ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

E.D.L. de orden 2

( Variación de

parámetros)

Ecuación de Euler

OBJETIVOS

Aplicar el método de variación de parámetros para

resolver una E.D.L. de segundo orden.

Resolver ecuaciones diferenciales de orden 2

Reconocer la ecuación diferencial de Euler

Resolver la ecuación de Euler reduciéndola a una

ecuación diferencial con coeficientes constantes.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas aplicativos del contexto real

E.D.L. de segundo orden

Sea la E.D.L. normal y no homogénea de orden 𝟐

𝒚′′ + 𝒑 𝒙 𝒚′ + 𝒒 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙)

donde 𝒑; 𝒒; 𝒇 ∶ 𝑰 → ℝ son funciones continuas en un intervalo 𝐼

Sabemos que la solución general de (*) se expresa de la forma

𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑

donde 𝒚𝒉 es la solución general de la ecuación homogénea

asociada y 𝒚𝒑 es una solución particular. Para hallar 𝒚𝒑 el método

empleado ahora es llamado variación de parámetros

()

E.D.L. de segundo orden (variación de

parámetros)

Supongamos una solución particular de la forma

𝒚𝒑 = 𝒖𝟏 𝒙 𝒚𝟏 𝒙 + 𝒖𝟐 𝒙 𝒚𝟐(𝒙)

donde los coeficientes 𝒖𝟏 y 𝒖𝟐 son funciones por determinar y

𝒚𝟏 y 𝒚𝟐 son soluciones de la homogénea asociada, es decir

que satisfacen:

𝒚𝟏′′ + 𝒑 𝒙 𝒚𝟏

′ + 𝒒 𝒙 𝒚𝟏 = 𝟎

𝒚𝟐′′ + 𝒑 𝒙 𝒚𝟐

′ + 𝒒 𝒙 𝒚𝟐 = 𝟎

𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐

′ 𝒚𝟐′ + 𝒖𝟏

′ 𝒚𝟏′ + 𝒖𝟐

′ 𝒚𝟐′ + 𝒖𝟏 𝒚𝟏

′′ + 𝒑𝒚𝟏′ + 𝒒𝒚𝟏 +⋯

⋯+ 𝒖𝟐 𝒚𝟐′′ + 𝒑𝒚𝟐

′ + 𝒒𝒚𝟐 + 𝒑 𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐

′ 𝒚𝟐 = 𝒇

Al derivar 𝒚𝒑 y reemplazar en (*) obtenemos

= 𝟎

= 𝟎

E.D.L. de segundo orden (variación de

parámetros)

De donde obtenemos

𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐

′ 𝒚𝟐′ + 𝒖𝟏

′ 𝒚𝟏′ + 𝒖𝟐

′ 𝒚𝟐′ + 𝒑 𝒖𝟏

′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐′ 𝒚𝟐 = 𝒇

Esta identidad se cumplirá cuando las funciones 𝒖𝟏(𝒙) y 𝒖𝟐(𝒙) de modo que cumplan las ecuaciones:

𝒖𝟏′ 𝒙 𝒚𝟏 𝒙 + 𝒖𝟐

′ 𝒙 𝒚𝟐 𝒙 = 𝟎

𝒖𝟏′ 𝒙 𝒚𝟏

′ 𝒙 + 𝒖𝟐′ 𝒙 𝒚𝟐

′ 𝒙 = 𝒇(𝒙)

en el intervalo 𝐼

E.D.L. de segundo orden (variación de

parámetros)

Procedimiento de solución

1.- Se hallan la solución general de la E.D.L. homogénea

asociada a (*)

𝒚𝒉 = 𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐

2.- Se halla una solución particular 𝒚𝒑 usando el método de

variación de parámetros. Es decir suponer que

𝒚𝒑 = 𝒖𝟏 𝒙 𝒚𝟏 𝒙 + 𝒖𝟐 𝒙 𝒚𝟐(𝒙)

Donde las funciones 𝒖𝟏 y 𝒖𝟐 se hallan resolviendo el sistema

𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐

′ 𝒚𝟐 = 𝟎

𝒖𝟏′ 𝒚𝟏

′ + 𝒖𝟐′ 𝒚𝟐

′ = 𝒇(𝒙)

Podemos aplicar el método de Cramer y luego de integrar

obtenemos:

E.D.L. de segundo orden (variación de

parámetros)

𝒖𝟏(𝒙) = − 𝒇 𝒙

𝑾 𝒚𝟏; 𝒚𝟐𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒖𝟏(𝒙) =

𝒇 𝒙

𝑾 𝒚𝟏; 𝒚𝟐𝒚𝟏 𝒙 𝒅𝒙

donde

𝑾 𝒚𝟏; 𝒚𝟐 =𝒚𝟏 𝒚𝟐

𝒚𝟏′ 𝒚𝟐

′ es llamado el Wronskiano de 𝒚𝟏 y 𝒚𝟐

3.- La solución general de (*) es de la forma

𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑

OBSERVACIÓN

En el paso 1 anterior se puede hallar otra solución

Linealmente independiente de la E.D.L. homogénea asociada

conociendo una de las soluciones, por ejemplo 𝒚𝟏, como se

muestra en el siguiente teorema

Teorema

Sea la E.D.L. normal y homogénea de orden 𝟐

𝒚′′ + 𝒑 𝒙 𝒚′ + 𝒒 𝒙 𝒚 = 𝟎

donde 𝒑; 𝒒; 𝒇 ∶ 𝑰 → ℝ son funciones continuas en un intervalo 𝐼.

