rua.ua.es2.3.1. modelo de elementos finitos. 2.3.2. representación local y global de funciones....

Un modelo para sistemas complejos basado en técnicas de elementos finitos bidimensionales.

Antonio Pérez Carrió

ISBN: 84- 690- 3124- 4 · Depósito Legal: A-1165-2006

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UNIVERSIDAD DE ALICANTE

ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Departamento de Matemática Aplicada

Un modelo para sistemas complejos basado en técnicas de elementos finitos bidimensionales.

ISBN: 84-690-3124-4· Depósito Legal: A-1165-2006

Antonio Pérez Carrió Alicante, 2006

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AGRADECIMIENTOS. 1. INTRODUCCIÓN.

1.1. DEFINICIÓN DE LA TESIS. 1.2. ANTECEDENTES Y ESTADO ACTUAL.

1.3. RESUMEN DESCRIPTIVO DE LOS CAPÍTULOS.

2. CONCEPTOS GENERALES Y RESULTADOS PREVIOS.

2.1. INTRODUCCIÓN. 2.2. ESPACIOS DE SOBOLEV.

2.2.1. Espacios de funciones. 2.2.2. Distribuciones. 2.2.3. Espacios de Sobolev.

2.3. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

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2.3.1. Modelo de elementos finitos. 2.3.2. Representación local y global de funciones.

2.4. ANÁLISIS DE CONGLOMERADOS JERÁRQUICO.

2.4.1. Introducción. 2.4.2. Análisis de conglomerados jerárquico. Proceso aglomerativo. 2.4.3. Métodos de aglomeración. 2.4.4. Medidas de distancia. 2.4.5. Transformación de valores. 2.4.6. Transformación de medidas. 2.4.7. Elementos de información. 2.4.8. Decisión sobre el número de conglomerados. 2.4.9. Interpretación de los resultados. 2.4.10. Validación de la solución.

2.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

2.5.1. Introducción. 2.5.2. Métodos directos de resolución. 2.5.3. Elección de método de resolución de sistemas. 2.5.4. Resolución de sistemas reticulares.

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3. MODELO DE REPRESENTACIÓN.

3.1. INTRODUCCIÓN. 3.2. MODELOS GEOMÉTRICOS DE ELEMENTOS FINITOS

BIDIMENSIONALES.

3.3. MODELOS DE REPRESENTACIÓN BASADOS EN FAMILIAS DE E.F. BIDIMENSIONALES.

3.4. COMPARACIÓN DE MODELOS.

3.4.1. Estudio del error respecto de los datos iniciales. 3.4.2. Análisis de la estabilidad. 3.4.3. Estudio de la suavidad de la representación. 3.4.4. Análisis de conglomerados jerárquico. 3.4.5. Estudio del error del modelo de representación.

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4. ESTRUCTURA ALGORÍTMICA DEL MODELO DE REPRESENTACIÓN.

4.1. INTRODUCCIÓN. 4.2. ESTRUCTURA BASE. BARRA PRINCIPAL DE TRABAJO.

4.3. MÓDULO I: ENTRADA, VISUALIZACIÓN, VERIFICACIÓN Y

EVALUACIÓN DE DATOS.

4.3.1. Ventana objeto del módulo. 4.3.2. Matrices de conexión. 4.3.3. Matrices para la neutralización. 4.3.4. Plano de regresión de z sobre (x,y). 4.3.5. Informe general. 4.3.6. Reestructuración de datos.

4.4. MÓDULO II: OBTENCIÓN DEL MODELO Y EMISIÓN DE INFORMES.

4.4.1. Centro de cálculo. 4.4.2. Proceso de cálculo de la solución del sistema.

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4.4.3. Información adicional.

4.5. MÓDULO III: PARÁMETRO DE ANÁLISIS DE LOS DISTINTOS

MODELOS OBTENIDOS.

4.5.1. Comentarios previos. 4.5.2. Estabilidad de un modelo. 4.5.3. Suavidad de un modelo

5. APLICACIONES.

5.1. INTRODUCCIÓN 5.2. .MODELOS PARA SURFACE108

5.3. MODELOS PARA LOTUS6LT

5.4. MODELOS PARA AbSinC100

6. CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES.

7. BIBLIOGRÁFICAS Y REFERENCIAS.

Antonio Pérez Carrió 1

AGRADECIMIENTOS (I)

No es sencillo pensar en las palabras adecuadas para poder definir la relación entre el autor de una tesis y sus directores. Resulta más fácil adentrarse en los recónditos pasajes de una literatura creada para navegar en el recuerdo, donde coexisten la razón y la emoción.

“Tanto para iniciar, como para concluir una singladura, es preciso contar con una

tripulación preparada, disciplinada y entregada a su pasión por la investigación, y abierta a los que

buscan, como ellos, la esencia del conocimiento. Y, por supuesto, al mando, alguien presto a escuchar,

con el convencimiento de que la ilusión de su interlocutor merece una atención especial, y dispuesto,

sobre todo, a ser paciente”.

En mi pequeño viaje particular he tenido la gran suerte de navegar siguiendo las indicaciones de quienes representan , bajo mi punto de vista, ese modelo ideal de Directora/or de Tesis, debido a su gran capacidad de trabajo, su dedicación plena, su atención continuada, su tratamiento afable y sosegado, su incansable disposición y su inestimable ayuda en la elaboración y revisión de esta memoria.

Doña YOLANDA VILLACAMPA ESTEVE y Don JOSÉ LLORENS SÁNCHEZ, GRACIAS por

haberme permitido formar parte de una gran experiencia, como es la realización de esta TESIS DOCTORAL.


AGRADECIMIENTOS (II) Todo el esfuerzo realizado, antes y durante la elaboración de esta tesis no es el resultado de una

acción personal sino que es la consecuencia del alto grado de cohesión que poseo en mi familia , por lo que :

Quiero agradecer a mi esposa, María Jesús, su comprensión y paciencia por aguantar la carga de

un marido en “estas” condiciones.

“Realmente, María Jesús, tú has sido el alma de esta tesis, ya que sin tus cuidados ,

atenciones, ánimos y consejos nunca hubiera llegado a término”.

Doy gracias a mis hijos, Rosa María y Antonio José, por su tolerancia ante la cantidad de tiempo que no he podido dedicarles y que espero poder recuperar en breve.

“No podéis imaginar cuán importantes han sido para mí vuestras preguntas sobre la tesis y

vuestros comentarios sobre aquello que, aunque no entendíais, os parecía maravilloso”.

Agradezco a mis padres, José y María Rosa, la educación que me han dado, sin la cual, no habría

sido posible seguir el camino que me ha llevado hasta la culminación de esta tesis. Finalmente, además de la familia, en el entorno de trabajo y en el marco de lo social quiero

agradecer a todos/as aquellos/as que han colaborado tanto activa como pasivamente en la consecución de este logro.


3

INTRODUCCIÓN

1.1. DEFINICIÓN DE LA TESIS

En este trabajo se presenta un modelo para sistemas complejos basado en técnicas de elementos

finitos bidimensionales así como su desarrollo computacional. El modelo presentado es un modelo de

representación que es considerado como la interpolación de una cierta función ( )u x definida sobre un

modelo de elementos finitos en el dominio considerado. De forma genérica se ha de imponer la condición de que éste coincida con la función y posiblemente con algunas de sus derivadas en un conjunto de puntos llamados nodos. La función de interpolación se define inicialmente por el valor que toma en los nodos, siendo estos valores determinados de manera que minimicen una función de error definida previamente y dependiente de los datos. Será por consiguiente necesario resolver un problema de optimización que depende de las condiciones iniciales del problema. El planteamiento teórico y computacional se ha realizado en dos dimensiones para posteriormente proseguir los estudios en un espacio n-dimensional.

Con los modelos de representación obtenidos se consigue además una simplificación en la

búsqueda del modelo de manera que se ajuste a la realidad de los datos experimentales lo suficiente para no arrastrar los errores sistemáticos o groseros de las observaciones y con los que sea posible inferir diferentes situaciones.

Las distintas investigaciones que se han llevado a cabo, han culminado en la elaboración de un

programa computacional inédito para la generación de modelos de representación, los cuales son obtenidos a partir de los datos experimentales y que serán aplicados en el estudio y modelización de sistemas complejos. Se ha realizado una investigación totalmente diferente y complementaria de las efectuadas anteriormente para el análisis y modelización de este tipo de sistemas [51], [12], [13], [50], [52] y [54], así como de las herramientas existentes en la literatura científica encaminadas al tratamiento de datos y la búsqueda de modelos que reflejen la respuesta de una variable respecto de otras [45] y [46].


La utilización del método de elementos finitos está muy extendida en la resolución de problemas de ingeniería en donde la solución del problema se expresa a partir de una ecuación diferencial en derivadas parciales, como ocurre en problemas de mecánica de sólidos, mecánica de fluidos viscosos, potenciales eléctricos, etc. [6], [17] y [59]. No obstante hay que resaltar que en el modelo de representación que se presenta, el método de elementos finitos se utiliza para determinar una

interpolación de una relación ( )u x = ( )1 2, ,..., ny F x x x= a partir de las condiciones iniciales

consideradas o datos experimentales: { }1 2 1, ,...., ,

pj j j jn j

x x x z=

, determinando primero un modelo

geométrico de elementos finitos en el dominio considerado, tal y como se desarrollará en el capítulo 3. Debido a la posible utilización de este modelo de representación en modelos que además

conlleven ecuaciones en derivadas parciales se ha considerado ( )u x dentro de los espacios de

Sobolev. De esta forma se parte inicialmente de que ( )u x ∈ ( )ΩmH y se utiliza el método de los

elementos finitos para generar q-funciones de interpolación global linealmente independientes contenidas

en el espacio de Sobolev ( )ΩmH , por lo que formarán la base de un subespacio vectorial de dimensión

finita.

Así pues será necesario generar inicialmente el modelo geométrico de elementos finitos que junto con el de interpolación y la resolución de un problema de optimización determinará el modelo de representación, para el que además se proponen los estudios correspondientes del análisis del error y los algoritmos computacionales que permitan su ejecución.

1.2 Antecedentes y estado actual

Son diversas las formas de analizar y conocer la evolución de un sistema siendo fundamental

para ello el conocimiento de su estructura y de las interrelaciones de sus elementos. En este sentido la Teoría General de Sistemas (TGS) se considera, en términos generales, el marco teórico en el que se puede incluir cualquier teoría, método, algoritmo o ente.


Por otra parte la investigación de las interrelaciones de sus elementos, así como los procesos y fenómenos analizados en él, nos lleva al estudio del sistema desde la perspectiva de la modelización matemática permitiéndonos por una parte representar relaciones y por otra describir matemáticamente el proceso considerado. Si de forma usual la descripción matemática nos viene expresada por una ecuación o un conjunto de éstas, será imprescindible obtener analítica o numéricamente la solución del modelo matemático construido.

De forma genérica, en el estudio de las ciencias básicas, una de las aspiraciones es la obtención

de un modelo que permita predecir situaciones, y por supuesto, en muchas ocasiones la predicción se realiza respecto a un fenómeno natural. En este sentido son distintas las formas de obtener un modelo que permita predecir situaciones y serán dos las que tendrán especial interés en el trabajo presentado por la aplicación de los resultados obtenidos. Por un lado nos planteamos el estudio y modelización de sistemas complejos en los que las relaciones que se desean modelizar pueden ser complejas y además deben de obtenerse a partir de los datos experimentales de las variables que intervienen en las mismas. Y por otro, pretendemos analizar los modelos que vienen descritos por ecuaciones en derivadas parciales, con coeficientes variables no conocidos analíticamente y de los que se conocen datos numéricos, comenzando con las de tipo elíptico en dos dimensiones.

Para construir modelos que puedan predecir situaciones y que hayan sido obtenidos a partir de

datos experimentales existen distintas herramientas en la literatura científica. Podemos citar las metodologías implementadas en el Software Splus [45] y en SPSS [46] en donde es posible la determinación de modelos lineales y no lineales, caracterizándose ambas porque en cada ejecución se obtiene un modelo lineal y para obtener modelos no lineales debemos introducir a priori el tipo de modelo o ecuación no lineal, siendo los parámetros los que el programa encuentra en función de los datos experimentales. Además citaremos a la metodología implementada en Modelhss, [12] y [13], cuyo tratamiento de linealidad es el mismo que en los anteriores, pero que difiere en la no linealidad ya que es posible determinar familias de modelos no lineales en cada ejecución del programa, de manera que su metodología implementa un lenguaje en el que construir modelos basándose en la multilinealidad de los mismos, con el inconveniente computacional en la ejecución de memoria en la construcción del lenguaje cuando la complejidad es elevada.


Finalmente el planteamiento considerado en [52] implementa distintos tipos de metodología en las que se incluye la búsqueda de familias no lineales que además son no lineales en los parámetros y resuelve los problemas computacionales de memoria en ejecución que se presentaron anteriormente. Además en ella se estudia la estabilidad de los modelos construidos a partir de la definición de sensibilidad del modelo frente a las variaciones producidas en los datos de acuerdo a los estudios ya realizados en [51], y que pueden ser aplicados a los modelos obtenidos por cualquier otra técnica. Los primeros estudios considerados sobre la estabilidad de los modelos matemáticos que han sido obtenidos a partir de datos experimentales, se publicaron anteriormente en [50] y [51] y en ellos, básicamente, se analiza la estabilidad a partir del análisis de la sensibilidad de los modelos respecto a cierto tipo de perturbaciones realizadas en los datos mediante la aplicación de la simulación del Método Monte Carlo.

En el estudio y modelización de sistemas complejos donde las relaciones presenten un elevado

grado de complejidad por el número de variables que intervienen en las mismas, y partiendo de que todas son significativas en el proceso considerado, las investigaciones existentes permiten agrupar ciertas variables en clases homogéneas respecto a determinados criterios. Por otra parte cabe la posibilidad de que independientemente del criterio elegido para considerar agrupamientos entre las variables que intervienen en la relación, se puede modelizar de forma diferente las clases o agrupamientos considerados, eliminando así la dificultad de aplicar la modelización con toda la complejidad. Esto implica que las técnicas precedentes podrían aplicarse de forma híbrida junto con el modelo presentado en este proyecto. En el estudio y resolución de procesos que llevan implícita una ecuación en derivadas parciales, una de las técnicas habituales para la obtención aproximada de la solución es la utilización del método de los elementos finitos (MEF) que ha sido usado frecuentemente en ingeniería y es, en la actualidad, una herramienta cada vez más utilizada por otras ciencias, como método de aproximación. Como ya se ha comentado, el método está muy extendido en la resolución de problemas de ingeniería en donde la solución se expresa a partir de una ecuación diferencial en derivadas parciales, como ocurre en problemas de mecánica de sólidos, mecánica de fluidos viscosos, potenciales eléctricos, etc. Además, la utilización del MEF para la solución nos lleva de forma natural a considerar acotaciones del error cuyo estudio teórico se puede encontrar en [9], [17], [36] y [37].


Es conveniente por otra parte en problemas de modelización, obtener acotaciones numéricas del error, lo que equivale a obtener valores numéricos de las constantes que aparecen en los estudios teóricos relativos a este tema. Debemos dejar constancia de que los trabajos que se han desarrollado sobre estimadores, ya sea de la solución o del error, van acompañados de la existencia de una constante sin determinar numéricamente. Si analizamos el error, los estudios se centran principalmente en los problemas aplicados al cálculo de estructuras, problemas mecánicos elásticos, siendo necesarios los análisis del error localmente y no de forma global. En otro tipo de investigaciones, donde se aplique el MEF, puede ser necesario obtener acotaciones del error analizando su propagación global en todo el dominio y por supuesto resulta útil obtener acotaciones numéricas que no dependan de ninguna constante. En los últimos años se pueden encontrar trabajos que obtienen aproximaciones del error local en [7], [19], [20], [27] y [29].

Un ejemplo de determinación numérica de estas acotaciones para el problema de Dirichlet en ecuaciones elípticas se puede hallar en los trabajos realizados en [53 ] y [55]. En estos estudios las técnicas que se utilizan para la determinación de acotaciones numéricas son diferentes a las aplicadas en los resultados teóricos que se han desarrollado en textos y revistas internacionales como son los que se encuentran en [4], [10], [22], [29] y [37].

El problema que se puede plantear es el análisis de estas cuestiones en ecuaciones en derivadas

parciales con coeficientes variables, de manera que sólo se conozcan de dichas variables los valores que toman en un conjunto de puntos. Así ocurre en el estudio de problemas relacionados con flujos en medios heterogéneos como acuíferos y, en general, medios porosos. Algunas investigaciones recientes respecto a estos temas conllevan la homogeneización del problema, ya bien sea en los elementos considerados o en distintos subdominios [21], [38] y [47]. Otro planteamiento podría ser la modelización de estos coeficientes de forma diferente. Así pues, resulta primero necesaria la obtención de una metodología de modelización de esos coeficientes a partir de los datos experimentales que permita posteriormente enlazar con la resolución numérica de la ecuación en derivadas parciales mediante la aplicación del MEF. Una forma plausible de poder abordar este tipo de problema sería comenzar por generar modelos de elementos finitos para la determinación aproximada de los coeficientes de las ecuaciones en derivadas parciales.


1.3 Resumen descriptivo de los capítulos

Capítulo1. Introducción

En este capítulo, por una parte, se hace un breve resumen de la tesis presentada. En este sentido se realiza un planteamiento del problema que ha conducido a esta investigación y que ha culminado en la elaboración de un programa inédito para la generación de modelos en sistemas complejos. Por otra, se hace un análisis de los antecedentes y el estado actual de las investigaciones relativas a este tema. Se finaliza con una sinopsis descriptiva de cada uno de los capítulos desarrollados a lo largo de este trabajo.

Capítulo2. Conceptos generales y resultados previos

El proceso de investigación pasa por la estructuración de los conceptos teóricos necesarios para poder formalizar la técnica usada. Para ello es preciso definir el ámbito donde tendrán sentido las funciones de interpolación que darán lugar al modelo de representación. Por lo tanto, es necesario elaborar la referencia teórica precisa sobre espacios de Sobolev y el modelo de elementos finitos a través de la representación global y local de funciones en dicho espacio.

Por otro lado la generación de un modelo no invalida los obtenidos con anterioridad o con

posterioridad lo que precisa una comparación mediante técnicas que analicen el grado de disimilaridad entre ellos. Con este fin se ha desarrollado el fundamento teórico del análisis de conglomerados, taxonomía numérica o reconocimiento de patrones.

Finalmente, y puesto que la obtención del modelo es consecuencia de la resolución de un sistema

de ecuaciones lineales basado en el algoritmo del método de Gauss Pivote Parcial, se plasman los métodos habituales de resolución y la adaptación de este último a las técnicas que son inherentes al origen del método de los elementos finitos como puede ser la rigidización de estructuras elásticas.


Capítulo 3. Modelo de Representación

En este capítulo se procede a construir la función interpolación de la relación a priori entre las variables y la respuesta observada, mediante una representación basada en un modelo geométrico de elementos finitos, un modelo de interpolación, y un modelo de aproximación de la relación anterior. La generación de estos modelos precisará de un posterior análisis del error, estabilidad y suavidad de los mismos, así como el reconocimiento de patrones que puedan permitir una agrupación de éstos según la afinidad entre ellos, para finalmente establecer, para cada modelo, un error a posteriori fundamentado en parámetros inherentes al método de elementos finitos. Capítulo 4. Estructura algorítmica del modelo de representación.

Se describe el algoritmo computacional, Finit Trap 2D, mediante el que se obtiene el modelo de representación, estructurado en tres partes, bloques o módulos independientes:

Módulo I: La entrada, visualización, verificación y evaluación de datos. Módulo II: Obtención del modelo y emisión de informes Módulo III: Parámetros de análisis

El módulo I es, en esencia, el nexo entre la fuente empírica y la manipulación simbólica de ésta.

De esta forma actúa como nutriente activo de la unidad de cálculo, para cada muestra y dentro de ésta para cada complejidad, generando las tablas necesarias para la obtención del modelo de aproximación y determinados análisis a posteriori.

El núcleo principal de cálculo está en el módulo II donde se obtiene un sistema de ecuaciones

lineales que depende de la muestra de puntos y de la complejidad de la discretización elegida. La resolución del sistema se basa en el algoritmo del método de Gauss Pivote Parcial, condicionado a posibles neutralizaciones dependiendo del tamaño de las ecuaciones y del pivote con el objeto de obtener en cada caso una única solución.


El módulo III consta de dos submódulos independientes: uno para el análisis de la estabilidad y el otro para el de la suavidad.

Tanto en el módulo I como en el III se han implementado los respectivos interfaces gráficos para la visualización de: datos en el dominio bidimensional (módulo I), la curva de perturbación-error y el mapeo de colores angulares (módulo III). Capítulo5. Aplicaciones.

