MPa.

A solução encontrada foi a adição de fibras de vidro dispostas de forma

aproximadamente orientada, obtendo melhores resultados: aumento máximo de 68%

na resistência e de até 176% no módulo de elasticidade.

Albano e Sanchez (1999) estudaram as propriedades mecânicas e térmicas da

blenda composta por polipropileno (PP) virgem e polietileno de alta densidade (PEAD),



83

sendo este último reciclado ou não.

Verificou-se que, para o módulo de elasticidade, há um pequeno sinergismo

entre os materiais constituintes. Observou-se, com microscópio eletrônico, que a

grande quantidade de moléculas interligadas na interface, resultado da adição do

PEAD, somado ao processo de decomposição do PEAD (ruptura e conseqüentes

reações de intertravamento), tornam a blenda mais rígida. Os autores mostraram a

possibilidade do aproveitamento do resíduo plástico, desde que fosse verificada a

influência da proporção dos plásticos constituintes, nas propriedades térmicas e

mecânicas.

Produtos poliolefínicos reciclados com desempenho superior ao dos materiais

virgens correspondentes foram obtidos por Martins et al. (1999). Utilizando as palavras

dos autores: “O balanço das reações de reticulação e cisão em cadeias poliolefínicas,

quando expostas a condições ambientais de radicais livres, pode resultar em boas

propriedades e novas aplicações”.

O comportamento mecânico da madeira plástica por eles desenvolvida,

denominada IMAWOOD (constituída basicamente por polietileno), foi melhorado por

efeito da radiação gama. Outro produto desenvolvido, o IMACAR (constituído de pára-

choques descartados de carros), revelou alta resistência ao impacto, muito superior à

do material virgem de composição correspondente.

Uma explicação para esse comportamento é que a exposição de polímeros às

radiações ionizantes altera a sua estrutura molecular e as suas propriedades. Ocorre a

formação de ligações cruzadas entre as cadeias, paralelamente à cisão entre átomos.

A reticulação provoca um aumento do peso molecular, que geralmente ocasiona

melhoria das propriedades, enquanto que a cisão de cadeias reduz o seu peso, tendo

como resultado a deterioração das propriedades. Como o polietileno apresenta

reticulação após a irradiação, pode-se esperar uma melhoria nas suas propriedades

mecânicas (MARTINS et al., 1999).

Após a irradiação ao ar em intensidade crescente de exposição, o IMAWOOD

apresentou um aumento em torno de 15% na resistência à tração e uma diminuição da

ordem de 80% no alongamento de ruptura.

Houve também um aumento crescente no módulo de elasticidade no ensaio de

compressão, o que indica maior rigidez do plástico reciclado, com o aumento do tempo

de exposição (MARTINS et al., 1999).

Carroll et al. (2001) estudaram as propriedades estruturais dos elementos de

plástico reciclado, com adição de farinha de madeira. Os autores concluíram que o

material é estruturalmente satisfatório, mas não se deve simplesmente substituir o

elemento de madeira pelo de plástico, com as mesmas dimensões.



84

Eles enfatizam que as estruturas de compósitos plásticos devem ser

projetadas como tal, e não utilizando parâmetros e conhecimentos teóricos e

empíricos, válidos para outros materiais.

Krishnaswamy et al. (2001a) desenvolveram um compósito polimérico e

projetaram e construíram uma ponte sobre o rio Hudson, em New York/EUA. O

comprimento total e a largura da ponte são, respectivamente, 9m e 3,35m.

O projeto consumiu um total de 5.000kg de plástico (polietileno de alta

densidade) reforçado com fibra de vidro e 2.500kg de aço para as conexões e os

tirantes utilizados (KRISHNASWAMY, 2001b). A figura 6 mostra a ponte já construída.

O monitoramento da ponte sob a ação das cargas de projeto é feito

continuamente, por meio de dez pontos de observação. Utilizando uma referência fixa,

são medidos os deslocamentos, por meio de uma estação total, com GPS (Sistema de

Posicionamento Global) (KRISHNASWAMY, 2001b).

Figura 6 - Ponte sobre o rio Hudson construída com plástico reforçado com fibra de vidro.

Por meio de teste de carga padronizado pela AASHTO (American Association of

State Highway and Transportation Officials), em abril de 2001, a uma temperatura de

13ºC, o maior deslocamento, medido na parte inferior da ponte, foi de 32,5mm,

denunciando a baixa rigidez do material utilizado, cerca de 20% a 30% da rigidez da

madeira (KRISHNASWAMY, 2001b).

De acordo com Krishnaswamy (2001b), os elementos estruturais de plástico

reciclado reforçado com fibras, como os utilizados na ponte, oferecem uma alternativa

economicamente viável para pequenos vãos.

As vantagens são: não é um material biodegradável e não sofre corrosão de



85

qualquer espécie. Materiais ensaiados após dez anos de utilização mostraram um

aumento na rigidez e na resistência.

Além de ser um material ambientalmente responsável, quando se considera o

custo em função da sua vida útil, o sistema construtivo torna-se competitivo.

Em 2002, os pesquisadores da AMIPP, Nosker et al., construíram uma ponte

inteiramente de plástico – guarda-corpos, vigas e plataforma –, com exceção dos

pilares, aproveitados da estrutura de madeira anterior. Com 14m de comprimento e

peso em torno de 14t, estima-se que essa ponte sobre o rio Mullica, em New Jersey,

construída de material reciclado, tenha consumido 250.000 garrafas plásticas e

750.000 copos de café (DOWNS, 2002; JACOBSON, 2003; SAWYER, 2003;

GUTERMAN, 2003; GALIOTO, 2004). As figuras 7 e 8 ilustram a ponte e sua

construção.

Figura 7 - Detalhes das vigas I utilizadas na construção da ponte sobre o rio Mullica.

Figura 8 - Ponte sobre o rio Mullica construída inteiramente de plástico.



86

As vigas “I” utilizadas possuem uma seção de 41cm x 43cm (16” x 17”). A

ponte foi projetada para suportar o peso de caminhão de até 18t. Além do apelo

ecológico, com a reciclagem dos resíduos plásticos, o material constituinte da ponte é

resistente à ação da água, à corrosão e ao ataque por microorganismos.

A pesquisa aplicada ao desenvolvimento de novos materiais pelo grupo de

pesquisadores da AMIPP e o sucesso por eles alcançado é retratado pelas patentes

registradas de novos materiais e de novas metodologias de reciclagem de plásticos.

A primeira delas, nº 5.298.214 de 29/03/1994 (United States Patent), trata do

processamento de plásticos. Ela discorre sobre o método de obtenção de compósitos

de poliestireno (PS) e de outras poliolefinas, a partir de plásticos reciclados.

Em seguida, as patentes nº 5.789.477 de 04/08/1998 e nº 5.916.932 de

29/06/1999 (United States Patent) registram um material compósito destinado à

construção civil, obtido a partir de materiais reciclados. O compósito é obtido do

polietileno de alta densidade reciclado e fibras, como, por exemplo, a fibra de vidro.

A patente nº 5.951.940 de 14/09/1999 (United States Patent) fornece subsídios

para o processamento adequado dos plásticos reciclados. De acordo com os

inventores, todo o esforço tem sido direcionado no sentido de tornar economicamente

viável o processo de reciclagem do plástico pós-consumo, sem que haja a

necessidade de uma triagem, ou seja, tornar exeqüível a reciclagem de plásticos

misturados, poliolefinas ou não, juntamente com as impurezas.

A construção com elementos de plástico reciclado é uma realidade,

principalmente nos Estados Unidos e, em menor escala, no Canadá e na Inglaterra. A

tecnologia desenvolvida nas universidades já ultrapassou a escala experimental de

laboratório e chegou aos pátios das fábricas, com a produção em grande escala.

Figura 9 - Marina construída com pilares de plástico reciclado desenvolvido na AMIPP.



87

Figura 10 - Deque e píer com elementos de plástico reciclado (Plastic Lumber Yard/EUA).

As figuras 9 e 10 indicam amostras do que está sendo feito no mundo,

comercialmente, e indicam um cenário que não deve ser ignorado, a dos elementos

estruturais de material plástico reciclado.

Dentre os tipos de processamento, o mais adequado à produção de perfis com

fins estruturais é a pultrusão. Correia et al. (2005) ensaiaram perfis pultrusados e

verificaram as mudanças ocorridas nas propriedades físicas, químicas, mecânicas e

estéticas, quando submetidos à exposição acelerada de umidade, temperatura e

radiação ultravioleta. O material estudado que compunha os perfis era o poliéster

reforçado com fibra de vidro (GFRP). A partir dos resultados dos ensaios, concluiu-se

que a resistência e a deformação na ruptura diminuíram com a umidade, e este efeito

foi acelerado pelo aumento da temperatura.

Correia et al. (2005) salientaram que a degradação ocorreu devido a um

fenômeno físico, como a plastificação da matriz polimérica, não havendo uma

degradação química passível de ser considerada. Apesar da redução dos valores das

propriedades mecânicas, observados nos ensaios de durabilidade, a pesquisa

confirmou que os perfis pultrusados de GFRP apresentaram excelente desempenho

estrutural, indicando durabilidade maior, em comparação com materiais tradicionais.

4 O PROJETO DE ESTRUTURAS DE MATERIAL PLÁSTICO

A proposição de um novo sistema estrutural ou a substituição parcial de

elementos tradicionais por outros de plástico deve vir seguida do estudo da alteração

que será necessária na arquitetura, até para definir em quais soluções o plástico pode

ser aplicado. Talvez um dos fatores mais importantes a se considerar seja o vão que

pode ser alcançado com essa estrutura. De certa forma, é um problema de natureza



88

arquitetônica, e que evidencia a dependência óbvia entre estrutura e arquitetura.

Além de manter a estabilidade da obra, o novo material deve também atender às

condições de serviço. No caso dos plásticos, talvez o fator mais limitante seja a

temperatura. Nos materiais viscoelásticos, à medida que se aumenta a temperatura,

diminui-se o módulo de elasticidade. Em se tratando de materiais estruturais, a perda

de rigidez torna-se crítica, pois é indesejável que surjam deformações excessivas,

causa de desconforto aos usuários e até do colapso da estrutura.

O uso de materiais combinados ou compósitos poliméricos contorna algumas

deficiências dos plásticos, como a baixa rigidez e a suscetibilidade à variação de

temperatura. Esses compósitos, antes aplicados exclusivamente na indústria

aeronáutica e aeroespacial, passam a ser cada vez mais utilizados na construção civil,

atendendo aos desafios impostos pela arquitetura cada vez mais arrojada e aos

requisitos de durabilidade e de alto desempenho.

O emprego de reforços é um conceito que tem sido extensivamente aplicado

pelos projetistas, e com os materiais plásticos não é diferente. Desde o uso pelos

egípcios de fibras naturais como reforço em estruturas de argila, os materiais

compósitos atendem às demandas por soluções na área da construção.

Por exemplo, a combinação de aço e concreto, formando concreto armado, tem

sido a base para inúmeros sistemas estruturais adotados desde o início do século XX.

Os projetistas, contudo, continuam a utilizar novos materiais, com o intuito de tornar as

estruturas mais resistentes, maiores, mais duráveis, energeticamente eficientes e

esteticamente agradáveis (LOPEZ-ANIDO e NAIK, 2000).

4.1 Propriedades do plástico

Para uma correta concepção da estrutura, visando o aproveitamento das

vantagens do material plástico, certas propriedades devem ser observadas, a

depender do fim a que se destina a estrutura, pois devem ser levadas em

consideração as peculiaridades desse material, cujo comportamento é bastante

diferente dos relativos aos metais, à madeira e ao concreto.

As propriedades mais relevantes em um projeto estrutural são:

• Resistência à tração, à compressão e à flexão;

• Módulo de Elasticidade (para diversas temperaturas);

• Coeficiente de Poisson;

• Resistência ao impacto e à fadiga;

• Fluência;

• Relaxação;



89

• Absorção de água;

• Temperatura de transição vítrea - gT ;

• Coeficiente de expansão térmica.

O projetista que deseja dimensionar elementos estruturais deve fazer, durante o

desenvolvimento do projeto estrutural, as seguintes perguntas:

• Qual o nível de tensões a que o material será submetido?

• Qual a solicitação predominante (tração, compressão, flexão, torção)?

• Qual a vida útil esperada para a estrutura?

• Será a estrutura submetida ao impacto?

• Será a estrutura submetida a um carregamento cíclico (fadiga)?

• Qual é a deformação admissível para a estrutura em questão?

• Qual a máxima temperatura a que o plástico será submetido?

• Será o plástico exposto à umidade e a substâncias químicas?

4.2 Limitações de uma estrutura de material plástico

A seguir são mostradas algumas das principais limitações do uso do material

plástico em elementos estruturais.

a) Inflamabilidade e influência da temperatura Para que o material plástico possa ser utilizado com segurança em edificações,

podem-se utilizar normas específicas que prevejam o cuidado com a inflamabilidade

das estruturas.

A adição de produtos químicos retardantes de chama, durante a manufatura dos

plásticos, é uma forma de se evitar o perigo de incêndio em estruturas com elementos

de material plástico.

O dimensionamento de uma estrutura de plástico, em função de sua baixa

rigidez, deverá ser regido pelo estado limite de serviço, sendo a deformação o fator

limitante de projeto.

A perda da rigidez dos plásticos com a diminuição de seu módulo de

elasticidade, à medida que se aumenta a temperatura, deve ser considerada em

projeto.

Por exemplo, um plástico como o poliestireno possui quatro estágios de

deformação com o aumento da temperatura, como mostra a figura 11. O impacto da

variação de temperatura sobre os plásticos é, talvez, o maior entrave à sua aplicação

em estruturas, apesar de fibras reduzirem bastante essa influência.



90

Figura 11 - Módulo de elasticidade E versus temperatura. Fonte: PRINGLE e BAKER, 2000.

b) Estabilidade aos raios ultravioletas (UV) Ao ser aplicado em elementos estruturais que, porventura, estarão expostos ao

sol, deve-se observar a resistência dos plásticos aos efeitos dessa exposição. Isso

porque a radiação ultravioleta pode tornar o plástico, antes durável e resistente, num

material que se quebra ou se rompe sob uma força aplicada, e este é um processo

irreversível (PRINGLE e BAKER, 2000).

Como a deterioração em função dos raios UV é bastante lenta, são realizados

ensaios utilizando luz artificial para acelerar o processo, para se medir essa

estabilidade. Existem, no entanto, produtos químicos chamados de estabilizantes que

retardam o efeito da radiação, minimizando bastante os efeitos maléficos que podem

vir a surgir.

