Seminar 4.Aproximri polinomiale Responsabili :

Mihaela Vasile (mihaela.a.vasile@gmail.com)

Cosmin-Stefan Stoica(cosmin.stoica9@gmail.com)

Obiective

In urma parcurgerii acestui seminar, studentul va fi capabil sa:

-aplice diferite metode de aproximare polinomiala pentru o functie

-cunoasca diferentele intre aceste metode

Breviar teoretic 1.Aproximare uniform

Cel mai bun polinom de aproximare uniform (polinomul minimax) al unei funcii

fC([a,b]) se definete ca polinomul pn de grad n, care se ndeprteaz cel mai puin n sensul

normei de funcia dat:

xpxfmaxminpfminpf n

b,axpn

p

*

nnnnn

Teorema de caracterizare a polinomului minimax

pn* este polinom minimax dac e(x)=f(x)-pn

*(x) atinge de n+2 ori valoarea

extrem +E sau E cu alternane de semn ntre dou extreme consecutive.

Polinoamele Cebev prezint proprietatea de alternan din teorema de caracterizare i servesc

la obinerea polinomului minimax.

Pentru determinarea polinomului minimax al unei funcii date fC([a,b]) :

se face schimbarea de variabil:

2

abt

2

abx:1,1tb,ax

n funcia f(x) obinndu-se funcia (t)

se aproximeaz polinomul minimax pn*(t) prin dezvoltarea n serie de polinoame Cebev

limitat la gradul n a funciei (t), transformata lui f(x)

n

0k

k

k

n

0k

kk

*

n tatTctp

Teorema de caracterizare conduce la sistemul de ecuaii liniare:

1n:0j,E1tptf jj*nj

1n:0j,tfE1ta jn

0k

jk

jk

n care tj sunt punctele de oscilaie ale polinomului Tn+1(t):

1n:0j,1n

jcostj

mailto:mihaela.a.vasile@gmail.commailto:cosmin.stoica9@gmail.com

se face schimbarea de variabil

ab

abx

ab

2t:b,ax1,1t

n polinomul minimax pn*(t) trecndu-se n [a,b]

Algoritmii Remes

Algoritmul 1 al lui Remes calculeaz o aproximare a polinomului minimax

Rn+1(tj)= (tj), j=0:n+1

Sn+1(tj)=(-1)j

cu care se aproximeaz n sistem:

pn*(t)=Rn+1(t)-ESn+1(t)

Identificnd coeficienii se obine:

1n

1n

s

rE

n:0i,ss

rra i

1n

1n

ii

1n:0j,1n

jcostj

,

In algoritmul 2 Remes, se caut valorile extreme ale diferenei e(t), fie e(tm) o asemenea

valoare; tj

nnnnnn

nn

nn

ufcuucuucuu

ufcuucuucuu

ufcuucuucuu

,,,,

,,,,

,,,,

***

***

***

2211

22222121

11212111

care permite determinarea coeficienilor celui mai bun aproximant:

n

k

kk ucg0

Aproximare continu n sensul cmmp

Aproximarea continu n sensul celor mai mici ptrate alege produsul scalar de forma

dxxgxfxwgfb

a

, ,

i norma b

adxxfxwf

2

Baza polinomial

nn xxuxxuxu ,, 10 1 ,

conduce la un sistem Hilbert, foarte ru condiionat.

Baza trigonometric

)cos(),sin(,),cos(),sin(, nxnxxx 2

1

este ortonormat n raport cu produsul scalar continuu

2

0

qrrqrq1

rq0dx)x(u)x(u

1,

pentru orice funcie 11, Cf

Coeficienii celui mai bun aproximant

)pxsinbpxcosa(2

ag p

n

1p

p

0*

se calculeaz direct

2

0

002

1dxxfufa ,

2

0

1

1dxxxfb sin ,

2

0

1

1dxxxfa cos ,

2

0

1dxpxxfbp sin ,

2

0

1dxpxxfap cos .