Se analizan en este capítulo tres fuentes de datos de distintas características, empezando por Surface108, con cuya variación de número de datos se validaron las primeras pruebas de funcionamiento de la técnica utilizada en esta tesis. La importancia de esta fuente de datos se debe a las manipulaciones efectuadas sobre ella con el fin de observar las variaciones tanto en el sistema reticular como en la solución del mismo según la complejidad utilizada. Pese a que dichos puntos forman parte de una superficie sin rugosidades y no problemática, se realiza su análisis para distintas complejidades con el fin de observar el funcionamiento del programa y de las diversas técnicas de comparación con las que ofrecer al investigador un abanico de posibilidades para que éste determine su elección en función de consideraciones del campo que le compete.

Otra fuente de datos para la que se han obtenido modelos de aproximación es LOTUS6LT

correspondiente a medidas de ancho, largo y área de foliolos que se analizaron en tres poblaciones L.

Glaber. Finalmente se buscó una fuente de puntos de una superficie que presentara, en un dominio dado,

la suficiente deformación para estudiar cómo se aproxima el modelo generado mediante la técnica objeto de esta tesis. La superficie elegida ha sido:

( )( )2 20,3 sinz abs x y= +

y el fichero de datos AbSinSC100.


Capítulo 6 . Conclusiones y futuras investigaciones.

En este capítulo se resumen las conclusiones de la tesis y se plantean las futuras investigaciones que van a ir encaminadas, principalmente, desde dos puntos de vista: de una parte un aumento del espacio n-dimensional y de otra la aplicación de la metodología de modelización implementada al estudio de cierto tipo de ecuaciones en derivadas parciales.


12

2. CONCEPTOS GENERALES Y RESULTADOS PREVIOS

2.1 INTRODUCCIÓN

Se considera en este capítulo, por una parte, una introducción de los espacios en los que se

sitúan los estudios de la tesis presentada, en el sentido de que el modelo de representación que se genera pertenece a los mismos. Por otra, se comentan los conceptos, resultados y técnicas que se aplicarán posteriormente a lo largo de ésta.

2.2 ESPACIOS DE SOBOLEV

2.2.1 Espacios de funciones Definición 2.1: Se llama soporte de la función ϕ : n →R , al menor cerrado fuera del cual dicha

función es idénticamente nula.

Sean los espacios vectoriales ( )nC∞ R y ( )C∞ Ω con Ω 1⊂ nR sobre el cuerpo , de las

funciones, n →R y Ω→ , indefinidamente diferenciables sobre nR y Ω respectivamente. Se

define el espacio ( )nÐ R (respectivamente ( )Ð Ω ) como el subespacio vectorial de ( )nC∞ R (

( )C∞ Ω ) de las funciones ϕ , con soporte acotado.

Se notará, de forma simplificada, por Ð a los subespacios vectoriales anteriores de funciones

complejas sobre cualquier dominio de nR .

Nota: Se pueden definir dichos subespacios como conjuntos de funciones indefinidamente diferenciables con soporte compacto.

1 Ω es un abierto acotado


Definición 2.2: Topología o noción de convergencia en Ð

Decimos que una sucesión { } 1,i ii

Ðϕ ϕ∞

=∈ converge a Ðϕ∈ si:

a) Los soportes de todas las funciones iϕ están contenidos en un mismo compacto y

b) Para cada m=0,1,2,…las derivadas )miϕ convergen uniformemente a las derivadas )mϕ en Ð .

Se denota además por ÐΩ al espacio de las funciones indefinidamente diferenciables con

soporte un compacto que está contenido en Ω . Por otra parte estas funciones se pueden considerar

como la restricción a W de una función del espacio ( )Ð φ con φ un abierto conteniendo a Ω .

2.2.2 Distribuciones

Definición 2.3: Se llama distribución T a un funcional lineal y continuo sobre el espacio vectorial Ð . Vamos a desglosar la definición:

a) T es un funcional:

Lo que significa que a cada función Ðϕ∈ , le asocia un escalar que designaremos por:

,T ϕ

b) T es lineal:

Es decir 1 2, y ,Ðϕ ϕ λ μ∀ ∈ ∈ se cumple que:

1 2 1 2, , ,T T Tλϕ μϕ λ ϕ μ ϕ+ = +

c) T es continuo:

Es decir para cada sucesión { }iϕ convergente en Ð , sus imágenes ( ){ }iT ϕ forman una

sucesión convergente en , resultando que:


( )( ) ( ) i ii iLim T T Limϕ ϕ→∞ →∞

= ó , ,i ii iLim T T Limϕ ϕ→∞ →∞

=

Además diremos que dos distribuciones 1 2y T T son iguales si para todo Ðϕ∈ se cumple que

1 2, ,T Tϕ ϕ= . Por otro lado se define la suma de distribuciones y el producto por un escalar de la

siguiente forma:

1 2 1 2, , ,T T T Tϕ ϕ ϕ+ = + y , ,T Tλ ϕ λ ϕ=

con lo que el conjunto de distribuciones tiene estructura de espacio vectorial sobre y se designa por

Ð' (espacio dual de Ð ). Funciones Localmente Sumables y Distribuciones.

Definición 2.4: Se dice que una función : nf →R es localmente sumable, si es sumable en el

sentido de Lebesgue sobre todo dominio acotado, es decir, si sobre cada compacto k de nR existe y es

finita la integral ( )f dx∫ ∫∫ xk

.

Consideremos el funcional :fT Ð→ asociado a la función : nf →R , localmente sumable,

definido de la siguiente forma:

:

( ) ( )n

fT Ð

f dϕ ϕ

→

∫ x x xR

Es claro que Tf está definido sobre Ð pues ( )fT ϕ está definido como una integral sobre un

dominio acotado que contiene al soporte de ϕ . La linealidad es evidente y la continuidad también pues


dada una sucesión { } 1,i ii

Ðϕ ϕ∞

=∈ que converge en Ð hacia ϕ se tiene (sobre un dominio acotado

Ω , que contenga el soporte de todos los iϕ ) que:

( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) sup ( ) ( ) ( )f i f i iT T f dx f dxϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕΩΩ Ω

− = − ≤ −∫ ∫x x x x x x

que tiende a cero con sup ( ) ( )iϕ ϕΩ

−x x cuando i →+∞ .

Por lo tanto: a toda función f localmente sumable le corresponde una distribución fT tal que:

, ( ) ( )n

fT f dϕ ϕ= ∫ x x xR

Abusando del lenguaje se identifica la distribución fT con su función localmente sumable

asociada f, es decir , ,fT fϕ ϕ= . En este sentido las distribuciones forman una clase más amplia

que las funciones.

Derivación de Distribuciones.

No debemos olvidar que una distribución T sobre nR es un funcional definido sobre Ð y no

sobre nR por lo que no se puede tratar de definir, de la manera usual, las derivadas de T respecto de

, 1, 2,...,ix i n= . Sin embargo hemos visto distribuciones que se identifican con funciones sobre nR y

por ello definiremos las derivadas de una distribución cualquiera T, generalizando convenientemente las funciones derivadas de f, en cuanto distribuciones.

Consideremos : nf →R una función de clase 1C es decir derivable parcialmente respecto a

cualquier variable y además con derivadas continuas.


Designaremos por ii

ffx∂

∂ =∂

, que por ser continua define una distribución, entonces para todo Ðϕ∈

(con lo que i Ðϕ∂ ∈ ) se tiene

( ) ( )

( ) [ ]1 1

1 1 1 1 1 1

, ,

0

n n

n n

i i i i i

i i n i i i i n

f f f f d f d

dx dx dx dx f dx f dx dx dx dx

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ− −

+∞ +∞− + − +−∞−∞

∂ + ∂ = ∂ ⋅ + ⋅∂ = ∂ ⋅ =

= ∂ ⋅ = ⋅ =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

x xR R

R R

Es nula debido a que f ϕ⋅ se anula como ϕ en el infinito.

Es legítimo, por tanto, hacer la siguiente definición:

Definición 2.5: Se define la derivada de una distribución T cualquiera respecto a ix y se denota por

iT∂ , a la distribución tal que para todo Ðϕ∈ se verifica que:

, ,i iT Tϕ ϕ∂ = − ∂

Es claro que el funcional así definido sobre Ð es lineal y continuo. Entonces, al contrario que las funciones, una distribución es siempre derivable y generalizando es indefinidamente derivable.

Las funciones derivables pueden considerarse como distribuciones. Así para una función derivable se tiene su derivada como función en el sentido habitual y su derivada como distribución. Pero ambos conceptos coinciden por lo que la definición es coherente. Es decir se puede comprobar que si

denotamos por i f∂ la derivada como función y por iD f su derivada como distribución, se verifica que:

, ,ii

fD fx

ϕ ϕ∂=

∂


Una función localmente sumable aunque no tenga derivada en el sentido usual, puede derivarse

como distribución. Convergencia en el espacio de las distribuciones.

Se utiliza la convergencia simple respecto a Ð , es decir iT T→ es equivalente a que para toda

ϕ∈ Ð se cumpla que , ,iT Tϕ ϕ→ .

2.2.3 Espacios de Sobolev

Son tratados, a lo largo de la tesis, elementos u(x,y), que se pueden considerar incluidos dentro

de espacios de Sobolev de orden entero, por lo que se definen a continuación.

Sea W un dominio abierto acotado en el espacio n-dimensional nR .

Definición 2.6: Se define el espacio de Sobolev de orden un entero positivo m, ( )mH Ω , como el

conjunto de (clases de ) funciones definidas casi por todas partes en W , de manera que existan sus derivadas en el sentido de las distribuciones de orden menor o igual a m y sean ( clases de ) funciones de cuadrado integrable (respecto a la medida de Lebesgue) sobre W.

( )mH Ω = ( ){ }2( ) / , ,u D u L mα α α∈ Ω ∀ ≤x (2.1)

Se puede estructurar el espacio como un espacio prehilbertiano considerando el producto escalar

definido por,

( u , v )H = ( ) ( )2,L

m

D u D vα α

αΩ

≤∑ =

m

D u D v dxα α

α ≤ Ω∑ ∫ (2.2)


es decir a partir del producto escalar en ( )2L Ω se obtiene la norma:

( )( )2

1/ 2

2mH

m L

u D uαα

Ω≤ Ω

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (2.3)

Con esta estructura es un espacio completo. Con la norma asociada (2.3) son espacios de Hilbert y el espacio Ð(W) resulta ser un subconjunto

de ( )mH Ω .

La adherencia del espacio Ð(W) en el espacio de Sobolev, representado por ( )moH Ω , con la

estructura prehilbertiana, es un espacio de Hilbert.

2.3 EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El método de los elementos finitos surge en la década de los sesenta para la resolución de

problemas de ingeniería, concretamente dentro del cálculo de estructuras, relativos al estudio de la mecánica de estructuras elásticas lineales. Fue la primera vez que se utilizó el nombre de elemento finito para denominar cada porción discreta de un continuo elástico, lo que unido a la potencia de cálculos, derivada de los avances dentro del campo informático, propició un gran desarrollo y aplicación por parte del ingeniero frente a otras técnicas de discretización como la de diferencias finitas.

Son numerosos los libros en los que se desarrolla la aplicación del método para la resolución de

problemas de elasticidad, problemas de equilibrio lineales, problemas de transferencia de calor, electromagnetismo, mecánica de fluidos, problemas con valores en la frontera, etc. ( [2], [16], [30] y [59] ).


Se considera un método indispensable en la solución de problemas de ingeniería y en general para la resolución de diversos problemas científicos. En la actualidad el método se está aplicando de forma más general como método de aproximación.

En esta tesis se va a utilizar el método de los elementos finitos como una técnica de

aproximación sistemática y potente (mediante interpolación) según se detalla seguidamente: 1. Dentro del proceso de interpolación considerado hay que destacar que es independiente de la

geometría del dominio que se considere, por lo que funciones definidas en dominios muy irregulares se pueden interpolar de forma bastante sencilla.

2. Al considerar determinadas condiciones sobre las funciones en puntos que están situados en la frontera del dominio, la interpolación por elementos finitos, proporciona una forma sistemática de agruparlas.

3. El concepto de interpolación está completamente relacionado con el de aproximación por lo que el concepto de elemento finito origina un método potente de la solución aproximada de problemas, entre los que se pueden citar a los problemas de valores en la frontera.

Se exponen a continuación los conceptos y resultados teóricos de modelos de elementos finitos sobre dominios así como las representaciones de funciones, siguiendo las anotaciones utilizadas en [2], [16], [36] y que son consideradas como parte del estudio del modelo de representación de elementos finitos presentado en esta memoria.

2.3.1 Modelo de elementos finitos

De forma general, se considera una función suave, ( )u x , (con ciertas condiciones de

continuidad), cuyo dominio Ω es la clausura de una región abierta y acotada Ω en el espacio

euclídeo n-dimensional nR . Se representa Ω = Ω∪∂Ω , donde ∂Ω es la frontera de Ω . Para la

generación de un modelo de elementos finitos de la función, que es equivalente a una interpolación y en


definitiva a la obtención de una aproximación de la misma, es necesario construir inicialmente un modelo

de elementos finitos de Ω , que llamaremos modelo geométrico. Modelo Geométrico de Elementos Finitos.

Definición 2.7: Se denomina modelo geométrico de elementos finitos del dominio nΩ⊂ R , a una

región Ω n⊂ R , la cual es unión de un número finito, E, de sub-regiones (o sub-dominios) cerradas y

acotadas eΩ de nR , de manera que cada una de ellas es la clausura de una región abierta eΩ , es

decir, e e eΩ =Ω ∪∂Ω , 1,2,...,k E= . Las sub-regiones se llaman elementos finitos de Ω , y

además son seleccionadas de manera que coincida con Ω o se aproxime. A la región o dominio Ω

también se le llama modelo acoplado o modelo conectado del dominio nΩ⊂ R . Nos referiremos a él de forma usual como modelo geométrico pudiendo utilizar indistintamente las otras denominaciones.

Además, los elementos abiertos eΩ deben ser disjuntos dos a dos. Así pues:

{ }1

, , 1,..., y =

Ω = ∪Ω Ω ∩Ω =∅∀ ∈ ≠E

e e fee f E e f (2.4)

En el modelo se identifica un número finito de puntos, llamados nodos globales, que se numeran

de forma consecutiva. Se denota por GN el conjunto de los nodos globales de Ω , es decir, si G∈ ,

es el número de nodos globales y i n∈Rx es el punto correspondiente al nodo de numeración

{ }1,...,i G∈ se tiene que { }1

Gi nG i

N=

= ∈Rx .

En cada elemento eΩ también se identifica un número finito de puntos llamados nodos locales,

cuya numeración se realiza siguiendo las mismas pautas de los nodos globales. Si eN ∈ , es el


número de nodos locales del elemento eΩ y N ne ∈Rx es el punto correspondiente al nodo de

numeración { }1,..., eN N∈ del elemento eΩ se tiene que { }1

eNN nL e e

N=

= ∈Rx .

Condiciones de Compatibilidad.

Dado un modelo geométrico de elementos finitos, Ω , se pretende que el ensamble entre dos elementos finitos se ajuste, de manera suficientemente suave, a la forma del modelo, para lo que deben cumplirse unas condiciones de compatibilidad de la frontera de elementos adyacentes en el modelo.

Sean eΩ y fΩ dos elementos finitos de los que se pretende que sean adyacentes en el modelo

y sea ef∂Ω el subconjunto de Ω tal que la intersección de ef∂Ω con las fronteras e∂Ω y f∂Ω es no

vacía y que representamos por 'e∂Ω y '

f∂Ω ( es decir son las porciones de las frontera de cada

elemento trazadas dentro de ef∂Ω sobre el ensamble de elementos).

Se denotan por ( ){ }'

'

1

eNNe e N =

∂Ωx , ( ){ }'

'

1

jMMf f M =

∂Ωx y ( ){ } '

1

Gief i=

∂Ωx el conjunto de nodos en

'e∂Ω , '

f∂Ω y ef∂Ω respectivamente.

Entonces e∂Ω y f∂Ω son compatibles con Ω si y sólo si:

1. Existe una aplicación inyectiva :Λ ' '∂Ω ×∂Ω →∂Ωe f ef .

2. ' ' 'e fN N G= = y existe una aplicación inyectiva,

( ){ } ( ){ } ( ){ }' ' '' '

( ) 1 1 1: e jN M GN M i

ef e e f f efN M i= = =Λ ∂Ω × ∂Ω → ∂Ωx x x


3. Para cada nodo Nex y cada elemento finito eΩ existe un nodo correspondiente en el

modelo i ∈Ωx . Esto se puede describir mediante una aplicación inyectiva ( )e

Λ de los

nodos locales, Nex , en los nodos globales, ix , para cada e,

( )

:e

Λ { } { }N ie N i

→x x .

Cuando estas tres condiciones se cumplen, los elementos eΩ y fΩ pueden adaptarse

suavemente en el modelo Ω y se tiene que ef∂Ω = e∂Ω ∩ f∂Ω .

Transformaciones Booleanas.

Por otra parte debe existir una correspondencia entre la numeración Nex usada para contar los

nodos localmente y la usada para contar los nodos globalmente. Matemáticamente esta correspondencia se describe para cada elemento, e, como una aplicación

( )eΛ { }

1: eNN

e N =x →{ }

1

Gi

i=x , (2.5) pudiendo expresarla de forma equivalente por la transformación

( )

1

eN ei i NN e

N=

= Λ∑x x , e fijado

Siendo

( )

1 si el nodo del elemento coincide con el nodo global

0 en cualquier otro caso

e

e iN

Ni

⎧ Ω⎪⎪=Λ ⎨⎪⎪⎩


Para cada elemento e los números ( )e i

NΛ son los elementos de una matriz rectangular, asociada a

la aplicación ( )e

Λ , de orden G×Ne llamada matriz Booleana LG (de local a global).

La matriz Booleana LG asociada al elemento e se denota de la misma forma que la aplicación ( )

Λe

.

La colección de todas las aplicaciones de este tipo { }(1) (2) ( ), ,......,

EΛ = Λ Λ Λ (2.6) aplica todos los

elementos en su propia posición en el modelo y se dice que describe la conectividad discreta del modelo

de elementos de Ω . Al proceso inverso de ensamble de elementos en el modelo global se le llama descomposición.

Este proceso de descomposición de una colección unida de elementos en E elementos finitos aislados, se puede considerar como una renumeración de los nodos globales asociados con un elemento, de forma que se correspondan con la numeración de los nodos locales. La aplicación entre la numeración usada para contar los nodos globales y la empleada para contar los nodos locales viene dada por:

( )

:Ve { }

1

Gi

i=x →{ }

1

eNNe N=

x (2.7)

o bien mediante

( )

1V

G eN N ie i

i== ∑x x , 1,2,...,e E=

donde


( )

1 si el nodo global coincide con el nodo del elemento

V 0 en cualquier otro caso

eN ei

iN

⎧⎪ Ω⎪= ⎨⎪⎪⎩

Para cada elemento e los números ( )

Ve

Ni son los elementos de una matriz rectangular, asociada a

la aplicación ( )

Ve

, de orden Ne×G llamada matriz Booleana GL (de global a local).

La matriz Booleana GL asociada al elemento e se denota de la misma forma que la aplicación( )

Ve

.

La colección de todas las aplicaciones (1) (2) (E)

V V,V,....., V⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

, (2.8) aplica el modelo en una

colección de elementos disjuntos y se dice que describe la descomposición discreta o discretización del

modelo de elementos finitos de la región Ω .

Observación: Para un elemento e dado, las matrices Booleanas ( )e

Λ y ( )

Ve

son matrices transpuestas e

inversas.

2.3.2 Representación local y global de funciones

De forma general si se considera una función ( )u x , ∈Ωx suave en algún sentido, se define

una representación de elementos finitos como una interpolación dada en la forma de función ( )U x que

está definida sobre un modelo de elementos finitos Ω de Ω .

Así mismo ( )U x coincide con ( )u x en los nodos considerados , 1,2,......,i i G=x y

posiblemente en varias derivadas. La interpolación se construye desde interpolaciones locales. Es posible genéricamente, introducir un sistema de funciones de interpolación local de orden q,

( ){ }( )

1

eNeN N

αψ=

x , qα ≤ , para un elemento eΩ , definidas cumpliendo las siguientes propiedades:


i) ( ) ( ) 0,eNαψ ≡x si e∉Ωx

ii) ( ) ( ) e M MN e ND αβ βαψ δ δ=x , donde , nZ Zα β +∈ ⊂ , qα β ≤ , M, N =1,2,......, Ne

1 1 2 21, 2,..., ; ..... n ne E β αβ α β αβαδ δ δ δ= = (2.9)

Por consiguiente se deduce que las funciones de interpolación local tienen la propiedad de que sólo asumen valores no nulos dentro del elemento y los valores de sus derivadas de orden menor o igual

que q en los nodos del elemento son uno o cero. Los multi-índices ,α β se suponen en un subespacio

de nZ+ para mantener flexibilidad en la elección de las funciones de interpolación local.

