rumus rumus trigonometri
TRANSCRIPT
BAB 3
Rumus-rumus Trigonometri
Standar Kompetensi: Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya.
Kompetensi Dasar: Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut,
selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu.
Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.
Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH
Rumus untuk cos ( )
Rumus untuk sin ( )
Rumus untuk tan ( ) 1
1. Rumus untuk cos ( )
X
YC(cos( + ), sin ( + )
B(cos , sin )
D(cos , sin )
A(1,0)
0
AC2 = {cos ( + ) 1}2 + {sin ( + ) 0}2
= cos2 ( + ) 2 cos ( + ) +1 + sin2 ( + )
= {cos2 ( + ) + sin2 ( + )} +1 2 cos ( + )
= 1AC2 = 2 2 cos ( + )
a. Rumus untuk cos ( + )
2
BD2 = (cos cos )2 + (sin sin )2
= cos2 2 cos cos + cos2 + sin2 + 2 sin sin + sin2
= (cos2 + sin2 ) + (cos2 cos + sin2 ) 2 cos cos + 2 sin
AC2 = BD2
2 2 cos ( + ) = 2 2 cos cos + 2 sin sin . cos ( + ) = cos cos sin sin .
cos ( + ) = cos cos sin sin
3
b. Rumus untuk cos ( )
cos ( ) = cos ( + ())= cos cos () sin sin ()= cos cos sin (sin )= cos cos + sin sin
cos ( ) = cos cos + sin sin
Catatan:
cos () = cos
Sin () = sin
4
a. Rumus untuk sin ( + )
sin ( + ) = cos ( ( + )2
= cos (( ) )2
= cos ( ) cos + sin ( ) sin .2
2
sin cos
sin ( + ) = sin cos + cos sin
b. Rumus untuk sin ( )
sin ( ) = sin cos cos sin
2. Rumus untuk sin ( )
5
a. Rumus untuk tan ( + )
tan ( + ) =sin ( + )
cos ( + )
sin cos + cos sin cos cos sin sin =
cos cos 1
cos cos 1
sin cos cos
sin +
=1 sin
cos cos sin
b. Rumus untuk tan ( )
tan ( ) = tan tan 1 + tan tan
tan = sin cos
3. Rumus untuk tan ( )
tan ( + ) =tan + tan
1 tan tan
6
RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT GANDA
Rumus untuk
tan 2
sin 2
cos 2
tan 1 2
sin 1 2
cos 1 2
7
a. Rumus untuk sin 2sin ( + ) = sin cos + cos sin
sin ( + ) = sin cos + cos sin
sin 2 = sin cos + sin cos (ingat cos sin = sin cos )
sin 2 = 2 sin cos
Jadi, rumus untuk sin 2 adalah
b. Rumus untuk cos 2cos ( + ) = cos cos sin sin
cos 2 = cos2 sin2
Jadi, rumus untuk cos 2 adalah
cos 2 = cos2 1
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos2 sin2
cos 2 = 1 2 sin2 8
c. Rumus untuk tan 2
tan ( + ) =tan + tan
1 tan tan
tan ( + ) =tan + tan
1 tan tan
tan ( + ) =2 tan 1 tan2
Jadi, rumus untuk tan 2 adalah
tan 2 = 2 tan 1 tan2
9
1 2
d. Rumus untuk sin
1 2
cos 2 = 1 2 sin2
2 sin2 = 1 cos 2
sin2 =1 cos 2
2
sin2 = 1 cos 2
2
= 1 2
sin = 1 2
1 cos 2 2
Jadi, rumus untuk sin adalah
sin = 1
2
1 cos 2 2
e. Rumus untuk cos 1 2
cos = 1 2
1 + cos 2
f. Rumus untuk tan 1 2
tan = 1 2
1 cos 1 + cos
tan = 1 2
1 cos sin
tan = 1 2
sin 1 + cos
atau
11
RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS
Rumus untuk 2 sin cos
Rumus untuk 2 cos sin
Rumus untuk 2 cos cos
Rumus untuk 2 sin sin
12
a. Rumus untuk 2 sin cos
sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( ) = sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) = 2 sin cos +
Jadi,
b. Rumus untuk 2 cos sin sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( ) = sin cos cos sin
sin ( + ) sin ( ) = 2 cos sin
Jadi, 2 cos sin = sin ( + ) sin ( ).
2 cos sin = sin ( + ) sin ( ).
2 sin cos = sin ( + ) + sin ( ).
c. Rumus untuk 2 cos cos
cos ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos + sin sin
cos ( + ) + cos ( ) = 2 cos cos +
Jadi,
d. Rumus untuk 2 sin sin
cos ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos + sin sin
cos ( + ) cos ( ) = 2 sin sin
Jadi,
2 cos cos = cos ( + ) + cos ( )
2 cos cos = cos ( + ) + cos ( ).
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH
PADA SINUS DAN KOSINUS
sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A B)1 2
1 2
sin A sin B = 2 cos (A + B) sin (A B)1 2
1 2
cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A B)1 2
1 2
cos A cos B = 2 cos (A + B) sin (A B)1 2
1 2
15
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Cara-cara membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan kembali rumus-
rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda, dan rumus
trigonometri untuk sudut . 1 2
16
Selain itu, rumus-rumus trigonometri dasar yang akan sering digunakan
adalah:
• Rumus-rumus kebalikan:
• Rumus-rumus perbandingan:
• Rumus-rumus pythagoras:
• Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut berelasi.
sec = cosec tan , dan1cos
, = 1sin
1cot
.
tan = cot sin cos
dan = cos sin .
sin2 + cos2 = 1,1 + tan2 , dan 1 + cot2 = cosec2
17