Os plásticos reciclados podem conter estabilizantes UV, mas não é possível ter

essa certeza, a não ser que sejam realizados ensaios que possam detectar essas

substâncias, o que não é prático. De qualquer forma, raramente é possível determinar

a quantidade de estabilizante utilizado e a degradação que o plástico já sofreu. Por

isso, em algumas aplicações, para se garantir maior vida útil, utiliza-se uma proporção

de material virgem com o material reciclado (PRINGLE e BAKER, 2000).

Lynch et al. (2001) verificaram quais foram as mudanças nas propriedades

mecânicas de elementos estruturais de material plástico reciclado, mais precisamente

polietileno de alta densidade (PEAD), expostos ao sol e às intempéries por 11 anos.

Os resultados, contudo, mostram um prognóstico positivo para a utilização de plástico

reciclado, ao menos para o tipo de plástico estudado, o PEAD.

Houve um clareamento superficial em função da radiação UV no lado que estava



91

exposto ao sol. A radiação ainda provocou uma minúscula degradação da superfície

do PEAD, da ordem de 0,075mm/ano. No entanto, o clareamento e a minúscula

degradação superficial não afetaram as propriedades mecânicas do material.

A figura 12 permite comparar os lados do elemento estrutural, sendo o de cima o

exposto ao sol, e o de baixo o que não foi submetido a essa exposição. A figura 13

mostra a estrutura da passarela, da qual foi retirado o material para os ensaios.

Figura 12 - Clareamento do PEAD como resultado da radiação UV. Fonte: LYNCH et al., 2001.

Figura 13 - Passarela de onde foi retirado o material para ensaio. Fonte: LYNCH et al., 2001.

Lynch et al. (2001) concluíram, após verificar um aumento de 3% no módulo de

elasticidade e na resistência à flexão, que as mudanças climáticas ao longo dos 11

anos aumentaram o grau de cristalização do plástico, e que essa redução das regiões

amorfas contribuíram para o aumento da rigidez e da resistência do PEAD reciclado.

c) Resistência aos solventes Em algumas aplicações, deve-se verificar se o plástico será exposto a solventes,

como, por exemplo, o contato com combustíveis ou outros derivados do petróleo, haja

vista que isso pode comprometer a sua integridade.



92

O mesmo cuidado deve ser dedicado aos plásticos reciclados e, caso

necessário, o material deve ser processado de forma a melhorar sua resistência frente

aos solventes (PRINGLE e BAKER, 2000).

5 CONCLUSÕES

Ao se introduzir um material estrutural alternativo como o plástico reciclado,

desmistifica-se para a comunidade científica e para a sociedade o seu potencial e as

suas vantagens que, dentre as várias, podem-se citar: o forte apelo ecológico, o baixo

peso específico, a indiferença à deterioração por decomposição e por ataque de

microorganismos, a alta resistência à corrosão, o fácil processamento e o reduzido

custo de manutenção.

A abundância de material plástico reciclado a baixo custo é uma alternativa a ser

explorada em estruturas, e não deve mais ser desconsiderada.

A pesquisa sobre o tema no Brasil é incipiente e a escassez de uma bibliografia

nacional evidencia esse atraso. No entanto, em países como Estados Unidos, Japão e

Canadá, os avanços na área são notáveis, tornando possível a construção de pontes,

passarelas, deques, ferrovias e marinas com elementos estruturais de plástico,

reciclado ou não.

Com base no que foi abordado neste artigo, pode-se fazer observações

indicadas nos parágrafos seguintes.

Os materiais plásticos possuem uma baixa rigidez quando comparados com os

materiais de construção tradicionais, como a madeira, o aço e o concreto.

A adição de fibras aumenta substancialmente o módulo de elasticidade. Além

disso, a adição de fibras pode ser empregada também para atenuar os fenômenos

dependentes do tempo, como a fluência e a relaxação.

A baixa rigidez também pode ser compensada com o emprego de armaduras

protendidas ou com o desenvolvimento de geometrias ótimas, aproveitando a alta

relação resistência/densidade desses materiais.

Uma das principais vantagens dos plásticos, quando comparados aos materiais

tradicionais, é a sua possibilidade de ser moldado nas mais diversas formas, não

exigindo soldas ou outros processos de conformação, para a obtenção do produto

final. Enquanto um perfil metálico possui diversas etapas para a sua manufatura, um

perfil de material plástico pode ser confeccionado numa única etapa.

A relação resistência/densidade para os materiais plásticos, principalmente os

compósitos poliméricos, é superior à dos materiais tradicionais. Esse peso reduzido



93

permite um melhor aproveitamento da capacidade estrutural do elemento e a

adoção de um sistema estrutural mais eficiente.

As características de um plástico podem ser desenvolvidas a partir das

necessidades de projeto, sendo esta possibilidade uma diferença básica perante os

materiais tradicionais, que normalmente requerem que os projetos sejam adequados

às propriedades mecânicas disponíveis comercialmente.

Os termoplásticos possuem o comportamento dependente da temperatura e da

taxa de deformação. A temperatura pode ser considerada um fator limitante.

Nos materiais viscoelásticos, à medida que se aumenta a temperatura, diminui o

seu módulo de elasticidade. Em se tratando de materiais estruturais, a perda de

rigidez torna-se crítica, pois é indesejável o surgimento de deformações excessivas,

causando desconforto aos usuários e até mesmo o colapso da estrutura.

Antes de se projetar uma estrutura de plástico, deve-se observar com que

intensidade os elementos estruturais estarão expostos ao calor, fazendo-se o

dimensionamento para a pior condição possível, ou seja, a maior temperatura.

A inflamabilidade dos plásticos deve ser considerada. Para que o material

plástico possa ser utilizado com segurança em edificações, devem ser utilizadas

normas que prevejam o cuidado com a inflamabilidade dessas estruturas e, até

mesmo, o emprego de instalações especiais de combate ao incêndio.

A adição de produtos químicos retardantes de chama é uma forma de se atenuar

o perigo de incêndio em estruturas com elementos de material plástico.

Outra solução é a utilização de uma camada protetora, de material isolante.

6 AGRADECIMENTOS

À CAPES, pela bolsa de mestrado.

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ISSN 1809-5860


ANÁLISE NUMÉRICA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS E DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE AÇO E

MISTOS DE AÇO E CONCRETO EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO

Ronaldo Rigobello1 & Jorge Munaiar Neto2

R e s u m o

O presente trabalho teve como objetivo principal estudar, em caráter essencialmente numérico via ANSYS v9.0, a elevação de temperatura em seções transversais de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto, com vistas a uma avaliação das equações propostas pelo método simplificado de cálculo da NBR 14323:1999, em especial, para situações em que não ocorra aquecimento uniforme por todos os lados do elemento. São apresentados modelos numéricos de seções transversais de elementos estruturais de aço, mistos de aço e concreto e, em caráter complementar, de madeira, em situação de incêndio, para avaliar a evolução dos níveis de temperatura ao longo do tempo. São também construídos e analisados modelos numéricos com vistas à análise do efeito da elevação de temperatura no comportamento mecânico em vigas de aço de um edifício de interesse. A determinação dos níveis de temperatura em seções transversais de elementos estruturais, obtidas com base nas prescrições normativas da NBR 14323:1999, conduzem a resultados satisfatórios, porém, com temperaturas próximas às temperaturas máximas obtidas numericamente. Para os casos usuais não contemplados pela NBR 14323:1999 fica evidente a necessidade do emprego de método avançado de cálculo ou de desenvolvimento de ferramentas analíticas para emprego em tais situações. Com relação a análise do efeito da elevação de temperatura no comportamento mecânico, os fatores de redução de resistência em situação de incêndio obtidos via ANSYS resultaram inferiores àqueles obtidos via TCD v5.0, com base na análise da seção transversal e procedimento normativo. Palavras-chave: incêndio; estruturas de aço; estruturas mistas; análise térmica; análise numérica.

1 INTRODUÇÃO

O incêndio sempre constituiu um risco considerável à propriedade e à segurança humana. Quando ocorre de forma descontrolada pode ocasionar conseqüências devastadoras.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Ronaldo Rigobello & Jorge Munaiar Neto


98

Conforme mencionado em SILVA (2001), no passado acreditava-se que o incêndio era obra do acaso e a vítima uma infortunada. Hoje, sabe-se que o incêndio é uma ação que pode ser evitada, e as vítimas, quer por morte ou por perda do patrimônio, surgem por conseqüência de ignorância ou ato criminoso. Em WANG (2002) se afirma que, até recentemente, as medidas de combate a incêndios em edificações têm seguido procedimentos que evoluíram durante vários anos em resposta a desastres ocorridos anteriormente. Com relação às exigências de resistência ao fogo de elementos estruturais de aço e mistos em situação de incêndio, a maioria dos regulamentos e códigos normativos do mundo todo ainda tem por base ensaios de elementos isolados em fornos. Atualmente é reconhecido o fato de as prescrições normativas conduzirem, em geral, a projetos anti-econômicos e inflexíveis. Por esta razão, no contexto internacional, a regulamentação de segurança contra incêndio em edificações tem evoluído no sentido de se libertar progressivamente das exigências de caráter prescritivo, passando a basear-se mais no desempenho dos elementos construtivos expostos a situações de incêndios reais. Em uma abordagem baseada no desempenho, vários fatores tais como o tipo de incêndio, as conseqüências da exposição ao fogo, condições de carregamento ou mesmo a interação entre os vários elementos estruturais são ponderados e a temperatura do aço é apenas uma das muitas variáveis envolvidas. Nesta abordagem, apesar de consistir de um procedimento mais custoso, é possível obter uma resposta da estruturas, quando submetida a elevadas temperaturas, mais representativa quando comparada às reais situações de incêndio. Os avanços ocorridos no contexto mundial com relação ao entendimento do desempenho de estruturas em altas temperaturas e as maiores exigências quanto à segurança em situação de incêndio por parte do Corpo de Bombeiros nos grandes centros, têm estimulado, no Brasil, estudos relacionados ao tema “segurança contra incêndio” com destaque ao desempenho de estruturas em situações de incêndio. Nesse texto apresentam-se, de forma sucinta e resumida, os resultados do trabalho desenvolvido em REGOBELLO (2007). Tal trabalho, com título homônimo ao do presente artigo, apresenta de forma completa os casos de estudo aqui mencionados, bem como apresenta os fundamentos da análise térmica de elementos estruturais de aço e mistos em situação de incêndio.

2 ELEVAÇÃO DA TEMPERATURA EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Os modelos que permitem obter a evolução da temperatura dividem-se, basicamente, em modelos simplificados de cálculo e modelos avançados de cálculo. Os modelos simplificados de cálculo permitem obter a elevação de temperatura de modo homogêneo para toda a seção transversal e ao longo do comprimento do elemento de interesse, por meio de simples equações analíticas. Os modelos avançados de cálculo têm como base métodos numéricos como, por exemplo, diferenças finitas e elementos finitos, e permitem obter o campo de temperaturas no elemento ao longo do processo de aquecimento.

2.1 Modelos simplificados de cálculo

2.1.1 Hipótese de temperatura homogênea na seção Para a obtenção da distribuição de temperatura num elemento estrutural em situação de incêndio é, geralmente, necessário o emprego de métodos avançados de

Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e mistos de...


99

cálculo (procedimentos numéricos). Entretanto, para os casos comuns de elementos de aço e mistos de aço e concreto expostos ao fogo, com ou sem revestimento, simples soluções analíticas podem ser obtidas possibilitando o cálculo da evolução de temperaturas de forma bastante rápida. Em WANG (2002) destaca-se que estas soluções analíticas foram desenvolvidas lançando-se mão do “Método da Massa Concentrada”, isto é, toda a massa do aço é sujeita a mesma temperatura. A validade desta hipótese depende da taxa de transferência de calor intrínseca ao material, isto é, de sua condutividade térmica e de sua espessura. Nos perfis de aço usuais, a espessura das almas, mesas ou chapas de aço constituintes destes perfis, resulta, normalmente, bem menor que o valor necessário para a consideração dessa hipótese. Portanto, o “Método da Massa Concentrada” pode ser usado e a hipótese de temperatura homogênea na seção resulta coerente e representativa.

2.1.2 Temperatura em elementos não-revestidos A equação (1) é adotada pela NBR 14323:1999 para obtenção da elevação de temperatura em elementos não-revestidos.

( ) tc

A/u

aat,a Δϕ

ρ=θΔ (1)

Na equação (1), t,aθΔ representa a variação da temperatura (em ºC) no elemento estrutural de aço durante um intervalo de tempo tΔ (em s), e u/A é o fator de massividade para elementos estruturais de aço sem revestimento contra incêndio, com unidade em m-1. Com relação aos demais parâmetros da última equação, u é o perímetro exposto ao incêndio do elemento estrutural de aço (m), A é a área da seção transversal do elemento estrutural (m2), ca é o calor específico do aço (J/kgºC), ρa é a massa específica do aço (kg/m3) e ϕ é o fluxo de calor por unidade de área (W/m2). A equação (1) difere basicamente daquela apresentada pelos EUROCODES 3 (2005) e EUROCODE 4 (2005), no referente à introdução de um fator de correção, para o efeito de sombra, representado por ksh. O efeito de sombra é causado pela obstrução local à radiação térmica devido ao formato do perfil de aço. Têm influência em perfis de formato côncavo, tais como as seções do tipo I. Para seções transversais de formato convexo, tais como as seções caixão e circulares vazadas completamente envolvidas pelo incêndio, o efeito de sombra não tem influência e o fator de correção ksh deve ser tomado igual à unidade. Em VILA REAL (2003) afirma-se que a não consideração do efeito de sombra na equação (1), isto é, fazer ksh = 1, conduz a resultados conservadores. O uso do fator ksh está relacionado ao fato de o EUROCODE 3 recomendar o valor de 0,7 para o produto da emissividade do compartimento εf pela emissividade do material εm, no caso do aço carbono, em contraste com o valor de 0,5 adotado para a emissividade resultante εres adotado pela NBR 14323:1999.

