PLĂCI PLANE DREPTUNGHIULARE

2

plăci plane dreptunghiulare simplu rezemate pe două laturi paralele, orice tip de rezemare pe celelalte laturi

yxwyxwyxw p ,,, 0

0,022 yxw

D

yxpyxwp

,,22

1

0 sin,m

m xa

myYyxw

a

myyDyyCyByAyY mmmmmmmmmm

,shchshch)(

(*)

(**)

- sunt simplu rezemate laturile paralele cu axa y, de ecuaţie x=0 şi x=a

- celelalte două laturi sunt de ecuaţie y = ±b/2

D

xp

dx

wdxpp

p

4

4**

wp + dezvoltare în serie simplă trigonometrică

1. APLICAŢII LA SOLUŢIA LÉVY

02*4

44

2

22

mm

IV

m Ya

mY

a

mY

a

b/2

b/2

q

x

y

qctxp

D

q

D

xp

dx

wd p

4

4

43

2

2

3

1

4

2624cxc

xc

xc

D

qxxwp

axx ,0

0

0

xM

w

21

2

2

2

2cxc

D

qxD

x

wDM x

0,00 42 ccx

D

qac

D

qac

acD

qa

aca

cD

qa

ax

24

2

02

0624

3

3

1

1

2

3

3

1

4

Ex. 1 Placă plană dreptunghiulară cu încărcare distribuită uniform pe toată suprafaţa

xaaxxD

q

D

xqa

D

qax

D

qxxwp

334334

224241224

1

sinm

mp xa

mbxw

a

pm xdxa

mxw

ab

0

sin2

dxxvxuxvxudxxvxu

xdxx

kxxxdxx kkk

cos

cossin 1

xdxxkx

xxdxx kkk

sin

1sincos 211

Integrare succesivă prin părţi ,5,3,1cu,sin14

155

4

mxa

m

mD

qaxw

mp

110 sinshchshchsin,

mmmmm

mm x

a

my

a

myDy

a

myCy

a

mBy

a

mAx

a

myYyxw

yxwyxwyxw p ,,, 0

155

4

1

sin14

sinshchshch,mm

mmmm xa

m

mD

qax

a

my

a

myDy

a

myCy

a

mBy

a

mAyxw

,5,3,1m

a

b/2

b/2

q

x

y

x = axă de simetrie pentru rezemare şi încărcare

deformată simetrică în raport cu x

se elimină termenii antisimetrici

0 mm CB

xa

m

Dm

qay

a

myDy

a

mAyxw

mmm

sin

4shch,

155

4

,5,3,1m

00

0

,2 2

2

0

2

2

2

2

y

w

x

w

y

wDM

w

by

y

12

22

2

22

2

2

sinshch2chm

mmm xa

my

a

myD

a

my

a

m

a

mDy

a

mA

a

m

y

w

02

sh22

ch22

ch

04

2sh

22ch

55

4

ba

mb

a

mb

a

mDb

a

mA

a

mDm

qab

a

mbDb

a

mA

mm

mm

ba

mm

2

mm

mm

m

Dm

qaD

Dm

qa

Dm

bqaA

ch

12

4th

ch

1

44

3

55

4

44

3

a

b/2

b/2

q

x

y

xa

my

a

my

yby

a

m

mD

qayxw

m m

mmm

sinsh

chch

2ch

th21

14,

1 m55

4

,5,3,1mÎn centrul plăcii, la 0,2

ya

x

15

2

1

5

4

max2ch

th21

14

m m

mm

m

mD

qaw

15

2

1

5

44

max2ch

th214

384

5

m m

mm

m

mD

qa

D

qaw

ba

ba

)0040647,0(00406,0

...710000000129,00000012241,00002481,0685615,04

384

5

4

max

4

68537,0:5

5

44

max

D

qawdefaţa

D

qa

D

qa

D

qaw

Navier

termeni

a

b/2

b/2

q

x

y

1

4

5

2

1

5

4

384

514

m

m

D

qa

mD

qa

D

qaw

384

5 4

max , analog grinzii simplu rezemate, dar EI D

,5,3,1m

Ex. 2 Placă plană dreptunghiulară cu încărcare distribuită liniar pe suprafaţă (presiune hidrostatică)