Una representación local por elementos finitos de orden q es toda función definida como:

( ) ( ) ( ) ( )1

eNN e e

e NN q

V a αα

α

ψ= ≤

=∑∑x x ; ( ) ( )N e Nl ea D Vββ = x (2.10)

Además de ii) ( ) ( )N eNe eD V aβ

β=x .

La representación global se obtiene a partir de las representaciones locales, convirtiendo el

esquema de numeración local a uno global de los nodos considerados en Ω .

Una representación global de orden q es una función dada por ( ) ( )1

E

ee

V V=

=∪x x , ∈Ωx .

Si se usan los valores de las derivadas de orden α en el nodo ix del modelo conectado Ω

como coeficientes en la representación global, lo que equivale a que ( )i iD V Aαα=x , entonces se

desea expresar,


( ) ( )1

Gi

ii q

Z

V A αα

αα

φ= ≤

∈

=∑∑x x (2.11)

donde ( )iαφ x son funciones de interpolación global.

Podemos observar, que una propiedad intrínseca de las funciones de interpolación global es que

tienen soporte compacto en Ω . Es usual además referirse al modelo del dominio, como a una malla de elementos finitos. A cada

malla se le asocia un número positivo h, llamado parámetro de la malla que nos da una medida del grado

de refinamiento de elementos en Ω , siendo de esperar que a mayor número de elementos mejor aproximación se obtiene.

Se define el diámetro de un elemento genérico eΩ por:

1

2

, , 1max max

∈Ω ∈Ω =

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑n

e e

n

e i ii

h x yRx y x yx y (2.12)

Así mismo se considera como parámetro de la malla a:

h = max{ }1 2, ,...., Eh h h

Restricciones y Prolongamientos.


De las principales características comentadas de una interpolación ( )U x , de la función ( )u x ,

podemos resaltar que la interpolación queda definida por un número finito de valores de ( )u x y

algunas de sus derivadas en los nodos de una malla de elementos finitos. Por consiguiente el proceso conlleva la construcción de una correspondencia entre u(x) y un

conjunto finito de números, { }( )iD uα x Gi 1= ,

∧

∈≤ Zq αα , . Si el cardinal de dicho conjunto es Q, la

correspondencia puede describirse como,

( )( ) ∈ QhR u x R (2.13)

La aplicación hR lineal depende de la malla y se llama restricción de ( )u x a QR , estando

además definida como un sistema de Q funcionales lineales sobre el espacio en el que está definida

( )u x . De las distintas formas de considerar las restricciones es de interés en la tesis el considerar que

( )u x está en un espacio de Hilbert, concretamente, ( )ΩmH . En este caso se usa el método de

Elementos Finitos para construir un conjunto de Q funciones de interpolación global linealmente

independientes, que se pueden escribir como ( ) ( ) ( ){ }1 2, ,......, Qφ φ φx x x ∈ ( )ΩmH .

Así se puede, de forma genérica, describir una interpolación como una combinación lineal:

( )1

( )Q

ii

i

U a φ=

=∑x x (2.14). El conjunto { }Qii 1=φ es linealmente independiente y forma una base de un

subespacio Q-dimensional Sh(W) de ( )ΩmH .

Lógicamente las funciones no son en general ortonormales respecto al producto escalar y es

conocido que una gran variedad de bases biortogonales se pueden construir a partir del producto interno

[36] y definir la restricción a partir del dual o la familia de funciones conjugadas, { }( ) 1

Qis i

φ=

.


Una forma de definir un operador restricción para ( ) ( )mu H∈ Ωx es utilizar las funciones

base conjugadas para generar Q-funcionales lineales sobre ( )u x por medio del producto interno ( , )s :

uR sh

)( = ( )Qsss uuu )(

2)(

1)( ,....,, , en donde i

su )( = ( )s

isu )(,φ (2.15)

Por otra parte cualquier función ( )V x definida en el subespacio Sh(W), es de la forma

( )1

( )Q

ii

i

V a φ=

=∑x x , lo que permite definir un operador llamado prolongación expresado por

( ) ( )1 2( ) ( ) ( ) ( )

1

: / , ,......, ( )Q

Q m Q ih h s s s s i

i

P H P u u u u φ=

→ Ω =∑ xR (2.16)

2.4 ANÁLISIS DE CONGLOMERADOS JERÁRQUICO.

2.4.1 Introducción

El análisis de conglomerados AC (cluster analysis), análisis de clasificación, taxonomía numérica o reconocimiento de patrones, es una técnica multivariante que permite clasificar un conjunto de objetos o casos (también las variables) en grupos relativamente homogéneos, de forma que en cada grupo (conglomerado) los objetos tienden a ser similares entre sí (cohesión interna del grupo, es decir , alta homogeneidad interna dentro del conglomerado) y diferentes (disimilares) a los objetos de otros grupos (aislamiento externo del grupo o alta heterogeneidad externa entre conglomerados) con respecto a algún criterio de selección determinado.

Es una técnica eminentemente exploratoria puesto que, la mayor parte de las veces, no utiliza

ningún tipo de modelo estadístico para llevar a cabo el proceso de clasificación, es decir, la mayoría de los métodos de agrupación son heurísticos, basados en algoritmos, de este modo, el AC presenta un fuerte contraste con el análisis de la varianza, la regresión, el análisis discriminante y el análisis factorial, que se basan en un razonamiento estadístico. Se podría calificar como una técnica de aprendizaje no supervisado, es decir, una técnica muy adecuada para extraer información de un conjunto de datos sin


imponer restricciones previas en forma de modelos estadísticos, al menos de forma explícita y, por ello, puede llegar a ser muy útil como una herramienta de elaboración de hipótesis acerca del problema considerado sin imponer patrones o teorías previamente establecidas.

Conviene, sin embargo, estar siempre alerta ante el peligro de obtener, como resultado del

análisis, no una clasificación de los datos sino una disección de los mismos, en distintos grupos que sólo existen en la memoria del ordenador. El conocimiento que el analista tenga acerca del problema decidirá cuáles de los grupos obtenidos son significativos y cuáles no.

Hay dos tipos de procedimientos: los jerárquicos y los no jerárquicos.

El conglomerado jerárquico se caracteriza por el desarrollo de una jerarquía o estructura en forma de árbol. Una característica importante de este tipo de procedimientos es que los resultados de la primera etapa pueden estar anidados con los resultados de la última, dando lugar a una estructura parecida a la de un árbol. El método jerárquico es el idóneo para determinar el número óptimo de conglomerados existente entre los datos y el contenido de los mismos.

Los procedimientos jerárquicos pueden ser Aglomerativos o Divisivos:

Son aglomerativos cuando, partiendo del análisis de los casos individuales, intentan ir agrupando casos hasta llegar a la formación de grupos o conglomerados homogéneos.

Son divisivos aquellos que parten de la muestra global como un solo grupo y la van dividiendo en subgrupos hasta llegar a la formación de grupos o conglomerados homogéneos con un número relativamente reducido de sujetos, objetos o casos. Las técnicas divisivas son especialmente adecuadas para el análisis de variables categóricas.

El segundo tipo de procedimientos de conglomerados, los métodos de conglomerados no jerárquicos, con frecuencia se conocen como Agrupación de K Medias. Estos métodos incluyen el Umbral Secuencial, el Umbral Paralelo y la División para la Optimización.


En el método del Umbral Secuencial, se selecciona un centro de grupo y se agrupan todos los objetos dentro de un valor de umbral que se especifica previamente a partir del centro. Después, se selecciona un nuevo centro o semilla de grupo y el proceso se repite para los puntos sin agrupar. Una vez que un objeto se agrupa con una semilla, ya no se considera para su conglomerado con semillas subsecuentes. El método del Umbral Paralelo funciona de manera similar, excepto que se seleccionan simultáneamente varios centros de grupo y se agrupan los objetos del nivel del umbral dentro del centro más próximo. El método de División para la Optimización difiere de los otros dos procedimientos de umbral en que los objetos pueden reasignarse posteriormente a otros grupos, a fin de optimizar un criterio general, como la distancia promedio dentro de los grupos para un número determinado de conglomerados.

El método de las K medias permite procesar un número ilimitado de casos, pero sólo admite un método de aglomeración y requiere que se proponga previamente el número de conglomerados que se desea hacer.

2.4.2 Análisis de conglomerados jerárquico. Proceso aglomerativo.

A diferencia de lo que ocurre con el procedimiento Análisis de conglomerados de K medias, el

procedimiento Análisis de conglomerados jerárquico permite aglomerar tanto casos como variables y elegir entre una gran variedad de métodos de aglomeración y medidas de distancia. Pero la diferencia fundamental entre ambos procedimientos está en que en el segundo de ellos se procede de forma jerárquica.

Los objetos que se pretenden clasificar son modelos de elementos finitos bidimensionales cuyas

variables son la inferencia, z, de dichos modelos en puntos (x,y) arbitrarios del dominio original. Puesto que las variables son cuantitativas e interesa encontrar un número óptimo de conglomerados se ha seleccionado el proceso aglomerativo de análisis de conglomerados jerárquico para la clasificación del conjunto de modelos obtenidos para un mismo conjunto de datos dentro de un dominio.

El análisis de conglomerados jerárquico comienza con el cálculo de la matriz de distancias entre


los elementos de la muestra (casos o variables). Esa matriz contiene las distancias existentes entre cada elemento y todos los restantes de la muestra. A continuación se buscan los dos elementos más próximos (es decir, los dos más similares o menos disimilares, en términos de distancia) y se agrupan en un conglomerado. El conglomerado resultante es indivisible a partir de ese momento: de ahí el nombre de jerárquico asignado al procedimiento. De esta manera, se van agrupando los elementos en conglomerados cada vez más grandes y más heterogéneos hasta llegar al último paso, en el que todos los elementos muestrales quedan agrupados en un único conglomerado global. En cada paso del proceso pueden agruparse casos individuales, conglomerados previamente formados o un caso individual con un conglomerado previamente formado.

En este tipo de procedimiento es importante conocer los elementos o conglomerados que se han

fundido en cada paso y la distancia a la que se encontraban cuando se han fundido. Esto permite valorar la heterogeneidad de los conglomerados que se van fundiendo en cada etapa del análisis y decidir en cuál de ellas la fusión de elementos incrementa excesivamente la heterogeneidad de los conglomerados. Aunque el análisis termina cuando se ha conseguido agrupar a todos los casos en un único conglomerado, el objetivo del analista será el de descubrir la existencia de grupos homogéneos "naturales" que puedan existir en el archivo de datos.

La versatilidad del análisis de conglomerados jerárquico radica en la posibilidad de utilizar distintos

tipos de medidas para estimar la distancia existente entre los casos o las variables, la posibilidad de transformar la métrica original de las variables y la posibilidad de seleccionar de entre una gran variedad de métodos de aglomeración. Pero no existe ninguna combinación de estas posibilidades que optimice la solución obtenida. En general, será conveniente valorar distintas soluciones para elegir la más consistente.

2.4.3 Métodos de aglomeración

Según se ha señalado ya, el análisis de conglomerados jerárquico siempre evoluciona paso a

paso, uniendo en cada paso los dos elementos de la matriz de distancias que se encuentran más


próximos entre sí. En cada paso se funden dos elementos o grupos de elementos.

Una vez calculada la matriz de distancias, los dos elementos más próximos (los más similares o

menos distantes) son fundidos en un mismo conglomerado. Estos dos casos constituyen el primer conglomerado formando una unidad que, como tal, posee su propia distancia respecto al resto de los elementos de la matriz de distancias. Hay que tener en cuenta que en este momento sólo intervienen dos casos por tratarse del primer paso del procedimiento. La matriz inicial de los n n× sujetos (o p p×

variables) cambia (pues dos de sus filas -y dos de sus columnas- han sido fundidas en una)

transformándose en una matriz ( )( )1 1n n− − .

Tras recalcular las distancias, en la siguiente etapa del análisis se vuelven a seleccionar los dos

elementos de la matriz más próximos entre sí y son fundidos en un nuevo conglomerado. Por supuesto, los dos elementos fundidos en esta segunda etapa pueden ser dos casos individuales o un caso individual y el conglomerado ya formado en la primera etapa. En este momento, la matriz de distancias

de dimensiones ( )( )1 1n n− − se transforma en una matriz de distancias de dimensiones

( )( )2 2n n− − , lo que exige volver a calcular las distancias del nuevo conglomerado respecto al resto

de elementos de la matriz. El proceso continúa paso a paso hasta que, finalmente, se consigue fundir en un único

conglomerado a todos los elementos de la matriz de distancias (de dimensiones finales 2 2× ). En ese punto termina el análisis. Se definen los métodos de conglomeración como los procedimientos mediante los cuales es posible volver a calcular las distancias entre los nuevos elementos en cada etapa del proceso de fusión.

Lógicamente, en todo este proceso de fusión no existe una solución única, sino tantas como pasos

da el proceso. La decisión sobre qué solución se considera más satisfactoria puede tomarse en cualquier etapa del proceso, pero lo más lógico y habitual es postergar esta decisión hasta el momento en que el análisis ha concluido.


Conviene señalar que el método de conglomeración utilizado para recalcular las distancias en cada etapa del proceso de fusión puede determinar de manera sustantiva la calidad de la solución alcanzada. La idoneidad y eficacia del método de conglomeración seleccionado dependerá en gran medida de la propia estructura de los datos y de la forma multivariante de la nube de puntos. MÉTODOS DE ENLACE Método de vinculación por el vecino más próximo

El método de vinculación simple, enlace simple o sencillo, o por el vecino más próximo, comienza seleccionando y fundiendo los dos objetos de la matriz de distancias que se encuentran más próximos. La distancia de este nuevo conglomerado respecto a los restantes objetos de la matriz se calcula como la menor de las distancias entre cada elemento del conglomerado y el resto de elementos de la matriz. En los pasos sucesivos, la distancia entre dos conglomerados se calcula como la distancia

entre sus dos objetos más próximos. Así, la distancia ABd entre los conglomerados A y B se calcula

mediante:

( )AB i jd mín d= (2.17)

donde i jd es la distancia entre los objetos i y j, el primero perteneciente al conglomerado A y el segundo

al conglomerado B. Método de vinculación por el vecino más lejano

El método de vinculación completa, enlace completo, o por el vecino más lejano, se comporta de manera opuesta al anterior. La distancia entre dos conglomerados se calcula como la distancia entre sus dos objetos más alejados. Es decir, la distancia entre dos conglomerados A y B se calcula como:


( )AB i jd máx d= (2.18)

Método de vinculación inter-grupos

El método de vinculación promedio, o de vinculación inter-grupo, presenta la ventaja, sobre los dos métodos anteriores, de aprovechar la información de todos los miembros de los dos conglomerados que se comparan. La distancia entre dos conglomerados se calcula como la distancia promedio existente entre todos los pares de objetos de ambos conglomerados:

1AB i j

i A j BA B

d dn n ∈ ∈

= ∑∑ (2.19)

siendo ( )An Card A= y ( )Bn Card B= .

Método de vinculación intra-grupos

El método de enlace medio dentro de los grupos, o de vinculación Intra-grupo, como en el caso anterior, aprovecha la información de todos los miembros de los dos conglomerados que se comparan uniéndolos previamente. La distancia entre dos conglomerados se calcula como la distancia promedio existente entre todos los miembros del conglomerado unión de ambos:

2,

1

A B

AB i ji j A Bn n

d dC ∈ ∪+

= ∑ (2.20)

siendo ( )An Card A= , ( )Bn Card B= y 2+A Bn nC las combinaciones sin repetición de +A Bn n

elementos tomados de dos en dos.

Tanto este método como el método de Ward, que se comenta a continuación, son sensibles a


posibles transformaciones monótonas de los datos. MÉTODO SCE O DE VARIANZA Método de Ward

Este método fue propuesto por Ward [57], quien argumentó que los conglomerados debían

constituirse de tal manera que, al fundirse dos objetos, la pérdida de información resultante de la fusión fuera mínima. En este contexto, la cantidad de información se cuantifica como la suma de las distancias al cuadrado de cada objeto respecto al centroide del conglomerado al que pertenece. Para ello, supongamos que tenemos h conglomerados y m variables. Se calcula para el conglomerado k el valor

kSCI denominado suma cuadrática intra del grupo k :

( )2

1 1= =

= −∑∑knm

k kk i j i

i j

SCI X X

es decir la suma de desviaciones c. de todas las variables (m) para todos los sujetos ( jn ) dentro del grupo

k , siendo ki jX el valor de la variable i para cada objeto j del grupo k y k

iX el promedio de la variable i

en el grupo k.

En cada paso se unen aquellos conglomerados (o elementos) que dan lugar a un menor

incremento la SCE , que se define como:

1== ∑

h

kk

SCE SCI (2.21)

MÉTODOS DE CENTROIDE


Método de agrupación de centroides

El método de agrupación de centroides calcula la distancia entre dos conglomerados como la distancia entre sus vectores de medias. Con este método, la matriz de distancias original sólo se utiliza en la primera etapa. En las etapas sucesivas se utiliza la matriz de distancias actualizada en la etapa previa. En cada etapa, el algoritmo utiliza la información de los dos conglomerados (o elementos) fundidos en la etapa previa y el conglomerado (o elemento) que se intentará fundir en esa etapa. La distancia entre el conglomerado AB y el C se calcula como:

( ) ( )2A B A B

AC BC ABAB CA B A B A B

n n n nd d d dn n n n n n

= + −+ + +

(2.22)

Una desventaja de este método es que la distancia entre dos conglomerados puede disminuir a

medida que progresa el análisis, ya que los conglomerados fundidos en los últimos pasos son más diferentes entre sí que los que se funden en las primeras etapas.

En este método, el centroide de un conglomerado es la combinación ponderada de los dos

centroides de sus dos últimos objetos (o conglomerados), siendo las ponderaciones proporcionales a los tamaños de los conglomerados.

La distancia expresada en 2.22 se obtiene mediante el siguiente procedimiento:

Consideremos:

El conglomerado A con An objetos y ( )1 2, ,..., nα α α α su centroide.

El conglomerado B con Bn objetos y ( )1 2, ,..., nβ β β β su centroide.

El conglomerado C con Cn objetos y ( )1 2, ,..., nγ γ γ γ su centroide.

Nota: Es indiferente el número de objetos de C, sólo importa su centroide.


La distancia entre dos conglomerados se define como la distancia euclídea al cuadrado entre sus

centroides , es decir,

( )2 2

1( , )

n

i ii

d A B α β α β=

= − = −∑

Por otro lado cuando se unen los conglomerados A y B el nuevo centroide se pondera en relación

al peso del número de objetos de cada conglomerado. De esta forma:

El conglomerado AB tiene A Bn n+ objetos y su centroide es A B

A B

n nn nα βδ +

=+

.

Calculemos ahora la distancia del conglomerado AB, unión de los conglomerados A y B, al

conglomerado C:


( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

222

1 1

22 2 2

21

22 2 2 2

21

,

2

2

n nA i i B i iA i B i

ii iA B A B

nA i i B i i A B i i i i

i A B

n A i i B i i A B i i i i i i i

i A B

n nn nd AB Cn n n n

n n n n

n n

n n n n

n n

α γ β γα βδ γ γ

α γ β γ α γ β γ

α γ β γ α β α γ γ β γ

= =

=

=

⎛ ⎞− + −⎛ ⎞+⎜ ⎟= − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− + − + − −⎜ ⎟= =⎜ ⎟+⎝ ⎠⎛ ⎞− + − + − − +⎜ ⎟= =⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

22 2 2 2

21

22 2 2

21

2 22 2 2

21

22 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

n A i i B i i A B i i i i i i i

i A B

nA i i B i i

i A B

n A B i i i i i i i i i i i

i A B

A i i B i i

A B

n n n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

α γ β γ α β α γ γ β γ

α γ β γ

α β α γ γ β γ α α β β

α γ β γ

=

=

=

⎛ ⎞− + − + − − +⎜ ⎟= =⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− + −⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠⎛ ⎞− − + + − + −⎜ ⎟+ =⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

− + − +=

+

∑

∑

∑

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

21

2 22 2 2 2

21

2 2 22 2 2 2

21

2 22 2 2

2

2 2 2

n

i

n A B i i i i i i i i i i i i

i A B

n A i i B i i A B i i i i i i

i A B

A A B i i B A B i i A B i i

A B

n n

n n

n n n n

n n

n n n n n n n n

n n

α α β β α α γ γ β γ β γ

α γ β γ α β α γ β γ

α γ β γ α β

=

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− + − + − + + − +⎜ ⎟

+ =⎜ ⎟+⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞− + − + − − + − + −⎜ ⎟= =⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ + − + + − − −

=+

∑

∑

∑

1

n

i=

⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

2 22

21

2 222 2 2

1 1 1

2 222

1 1 1

nA A B i i B B A i i A B i i

i A B

n n nA A B B A B A B

i i i i i ii i iA B A B A B

n n nA B A B

i i i i i ii i iA B A B A B

A

A

n n n n n n n n

n n

n n n n n n n nn n n n n n

n n n nn n n n n n

nn n

α γ β γ α β

α γ β γ α β

α γ β γ α β

=

= = =

= = =

⎛ ⎞+ − + + − − −⎜ ⎟= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ += − + − − − =

+ + +

= − + − − − =+ + +

=+

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( )( )

( )2, , ,B A B

B A B A B

n n nd A C d B C d A Bn n n n

+ −+ +

Método de agrupación de medianas

En el método de agrupación de medianas, los dos conglomerados (u objetos) que se combinan reciben idéntica ponderación en el cálculo del nuevo centroide combinado, independientemente del tamaño de cada uno de los conglomerados (u objetos). Esto permite que, a la hora de caracterizar a los conglomerados resultantes, los conglomerados pequeños tengan la misma importancia que los conglomerados grandes. Dado un conglomerado AB y un objeto C, la nueva distancia del conglomerado al objeto se calcula como:

( ) 2 4AC BC AB

AB Cd d dd +

= − (2.23)

Al igual que en el procedimiento anterior, la matriz de distancias utilizada en cada etapa para los

cálculos es la matriz del paso previo.