2.1.3 Temperatura em elementos com revestimento contra fogo

A equação (2), em que t,aθΔ ≥ 0, corresponde àquela mesma adotada pela NBR 14323:1999 e pelos EUROCODE 3 (2005) Part 1.2 e EUROCODE 4 (2005) Part



100

1.2 para o caso de elemento com revestimento contra fogo. Na equação (2) o termo ξ é dado pela equação (3).

t,g10/t,at,g

aam

mmt,a )1e(t

31

)(ct

)A/u(θΔ−−Δ

ξ+

θ−θ

ρ

λ=θΔ ξ (2)

)A/u(tcc

mmaa

mm

ρρ

=ξ (3)

Para as equações (2) e (3), um/A é o fator de massividade para elementos estruturais envolvidos por material de revestimento contra incêndio (m-1), enquanto um é o perímetro efetivo do material de revestimento contra incêndio, ou seja, igual ao perímetro da face interna do material de revestimento contra incêndio mais metade dos afastamentos desta face ao perfil de aço (m). Ainda com relação à equação (2), A é a área da seção transversal do elemento estrutural (m2), ca é o calor específico do aço (J/kgºC), cm é o calor específico do material de revestimento incêndio (J/kgºC), enquanto θa,t é a temperatura do aço no tempo t (ºC) e θg,t é a temperatura dos gases no tempo t (ºC). Com relação às demais variáveis de interesse, tm é a espessura do material de revestimento contra incêndio (m), λm é a condutividade térmica do material de revestimento contra incêndio (W/mºC), ρa é a massa específica do aço (kg/m3), ρm é a massa específica do material de revestimento contra incêndio (kg/m3) e Δt é o intervalo de tempo compatível (≤ 30 s). Vale mencionar que A NBR 14323:1999 atualmente encontra-se em processo de revisão, razão pela qual, em substituição a equação (2), o Projeto de Revisão da NBR 14323:1999 prescreve a equação (4), proposta em SILVA (1999). Comparações entre os resultados obtidos com as equações (2) e (4) poderão ser vistos nos itens referentes à apresentação de resultados.

14t

41

(ct

)A/u( t,g)t,at,g

aam

mmt,a

+ξ

θΔ−Δ

ξ+

θ−θ

ρ

λ=θΔ (4)

2.2 Modelos avançados de cálculo

Os modelos avançados de cálculo, os quais tomam geralmente como base métodos numéricos como o método das diferenças finitas e, principalmente, o método dos elementos finitos, permitem obter o campo de temperaturas no elemento ao longo do processo de aquecimento. Existe um grande número de referências que tratam da análise numérica de transferência de calor (por exemplo, BATHE (1996)) e vários códigos de cálculo (programas para microcomputadores) conhecidos no campo da análise de transferência de calor na engenharia de incêndio. Entre os programas de interesse, podem ser citados o ADAPTIC, o SUPERTEMPCALC (TCD), o SAFIR e o VULCAN. A análise numérica da transferência de calor também pode ser realizada por meio de um dos vários pacotes comerciais elaborados com base no método dos elementos finitos como o ANSYS, ABAQUS, ADINA ou DIANA, todos conhecidos mundialmente.



101

Segundo aspectos descritos em WANG (2002), estes programas apresentam uma acurácia similar. Portanto, disponibilidade (custo, suporte técnico) e amigabilidade (interação usuário/programa, produtividade, etc.) podem ser os principais fatores de decisão na aquisição de um destes programas para utilização em aplicações termo-estruturais.

3 VALIDAÇÃO DA ESTRATÉGIA NUMÉRICA PARA OS MODELOS CONSTRUÍDOS

No presente item faz-se a apresentação dos resultados obtidos por meio de simulações numéricas realizadas com a utilização do programa ANSYS ® v9.0, referentes à evolução de temperatura em seções transversais de aço e mistos de aço e concreto, quando submetidos ao incêndio-padrão ISO 834 (ISO 834-1:1999). Para fim de validação dos resultados, inicialmente são elaborados modelos numéricos cujos resultados são comparados com resultados numéricos de trabalhos de outros pesquisadores, bem como comparados com resultados obtidos por meio de modelos simplificados de cálculo prescritos na norma brasileira NBR 14323:1999 e nos EUROCODES 3 e 4. Em caráter complementar, com vistas à calibração dos modelos numéricos, apresenta-se um modelo numérico para uma seção transversal de madeira Eucalyptus Citriodora cujos resultados numéricos foram confrontados com resultados experimentais apresentados em PINTO (2005). Com vista à validação da estratégia numérica, são apresentadas diversas comparações de resultados obtidos com os códigos ANSYS v9.0 (ANSYS 2004) e TCD v5.0 (ANDERBERG 1997), sendo este último voltado para análise térmica de estruturas em situação de incêndio.

3.1 Elementos finitos utilizados

Na elaboração dos modelos numéricos aqui apresentados foram utilizados dois tipos de elementos finitos: um do tipo plano (PLANE77), para modelar a seção transversal da viga de aço e o material de proteção, e outro do tipo superfície (SURF151), para aplicar ao modelo as condições de contorno representativas da ação térmica referente à convecção e à radiação.

(a) (b)

Figura 1 - (a) Elemento Finito PLANE77 e (b) Elemento Finito SURF151.



102

3.2 Aplicação da ação térmica

Para aplicação dos efeitos térmicos (convecção e radiação) nos modelos numéricos, o elemento SURF 151 (figura 1b) é utilizado com a opção do nó extra. Com a aplicação de temperatura diretamente no nó extra é possível simular a temperatura dos gases quentes do ambiente em situação de incêndio. Assim, para simular os efeitos de convecção no contorno do modelo é necessário fornecer o coeficiente de transferência de calor por convecção (αc). Além disso, é necessário definir para o elemento que o cálculo do fluxo de calor devido à convecção (ϕc) seja dado com base na diferença entre a temperatura dos gases quentes do ambiente (θg) e a temperatura na superfície do modelo (θa), conforme equação (5).

( )agcc θ−θα=ϕ (5)

Com relação aos efeitos da radiação térmica, para o cálculo do fluxo de calor devido à radiação (ϕr) é necessário fornecer a emissividade resultante (εres), a constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,67x10-8 W/m2K4) e o fator de configuração (Φ). Nas aplicações em segurança contra incêndio é assumido que os gases da combustão e os elementos estruturais estejam em contato direto, de modo que este fenômeno pode ser tratado como o caso de duas superfícies (placas) infinitas. Neste caso, o fator de configuração (Φ), por definição, é igual à unidade. No caso de se optar por trabalhar com a escala de temperatura em grau Celsius, é necessário fornecer ao programa ANSYS a diferença entre o zero da escala Celsius e o zero absoluto (escala Kelvin), no caso, igual a 273. Assim, o fluxo de calor devido à radiação no contorno passa a ser dado pela equação (6).

( ) ( )[ ]4a

4gres

8r 27327310x67,5 +θ−+θε=ϕ − (6)

3.3 Validação da estratégia numérica

Neste item é apresentada a geometria e a malha de elementos finitos dos modelos numéricos analisados, modelos 1, 2 e 3, para fins de validação da estratégia numérica. Maiores detalhes sobre a geometria dos perfis dos modelos podem ser vistos em REGOBELLO (2007). O modelo 1, figura 2a, se refere à seção transversal de uma viga, perfil 180 UB 16, sem revestimento térmico. O modelo 2, figura 2b, se refere à seção transversal de uma viga, perfil 530 UB 82, com revestimento térmico de argamassa projetada à base de cimento e vermiculita, com espessura de 20 mm. O modelo 3, figura 2c, consiste de seção transversal de uma viga mista de aço e concreto sem revestimento. O perfil de aço da viga é VS 650x114 e a laje de concreto têm espessura de 10 cm e largura efetiva de 100 cm.

3.4 Propriedades térmicas dos materiais e condições de contorno

3.4.1 Propriedades térmicas dos materiais Para o aço, as propriedades térmicas empregadas nos modelos estão de acordo com aquelas propostas na NBR 14323:1999 e no EUROCODE 3 (2005). As propriedades do material de proteção térmica do modelo 2, de acordo com LEWIS (2000) são:



103

calor específico (cm) igual a 1100 J/kgºC, condutividade térmica (λm) igual a 0,19 W/mºC e massa específica (ρm) igual a 775 kg/m3.

(a) (b) (c)

Figura 2 - Geometria dos modelos e malha de elementos finitos: (a) Modelo 1 - Viga de aço sem revestimento, (b) Modelo 2 - Viga de aço com revestimento e (c) Modelo 3 - Viga mista de

aço e concreto sem revestimento.

Para o concreto da viga mista, modelo 3, foram utilizadas as mesmas propriedades apresentadas em SILVA (2002) para fins de comparação de resultados. Assim, o calor específico (cc) foi assumido igual a 1139 J/kgºC e a massa específica (ρc) igual a 2403 kg/m3, bem como a condutividade térmica (λc) pela equação (7).

[ ][ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>θ∈θ∈θ

−=θλ −

C)(ºC)(º;C)(º;

899se899199se19920se

876,010x246,1748,1

748,1)( 3

c (7)

3.4.2 Condições de contorno dos modelos Todos os modelos são submetidos à exposição ao incêndio padrão ISO 834.

Os modelos 1 e 2 sofrem exposição por todos os lados, enquanto que o modelo 3 sofre exposição em apenas três lados, isto é, a face superior da laje de concreto não é exposta ao calor. O valor adotado para o coeficiente de transferência de calor por convecção (αc) foi igual a 25 W/m2

ºC. A emissividade resultante (εres) fornecida ao ANSYS para os modelos 1 e 2 foi igual a 0,5. Para o modelo 3 adotou-se εres = 0,522.

3.5 Modelo 1 – Viga de aço sem revestimento

Os resultados da elevação de temperatura média da seção transversal da viga de perfil 180 UB 16, quando exposta ao incêndio-padrão por todos os lados podem ser vistos na figura 3a. Na mesma figura têm-se os resultados obtidos com o programa SAFIR apresentados em LEWIS (2000), para a mesma viga. Nota-se uma boa aproximação entre os resultados numéricos fornecidos pelo ANSYS e pelo SAFIR. Na figura 3b têm-se os resultados de temperatura média da seção transversal obtidos via simulação numérica com o ANSYS, e aqueles obtidos por meio dos



104

modelos simplificados de cálculo (equações) apresentados pela NBR 14323:1999 e pelo EUROCODE 3 – Part 1-2 (2005).

0

200

400

600

800

1000

0 10 20 30 40 50 60Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

) .

SAFIR_media

ANSYS_media,

0

200

400

600

800

1000

0 10 20 30 40 50 60Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

) .

ANSYS_mediaNBR14323EUROCODE 3NBR14323_ca_simp

,

(a) (b)

Figura 3 - (a) Curvas de temperatura média versus tempo para o perfil 180 UB 16, via ANSYS 9.0 e SAFIR e (b) Resultados obtidos via ANSYS (temperatura média da seção transversal) e

obtidos por meio de modelos simplificados de cálculo.

Na mesma figura é possível notar que os resultados obtidos com o modelo simplificado de cálculo da NBR 14323:1999 são os que melhor se aproximam daqueles obtidos via simulação numérica. Os resultados do modelo simplificado do EUROCODE 3 se mostram um pouco acima daqueles resultados obtidos via simulação numérica, porém, apenas durante os primeiros 15 minutos. A NBR 14323:1999 permite o emprego de um valor igual a 600 J/kgºC (constante) para o calor específico do aço, ca, no caso do emprego do modelo simplificado de cálculo. A curva obtida com o valor simplificado apresentou uma diferença máxima de aproximadamente 25 ºC quando comparado àquela obtida via simulação numérica, num curto trecho, para aproximadamente 20 min de exposição ao incêndio-padrão (ver figura 3b).

3.6 Modelo 2 – Viga de aço com revestimento contra fogo

Na figura 4a são apresentados os resultados com relação à elevação de temperatura média da seção transversal da viga em questão. Nesta mesma figura, têm-se a comparação com os resultados obtidos com o programa SAFIR, apresentados em LEWIS (2000). Nota-se, por meio da figura 5a, uma boa aproximação entre os resultados dos programas ANSYS e SAFIR. Na figura 4b tem-se a comparação entre os resultados obtidos via ANSYS com aqueles obtidos por meio de modelos simplificados. O modelo simplificado de cálculo proposto pela NBR 14323:1999, para elementos com revestimento contra fogo, é idêntico ao proposto pelo EUROCODE 3 – Part 1-2 (2005). Na mesma figura, são apresentados os resultados obtidos com a equação proposta no Projeto de Revisão da NBR 14323:1999 para elementos com revestimento contra fogo. Os resultados dos modelos simplificados apresentaram temperaturas superiores àquelas obtidas via simulação numérica durante quase todo o processo. Nota-se uma diferença muito pequena entre os resultados obtidos com a equação proposta pelo Projeto de Revisão da NBR 14323:1999, apresentada em SILVA



105

(1999), em relação à equação prescrita pela NBR 14323:1999 e pelo EUROCODE 3 – Part 1-2 (2005).

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

) .

SAFIR_media

ANSYS_media

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

) .

ANSYS_mediaNBR14323; EUROCODE 3pr_NBR14323

(a) (b)

Figure 4 - (a) Curva temperatura média versus tempo obtida para o perfil 530 UB 82 com revestimento contra fogo e os resultados do programa SAFIR. (b) Resultados obtidos: ANSYS

e modelos simplificados de cálculo.

3.7 Modelo 3 – Viga mista de aço e concreto sem revestimento

Na figura 5a têm-se os resultados de evolução de temperatura para uma viga mista de aço e concreto, cuja geometria foi descrita no item 3.3. A evolução de temperatura da alma (Alma), da mesa superior (MS) e da mesa inferior (MI), corresponde à temperatura obtida para os nós indicados na figura 2c. Na figura 5b, apresentam-se os resultados obtidos com o programa PFEM_2D, apresentados em SILVA (2002), para a mesma viga mista. Nota-se uma boa aproximação entre os resultados obtidos com os programas ANSYS e PFEM_2D. Na figura 5b tem-se a comparação entre os resultados obtidos via ANSYS e aqueles obtidos por meio de modelos simplificados de cálculo da NBR 14323:1999 e pelo EUROCODE 4 – Part 1-2 (2003).

0

200

400

600

800

1000

0 10 20 30 40 50 60Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

) .

ANSYS_MIPFEM_2D_MIANSYS_MSPFEM_2D_MSANSYS_AlmaPFEM_2D_Alma

0

200

400

600

800

1000

0 10 20 30 40 50 60Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

) .

ANSYS_MINBR14323_MIEUROCODE 4_MIANSYS_MSNBR14323_MSEUROCODE 4_MSANSYS_AlmaEUROCODE 4_Alma

(a) (b)

Figura 5 - (a) Curva temperatura versus tempo obtida para a viga mista sem revestimento contra fogo e os resultados do programa PFEM_2D. (b) Resultado obtido via ANSYS e os

obtidos por meio de modelos simplificados de cálculo.



106

Para alma, nota-se uma boa aproximação entre os resultados obtidos via ANSYS e aqueles obtidos com os modelos simplificados. Com relação à mesa superior, as temperaturas obtidas com os procedimentos normativos simplificados resultam superiores àquelas obtidas com simulação numérica via ANSYS. Com relação à mesa inferior, as temperaturas obtidas com os procedimentos normativos simplificados resultam inferiores àquelas obtidas com simulação numérica via ANSYS, em especial o EUROCODE 4, durante a fase inicial do aquecimento (até 25 minutos).