Si 𝒚𝟏 es una solución, entonces

a.- La función

𝒚𝟐 𝒙 = 𝒚𝟏 𝒙 𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙

𝒚𝟏 𝒙 𝟐𝒅𝒙

es otra solución en cualquier subintervalo 𝑱 ⊂ 𝑰 donde

𝒚𝟐 𝒙 ≠ 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑱

b.- El conjunto 𝒚𝟏; 𝒚𝟐 es Linealmente independiente en 𝑱

Ejemplo Ejemplo 1

Determine la solución general de las siguientes E.D.L.

a.- 𝒚′′ + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙

b.- 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝒆−𝒙𝒍𝒏𝒙

c.- 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒆𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙

Solución

Ejemplo Ejemplo 2

Resuelva la E.D.L.

𝒙 + 𝟏 𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑 𝒚′ + 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 𝒚 = −𝟒𝒙 𝒙 + 𝟏 𝟐

Si se sabe que la solución de la ecuación homogénea

asociada es:

𝒚𝒉 = 𝒄𝟏𝒆−𝒙𝟐 + 𝒄𝟐𝒆

𝟐𝒙 Solución

Ejercicio 1

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales sabiendo

que 𝒚𝟏 es una solución de la homogénea

a.- 𝒙𝟐𝒚′′ − 𝒙𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟓𝒙𝟒 ; 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐

b.- 𝟐𝒙𝒚′′ + 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒚′ + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒚 = 𝒆𝒙 ; 𝒚𝟏 = 𝒆𝒙

c.- 𝒚′′ + 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒚′ + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒚 = 𝟎 ; 𝒚𝟏 = 𝒄𝒐𝒔(𝒔𝒆𝒏𝒙)

Solución:

E.D. de Cauchy Euler

Una E.D.L. de la forma (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏𝒚 𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏−𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒚′ + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒉 𝒙

Donde

• 𝒂𝒊 ∈ ℝ ; 𝒊 = 𝟎; 𝟏;⋯ ; 𝒏 − 𝟏 son constante reales y 𝒂 > 𝟎

• 𝒉: 𝑰 → ℝ es continua en cualquier intervalo que no contiene

al punto 𝒙 = −𝒃

𝒂

es llamada Ecuación de Cauchy-Euler.

OBSERVACIÓN

Esta ecuación está definida en ℝ, pero solo es normal en

aquellos intervalos que no contienen al punto 𝒙 = −𝒃

𝒂.

E.D. de Cauchy Euler

Procedimiento de solución

1.- Se realiza el cambio de variable

• 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) cuando se considera un intervalo 𝑰 contenido

en ] −𝒃

𝒂; +∞[

• 𝒖 = 𝒍𝒏(−𝒂𝒙 − 𝒃) cuando se considera un intervalo 𝑰

contenido en ] − ∞; −𝒃

𝒂[

Esto reduce (*) a una E.D.L. con coeficientes constantes.

2.- Use los métodos anteriores para hallar la solución buscada.

Ejemplo Ejemplo 1

Determine la solución general de

𝒙𝟐𝒚′′ − 𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎

Solución

Realizamos el cambio de variable 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 o equivalente mente

𝒙 = 𝒆𝒖 (trabajaremos en el intervalo ]𝟎; +∞[)

La ecuación diferencial en la variable 𝒙 es:

𝒙𝟐𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐− 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟐𝒚 = 𝟎

Aplicando la regla de la cadena tenemos: 𝒚 → 𝒙 → 𝒖 𝒅𝒚

𝒅𝒖=

𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒖=

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒆𝒖 →

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒆−𝒖

𝒅𝒚

𝒅𝒖

Análogamente para la segunda derivada: 𝒅𝒚

𝒅𝒙→ 𝒙 → 𝒖

Ejemplo Ejemplo 1

Análogamente para la segunda derivada: 𝒅𝒚

𝒅𝒙→ 𝒙 → 𝒖

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒖𝟐=

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 𝒆𝒖 𝒆𝒖 +

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒆𝒖 =

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 𝒆𝟐𝒖 + 𝒆−𝒖

𝒅𝒚

𝒅𝒖𝒆𝒖

=𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 𝒆𝟐𝒖 +

𝒅𝒚

𝒅𝒖

De donde

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐= 𝒆−𝟐𝒖

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒖𝟐 −𝒅𝒚

𝒅𝒖

Reemplazamos en la ecuación y obtenemos:

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒖𝟐 − 𝟐𝒅𝒚

𝒅𝒖+ 𝟐𝒚 = 𝟎

La solución general de esta ecuación es:

𝒚 = 𝒄𝟏𝒆𝒖𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝒄𝟐𝒆

𝒖 𝒔𝒆𝒏(𝒖)

Y regresando a la variable 𝒙 tenemos

𝒚 = 𝒄𝟏𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒍𝒏 𝒙 ; ∀𝒙 > 𝟎

Ejemplo Ejemplo 2

Determine la solución general de las siguientes E.D.

a.- 𝒙𝟐𝒚′′ − 𝟒𝒙𝒚′ + 𝟔𝒚 =𝟏

𝒙

b.- 𝒚′′ −𝟐

𝒙𝒚′ −

𝟏𝟎

𝒙𝟐𝒚 = 𝒙𝟑𝒍𝒏𝒙

Solución

Bibliografía

2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones-

José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez

3. Calculus - James Stewart

1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-

Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime Escobar A.