Samostalni seminar iz istrazivanja u fizici

Analiticki opis metastabilnosti u kriticnomponasanju neuredenog sustava

Lucija Nora FarkasMentor: dr. sc. Ivan Balog

28. sijecnja 2019.

REM model i realizacije

Slika : Kontaktna linija glicerina [1].

REM model i realizacije

Slika : Domenski zid u ultratankom sloju kobalta [2].

REM model i realizacije

Slika : Isingov magnet [1].

REM model i realizacije

I Navedene fizikalne sustave modeliramo elasticnommnogostrukosti u neuredenom mediju.

I T = 0K : nema dinamike kojom bi se sustav relaksirao izmetastabilnog u osnovno stanje.

I Hamiltonijan REM modela i korelator nereda:

H[u] =

∫d~x

1

2

[~∇~u (~x)

]2→ elasticnost

+

∫d~xV [~x , ~u (~x)]→ nered,

(1)

〈V (~x , ~u)V(~x ′, ~u′

)〉 := δd

(~x − ~x ′

)R(~u − ~u′

). (2)

Procjena doprinosa nereda i kriticnost

I Doprinos nereda procjenjujemo preko energetskih doprinosa.

I Larkin → gledamo kako se Hamiltonijan skalira =⇒Larkinova skala Lc , gornja kriticna dimenzija d = 4:

EDO = Eel =⇒ Lc =

(c2

f2ξd) 1

4− d.

(3)

I Termodinamicka granica + d < 4 =⇒ nered dominantan.

I Kriticno ponasanje [1]:

〈[~u (~x)− ~u

(~x ′)]2〉 ∝ ∣∣~x − ~x ′∣∣2ζ ; ζ < 1. (4)

Tok ∆l (u) = −R ′′ (u)

〈V (~x , ~u)V(~x ′, ~u′

)〉 := δd

(~x − ~x ′

)R(~u − ~u′

)(5)

I Operacije renormalizacije [3]:”coarse-grain”→ reskaliranje → renormalizacija.

I Pocetne velicine koje razmatramo (RG pocetni uvjet):analiticke funkcije.

I Ponasanje velicine ∆l (u) pod ovim transformacijama opisanoje sljedecom jednadzbom [4] uz ε = 4− d :

∂l∆l (u) = (ε− 3ζ) ∆l (u) + ζ [u∆l (u)]′

− 1

2

{[∆l (u)−∆l (u = 0)]2

}′′.

(6)

I Fizikalni pocetni uvjet za nered nasumicnog polja [5]:

0 <

∫du∆l=0 (u) < +∞. (7)

Fiksna tocka ∂l∆l = 0

I Racunamo ζ =ε

3=

4− d

3:

∂l

∫ ∞−∞

du∆l (u) = (ε− 3ζ)

∫ ∞−∞

du∆l (u) + ζ [u∆l (u)]

∣∣∣∣∞−∞

−∆′l (u) [∆l (u)−∆l (0)]

∣∣∣∣∞−∞

∂l∆l=0===========⇒R(−u)=R(u), (7)

∂l

[ln

∫ ∞−∞

du∆l (u)

]= (ε− 3ζ) = 0. (8)

Fiksna tocka ∂l∆l = 0I Implicitno rjesenje uz ∂l∆l = 0 i ε− 3ζ = 0:{

ε

3u∆ (u)− 1

2

[(∆ (u)−∆ (0))2

]′}′= 0

∫ ∫==⇒ ε

6∆ (0)u2 =

∆ (u)

∆ (0)− 1− ln

[∆ (u)

∆ (0)

].

(9)

I Reskaliranjem se u fiksnoj tocki razvija neanaliticnost u oblikusiljka:

Slika : Funkcija ∆ (u) u fiksnoj tocki.

