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resultados.

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ión de funciones.

Y PROBA

BILIDAD II

babilidad. Probabilidad.

ada. Probabilidad total.

eo. Inferencia estadística.

B A C H I L L

NÚMEROS Y Á

EJERCICIOSDE MATEMÁAPLICADAS A LAS C

J. COLERA, R. GARCÍA, M.

L a oferta de Anaya Educación para estamateria está formada por:

• Materiales para el alumno:– Libro con CD-ROM. Un manual claro, rigu-

roso y bien organizado, con una completaexposición de los contenidos de la materiaacompañados de un rico conjunto de acti-vidades.Además, el libro incorpora, sin ningún cos-te adicional, un CD-ROM para el alumnocon diversos recursos. Este CD es un com-plemento práctico, y sencillo de manejar,para el trabajo de los estudiantes.

– Cuadernos de Ejercicios de Matemáticasaplicadas a las Ciencias Sociales I.

• Materiales para el profesorado. Está com-puesto por:

– Este libro, Orientaciones y recursos didácti-cos, en el que se facilita al profesorado laprogramación de aula y el proyecto curri-cular, entre otros recursos.

– El libro Solucionario, con la solución de to-das las actividades del libro del alumno.

– Un estuche con dos CD-ROM: uno de Re-cursos Didácticos y otro de Evaluación.

Anaya pone también a disposición del profeso-rado la web www.anayamascerca.com, un pun-to de encuentro para la comunidad educativacon recursos, formación y herramientas diseña-das específicamente para facilitar la labor do-cente.

J. COLERAM.J. OLIVEIRAR. GARCÍAE. SANTAELLAMatemáticasCiencias Sociales I

aplicadas a las

Bachillerato 1

CONTIENE CD-ROM

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

© G

rupo Anaya, S.A

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MatemáticasCiencias Sociales I

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M.J. OLIVEIRA

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69

LOS MATERIALES PARA EL ALUMNOEL LIBRO DEL ALUMNOAnaya Educación incorpora en este proyecto educativo las disposicio-nes que, en los ámbitos científico y didáctico, establecen actualmentelas correspondientes administraciones educativas.

El resultado de este esfuerzo editorial es, como material para los alum-nos, el libro Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I de 1.º deBachillerato. En él se estructuran los contenidos del currículo para Ma-temáticas I en cinco bloques, que, a su vez, se organizan en unidadesdidácticas.

Inicio y final de bloque

Cada uno de los bloques en losque está dividido el libro se iniciacon un eje cronológico en el quese señalan los avances mássignificativos del campo tratadoen las unidades siguientes.

Cada bloque finaliza con unaautoevaluación donde el alumnopodrá comprobar el progresocosechado tras el estudio de lasunidades de dicho bloque.

103102

NOTAS HISTÓRICAS. ANÁLISIS

1900

Invención del telescopio

Publicación de laprimera tabla de logaritmos

Publicación de losprincipios de lacirculación sanguínea

Aparece lailuminación

a gas

Invención delas cerillas

Invención dela fotografía

Se instaura lademocracia enGran Bretaña

Invención delcódigo Morse

Independenciade la América

española

Primer vuelo deun planeador

Invención delplástico sintético

Mendel: leyes de la genética

Invención delteléfono y dela luz eléctrica

Galileo

Newton (1643-1727) y Leib-nitz (1646-1716) inventan, caside manera simultánea, el con-cepto de derivada, generalizan-do las técnicas que Arquímedesempleó en el cálculo de áreas yvolúmenes y utilizando el siste-ma gráfico de Descartes.

4

Cauchy (1789-1857) formalizael concepto de derivada rela-cionándolo de forma explícitacon el concepto de límite.

5

Freud

Guerra civil norteamericana

Nace Italia

Kepler

Cauchy

5

El análisis es la rama de las matemáticas que proporciona concep-tos y métodos para el estudio cuantitativo de los distintos procesosde dependencia y de cambio de una magnitud respecto a otras.Surge en un periodo en el que el desarrollo de la mecánica y de laastronomía había proporcionado ya un cúmulo considerable deobservaciones, medidas e hipótesis y estaba impulsando a la cien-cia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillasde movimiento.

1600

1650

1700

1750

1800

1850

Descubrimientode las islas

del Pacífico surSe construye el palacio

de Versalles

Darwin

Molière

Invención del termómetro

de mercurio

Manufacturadel cristal

plano

Guerra de Sucesión española

Nace Gran Bretaña y el sistema

parlamentario

Diderot: primeraenciclopedia

Descubrimiento de Australia

Auge del imperio británico

Máquina de vaporde Watt: revolución

industrial

Napoleón

Primer tratado de mecánica

Rusia exploraAlaska

Leibnitz

Nace el concepto de función,básico para el desarrollo delanálisis, para estudiar lasvariaciones de ciertas magni-tudes respecto de otras. New-ton, Leibnitz y Bernoulli, conel apoyo gráfico de los diagra-mas cartesianos, hicieron unuso creativo y fecundo de esteconcepto.

1

El cálculo infinitesimal (lí-mites, derivadas, integrales)fue creado para resolver losprincipales problemas científi-cos, algunos planteados siglosatrás, del siglo XVII:• Obtener longitudes de cur-

vas.• Calcular áreas y volúmenes

de cuerpos geométricos.• Determinar la tangente a una

curva en un punto.

21 4

Newton

1

Nace el cálculoinfinitesimal

2

4

Euler3

Descartes1

Bernoulli1

Euler (1707-1783) formalizael concepto de función dotán-dolo de entidad matemática yde una nomenclatura precisa.

3

Descubrimientodel anillo

de Saturno

Revolución Francesa

Batalla de Trafalgar

En tu CD tienes algunas notas históricas correspondientes a este bloque y una lectura sobre El creci-

miento de una población. También puedes leer algunas biografías de insignes matemáticos.

Introducción a la unidad

Con el fin de que los alumnos ylas alumnas se centren en el temaque se va a tratar, ofrecemos, en dos páginas, una breveintroducción históricay un conjunto problemas quepodrán ser resueltos con losconocimientos aprendidos encursos anteriores.

