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Ángel Carmelo Prieto Colorado
Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía.Facultad de Ciencias.
Universidad de Valladolid.
Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales
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Simetría característica de los Sistemas Cristalinos
Redes y Celdas de Bravais
Ejes helicoidales y planos de deslizamiento
Grupos de Simetría Espacial tridimensional
Símbolos de los Grupos Espaciales de Simetría
Tablas Internacionales de Cristalografía
Tema 11
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7 Sistemas Cristalográficos, 3D
€
Sistema Parámetros FundamentalesCúbico a = b = c; α = β = γ = 90°
Hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90°,γ =120°
Tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90°
Trigonal a = b = c; 120° ≥α = β = γ ≠ 90°
Ortorrombico a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°
Monoclínico a ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ β
Triclinico a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
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Simetría característica de los 7 SC, 3D
€
Sistema Parámetros Fundamentales Simetría esencial DirecciónTriclínico a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90° - -
Monoclínico a ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ β 2 010Ortorrombico a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90° 222 100 010 001
Trigonal a = b = c; 120° ≥α = β = γ ≠ 90° 3 001Tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90° 4 001Hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90°,γ =120° 6 001
Cúbico a = b = c; α = β = γ = 90°4 ∗ 33∗ 4
111 1 11 11 1 111
100 010 001
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Simetría puntual compatible con los 7 SC, 3D
€
SistemaCentro Simétricos
G.LaueEnantiomorfos Polares
Triclínico 1 1 1Monoclínico 2 /m 2 2,mOrtorrombico mmm 222 mm2
Trigonal 3 ;3 m 3,32 3,3mTetragonal 4 /m;4 /mmm 4,422 4,4mmHexagonal 6 /m;6 /mmm 6,622 6,6mm
Cúbico m3;m3m 23,432
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14 Redes de Bravais, 3D
Se generan las redes 3D, primitivas, por apilamiento de las 2D.
€
ρ = p a + q
b + z; ∀p,q∈ R{ };0 ≤ p,q ≤1( )
a
bγ
a
bγ
a
bγ
γa b γa
ba ≠ b; γ ≠ 90ºRed Oblicua
a ≠ b; γ = 90ºRed Rectangular
a = b; γ = 90ºRed Cuadrada
a = b; γ≠60º, 90º, 120ºRed Rómbica
a = b; γ = 60º ó 120ºRed Hexagonal
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14 Redes de Bravais, 3D
€
Oblicúa ρ = p a + q
b + z
Triclínico :P
€
Rectangular P ρ = p a + 0
b + z
Monoclínico :P
€
Rectangular C ρ = p a + 0
b + z
Monoclínico :C
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14 Redes de Bravais, 3D
€
Rectangular P ρ = 0 a + 0
b + z
Ortorrómbico :P
€
Rectangular C ρ = 0 a + 0
b + z
Ortorrómbico :C
€
Rectangular P ρ = 0.5 a + 0.5
b + z
Ortorrómbico : I
€
Rectangular C ρ = 0.5 a + 0
b + z
Ortorrómbico :F
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14 Redes de Bravais, 3D
€
Cuadrada P ρ = 0 a + 0
b + z
Tetragonal :P
€
Cuadrada P ρ = 0.5 a + 0.5
b + z
Tetragonal : I
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14 Redes de Bravais, 3D
€
Hexagonal P ρ = 0 a + 0
b + z
Hexagonal :P
€
Hexagonal P ρ =
13 a + 1
3 b + z
Trigonal ó Romboedrica : R
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14 Redes de Bravais, 3D
€
Cuadrada P ρ = 0 a + 0
b + a
Cúbico :P
€
Cuadrado P ρ = 0 a + 0.5
b + a
2Cúbico :F
€
Cuadrada P ρ = 0.5 a + 0.5
b + a
2Cúbico : I
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14 Redes de Bravais, 3D
El apilamiento de redes bidimensionles h a c i e n d o c o i n c i d i r e l e m e n t o s d e simetría, dan lugar a 14 redes de Bravais t o d a s e l l a s P R I M I T I VA S c o n parámetros a1, a2 y a3.