4 ESTUDO DE CASOS E RESULTADOS OBTIDOS

Nas tabelas 2 e 3 são descritas e esquematizadas as situações consideradas para fins de análise em temperaturas elevadas, para casos normativos e não normativos, respectivamente. Nestas tabelas estão indicados o tipo de elemento analisado e o esquema de exposição ao fogo a que foi submetido, considerando a elevação da temperatura dos gases de acordo com a curva de incêndio-padrão ISO 834. Para cada caso analisado, a elevação de temperatura é obtida considerando-se quatro perfis do tipo I previamente escolhidos, contemplando, com vistas a fatores de massividade, uma faixa entre 50 e 400 m-1, e cujas características são apresentadas na tabela 1. No caso de análise de chapa de aço (caso 2 da tabela 2) essa mesma pode ser idealizada com a mesa de um perfil I, e terá dimensões em conformidade com aquelas apresentadas na tabela 1. Tabela 1 - Perfis adotados para os casos analisados.

Perfil d (mm)

bf (mm)

tf (mm)

tw (mm) u (m) A

(cm2)u/A

(m-1) intervalo

W 150x13 148 100 4,9 4,3 0.67 16.6 404 - W 250x25,3 257 102 8,4 6,1 0.89 32.6 273 131 VS 400x78 400 200 19 6,3 1.59 98.8 161 112

CS 550x502 550 550 45 31,5 3.24 639.9 51 110 u – perímetro da seção; A – área da seção; u/A – fator de massividade

Para os modelos numéricos referentes aos casos 1, 2, 3 e 6 (tabela 2), com relação às geometrias das lajes de concreto (superpostas aos perfis) e das alvenarias, se considera para ambas uma espessura com valor igual a 10 cm e um comprimento com valor igual a três vezes a largura das mesas dos perfis. Nos demais casos, conforme tabelas 3, a alvenaria tem comprimento igual à largura da mesa do perfil. As propriedades térmicas do aço e do concreto e da alvenaria a serem consideradas nos modelos numéricos estão de acordo com as informações apresentadas em REGOBELLO (2007). Para as alvenarias, as propriedades térmicas correspondem àquelas de blocos cerâmicos de tijolo vazado.



107

4.1 Considerações sobre as condições de contorno e malha de elementos finitos

Seguindo a estratégia adotada em LEWIS (2000), em todos os modelos a emissividade resultante εres adotada tanto para o aço quanto para o concreto, bem como para a alvenaria e para os materiais de proteção, foi igual 0,5, lembrando que a NBR 14323:1999 menciona apenas o valor igual a 0,5 para a emissividade resultante do aço. Tabela 2 - Descrição e esquematização de casos normativos (NBR 14323:1999).

Denominação Descrição do Caso Esquematização

CASO 1 • Seção aberta exposta ao incêndio por três lados

CASO 2 • Chapa exposta ao incêndio por três lados

CASO 3 • Mesa de seção I exposta ao incêndio por três lados

CASO 4 • Seção I com reforço em caixão exposta ao incêndio por todos os lados

CASO 5 • Seção I com proteção tipo caixa, de espessura uniforme, exposta ao incêndio por todos os lados

CASO 6 • Seção I com proteção tipo caixa, de espessura uniforme exposta ao incêndio por três lados



108

O coeficiente de transferência de calor por convecção (αc) foi tomado igual a 25 W/m2 ºC, conforme prescrito pela NBR 14323:1999. A favor da segurança, a face da laje não exposta ao fogo foi aqui considerada como parede adiabática, exceto para os casos de estudo de 8 a 11, em que a troca de calor entre as superfícies não expostas ao incêndio e o meio é considerada por meio de um coeficiente αc igual a 9 W/m2 ºC, conforme recomendações prescritas pelo EUROCODE 1 (2002). Na discretização dos perfis de aço dos modelos numéricos procurou-se manter elementos finitos com tamanho máximo de 7 mm, o que implica numa malha suficientemente refinada. Como as lajes e alvenaria são elementos secundários nas análises aqui efetuadas procurou-se apenas compatibilizar as malhas na interface perfil-alvenaria e perfil-laje, não adotando uma malha tão rigorosa para essas partes do modelo, porém, com grau de discretização, apesar de simplificado, suficiente para a obtenção dos resultados de interesse do trabalho.



109

Tabela 3 - Descrição e esquematização dos casos não normativos (situações usuais).

Denominação Descrição do Caso Esquematização

CASO 7

• Viga I em contato com laje de concreto e alvenaria, exposta ao incêndio pelos dois lados da parede de alvenaria

CASO 8 • Pilar com mesas em contato com paredes de alvenaria, exposta ao incêndio pelos dois lados da parede de alvenaria

CASO 9 • Viga I em contato com laje de concreto e alvenaria, exposta ao incêndio em apenas um lado da parede de alvenaria

CASO 10

• Pilar com mesas em contato com paredes de alvenaria, exposta ao incêndio em apenas um lado da parede de alvenaria

CASO 11

• Pilar com alma em contato com paredes de alvenaria, exposta ao incêndio em apenas um lado da parede de alvenaria

São apresentados a seguir os resultados referentes aos casos de estudo 1 (normativo) e 10 (não-normativo). Maiores detalhes e resultados dos outros casos de estudo são apresentados em REGOBELLO (2007).



110

4.2 CASO 1 - Seção aberta e exposta ao incêndio por três lados

A figura 6 ilustra a malha de elementos finitos e o campo de temperaturas para um tempo (TRRF) de 60 minutos de exposição ao incêndio-padrão para o caso 1, considerando um perfil W 150x13 sobreposto por laje de concreto. Na figura 7 estão apresentados os resultados da elevação de temperatura obtidos via modelo numérico e por meio de procedimentos simplificados de cálculo da NBR 14323:1999 e do EUROCODE 3 (2005).

(a) (b)

Figura 6 - (a) Malha de elementos finitos e (b) Campo de temperaturas correspondente a um tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil W 150x13.

Caso 1 - W 150x13

0100200300400500600700800900

100011001200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp EurocodeMédia Mínima Máxima

Figura 7 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 1 considerando-se o

perfil W 150x13.



111

Com relação à norma NBR 14323:1999 será apresentada uma curva referente à consideração de um valor simplificado (constante) para o calor específico do aço igual a 600 J/(kgºC). Nas figuras 8 e 9 têm-se os resultados do estudo do caso 1 referentes ao perfil CS 550x502. Os resultados dos demais perfis da análise podem ser vistos em REGOBELLO (2007).

(a)

(b) Figura 8 - Caso 1: a) Malha de elementos finitos e b) Campo de temperaturas correspondente a

um tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil CS 550x502.

Caso 1 - CS 550x502

0100200300400500600700800900

100011001200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp EurocodeMédia Mínima Máxima

Figura 9 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 1 considerando-se o

perfil CS 550x502.



112

4.3 CASO 10 - Pilar com mesas em contato com paredes de alvenaria, exposta ao incêndio em apenas um lado da parede de alvenaria

Nesta situação, esquematizadas nas figuras 10 e 12, se considera a alvenaria como um caso efetivo de compartimentação, com o incêndio ocorrendo em apenas um lado da parede de alvenaria.

(a) (b)

Figura 10 - Caso 10: (a) Malha de elementos finitos e (b) Campo de temperaturas correspondente a um tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil W 150x13.

Caso 10 - W 150x13

0100200300400500600700800900

100011001200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp Média Mínima Máxima

Figura 11 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 10 considerando-se o perfil W 150x13.



113

A consideração da troca de calor com o meio nas superfícies não expostas do modelo é feita por meio da adoção de um coeficiente de transferência de calor por convecção igual a 9 W/m2 ºC. Com relação ao procedimento simplificado, no cálculo do fator de massividade considera-se o perímetro do perfil que não está em contato com a alvenaria ou com a laje de concreto, no lado da parede exposta ao fogo, e a área total da seção. Os resultados de interesse obtidos para o caso 10 são apresentados nas figuras 11 e 13, apenas para os perfis W 150x13 e CS 550x502. Os resultados dos demais perfis podem ser vistos em REGOBELLO 2007.

(a) (b)

Figura 12 - Caso 10: (a) Malha de elementos finitos e (b) Campo de temperaturas correspondente a um tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil CS 550x502.

Caso 10 - CS 550x502

0100200300400500600700800900

100011001200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Tempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp Média Mínima Máxima

Figura 13 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 10 considerando-se o perfil CS 550x502.



114

5 EFEITOS DA ELEVAÇÃO DE TEMPERATURA NA RESPOSTA ESTRUTURAL

Em REGOBELLO (2007) apresenta-se uma estratégia de modelagem para análises em que são considerados os efeitos da elevação de temperatura na resposta de um elemento estrutural de interesse, ou seja, uma análise acoplada termo-estrutural. Em estruturas em situação de incêndio, realiza-se uma análise acoplada quando, a partir de um campo de temperaturas obtido por meio de análise térmica, se determina os conseqüentes efeitos da elevação de temperatura na análise estrutural, seja de um elemento isolado ou de um sistema estrutural. Atualmente é de grande interesse a realização de análises acopladas em estruturas submetidas a altas temperaturas, em que se faz possível considerar efeitos mecânicos causadas pelas restrições axiais aos deslocamentos e os efeitos dos gradientes térmicos na seção, que podem ocasionar o surgimento de forças de compressão ou de tração nas vinculações bem como introduzir esforços adicionais de flexão. Para tanto, são apresentados resultados da análise numérica de vigas de aço pertencentes a um edifício (hipotético), com vistas a se obter o valor da resistência máxima à flexão de cada viga em função de elevação da temperatura. Como suporte para fins de validação, são paralelamente utilizados resultados de análises térmicas e de fatores de redução de resistência, obtidos com o TCD v5.0 cedidos por Valdir Pignatta e Silva, atualmente professor Doutor da Escola Politécnica da USP.

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho foi estabelecido como objetivo principal estudar, em caráter essencialmente numérico, a elevação de temperatura em seções transversais de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto, com vistas a uma avaliação das equações propostas pelo método simplificado de cálculo, para a determinação da temperatura, prescritas pela NBR 14323:1999. Com base nos resultados obtidos para os casos normativos estudados, referentes à tabela 6.2, é possível estabelecer, ainda que em caráter preliminar, os seguintes aspectos: a-) A determinação dos níveis de temperatura em seções transversais de elementos estruturais correntes, obtidas com base nas prescrições normativas da NBR 14323:1999, conduzem a resultados satisfatórios, porém, com temperaturas próximas às temperaturas máximas obtidas numericamente, principalmente para os casos em que a espessura das chapas pode ser entendida como considerável, se comparada àquelas espessuras de chapas usualmente empregadas na prática das construções correntes; b-) A consideração apresentada no item (a) permite estabelecer, apenas como sugestão para fins de ajuste dos fatores de massividade, a aplicação de um coeficiente de redução para tal parâmetro que seja função da espessura das chapas que constituem o perfil, de modo a estabelecer uma maior aproximação entre valores normativos e numéricos. Pode-se, eventualmente, ser admitida a possibilidade de que valores normativos fiquem situados entre os valores de temperaturas máxima e média identificadas nos processamentos; c-) No entanto, para os itens (a) e (b), a utilização de um coeficiente de redução em função da espessura das chapas deverá ser aplicado ao fator de massividade, desde que ocorra uma validação da necessidade deste por meio de



115

análise experimental em elementos estruturais ou, eventualmente, em sistemas estruturais em incêndio. Com base nos resultados obtidos para os casos não-normativos estudados, referentes à tabela 6.3, chama-se atenção para os seguintes aspectos: a-) Quanto à análise térmica, a determinação dos níveis de temperatura em seções transversais de elementos estruturais correntes, obtidas com base nas adaptações das prescrições normativas da NBR 14323:1999 adotadas neste trabalho, evidenciam a necessidade da aplicação de modelos avançados de cálculo para tais situações ou estudos com vistas à obtenção de procedimentos simplificados mais adequados para estes casos, em razão de significativas diferenças entre temperaturas máximas e mínimas, obtidas numericamente; b-) As diferenças significativas entre temperaturas máximas e mínimas nas seções transversais para as situações da tabela 6.3, evidenciam a presença de gradientes térmicos que devem avaliados cuidadosamente quanto a possibilidade da introdução de efeitos nocivos na análise estrutural. Tal aspecto deve ser objeto de estudo futuro.

7 AGRADECIMENTOS

Agradecemos ao CNPq e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

8 REFERÊNCIAS

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VILA REAL, P. (2003). Incêndio em Estruturas Metálicas – Cálculo Estrutural. Edições Orion, Mafra.

WANG, Y. C. (2002). Steel and Composite Structures - Behaviour and Design for Fire Safety. London: Spon Press.

ISSN 1809-5860


SOBRE A FORMULAÇÃO DE UM MODELO DE DANO PARA O CONCRETO

José Julio de Cerqueira Pituba1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

R e s u m o

Este trabalho trata da formulação de leis constitutivas para meios elásticos, que uma vez danificados passam a apresentar diferentes comportamentos em tração e em compressão e certo grau de anisotropia. Inicialmente é apresentada a extensão de uma formulação para meios elásticos anisótropos e bimodulares que incorpora os casos de meios elásticos com anisotropia e bimodularidade induzidas pelo dano. Seguindo os conceitos da Mecânica do Dano Contínuo e a extensão mencionada da formulação, propõe-se um modelo constitutivo para o concreto assumindo por hipótese fundamental, a equivalência de energia entre meio danificado real e meio contínuo equivalente. Tal hipótese garante a simetria do tensor constitutivo e a sua consistência termodinâmica. De acordo com o modelo proposto, o material é considerado como um meio elástico inicialmente isótropo que passa a apresentar anisotropia induzida pela evolução do dano. Além disso, a danificação pode também induzir uma resposta bimodular no material, isto é, respostas elásticas diferentes para estados de tensão de tração ou de compressão predominantes. Nesse sentido, dois tensores de dano governando as rigidezes em regimes predominantes de tração ou de compressão são introduzidos. Sugere-se então, um critério afim de caracterizar os estados dominantes. As deformações permanentes induzidas pelo dano são, de uma forma geral, desconsideradas. No entanto, propõe-se uma versão unidimensional do modelo que permite a sua consideração. Por outro lado, os critérios para a ativação inicial dos processos de danificação e de sua posterior evolução são escritos em termos de densidade de energia de deformação. Os parâmetros do modelo podem ser identificados mediante experimentos, onde estados de tensão uniaxial e biaxial são induzidos. Também propõem-se leis de evolução de dano com base nos resultados experimentais. A boa coerência do modelo é ilustrada comparando-se uma série de respostas experimentais e numéricas no concreto relativas a estados de tensão uni, bi e triaxiais. Por fim, o modelo é empregado em análises unidimensionais e planas de vigas e pórtico em concreto armado com o objetivo de mostrar a sua potencialidade. Palavras-chave: modelos constitutivos; concreto; mecânica do dano.