INICIACIÓN AL CÁLCULO DEDERIVADAS. APLICACIONES7

174

E l concepto de derivada surgió como resultado de algunos siglosde esfuerzo dirigidos a resolver dos problemas: determinar la rec-

ta tangente a una curva en uno de sus puntos y encontrar velocidadesinstantáneas en movimientos no uniformes. Estos problemas interesa-ron a los matemáticos desde tiempos antiguos, pero hasta el siglo XVI,la resolución de cada problema particular se hacía mediante un méto-do específico no generalizable a otros problemas similares.

En el siglo XVII, los conocimientos acumulados hasta entonces permi-tieron a Newton y Leibnitz dar una respuesta teórica y completa a to-dos estos tipos de problemas, mediante la invención de la derivada.Un siglo después, Euler contribuyó a mejorarla. No obstante, la baselógica y, por tanto, los conceptos formales desarrollados por estosmatemáticos fueron insuficientes para que el cálculo de derivadasfuera un proceso claro y sistemático. Fue Cauchy, a comienzos delsiglo XIX, quien, al relacionar de forma clara el concepto de derivadacon el de límite, consiguió un respaldo formal básico gracias al cualel cálculo de derivadas se redujo a sencillas operaciones formales.Tanto es así, que un estudiante actual de Bachillerato maneja estosprocedimientos con mayor soltura que los grandes matemáticos an-teriores a Cauchy.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

175

UNIDAD 47UNIDAD

REFLEXIONA Y RESUELVE

Tomar un autobús en marcha

En la gráfica siguiente, la línea roja representa el mo-

vimiento de un autobús que arranca de la parada y

va, poco a poco, ganando velocidad.

¬ y corresponden a pasajeros que llegan tarde y

corren para tomar el autobús en marcha.

El pasajero ¬ llega a la parada 7 s después de que sa-liera el autobús, y lo alcanza 4 s más tarde, 20 m másallá.

Corrió a = 5 m/s 8 5 · 3,6 = 18 km/h

(Recuerda que para pasar de m/s a km/h, se multiplica por 3,6. Esdecir, V m/s = 3,6V km/h).

La velocidad del autobús en el instante en que es al-canzado la hallaremos aproximadamente:

En el instante 10 s está a 16 m de la parada.

En el instante 12 s está a 25 m de la parada.

Velocidad media = = 4,5 m/s = 16,2 km/h

Puesto que el pasajero ¬ llega al autobús con unavelocidad aproximadamente igual a la que este tieneen ese instante, accederá a él suavemente.

a) Al viajero lo acercan en bicicleta. Describe sumovimiento y halla la velocidad a la que corre.

b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús enel momento que lo alcanza el pasajero ?

¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?

¿Es preferible esperar o correr trasel autobús?

Los viajeros ® y ¯, en el momento de la salida del

autobús, estaban a 100 m de la parada. El ® decide

esperarlo y entrar en él cuando pase por allí.

El ¯ tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño?

a) Describe el movimiento del pasajero ¯.

b) Explica por qué el comportamiento del pasajero ¯es mucho más sensato que el del ®, quien tendrámuy difícil la entrada en el autobús.

Carrera de relevos

La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dosatletas, del mismo equipo, durante una carrera de re-levos:

a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 Ò 100 m cadarelevista empieza a correr antes de que llegue sucompañero?

b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?

c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientossean tangentes?

¿Cómo son sus velocidades en el momento de laentrega del “testigo”?

2.º relevista

1.er relevista

5 s

50 m

10 s 15 s 20 s

4

3100 m

9 m2 s

204

5 s

50 m

10 s 15 s 20 s

1

2

Ejercicios y problemasresueltos y propuestos

Una vez finalizado el desarrollode los contenidos de la unidad,se ofrecen varias páginas conejercicios y problemas-tiporesueltos, que sirven de modeloal alumnado para realizar otros.

Los ejercicios y problemaspropuestos, divididos en epígrafessegún su naturaleza, estánsecuenciados por orden dedificultad dentro de cada uno de esos apartados.

276

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Función de densidad

a) Calcula el valor de k para

que la función

f(x) =

sea una función de densi-

dad.

b) Halla las probabilidades

P[x < 3], P[3 Ì x Ì 5].

0, x < 2

k, 2 Ì x Ì 4

2k, 4 < x Ì 6

0, x > 6

°§¢§£

a) El área del recinto rojo es 2 · k + 2 · 2k = 6k.Puesto que el área encerrada bajo la fun-ción de densidad debe ser igual a 1:

6k = 1 8 k =

b) P [x < 3] es el área del recinto rojo:

P [x < 3] = 1 · =

P [3 Ì x Ì 5] es el área del recinto verde:

P [3 Ì x Ì 5] = 1 · + 1 · = 12

13

16

16

16

16

1

y = f (x)

k

2k

2 4 6

1—3

1—6

2 4 53 6

Manejo de la tabla de la N (0, 1)

En una distribución normal

N(0, 1), calcula las siguientes

probabilidades:

a) P [z Ì –0,83]

b) P [z > –1,27]

c) P [–1 < z < 0,35]

a) P [z Ì –0,83] = P [z > 0,83] = 1 – P [z < 0,83] =

= 1 – f (0,83) = 1 – 0,7967 = 0,2033

b) P [z > –1,27] = P [z Ì 1,27] = f (1,27) = 0,8980

c) P [–1 < z < 0,35] = P [z Ì 0,35] – P [z Ì –1] =

= P [z ≤ 0,35] – (1 – P [z Ì 1]) =

= f (0,35) – [1 – f (1)] =

= 0,6368 – 1 + 0,8413 = 0,4781

2

0,83–0,83

1,27–1,27

–1 0,35

Distribución normal

Las estaturas de los individuos

de una población se distribu-

yen normalmente con media

175 cm y desviación típica

10 cm. Calcula la probabilidad

de que:

a) Un individuo tenga una es-

tatura mayor que 180 cm.

b) Un individuo tenga una es-

tatura menor que 170 cm.

c) ¿Qué proporción de indivi-

duos tiene una estatura

comprendida entre 170 cm y

180 cm?