Baza Cebev

xTxT n,,, 12

1

este ortogonal n raport cu produsul scalar

1

12

rq

.0rq

,0rq2

,rq0

x1

dxxTxT

pentru orice funcie arbitrar 1,1Cf .

Coeficienii polinomului optimal de aproximare

xTaxTaa

xp nnn 110

2

* ,

sunt

1

1

1

12

02

0

12

1

12

1dx

x

xfadx

x

xfa

, ,

1

1

1

122

11

2

12npdx

x

xTxfadx

x

xTxfa

p

p

p

p :,,

Aproximare discret n sensul cmmp

n aproximarea discret n sensul celor mai mici ptrate, funcia b,aCFf este cunoscut pe un suport finit nxxx ,,, 10 prin valorile ei n10 xf,,xf,xf i se

dorete a fi aproximat optimal n sensul celor mai mici ptrate printr-o funcie FGg* ,

cunoscut prin valorile sale n10 xg,,xg,xg .

Subspaiul G este generat de elementele liniar independente xuxuxu n,,, 10

din F.

Produsul scalar i norma sunt

ii

n

0i

i xgxfxwg,f

,

n

i

ii xfxwf0

2 .

Sistemul normal obinut folosind baza polinomial are forma

n:0j,xxfxwxxwc jiin

0i

i

jk

i

n

0i

i

n

0k

*

k

.

Baza trigonometric:

)cos(),sin(,),cos(),sin(, xnxnxx 112

1

este ortogonal n raport cu produsul scalar discret

rqn

nrqrqxuxu

n

k

krkq

120012

0

:,,)()(

Suportul interpolrii este format din puncte echidistante n 20, :

120 nkn

kxk :,

Coeficienii polinomului minimal de aproximare discret trigonometric n sensul celor mai mici

ptrate

x1ncosax1nsinbxcosaxsinb2

a)x(p 1n1n11

0

rezult din sistemul diagonal Gram:

12

0

02

1

2

1 n

k n

kffa

, ,

12

0

n

k

j jn

k

n

kfjxfb

sinsin, ,

.:,coscos, 1112

0

njjn

k

n

kfjxfa

n

k

j

Baza Cebev:

)(,),(, xTxT n12

1,

este ortogonal n raport cu produsul scalar discret

.

,:,,

)()(rq

n

nrqrq

xuxun

k

krkq

2

1

00

0

Suportul interpolrii este format din rdcinile polinomului

01 xTn , nkn

kxk :,cos 0

22

12

Coeficienii polinomul optimal de aproximare discret n sensul celor mai mici ptrate

)()()( xTaxTaa

xp nn 110

2

sunt:

n

k

kfn

a0

01

2,

njxTfn

an

k

kjkj :, 11

2

0

,

Probleme rezolvate 1. Considerm funcia x3xx)x(f,R]1,1[:f 23 .

a) Calculai valorile exacte ale polinoamelor minimax de grade 0,1,2 a lui )x(f i calculai n fiecare

caz abaterea ntre )x(f i polinomul minimax corespunztor.

b) Aplicai algoritmul lui Remes pentru aproximarea polinomului minimax de grad 1.

Soluia. a) Calculm derivata lui )x(f : 03x2x3)x('f 2 pentru orice ]1,1[x ,

deci f este cresctoare pe intervalul ]1,1[ .

Avem 5)1(f i 3)1(f , deci -1 i 1 sunt punctele de extrem ale funciei.

Pentru polinomul de grad zero trebuie s avem dou puncte de alternan.

12

35

2

)1(f)1(f)x(p

*

0

Abaterea este )x(p)x(f)x( *0 , de unde avem:

4)1(5)x(p)x(f 1*

011

4)1(3)x(p)x(f 2*

022

Pentru polinomul de grad unu sunt necesare trei puncte de alternan.

baxxp )(*1

bxaxxbaxxxxxpxfx )3(3)()()( 2323*1

Dac impunem condiia de extrem, 0)a3(x2x3)x(' 2 , obinem

3

8a31x 2,1

Pentru a prezenta trei alternane trebuie ca 0)x(' s aib dou rdcini reale pe ]1,1[ , deci

3

8a .