En la obtención de la distancia expresada hay que tener en cuenta que el centroide del

conglomerado AB es 2

α βδ += , independientemente del número de objetos de A o de B, es decir,


como si tuvieran el mismo número de objetos. De esta forma para obtener la distancia entre los

conglomerados AB y C basta hacer A Bn n= en la distancia por el método del centroide.

NOTA: Para una discusión más detallada de los métodos de aglomeración puede consultarse Anderberg (1973).

2.4.4 Medidas de distancia

Uno de los aspectos clave del análisis de conglomerados es la elección de la medida que se desea utilizar para cuantificar la distancia entre los elementos. El procedimiento de análisis de conglomerados jerárquico permite elegir entre un gran número de medidas de distancia que se diferencian por el tipo de datos para el que han sido diseñadas: cuantitativos, categóricos, dicotómicos.

Estas medidas también se diferencian por el tipo de distancia evaluada: similaridad o disimilaridad.

Las medidas de similaridad evalúan el grado de parecido o proximidad existente entre dos elementos. Los valores más altos indican mayor parecido o proximidad entre los elementos comparados: cuando dos elementos se encuentran juntos, el valor de las medidas es máximo. El coeficiente de correlación de Pearson es, quizá, la medida de similaridad más ampliamente utilizada.

Las medidas de disimilaridad ponen el énfasis sobre el grado de diferencia o lejanía existente entre dos elementos. Los valores más altos indican mayor diferencia o lejanía entre los elementos comparados: cuando dos elementos se encuentran juntos, la distancia es nula. Las medidas de disimilaridad son las que han pasado al vocabulario común con la acepción de medidas de distancia. La distancia euclídea es, quizá, la medida de disimilaridad más conocida.

Las medidas se encuentran agrupadas en función del tipo de datos para el que son pertinentes

(todas las variables seleccionadas para el análisis deben compartir el mismo tipo de nivel de medida). Conviene no olvidar que las elecciones que se hagan en este apartado afectarán al cálculo de la matriz de distancias y, consecuentemente, pueden condicionar de forma importante las soluciones


alcanzadas.

Medidas de Intervalo

Son medidas de similaridad y disimilaridad para datos cuantitativos obtenidos con una escala de medida de intervalo o razón.

Distancia euclídea. Medida de disimilaridad utilizada por defecto para datos de intervalo. Raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre los

valores de las variables:

( ) ( )2, i ii

EUCLID X Y X Y= −∑ (2.24)

Distancia euclídea al cuadrado. Medida de disimilaridad. Suma de los cuadrados de

las diferencias entre los valores de las variables:

( ) ( )2, i ii

SEUCLID X Y X Y= −∑ (2.25)

Coseno. Medida de similaridad. Medida estrechamente relacionada con el coeficiente

de correlación de Pearson. Es el coseno del ángulo formado por dos vectores de

puntuaciones. Tiene un máximo de 1 y un mínimo de -1:


( )2 2

,i i

i

i ii i

X YCOS X Y

X Y=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑ ∑ (2.26)

Correlación de Pearson. Medida de similaridad angular con las variables en escala

tipificada. Se trata de una medida típica de relación lineal entre variables. Toma valores

entre -1 y 1:

( ),1

i i

n

X Yi

z zCORRELATION X Y

n=

−

∑ (2.27)

donde n es el tamaño de la muestra y iXz y

iYz son las puntuaciones tipificadas del

sujeto i en las variables X e Y, que son las variables entre las que se calcula la

distancia.

Chebychev. Medida de disimilaridad. Diferencia más grande en valor absoluto entre los

valores de dos variables:

( ), i i iCHEBYCHEV X Y máx X Y= − (2.28)

Bloques. Medida de disimilaridad. También llamada distancia absoluta, distancia de ciudad, de Manhatan, y del taxista. Es la suma de los valores absolutos de las

diferencias entre los valores de dos variables:

( ), i ii

BLOCK X Y X Y= −∑ (2.29)


Minkowsky. Medida de disimilaridad basada en la distancia euclídea. Raíz de orden p

de la suma de las potencias de orden p de los valores absolutos de las diferencias

entre los valores de dos variables:

( )1

,pp

i ii

MINKOWSKI X Y X Y⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (2.30)

donde p es cualquier número entero positivo.

Personalizada. Medida de disimilaridad basada en la distancia euclídea. Raíz de orden

r de la suma de las potencias de orden p de los valores absolutos de las diferencias

entre los valores de dos variables:

( )1

,rp

i ii

POWER X Y X Y⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (2.31)

donde p y r son dos números enteros positivos cualesquiera.

Frecuencias

En este caso las variables analizadas son categóricas, de forma que en las filas tenemos objetos o categorías de objetos y en las columnas tenemos las variables con sus distintas categorías. Las medidas de distancia son de disimilaridad basadas en el estadístico chi-cuadrado de independencia para tablas de contingencia bidimensionales.


Binaria

Las medidas para datos binarios se utilizan con variables dicotómicas, es decir, con variables cuyos valores reflejan la presencia o ausencia de la característica medida. Generalmente, la presencia de la característica se codifica con el valor 1 y la ausencia con el valor 0.

NOTA: Puesto que las variables z observadas en modelos basados en técnicas de elementos finitos bidimensionales no son ni categóricas ni dicotómicas se omiten las definiciones y comentarios sobre las medidas utilizadas en estos casos.

2.4.5 Transformación de valores

Muchas de las medidas de distancia, por ejemplo, la distancia euclídea y el resto de medidas derivadas de ella, no son invariantes respecto a la métrica de los datos, ya que las diferencias existentes entre las variables con puntuaciones muy altas pueden anular las diferencias existentes entre las variables con puntuaciones bajas.

Para resolver este problema suele recomendarse no utilizar las puntuaciones directas de las

variables (los datos en bruto) sino las puntuaciones transformadas a escalas del mismo rango (escala 0-1, escala típica, etc.).

Las opciones de transformación son:

Ninguno. No se aplica ningún método de transformación.

Puntuaciones Z. A cada valor se le resta la media del elemento y esa diferencia se

divide por la desviación típica del elemento. Se obtienen valores estandarizados con media 0 y desviación típica 1. Si la desviación típica vale 0, se asigna un 0 a todos los


valores.

Rango -1 a 1. Cada valor se divide por el rango o amplitud del elemento. Se obtienen valores estandarizados con amplitud 2 en una escala cuya unidad de medida es el rango o amplitud del elemento. Si el rango o amplitud vale cero, no se efectúa la transformación.

Rango 0 a 1. A cada valor se le resta el valor más pequeño del elemento y esa

diferencia se divide entre el rango o amplitud del elemento. Se obtienen valores estandarizados comprendidos entre 0 y 1. Si el rango vale 0, se asigna un 0,5 a todos los valores.

Magnitud máxima de 1. Cada valor se divide por el valor más grande del elemento. Se

obtienen valores estandarizados con un máximo de 1 y un mínimo variable pero nunca menor de 0. Si el valor más grande vale 0, se divide por el valor absoluto del valor más pequeño y se suma 1.

Media 1. Divide cada valor por la media del elemento. Se obtienen valores

estandarizados con media igual a 1, y en una escala cuya unidad de medida es la media del elemento. Si la media vale 0, se suma un 1 a todos los valores.

Desviación típica 1. Divide cada valor por la desviación típica del elemento. Se

obtienen valores estandarizados con desviación típica igual a 1 y en una escala cuya unidad de medida es la desviación típica media del elemento. Si la desviación típica vale 0, no se efectúa la transformación.

2.4.6 Transformación de medidas

La transformación de medidas permite convertir los valores de la matriz de distancias según los

siguientes procedimientos:


Valores absolutos. Valor absoluto de las distancias calculadas.

Cambiar el signo. Cambia el signo de las distancias calculadas, transformando las medidas de similaridad en medidas de disimilaridad y viceversa.

Cambiar escala al rango 0-1. Se resta a todos los valores de la matriz de distancias la

distancia más pequeña y cada nueva distancia se divide por el rango o amplitud de todas las distancias. Se obtienen así valores que oscilan entre 0 y 1.

2.4.7 Elementos de información en el análisis de conglomerados jerárquico

El software utilizado para realizar el análisis de conglomerados jerárquico a los modelos obtenidos mediante técnicas de elementos finitos bidimensionales, es el SPSS 13.0 en el que se importa un archivo.xls (de excel) donde se encuentra la tabla de objetos – variables en la que los objetos son los

modelos y las variables son los valores numéricos de ( ),z U x y= observados en un número dado, n,

de puntos arbitrarios ( ), , 1...i ix y i n= . En uno de los casos, que se desarrollará en el capítulo 5, se

han tomado 10 valores observados por 10 modelos sobre 10 puntos arbitrarios en un mismo dominio y una vez establecidos los objetos y las variables accedemos a las siguientes tablas y gráficos por orden de aparición en el informe de SPSS:


Resumen de los datos procesados.

Tabla II.1

La tabla II.1 muestra un resumen de los casos procesados: el número y porcentaje de casos

válidos analizados, el número y porcentaje de casos con valores perdidos en alguna de las variables incluidas en el análisis, y el tamaño total de la muestra, que no es otra cosa que la suma de los casos válidos y los perdidos. En la nota a pie de tabla se indica el método de conglomeración utilizado (Vinculación promedio). Matriz de distancias

Tabla II.2

La tabla II.2 concierne a la matriz, 10x10, de distancias entre modelos calculada mediante la

distancia euclídea. Esta matriz en realidad mide la disimilaridad entre modelos, es decir, el grado de lejanía entre ellos.


Historial de conglomeración

Tabla II.3

La tabla II.3 expone el historial del proceso de conglomeración, etapa por etapa. En cada etapa se

unen dos elementos y como la muestra analizada tiene 10 elementos sólo aparecen 9 etapas de fusión. Siguiendo el desarrollo de las fusiones observamos que partimos de 10 grupos o conglomerados

individuales. En primer lugar se unen los dos modelos que en la matriz de distancias están a la menor distancia (los modelos 3 y 4) que es 0,209. En esa primera etapa los modelos 3 y 4 pasan a constituir un solo grupo, que podemos representar por (3,4), para compararse con el resto de modelos todavía individuales. En la etapa 2 se halla una nueva matriz, (9x9), de distancias y resulta que los modelos 2 y 6 son los que se hallan ahora a la menor distancia, que también consta en la tabla 2. Por el momento y con dos fusiones realizadas tenemos 8 grupos o conglomerados. Continuando con el historial vemos que a la fila-etapa 3 (véase la columna 1:etapa) le corresponde en las columnas 2 (conglomerado 1) y 3 (conglomerado 2) los números 3 y 8, lo que significa que al grupo que contiene el modelo 3 se le une el


modelo 8 formando (3,4,8) y así sucesivamente hasta formar un único grupo con todos los modelos juntos.

Obsérvese que en una fusión de dos grupos con varios modelos sólo aparecen como

representantes los modelos de numeración más baja y siempre de menor a mayor. Por ejemplo en la etapa 5 aparecen los números 2 y 3 (en ese orden: congl 1- congl 2) indicando que el grupo (2,6,10) se fusiona con el (3,4,8).

Con la nomenclatura utilizada se observa claramente el proceso de fusión:

Etapa 0: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (10 conglomerados) Etapa 1: 1, 2 , (3,4), 5, 6, 7, 8, 9, 10 (9 conglomerados) Etapa 2: 1, (2,6), (3,4), 5, 7, 8, 9, 10 (8 conglomerados) Etapa 3: 1, (2,6), (3,4,8), 5, 7, 9, 10 (7 conglomerados) Etapa 4: 1, (2,6,10), (3,4,8), 5, 7, 9 (6 conglomerados) Etapa 5: 1, (2,3,4,6,8,10), 5, 7, 9 (5 conglomerados) Etapa 6: 1, (2,3,4,6,8,10), 5, (7, 9) (4 conglomerados) Etapa 7: 1, (2,3,4,5,6,8,10), (7,9) (3 conglomerados) Etapa 8: 1, (2,3,4,5,6,7,8,9,10) (2 conglomerados) Etapa 9: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) (1 conglomerado)

La columna 4, coeficientes, nos informa en cada etapa de la menor distancia (que va aumentando pues los grupos son cada vez más disimilares) correspondiente a los conglomerados que se fusionan. Las columnas 5, 6 y 7 resultan meramente informativas, por ejemplo en la etapa 5 se fusionan los grupos (2,6,10) y (3,4,8) que aparecieron por primera vez en las etapas 4 (col 5) y 3 (col 6) respectivamente. El número 7 que aparece en la columna 7 indica en qué etapa volverá a fusionarse el grupo formado en la actual etapa .


Conglomerado de pertenencia

Tabla II.4

La tabla II.4 ofrece un listado de todos los modelos analizados con indicación del conglomerado al

que han sido asignados en cada etapa del análisis según el número total de conglomerados. Así pues, por ejemplo, los 4 conglomerados se conforman en la etapa 6 y éstos son: Conglomerado 1: modelo 1 Conglomerado 2: modelos 2, 3, 4, 6, 8 y 10 Conglomerado 3: modelo 5 Conglomerado 4: modelos 7 y 9

De la misma forma se indica la asignación en las etapas de 3 y 2 conglomerados, pues el rango de conglomerados de pertenencia establecido es de 2 a 4. Esta tabla es un complemento de la anterior en el aspecto de que ya se podía obtener esta información con aquella.


Diagrama de témpanos

Tabla II.5

El diagrama de témpanos de la tabla II.5 resume el proceso de fusión de manera gráfica. En las cabeceras de las columnas se encuentran los números de los casos individuales, es decir, cada columna etiquetada con un número representa un caso, y en las de las filas el número de conglomerados formados en cada etapa, pues cada fila representa una etapa del proceso de fusión. Las etapas comienzan en la parte inferior del diagrama y van progresando hacia arriba.

Inicialmente, se parte de 10 conglomerados individuales, es decir, tantos como casos analizados.

En la primera etapa se funden dos casos individuales, quedando 9 conglomerados (8 individuales y 1 doble). Los casos fundidos en la primera etapa son el 3 y el 4, lo cual está representado con una marca que une las columnas correspondientes a esos dos casos. La información de la segunda etapa se encuentra una fila más arriba, momento en el que se funden el caso 2 y el caso 6. En la tercera etapa (la fila de 7 conglomerados), se funden el caso 8 con el conglomerado (3,4). En la cuarta etapa se funden el caso 10 y el conglomerado (2,6). Y así sucesivamente.

En la última etapa, todos los casos se funden en un único conglomerado. Obviamente, el caso 1

debe ser un caso atípico de la muestra, muy distante de los demás casos, por lo que la solución de dos


conglomerados muy probablemente no será satisfactoria, a menos que el propósito del análisis haya sido detectar el caso atípico (véase: 2.4.8 Decisión sobre el número de conglomerados).

El diagrama de témpanos es de gran utilidad para identificar los elementos que constituyen cada

una de las soluciones del análisis y cuáles han sido las formaciones previa y posterior a cada solución específica. Sin embargo, presenta el gran inconveniente de no informar en modo alguno de la distancia existente entre los conglomerados fundidos en cada etapa.

Cuando se intenta clasificar una muestra muy numerosa, el tamaño del diagrama es

excesivamente ancho, lo que dificulta enormemente una inspección cómoda del mismo. En esos casos, existe la posibilidad de representar el diagrama en sentido horizontal. Dendrograma

Gráfica 2.1


La gráfica 2.1 muestra un dendrograma de los 10 modelos de nuestro ejemplo. En este tipo de

gráfico (diagrama de árbol (dendron)), además de estar representadas las etapas del proceso de fusión, también lo están las distancias existentes entre los elementos fundidos. Pero las distancias no están representadas en su escala original sino en una escala estandarizada (de 25 puntos, en este caso). Las líneas verticales identifican elementos fundidos (conglomerados); y la posición de las líneas verticales indica la distancia existente entre los elementos fundidos.

Coeficiente de aglomeración

La estructura de formación de conglomerados es decisiva a la hora de la interpretación de los resultados, dado que, en cada etapa, un conglomerado concreto tiene un peso específico en la conformación del conglomerado global de la etapa final.

El coeficiente de aglomeración [26] es un valor numérico entre 0 y 1 que mide el grado de

interrelación de los clusters desde el inicio del proceso, en el que todos los casos son clusters individuales, hasta la conclusión del mismo en el que hay un solo cluster que aglomera todos los casos.

Definición: Dado un proceso aglomerativo de n objetos en un análisis de conglomerados jerárquico, sea

( )d i el cociente entre la disimilaridad del objeto i cuando se fusiona por primera vez con otro

conglomerado y la disimilaridad de la fusión en la última etapa del proceso. Se define el coeficiente de aglomeración, ac, del proceso como el siguiente valor numérico (promedio de los valores

( )1 , 1,...,d i i n− = ):

( )( )[ ]1

10,1

n

id i

acn

=

−= ∈∑

(2.32)

Cuando el valor de ac es próximo a 1 se dice que el proceso de aglomeración es de estructura fuerte y por el contrario cuando ac es próximo a 0 el proceso es de estructura débil.


Observación 1: Puesto que la disimilaridad entre dos objetos o entre objeto y conglomerado es la distancia existente entre ellos, en los términos definidos por el método de aglomeración, entonces el

cociente ( )d i es un valor numérico relativo mayor estrictamente que cero y menor o igual que 1 con lo

que 0 1ac≤ ≤ .

Observación 2: La denominación de estructura fuerte en el proceso de aglomeración se puede entender para valores de ac superiores a 0,75 y de la misma forma la debilidad de la estructura quedaría reflejada para valores de ac inferiores a 0,25. La expresión estructura fuerte quiere indicar que la última fusión es muy disimilar, mientras que los conglomerados que se fusionan tienen sus objetos integrantes respectivamente muy poco disimilares. Por el contrario cuanto menos disimilares sean los grupos en la última fusión menos distantes serán los coeficientes de fusión sucesivos y el coeficiente de aglomeración presentará por tanto una estructura débil con objetos tan poco disimilares que no habrá distinción de agrupaciones.

2.4.8 Decisión sobre el número de conglomerados

Un gran problema en todas las técnicas de aglomeración es cómo seleccionar el número de grupos o conglomerados (clusters). Desgraciadamente, no existe un proceso objetivo de selección.

Para el caso del análisis de conglomerados jerárquico, las distancias existentes entre los grupos,

reflejadas en las distintas etapas del proceso de aglomeración, pueden servirnos de guía útil. El analista podría así establecer un tope o “corte” para detener el proceso a su conveniencia. Por ejemplo, se puede implantar el corte cuando la distancia entre los grupos exceda un valor específico o cuando las distancias sucesivas entre los pasos marquen un repentino salto. Usando dichas distancias se pueden emplear

criterios como el de Mojena que determina el primer s∈ tal que 1s ksαα α+ > + si se utilizan

distancias y 1s ksαα α+ < + si son similitudes, donde { }, 1,..., 1j j nα = − son las distancias de

aglomeración, α su media, sα su desviación típica y k una constante entre 2,5 y 3,5. Sin embargo, la

opción más utilizada es calcular distintas soluciones de aglomeración (dos, tres, cuatro grupos, por


ejemplo) para después decidir entre las soluciones alternativas con ayuda de un criterio prefijado de antemano, del sentido común, o de fundamentos teóricos. Estas distancias (disimilaridades de etapa) reciben a menudo el nombre de medidas de variabilidad del error.

Por otro lado los investigadores deben examinar la variación producida entre los tamaños de los

grupos desde una perspectiva conceptual, comparando los resultados obtenidos con las expectativas creadas en los objetivos del estudio.