a

b/2

b/2

po

x

y

xa

pxp 0

Da

xp

D

xp

dx

wd p 04

4

43

2

2

3

1

50

26120cxc

xc

xc

Da

xpxwp

axx ,0

0

0

xM

w

21

30

2

2

6cxc

Da

xpD

x

wDM x

0,00 42 ccxD

apc

D

apcax

360

7,

36

30

30

1

D

xap

D

axp

Da

xpxwp

360

7

36120

30

30

50

1

sinm

mp xa

mbxw

a

pm xdxa

mxw

ab

0

sin2

xdxx

kxxxdxx kkk

cos

cossin 1

xdxxkx

xxdxx kkk

sin

1sincos 211

,3,2,1,sin12

15

1

5

40

mxa

m

mD

apxw

m

m

p

110 sinshchsin,

mmm

mm x

a

my

a

myDy

a

mAx

a

myYyxw

yxwyxwyxw p ,,, 0

a

mm

Dap

AA m

m 40

Dap

DD

m

mm 4

0

155

140 sinshch

12,

mmmmmm

m

xyyDyAmD

apyxw

a

b/2

b/2

po

x

y

0

0

,2 2

2

y

w

wb

y ba

mm

2

0shch2

0shch12

55

1

mmmmmm

mmmmm

m

DDA

DAm

m

m

m

m

mmm

m

mD

mA

ch

1

ch

1th2

55

1

55

1

155

140

0sin

12

mmm

m

yxA

mD

apxw

0cos

120

155

14

0

0

m

mmm

m

y

x xAmD

ap

x

w

D

apwax

mba m

4

0max0 0020535,0557,0

2

ctpw

w

D

apwyax

max

max40

2

10020312,00,2/la

a

b/2

b/2

po

x

y

2. PLĂCI CONTINUE

sisteme static nedeterminate se pot rezolva cu metoda forţelor

sisteme de bază care conţin plăci individuale între liniile de rezemare intermediare. liniile de rezemare intermediare sau laturile de capăt încastrate se înlocuiesc cu articulaţii acţionate de momente încovoietoare. Acestea se determină din condiţia de compatibilitate a rotirilor produse de încărcările exterioare şi de momentele încovoietoare necunoscute.

Ex. Placă continuă pe o direcţie

a

q

x

y

1 2a 3a

b

1

1

q2 q3

x 2 3x

1 2 3

y y

Sistemul de bază:

q1

q2 q3M y

1 2( ) M y( )

a1 2a 3a

yb

myM

mm

,...3,1

11 sin

yb

myM

mm

,...3,1

22 sin

Plăcile individuale:

Placa individuală i (i = 1, 2, 3) - soluţia Lévy

,...3,155

4

sin4

hchshchsm

mi

imimi

mimimi

mimi

mimi

mi yDm

bqxxDxxCxBxAw

b

mm

(a)

1 2 3

( )M y1

M y( )1

M y( )2

M y( )2

1a 2a 3a

x 2 x 3

y y y

x 1

Condiţii de margine:

0,0 111 wax

00,021

12

1

x

wMx x

yx

wDMMax

mmmx

,...3,112

1

12

111 sin,

(b)

0,0 222 wax

yx

wDMMx

mmmx

,...3,112

2

22

12 sin,0

yx

wDMMax

mmmx

,...3,122

2

22

222 sin,

(c)

0,0 333 wax

yx

wDMMx

mmmx

,...3,122

3

32

23 sin,0

00,23

32

33

x

wMax x

(d)

Condiţii de compatibilitate:

02

2

1

1

211

xaxx

w

x

w

03

3

2

2

322

xaxx

w

x

w(e)

Panoul de placă (2): (c) în (a), cu i = 2

2221

22255

42

2

2 cothch2

ch5,011ch4

sh

1aa

aaa

m

bp

aDA mmmm

mmm

mm

Dm

bpBm 55

422 4

2

1

55

422

2

2

m

mm

DDm

bpC

2122255

42

2

2 ch1

ch14

sh2

1aa

m

bp

aDD mmm

m

mm

m

(f)

Panoul de placă (1): în (f) p2 p1

a2 a1

m2 m1

m1 0

11

11155

41

1

1 coth2

ch5,011ch4

sh

1a

aaa

m

bp

aDA mm

mmm

mm

Dm

bpBm 55

411 4

Dm

bpCm 55

411 2

2

1155

41

1

1 ch14

sh2

1

m

mm

mm a

m

bp

aDD

Panoul de placă (3): în (f) p2 p3

a2 a3

m1 m2

m2 0

32

33355

43

3

3 ch2

ch5,011ch4

sh

1a

aaa

m

bp

aDA mm

mmm

mm

Dm

bpBm 55

433 4

2

2

55

433

2

2

m

mm

DDm

bpC

322355

43

3

3 ch1

ch14

sh2

1aa

m

bp

aDD mm

m

mm

m

(a) în (e) ⇒

22111

1111

11

11

1 shchchshshch mmmmmmmmmmmmmm DAaaaDaaaCaBaA

33222

2222

22

22

2 shchchshshch mmmmmmmmmmmmmm DAaaaDaaaCaBaA

(g)