Llamemos x a la estatura en centímetros de un individuo.

x es N (175, 10).

a) P [x > 180] = P z > = P [z > 0,5] = 1 – P [z < 0,5] =

= 1 – 0,6915 = 0,3085

b) P [x < 170] = P z < = P [z < –0,5] = 1 – P [z < 0,5] =

= 1 – 0,6915 = 0,3085

c) P [170 Ì x Ì 180] = P [–0,5 < z < 0,5] =

= 2P [0 < z < 0,5] =

= 2 [f (0,5) – f (0)] = 0,383

La proporción de individuos con talla comprendida entre 170 cm y180 cm es del 38,3%.

]170 – 17510[

]180 – 17510[

3

0,50–0,5

169

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 6

Discontinuidades y continuidad

1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde auna función continua?

b) Señala, en cada una de las otras cinco, larazón de su discontinuidad.

2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay,de las siguientes funciones:

a) y = x2 + x – 6

b) y =

c) y =

d) y =

e) y =

f) y =

3 Comprueba si las siguientes funciones son con-tinuas en x = 0 y en x = –2:

a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

4 Indica para qué valores de Á son continuas lassiguientes funciones:

a) y = 5 – b) y =

c) y = d) y =

e) y = f) y = x2 – x

5 Comprueba que las gráficas de estas funcionescorresponden a la expresión analítica dada y disi son continuas o discontinuas en x = 1.

a) f (x) =

b) f (x) =

c) f (x) =

6 Comprueba si la función:

f (x) =

es continua en x = 0.

* Recuerda que para que f sea continua en x = 0,

debe verificarse que f (x) = f (0).

7 Comprueba si las siguientes funciones son con-tinuas en los puntos que se indican:

a) f (x) = en x = –1

b) f (x) = en x = 2

c) f (x) = en x = 13x si x Ì 1

x + 3 si x > 1°¢£

2 – x2 si x < 2

(x/2) – 3 si x Ó 2°¢£

(3 – x)/2 si x < –1

2x + 4 si x > –1°¢£

límx 8 0

x2 – 1 si x < 0

x – 1 si x Ó 0°¢£

x2 si x ? 1

–1 si x = 1°¢£

x + 2 si x < 1

3 si x > 1°¢£

1 – x2 si x Ì 1

x – 1 si x > 1°¢£

√5 – 2x

√–3x1x

√x – 3x

2

√7 – 2x

√x2 – 4

x

x2 – 4

1

√x

1x2 + 2

25x – x2

1x2 + 2x + 3

x – 12x + 1

x

(x – 2)2

a) b) c)

d) e) f)

2

2

–2 2

2

–2

4

–2 2

2

–2

–2 2

–22

2

4

4–2 2

2

4

4–2

PARA PRACTICAR

2

2

–2

2

2

–2

2

2

–2

Contenidos de las unidades

Teniendo en consideración losniveles teórico y práctico con losque se accede a este curso, sedesarrolla el contenido teórico yse recalcan los conceptos yprocedimientos fundamentales.

En las unidades que lo requieren,se han introducido páginas sobreel “lenguaje matemático” usadoen la unidad.

Esta información va acompañadade numerosos ejercicios deaplicación, resueltos, que ayudana fijar los conceptos yprocedimientos fundamentales, y de ejercicios propuestos.

108

4.3 FUNCIONES LINEALES y = mx + n

Como sabemos, la función polinómica de primer grado o función

lineal, y = mx + n, se representa mediante una recta de pendiente mque pasa por el punto (0, n). La n se llama ordenada en el origen.

Pendiente de una recta es la variación (aumento o disminución) que seproduce en la y cuando la x aumenta una unidad. En una ecuación li-neal, la pendiente de la recta es el coeficiente de la x cuando se des-peja la y.

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, P (x1, y1),Q (x2, y2), para hallar la pendiente, procedemos así:

m =

Si de una recta (función lineal) se conoce uno de sus puntos (x0, y0) ysu pendiente, m, su ecuación puede ponerse así:

y2 – y1 es la variación de la y

x2 – x1 es la variación de la x

y2 – y1

x2 – x1

FORMA PUNTO-PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

y = m (x – x0) + y0

n

P

Q

(x1, y

1)

(x2, y

2)

y2 – y

1

x2 – x

1

a) La ordenada en el origen es 4, y la pendiente, . Su ecuación es:

y = x + 4

b) Ordenada en el origen, 0. Pendiente, . Su ecuación es: y = x

Recuerda: estas funciones lineales cuyas rectas pasan por el origen sellaman funciones de proporcionalidad.

c) Pendiente: – . Pasa por (2, 7). Su ecuación es: y = – (x – 2) + 743

43

23

23

12

12

Es una función lineal cuyo dominio de definición es-tá limitado al intervalo [2, 6]. Se representa medianteun segmento rectilíneo cuyos extremos A y B son:

x = 2 8 y = 3 · 2 – 5 = 1 8 A (2, 1)

x = 6 8 y = 3 · 6 – 5 = 13 8 B (6, 13)

1. Escribir la ecuación de las

rectas representadas en la

gráfica.

2. ¿Cómo se representa la

siguiente función?

y = 3x – 5, x é [2, 6]

EJERCICIOS RESUELTOS

a

c

b

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Representa la siguiente función:

y = –2x + 7, x é (1, 4]

2. Una función lineal f cumple: f (3) = 5, f (7) = –4,Dom ( f ) = [0, 10]. ¿Cuál es su expresión analíti-ca? Represéntala.

185

CÓMO NOMBRAMOS LAS FUNCIONES Y SUS DERIVADAS

Funciones y variables

Para nombrar una función, utilizamos una letra. Por ejemplo, f, g, h, … Una funciónliga dos variables. Por ejemplo, x e y. Ponemos y = f (x).

Parámetros

Para designar el valor que toma una función f para un cierto valor de x, por ejemplo, 4,ponemos f(4). Pero si no queremos concretar ese valor de x, entonces ponemos a o cu otra letra que no desempeñe, habitualmente, el papel de “variable”: f (a), f (c), … Pero ¿acaso a o c no son variables? Sí, lo son porque varían, es decir, pueden tomarvalores variados. Pero no son la variable de la función. A estas letras las llamamos pará-

metros.