Otro problema que puede presentarse en este tipo de análisis es la presencia de grupos

unipersonales, es decir, clusters formados por un solo individuo. Son un problema porque podrían ser outliers (valores atípicos) no detectados en el proceso de depuración de nuestra fuente de datos. Si aparece un grupo de un solo miembro, el analista debe estudiar si representa un componente estructural válido en la muestra o si, por el contrario, debiera suprimirse por no ser representativo. Es claro que si se suprime del análisis alguna observación, el investigador deberá ejecutar de nuevo el análisis cluster para las nuevas observaciones válidas y conseguir así definir nuevos grupos. 2.4.9 Interpretación de los resultados

Interpretar una clasificación obtenida por un análisis de conglomerados requiere, en primer lugar, un conocimiento suficiente del problema analizado. Hay que estar abierto a la posibilidad de que no todos los grupos obtenidos sean significativos.

En una tabla habitual de datos donde cada variable tiene naturaleza distinta y por tanto

información implícita se puede empezar analizando los centroides de grupo pues éstos representan los valores medios de los objetos que contiene el grupo en cada una de las variables. Esta situación puede resolverse mediante el análisis discriminante.

Otras modalidades de interpretación son la realización de ANOVAS y MANOVAS para identificar

los grupos significativamente distintos y en qué variables lo son. También se puede efectuar un análisis


factorial o de componentes principales para representar gráficamente los grupos obtenidos y visualizar las diferencias entre ellos.

Pero en la tabla que se genera en la obtención de modelos basada en técnicas de elementos

finitos bidimensionales todas las variables tienen la misma naturaleza, como valores observados en un punto por distintos modelos, lo que hace que descartemos un análisis estadístico como los mencionados anteriormente y busquemos otros parámetros en relación a los modelos obtenidos como son la estabilidad y la regularidad (véase el capítulo 3).

2.4.10 Validación de la solución obtenida

Una vez obtenidos los grupos e interpretado los resultados conviene, siempre que sea posible, proceder a la validación de los mismos con el fin de averiguar, por un lado, hasta qué punto los resultados obtenidos son extrapolables a la población de la que vienen los objetos seleccionados y, por el otro, por qué han aparecido dichos grupos. Esta validación se puede realizar de forma externa o interna.

Los siguientes procedimientos ofrecen revisiones adecuadas de la calidad de los resultados de la

agrupación:

Validez interna

Se puede establecer:

• Realizando el análisis de conglomerados con los mismos datos, utilizando distintas medidas de distancia.

• Usando procedimientos de validación cruzada. Para ello se dividen los datos en dos grupos y se aplica el algoritmo de clasificación a cada grupo comparando los resultados obtenidos en cada grupo.

• Utilizando diversos métodos de conglomerado comparando los resultados.


• Eliminando las variables de forma aleatoria para efectuar la agrupación basándose en el conjunto reducido de variables y comparar los resultados establecidos en el conjunto completo con los que se obtuvieron al realizar el conglomerado.

Validez externa

Se puede realizar:

• Comparando los resultados obtenidos con un criterio externo, por ejemplo, clasificaciones obtenidas por evaluadores independientes o analizando en los grupos obtenidos, el comportamiento de variables no utilizadas en el proceso de clasificación o realizando un Análisis Cluster con una muestra diferente de la realizada.

2.5 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.5.1 Introducción

En el capítulo 3 se expondrá la construcción de modelos de representación basados en familias de elementos finitos bidimensionales. La obtención de éstos se realizará mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales generado como consecuencia de la condición de minimización del funcional de error.

La resolución de un sistema de ecuaciones lineales habitual, que además sea no homogéneo y compatible determinado, se puede efectuar con métodos directos, métodos de factorización o métodos iterativos en las condiciones que se precise para cada uno de ellos. Así pues se han analizado los métodos más conocidos y sus condiciones de aplicación para poder usar aquellos que sean adecuados a las “peculiaridades” de los sistemas de ecuaciones lineales concebidos en el seno de las familias de elementos finitos bidimensionales.


2.5.2 Métodos directos de resolución

Las técnicas directas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales del tipo:

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

: ...: ...

: ...

n n

n n

n n n nn n n

E a x a x a x bE a x a x a x b

E a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

(2.33)

o matricialmente :

Ax = b

con

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1

2

n

xx

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x y

1

2

n

bb

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b (2.34)

para 1,..., nx x , dados los coeficientes i ja ∈R con , 1, 2,...,i j n= y ib ∈R para 1,2,...,i n= ,

son métodos que proporcionan una respuesta en un número fijo de pasos, y sólo están sujetos a errores de redondeo. El número de pasos está directamente relacionado con las operaciones elementales:

Sustitución de una ecuación por el producto de ésta por una constante no nula. Sustitución de una ecuación por la suma de ésta más otra multiplicada por una constante. Permuta de dos ecuaciones.


para la obtención de sistemas equivalentes de forma triangular o reducida fácilmente resolubles por retrosustitución o sustitución hacia atrás.

No se pretende en esta exposición relatar los pormenores de cada método de los que hay suficientes explicaciones en las distintas publicaciones al respecto. Lo que se va a abordar es la eficacia de cada uno de ellos en comparación con el otro y la elección de aquel que mejor sirva a los intereses de una resolución que acumule el menor error de redondeo posible. Método de eliminación gaussiana.

Este procedimiento es el que da origen al resto pues, como sabemos, es la técnica primaria en la

transformación del sistema 2.33 en otro equivalente triangular, utilizando el coeficiente 0iia ≠ como

pivote en cada ecuación para conseguir ceros en la columna i por debajo de iia . En el caso de que

0iia = se busca un nuevo pivote en una fila paralela y permutando filas se sigue el proceso hasta que

éste concluya para poder proceder por retrosustitución. El número de total de pasos en el algoritmo que implementa este método se remonta a las

siguientes cantidades:

Multiplicaciones y divisiones: 3

2

3 3n nn+ −

Sumas y restas : 3 2 5

3 2 6n n n

+ −

Con lo que la cantidad de cálculos y el tiempo necesarios aumentan con n en proporción a 3n .


Método de Gauss-Jordan.

Es una técnica derivada de la anterior en la que se sigue el mismo proceso pero en la columna del pivote se obtienen ceros tanto por debajo (eliminación gaussiana) como por encima, de forma que al final del proceso la matriz del sistema equivalente es diagonal (con todos los elementos de la diagonal principal no nulos) y el valor de cada coordenada de la solución es un mero cociente.

El número de total de pasos de este método viene expresado mediante las siguientes cantidades:

Multiplicaciones y divisiones: 3

2

2 2n nn+ −

Sumas y restas : 3

2 2n n

−

Método híbrido “eliminación gaussiana” – “Gauss-Jordan”.

Este método consiste en aplicar primero eliminación gaussiana para reducir el sistema a una

forma triangular. Después se usa la n-ésima ecuación para suprimir los coeficientes de nx en las n-1

primeras ecuaciones. Una vez hecho esto se utiliza la (n-1)-ésima ecuación para suprimir los coeficientes

de 1nx − en los primeros n-2 renglones y así sucesivamente hasta conseguir un sistema diagonal , como

sucede después de aplicar la técnica de Gauss-Jordan.

Número total de pasos empleado :

Multiplicaciones y divisiones: 3 23 5

3 2 6n n n

+ −

Sumas y restas: 3 2 5

3 2 6n n n

+ −


Observación:

Estos métodos presentan un problema ante los errores de redondeo cuando el pivote es de magnitud muy pequeña en relación a otros coeficientes y por tanto en relación a su multiplicador asociado por lo que la solución obtenida en estas situaciones puede ser errónea. Veamos un ejemplo de ello:

Consideremos el sistema:

(2) 1 1 2

2 1 2

: 0,003000 59,14 59,17: 5, 291 6,130 46,78

E x xE x x

+ =− =

resolveremos el sistema usando la técnica de eliminación gaussiana mediante la aritmética de redondeo

de 4 dígitos. La solución exacta es 1 210,00 ; 1,000x x= =

El primer elemento del pivote es 0,003 y su multiplicador asociado es :

215, 291 1763,60,003

m = =

y mediante el redondeo a 4 dígitos resulta 1764 .

Los cálculos siguientes son la sustitución de 2E por 2 21 1E m E−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]

2

2

59,14 1764 6,130 59,17 1764 46,78

104322.96 6,130 104375,88 46,78

x

x

⋅ − + − ≈ ⋅ − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − ≈ − +

que, con el redondeo del producto, se queda:


[ ] [ ]2104300 6,130 104400 46,78x− − = − +

realizando la suma/resta:

[ ] [ ]2104306,13 104353, 22x− ≈ −

obteniendo finalmente con el redondeo a 4 dígitos:

[ ] [ ]2104300 104400x− ≈ −

el sistema queda como sigue:

1 1 2

2 2

: 0,003000 59,14 59,17: 104300 104400

E x xE x

+ ≈− ≈ −

La disparidad de magnitudes ha provocado un error de redondeo que en la retrosustitución

produce que:

2 1,001x ≈

que es una aproximación bastante buena del valor real 2 1,000x = (el error de redondeo todavía no se

ha propagado perjudicialmente). Pero debido a la pequeña magnitud del pivote resulta que:

( )( ) ( )1

59,17 59,14 1,001 59,17 59,19914 59,17 59,20 0,03000 10,000,003000 0,003000 0,003000 0,003000

redondeo

x− − − −

≈ = = = = −


Este resultado, completamente desastroso, ha sido provocado por el multiplicador 21m que ha

magnificado la propagación del pequeño error 0,001. Queda claro con este ejemplo que cuando el pivote es pequeño en comparación con los

coeficientes correlativos en la misma columna y en columnas paralelas pueden surgir problemas. Estos contratiempos se pueden solventar buscando un pivote más homogéneo en una fila paralela y en la misma columna y permutar o buscar el pivote en una fila paralela y en distinta columna y después permutar filas y columnas. A estas tácticas se les llama estrategias de pivoteo, que pueden ser de tipo parcial o completo.

NOTA: Cuando se habla de coeficientes correlativos a un pivote lla , en una misma columna y en

columnas paralelas, nos referimos a los coeficientes ≠ija con i j e i, j = l,...,n .

Método de pivoteo parcial o pivoteo de columna máxima.

Consideremos el sistema expresado matricialmente:

(0) (0) (0) (0)111 12 1 1

(0) (0) (0) (0)221 22 2 2

(0) (0) (0) (0)1 2

n

n

nn n nn n

xa a a bxa a a b

A

xa a a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ≡ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x b (2.35)

Observación: El coeficiente ( )kija indica el valor del coeficiente que ocupa la fila i y la columna j,

después de hacer ceros en la columna k, para obtener un sistema equivalente al original.

Los pasos a seguir son los siguientes:


I. Se halla { }1 (0) , 1,..., , 1,...,i ijF máx a j n i n= = = , es decir, el máximo, en valor absoluto,

de los elementos de cada fila de la matriz A.

II. Se calcula el menor natural { }1,...,j n∈ / (0) (0)1 1 11 1, 1,..,i j

ji j

a amáx i n C

F F

⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

, es decir,

se calcula el máximo, en valor absoluto, de los cocientes entre los coeficientes de la columna 1 y

el respectivo máximo de fila. 1jC , indica que el cociente máximo en la columna 1 corresponde a

la fila j, por lo que el pivote es el coeficiente (0)1ja .

III. Si 1j ≠ se permutan las filas 1 y j, ( si 1j = no hay permuta ya que el pivote es el coeficiente (0)11a ) quedando el sistema de la forma:

(0) (0) (0) (0)

11 2(0) (0) (0) (0)

221 22 2 2

(0) (0) (0) (0)11 12 1 1

(0) (0) (0) (0)1 2

12

j j jn j

n

jn

nn n nn n

xfila a a a bxfila a a a b

xfila j a a a b

xfila n a a a b

→⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜→ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟⎟⎟

(2.36)

IV. Se hacen ceros en la columna 1, filas 2 hasta n, utilizando el pivote. Se llega al sistema:

(1) (1) (1) (1)111 12 1 1

(1) (1) (1)222 2 2

(1) (1) (1)2

0

0

n

n

nn nn n

xa a a bxa a b

xa a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.37)


V. Se calculan los { }2 (1) , 2,..., , 2,...,i ijF máx a j n i n= = = . Luego se halla el cociente para

encontrar el nuevo pivote:(1) (1)1 1 22 2, 2,..,i j

ji j

a amáx i n C

F F

⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

siendo j el menor entero de

{ }2,...,n que cumple la igualdad anterior.

VI. Si 2j ≠ se permutan la filas 2 y j ( si 2j = no hay permuta ya que el pivote es el coeficiente (1)22a ), y se hacen ceros en la columna 2, filas 3 a n. El sistema, equivalente al original,

resultante es:

(2) (2) (2) (2) (2)111 12 13 1 1

(2) (2) (2) (2)222 23 2 2

(2) (2) (2)233 3 3

(2) (2) (2)3

00 0

0 0

n

n

n

nn nn n

xa a a a bxa a a bxa a b

xa a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.38)

VII. Se prosigue con las columnas 3, 4,…, n, hasta conseguir la triangulación del sistema y resolver

por retrosustitución. Observación: Este método es el adecuado para resolver el sistema:

1 1 2

2 1 2

: 0,003000 59,14 59,17: 5, 291 6,130 46,78

E x xE x x

+ =− =

pues relativiza los coeficientes de la primera columna, en este caso, respecto al máximo de cada ecuación y de esta forma homogeneizar la comparación con el mayor cociente que puede darse en una fila , es decir , 1.


Veamos: I. Máximo de cada fila

{ } { }{ } { }

1 (0) (0)1 11 12

1 (0) (0)2 21 22

, 0,003000 , 59,14 59,14

, 5, 291 , 6,130 6,130

F máx a a máx

F máx a a máx

= = =

= = − =

II. Máximo relativo en la columna 1.

(0) (0) (0)11 21 21 1

21 1 11 2 2

0,003000 5, 291 5, 291, ,59,14 6,130 6,130

a a amáx C

F F F

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ = = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

IV. El pivote se halla en la fila 2. Permutamos E1 con E2 y obtenemos el sistema:

1 1 2

2 1 2

: 5, 291 6,130 46,78: 0,003000 59,14 59,17

E x xE x x

− =+ =

V. Haciendo ceros y usando el redondeo exigido, queda el sistema :

1 1 2

2 2

: 5, 291 6,130 46,78: 59,14 59,14

E x xE x

− =≈

cuya solución, por retrosustitución, es la correcta.

Observación: En caso de que en la columna k, los , ,...,kiF i k n= sean todos iguales, para encontrar

la fila donde se halla el pivote se utilizan los de la reducción anterior correspondientes a las mismas

columnas, es decir, los 1, ,...,kiF i k n− = .


Observación: Téngase en cuenta que los cocientes para la determinación del pivote no intervienen en la resolución del sistema y por tanto no generan error de redondeo. Observación: El número de pasos que se añaden al método de eliminación gaussiana es:

Comparaciones: 3 ( 1)2

n n − (si no hay modificaciones con los kiF )

Comparaciones: 2( 1)3

n n − (si hay modificaciones con los kiF )

Divisiones: ( 1)2

n n +

Método de pivoteo completo o pivoteo máximo.

En este caso el pivoteo completo en el k-ésimo paso busca todos los coeficientes ija con

, , 1,...,i j k k n= + , a fin de encontrar el de mayor magnitud. Una vez encontrado se realizan permutas

de filas y columnas para colocarlo en la posición de pivote. Observación: El número de pasos que se añaden al método de eliminación gaussiana es:

Comparaciones: ( 1)(2 5)6

n n n− +

Divisiones: no se precisan. Conclusiones sobre los métodos directos:

Aunque el algoritmo del pivoteo parcial es más complejo que los otros, resulta efectivo por la relativización de coeficientes que no implican ninguna acumulación de error de redondeo. El pivoteo completo es el idóneo en el caso de que un sistema, en el que se esté usando el pivoteo parcial, precise


más comparaciones por modificaciones de los kiF . Ambos casos son los recomendados para sistemas

donde la exactitud es indispensable y puede justificarse el tiempo de ejecución que requiere.

Otras técnicas:

En la introducción a esta sección se hizo referencia a otros métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, como son: Métodos de factorización.

Sea un sistema de ecuaciones lineales A =x b con A una matriz regular.

Factorización LU.

Se descompone la matriz A, regular, como producto de dos matrices triangulares L (triangular

inferior) y U (triangular superior): A = LU

• Si A es estrictamente diagonal dominante (1

, 1,...,n

ii ijji j

a a i n=≠

> ∀ =∑ ) entonces A se puede

factorizar LU.

• Si los menores principales de A son todos no nulos entonces A se puede factorizar LU. • En los dos casos anteriores se puede proceder por eliminación gaussiana sin permutar filas,

pero en general , permutando adecuadamente las filas de la matriz regular A , ésta se puede factorizar LU

Factorización de Cholesky

Teorema: La matriz cuadrada A puede factorizarse en la forma tLDL , donde L es una matriz triangular inferior con unos en su diagonal y D es una matriz diagonal con elementos positivos a lo largo de su diagonal si y sólo si A es definida positiva (todos los menores principales son positivos).


Teorema (factorización de Cholesky): La matriz cuadrada A puede factorizarse de la forma tLL , donde L es una matriz triangular inferior con elementos no nulos en su diagonal si y sólo si A es definida positiva.

El siguiente algoritmo nos permite calcular los elementos de ( )ijL l=

( )

11

12

1

1

11

1

1

1

2,3,...,

1, 2,3,...,

2,3,..., ; 1,...,

iiiii ik

i

i

jik

ij ik jkk

jj

a il

a l i n

a j i nl

la l l

j n i j nl

−

=

−

=

⎧ =⎪

= ⎨− =⎪

⎩⎧ = =⎪⎪⎪= ⎛ ⎞⎨ −⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪ = = +⎪⎩

∑

∑

Métodos iterativos.

En general, los métodos numéricos iterativos son métodos consistentes en aproximar un resultado X

que se quiere obtener, por un proceso algorítmico o por etapas, partiendo de un valor inicial 0X y

construyendo a partir de él un sucesión nX tal que lim n

nX X

→∞= , dando a este límite el sentido

apropiado al contexto que se está utilizando.

Habitualmente, el resultado buscado X es la solución de un sistema lineal compatible determinado

AX = B, siendo A una matriz cuadrada de orden n, con A regular.

Como A es regular, se puede suponer que todos los elementos iia de la diagonal principal de la

matriz A son distintos de cero permutando las ecuaciones si fuera necesario para conseguirlo.


Los métodos iterativos, en general, se basan en una determinada descomposición de la matriz A. Si se descompone la matriz A como A = E — F, con E y F matrices cuadradas de orden n siendo E

invertible, entonces el sistema AX = B puede escribirse como:

1 1 ó EX FX B X E FX E B− −= + = +

Las igualdades anteriores nos sugieren el proceso iterativo

1 1 1k k kX E FX E B TX B+ − −= + = +

con 0 nX ∈R arbitrario ( 0X es la solución inicial).

A la matriz 1T E F−= se denomina matriz de iteración o matriz del proceso iterativo.

La sucesión { }kX de vectores así conseguida se pretende que converja a un vector X solución del

sistema anterior del cual es "punto fijo", es decir, 1 1X E FX E B− −= + . Tanto mejor será la elección de

las matrices E y F cuanto más rápida sea la convergencia de kX a la solución X.

Norma en un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo ( ) K óR , una norma es una aplicación

{ }: 0V +→ ∪R que verifica

a) 0 0= ⇔ =x x

b) , ,K Vλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈x x x

c) , , V+ ≤ + ∀ ∈x y x y x y .

Antonio Pérez Carrión 71

Al par ( ),V le llama espacio normado.

NOTA: Todo espacio vectorial euclídeo es un espacio normado con la norma =x x x asociada

al producto escalar y que se denominará norma euclídea.

Normas en nR

Sea x ( )1,...,n

nx x= ∈R . Se definen las siguientes normas

a) Norma euclídea 2 212

... nx x= + +x

b) Norma de Manhatan 11... nx x= + +x

c) Norma de Chebichev { }1 ,..., nmáx x x∞=x

Normas matriciales

Sea V un espacio vectorial n-dimensional normado y f un endomorfismo de V siendo A su matriz asociada en una determinada base de V.

El número real no negativo A

A máx≠

=x 0

xx

se denomina norma matricial de A subordinada a

la norma del espacio vectorial V.

Normas matriciales subordinadas a las normas de nR

Siendo A una matriz cuadrada de orden n y x un vector de nR se pueden definir las

siguientes normas matriciales:

a) 11 1,..., 11

n

ijj n i

AA máx máx a

≠ ==

= = ∑x 0

xx

(1

A es el máximo de la suma de los valores absolutos de

los elementos de cada columna).


b) 22

2

AA máx

≠=

x 0

xx

c) 1,..., 1

n

iji n j

AA máx máx a∞

∞ ≠ ==∞

= = ∑x 0

xx

( A∞

es el máximo de la suma de los valores absolutos de

los elementos de cada fila).