1 Professor do Departamento de Engenharia Civil-CAC/UFG, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

José Julio de Cerqueira Pituba & Sergio Persival Baroncini Proença


118

1 INTRODUÇÃO

Muitos materiais compósitos, reforçados com fibras, apresentam-se claramente como meios anisótropos e bimodulares [JONES (1977)]. Já compósitos frágeis, como o concreto, pertencem a uma categoria de materiais que podem ser considerados inicialmente isótropos e unimodulares, porém, quando danificados passam a exibir anisotropia e diferentes rigidezes em tração e em compressão [MAZARS et all (1990)]. Dentro do regime de pequenas deformações, a formulação de leis constitutivas para materiais com isotropia ou anisotropia elástica que apresentam diferentes comportamentos em tração e em compressão é apresentada por CURNIER et all (1995), estendendo tais características para os casos bi e tridimensional. A proposta dessa formulação consiste em admitir para a modelagem de um material hiperelástico bimodular, que a densidade de energia potencial elástica deva ser uma vez diferenciável continuamente (em qualquer ponto) porém diferenciável duas vezes continuamente apenas por partes. A relação tensão-deformação derivada de tal potencial tem continuidade (em qualquer ponto) e apresenta um tensor de elasticidade descontínuo em relação a uma hipersuperfície que contém a origem e que divide o espaço das deformações em regiões de tração e de compressão; nessas condições torna-se possível reproduzir uma resposta bimodular.

A formulação que se propõe neste trabalho pretende introduzir no desenvolvimento de CURNIER et all (1995) as condições que permitam levar em conta a danificação. Dessa formulação origina-se um modelo constitutivo para o concreto que pode então ser simulado como um meio contínuo inicialmente isótropo com anisotropia induzida pelo dano. A classe de anisotropia induzida, adotada no modelo, decorre do pressuposto que localmente o concreto solicitado apresenta sempre uma distribuição de danificação com orientação bem definida. Essa suposição, aliás, está justificada na observação do comportamento do material em ensaios experimentais [WILLAM et all (1988), KUPFER et all (1969) e VAN MIER (1984)]. Em outras palavras, considera-se que a danificação orientada é responsável pela mudança de característica do material, passando de um meio inicialmente isótropo para um meio com isotropia transversal.

Outro aspecto importante da formulação do modelo é o caráter bimodular adquirido pelo concreto danificado. Isso é possível pela definição de dois tensores de dano, um para estados predominantes de tração e um outro para compressão.

O texto que segue é composto por cinco seções. Na seção 2, discute-se a generalização da formulação de CURNIER et all (1995) para incorporar a danificação do material. Na seção 3 apresenta-se a proposta de um modelo de dano onde alguns de seus aspectos complementares são abordados. Nas seções 4 e 5 apresentam-se alguns resultados numéricos do emprego do modelo proposto. Na última seção são apresentadas as conclusões deste trabalho.

Sobre a formulação de um modelo de dano para o concreto


119

2 PROPOSTA DE FORMULAÇÃO PARA MEIOS ELÁSTICOS ANISÓTROPOS COM DANIFICAÇÃO E RESPOSTA BIMODULAR

Esta proposta de formulação visa estender os modelos de elasticidade linear em meios anisótropos bimodulares postulados por CURNIER et all (1995), de modo a se levar em conta a danificação nesses meios. Propõe-se que os coeficientes ditos volumétricos λab e de cisalhamento μa passem a ser funções de variáveis de danificação, sendo assim a lei tensão-deformação passa a sofrer a influência das variáveis de dano. Como o critério para a identificação das respostas constitutivas de compressão ou de tração, hipersuperfície separadora g(ε,Di), é função das componentes de deformação, este critério é então influenciado pelas variáveis de dano.

Outra observação pertinente é sobre a introdução de variáveis associadas ao dano, que podem ser interpretadas como taxas de energia liberadas durante o processo de evolução do dano. Tais variáveis podem ser empregadas na definição dos critérios que identificam o início e a evolução da danificação e que são necessários para a complementação da formulação, conforme será discutido mais adiante.

A expressão para a função de energia, válida para casos gerais de anisotropia, é escrita na seguinte forma:

2))(g,D(

)),(g,D(W iabi

ελ=εε tr(Aaε)tr(Abε) )D( iaμ+ tr(Aaε2) (a, b =1, d) (1)

onde o sub-índice i pode assumir valores de 1 até o número de variáveis escalares de dano que os modelos venham a considerar, sendo ainda d = 1 para isotropia (envolvendo as duas constantes de Lamè), d = 2 para isotropia transversal (5 constantes) e d = 3 para ortotropia (9 constantes). Os tensores Aa e Ab são: (A1 = I) para materiais isótropos, (A1 = I, A2 = A) para materiais com isotropia transversal e (A1 = I, A2 = A, A3 = B) para materiais ortótropos.

Considere-se neste momento que o material comporta-se inicialmente como um meio isótropo com iguais rigidezes em tração e em compressão; com o surgimento e a evolução da danificação, o material passa a apresentar um comportamento bimodular com anisotropia. Admitindo-se, pois, uma situação genérica em que o meio já apresente um certo nível de dano, que gerou um estado de isotropia transversal, as relações derivadas do potencial elástico passam a ser dadas pelas seguintes relações:

W (Di,g(ε,Di),ε)=211λ tr2(ε)+μ1tr(ε2)-

2))D,(g,D( ii22 ελ tr2 (Aε)-

))D,(g,D( ii12 ελ tr(ε)tr(Aε)-μ2(Di)tr(Aε2) (2)

σ(Di,g(ε,Di),ε)= λ 11tr(ε)I+2μ1ε- ))D,(g,D( ii22 ελ tr(Aε)A-))D,(g,D( ii12 ελ [tr(ε)A+tr(Aε)I]-μ2(Di)[Aε+εAT] (3)



120

E (Di,g(ε,Di),ε) = E0 - ))D,(g,D( ii22 ελ [A⊗A] - ))D,(g,D( ii12 ελ [A⊗I+ I⊗A]-μ2(Di) [A ⊗ I+I ⊗ A] (4)

As variáveis associadas ao dano são obtidas da variação da função de energia (Eq. (1)) em relação ao incremento dos processos de danificação. Portanto,

Y(Di,g(ε,Di),ε)=∇DW=i

ii22

i D))D,(g,D(

21

DW

∂∂

−=∂∂ ελ

tr2(Aε)i

ii12D

))D,(g,D(∂

∂−

ελtr(ε)tr(A

ε)i

i2D

)D(∂

∂−

μtr(Aε2) (5)

sendo λ11= λ 0 e μ1=μ0 as constantes de Lamè e E0 o tensor de rigidez elástica isótropo.

O caráter bimodular é levado em conta pelas seguintes condições:

⎜⎜⎝

⎛= +

−

)D()D(:))D,(g,D(

i12

i12ii12

λλ

ελ sese

0)D,(g0)D,(g

i

i

><

εε

;

⎜⎜⎝

⎛= +

−

)D()D(:))D,(g,D(

i22

i22ii22

λλ

ελ sese

0)D,(g0)D,(g

i

i

><

εε

(6)

Observa-se ainda que para valores nulos das variáveis de dano todos os coeficientes dependentes delas se anulam e o material tem um comportamento de meio isótropo. Além disso, nessas condições o meio exibe uma característica unimodular. Vale ressaltar que as condições de salto tangencial nulo do tensor constitutivo devem também ser obedecidas aqui. Com isso os coeficientes de cisalhamento μa devem ser iguais em tração e em compressão.

A escolha das variáveis de dano e da classe de anisotropia consideradas num modelo depende do material que se deseja simular. Nesse sentido, é importante observar que a danificação influencia também a forma de variação dos tensores de quarta de ordem [ ba AA ⊗ ] e [ aa AIIA ⊗+⊗ ].

Observa-se que a formulação proposta pode ser empregada tanto para materiais elásticos danificados possuindo anisotropia e caráter bimodular iniciais, como para materiais elásticos danificados com anisotropia e bimodularidade induzidas pelo dano. Neste último caso, a inserção das variáveis de dano na formulação é feita de modo criterioso para gerar um certo grau de anisotropia do material, assim como para induzir o surgimento do caráter bimodular.

3 PROPOSTA DE MODELO PARA O CONCRETO

O concreto é aqui entendido como um material que pertence à categoria dos meios inicialmente isótropos que passam a apresentar isotropia transversal e resposta



121

bimodular induzidas pelo dano. A formulação do modelo para o concreto tem por base o formalismo apresentado no item anterior e, além disso, procura atender ao princípio de equivalência de energia entre meio real danificado e meio contínuo equivalente estabelecido na Mecânica do Dano [LEMAITRE (1996)]. Dessa forma, os tensores constitutivos de rigidez e de flexibilidade do meio contínuo equivalente resultam simétricos.

Observa-se que formas gerais que permitem contemplar a anisotropia induzida pela danificação podem ser consideradas na definição do tensor de dano de quarta ordem D. Neste trabalho para a definição de D, opta-se por uma forma dita de dano escalar dada por: D = fj(Di) Mj, onde fj(Di) são funções de valor escalar das variáveis escalares de dano escolhidas e Mj são tensores de anisotropia. No caso deste modelo, adotam-se para Mj tensores que permitem representar a isotropia transversal.

Tendo-se em vista o caráter bimodular gerado pela danificação, é interessante definir dois tensores de dano, um para estados predominantes de tração e um outro para estados predominantes de compressão.

Para estados predominantes de tração, propõe-se o seguinte tensor de dano escalar:

DT = f1(D1, D4, D5) )( AA ⊗ + 2 f2(D4, D5) )]()[( AAAIIA ⊗−⊗+⊗ (7)

sendo f1(D1, D4, D5) = D1 – 2 f2(D4, D5) e f2(D4, D5) = 1 – (1-D4) (1-D5).

O tensor de dano apresenta duas variáveis escalares na sua composição (D1 e D4) e uma terceira variável de dano D5, ativada somente se tiver havido compressão prévia com danificação correspondente. A variável D1 representa a danificação na direção perpendicular ao plano local de isotropia transversal do material e D4 é a variável representativa da danificação gerada pelo cisalhamento entre as bordas das fissuras pertencentes àquele plano.

Na Eq. (7), o tensor I é o tensor identidade de segunda ordem e o tensor A é, por definição, CURNIER et all (1995), formado pelo produto tensorial do versor perpendicular ao plano de isotropia transversal por ele mesmo.

Para estados predominantes de compressão, propõe-se para o tensor de dano a seguinte relação:

DC=f1(D2,D4,D5) )( AA ⊗ +f2(D3) )]()[( AAII ⊗−⊗

+2f3(D4,D5) )]()[( AAAIIA ⊗−⊗+⊗ (8)

sendo f1(D2, D4, D5) = D2 – 2 f3(D4, D5) ,f2(D3) = D3 e f3(D4, D5)= 1 – (1-D4) (1-D5).

Notam-se três variáveis escalares na sua composição: D2, D3 e D5, além de D4, relacionada a efeitos de tração pré-existentes. A variável D2 (danificação perpendicular ao plano local de isotropia transversal do material) penaliza o módulo de elasticidade nessa direção, e juntamente com D3 (representante da danificação no plano de isotropia transversal) penaliza o coeficiente de Poisson em planos perpendiculares ao de isotropia transversal. Observa-se que, com a forma descrita, é possível capturar a danificação dos módulos de cisalhamento e ao mesmo tempo atender à hipótese de salto tangencial nulo do tensor constitutivo.



122

É possível mostrar que as formas adotadas para DT e DC atendem ao princípio de equivalência de energia no sentido de que proporcionam um tensor de rigidez simétrico. Finalmente, os tensores constitutivos resultantes são descritos por:

=TE ][2][ 111 IIII ⊗μ+⊗λ )D,D,D( 54122+λ− ][ AA ⊗ )D( 112

+λ− [A⊗I+I⊗A]

)D,D( 542μ− ][ AIIA ⊗+⊗ (9)

=CE ][2][ 111 IIII ⊗μ+⊗λ )D,D,D,D( 543222−λ− ][ AA ⊗ ),( 3212 DD−λ− [A⊗I+I⊗A]

)D( 311−λ− [I⊗I]- )D(

)21(311

0

0 −λν

ν−[I ⊗ I] ),( 542 DDμ− ][ AIIA ⊗+⊗ (10)

onde 011 λ=λ e 01 μ=μ . Os outros parâmetros só existem para dano não-nulo, evidenciando dessa forma a anisotropia e bimodularidade induzidas pelo dano, e são definidos por:

)D,D(2)D(2)DD2)(2()D,D,D( 5421122110054122 μ−λ−−μ+λ=λ ++

10112 D)D( λ=λ+ ; ])D1()D1(1[2)D,D( 25

240542 −−−μ=μ

)D,D(2)DD2)(2()D,D,D,D( 321222200543222

−− λ−−μ+λ=λ

)D,D(2)D()1(

5423110

0 μ−λν

−ν+ − (11)

)]D1)(D1()D1[()D,D( 322

303212 −−−−λ=λ− ; )DD2()D( 2330311 −λ=λ−

Numa interpretação puramente matricial, os diferentes produtos tensoriais das Eqs. (9) e (10) possuem a função de alocar as constantes que os multiplicam em determinadas posições nos tensores de rigidez (ver Apêndice).

3.1 Critério para a divisão do espaço das deformações

Em CURNIER et all (1995) define-se uma hipersuperfície, no espaço das tensões ou das deformações, a ser empregada como critério para a identificação das respostas constitutivas de compressão ou de tração. Neste trabalho adota-se uma forma particular para a hipersuperfície no espaço das deformações: um hiperplano g (ε), caracterizado por sua normal unitária N (||N|| = 1).

Este critério é ainda estendido de modo que o estado de dano existente passe a ter influência sobre a definição do hiperplano. Por simplificação, restringindo-se o estudo ao caso em que o sistema local de referência adotado para o material é aquele obtido impondo-se a direção 1 como sendo perpendicular ao plano local de isotropia



123

transversal, e em correspondência aos casos mais gerais de solicitação propõe-se para o hiperplano a seguinte relação:

g(ε,DT,DC) = N(DT,DC) . εe = γ1(D1,D2) eVε + γ2(D1,D2) e

11ε (12)

onde γ1(D1,D2) = {1+H(D2)[H(D1)-1]}η(D1)+{1+H(D1)[H(D2)-1]}η(D2) e γ2(D1,D2) = D1+D2.