Función derivada

Si f es una función derivable, su derivada es, obviamente, otra función. Sabes que sedesigna f ' ( f prima).

Prima significa primera (míralo en el diccionario). La función derivada de f ', que se de-signaría ( f ' )' se llama derivada segunda de f y se denota simplemente así: f '' ( f se-

gunda). Análogamente, ( f '' )' = f ''' (la derivada de f '' es f tercera).

Estos símbolos fueron, en principio, otros: f I, f II, f III. El uso fue desfigurando los nú-meros romanos, que acabaron transformándose en apóstrofos. Las derivadas posterioresse designan f IV, f V, f VI, …

¿Se pone f ' o Df ?

f ' es el nombre de una nueva función. Df es la orden de derivar la función f y el re-sultado es f ', es decir, Df = f '. Según esto, podemos poner D(x3 – 3x + cos x), pero noes correcto poner (x3 – 3x + cos x)', aunque a veces se pone y no es demasiado grave.

¿Es correcto poner y' ?

Cuando ponemos

y = x2 – 5x + 3 8 y' = 2x – 5

estamos identificando la variable y con la función. Esto es válido y en matemática su-perior se usa con frecuencia. No obstante, creemos que en este nivel es preferible reser-var la y como nombre de la variable dependiente en exclusiva. De este modo, cuandose desea derivar una función como la anterior, o bien le ponemos un nombre:

f (x) = x2 – 5x + 3 8 f '(x) = 2x – 5

o bien utilizamos la orden D:

D (x2 – 5x + 3) = 2x – 5

LENGUAJE MATEMÁTICO

EJERCICIOS

1. En la fórmula que sirve para hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

y = f (a) + f ' (a) (x – a)

di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La x es la variable independien-te, ¿de qué función?

( ) 2 7 1

0 3 8b

a

f(x) ∫ 2

3 1

or ediante

retación de resultados.

ión. las derivadas. Problemas

ón. epresentación de funciones.

ADÍSTICA

Y PROBA

BILIDAD II

cesos. Probabilidad. Probabilidad.

condicionada. Probabilidad total.

Muestreo. Inferencia estadística.

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EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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CONTIENE CD-ROM

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EL CD-ROM PARA EL ALUMNO

En Anaya Educación, conscientes de la necesidad de familiarizar a losestudiantes con las nuevas tecnologías de la información y la comunica-ción, hemos incorporado un CD-ROM al libro Matemáticas aplicadas alas Ciencias Sociales I. Un sencillo y práctico complemento de trabajoen el que encontrarán un amplio repertorio de recursos y actividades.

MATERIALES COMPLEMENTARIOS

Esta sección contiene una amplia diversidad de materiales quecomplementan la formación de los estudiantes. Algunos de suscontenidos son:

• Ejercicios complementarios, de refuerzo, para aquellos estudian-tes que lo requieran, y ejercicios de ampliación.

• Demostraciones de igualdades, propiedades…, que pueden serde interés para parte o para la totalidad de los estudiantes.

• Lecturas interesantes relacionadas con los contenidos.

• Resoluciones de todas las autoevaluaciones propuestas en el li-bro del alumno.

• Para algunas unidades, una propuesta de autoevaluación másamplia que la insertada en el libro del alumno.

Cada contenido expuesto en este apartado tiene su referencia en ellibro del alumno, marcado con el símbolo .

DERIVE/HOJA DE CÁLCULO

El programa DERIVE es una potente herramienta matemática, muyútil para la resolución de ecuaciones, gráficas, límites de funciones,etcétera, y en muchos tipos de cálculo.

El CD-ROM proporciona aplicaciones de DERIVE para cada una delas unidades del libro de texto, en las que este programa puede serempleado.

En algunas unidades también se propone el uso de la hoja decálculo.

CALCULADORA GRÁFICA

Se incorporan actividades de programación para la repeticiónde cálculos y gráficos, cambios de escala, distintos modos derepresentación gráfica de datos, programación y ejecución dealgoritmos, etc.

Las actividades están diseñadas para los modelos TI-82, TI-83 yTI-83 Plus de Texas Instruments.

BIOGRAFÍAS

En esta opción del menú, los estudiantes tendrán acceso a un ejecronológico en el que encontrarán las biografías de renombradosmatemáticos de la historia.

DIRECCIONES DE INTERNET COMENTADAS

El CD-ROM incorpora direcciones de Internet relacionadas conlos contenidos trabajados, junto con una breve valoración del in-terés de la LOEB, su calidad o facilidad de navegación, la riquezade sus links, el interés de sus gráficas, etc.

La colección de cuadernos Problemas de Matemáticas proporciona unamplio repertorio de ejercicios y problemas complementarios al librode texto.

Los contenidos de esta colección de cuadernos se organizan de mane-ra monográfica, refiriéndose cada uno de ellos a un único campo delas Matemáticas (Aritmética y Álgebra, Geometría Analítica, Análi-sis...). Resulta, así, un amplio y práctico complemento de refuerzo pa-ra el alumnado.

La colección consta de ocho cuadernos para Bachillerato: los cuatroprimeros están recomendados para el primer curso, y los cuatro res-tantes, para el segundo curso.

CUADERNOS PARA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIASSOCIALES I DE 1.º DE BACHILLERATO

•Números y álgebra.

•Análisis I. Funciones elementales. Límites y continuidad.

• Análisis II. Derivadas y aplicaciones. Representación de funciones.

• Estadística y probabilidad I.

CUADERNOS PARA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIASSOCIALES II DE 2.º DE BACHILLERATO

• Matrices y determinantes.

• Sistemas de ecuaciones.

• Análisis III. Límites y continuidad. Técnicas de derivación. Aplicaciones de las derivadas.

• Estadística y probabilidad II. Sucesos. Probabilidad. Probabi-lidad condicionada. Probabilidad total. Muestreo. Inferencia es-tadística.

Los contenidos de cada uno de los cuadernos se organizan enepígrafes para facilitar su localización. Aunque su cometido esel refuerzo del aprendizaje a través de la resolución de ejerci-cios y problemas, en ocasiones se incorporan, bajo el título «Recuerda», y a modo de ayuda, ciertos conceptos o procedi-mientos fundamentales.