Radio espectral de una matriz

Dada una matriz A su radio espectral, denotado R(A), es el máximo de los módulos de sus

autovalores, es decir, ( ) ( ,i iR A máx λ λ= ,autovalor de A).

Relaciones entre las normas matriciales y el radio espectral Sea A una matriz cuadrada con elementos reales. Entonces, se tiene:

a) ( )R A A≤ siendo A cualquiera de las normas matriciales de la matriz A, definidas

anteriormente.

b) 0ε∀ > existe una norma matricial que está subordinada a alguna norma vectorial, tal que

( )A R A ε< +

c) 2

( )tA R AA= .

Aplicación contractiva

Una aplicación ( ) ( ): , ,n nf →R R siendo una norma en nR es contractiva si k∃

con 0 1k< < tal que , n∀ ∈Rx y se verifica ( ) ( )f f k− ≤ −x y x y


Teorema del punto fijo de Banach

Una aplicación ( ) ( ): , ,n nf →R R contractiva tiene un único punto fijo 0x es decir,

existe un único 0n∈Rx tal que f( 0x ) = 0x .

Un criterio suficiente de convergencia

Una condición suficiente para que el método iterativo 1k kX TX C+ = + converja es que

1T < .

OBSERVACIONES:

1) Si 1T < la sucesión { }kX converge al punto fijo de la aplicación : n nf →R R ,

contractiva, definida por f(X) = TX + C.

2) Puesto que ( )R T T≤ debe ser ( ) 1R T < .

3) Dados dos métodos iterativos convergentes, la convergencia será más rápida en aquel cuya matriz

de iteración T tenga menor radio espectral.

Se analizan tres métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y el método de relajación. Estos métodos se diferencian en que utilizan distintas matrices de iteración para obtener la solución del sistema de ecuaciones. En cada método se describe el algoritmo matricial conjuntamente con las ecuaciones del método y las condiciones de convergencia.

El proceso es análogo en todos los métodos :

1) Partimos de la forma matricial del sistema AX = B


2) Se descompone A = E –F y se obtiene 1 1X E FX E B− −= + que es la base del método iterativo.

3) Dependiendo de las diferentes expresiones de E y F llegaremos a métodos iterativos distintos.

4) Se expresa el método mediante un algoritmo. Método de Jacobi

Tomamos

11

22

0 00 0

0 0 nn

aa

E

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y

12 1

21 2

1 2

00

0

n

n

n n

a aa a

F

a a

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(2.39)

Partiendo de un vector inicial

010

0 2

0n

xx

X

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

la sucesión { }kX se obtiene mediante la siguiente

recurrencia:

1

1 11 , 1, 2,...,

i nk k

i ij j ij jj j ik

iii

b a x a xx i n

a

−

= = ++

− −= =

∑ ∑ (2.40)

Condición suficiente de convergencia del método de Jacobi.

El método de Jacobi es convergente a la solución del sistema de ecuaciones si la matriz A de coeficientes del sistema es una matriz estrictamente diagonal dominante.


Método de Gauss-Seidel

Tomamos

11

21 22

1 2

0 00

n n nn

aa a

E

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y

12 1

2

00 0

0 0 0

n

n

a aa

F

− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.41)

Obteniendo la siguiente recurrencia:

11

1 11 , 1, 2,...,

i nk k

i ij j ij jj j ik

iii

b a x a xx i n

a

−+

= = ++

− −= =

∑ ∑ (2.42)

Condiciones suficientes de convergencia del método de Gauss-Seidel El método de Gauss-Seidel converge en cualquiera de las siguientes situaciones:

a) La matriz A de los coeficientes del sistema es estrictamente diagonal dominante.

b) La matriz A es simétrica y definida positiva

Método de relajación:

Tomamos

11

2221

1 2

0 0

0

nnn n

aw

aaE w

aa aw

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y

11 12 1

22 2

1

10

10 0

n

n

nn

w a a aw

w a aF w

w aw

−⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.43)


Siendo w un parámetro no nulo.

Se llega a la siguiente ley de recurrencia:

( )

11

1 11 1 , 1, 2,..., ; 0

i nk k

i ij j ij jj j ik k

i iii

b a x a xx w x w i n k

a

−+

= = ++

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= − + = ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ (2.44)

Observaciones:

• Si w = 1 el método de relajación se convierte en el método de Gauss-Seidel.

• Si w > 1 el método se denomina de sobrerrelajación y de subrelajación si w < 1.

• El método de relajación consiste en introducir un parámetro w en el método de Gauss-Seidel

que pueda acelerar la convergencia en determinados casos.

Convergencia del método de relajación

Para analizar la convergencia del método de relajación son útiles los resultados siguientes

a) Para que el método de relajación converja es necesario que w verifique 0 < w < 2.

b) Si A es una matriz simétrica definida positiva, el método de relajación converge si y sólo si

0 < w < 2.

2.5.3 Elección del método de resolución de sistemas.

Como se decía en la introducción de esta sección, la obtención de modelos de representación basados en familias de elementos finitos bidimensionales, exige la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Dicho sistema es bastante peculiar como veremos a continuación.

Se verá, en el capítulo 3, que la matriz resultante del sistema de ecuaciones lineales para la obtención de los Ui que determinan el modelo, es una matriz simétrica, que puede: ser singular, ser regular y no estar definida positiva, ser regular y no ser estrictamente diagonal dominante.


La matriz del sistema puede ser singular cuando aparecen elementos de interior vacío o con un reducido número de puntos en su interior o frontera. Obviamente si la matriz es singular, no es definida positiva ni estrictamente diagonal dominante lo que determina que el método de resolución de sistemas empleado no sea ni de factorización ni de iteración.

La matriz del sistema puede ser regular y no ser estrictamente diagonal dominante.

La proximidad de los puntos a los nodos provoca el aumento de los iia respecto a los ,kla k l≠

por lo que se puede detectar fácilmente si la matriz resultante va a ser estrictamente diagonal dominante

estudiando la densidad de puntos alrededor de los nodos. De esta forma basta con que un nodo, jn , esté

aislado en un entorno determinado o con pocos puntos relativamente cerca para que la matriz resultante

no sea estrictamente diagonal dominante debido a la disminución del valor de j jn na respecto a los de su

fila o columna.


El siguiente ejemplo es clarificador:

Imagen 2.2

Tenemos una muestra de 36 puntos distribuidos en un dominio discretizado en cuatro elementos, como se observa en la imagen 2.2. Se aprecia que en cada nodo hay cuatro puntos suficientemente próximos. El efecto de esta distribución en la matriz resultante es la acumulación de los valores de productos de coeficientes de interpolación local en las posiciones de la diagonal principal con lo que estos valores son grandes en comparación al resto de su columna o fila.


En efecto, la matriz resultante es:

Tabla II.6

Obsérvese que los valores de la diagonal principal están en función de la proximidad de los puntos

a los correspondientes nodos. Ordenando los iia de mayor a menor, resulta:

55 44 22 88 77 99 66 33 11a a a a a a a a a> > > > > > > >

Denotando por jd el promedio de distancias, al nodo j, de los puntos “próximos” a éste y

ordenándolas de menor a mayor:

5 4 2 8 7 9 6 3 1d d d d d d d d d< = < < < < < <


Imagen 2.3

Si tomamos otra muestra en la que hemos variado la proximidad de los puntos cercanos al nodo 5,

de forma que el promedio de distancias sea el mayor, imagen 2.3, vemos que el elemento 55a pasa a

ser el de menor valor (en términos absolutos), véase la tabla II.7


Tabla II.7

La matriz resultante sigue siendo estrictamente diagonal dominante, pero esta condición no puede mantenerse ante el cambio de complejidad pues la “proximidad” a un nodo según una discretización puede ser “lejanía” según otra.

Sigamos con el ejemplo de la primera muestra y aumentemos la complejidad a 9 elementos ( imagen 2.4) distribuidos 3x3.


Imagen 2.4

La posición de cercanía a los nodos ha variado salvo en los nodos 1, 4, 13 y 16, lo que nos lleva a una matriz resultante que no es estrictamente diagonal dominante, como podemos visualizar en la tabla II.8, donde se observa la submatriz cuadrada de orden 9 que resulta de suprimir en la matriz acumulada final las últimas 7 filas y columnas y en la tabla II.9, donde aparece la submatriz de orden 7 originada por la supresión de las 9 primeras filas y columnas.


Tabla II.8

Tabla II.9

Se puede apreciar que la condición para ser estrictamente diagonal dominante falla en los iia con

1,4,13,16i ≠ .

Este ejemplo tan patente de la variabilidad de la matriz resultante final en función de la complejidad, y de la posición de los puntos en el dominio global hace que se descarte el método de


factorización LU para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales pues podría fallar la condición suficiente que nos asegurara dicha descomposición.

Seguramente cuando la matriz resultante sea regular también será definida positiva, pues los iia

son siempre positivos al serlo los coeficientes de interpolación. Esto determina que una eliminación

gaussiana sin intercambio de ecuaciones mantendrá (es una suposición) los iia resultantes positivos lo

que es condición necesaria y suficiente para que la matriz del sistema sea definida positiva. Esto sería útil para la factorización de Cholesky o la iteración Gauss-Seidel, pero la regularidad no se puede asegurar lo que hace inviable estos métodos como decíamos al principio.

El problema de la singularidad de la matriz de la que se obtiene el modelo genera por tanto situaciones que sólo son resolubles mediante un método con un algoritmo suficientemente adaptable a las variaciones que exija la resolución del mismo aun en casos extremos de irresolubilidad tal y como se explica en la siguiente sección.

2.5.4 Resolución de sistemas reticulares

El sistema de ecuaciones lineales resultante del problema de optimización que conduce al

modelo de representación, como hemos visto, presenta una casuística que precisa técnicas especiales para su resolución. Este sistema, denominado reticular, será definido formalmente más adelante y en esta sección se aborda su resolución, en la que, básicamente se aplicará el método de Gauss-Pivote Parcial con modificaciones. Por este motivo se formaliza teóricamente el método de resolución implementado así como las distintas modificaciones empleadas.

El método de resolución del pivoteo parcial es algorítmicamente el idóneo para llevar a cabo la resolución del sistema de ecuaciones lineales implicado en la obtención del modelo. La relatividad del pivote, y el intercambio de renglones o ecuaciones, permite de una forma sencilla resolver sistemas en los que coexisten coeficientes de distinta magnitud sin que esta circunstancia afecte al resultado final.


Esto nos permite usar transformaciones en las ecuaciones que resuelven, dinámica y conjuntamente los problemas de diferencia extrema de magnitudes en cuyos casos tendremos que utilizar nuevas metodologías basadas en el origen de la técnica de los elementos finitos.

Que el sistema sea regular no implica que en el proceso de su resolución mediante el pivoteo parcial no puedan surgir problemas. De hecho recordemos que los coeficientes de interpolación local son menores o iguales que 1 y no negativos, con lo que el producto entre ellos ofrece un resultado de menor magnitud que los propios factores. No obstante cuando la muestra consta de una cantidad elevada de puntos las acumulaciones en las proximidades de los nodos se transmiten a la matriz resultante pudiendo ésta albergar distintas magnitudes. El proceso de intercambio de filas y la obtención de ceros provoca variaciones en filas y columnas paralelas (hacia abajo y hacia la derecha) de tal manera que en ocasiones los coeficientes pueden tener una magnitud tan reducida que, a pesar de la relativización del método, la ecuación a la que pertenecen deja de “influir” en la solución del sistema, llegando incluso a desvirtuarla. En ese paso del algoritmo tenemos dos opciones: Seguir el proceso e ignorar la ínfima magnitud (siempre en términos absolutos) de los coeficientes y llegar a una solución aproximada que habrá que evaluar o buscar otras alternativas basadas en la técnica de elementos finitos bidimensionales.

Se emplearán las abreviaturas EG, GJ, GHJ, GPP, GPT para hacer referencia respectivamente a los métodos de: eliminación gaussiana, Gauss-Jordan, híbrido, pivoteo parcial y pivoteo total. Todos estos métodos directos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se enmarcan en la categoría de triangulación gaussiana.

En la aplicación de un método para la resolución podemos aludir indistintamente a ecuaciones, filas o renglones, en relación a las ecuaciones del sistema. Pero cuando hagamos referencia a los coeficientes de una misma incógnita en las distintas ecuaciones de éste, lo denominaremos columna por asociación con la matriz del sistema.


Definición 2.8: Un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas se denomina sistema SQ.

Definición 2.9: Un sistema SQ de n ecuaciones lineales, no homogéneo, con r ecuaciones distintas y no

proporcionales dos a dos, se denomina sistema nrSQ . Cuando n r= se puede simplificar la notación

usando un solo índice, nSQ .

Observación : En un sistema nSQ puede haber ecuaciones que sean combinación lineal de otras

distintas a ella.

Las notaciones según la clasificación de compatibilidad son las siguientes:

Un sistema nSQ compatible determinado se notará por nSQ CD .

Un sistema nSQ compatible indeterminado se notará por nSQ CI .

Un sistema nSQ incompatible se notará por nSQ IC .

Proposición 2.11: Cualquier sistema equivalente a uno nSQ es un sistema nrSQ con r n≤ .

Demostración: Si el rango de la matriz del sistema es n cualquier sistema equivalente obtenido seguirá

teniendo rango n y por lo tanto será nnSQ . Por otro lado si el rango es k, k n< , mediante EG

podemos obtener un sistema equivalente en el que n k− ecuaciones sean iguales o proporcionales a

una o varias de las restantes k ecuaciones. Basta llamar =r k y el sistema equivalente obtenido es nrSQ .

De ambas situaciones se obtiene el resultado buscado. . . .q e d


Definición 2.12: Dado S, un sistema nSQ . Todo sistema equivalente, S’, obtenido mediante la

aplicación de algún método, M, de resolución por triangulación gaussiana, se denomina sistema afectado de S mediante M. También se dice que S’ es una afección de S, mediante M.

Nota: En adelante supondremos que los métodos empleados en las afecciones son de triangulación gaussiana.

Definición 2.13: Decimos que un método, empleado en unas afecciones de un sistema nSQ , ha

concluido regularmente, si la matriz del sistema de la última afección es triangular con todos los elementos de la diagonal principal no nulos. En el caso de que algún elemento de la diagonal principal sea nulo diremos que ha concluido irregularmente.

Se dice que una afección de S es total, mediante M, si el método ha concluido regularmente. Si el método no ha concluido se dice que la afección es parcial.

Proposición 2.14: Una afección total de un sistema nSQ , mediante un método M, es un sistema

nSQ CD .

Demostración: Por ser la afección total, la matriz del sistema es de orden n y triangular con

0 1,...,iia i n≠ ∀ = , por lo que el sistema es compatible determinado.

. . .q e d

Nota: En lo sucesivo se dará por supuesto que una afección de un sistema se realiza mediante un método M.

Observación: Cuando la afección de un sistema nSQ es total, la obtención de la solución se realiza por

retrosutitución. De esta forma, puesto que no ha habido cambio de columnas, de la ecuación k , con

{ }1,...,k n∈ , se obtiene la coordenada k de la solución del sistema.


Definición 2.15: En un sistema nSQ CD , se llama ecuación solvente de la coordenada k de la solución

del sistema o ecuación k-solvente, a la k-ésima ecuación del sistema afectado del original mediante la aplicación del método M a las primeras k columnas.

Cuando la ecuación k-ésima es solvente y no se ha aplicado M a la siguiente columna, las ecuaciones siguientes se denominan postsolventes de la coordenada k de la solución del sistema o k-

postsolventes.

Se denomina columna de r ecuaciones postsolventes a la columna de posición igual a 1n r− + .

Cuando el sistema es nSQ , sin información sobre la clasificación de su compatibilidad, se dice

que la solvencia o postsolvencia de una ecuación es condicionada.

12

−

↓

− →−

columna de n k ecuaciones postsolventes

solventesolvent

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( )21 2 22 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( )1 1 1 1

( ) ( )1

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

+

+

+

+ + +

+

⎛⎜⎜→⎜⎜⎜− →⎜

− →⎜⎜⎜⎜− →⎝

k k k k kk nk

k k k kk nk

k k kkk knk k

k kk k k

k knnn k

a a a a a

a a a ae

a a ak solventek postsolvente a a

k postsolvente a a

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜ ⎟⎠

Proposición 2.16: En un sistema afectado de un ( )n nSQ CD SQ si una ecuación es solvente

(condicionada) entonces todas las ecuaciones anteriores son solventes (condicionadas).

Demostración: Resulta trivial por la propia definición de ecuación solvente. . . .q e d


Definición 2.17: Se dice que un sistema nSQ es solvente cuando su afección es total.

Proposición 2.18: Un sistema S, de tipo nSQ , es solvente si y sólo si es de tipo nSQ CD

Demostración: Es obvio por definición . . .q e d

Observación: Es claro que en un sistema solvente todas las ecuaciones son solventes.

Definición 2.19: Se llama sistema k-modificado de S, de tipo nSQ , a otro sistema S’, que también es

nSQ , obtenido al sustituir la ecuación k-ésima de S o de cualquier sistema afectado de S, por otra

distinta, en la que, al menos, el coeficiente de la fila k y columna k sea no nulo.

También se puede expresar diciendo que S’ se obtiene por k-modificación de S.

Se llama sistema modificado de S, de tipo nSQ , a otro sistema S’, que también es nSQ ,

obtenido por, al menos, una k-modificación de S.

Definición 2.20: Decimos que una k-modificación de un sistema afectado de un nSQ rompe la

solvencia condicionada de p ecuaciones, con 0 p k≤ < , cuando la nueva ecuación posee coeficiente

no nulo en la columna k p− .

Si 0p ≠ decimos que la k-modificación es p-retro.

Si 0p = decimos que la k-modificación es equo.

Después de efectuar una k-modificación p-retro, el número de ecuaciones postsolventes

condicionadas aumenta en p ecuaciones con lo que el método retrotrae su acción a la columna k p− y

prosigue con las siguientes columnas.


Definición 2.21: Una k-modificación condicionada de un sistema nSQ es una modificación prefijada

sujeta al cumplimiento de una condición, de forma que cada vez que se cumpla la condición se realiza la misma modificación.

Observación: Una modificación condicionada y retro puede originar un bucle en la aplicación del método de resolución.

Definición 2.22: Se llama sistema de ecuaciones lineales reticular de complejidad ( , , )c e h v , respecto

de una muestra pM de puntos, al sistema de ecuaciones lineales derivado de la minimización de la función error cuadrático para la obtención del modelo de aproximación mediante la técnica de elementos finitos bidimensionales, donde e es el número de elementos, h el número de divisiones horizontales y v el número de divisiones verticales. La matriz del sistema se denomina matriz reticular de complejidad

( , , )c e h v respecto de una muestra de puntos pM .

Un sistema de ecuaciones lineales reticular de complejidad ( , , )c e h v respecto de una muestra

de p puntos se denota por ( ),SCR c p , indicando que en la construcción del mismo, cada coeficiente

de cada ecuación, incluyendo términos independientes, es un resultado obtenido a partir de la complejidad y de la muestra, dicho de otra forma, la naturaleza de un sistema reticular depende directamente de estos dos parámetros.

La matriz reticular asociada se denota por ( ),MR c p , y la matriz reticular ampliada con los

términos independientes se expresa de la forma ( ),MRA c p .

Definición 2.23: La muestra de puntos pM se dice que es densa para un sistema reticular obtenido a

partir de ella, según una discretización de complejidad ( , , )c e h v si el sistema ( ),SCR c p es

( 1)( 1)h vSQ + + .


Nota: En lo sucesivo se entenderá que las muestras son densas para sus sistemas reticulares.

Definición 2.24: Una modificación es coherente con un sistema ( ),SCR c p si la naturaleza de ésta es

inherente a c , a la muestra o a ambas, es decir, si mantiene la naturaleza del sistema reticular.

Proposición 2.25: Un sistema afectado de un ( ),SCR c p es un sistema ( ),SCR c p .

Demostración: La naturaleza de un sistema no varía mediante afecciones pues las variaciones en los coeficientes de un sistema por afección son producidas por operaciones elementales sobre los mismos.

. . .q e d

Proposición 2.26: Un sistema modificado de un ( ),SCR c p es un sistema ( 1)( 1)h vrSQ + + con

( 1)( 1)r h v≤ + + .