As funções de Heaveside empregadas na última relação são dadas por:

H(Di) = 1 para Di > 0; H(Di) = 0 para Di = 0 (i = 1, 2) (13)

As funções η(D1) e η(D2) são definidas, respectivamente, para os casos de tração, supondo que não tenha danificação prévia de compressão, e de compressão, supondo que não tenha havido danificação prévia de tração.

η (D1) = 3

2−3+− 211 DD

; η (D2) = 3

2−3+− 222 DD

(14)

3.2 Critérios e leis de evolução de danificação

Como visto, na formulação do modelo a danificação induz anisotropia no concreto. Sendo, portanto, conveniente separar os critérios de danificação em: critério para início de danificação, quando o material deixa de ser isótropo; e critério para carga e descarga, entendido aqui num sentido de evolução ou não das variáveis de dano, quando o material já apresentar-se como transversalmente isótropo. Sugere-se como critério para identificação de início da danificação a comparação entre a energia de deformação elástica complementar ∗

eW , calculada localmente considerando-se o meio inicialmente íntegro, isótropo e puramente elástico, e um certo valor de referência Y0T, ou Y0C, obtido de ensaios uniaxiais de tração, ou de compressão, respectivamente.

O critério para ativação inicial de processos de danificação em tração ou compressão é dado por:

fT,C(σ) = ∗eW - Y0T,0C < 0 (15)

então 0DT = (ou seja, 0DD 41 == ) para estados predominantes de tração ou 0DC = (ou seja, 0DDD 532 === ) para estados de compressão, onde o regime de

resposta do material é elástico linear e isótropo.

Os valores de referência Y0T e Y0C são parâmetros do modelo definidos pelas seguintes expressões:

0

2T0

T0 E2Y

σ= ;

0

2C0

C0 E2Y σ

= (16)



124

onde T0σ e C0σ são as tensões dos limites elásticos determinados em regimes uniaxiais de tração e de compressão.

É importante notar que o meio danificado apresenta um plano de isotropia transversal em correspondência ao nível atual de dano. No que segue, por conveniência, admite-se que seja conhecido o plano de isotropia transversal e que tenha sido adotado um sistema de coordenadas locais tal que a direção 1 seja perpendicular àquele plano.

A energia elástica complementar do meio danificado expressa-se segundo formas diferentes, dependendo se os estados de deformação predominantes são de tração ou de compressão. Para o caso de estados predominantes de tração (g(ε,DT,DC) > 0) vale a relação:

0

33220

10

3322110

0

233

222

210

211

e E)D1(E)(

E2)(

)D1(E2W σσν

−−

σ+σσν−

σ+σ+

−

σ=+

∗

0

2230

25

240

213

2120

E)1(

)D1()D1(E))(1( σν+

+−−

σ+σν++ (17)

Por outro lado, para estados predominantes de compressão (g(ε,DT,DC) < 0), a energia elástica complementar para um material com isotropia transversal induzida pelo dano é expressa por:

230

33220

320

33221102

30

233

222

220

211

e )D1(E)D1)(D1(E)(

)D1(E2)(

)D1(E2W

−

σσν−

−−σ+σσν

−−

σ+σ+

−

σ=−

∗

0

2230

25

240

213

2120

E)1(

)D1()D1(E))(1( σν+

+−−

σ+σν++ (18)

Considerando-se, então, uma situação geral de meio danificado em regime predominante de tração, o critério para a identificação de acréscimos de danificação é representado pela seguinte relação:

fT(σ) = 0YW T0e ≤− ∗+

∗ (19)

onde o valor de referência ∗0TY é definido pela máxima energia elástica complementar

determinada ao longo do processo de danificação até o estado atual, isto é:

∗T0Y = MAX ( ∗

T0Y , +∗eW ) (20)

Para o meio danificado em regime predominante de compressão, valem relações análogas ao caso de tração.

Nos casos onde configura-se carregamento, isto é, onde 0DT ≠& ou 0DC ≠& , é necessário atualizar os valores das variáveis escalares de dano que aparecem nos tensores DT e DC, considerando-se suas leis de evolução.



125

De um modo geral, nota-se que as relações que definem as variáveis associadas podem ser representadas por:

YT,C = F(σ, E0, DT,C) (21)

Também usando de uma representação implícita, as leis de evolução das variáveis de dano podem ser dadas por:

=CTD ,& F*(YT,C, bT,C) (22)

onde bT,C são conjuntos de parâmetros contidos nas leis de evolução de DT ou DC. Observa-se que para situações de carregamento monotônico crescente, as Eqs. (22) podem ser integradas diretamente. Entretanto, as relações para YT,C e DT,C formam um sistema implícito. A solução do sistema pode ser obtida por meio de um procedimento iterativo.

Limitando-se a análise ao caso de carregamento monotônico crescente, as leis de evolução propostas para as variáveis escalares de dano são resultantes de ajustes sobre resultados experimentais e apresentam características similares àquelas encontradas nos trabalhos de MAZARS (1984) e LA BORDERIE (1991). A forma geral proposta é:

[ ])YY(BexpAA1

1Di0iii

ii −+

+−= com i = 1, 5 (23)

onde Ai, Bi e Y0i são parâmetros a serem identificados. Os parâmetros Y0i são entendidos como limites iniciais para a ativação da danificação, os mesmos utilizados na Eq. (15).

3.3 Critério para a definição do plano local de isotropia transversal do material

Inicialmente estabelece-se um critério geral para a existência do plano de isotropia transversal. Propõe-se, neste trabalho, que a isotropia transversal decorrente da danificação se manifesta somente se existirem taxas positivas de deformação, ao menos em uma das direções principais. Estabelecido o critério geral para existência do plano, definem-se algumas regras para identificar sua localização. Imaginando-se, em primeiro lugar, um estado de deformação em que uma das taxas de deformação é não-nula ou de sinal contrário às demais, aplica-se a seguinte regra:

“No espaço das deformações principais, se duas das três taxas de deformação forem de alongamento, de encurtamento ou nulas, o plano definido por elas será o plano local de isotropia transversal do material.”

Nesse caso enquadra-se, por exemplo, a tração uniaxial; resultando que o plano de isotropia transversal é perpendicular à direção da tensão de tração.

Há casos não abrangidos por essa regra. Por exemplo, o estado de deformação plana em que as deformações não-nulas são de sinais contrários. Com a



126

primeira regra proposta torna-se impossível identificar o plano local de isotropia transversal do material. Para essa situação, vale uma segunda regra:

“Num estado de deformação plana, onde as taxas de deformação principal no plano tenham sinais contrários, o plano local de isotropia transversal do material fica definido pelas direções da deformação principal permanentemente nula e da deformação cuja taxa seja positiva.”

Um outro caso particular ocorre quando todas as taxas de deformação principal são positivas. Para esses estados vale uma terceira regra, segundo a qual assume-se que a direção de maior alongamento seja perpendicular ao plano local de isotropia transversal do material.

3.4 Proposta de modelo de dano com deformações anelásticas – versão uniaxial

Observações experimentais indicam que as deformações permanentes não são desprezíveis nas situações de descarregamento. Alguns modelos de dano levam em conta na sua formulação tais deformações associando-as exclusivamente ao fenômeno da danificação. Neste contexto, pode-se citar os modelos propostos por COMI (2000), PAPA & TALIERCIO (1996), RAMTANI (1990), entre outros.

Dentro da formulação do modelo proposto neste trabalho, admite-se que as deformações permanentes surgem após o início da danificação, limitando-se a proposta apenas aos casos uniaxiais.

Admitindo-se, por simplificação, que as deformações plásticas são compostas exclusivamente por deformações volumétricas, nos moldes de alguns modelos contidos na literatura [RAMTANI et all (1992)], e ainda levando-se em conta o efeito unilateral, a lei de evolução para as deformações plásticas resulta:

=εp&( ) ( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

β+

−

β22

2

C12

1

T DD1

DD1

&& I (24)

Observa-se que nesta proposta, βT e βC são parâmetros diretamente relacionados às evoluções das deformações plásticas induzidas pelo dano em tração e em compressão, respectivamente.

4 RESULTADOS NUMÉRICOS DA CALIBRAÇÃO

O primeiro exemplo trata de um ensaio tração uniaxial de um corpo de prova de concreto (E0 = 15600 MPa e ν0 = 0.2). Os resultados experimentais foram apresentados por MAZARS et all (1990) num ensaio denominado PIED (“Pour Identifier L’Endommagement Diffus”). Os parâmetros do modelo foram obtidos por calibração da curva tensão normal contra deformação na direção da força aplicada, resultando em: A1 = 70, B1 = 22110 MPa-1 e Y01 = 1.5 x 10-5 MPa.



127

Na Figura 1 a resposta numérica fornecida pelo modelo proposto é comparada com a resposta experimental do ensaio PIED. Observa-se que as deformações transversais ilustradas (direções 2 e 3) correspondem apenas aos resultados obtidos com os parâmetros identificados, não havendo registro experimental para confronto.

σ11 (MPa)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.00005 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003ε22 = ε33 (strain) ε11 (strain)

Experimental -MAZARS et all (1990)Modelo

Figura 1 - Simulação do teste de tração uniaxial: resultados experimentais e numéricos.

Pelos resultados, nota-se que o conjunto de parâmetros identificados para o modelo permite reproduzir bastante bem os dados experimentais. Quanto às deformações transversais previstas pelo modelo, um bom indicativo é que elas estão em correspondência com a forma descrita em WILLAM et all (1988).

O modelo também foi empregado na simulação de ensaios biaxiais e uniaxiais de tensão realizados por KUPFER et all (1969) em espécimes de concreto. O módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson utilizados na simulação numérica foram: E0 = 31850 MPa, ν0 = 0.2. Chama-se a atenção para o fato de que em casos mais complexos de tensão, a calibração do conjunto de parâmetros que aparecem nas leis de evolução das variáveis de dano envolvidas exige ensaios uniaxiais e biaxiais. Em particular, os parâmetros relativos às variáveis D1 e D2 foram determinados por ensaios uniaxiais de tração e de compressão, respectivamente: A1 = 69.4, B1 = 9500 MPa-1, Y01 = 0.8 x 10-4 MPa, A2 = -0.80, B2 = 0.90 MPa-1 e Y02 = 0.2 x 10-2 MPa.

Já os parâmetros relativos a D3 foram obtidos do ensaio de compressão biaxial (σ11 = σ22), através da calibração das curvas experimentais tensão-deformação nas direções 1 e 2. Os parâmetros obtidos foram: A3 = -0.60, B3 = 1.305 MPa-1 e Y03 = Y02 = 0.2 x 10-2 MPa.

A Figura 2a mostra a comparação entre as curvas experimentais tensão-deformação e as curvas obtidas com o modelo proposto para testes de compressão uniaxial e biaxial com diferentes níveis de solicitação. Vale ressaltar que as outras combinações de solicitação, por exemplo, compressão biaxial σ22 = 0.52 σ11, compressão-tração, foram simuladas com os parâmetros Ai , Bi e Y0i acima descritos. Observa-se uma boa concordância entre resultados experimentais e numéricos nas curvas que envolvem as deformações diretas, de compressão nos casos analisados. Porém, os resultados das deformações transversais, ou de tração, subestimam a ductilidade observada experimentalmente. Isso se deve ao fato que na região próxima à tensão de pico, as deformações residuais passam a desempenhar um papel importante no comportamento do concreto. Um outro resultado de interesse é o domínio de ruptura (Fig. 2b), caracterizado pelos picos de tensão, obtido



128

numericamente em correspondência a solicitações uniaxiais e biaxiais. Pode-se observar que o modelo consegue prever o domínio de ruptura satisfatoriamente.

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-0.005-0.004-0.003-0.002-0.00100.0010.0020.0030.0040.005

ε > 0 ε< 0

σ11(MPa)

Experimental- n=0Modelo - n=0Experimental - n=1Modelo - n=1Experimental - n=0.52Modelo - n=0.52

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

-50 -40 -30 -20 -10 0 10

σ11(MPa)

σ22(MPa)

Experimental - KUPFER etall (1969)Modelo

Figura 2 - Simulação de testes uniaxiais e biaxiais: a) resultados experimentais e numéricos b) domínio de falha biaxial.

Considera-se agora a aplicação do modelo na simulação numérica de um ensaio realizado por VAN MIER (1984), em corpo de prova de concreto (E0 = 23250 MPa e ν0 = 0.2) submetido a uma compressão triaxial segundo a relação σ11 < 0; σ22 = 0.10 σ11; σ33 = 0.05σ11 (Fig. 3). Como a resposta experimental em compressão uniaxial e biaxial deste concreto não é conhecida, optou-se por fazer a calibração dos parâmetros do modelo através da curva experimental tensão-deformação na direção 1. A obtenção dos parâmetros relativos às variáveis de dano D2 e D3 resulta em: A2 = -0.80, B2 = 0.15 MPa-1, A3 = -0.60, B3 = 1.305 MPa-1 e Y02 = Y03 = 0.2 x 10-2 MPa.

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0-0.03-0.02-0.0100.010.020.03

σ11 (MPa) Experimental -VAN MIER (1984)Modelo

Figura 3 - Simulação de teste de compressão triaxial: resultados experimentais e numéricos.

Observa-se na curva σ11 x ε11 uma boa concordância entre os resultados experimentais e numéricos. Porém, os resultados das deformações transversais, mais uma vez não conseguem reproduzir a evidente ductilidade experimental. Contudo, o modelo é capaz de simular de modo bastante razoável o comportamento experimental até a tensão máxima.

A versão uniaxial do modelo considerando-se deformações anelásticas foi empregada na simulação do ensaio uniaxial de compressão realizado por KUPFER et

σ

nσ

ε22 ε33

ε22 ε33 ε11 x 10-3

a) b)



129

all (1969). Os parâmetros do modelo foram obtidos pela calibração da curva tensão-deformação experimental, resultando em: A2 = 0,70, B2 = 5,50 MPa-1, Y02 = 2,0 x 10-3 MPa e βC = 1,58 x 10-3. A Figura 4 evidencia que a incorporação das deformações plásticas melhora significativamente a captura das deformações transversais. Além disso, o modelo prevê corretamente a inversão no sentido da deformação volumétrica.

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-0.004-0.003-0.002-0.00100.0010.002

ε22=ε33 (strain) ε11 (strain)

σ11 (MPa)

Experimental

Modelo

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-0.0025-0.002-0.0015-0.001-0.000500.00050.001

εvol (strain)

σ11 (MPa)

Experimental

Modelo - sem def. plásticas

Modelo - com def. plásticas

Figura 4 - Simulação do teste de compressão uniaxial: resultados experimentais e numéricos.