Ahora bien, si consideramos como sistemas referenciales las direcciones reticulares de máxima simetría, A1, A2 y A3, surgen 14 celdas de Bravais algunas PRIMITIVAS y otras MULTIPLES, p e ro a g r u p a d a s e n 7 s i s t e m a s d e re f e re n c i a q u e s o n l os 7 S i s te m a s Cristalinos.
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14 Redes de Bravais, 3D
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14 Celdas de Bravais, 3D
P, Triclínicoa≠b≠c;
α≠β≠γ≠90º
P, Monoclínicoa≠b≠c;
α=β= 90º≠γ
C, Monoclínicoa≠b≠c;
α=β= 90º≠γ
P, Ortorrómbicoa≠b≠c;
α=β= γ=90ºC, Ortorrómbico
a≠b≠c;α=β= γ=90º
I, Ortorrómbicoa≠b≠c;
α=β= γ=90ºF, Ortorrómbico
a≠b≠c;α=β= γ=90º
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14 Celdas de Bravais, 3D
R, Trigonala=b=c;
α≠β≠γ≠90º
P, Tetragonala=b≠c;
α=β=γ=90º
I, Tetragonala=b≠c;
α=β=γ=90º
H, Hexagonala=b≠c;
α=β=90º γ=120ºC, Cúbico
a=b=c;α=β= γ=90º
I, Cúbicoa=b=c;
α=β= γ=90ºF, Cúbico
a=b=c;α=β= γ=90º
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14 Celdas de Bravais, 3D
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Ejes helicoidales: np
€
T = u a + v
b + w c ;(u,v,w ∈ {Z})
Ejes helicoidales : np = n ∗ τ τ =
pn
; τ = n ∗ a ; τ < a ⇔ p < n T = n τ T = u a = n τ ⇔ u a = np a ⇒ u = np⇒ p =
un
Si p <1 y u,n ∈ {Z}⇒ p 1,2,3.....,n −1.{ }
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Ejes helicoidales: np
€
n u p =un τ = p a np
2 1 12
12 a 21
3 1 13
13 a 31
2 23
23 a 32
4 1 14
14 a 41
2 24
24 a 42
3 34
34 a 43
6 1 16
16 a 61
2 26
26 a 62
3 36
36 a 63
4 46
46 a 64
5 56
56 a 65
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Ejes helicoidales: np
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Planos de deslizamiento: a, b, c, n, d
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Planos de deslizamiento: a, b, c, n, d
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230 Grupos de Simetría Espacial (GSE)
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230 Grupos de Simetría Espacial (GSE)
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230 Grupos de Simetría Espacial (GSE)
€
Sistema Monoclínico : P, C.
GSP : 2m
P2 /m P21 /m P2 /c P21 /cC2 /m C2 /c
Sistema Tetragonal : P, I.GSP : 4 2mP4 2m P4 21m P4 2c P4 21c P4 m2 P4 b2 P4 c2 P4 n2I4 2m I4 2d I4 m2 I4 c2
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230 Grupos de Simetría Espacial (GSE)
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230 Grupos de Simetría Espacial (GSE)
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Tablas Internacionales de DRX
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Tablas Internacionales de DRX
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Simetría Cristalina
E. Monodimensional
E. Bidimensional
E. TridimensionalCRISTAL
RED + MOTIVO ESTRUCTURA CRISTALINA=
32 GSP
10 GSP 17 GSE
14 Redes de Bravais 230 GSE
5 Redes Planas
7 GSE
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Elementos de Simetría
G.T. G.t.f.G.R.
E.S.P. E.S.I. E.S.t
32 GSP 230 GSE
14 Redesde Bravais
7 SistemasCristalinos
66 GParitméticos
α,β,γ
Parametrosde Red
a,b,c
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Física de la Materia Condensada, Cristalografía y MineralogíaFacultad de Ciencias
Universidad de Valladolid