m1

m2

(a) w(x,y), Mx, My

Pentru cazul de încărcare

a2

q

x

y

a a

0

1 x 2 3x1 2 3

2 2

2a

y y

01 qq

032 qq

abai 2

= 0,3

w

Mx

yM

D

ap 40053,0 D

ap 400092,0

D

ap 4000077,0

2174,0 pa

2177,0 pa

20172,0 pa

2163,0 pa

2053,0 pa

2005,0 pa

D

apw

40

max 053,02

max, 177,0 paM x 2max, 163,0 paM y

Temă: Să se compare soluţiile analitice cu cele furnizate de Metoda Elementului Finit pentru

q0 = 0,5Ng + n [kN/m2]; a = 3 + 0,1n [m]; E = 2,1e8 kN/m2; = 0,3; h = 44 mm

Ng – numărul grupei, n – numărul de ordine în grupă

3. PLĂCI PE MEDIU ELASTIC

Modelul Winkler:

kwyxq , (1)

q – reacţiunea terenului (presiunea pe teren); are sens contrar încărcării aplicate pe placă, yxp ,

k – coeficientul de pat 3LF

w – deplasarea plăcii.

Ecuaţia plăcii:

D

yxqyxpyxw

,,,22

(2)

în care yxq , depinde de w, deci este necunoscută a problemei.

(1), (2) pkwwD 22 (3)

(3) se poate rezolva cu - soluţia Navier (serii duble trigonometrice)

- soluţia Lévy (serii simple trigonometrice)

Soluţia Navier:

a

p(x,y)

x

y

k

b

11

sinsin,n

mnm

yb

nx

a

mAyxw

11

sinsin,n

mnm

yb

nx

a

mpyxp

dxdyyb

nx

a

myxp

abp

ba

mn

sinsin,

4

00

kb

n

a

mD

pA mn

mn

2

2

2

2

24

(3)

qctyxp ,

kb

n

a

mDmn

qAmn 2

2

2

2

24

2

116

forţă concentrată P într-un punct de ordonate ,

kb

n

a

mD

b

n

a

m

ab

PAmn

2

2

2

2

24

sinsin4

deformata plăcii simplu rezemate sub orice tip

de încărcare, aplicând principiul superpoziţiei

a

b

p(x,y)

x

y

k

/2

/2b

yxwyxwyxw p ,,, 0

1

0 sin,m

m xa

myYyxw

022 kwwD

yyDyyCyyByyAyY mmmmmmmmmmmmm coshcsinchcosshsinhs)(

D

k

a

m

a

mm

42

2

1

D

k

a

m

a

mm

42

2

1

1

sinm

mp xa

mbxw

a

pm xdxa

mxw

ab

0

sin2

1

sin,m

m xa

mypyxp

(3)

D

ypb

D

k

a

m

dy

bd

a

m

dy

bd mm

mm

4

2

22

4

4

2

mb

Soluţia Lévy:

a

b

q

x

y

k

/2

/2b

qctyxp ,

Soluţia particulară:

Exemplu de aplicare a soluţiei Lévy:

,5,3,1,4

mm

qpm

D

k

a

mm

D

qbm 4

14

Soluţia ecuaţiei omogene:

x este axă de simetrie pentru rezemare şi încărcare, deci şi pentru deformată

0 mm CB yyDyyAyY mmmmmmm coshcsinhs)(

Soluţia generală:

1

sincoshcsinhs,m

mmmmmmm xa

mbyyDyyAyxw

(4)

Condiţiile de margine: 2by 0,0

y

ww

(4)

2cos

2ch1

bb

bA

mm

mm

2cos

2ch

2th

2th

bb

bbbAD

mm

mmmmm

2th

2th

54

321

bbmm

2sin

2ch2

bbmmm

2cos

2sh3

bbmmm

2cos

2sh4

bbmmm

2sin

2ch5

bbmmm

Soluţii aproximative – M.E.F.

a = b = 5 m, h = 20 cm / E = 300000 daN/cm2, = 0,2 / q = 10 kN/m

2

a) placă simplu rezemată pe contur

Soluţia analitică Lévy: 001218,000406,04

max D

qaw m

Soluţia analitică Navier: 00123,00041,04

max D

qaw m

COSMOS: 001216,0max w m

b) placă pe mediu elastic, simplu rezemată pe contur (k = 20 daN/cm3)

COSMOS: 0005879,0max w m

Temă: Aplicând MEF, să se determine wmax pentru placa pătrată din beton armat, încastrată pe contur, cu

a = b = 5 + 0,1 n [m], h = 20 cm / E = 300000 daN/cm2, = 0,2 / q = 0,5Ng + n [kN/m2]

în cele două situaţii (k = 0 şi k = 10 daN/cm3).

Termen de predare teme plăci plane dreptunghiulare: S12