CUADERNOS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

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CD-ROM

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CD-ROM

DE EVALU

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LOS MATERIALESPARA EL PROFESORADO

ORIENTACIONES Y RECURSOS DIDÁCTICOS

La obra que tiene en sus manos, Orientaciones y Recursos Didác-ticos, le proporcionará una visión general del proyecto de Anayapara esta materia. En sus páginas se detallan las características ylas aportaciones de cada uno de los elementos que componendicho proyecto, tanto para el alumnado como para el aula.

Su misión es, además, servirle de cómodo y útil manual de usode los CD-ROM que forman parte de este proyecto educativo.

El CD-ROM de Recursos Didácticos

En este capítulo encontrará una guía del práctico y rico conjuntode recursos para el aula que contiene el CD-ROM de RecursosDidácticos; su enfoque, aplicaciones, orientaciones sobre cuándoy cómo utilizarlos...

74

1. Conocer la composición de funciones y lasfunciones inversas, y manejarlas.

1.1. Dadas las expresiones analíticas de dosfunciones, halla la función compuesta deambas.

1.2. Reconoce una función dada comocomposición de otras dos conocidas.

1.3. Dada la representación gráfica de y = f (x),da el valor de f –1 (a) para valores concretosde a. Representa y = f –1 (x).

1.4. Halla la función inversa de una función dada.

2. Conocer las funciones exponenciales ylogarítmicas y asociar sus expresiones analíticascon las formas de sus gráficas.

2.1. Dada la gráfica de una función exponencial ologarítmica, le asigna su expresión analítica ydescribe algunas de sus características.

2.2. Dada la expresión analítica de una funciónexponencial o logarítmica, la representa.

2.3. Obtiene la expresión analítica de una funciónexponencial, dada por un enunciado.

3. Conocer las funciones trigonométricas y asociarsus expresiones analíticas con las formas de susgráficas.

3.1. Dada la gráfica de una funcióntrigonométrica, le asigna su expresiónanalítica y describe alguna de suscaracterísticas.

3.2. Dada la expresión analítica de una funcióntrigonométrica, la representa.

5. FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICASY TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

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CONTENIDOS

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

• Obtención de la función compuesta de otras dos dadas por sus expresiones analíticas.

FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA

• Trazado de la gráfica de una función, conocido la de su inversa.

• Obtención de la expresión analítica de f –1(x), conocida f (x).

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

• Representación de funciones exponenciales.

LAS FUNCIONES LOGARITMICAS

• Representación de funciones logarítmicas.

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

• Representación de funciones trigonométricas.

r Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo para la realización de determinadas actividades re-lacionadas con la representación gráfica.

r Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido para la representacióngráfica de funciones.

r Reconocimiento y valoración crítica del uso de la representación gráfica de funciones como herramien-ta didáctica.

r Consideración de las ventajas y de los inconvenientes que presenta la expresión analítica de una fun-ción frente a su representación gráfica.

El CD-ROM de Evaluación

Este apartado presenta la singular aportación de Anaya Educación alproceso de evaluación, el CD-ROM de Evaluación. Sus páginas son unaguía funcional sobre cómo utilizarlo, qué tipos de pruebas de evalua-ción genera, cómo seleccionar los objetivos que se desea evaluar, etc.

El Proyecto Curricular

En él se recogen los principios fundamentales de la política educati-va vigente, así como los principios metodológicos y las directricesprocedimentales que, fruto de una intensa investigación pedagógica,participarán en el desarrollo de una enseñanza de calidad.

Planteamiento dipdactico de las unidades

En estas páginas encontrará el enfoque didáctico asociado al desarro-llo de cada una de las unidades del libro del alumno.

Cuadros de programación

En este apartado se incluyen las programaciones de las unidades conobjetivos didácticos establecidos para cada unidad, y sus correspon-dientes criterios de evaluación, junto con los contenidos previstospara su consecución.

Estos tres últimos documentos, Proyecto Curricular, Planteamiento di-dáctico de las unidades y Cuadros de Programación, los encontrarátambién en el CD-ROM de Recursos Didácticos, ya que este otro so-porte le ofrece la posibilidad de adaptarlos y modificarlos en funciónde las necesidades concretas de cada aula.

Anaya Educación, fiel a su política de desarrollodidáctico, y cercana a las necesidades y deman-das de la comunidad docente, ha confeccionadoeste CD-ROM con la intención de aportar recur-sos que contribuyan a hacer más eficaz la tareaeducativa.

Se trata de un CD de sencillo manejo que leguiará a través de los documentos y recursos quecontiene.

EL CD-ROM DE RECURSOS DIDÁCTICOSI I

QUÉ ES EL CD-ROM DE RECURSOS DIDÁCTICOS

Es un conjunto de documentos y materiales elaborados por profesio-nales de la educación preparados para su inmediata aplicación en elaula.

CÓMO SE INSTALA

Introduzca el disco en su unidad de CD-ROM. El CD arrancará deforma automática. Si no estuviera activo el arranque automático, se-leccione su unidad de CD-ROM (habitualmente, D:) y haga dobleclic en el programa instalar.exe.

CÓMO ACCEDER A LOS DIFERENTES RECURSOS

Con el ratón de su ordenador, seleccione del menú principal la op-ción que desee consultar:

• Los materiales de Anaya para Matemáticas aplicadas a las CienciasSociales I.

• El Proyecto Curricular.

• Los recursos didácticos para cada unidad.

• La programación completa del curso.

Si tiene alguna duda, pulse el botón de ayuda que encontrará en to-das las pantallas del programa.

LOS MATERIALES DE ANAYA PARA MATEMÁTICAS APLICADAS A LASCIENCIAS SOCIALES I

Esta opción le permitirá tener una visión general de los materiales di-dácticos que componen el proyecto de Anaya para esta asignatura.En ella se detallan las características y las aportaciones de cada unode estos materiales.

EL PROYECTO CURRICULAR

Esta elección del menú principal le permitirá acceder a los siguientesapartados:

• Objetivos generales del Bachillerato.

