síkgeometria · 2017. 11. 13. · síkgeometria 12. évfolyam oldal 2 / 8 egyenlő szárú, vagy...
TRANSCRIPT
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 1 / 8
Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögfajták:
Jelölés:
Mindkét esetben:
α + β = 180°
Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90°.
A háromszögek
Oldalak szerint csoportosítva
Általános háromszög:
Minden oldala különböző.
Csúcsait nagybetűvel, oldalait kisbetűvel jelöljük.
Általában az A csúcsnál lévő szöget α-val, a B csúcsnál
lévő szöget β-val, a C csúcsnál lévő szöget γ-val jelöljük.
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 2 / 8
Egyenlő szárú, vagy szimmetrikus háromszög:
Két oldala megegyezik, ezeket az oldalakat nevezzük száraknak
(b), a harmadik oldalt pedig alapnak (a).
Szimmetrikus, mert van szimmetria, vagy tükörtengelye. A
szimmetriatengely egyben az egyik magassága a háromszögnek,
mely felezi az alapot, és a csúcsszöget.
Egyenlő oldalú, vagy szabályos háromszög:
Minden oldala egyenlő.
Minden szöge egyenlő, 60°.
Szögei alapján csoportosítva
Hegyesszögű háromszög:
Minden szöge hegyesszög, azaz kisebb 90°-nál.
Derékszögű háromszög:
Van egy 90°-os szöge.
A másik két szög hegyesszög, összegük szintén 90°.
A derékszöggel szemközti oldalát átfogónak nevezzük, a másik két oldalt
pedig befogónak.
Tompaszögű háromszög:
Van egy tompaszöge, ami 90°-nál nagyobb.
Összefüggések háromszög szögei, és oldalai között
A háromszög belső szögeinek összege mindig 180°,
a szokásos jelölésekkel: α + β + γ = 180°.
A háromszög külső szögeinek összege mindig 360°,
a szokásos jelölésekkel: α’+ β’ + γ’ = 360°.
Egy háromszög egy belső, és a mellette fekvő külső szögének
összege mindig 180°, a szokásos jelölésekkel:
α + α’ =180° β + β’ = 180° γ + γ’ = 180°
Egy háromszögben egy külső szög mindig egyenlő a nem mellette
fekvő két belső szög összegével, a szokásos jelölésekkel:
α’ = β + γ α’ = β + γ γ’ = α + β
Háromszög-egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik
oldalnál.
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 3 / 8
Háromszögek nevezetes vonalai
Szögfelezők:
Olyan félegyenes, amely minden pontja egyenlő távolságra van a
szög száraitól. A háromszög szögfelezői egy pontban metszik
egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja, a kör
sugara ebből a pontból a háromszög oldalára bocsátott merőleges
szakasz hossza.
A beírható kör középpontja mindig a háromszög belsejében van.
Magasságvonalak:
A magasságvonal olyan vonal, mely a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalra bocsátott
merőleges egyenes. A háromszög magassága a magasságvonalnak a háromszög csúcsa és a szemközti
oldal közötti szakasza.
A magasságvonalak egy pontban, a magasságpontban metszik egymást. Ez a pont derékszögű
háromszög esetén a derékszögű csúccsal egyezik meg; tompaszögű háromszög esetén a háromszögön
kívülre esik.
Oldalfelező merőlegesek:
Olyan egyenes vonal, mely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze.
Az oldalfelező merőlegesek egy pontban, a háromszög köré írható kör középpontjában metszik
egymást. Derékszögű háromszögben ez a pont az átfogó felezőpontja, tompaszögű háromszögeknél a
háromszögön kívülre esik.
Súlyvonalak:
Olyan vonal, mely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő egyenes. A háromszög súlyvonalai egy
pontban, a súlypontban (S) metszik egymást.
A súlypont a súlyvonalat 2: 1 arányban osztja. Az ábra alapján:
𝑭𝒂𝑺: 𝑺𝑨 = 𝟏: 𝟐
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 4 / 8
Középvonalak:
Olyan szakasz, mely a háromszög két oldalfelezőpontját köti össze.
A középvonal mindig párhuzamos a szemközti oldallal, és feleakkora.
𝐺𝐹||𝐴𝐵, 𝐺𝐸||𝐵𝐶, 𝐹𝐸||𝐴𝐶
𝐴𝐶 = 2 ∙ 𝐸𝐹, 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐺𝐹, 𝐴𝐶 = 2 ∙ 𝐸𝐹
Derékszögű háromszögekben ismert tételek, összefüggések
Pithagorasz-tétel:
Minden derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a
befogók négyzetének összegével.
Thálesz-tétel:
Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más
pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.
α + β = 90°
Befogótétel:
Minden derékszögű háromszögben az egyik befogó négyzete egyenlő az átfogó, és az átfogóra eső
merőleges vetületének szorzatával.
𝑎2 = 𝑥 ∙ 𝑐
𝑏2 = 𝑦 ∙ 𝑐
Magasságtétel:
Minden derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó
magasság az átfogót két részre bontja. Ennek a két résznek a
szorzata megegyezik az átfogóhoz tartozó magasság
négyzetével.