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

5.1 Análises unidimensionais

As versões unidimensionais dos modelos de dano de MAZARS (1984), LA BORDERIE (1991) e do modelo proposto, foram implementadas num programa para análise de estruturas de barras discretizadas com elementos finitos estratificados em camadas (EFICoS – “Eléments Finis à Couches Superposées”).

São assumidas, como hipóteses de cálculo, a negligência de deformações por distorção. Para o concreto valem os modelos de danificação em estudo, e para as barras de aço longitudinais admite-se um comportamento elasto-plástico.

Na seção transversal em concreto armado discretizada, uma certa camada pode conter aço e concreto. Admitindo-se perfeita aderência entre os materiais, definem-se, para a camada em questão, um módulo elástico e uma deformação anelástica equivalentes, utilizando-se de regra de homogeneização.

5.1.1 Vigas em concreto armado

Na confecção das vigas foi utilizado um concreto com Ec = 29200 MPa. Para o aço das armaduras adotou-se Ea = 196000 MPa e tensão de escoamento de 420 MPa, admitindo-se um comportamento elasto-plástico perfeito. O coeficiente de Poisson adotado foi de 0,20. Maiores detalhes sobre a resposta experimental de cada tipo de viga, colhida a partir de provas realizadas com controle de carga, encontram-se em ÁLVARES (1993). Na Figura 5 são fornecidos os detalhes de geometria e armação das vigas.



130

P P

300

300 300

300

270 270

270

90 90

90

120 120

120

30

3030

3#105#10

7#10

# 5

2#5

# 5

2#5

# 5

2#5

100 100800800800240

Dimensões em mm

deslocamento

Figura 5 - Geometria e armação das vigas.

Os parâmetros de compressão de todos os modelos empregados na análise numérica foram identificados a partir das medidas de ensaios experimentais em corpos de prova submetidos à compressão uniaxial, realizados por ÁLVARES (1993). Já os parâmetros de tração foram identificados sobre uma resposta em tração uniaxial descrita pelo modelo de Mazars e proposta por ÁLVARES (1993) para o concreto das vigas. A Tabela 1 contém os valores dos parâmetros.

Tabela 1 - Parâmetros dos modelos de MAZARS (1984), LA BORDERIE (1991) e proposto. MAZARS LA BORDERIE Proposto Tração Compressão Tração Compressão AT = 0,995 Y01=3,05x10-4MPa Y02=0,5 x 10-2MPa Y01 = 0,72x10-4MPa Y02 =0,5x10-3MPa BT = 8000 A1=3,50x10+3MPa-1 A2 = 6,80 MPa-1 A1 = 50 A2 = -0,9 AC = 0,85 B1 = 0,95 B2 = 0,7705 B1 = 6700 MPa-1 B2 = 0,4MPa-1 BC = 1050 β1 = 1,00 MPa β2 = -10,00 MPa εd0=0,00007 σf = 3,50 MPa

Fazendo-se uso das simetrias de carregamento e de geometria, analisaram-se

apenas as metades das vigas, impondo-se incrementos de deslocamentos. Nas análises foram utilizados 20 elementos finitos, discretizaram-se as seções transversais em 15 camadas, sendo uma camada de aço e concreto na viga com 3#10.0 mm, duas na viga com 5#10.0 mm e três na viga com 7#10.0 mm. Os confrontos entre os resultados numéricos e experimentais, mediante curvas carga aplicada (P) por deslocamento vertical no meio do vão das vigas estão ilustrados na Figura 6.

Pode-se observar que as respostas numéricas tendem a reproduzir uma forte quebra de rigidez inicial das vigas seguida de uma recuperação de rigidez subseqüente à redistribuição de esforços. Os próprios resultados experimentais apontam que esse processo é mais evidente no caso da viga pouco armada em razão da menor interação entre concreto e armadura, o que leva a um panorama de fissuração mais localizado entre as forças aplicadas.



131

VIGA 3#10.0 mm - ÁLVARES (1993)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

VIGA 5#10.0 mm - álvares (1993)

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Resultado Experimental

MAZARS (1984)

Modelo

LA BORDERIE (1991)

Figura 6 - Resultados numéricos da análise unidimensional.

Em regime de serviço, observa-se ainda que os modelos de dano isótropo de Mazars e de La Borderie apresentam respostas similares às obtidas com o emprego do modelo proposto, porém devido ao tipo simplificado de análise (unidimensional) não é possível verificar alguma possível vantagem do emprego do modelo proposto anisótropo sobre modelos de dano isótropo.

Já em regime de ruptura, o modelo proposto evidencia uma resistência maior aos esforços quando comparado aos modelos isótropos, exceto no caso da viga com 3#10.0 mm, onde a fissuração é intensa. Acredita-se que essa diferença é devida à hipótese de equivalência de energia feita na formulação do modelo proposto, fazendo com que em altos níveis de carga surja uma penalização da rigidez menos intensa, levando ao concreto a resistir de forma mais eficiente e consequentemente a uma plastificação mais tardia das armaduras. Ainda nesse contexto, observa-se que as respostas numéricas indicam que a plastificação das armaduras ocorrem em diferentes níveis de solicitação quando comparadas com as respostas experimentais, principalmente nos casos das vigas com cinco e sete barras de aço. Isso pode ser explicado pelo fato de ser assumida perfeita aderência entre a armadura e o concreto como hipótese para a simulação numérica.

5.1.2 Pórtico em concreto armado

O concreto utilizado na confecção do pórtico tem módulo de elasticidade Ec = 30400 MPa; o aço possui Ea = 192500 MPa, tensão de início de plastificação de 418 MPa e tensão última de 596 MPa. Foi adotado um modelo elasto-plástico bilinear com um módulo de elasticidade reduzido no segundo trecho: Ea2 = 0,009 Ea.

No ensaio experimental inicialmente aplicou-se uma força axial total de 700 kN para cada coluna, mantida então constante durante toda a aplicação da força lateral. Esta força foi aplicada em estágios até a capacidade última do pórtico ser atingida.



132

Maiores detalhes encontram-se em VECCHIO et all (1992). As características geométricas do pórtico, assim como a distribuição das armaduras estão ilustradas na Figura 7. Já a Tabela 2 contém os valores dos parâmetros.

700 kN 700 kNA

AB B B B

A

AB B B B

Q

5700

900 900400 4003100 800

300

400

400

400

1800

1600

4600

30030

20

300

30

20

4 # 20

4 # 20

4 # 204 # 20

400

# 10

# 10

20 20 2020

320

300

2020

50

50

120

20

20

2030

75 50 75

3020

Coluna Sul

Coluna Norte

Dimensões em mm

SEÇÃO A

SEÇÃO B

Figura 7 - Geometria e armação do pórtico.

Tabela 2 - Parâmetros dos modelos de MAZARS (1984), LA BORDERIE (1991) e proposto.

MAZARS LA BORDERIE Proposto Tração Compressão Tração Compressão

AT = 0,995 Y01 = 2,25x10-4MPa Y02 = 0,5 x 10-2MPa Y01=0,72x10-4MPa Y02=1,7x10-3MPa BT = 8000 A1= 2,78x10+3MPa-1 A2 = 14,00 MPa-1 A1 = 50 A2 = -0,8 AC = 1,30 B1 = 0,93 B2 = 0,90 B1 = 6700 MPa-1 B2 =1,1MPa-1 BC = 1890 β1 = 0,50 MPa β2 = -2,00 MPa

εd0 =0,00007 σf = 3,50 MPa

Para a análise numérica foram impostos incrementos de deslocamentos no ponto de aplicação da força horizontal. Utilizaram-se 30 elementos finitos na discretização, sendo empregados 10 por coluna e 5 elementos por viga. As seções transversais foram estratificadas em 10 camadas. Na Figura 8 apresentam-se em gráficos as respostas numéricas obtidas confrontadas com a experimental. Os gráficos representam a relação entre força horizontal aplicada e deslocamento horizontal no andar superior do pórtico.

Os resultados obtidos pelos modelos são julgados satisfatórios apesar da limitada identificação paramétrica. Por permitir considerar deformações permanentes em sua formulação, reproduziram-se com o modelo de LA BORDERIE (1991) inclusive os deslocamentos residuais gerados.



133

Pórtico em concreto armado - VECCHIO & EMARA (1992)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180Deslocamento (mm)

Força (kN)

ExperimentalMazars - 10 camadasLa Borderie - 10 camadasModelo Proposto - 10 camadas

Figura 8 - Resultados numéricos do pórtico em concreto armado.

Observa-se que os modelos de MAZARS (1984) e o proposto apresentam a possibilidade de se colher uma boa resposta numérica, sem a necessidade de um custo computacional maior com o refinamento da discretização.

Pode-se concluir, pelos exemplos apresentados, pela validade do emprego do modelo proposto em combinação com a técnica de discretização adotada na simulação do comportamento de estruturas lineares em concreto armado.

5.2 Análises bidimensionais

Uma versão bidimensional do modelo proposto foi implementada num código de cálculo em elementos finitos para análises planas. Nestas análises, apenas o concreto possui comportamento não-linear, para o aço admite-se uma relação constitutiva linear. Com relação à interação entre os dois materiais, admitiu-se perfeita aderência entre o aço e o concreto.

De acordo com o objetivo de avaliar a resposta numérica fornecida pelo modelo proposto em análises planas, com o emprego do método dos elementos finitos, dois aspectos de interesse são enfatizados: a verificação de eventuais problemas numéricos ligados a este tipo de discretização e a capacidade do modelo em reproduzir a zona de distribuição de dano de acordo com a fissuração evidenciada experimentalmente.

5.2.1 Viga em concreto armado [PEREGO (1989)]

Trata-se de uma viga em concreto armado analisada por PEREGO (1989), que possui 5,00 m de vão livre e apresenta uma seção transversal retangular de dimensão 20 x 50 cm. A armadura longitudinal é constituída por 6 barras de 32 mm de diâmetro, posicionadas em três camadas na zona inferior da seção, e por 2 barras de diâmetro de 8 mm, dispostas na parte superior e com função construtiva. Na confecção da viga



134

foi utilizado um concreto com Ec = 24700 MPa e aço das armaduras com Ea = 210000 MPa. Na Figura 9 são fornecidos os detalhes da geometria da viga.

50

5050

160

P P

50020 20f

80

25020 20

2 φ 8 mm

6 φ 32 mm

medidas em cm

P

Figura 9 - Viga em concreto armado: geometria, simetria geométrica e de carregamento e

disposição da armadura.

Neste exemplo, para os parâmetros do modelo proposto relativos a D1 e D2, foram adotados os mesmos valores utilizados no estudo das vigas do item 5.1.1. Na análise plana é necessária também a obtenção dos parâmetros relativos à lei de evolução da variável D3, os quais foram identificados com base na resposta ilustrada na Figura 2a. Para efeito de comparação de resultados, além das medidas experimentais apresenta-se a resposta numérica obtida por PEREGO (1989) com o modelo de Mazars. A Tabela 3 resume os parâmetros utilizados pelos modelos envolvidos na análise.

Tabela 3 - Parâmetros dos modelos de Mazars [PEREGO (1989)] e proposto. Mazars Proposto

Tração Compressão Tração Compressão AT = 0,995 AC = 1,13 Y01=0,72x10-4MPa Y02=0,5x10-3MPa Y03=0,5x10-3MPa BT = 8000 BC = 1643,5 A1=50 A2 = -0,9 A3 = -0,6

εd0=0,000067 B1 = 6700 MPa-1 B2 =0,4MPa-1 B3 =70000 MPa-1 Alguns comentários adicionais devem ser feitos em relação à discretização e

idealização adotadas.

Com relação ao comportamento elástico-linear para o aço, tal hipótese é justificável no caso de vigas que possuem alta taxa de armadura, onde o colapso acontece sobretudo pelo comprometimento do concreto.

A discretização da viga foi efetuada utilizando-se uma malha constituída por 342 elementos finitos quadrangulares de 4 nós, dispostos no plano médio da viga. A altura da viga foi subdividida em 38 camadas de elementos onde uma única camada representa a armadura, com área equivalente disposta no baricentro geométrico das barras de aço.



135

A força concentrada aplicada foi representada por uma carga distribuída em torno do ponto de aplicação para evitar qualquer problema de concentração exagerada de tensões nesta zona. O mesmo procedimento foi adotado na simulação do apoio da viga.

A resposta obtida em termos da curva carga-deslocamento (Fig. 10) mostra, em sua maior parte, uma ótima coerência com os resultados experimentais apresentados em PEREGO (1989). De fato, o modelo proposto é capaz de colher com boa precisão a não-linearidade da curva até o nível de força de 220 kN, a partir do qual surge uma instabilidade na resposta numérica, decorrente dos elevados níveis de danificação. Na análise efetuada por PEREGO (1989), com o modelo de Mazars, apresentou-se a instabilidade numérica já por volta da força de 120 kN.

VIGA 6#32 mm - PEREGO (1989)

0

50

100

150

200

250

300

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Deslocamento (cm)

Força (kN)

Experimental

Modelo Proposto

Modelo de Mazars - PEREGO (1989)

Figura 10 - Resultados numéricos: curva carga-deslocamento no meio do vão.

Observa-se mais uma vez, que o modelo proposto penaliza seletivamente a rigidez do material de acordo com a direção considerada. Isso não ocorre com o modelo de Mazars, que por danificar exageradamente a rigidez do material em todas as direções em torno de um ponto, acaba por apresentar problemas de ordem numérica devido ao mal condicionamento da matriz de rigidez global da estrutura, logo num nível intermediário de carga.

É possível dar uma explicação plausível para a instabilidade observada. O modelo numérico na verdade procura reproduzir uma situação de danificação fortemente localizada, que seria equivalente à formação de uma zona de fissuração intensa. Fisicamente essa zona se manifesta efetivamente entre as forças aplicadas.

Para visualizar a distribuição de dano na viga, representam-se curvas de isodano (curvas caracterizadas por D = constante), obtidas com base na interpolação dos valores das variáveis de dano nos pontos de integração adotados. Deve-se observar que esta representação é mais eficiente quanto maior for o número de pontos adotados. Na figura seguir são ilustradas as curvas de isodano para as



136

diferentes variáveis de dano do modelo proposto e em diversos instantes da história de carregamento.

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.10

0.20

0.30

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 40 kN

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 120 kN

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 220 kN

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 260 kN

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.00

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 40 kN

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.04

0.08

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 120 kN

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.04

0.08

0.12

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 220 kN

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40

0.50

NÍVEL 260 kN

Figura 11 - Viga em concreto armado – viga 6φ32.0 mm: a) distribuição de dano D1; b) distribuição de dano D2; c) distribuição de dano D3.