Demostración: Si la modificación es ajena a la naturaleza del sistema reticular, el nuevo sistema ya no es reticular, basta para ello que un coeficiente del sistema sea sustituido por otro que no haya sido obtenido en función de la complejidad o de la muestra de puntos o bien que la sustitución se haga con una ecuación igual o proporcional a otra, incumpliendo las normas de construcción de un sistema reticular,

por lo que pasa a ser un sistema SQ . En este caso si la ecuación sustitutiva es igual o proporcional a

alguna de las restantes el sistema es ( 1)( 1)h vrSQ + + con ( 1)( 1) 1r h v= + + − y si la ecuación no es

igual ni proporcional a ninguna de las restantes, el sistema es ( 1)( 1)h vrSQ + + con ( 1)( 1)r h v= + + .

Por otro lado si la modificación mantiene la naturaleza del sistema reticular el nuevo sistema sigue

siendo reticular ( ),SCR c p y por tanto ( 1)( 1)h vrSQ + + con ( 1)( 1)r h v= + + .

. . .q e d


Una k-modificación de un sistema ( ),SCR c p se realizará según dos modalidades: Por

regresión nildistante y por rigidización

Modalidad por regresión nildistante:

Mediante el uso de la Solución aproximada por regresión sobre distancias a los nodos.

Consideremos una muestra de puntos

{ }( , , ( , )), 1,...,pi i i i iM x y z u x y i p= = =

cuyas proyecciones { }( , ), 1,...,i ix y i p= se hallan en un dominio global dado. La discretización del

dominio según una complejidad ( , , )c e h v origina ( 1)( 1)h v+ + nodos.

La distribución de los puntos { }( , ), 1,...,i ix y i p= respecto a los nodos repercute sobre la

composición de la matriz reticular por lo que la distancia de cada punto a cada nodo constituye una referencia sobre el valor que puede tener el modelo en los nodos.

Con este fin se ha creado, para cada nodo ( , )j jj n nn x y , una distribución bidimensional de

variables jd y Z:

( ){ }, , 1,...,ij id z i p= donde ( ) ( )2 2

j jij i n i nd x x y y= − + −

y se halla la recta de regresión de Z sobre jd :

2 2 2 2( ) ( )j j j j

j j j j

d z d z d z d zj j j j j j

d d d d

z z d d z z d d z d z dσ σ σ σ

σ σ σ σ

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − → = + − → = + −⎜ ⎟⎝ ⎠


siendo

1

1

1

2

2 21

j

j

p

ii

p

iji

j

p

ij ii

d z j

p

iji

d j

zz

p

dd

p

d zd z

p

dd

p

σ

σ

=

=

=

=

=

=

= −

= −

∑

∑

∑

∑

El valor estimado de z en el nodo jn , es una aproximación del valor de jnu y viene dado por:

2j

j j

j

d zn n j

d

u z z dσ

σ≈ = −

pues en el nodo jn el valor de jd es cero.

Una aproximación del modelo es por tanto:

( ) ( )1 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1),..., ,...,

h v h vn n n nu u z z+ + + +

≈ (2.45)

Modalidad rigidizante o por rigidización:

Proceso de rigidización:


En un sistema ( ),SCR c p las ecuaciones representan la relación existente entre los valores del

modelo en los nodos. Dichas relaciones vienen impuestas por la necesidad de minimizar la función de

error del modelo, de complejidad c , que se pretende obtener respecto a la muestra original. Estas

imposiciones de minimización son lo suficientemente flexibles para que cada elemento forme parte, con cierta independencia del resto, de un todo del que se requiere información global a la que contribuyen

todos ellos. En el proceso de resolución de un sistema ( ),SCR c p pueden surgir problemas de varios

tipos, pero sobre todo, es preocupante que la magnitud de los coeficientes disminuya, en valor absoluto, hasta cotas que no permitan la viabilidad de la solución que pueda obtenerse por aproximada que sea. Estos problemas hacen que la flexibilidad de la que gozaba el sistema haga peligrar el objetivo final del mismo por lo que, en aras de conseguir resultados aceptables, se puede anular dicha flexibilidad rigidizando las ecuaciones problemáticas.

La rigidización de una ecuación no es nada más que la traducción del problema que surge del

estudio de las estructuras, como puede ser la de un puente, a una ecuación del sistema. La deformación en la estructura del puente se podría traducir en la disminución de la magnitud de los coeficientes, la rotura del puente se podría comparar a la obtención de una solución totalmente desvirtuada. La solución, en la estructura del puente, para impedir la rotura de la zona deformable es el refuerzo interno mediante barras que situadas en las aristas de unión de los elementos impiden la movilidad de éstos formando una subestructura rígida de varios elementos.

Volviendo al sistema ( ),SCR c p :

En el supuesto de tener problemas, por la pequeña magnitud de los coeficientes o del pivote, en la

solvencia de la ecuación k-ésima de la que se supone que deberemos obtener la coordenada k de la solución, podemos efectuar una k-modificación del sistema sustituyendo dicha ecuación por una que sea rígida, centrada en el nodo correspondiente a la coordenada k de la solución.


Sea ( , , )c e h v la complejidad de la discretización, { }1,..., ( 1)( 1)nodI h v= + + el conjunto de

índices que numeran los nodos. Consideremos el nodo jn , con nodj I∈ , centro de la rigidización. La

imagen 2.5 ilustra la técnica empleada:

a) jn es un nodo interior

Imagen 2.5

La ecuación rígida centrada en el nodo interior jn es la siguiente:

1 1 1 1

4j h j j j h

j

n n n nn

u u u uu − − − + + +

+ + += (2.46)

Si jn está en la frontera global se dan los siguientes casos:

b) El nodo está en la esquina inferior izquierda (imagen 2.6):


Imagen 2.6

La ecuación de rigidez es la siguiente: 1 12 2

4j j h

j

n nn

u uu + + +

+= (2.47) siendo 1j = .

c) El nodo está en la esquina superior izquierda (imagen 2.7):

Imagen 2.7


4j h j

j

n nn

u uu − − +

+= (2.48) con ( 1) 1j v h= + + .


d) El nodo está en la esquina inferior derecha (imagen 2.8):

Imagen 2.8


4j j h

j

n nn

u uu − + +

+= (2.49) siendo 1j h= +

e) El nodo está en la esquina superior derecha (imagen 2.9):

Imagen 2.9



4j h j

j

n nn

u uu − − −

+= (2.50) con ( 1)( 1)j v h= + + .

f) El nodo está en el lado izquierdo (imagen 2.10):

Imagen 2.10

En este caso la ecuación de rigidez es la siguiente:

1 1 12

4j h j j h

j

n n nn

u u uu − − + + +

+ += (2.51)


g) El nodo está en el lado derecho (imagen 2.11):

Imagen 2.11


1 1 12

4j h j j h

j

n n nn

u u uu − − − + +

+ += (2.52)

h) El nodo está en el lado inferior (imagen 2.12):

Imagen 2.12



1 1 12

4j j h j

j

n n nn

u u uu − + + +

+ += (2.53)

i) El nodo está en el lado superior (imagen 2.13):

Imagen 2.13


1 1 12

4j j h j

j

n n nn

u u uu − − − +

+ += (2.54)

Definición 2.27: Una k-modificación realizada en un sistema ( 1)( 1)h vSQ CD+ + afectado o modificado de

un ( ),SCR c p mediante la modalidad de regresión nildistante consiste en sustituir la ecuación k-ésima

de ( 1)( 1)h vSQ CD+ + por una ecuación cuyos coeficientes son todos nulos excepto el del lugar k, que vale

1, y cuyo término independiente es la coordenada k de la solución aproximada por regresión nildistante.


Proposición 2.28: Una k-modificación, por regresión nildistante, realizada en un sistema

( 1)( 1)h vSQ CD+ + afectado o modificado de un ( ),SCR c p es equo.

Demostración: Es obvio por la propia definición 2.27. q.e.d.

Definición 2.29: Una k-modificación realizada en un sistema ( 1)( 1)h vSQ CD+ + afectado o modificado de

un ( ),SCR c p mediante la modalidad rigidizante o por rigidización, consiste en sustituir la ecuación k-

ésima de ( 1)( 1)h vSQ CD+ + por una de las ecuaciones de rigidez establecidas en dicha modalidad según

la posición del nodo nodk I∈ .

Las ecuaciones de rigidez se pueden expresar de la siguiente forma para mayor comprensión de la sustitución y sus consecuencias:

Observación: Los puntos suspensivos en las ecuaciones indican coeficientes nulos en la correlación de incógnitas.

a) jn es un nodo interior:

Ecuación: 1 1 1 11 ( 1)( 1)0 4 0 0

j h j j j j hn n n n n h vu u u u u u u− − − + + + + ++ + + + − + + + + + =

b) jn es un nodo en la esquina inferior izquierda:

Ecuación: 1 11 2 ( 1)( 1)4 2 2 0 0

hn h vu u u u+ + + +− + + + + + =

c) jn es un nodo en la esquina superior izquierda:


Ecuación: 1 11 ( 1)( 1)0 2 4 2 0 0

j h j jn n n h vu u u u u− − + + ++ + + − + + + = siendo ( 1) 1j v h= + +

d) jn es un nodo en la esquina inferior derecha:

Ecuación: 1 11 ( 1)( 1)0 2 4 2 0 0

j j j hn n n h vu u u u u− + + + ++ + − + + + + = con 1j h= +

e) jn es un nodo en la esquina superior derecha:

Ecuación: ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 11 ( 1)( 1)0 2 2 4 0h v h h vn n h vu u u u+ + − − + + − + ++ + + + − =

f) jn es un nodo en el lado izquierdo:

Ecuación: 1 1 11 ( 1)( 1)0 4 2 0 0

j h j j j hn n n n h vu u u u u u− − + + + + ++ + + − + + + + + =

g) jn es un nodo en el lado derecho:

Ecuación: 1 1 11 ( 1)( 1)0 2 4 0 0

j h j j j hn n n n h vu u u u u u− − − + + + ++ + + + − + + + + =

h) jn es un nodo en el lado inferior:

Ecuación: 1 1 11 ( 1)( 1)0 4 2 0 0

j j j j hn n n n h vu u u u u u− + + + + ++ + + − + + + + + =

i) jn es un nodo en el lado superior:


Ecuación: 1 1 11 ( 1)( 1)0 2 4 0 0

j h j j jn n n n h vu u u u u u− − − + + ++ + + + − + + + =

El método utilizado para la triangulación del sistema es GPP y todos los resultados que expondremos a continuación están referidos a la utilización de dicha técnica.

Definición 2.30: Dado un sistema nSQ se llama tamaño de la fila o ecuación i al número real positivo

{ }1,...,i ijj n

máx aτ=

= .

Proposición 2.31: Dado un sistema nSQ CD con ecuaciones k- postsolventes, si la ecuación i es

postsolvente entonces { },...,i ijj k n

máx aτ=

= .

Demostración:

Puesto que la ecuación k-postsolvente i tiene los coeficientes 1 2 ( 1), ,...,i i i ka a a − todos nulos, se tiene

que { } { }1,..., ,...,ij ijj n j k n

máx a máx a= =

= . . . .q e d

Definición 2.32: Se llama tamaño para la columna de k ecuaciones postsolventes al número real positivo

{ },...,

τχ τ= −

=k ii n k nmáx

Definición 2.33: Dado un sistema ( ),SCR c p CD llamamos coeficiente de neutralización de fila, fν ,

a un número real positivo que determina la cota por debajo de la cual el tamaño de las ecuaciones postsolventes puede alterar la solución del mismo.


Definición 2.34: Dado un sistema nSQ CD cuya primera ecuación postsolvente es la que ocupa el lugar

k, se llama tamaño para el pivote de la columna k, al número real positivo ,...,

ikk i k n

i

amáxτπ

τ=

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭.

Definición 2.35: Dado un sistema ( ),SCR c p CD llamamos coeficiente de neutralización de pivote,

pν , a un número real positivo que determina la cota por debajo de la cual el tamaño para el pivote de las

columnas de ecuaciones postsolventes puede alterar la solución del mismo.

Definición 2.36: Dado un sistema ( ),SCR c p CD cuya primera ecuación postsolvente es la que

ocupa el lugar k, decimos que la incógnita ku es neutralizable si se cumple una de las dos condiciones

siguientes, llamadas condiciones de neutralización:

i) k fτχ ν< (cnf)

ii) *k pτπ ν< (cnp) donde

{ }*

, 1,...,/ij

k i fi k k ni

amáxτπ τ ν

τ∈ +

⎧ ⎫⎪ ⎪= >⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

En este caso se denomina neutralización de la incógnita ku a la k-modificación condicionada

coherente del sistema reticular o de cualquier afección o modificación coherente de éste.

Teorema de determinación 2.37: Dado un sistema ( ),SCR c p existe un sistema afectado o

modificado de éste que es ( 1)( 1)h vSQ CD+ + .

Demostración: Si el sistema ( ),SCR c p es compatible determinado resulta obvio.


Si el sistema ( ),SCR c p es compatible indeterminado de forma que el rango de la matriz del sistema y

de su ampliada sea r, con ( 1)( 1)r h v< + + , se pueden encontrar, mediante EG, s ecuaciones

( )( 1)( 1)s h v r= + + − , que sean iguales o proporcionales a, al menos, una de las restantes. Basta

con realizar s k-modificaciones ( )1,..., ( 1)( 1)k r h v= + + + de forma que el sistema final tenga rango

( 1)( 1)h v+ + . . .q e d

Observación: Este resultado pone de manifiesto la necesidad de utilizar modificaciones cuyo sistema compatible determinado final tenga una solución que sea aproximada a la real.

Definición 2.38: Una modificación es coherente con un sistema ( ),SCR c p si la naturaleza de ésta es

inherente a c , a la muestra o a ambas, es decir, si mantiene la naturaleza del sistema reticular.

Proposición 2.40: Las modificaciones de un sistema ( ),SCR c p por las modalidades de regresión

nildistante y por rigidización son coherentes con éste.

Demostración:

Resulta obvio pues la modalidad de regresión nildistante se basa en las rectas de regresión de las z de los puntos sobre la distancia de las proyecciones de éstos a los nodos por lo que es inherente tanto a la complejidad como a la muestra.

Por otro lado la modalidad rigidizante se basa en las relaciones del valor del modelo en los

nodos por lo que es inherente a la complejidad. . . .q e d

Teorema 2.41: Para cada sistema reticular ( ),SCR c p existe una única secuencia finita de afecciones

o modificaciones de dicho sistema, mediante el método GPP, condicionadas por neutralización y cuyo

sistema final es ( ),SCR c p CD .


Demostración:

Sea akT una afección y m

kT una modificación de un sistema ( ),SCR c p mediante la fase k de la

aplicación del método GPP, es decir:

En la aplicación de GPP a la columna k, se realizan tres acciones fundamentales (af ):

1. Búsqueda de la ecuación i en la que se halla el pivote con k i n≤ ≤ (af I).

1.1. Cálculo de { },...,k ii k n

máxτχ τ=

=

1.1.1. Condición k fτχ ν<

1.1.1.1. Si se cumple, se neutraliza la ecuación k

1.1.1.2. Si no se cumple continuamos en 1.2.

1.2. Cálculo de { }*

, 1,...,/ij

k i fi k k ni

amáxτπ τ ν

τ∈ +

⎧ ⎫⎪ ⎪= >⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

y comprobación de cnp.

1.2.1. Condición *k pτπ ν<

1.2.1.1. Si se cumple, se neutraliza la ecuación k

1.2.1.2. Si no se cumple, continuamos en 2.

2. Permuta de la posición de las ecuaciones k e i (af II).

3. Obtención de ceros en las posiciones 1, 2,...,k k n+ + de la columna k (af III).

Estas tres acciones constituyen la fase k del método con las subsiguientes ramificaciones (véase el

diagrama de flujo correspondiente). Una afección del sistema consiste en culminar una fase sin neutralizaciones, si bien cada afección

de fase consta de afecciones elementales como son la permuta de filas y cada cero en las posiciones

1, 2,...,k k n+ + de la columna k. Por otro lado una modificación de fase consta de una k-modificación


coherente condicionada (neutralización de la incógnita ku por rigidización o regresión nildistante) y las

afecciones elementales ya mencionadas. Caso 1: No hay neutralizaciones en ninguna fase.

Esto quiere decir que se han realizado 1 2 1, ,...,a a anT T T − afecciones de fase y ninguna modificación

con lo que el sistema final es compatible determinado pues si alguna ecuación hubiese sido combinación lineal de las restantes en alguna fase aparecería una ecuación con los coeficientes todos nulos que en algún momento habría que neutralizar, es decir, realizar una modificación coherente, hecho que no se ha

dado, por lo que en este caso tenemos una secuencia finita de a lo sumo ( 1)( 2) / 2n n− + afecciones

cuyo sistema final es ( ),SCR c p CD .

Caso 2: Hay neutralizaciones en, al menos, una fase.

Sea k la fase en la que hay neutralizaciones, pudiendo suponer sin pérdida de generalidad que en

las anteriores no las ha habido. Las neutralizaciones se dan en los supuestos 1.1.1.1. o 1.2.1.1. por rigidización, computando 1 modificación. Al sustituir la ecuación k por la ecuación rígida correspondiente se rompen, en el peor de los casos, h+1 ecuaciones solventes condicionadas, lo que retrotrae a la fase k-

h-1 y computa ( 2)( 1) / 2k h k h− − − + afecciones hasta llegar de nuevo a la fase k. Llegados a este

punto si se precisa de nuevo neutralizar es que se ha creado un bucle por rigidización por lo que neutralizaremos por regresión nildistante, computando una modificación más. En caso de que no se precise neutralizar de nuevo concluiría la fase k, en la que se han realizado, a lo sumo, 2 modificaciones

elementales por neutralización, que son condicionadas y coherentes y ( 2)( 1) / 2k h k h− − − +

afecciones por retroacción y retorno.

Resumiendo cada vez que se realiza una neutralización rigidizante p-retro con { }1, 1p h∈ + se

incrementa el número de afecciones por el retorno a la fase neutralizada. Dado que el número de neutralizaciones es finito aun en el caso extremo de neutralizar todas las ecuaciones y que el número de


afecciones de fase por retorno o por avance también lo es. La secuencia total de afecciones y modificaciones es finita.

El sistema obtenido final siempre es compatible determinado pues si aparecen ecuaciones con

coeficientes nulos y término independiente nulo (SCI) serán neutralizadas en la fase correspondiente. Lo mismo sucederá si los coeficientes son nulos y el término independiente no lo es (SIC). Es decir la última ecuación es la que decide la compatibilidad del sistema por lo que si es SCI o SIC y después de la neutralización por rigidización, retroceso y retorno sigue siendo SCI o SIC se neutraliza por regresión

nildistante y entonces el sistema es SCD. . . .q e d


3. MODELO DE REPRESENTACIÓN

3.1 INTRODUCCIÓN

Se considera que existe una relación entre la variable real, z, y las variables reales x e y, lo que

se puede expresar de la forma ( ),z u x y= , y que además se conoce una muestra, pM de tamaño p,

de dicha relación, lo que supondrá el conocimiento de un conjunto de p valores de la misma,

( )( ) ( ) ( ),i i iz u x y= , con 1,2,...,i p= y ( ) 2( ) ( ) ( ); ,i i iz x y∈ ∈Ω⊂R R , siendo Ω , la clausura de

un abierto, Ω . Para cada muestra pM , se propone un modelo de representación por elementos finitos de la relación.

El modelo de representación que se presenta en esta tesis, es una interpolación de ( ),u x y

que se considera como una función U ( ),x y , que está definida sobre un modelo de elementos

finitos Ω de Ω y de manera que la función U ( ),x y , coincida con ( ),u x y en un conjunto de

puntos llamados nodos.

La interpolación se caracteriza por ser construida desde interpolaciones locales, como se ha

comentado en (2.3.2), y su expresión se determina a partir de sus valores en los nodos. De forma genérica una de las principales características de la interpolación por elementos finitos

U ( ),x y de una función dada es que se definen unas funciones globales αφi y la interpolación esta

únicamente definida por un número finito de valores de ( ),u x y y posiblemente varias de sus derivadas

en los nodos de la malla de elementos finitos.


Así el proceso de interpolación conlleva la construcción de una correspondencia entre ( ),u x y y

el conjunto finito de números, como se ha analizado en el capítulo 2, sección 2.3.2, mediante una

aplicación lineal dependiente de la discretización del dominio (restricción de ( )u x, y a QR ):

( )( )∈ QhR u x, y R (2.13)

la cual está definida como un sistema { } 1

Qi il

=de Q funcionales lineales sobre el espacio H al que

( )u x, y pertenece, es decir , ( )( ) ( )1 2( ), ( ),..., ( )= ∈ Qh QR u x, y l u l u l u R .

Existen muchas formas de construir las restricciones, pero en el modelo presentado interesan la

clase de restricciones en base a los conceptos de elementos finitos y al hecho de que ( ),u x y será un

elemento dentro de los espacios de Hilbert de Sobolev ( )mH Ω (2.2.3).