Impunem condiia 4a)1()1( , deci :

3

1

1

3

41

2

1

2,1 x

x

x

Impunem din nou condiia 27

11

3

1)1(

b .

27

114)(*1 xxp

Abaterea este )x(p)x(f)x( *1 , de unde avem:

2

1)x(T

2

1)x(p)x(f 2

*

1

Pentru polinomul de gradul doi avem:

x4

15x

4

x3x4x3xx)x(T

4

1)x(f)x(p

23

23

3

*

2

.

n acest caz, abaterea va fi:

4

1)x(T

4

1)x(p)x(f 3

*

2 .

b) Pentru aproximaia polinomului de gradul 1 folosim algoritmul Remes 1 i avem:

)x(SE)x(Rxcc)x(p 2210*

1

unde 22102 xrxrr)x(R i

2

2102 xsxss)x(S

Suportul interpolrii este 1,0,1 , deci:

1

4

0

3

0

5

2

1

0

210

0

210

r

r

r

rrr

r

rrr

2

0

1

1

1

1

2

1

0

210

0

210

s

s

s

sss

s

sss

Deci avem polinoamele x4x)x(R 22 , 1x2)x(S2

2 i 2

1E .

2

1x4)x(SE)x(R)x(p 22

*

1 .

Abaterea va fi:

2

1xxx

2

1x4x3xx)x(p)x(f)x(

2323*

1

3

1x

1x

6

1242x01x2x3)x('

2

1

2,1

2 .

Pentru o mai bun aproximare vom lua n loc de 0 punctul 3

1 , deci vom reface calculele:

3

4

4

3

1

3

27

31

93

5

2

1

0

210

210

210

r

r

r

rrr

rrr

rrr

4

9

0

4

5

1

193

1

2

1

0

210

210

210

s

s

s

sss

sss

sss

De unde obinem noile polinoame 3

1x4x

3

4)x(R

2

2 , 4

5x

4

9)x(S

2

2 i

27

16

9

4

3

4E .

27

11x4)x(SE)x(R)x(p 22

*

1 .

2. S se determine polinomul Cebev de grad 2 pentru funcia f:[-5,3] R; f(x)=2x+1.

Soluie. Pas1: Schimbare de variabil

14

3

5

tx

ba

babatx

=> 18)14()(;]1,1[: ttftFF ;

Pas2: Se scrie forma general a polinomului de interpolare Cebev de grad 2.

)()()(2

)( 221100

2 tTatTatTa

tP

Pentru a determina coeficienii a0,a1,a2 lum rdcinile lui T3(t)=0.

;34)(

;2

3;0;

2

30)(

3

3

3213

tttT

ttttT

n

i

ixfn

a0

0 );(1

2

n

i

ipip xTxfn

a0

);()(1

2

134)(;1)(;134)( 321 tFtFtF ;

2)1341134(3

2))()()((

12

23210

tFtFtFa

8)2

3)134(1*0

2

3)134((

3

2))()()((

12

23322111

ttFttFttFa ;

;18)(81

;0)2

1)134(1*1

2

1)134((

3

2))12)(()12)(()12)(((

12

2

12

2

33

2

22

2

112

ttTP

ttFttFttFa

3. S se determine 2P ,polinom de grad 2 care realizeaz aproximarea n sensul celor mai mici

ptrare a funciei x)x(f pe intervalul 1,1 cu ponderea 1)x(w .