𝑚2 = 𝑥 ∙ 𝑦
Párhuzamos szelők, és szelőszakaszok tétele:
PSZT: AB
A′B′=
CD
C′D′
PSSZT: 𝑂𝐴
𝐴𝐴′=
𝑂𝐵
𝐵𝐵′
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 5 / 8
Szögfüggvények derékszögű háromszögekben (definíciók)
Elnevezések:
a: α szöggel szemközti befogó vagy β szög melletti befogó
b: β szöggel szemközti befogó vagy α szög melletti befogó
c: átfogó
𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝛼 𝑠𝑧ö𝑔𝑔𝑒𝑙 𝑠𝑧𝑒𝑚𝑘ö𝑧𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó
á𝑡𝑓𝑜𝑔ó 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝛼 𝑠𝑧ö𝑔 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝑡𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó
á𝑡𝑓𝑜𝑔ó
𝑡𝑔𝛼 =𝛼 𝑠𝑧ö𝑔𝑔𝑒𝑙 𝑠𝑧𝑒𝑚𝑘ö𝑧𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó
𝛼 𝑠𝑧ö𝑔 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝑡𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó 𝑐𝑡𝑔𝛼 =
𝛼 𝑠𝑧ö𝑔 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝑡𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó
𝛼 𝑠𝑧ö𝑔𝑔𝑒𝑙 𝑠𝑧𝑒𝑚𝑘ö𝑧𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó
Nevezetes szögek szögfüggvényei:
Összefüggések oldalak, és szögek között általános háromszögben
Szinusztétel:
Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik az oldalakkal
szemközti szögek szinuszának arányával.
Például: 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛽=
𝑎
𝑏
Koszinusztétel:
Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két
oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal, és a közbezárt szögük
koszinuszának szorzatát.
Például:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾
30° 45° 60°
sin
cos
tg
1
ctg
1
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 6 / 8
Terület, és kerület számítása háromszögben:
𝑇 =𝑎 ∙ ma
2=
𝑏 ∙ 𝑚𝑏
2=
𝑐 ∙ 𝑚𝑐
2
Héron – képlet: 𝑇 = √𝑠 ∙ (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐), 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑠 =𝑎+𝑏+𝑐
2
𝑇 =𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛾
2, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝛾 𝑎𝑧 𝑎 é𝑠 𝑏 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙 á𝑙𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑧á𝑟𝑡 𝑠𝑧ö𝑔
𝑇 =𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
4 ∙ 𝑅, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑅 𝑎 ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔 𝑘ö𝑟é í𝑟ℎ𝑎𝑡ó 𝑘ö𝑟 𝑠𝑢𝑔𝑎𝑟𝑎
𝑇 = 𝑟 ∙ 𝑠, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑟 𝑎 ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔𝑏𝑒 í𝑟𝑡 𝑘ö𝑟 𝑠𝑢𝑔𝑎𝑟𝑎, é𝑠 𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
Kerület: K = a + b + c
Kör
Egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát
körvonalnak, röviden körnek nevezzük.
h: húr
d: átmérő
r: sugár
A kör kerülete: 𝑲 = 𝟐 ∙ 𝒓 ∙ 𝝅 A kör területe: 𝑻 = 𝒓𝟐 ∙ 𝝅
Érintő: a kört egy pontban érintő egyenes, mely
merőleges a sugárra.
Szelő: olyan egyenes, amely két pontban metszi a
kört.
Körívek és körcikk:
Körív:
Körcikk:
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 7 / 8
Négyszögek
Négyszög Kerület Terület Egyéb megjegyzés
Általános négyszög
K = a + b + c + d
Trapéz
K = a + b + c + d
Speciális trapézok:
szimmetrikus
derékszögű
Paralelogramma
K = 2a + 2b
- pontszimmetrikus
- átlók felezik egymást
- szembenfekvő szögek egyenlő
nagyságúak
Rombusz
K = 4a
- 4 egyenlő nagyságú oldal
- tengelyesen szimmetrikus: e, f
- e merőleges f -re
- e és f felezik a szögeket
Deltoid
K = 2a + 2b
- e merőleges f -re
- tengelyesen szimmetrikus: f
- Konkáv deltoid:
Síkgeometria
12. évfolyam
oldal 8 / 8
Téglalap
K = 2a + 2b T = ab
- átlók egyenlő hosszúak
- felezik egymást
- tengelyesen szimmetrikus,
pontszimmetrikus
Négyzet
K = 4a T = a²
- átlók merőlegesek egymásra,
felezik egymást
- egyenlő hosszúak
- tengelyesen szimmetrikus,
pontszimmetrikus
Sokszögek
Az n-oldalú sokszög
Az n-oldalú konvex sokszög:
𝑏𝑒𝑙𝑠ő 𝑠𝑧ö𝑔𝑒𝑖𝑛𝑒𝑘 ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑔𝑒 = (𝑛 − 2) ∙ 180°
á𝑡𝑙ó𝑖𝑛𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎 =(𝑛 − 3) ∙ 𝑛
2
Szabályos n-szög:
Szabályos sokszög
Ha „n” adott