• Objetivos generales de Matemáticas de Bachillerato.

• Secuenciación de contenidos.

• Criterios de evaluación.

• Temas transversales.

• Principios metodológicos.

Nuestro propósito es aportar a los profesores y a las profesoras un de-sarrollo práctico, razonado y documentado, que podrá utilizarse por lacomunidad educativa como conjunto de líneas maestras, y ser adapta-do, simplificado, enriquecido..., según su propio modelo educativo.En definitiva, la intención de este Proyecto Curricular es ofrecer unaestructura completa que se pueda adaptar a las circunstancias delalumnado, del centro educativo y de su entorno sociocultural.

LOS RECURSOS DIDÁCTICOS PARA CADA UNIDAD

El nivel de concreción posterior al proyecto curricular es la programa-ción de aula. En el modelo que Anaya Educación presenta se incluyen,para cada unidad, una serie de recursos didácticos, a los que accederáseleccionándolos con el ratón. Entre ellos cabe destacar los siguientes:

Planteamiento didáctico de la unidad

Se trata de un material específico para el profesorado. En él se expo-ne el enfoque didáctico asociado al desarrollo de la unidad y se ana-lizan las dificultades que pueden encontrar los estudiantes al trabajarlos contenidos.

Cuadro de programación

Es también una documentación destinada al profesorado. Muestra losobjetivos didácticos establecidos para la unidad, relacionándolos consus correspondientes criterios de evaluación. Incluye los contenidosconceptuales y procedimentales relacionados con dichos objetivos y,por último, las actitudes que se desea que adquieran los estudiantes.

Calculadora gráfica

Este recurso ofrece actividades específicas para los estudiantes y orienta-ciones metodológicas para el profesorado. Su incorporación es conve-niente, debido a la creciente generalización de este tipo de calculadorasy a las grandes prestaciones gráficas y de cálculo que tienen.

Cualquier modelo de calculadora gráfica incluye las funciones deuna científica programable y permite repetir cálculos y gráficos sinmás que cambiar los datos iniciales. Admite distintos modos de re-presentación gráfica de datos, cambios en las escalas de los ejes, etc.Además, es posible programar y ejecutar los algoritmos propuestos olos que elaboren los estudiantes.

Como en el caso de las calculadoras científicas, el manejo de unacalculadora gráfica difiere entre marcas y modelos, por lo que es ne-cesario recurrir al manual de instrucciones. Las actividades propues-tas están diseñadas para los modelos TI-82, TI-83 y TI-83 Plus de Te-xas Instruments.

Derive. Hoja de cálculo

En esta opción del menú encontrará aplicaciones del programaDERIVE con fichas de trabajo para los alumnos (en formato WORD).Además se incluyen, dirigidas al profesorado, descripciones de lasprácticas de los alumnos e indicaciones para desarrollarlas.

Biografías

Este recurso amplía la información del libro del alumno, en la que yase incorporan reseñas históricas, con breves biografías de matemáti-cos ilustres. Incluye, además, una bibliografía, por si se desea am-pliar la información.

Bibliografía comentada para estudiantes y profesores

Tal como indica su nombre, en ocasiones se trata de un recurso especí-fico para el profesorado, y en otras, más adecuado para los estudiantes.En cada unidad didáctica se proponen una serie de referencias biblio-gráficas consideradas de interés por su relación con los contenidos. Entodos los casos, se incluye un comentario sobre la obra reseñada.

Direcciones de internet comentadas

Al igual que en la bibliografía, en esta opción del menú de la unidadse indicará si la dirección que se comenta es más adecuada para elprofesorado o para los estudiantes. Las referencias que se incluyenestán expresamente relacionadas con los contenidos en estudio. Setrata de referencias que, a su vez, permiten encontrar otras de igual oparecido interés, lo que amplía enormemente las posibilidades deuso que ofrecen. El comentario que acompaña cada dirección de in-ternet puede incorporar una evaluación general del interés de la web,que tenga en cuenta su mayor o menor facilidad de navegación, la ri-queza de sus links, el interés de sus gráficos o ilustraciones, etc.

Solucionario de las actividades propuestas en el libro del alumno

Se trata de un documento dirigido al profesorado con el ánimo defacilitar y abreviar el proceso de corrección. Todas las actividades dellibro del alumno se ofrecen resueltas. Además de la solución, se in-dica el procedimiento completo para llegar a ella, y se aportan ob-servaciones al hilo de la resolución que pueden ser de interés paralos estudiantes.

Con este CD-ROM, Anaya Educación ofrece alprofesorado una herramienta capaz de elaborartodas las pruebas de evaluación requeridas du-rante el curso. De manera sencilla, rápida y sinrequerir conocimientos informáticos especiales,este CD-ROM permite obtener impresas las prue-bas de evaluación, listas para distribuir entre losalumnos.

EL CD-ROM DE EVALUACIÓNI I I

De entre las grandes ventajas que ofrece el CD-ROM deEvaluación, destacaremos las siguientes:

• Pruebas elaboradas de acuerdo con los objetivos y crite-rios de evaluación establecidos en la programación decada unidad.

• Una prueba de evaluación diferente cada vez que se uti-liza.

• Posibilidad de realizar pruebas de evaluación similarespara los diversos grupos que se establezcan en el aula.

• Soluciones para facilitar la corrección.

• Aprovechamiento máximo del tiempo del que se dispo-ne para realizar la prueba de evaluación.

• Una cabecera, para ser rellenada con los datos del alum-no o de la alumna, en la misma hoja que contiene losenunciados de la prueba.

TODAS LAS PRUEBAS DEL CURSO

El menú principal muestra los cuatro tipos de evaluaciónque incluye el CD-ROM:

• Evaluación inicial.

• Evaluación de una unidad.

• Evaluación de un conjunto de unidades.

• Evaluación final.

Para elegir una de ellas, señálela y pulse en el ratón de suordenador.

Los botones situados en la banda inferior de la pantalla tie-nen las siguientes funciones:

Retroceder a la pantalla anterior.

Ayuda.

Manual en formato PDF.

Créditos en formato PDF.