Neanaliticnost korelatora neredaPojava neanaliticnosti reskaliranjem

∆′′l (0) =∆′′0 (0) eεl

1 +3

ε∆′′0 (0) (eεl − 1)

(10)

=⇒ lc =1

εln

[1− ε

3∆′′0 (0)

](11)

REM model rekapitulacija

I AnaliticnoFRG−−−→ neanaliticno.

I Skala lc odgovara heuristicnoj Larkinovoj Lc .

Slika : Funkcija ∆ (u) u fiksnoj tocki.

I Singularitet-siljak ∆-e u fiksnoj tocki je potpis metastabilnosti.

I ∆′′l (0) divergira u lc tocki skale.

Model-igrackaI Uvodimo model-igracku s nametnutim metastabilnim stanjima→ trazimo analognu neanaliticnost.

I Model:

H = −a|x |+ bx2, a, b > 0; (12)

nered: P (h) =1√2πσ

exp

(− h2

2σ

). (13)

(a) h < 0 (b) h = 0 (c) h > 0

Slika : Hamiltonijan modela-igracke s doprinosom nereda −hx .

Model-igrackaParametar uredenja

(a) Puni dijagram s izdvojenim krivuljama. (b) Izdvojene ovisnosti s a) usporedno.

Slika : Ovisnost parametra uredenja o temperaturi 1/β i h.

Model-igrackaAnaliticki racun kumulanata

I Prvi kumulant:

〈φi 〉c = 〈φi 〉 =

∫ ∞−∞

dhP (h)φ[h + ji ]. (14)

I Drugi kumulant:

〈φ1φ2〉c =〈φ1φ2〉 − 〈φ1〉〈φ2〉

=

∫ ∞−∞

dhP (h)φ[h + j1]φ[h + j2]− 〈φ1〉〈φ2〉.(15)

Model-igracka

Slika : Prvi kumulant 〈φi 〉c .

Model-igracka

(a) Prikaz drugog kumulanta s naglasenimx = 0 i y = 0 ovisnostima.

(b) Prikaz a) s pogledom iz drugogsmjera.

Slika : Ovisnost drugog kumulanta o x =j1 + j2√

2i y =

j1 − j2√2

.

Model-igracka

(a) Izdvojena analiticka ovisnost o x zay = 0.

(b) Izdvojena neanaliticka ovisnost o yza x = 0 s razvidnimsingularitetom-siljkom.

Slika : Ovisnost drugog kumulanta o x =j1 + j2√

2i y =

j1 − j2√2

.

Model-igracka rekapitulacija

I T = 0K metastabilnost producira 〈φ1φ2〉 − 〈φ1〉〈φ2〉 siljak:

(a) Parametar uredenja. (b) 〈φ1φ2〉 − 〈φ1〉〈φ2〉.

Slika : Grafovi T = 0K velicina interesantnih za model-igracku.

Zakljucak

I REM model i model-igracka:neuredeni sustavi s metastabilnosti.

I Analiticki T = 0K racun:singularitet-siljak.

(a) Domenski zid uultratankom sloju [2]:

d = 2 =⇒ ζ =2

3.

(b) REM ∆ (u) u T = 0Kfiksnoj tocki.

(c) T = 0K korelatordrugog modela (x = 0).

Literatura

K. J. Wiese i P. Le Doussal: Functional Renormalization forDisordered Systems, Basic Recipes and Gourmet Dishes,Markov Processes Relat. Fields 13 (2007) 777-818.

S. Lemerle, J. Ferr, C. Chappert, V. Mathet, T. Giamarchi i P.Le Doussal: Domain Wall Creep in an Ising Ultrathin MagneticFilm, Phys. Rev. Lett. 80, 849 (1998).

A. Cheung: Phase Transitions and Collective Phenomena,biljeske, sijecanj 2011.

P. Chauve, T. Giamarchi i P. Le Doussal: Creep and depinningin disordered media, Phys. Rev. B 62, 6241 (2000).

P. Le Doussal: Functional renormalization, prezentacija zaCNRS-LPTENS Paris Windsor ljetnu skolu, kolovoz 2004.