Soluie. Vom considera baza canonic 2210 xu,xu,1u . Sistemul Gram este:

)x(f,xx,xcx,xc1,xc

)x(f,xx,xcx,xc1,xc

)x(f,1x,1cx,1c1,1c

222

2

2

1

2

0

2

210

2

210

Calculul produselor scalare ne conduce la:

02

xxdx1,xx,1

1

1

21

1

3

2

3

xdxx1,xx,xx,1

1

1

31

1

222

04

xdxxx,xx,x

1

1

41

1

322

5

2

5

xdxxx,x

1

1

51

1

422

1dxx)x(f,1

1

1

0dxxx)x(f,x

1

1

2

1dxxx)x(f,x

1

1

22

Sistemul devine:

16

15c

0c

16

3c

2

1c

5

2c

3

2

0c3

2

1c3

2c2

2

1

0

20

1

20

Deci, polinomul care realizeaz aproximarea continu n sensul celor mai mici ptrare este:

16

3x

16

15)x(p

2

2

4.S se determine 2P care realizeaz aproximarea discret n sensul celor mai mici ptrare a funciei

dat prin tabelul de mai jos cu ponderea 1)x(w .

x -1 2

1

0

2

1

1

)x(f 1 2

1

0

2

1

1

Soluie. Vom considera baza canonic 2

210 ,,1 xuxuu . Sistemul Gram este:

)(,,,1,

)(,,,1,

)(,1,1,11,1

222

2

2

1

2

0

2

210

2

210

xfxxxcxxcxc

xfxxxcxxcxc

xfxcxcc

Calculul produselor scalare ne conduce la:

511,14

0

i

01,,14

0

i

ixxx

2

51,,,1

4

0

222 i

ixxxxx

0xx,xx,x

4

0i

3

i

22

8

17xx,x

4

0i

4

i

22

3x)x(f,1

4

0i

i

0xx)x(f,x

4

0i

ii

4

9xx)x(f,x

4

0i

i

2

i

2

Sistemul devine:

7

6

0

35

6

4

9

8

17

2

5

02

5

32

55

2

1

0

20

1

20

c

c

c

cc

c

cc

35

6

7

6)( 22 xxp

Probleme propuse

1. Considerm funcia xxxfRf 3)(,]1,1[: .

a)Determinati polinomul de grad 2 care realizeaza aproximarea continua in sensul celor mai mici

patrate cu 1)( x .

b) Determinati valoarea exacta a polinomului minimax de grad 2 si aproximarea polinomului

minimax de grad 1.

2. Considerm funcia )cos()(,]2,0[: xxxfRf .Determinati polinomul trigonometric

)2cos()2sin()cos()sin(2

)( 22110

2 xbxaxbxaa

xP care realizeza aproximarea

continua in sensul celor mai mici patrate.

3. Pentru funcia xexf,R1,1:f , determinai polinomul

)x(Ta)x(Ta2

aP 2211

0 care realizeaz aproximarea continu conform principiului

celor mai mici ptrate

4. Considerm funcia 21)(,]1,1[: xxxfRf .Calculati coeficientii Polinomului Cebisev

de grad 3 de aproximare continua in sensul celor mai mici patrate.

5. Pentru funcia f:[-1, 1]R, f(x)=x5-x+1 se cere valoarea exact a polinomului minimax de gradul

4 i o valoare aproximativ a polinomului minimax de gradul 2, folosind primul algoritm Remes.

6. Pentru funcia f:[-2, 2] R, f(x)=x4 +1 se cere valoarea exact a polinomului

minimax de gradul 3 i o valoare aproximativ a polinomului minimax de gradul 2, folosind primul

algoritm Remes.

7. Calculai polinomul de aproximare discret Cebev n sensul celor mai mici ptrate de grad 2

tiind c funcia f cunoscut n punctele:

x -3/2 0 3/2

f 1/2 1 -1/2

8. Pentru funcia f, cunoscut prin

X 0 /2 3/2

f(x) -1 0 1 2

calculai cel mai bun polinom de aproximare trigonometric n sensul celor mai mici ptrate de

ordin 2.