Evaluación inicial

Evaluación final

Seleccionar

Seleccionar

Seleccionar

Seleccionar

Evaluación de una unidad

Evaluación de un conjunto de unidades

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

EVALUACIÓN INICIAL

Permite evaluar los conocimientos generales de los estu-diantes al iniciar el curso. Seleccione la opción “Evaluacióninicial” en el menú principal.

En cada fila figura un objetivo que contiene uno o más cri-terios. Desplazándose por la página podrá supervisar todoslos objetivos y criterios propuestos.

Determine los objetivos que desee evaluar y seleccione conel ratón, para cada uno de ellos, los criterios de evaluaciónque estime procedentes.

• Decida cuántas pruebas similares desea realizar (véase elapartado “Creación de pruebas similares”).

• Pulse el botón “Crear prueba de evaluación”, yaparecerán en la pantalla las pruebas generadas.

EVALUACIÓN DE UNA UNIDAD

Seleccione la opción “Evaluación de una unidad”. Aparece-rá el índice del curso elegido. Seleccione con el ratón launidad que desea evaluar. La pantalla le expondrá los obje-tivos y los criterios de evaluación.

Desplácese por la página, y podrá supervisar todos los ob-jetivos y criterios propuestos para la unidad. Determine losobjetivos que desee evaluar y seleccione con el ratón, paracada uno de ellos, los criterios de evaluación.


• Pulse el botón «Crear prueba de evaluación» para ver laspruebas.

Este CD-ROM también permite, antes de seleccionar unaunidad, supervisar sus objetivos. Para ello, coloque el ratónsobre el icono de la unidad que desea supervisar.

Evaluación inicial


Seleccione el número de pruebas a realizar:

Crear pruebas de evaluación


1. Números reales

2. Aritmética mercantil

3. Álgebra

4. Funciones elementales

5. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

7. Iniciación al cálculo de derivadas

8. Esadística

9. Distribuciones bidimensionales

10. Distribuciones de probabilidad de variable discreta. La binomial

Criterio 1.1: Entiende una definición.Criterio 1.2: Entiende y valora una demostración.

Objetivo 3: Poseer los conicmientos básicos de geometría plana y dominar la terminología adecuada.

Criterio 3.1: Conoce la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras y domina su aplicación en situaciones concretas.Criterio 3.2: Identifica puntos y rectas notables en el triángulo.Criterio 3.3: Conoce y aplica las propiedades básicas de los paralelogramos.Criterio 3.4: Conoce los conceptos y procedimientos de la trigonometría básica.

Objetivo 1: Tener capacidad para entender y valorar enunciados, definiciones y demostraciones.

Criterio 2.1: Resuelve ecuaciones y sistemas.Criterio 2.2: Resuelve inecuaciones y da el intervlao de soluciones. Expresa intervalos mediante desigualdades.Criterio 2.3: Maneja con destreza potencias y radicales.

Objetivo 2: Poseer las destrezas básicas de aritmética y álgebra.

EVALUACIÓN DE UN CONJUNTO DE UNIDADES

Puede evaluar conjuntamente varias unidades.

Seleccione la opción “Evaluación de un conjunto de unida-des”.

Su ordenador le mostrará el índice del curso seleccionado.Indique las unidades que desea evaluar y pulse el botón“Continuar”. En la pantalla verá los objetivos definidos ysus correspondientes criterios de evaluación. Desplácesepor la página y podrá supervisar todos los objetivos y crite-rios propuestos.



• Pulse el botón “Crear prueba de evaluación” para ver laspruebas.

EVALUACIÓN FINAL

Seleccione la opción “Evaluación final”.

Su ordenador le mostrará los objetivos fundamentales delcurso elegido y sus correspondientes criterios de evalua-ción.

Desplácese por la página, y podrá supervisar todos los ob-jetivos y criterios propuestos.



• Pulse el botón “Crear prueba de evaluación” para ver laspruebas.

Evaluación final


Objetivo 1: Dominar las herramientas de cálculo numérico y algebraico.

Criterio 1.1: Aplica la definición de logaritmo y sus propiedades.Criterio 1.2: Asocia los primeros términos de una sucesión a su criterio de formación (término general o recurrencia).Criterio 1.3: Resuelve ecuaciones, incecuaciones y sistemas.

Objetivo 2. Resolver problemas de aritmética mercantil.

Criterio 2.1: En problemas sobre la variación de un capital a lo largo del tiempo, relaciona el capital inicial, el rédito,el tiempo y el capital final.

Criterio 2.2: Averigua el capital acumulado mediante pagos periódicos (iguales o no) sometidos a un cierto interés.Criterio 2.3: Calcula la anualidad (o mensualidad) correspondiente a la amortización de un préstamo.

Objetivo 3. Conocer las distribuciones de probabilidad de variable discreta y obtener sus parámetros.

Criterio 3.1: Construye la tabla de una distribución de probabilidad de variable discreta y calcula sus parámetros.



Evaluación de un conjunto de unidades


Criterio 1.1: Dados varios números, los clasifica en los distintos campos numéricos.Criterio 1.2: Conoce la definición de logaritmo y la interpreta en casos concretos.Criterio 1.3: Opera correctamente con radicales.Criterio 1.4: Opera con logaritmos.



Objetivo 1: Conocer los conceptos básicos y domnar las técnicas operatorias en el campo numérico.

Criterio 2.1: Asocia los primeros términos de una sucesión a su criterio de formación (término general o recurrencia).Criterio 2.2: Calcula la suma de términos de algunos tipos de sucesiones.

Objetivo 2: Conocer las sucesiones, criterios de formación y cálculo de la suma de algunas de ellas.

Criterio 2.1: Resuelve ecuaciones de distintos tipos.Criterio 3.2: Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de distintos tipos.Criterio 3.3: Resuelve sistemas 3 ÒÒ 3 mediante el método de Gauss.

Objetivo 3: Manejar con destraza las herramientas del álgebra y las aplica a la resolución de problemas.

CREACIÓN DE PRUEBAS SIMILARES

Una vez establecidos los objetivos que desea evaluar a travésde la selección de sus correspondientes criterios, el CD-ROMle permite generar hasta seis pruebas similares a partir de unaúnica selección de criterios de evaluación.