Como se pode observar, já para um nível de solicitação correspondente a 15%

da força máxima, tem-se uma considerável danificação em tração na parte inferior da viga. Nos sucessivos níveis de carregamento observa-se que a zona de dano em tração se propaga de baixo para cima e em direção à zona do apoio. Na região superior da viga, valores de dano em compressão D2 surgem somente por volta de 50% da força máxima. Próximo à intensidade de 220 kN para a força máxima aplicada observa-se uma zona de dano D3 com razoáveis valores, inclusive indicando uma certa concentração de danificação junto ao apoio, e uma vasta região inferior com dano D1 chegando a atingir valores próximos a 1. Esta evolução de danificação está de acordo com o exposto em PEREGO (1989).



137

5.2.2 Vigas em concreto armado [ÁLVARES (1993)]

As vigas analisadas no item 5.1.1 com aplicação do modelo proposto em sua versão uniaxial, passam agora a ser estudadas com o emprego de uma versão para análise plana. Portanto os parâmetros elásticos do concreto e do aço são mantidos. O mesmo acontece com os parâmetros do modelo proposto relativos às leis de evolução das variáveis de dano D1 e D2.

Em sua versão bidimensional, o modelo utiliza a variável de dano D3 e os valores adotados para os parâmetros envolvidos com essa variável são os mesmos utilizados no exemplo anterior (item 5.2.1). Para efeito de comparação, apresentam-se nos gráficos de resultados além da reposta experimental, a resposta numérica obtida com o modelo em sua versão uniaxial. A tabela a seguir contém os valores dos parâmetros para o modelo proposto.

Tabela 4 - Parâmetros do modelo proposto. Proposto

Tração Compressão Y01 = 0,72x10-4MPa Y02 = 0,5x10-3MPa Y03 = 0,5x10-3MPa

A1 = 50 A2 = -0,9 A3 = -0,6 B1 = 6700 MPa-1 B2 = 0,4MPa-1 B3 = 70000 MPa-1

Os primeiros testes realizados com malhas formadas por 342 elementos finitos

quadrangulares de 4 nós dispostos no plano médio da viga, aproveitando-se a simetria das vigas, não apresentaram resultados satisfatórios. De fato, notaram-se tanto irregularidades nas curvas-resposta quanto rigidez exagerada.

O problema de irregularidade da resposta foi contornado adotando-se uma alternativa eficaz porém com custo computacional crescente com o avanço da análise. Trata-se da não contribuição para a atualização da matriz de rigidez global da estrutura, somente para fins de reaplicação do resíduo, de pontos que apresentam certo nível de dano (0,65 por exemplo).

Já o problema de travamento dos elementos, que poderia ser em parte responsável pela rigidez excessiva, pôde ser contornado com o emprego de uma discretização mais refinada na direção longitudinal, diminuindo assim a diferença entre a espessura e o comprimento dos elementos representativos do aço em relação aos demais. Para tanto adotou-se uma discretização composta por 7200 elementos finitos quadrangulares de 4 nós subdividindo a altura da viga em 60 camadas.

A Figura 12 ilustra as respostas obtidas. Observa-se que nas vigas super armada e normalmente armada a resposta numérica consegue simular bem o comportamento experimental até níveis intermediários de carga. Já o mesmo não acontece no caso da viga de 3#10.0 mm. Acredita-se que a incorporação de leis de evolução e a identificação paramétrica das variáveis de dano relativas ao cisalhamento possam contribuir para melhorar as respostas nesse caso. De fato, a danificação relativa ao cisalhamento, gerando uma contribuição importante na dissipação de energia, é possível de ser fornecida pelo modelo proposto, e potencialmente visa melhorar sua capacidade de simular o comportamento do concreto em situações onde haja uma perda mais intensa de resistência ao cisalhamento. Contudo, é importante observar que mesmo essa consideração pode



138

ser limitada se houver forte localização da danificação, o que ocorre próximo da situação de carregamento último.


0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)


0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Resultado Experimental

Modelo Proposto (Análise Plana)-7200 elem

Modelo Proposto (Análise Unidimensional)

Figura 12 - Resultados numéricos da análise bidimensional.

Na figura a seguir são ilustradas as distribuições dos valores das variáveis de dano para a viga com alta taxa de armadura em algumas etapas de carregamento.

Observa-se que para baixos níveis de carregamento a danificação em tração possui valores significativos na parte inferior da viga. Com o incremento da força aplicada a zona de danificação aumenta de baixo para cima e em direção à zona do apoio. Na parte superior da viga, a variável de dano D2 possui valores baixos em relação à variável D3 e ambas surgem também na zona do apoio em níveis próximos a força máxima.



139

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 15 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 36 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 51 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 61 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NíVEL 15 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 36 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 51 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 61 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 15 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 36 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 51 kN

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0.10

0.20

NÍVEL 61 kN

Figura 13 - Viga em concreto armado – viga 7φ10.0 mm: a) distribuição de dano D1; b) distribuição de dano D2; c) distribuição de dano D3.

Conclui-se, que o objetivo de validar o emprego da proposta de modelo na simulação do comportamento de estruturas em concreto armado foi alcançado. Entretanto, nas análises planas ficaram evidentes alguns problemas de ordem numérica principalmente no caso da viga pouco armada onde o panorama de fissuração é mais localizado [ver ÁLVARES (1993)]. Problemas similares surgidos na análise dessas vigas encontram-se em BARROS (2002). Pode-se concluir ainda que a fissuração localizada é claramente uma situação limitante do emprego do modelo proposto.

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho, apresentou-se uma extensão da formulação de modelos constitutivos para materiais elásticos anisótropos que possuem diferentes comportamentos em tração e em compressão, proposta por CURNIER et all (1995), para os casos onde a danificação induz anisotropia e comportamento bimodular.

Entre os aspectos característicos da Mecânica do Dano incorporados ao modelo derivado da extensão da formulação mencionada, destaca-se a equivalência energética visando a obtenção de tensores constitutivos simétricos. A consideração do caráter bimodular induzido pela danificação foi levada em conta pela definição de dois tensores de dano, um para estados dominantes de tração e um outro para



140

compressão. Essa consideração levou à necessidade da definição de um critério para a divisão do espaço das deformações.

Em seguida, abordaram-se os critérios em energia para identificação do início e evolução dos processos de danificação. Outro detalhe importante do modelo disse respeito à determinação do plano local de isotropia transversal do material, necessário para estabelecer a forma do tensor A utilizado quando o processo de danificação é ativado.

De uma maneira geral, os resultados de aplicação inicial do modelo foram satisfatórios, principalmente no que diz respeito à recuperação dos valores de tensão de pico e do comportamento do concreto até valores elevados de tensão. Destacam-se as formas das curvas tensão-deformação em tração e compressão uniaxial e a obtenção da envoltória de ruptura do concreto em estados biaxiais de tensão, comprovando, dessa maneira, a validade do modelo quando aplicado à simulação do comportamento mecânico do concreto. Os resultados obtidos apontam, ainda, que as deformações residuais podem ter significativa importância nas respostas pós-pico. Para confirmar essa afirmação, foram apresentadas respostas numéricas que consideram deformações permanentes na formulação do modelo proposto originalmente.

O emprego do modelo proposto na análise de estruturas de concreto se mostrou bastante satisfatório. No caso das análises unidimensionais, verificou-se ótima concordância entre as respostas obtidas com o modelo proposto e as respostas experimentais de vigas em concreto armado ensaiadas por ÁLVARES (1993). No confronto com modelos isótropos de dano, propostos por La Borderie e Mazars, observou-se uma grande semelhança da resposta estrutural dentro dos limites do regime de serviço. Contudo, nesse regime, dada a simplificação dimensional, não ficaram evidenciadas as vantagens de se empregar um modelo com anisotropia induzida. Já nas proximidades do regime de ruptura, o modelo proposto, em razão de proporcionar um processo de danificação menos intenso, e por se tratar de um modelo formulado com a hipótese de equivalência de energia, apresentou uma resposta em que o concreto acabou por resistir aos esforços solicitantes de maneira mais eficiente. Os reflexos desse comportamento se manifestaram nos níveis de plastificação das armaduras, que aconteceram com valores de força aplicada mais próximos dos experimentais particularmente nos casos das vigas armadas com 5φ10.0 mm e com 7φ10.0 mm, por se tratarem de vigas com uma fissuração mais difusa em relação à viga armada com 3φ10.0 mm. Pensa-se que estas conclusões podem servir de indício para o que acontece nas análises bidimensionais.

Na análise do pórtico em concreto armado, apesar das limitações quanto à identificação paramétrica, o modelo proposto permitiu simular o comportamento da estrutura de maneira bastante satisfatória, sem requerer um refinamento mais apurado da malha. As evidências experimentais de início de fissuração e de plastificação das armaduras, relatadas em VECCHIO et all (1992), foram colhidas com suficiente precisão.

No caso das análises bidimensionais, pôde-se observar o bom resultado obtido pela aplicação do modelo na simulação do comportamento da viga ensaiada por PEREGO (1989). Essa viga tem a particularidade de apresentar uma elevada taxa de armadura, sendo a não-linearidade quase que exclusivamente decorrente do dano no concreto. Contudo, nos exemplos compostos por três séries de vigas, com



141

diferentes taxas de armadura, surgiram problemas de ordem numérica inerentes à análise plana. Nos casos com menor taxa de armadura a fissuração passa a ser localizada após um certo nível de solicitação, limitando a aplicação de um modelo que pressupõe dano distribuído. Por fim, nos casos de maior taxa de armadura, constatou-se que pode ser importante a identificação das leis de evolução das variáveis de dano ligadas ao cisalhamento, recurso disponível pelo modelo mas que não foi explorado nos exemplos.

Pelas respostas apresentadas pelo modelo verificou-se a validação e a potencialidade do seu emprego na análise de estruturas em concreto armado.

7 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ser realizada. Agradecemos também ao LMT (Laboratoire de Mécanique et Technologie – Université Paris VI) pela utilização do programa EFICoS.

8 REFERÊNCIAS

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9 APÊNDICE – RELAÇÕES MATEMÁTICAS DE INTERESSE

Existem três tensores isótropos de quarta ordem linearmente independentes:

I ⊗ I = δij δkl (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A1)

I −⊗ I = δik δjl (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A2)

I −

⊗ I = δil δjk (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A3)

Um tensor decorrente dos anteriores é o seguinte:

I −

−⊗ I = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⊗+⊗

−

−IIII

21

(A4)

Com as propriedades dos tensores (A1) a (A4), decorrem os tensores de quarta ordem envolvidos na formulação:

A ⊗ A = Aij Akl (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A5)

A ⊗ I = Aij δkl (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A6)

I ⊗ A = δij Akl (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A7)

A −

−⊗ I =

21

(Aik δjl + δil Ajk) (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A8)

I −

−⊗ A =

21

(δik Ajl + Ail δjk) (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) (A9)

Pode-se, então, definir as operações de produtos tensoriais entre tensores de segunda ordem, descritas em CURNIER et all (1995), como



144

R)T.X(X]TR[ =⊗ ∀ X ∈ ξ (espaço dos tensores de 2° ordem simétricos)

TRXTX]TR[ =⊗−

; TTTRXXTR =⊗ ][_

2/)(][_

TTT RTXRXTXTR +=⊗−

, isto é, 2/][ RTTRTR−

−

−

−⊗+⊗=⊗ (A10)

Numa representação puramente matricial, os produtos tensoriais anteriores possuem a função de alocar as constantes elásticas do material em determinadas posições nos tensores constitutivos.

Considere-se o caso em que o versor a perpendicular ao plano local de isotropia transversal está contido no plano XY e possui uma inclinação α em relação ao eixo X segundo o sistema de coordenadas locais XYZ (Fig. 14).

Figura 14 - Sistema local de referência do material. O plano local de isotropia transversal rotaciona em torno do eixo Z.

Portanto, o plano local de isotropia transversal rotaciona em trono do eixo Z de acordo com a variação do ângulo α. Sendo assim, a forma matricial do tensor A é dada por:

==⊗= TaaaaA { }0sencos0

sencos

αα⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧αα

=A

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

αα

αα

αα

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

αααααα

000sencos

0sencos

0sencos

0000sensencos0sencoscos

2

2

2

2 (A11)

X

Y

Z

a = (cosα; senα; 0)

α



145

Logo, observando o sistema de coordenadas descrito na Figura 14, os tensores de quarta ordem envolvidos na formulação assumem as seguintes formas:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⊗

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111000000111000000111

II

(A12)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⊗

210

21000000

02100

210000

210

21000000

000210

21000

02100

210000

000210

21000

000000100000000010000000001

II

(A13)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⊗

001000000000010000100000000000001000010000000000100000000000100000000010000000001

II (A14)

=⊗ AA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αααααααα

αααααααα

αααααααααααααα

000000000000000000000000000000sencos0sencos0sencossencos000000000000sencos0sencos0sencossencos000000000000sencos0sencos0sensencos000sencos0sencos0sencoscos

222233

222233

33422

33224

(A15)



146

( ) ( ) =⊗+⊗ AIIA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αααααα

ααααααααααααααααααα+ααααααα+αα

000000000000000000000000000000000sencossencossencos000000000000000sencossencossencos000sencos0sencos0sencos000sencos0sencossensen2sencos000sencos0sencoscossencoscos2

22

2222

2222

(A16)

( ) ( ) =⊗+⊗ AIIA

( ) ( )

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αααααα

αααααα

αααααα

α+αα+ααααα

αααααα

α+αα+ααααα

αααααααααα

2sen

2sencos

2sen

02sencos

0000

2sencos

2cos

2sencos

02

cos0000

2sen

2sencos

2sen

02sencos

0000

000sencos21

0sencos21

0sencossencos2sencos

2cos

2sencos

02

cos0000

000sencos21

0sencos21

0sencossencos000000000000sencos0sencos0sen20000sencos0sencos00cos2

22

22

22

2222

22

2222

2

2 (A17)

Observa-se que os tensores constituintes do tensor constitutivo do modelo proposto, (A15), (A16) e (A17), além dos tensores isótropos (A12), (A13) e (A14), são simétricos.

Cabe ressaltar que adotando-se α = 0° define-se o caso em que o plano local de isotropia local do material é dado por YZ.

Finalmente, no caso mais geral, o versor a contém componentes segundo os eixos X, Y e Z do sistema de coordenadas locais. Com isso, os tensores de quarta ordem contidos na formulação do modelo proposto possuem componentes dependentes dos cosenos e senos dos ângulos entre o versor a e os eixos X, Y e Z.

são carlos, v.10 n. 47 2008 - set.eesc.usp.br · análise de tubos cilíndricos e cascas...

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