Se pretende, de este modo, facilitar la labor de aquellos profe-sores o profesoras que trabajan con varias clases de un mismocurso, así como responder a la posibilidad de establecer gru-pos (A, B, C...) dentro de una misma clase cuando se proponeuna prueba escrita.

Para obtener estas pruebas similares, pulse de 1 a 6 en la ban-da inferior de la pantalla. A continuación, pulse el botón “Cre-ar prueba de evaluación”.

LAS PRUEBAS EN PANTALLA

Pulse en la banda inferior de la pantalla sobre el botón queindica cada una de ellas (A, B, C...), y podrá supervisar lasactividades o ejercicios propuestos.

Tiene usted la posibilidad de anular las pruebas y formularotras solo con volver a la pantalla anterior.

También puede modificar parcialmente la prueba, para loque se requiere guardarla, previamente, en disco. Si le pa-recen adecuadas las pruebas propuestas:

• Consulte la solución de cada prueba pulsando (página siguiente, apartado “La solución de cada prue-ba”).

• Imprima las pruebas generadas pulsando (página si-guiente, apartado “Impresión de las pruebas y sus solu-ciones”).


Espacioreservado

para el iconodel centro educativo

Espacio reservado para el nombre del centro educativo

Evaluación

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIASSOCIALES I 1º BACHILLERATO

Opción A

Ejercicio nº 1.-Argumenta si la siguiente definición es correcta o no: “La me-

diatriz de un segmento es la recta que lo divide en dos partes

iguales y pasa por su punto medio”.

Ejercicio nº 2.-“Un número es casiprimo cuando es un número primo o

bien es el producto, a lo más, de dos números primos”.

Según esta definición, averigua si son casiprimos los

números 85 y 23. Razona tu respuesta.

Nombre Grupo Nº

Fecha

LA SOLUCIÓN DE CADA PRUEBA

Cada prueba de evaluación se ofrece resuelta, lo quesimplifica la labor de corrección. Para consultar la soluciónde una prueba, pulse .

Por otra parte, la propia resolución de la prueba orientasobre la dificultad que entraña para los alumnos y lasalumnas.

Si lo desea, puede volver a la pantalla que contiene laspruebas de evaluación. Para ello, pulse .

• Para imprimir la solución de la prueba, pulse (véase elapartado siguiente: “Impresión de las pruebas y sus solu-ciones”).

IMPRESIÓN DE LAS PRUEBAS Y SUS SOLUCIONES

Si está conforme con la prueba generada por el CD-ROM,ordene imprimir la prueba y su solución (pulse, en amboscasos, el botón ).

Tenga en cuenta que existe la posibilidad de personali-zar la cabecera de la prueba, reservada para los datos delalumno o la alumna, con el nombre del centro y su em-blema o logotipo.

• Si desea incorporar el logotipo de su centro, seleccio-ne esta opción en la pantalla que indica “Personalizar im-presión” y siga las instrucciones proporcionadas por elCD-ROM (previamente, deberá haber escaneado el em-blema o logotipo de su centro).

• Si desea incorporar el nombre del centro, seleccioneesta opción y, simplemente, escriba el texto correspon-diente.

Ejercicio nº 1.-

Evaluación de la unidad 1

Argumenta si la siguiente definición es correcta o no: “La media-

triz de un segmento es la recta que lo divide en dos partes iguales

y pasa por su punto medio”.

Solución:La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a este y

que pasa por su punto medio.

En la definición del enunciado falta la palabra “perpendicular”,

que es importante, porque sin ella podemos encontrar infinitas

rectas que cumplen la definición. Sin embargo, la mediatriz de un


MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1.º BACHILLERATO

Evaluación

Opción A

Fecha

SOLUCIONES

Espacioreservado



Evaluación


CALIFICACIÓN

Opción A

Nombre Grupo Nº

Fecha

¿CUÁNTAS COPIAS DESEA IMPRIMIR?

Puede imprimir tantas copias de cada prueba como desee.

Si ha establecido grupos de alumnos (A, B, C...), para im-primir cada uno de ellos, pulse el botón . A continua-ción, seleccione “Imprimir prueba”, incluido en “Opcionesde impresión”, seleccione el número de copias y pulse“Aceptar”.

Si también desea imprimir la solución, proceda de modoanálogo.

Por otra parte, si después de cada prueba quiere imprimirsu solución, tenga en cuenta que los documentos saldránde la impresora en el siguiente orden:

• Copias de la prueba para los alumnos del grupo A.

• Solución de la prueba del grupo A.

• Copias de la prueba para los alumnos del grupo B.

• Solución de la prueba del grupo B.

PARA GUARDAR COPIA EN DISCO

Este CD-ROM genera las pruebas de evaluación de maneraaleatoria, lo que significa que muy difícilmente propon-drá dos veces la misma, aunque usted seleccione idénti-cos objetivos y criterios de evaluación. Ello representa unagran riqueza, ya que el repertorio de pruebas es amplí-simo.

Para beneficiarse aún más del uso de este CD-ROM, guardeen disco las pruebas generadas si desea:

• Formar un banco de pruebas de evaluación con las yapropuestas y sus correspondientes soluciones.

• Modificar una de las pruebas, bien reformulando unenunciado o añadiendo alguna otra cuestión.

Si está usted en la pantalla que muestra las pruebas o sussoluciones, pulse para acceder a las “Opciones de im-presión” y, a continuación, seleccione “Guardar copia endisco”.

Por último, siga los pasos habituales de su sistema operati-vo para guardar un documento en el disco.

ADVERTENCIA:

Las pruebas guardadas en disco no conservan la personali-zación del centro (nombre y logotipo).

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Espacioreservado



Evaluación


Opción A

Nombre Grupo

Fecha

Ejercicio nº 1.-Argumenta si la siguiente definición es correcta o no: “La me-

diatriz de un segmento es la recta que lo divide en dos partes

iguales y pasa por su punto medio”.

Ejercicio nº 2.-“Un número es casiprimo cuando es un número primo o

bien es el producto, a lo más, de dos números primos”.

Según esta definición, averigua si son casiprimos los

números 85 y 23. Razona tu respuesta.

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