Partiremos por consiguiente de que se cumple que ( ),u x y ∈ ( )mH Ω , y que será utilizado el

método de elementos finitos para construir un conjunto de Q funciones de interpolación global linealmente

independientes { }iαφ contenidas en ( )mH Ω , las que se representan por { }1 2, ,..., Qφ φ φ , de manera

que la interpolación se escribe como:

U ( ),x y = ( )1

,Q

ii

ia x yφ

=∑ (2.14)

Por ser linealmente independientes son la base de un subespacio de dimensión Q, que denotamos

por Sh ( )Ω ⊂ ( )mH Ω .

Además para cualquier función V en el espacio Sh ( )Ω ,V= ( )1

,Q

ii

ia x yφ

=∑ , tal y como se ha

analizado en (2.3.2) se puede considerar el operador prolongación definido por:


( ): ⎯⎯→ ΩQ m

hP HR (2.16)

3.2 MODELOS GEOMÉTRICOS DE E.F. BIDIMENSIONALES

El modelo de representación presentado, está basado en varios modelos siendo cinco los

objetivos planteados en la ejecución del mismo:

1. Análisis de un modelo geométrico de elementos finitos para Ω ⊂ nR . 2. Análisis de un modelo de Interpolación por elementos finitos que nos determinará una función

en un subespacio Sh ( )Ω de ( )mH Ω .

3. Un modelo de aproximación para la relación ( ), ,z u x y= a partir de los modelos de

elementos finitos de los apartados 1 y 2. 4. Para una ejecución del modelo se determinará una norma para el error, a posteriori, entre el

modelo considerado por elementos finitos =z U ( ),x y y la relación ( ),=z u x y

5. Generación de un algoritmo computacional que permita ejecutar los objetivos del modelo. La aproximación depende del refinamiento de la malla y por consiguiente del orden. Si localmente

se consideran un conjunto de “n” nodos son necesarias la generación de “n” funciones de interpolación local, las numeraciones de los nodos y sus relaciones.

Para un refinamiento de tamaño nd sean u ={ }1 2, ,....., ndu u u los valores que toma el modelo de

aproximación por elementos finitos en los nd nodos correspondientes. Se definirá una aplicación de

manera que a cada conjunto de valores u se le asocia una función en el espacio de Sobolev, ( )mH Ω :

( ): nd mF H→ ΩR / ( ) uF u f= (3.1)


De esta forma se genera una familia de funciones { }/ ndu uF f u R= ∈ , de la que se deberá de

elegir aquella que haga mínima una cierta función de error que dependerá de la muestra, pM , y que se

denota ( ):pm

ME H Ω → R .

El modelo de representación que se propone está definido por la composición:

( ): pnd m MEF Hϕ ⎯⎯→ Ω ⎯⎯⎯→R R (3.2)

3.3 MODELOS DE REPRESENTACIÓN BASADOS EN FAMILIAS DE E.F. BIDIMENSIONALES

Los modelos de elementos finitos que se proponen son los siguientes:

Se supone que la muestra pM de las variables x e y, tiene sus valores comprendidos en un cierto

intervalo cerrado [ ]2

1

,i ii

a b=∏ .

Es decir, siendo [ ] [ ]1 1 2 2, ,a b a bΩ = × , se realiza inicialmente una discretización de cada

intervalo en intervalos compactos que serán además elementos compatibles. Como ejemplo si se dividen

en dos, se obtienen cuatro elementos { }1 2 3 4, , ,e e e e . Al considerar este caso bidimensional, es posible

representarlo geométricamente,


Imagen 3.1 El esquema de numeración es el que se seguirá a lo largo de la tesis.

Imagen 3.2


Dado un intervalo genérico en el que se ha discretizado el dominio y que podemos representar

por [ ] [ ]1 2 1 2, ,eI x x y y= × , se consideran unas coordenadas locales de manera que se transforma en

el intervalo [ ] [ ]1,1 1,1I = − × − siendo s y t sus coordenadas locales.

Dicho cambio se puede realizar siempre a partir de las fórmulas:

( ) ( )1 1

2 1 2 1

2 21; 1

x x y ys t

x x y y− −

= − = −− −

(3.3)

MODELO DE REPRESENTACIÓN.

Para la construcción del modelo de representación se ha propuesto una familia de funciones de interpolación, ( capítulo 2 sección 2.3.2 ).

En este caso se tendrán 22 nodos y se considera una familia de 22 funciones de interpolación

local:

Nodos: 1 2 3 4( 1, 1), (1, 1), ( 1,1), (1,1)n n n n= − − = − = − =

Las funciones de Interpolación local, es decir, una familia de funciones usadas para la

aproximación que son generalmente de grado fijo en s y en t. La aproximación requiere que los polinomios sean seleccionados conjuntamente, en forma tal que la función resultante sea continua con primera o segunda derivada integrable o continua en la región global. En el caso de elementos rectangulares, como el nuestro, los polinomios de aproximación son del tipo:

( , ) = + + +i i i i iN s t a st b s c t d con 1,2,3,4i = donde las condiciones para su determinación son:


1 si ( )

0 si i j

i jN n

i j=⎧

= ⎨ ≠⎩ (3.4)

es decir para cada i se obtienen 4 ecuaciones (una para cada j) con 4 incógnitas, con las que se llega a las expresiones:

( )( )1 2

1( , ) 1 12

N s t s t= − − (3.5)

( )( ) ( )( )2 2 2

1 1( , ) 1 1 1 12 2

N s t s t s t−= + − = + − (3.6)

( )( ) ( )( )3 2 2

1 1( , ) 1 1 1 12 2

N s t s t s t−= − + = − + (3.7)

( )( )4 2

1( , ) 1 12

N s t s t= + + (3.8)

Nota: Para cada punto (s,t) , los iN (s,t), i = 1,2,3,4 , son números reales que, por comodidad,

denominaremos coeficientes de interpolación local correspondientes al mismo.

Esto conduce a las relaciones matriciales siguientes:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

21 2 3 4

1

2

, , , , ,

xx

x s t N s t N s t N s t N s txx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.9)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

11 2 3 4

2

2

, , , , ,

yy

y s t N s t N s t N s t N s tyy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.10)


o bien de la forma:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1

1 2 3 4 2

1 2 3 4 1

1

2

2

, , , , , 0 0 0 0, 0 0 0 0 , , , ,

xxx

x s t N s t N s t N s t N s t xy s t N s t N s t N s t N s t y

yyy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El modelo de interpolación por elementos finitos está definido por el valor que toma en los nodos de manera que en coordenadas locales para I:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 2 3 4, , , ( , ) , , , ,k k k kF x y F x s t y s t N s t u N s t u N s t u N s t u= = + + + (3.11)

siendo los índices 1 2 3, ,k k k y 4k los correspondientes, según la numeración global adoptada en la

discretización, a los nodos del elemento, ke , donde se halla ubicado el punto ( ),x y . Para establecer

una notación comprensible consideramos el conjunto de índices que numeran los nodos como

{ } ( )1, 2,3,...,= ∈ndi P .

Sea la aplicación:

( )( )( )( )( )

1

2

3

4

( ) ( )1 1

( ) ( )2 1( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4 1 2 1 2 ( ) ( )1 2

( ) ( )2 2

:

,

, ( , ) , , , /( , ) , , :

,

,

k

k

k kk

k kkk k k k

e k kk

k kk

n x y

n x yx y k k k k x y x x y y

n x y

n x y

Ω →

⎧ ⎫⎧ ⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤∈Ω = ×⎨ ⎨ ⎬⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪

=⎪ ⎪ ⎪⎪⎭⎩⎩ ⎭

i iP


Notaremos por { }1 2 3 4( , ) , , , /( , )k kx y k k k k x y e= ∈i dicho conjunto de cuatro índices.

Sea una tabla de datos experimentales, la cual se supone conocida y que además nos expresa

una muestra de la relación entre las variables x, y y la respuesta, z.

TABLA DE DATOS

x y z

(1)x (1)y (1)z

(2)x (2)y (2)z

( )px ( )py ( )pz

Tabla III.1

Vamos a considerar la función error o función objetivo definida por:

( )( )2

( ) ( ) ( )1

,p

i i ii

F x y z=

= −∑E (3.12)

Al expresar ( )4

( ) ( )1

, ( , )ji i j k

jF x y N s t u

=

= ∑ , ( ) ( )( , )j k i ik i x y∈ , siendo jku los valores

que toma la función F en los nodos, la expresión 3.12 en función de dichos valores se puede expresar como:


( ) ( )

2

4

1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

, ,..., ( , ), ( , )j

j

p

G j i i i i k ii j

k

u u u N s x y t x y u z= =

∈

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑E

i

(3.13)

Los valores { },nu n∈ i que minimizan la función error, están determinados mediante la

anulación de las derivadas parciales:

0,n

nu∂

= ∀ ∈∂

E i (3.14)

En lo sucesivo simplificaremos la expresión ( )( ) ( ) ( ) ( )( , ), ( , )j i i i iN s x y t x y mediante ( , )jN s t

4 4

( ) ( )1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , )

2 ( , ) ( , ) 0,j j

j j

p

j k i j k ii j jn

k kk ki i i ix y x y

N s t u z N s t u z nu= = =

∈ ∈

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − = ∀ ∈⎢ ⎥∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑i i

i

Lo que resulta equivalente a,

4 4

( ) ( )1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0,j j

j j

p

j k i j k ii j jn

k kk ki i i ix y x y

N s t u z N s t u z nu= = =

∈ ∈

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − = ∀ ∈⎢ ⎥∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑i i

i

Observamos que para cada n, los únicos sumandos que no necesariamente valen cero son

aquellos en los que ( ) ( )( , )j k i in k x y= ∈ i .


Dado que los p puntos están distribuidos, por pertenencia o asignación, de forma que

{ }( , ) /( , )k

k

p pE

M x y M x y= ∈ ∈Ω con 1

m

kk

p p=

=∑ donde m es el número de elementos de la

discretización, el sistema queda de la forma:

4

( ) ( )1 1

( ) ( )( , )

( , ) ( , ) ( , ) 0,j n

j

j k i j ki j

k k

k

i i

p

x y

N s t u z N s t n k n , k = 1,...,mδ= =

∈

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ − = ∀ ∈⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑i

i (3.15)

donde

( ) ( )

( ) ( )

1 si ( , )( , )

0 si ( , )k i i

k i i

n x yn k

n x yδ

∈⎧= ⎨ ∉⎩

ii

y ( )nj k es el índice de la numeración local (1,2,3 o 4) del nodo de índice global n que es vértice del

elemento ke .

De lo que resulta un sistema de nd ecuaciones lineales con nd incógnitas, denominado sistema

reticular (capítulo 2, sección 2.5.4), cuya matriz de sistema es simétrica por construcción.

3.4 COMPARACIÓN DE MODELOS 3.4.1 Estudio del error respecto de los datos iniciales

El cálculo del modelo de aproximación mediante la técnica de elementos finitos bidimensionales es un problema de resolución numérica donde el error del resultado se debe a inexactitudes propias del enunciado del problema y de los métodos empleados para la solución. El error sistemático de los datos de entrada resulta prácticamente inevitable, por lo que el estudio que realizaremos se centrará, en primer


lugar, en la evaluación del modelo obtenido sobre los propios datos iniciales para obtener un indicador, mediante distancias ponderadas, del grado de acercamiento de los resultados a los valores originales.

Dada la muestra inicial ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , / ( , )pi i i i i iM x y z z u x y= =

donde como ya se ha dicho

se supone conocida la relación ( , )z u x y= para p puntos, y se busca U ( ),x y , función definida

sobre un modelo de elementos finitos y que coincide con ( ),u x y en los nodos. Determinar el modelo

es pues obtener el valor de ( ),u x y en los nodos:

U ( )4

1( , ) , ( ( , ), ( , ))

jj kj

x y F x y N s x y t x y u=

= =∑ , ( , )j kk x y∈ i

Sea ( ){* * *( ) ( ) ( ) ( ), , /pi i i iM x y z z= = U }( ) ( )( , )i ix y el conjunto de puntos originales con

respuesta obtenida mediante el modelo de aproximación.

Sean (1) ( )( ,..., )pz z z= y * * *(1) ( )( ,..., )pz z z= los vectores respuesta según los datos iniciales

y según el modelo, respectivamente. Definición 3.1: Se define la función error del modelo respecto a los datos iniciales de la siguiente forma:

,0

* * *

: ( ) ( )

( , ) ( , )

c p p piniE

z z d z z z z

+× →

= −

R R R R R (3.16)

siendo *( , )d z z una distancia expresada mediante la norma *z z− de cuya definición obtendremos

distintos modos de estudiar la variación producida en la respuesta por el modelo respecto a los datos iniciales.


Las definiciones a las que hemos aludido son las siguientes y su denominación está basada en las distancias homónimas ya conocidas: Distancia sistemática de Manhatan ponderada:

*( ) ( )

* 1

p

i ii

z zz z

p=

−− =

∑ (3.17)

Distancia sistemática Euclídea ponderada:

( )2*( ) ( )

1*

p

i ii

z zz z

p=

−− =

∑ (3.18)

Distancia sistemática ponderada de Minkowski:

( )*( ) ( )

1* , 2

p rr i i

i

z zz z r

p=

−− = >

∑ (3.19)

Distancia sistemática de Chebychev:

* *

( ) ( )1,..., i ii pz z máx z z

=− = − (3.20)

El error del modelo sobre los datos iniciales es un parámetro más de información para el

investigador pero, como veremos, no ha de ser el único pues, como se ha comentado en otras ocasiones, el investigador debe disponer de la diversidad precisa pero suficiente para poder discernir sobre la fiabilidad de un modelo en comparación con otro.


Para concluir este capítulo y esta sección definiremos, según el punto 4 de los objetivos planteados en 3.2, una norma para el error, a posteriori, entre el modelo considerado por elementos

finitos =z U ( ),x y y la relación ( ),=z u x y .

3.4.2 Análisis de la estabilidad

Uno de los parámetros fundamentales que integran la diversidad a la que el investigador puede recurrir es el estudio de la estabilidad del modelo, es decir, el análisis de las variaciones que se producen en las respuestas cuando se perturban los datos iniciales.

Se considera, como siempre, la muestra ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , / ( , )pi i i i i iM x y z z u x y= = con la

que para una complejidad dada se obtiene el modelo de aproximación, U ( ),x y , mediante elementos

finitos bidimensionales.

Las variables x e y han sido observadas conjuntamente en un dominio Ω tal que

( )( ) ( ),i ix y ∈Ω con 1,...,i p= y la respuesta ( ) ( ) ( )( , )i i iz u x y= es conocida para 1,...,i p= ,

según la muestra original.

Definición 3.2: Dado el número real 0β > , llamamos perturbación de magnitud β por la derecha o

β + - perturbación a la aplicación:

:

β

π

β

+ →

+a a

R R (3.21)


Definición 3.3: Dado el número real β , 0β > , llamamos perturbación de magnitud β por la

izquierda o β − - perturbación a la aplicación:

:

β

π

β

− →

−a a

R R (3.22)

Definición 3.4: Dados los números reales a, b y β con 0β > y a b< llamamos intervalo β -

perturbado del intervalo [ , ]a b ⊂ R al intervalo ( ), ( )β β

π π− +⎡ ⎤⎣ ⎦a b .

Definición 3.5: Dados los números reales a y β con 0β > se llama valor perturbado de a de nivel β

a cualquier número real del intervalo { }( ), ( )β β

π π− +⎡ ⎤ −⎣ ⎦a a a .

Definición 3.6: Sea t una variable real que toma valores en un intervalo cerrado [ , ]a b y β un número

real tal que 0β > . Se llama valor perturbado de nivel β de cualquier valor que pueda tomar la variable

t, a cualquier número real del intervalo * *( ), ( )β β

π π− +⎡ ⎤⎣ ⎦t t donde:

* si ( )

( )( ) si ( )

β

ββ β

ππ

π π

−

−

− −

≤⎧⎪= ⎨ >⎪⎩

a t at

t t a ; *

si ( )( )

( ) si ( ) β

ββ β

ππ

π π

+

+

+ +

≥⎧⎪= ⎨ <⎪⎩

b t bt

t t b

Si 0t es un valor de la variable t en el intervalo cerrado [ , ]a b , se denota por

* *0 0 0( ) , ( )β

β βπ π− +⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦t t t el valor perturbado de 0t de nivel β .

Obviamente podemos hallar tantos valores perturbados de 0t como queramos pues en el

intervalo * *0 0( ), ( )

β βπ π− +⎡ ⎤⎣ ⎦t t se pueden considerar números reales con tantas cifras decimales como


se precise. Está claro que a menor precisión según el número de cifras decimales menor número de perturbaciones de un mismo valor y de un mismo nivel podremos obtener.

Suponiendo la aleatoriedad del valor perturbado dentro del intervalo y la ordenación de los valores

perturbados según se van calculando.

Definición 3.7: Sea 0t un valor de la variable t en el intervalo cerrado [ , ]a b , y n un número natural, se

llama n-vector perturbación de nivel β de 0t al vector ( )0 01 0,..., nt t tβ β β= en el que cada coordenada

es un valor perturbado de nivel β de 0t .

Sean los números naturales n y k, con k n≤ . Dado un n-vector perturbación de nivel β de 0t

se llama iteración k-ésima de la perturbación de nivel β del número real 0t respecto del n-vector

perturbación a la coordenada k-ésima de éste.

Definición 3.8: Sean ,n p∈ . Dada una muestra { }1,..., / [ , ] , 1,...,p iM t t t a b i p= ∈ ∀ = de p

valores de la variable t en el intervalo cerrado [ , ]a b se llama n-matriz perturbación de nivel β de la

muestra M a la siguiente matriz, de orden p n× :

11 12 1

21 22 2

1 2

β β β

β β ββ

β β β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

n

n

p p pn

t t tt t t

M

t t t

(3.23)

en la que fila i está formada por las coordenadas de un n-vector perturbación de nivel β del número

real ,1it i p≤ ≤ de la muestra M.


Sean , ,k n p∈ con k n≤ . Dada una n-matriz perturbación de nivel β de la muestra M se

llama iteración k-ésima de la perturbación de nivel β de la muestra M respecto de la n-matriz

perturbación, a la columna k-ésima de ésta, es decir:

{ }* *1 ,..., / ( ), ( ) , 1,...,β β β β

β βπ π− +⎡ ⎤= ∈ =⎣ ⎦k k pk ik ik ikM t t t t t i p (3.24)

Cuando en la muestra intervienen varias variables se obtienen tantas n-matrices de perturbación

como variables. Es decir , si la muestra es por ejemplo

( ){ }( ) ( ), [ , ] [ , ] / 1,...,pi iM x y a b c d i p= ∈Ω = × = (3.25)

entonces la muestra perturbada mediante la iteración k-ésima de la perturbación de nivel β de pM es

( ) ( ){ }( ) ( ), , 1,...,pi k i kk

M x y i pβ β β= ∈Ω = (3.26)

Sean

( )i kzβ = U ( )( ) ( ),i k i kx yβ β , 1,...,i p= (3.27)

las respuestas del modelo sobre la iteración k de la perturbación de nivel β de los datos iniciales.

Por otro lado tenemos las respuestas del modelo sobre los datos iniciales:


*( )iz =U ( )( ) ( ),i ix y , 1,...,i p= (3.28)

Así pues considerando los vectores respuesta * * *(1) ( )( ,..., )pz z z= y (1) ( )( ,..., )k k p kz z zβ β β= del

modelo sobre los datos iniciales y los perturbados en la iteración k de la perturbación de nivel β

respectivamente, se puede pasar a las siguientes definiciones:

Definición 3.9: Se define la función error de la iteración k-ésima de la perturbación de nivel β del

modelo U pM de la siguiente forma:

0

* * *

: ( ) ( )

( , ) ( , )

p pk

k k k

E

z z d z z z z

β

β β β

+× →

= −

R R R R R (3.29)

siendo *( , )kd z z β una distancia expresada mediante la norma *kz z β− de cuya definición, al igual

que en el error respecto de los datos iniciales, obtendremos distintos modos de estudiar la variación

producida en la respuesta por el modelo sobre los datos iniciales y los perturbados de nivel respecto β .

Las definiciones siguientes y su denominación están basadas en las distancias homónimas ya

conocidas:

Distancia kI P de Manhatan ponderada:

*( ) ( )

* 1

β

β =

−− =

∑p

i i ki

k

z zz z

p (3.30)


Distancia kI P Euclídea ponderada:

( )2*( ) ( )

1*

β

β =

−− =

∑p

i i ki

k

z zz z

p (3.31)

Distancia kI P ponderada de Minkowski:

( )*( ) ( )

1* , 2

β

β =

−− = >

∑p r

r i i ki

k

z zz z r

p (3.32)

Distancia kI P de Chebychev:

* *

( ) ( )1,...,

β β

=− = −k i i ki p

z z máx z z (3.33)

Con el fin de poder controlar la evolución del modelo según el nivel de la perturbación efectuado

sobre los datos iniciales procederemos a hacer una partición en subniveles de la siguiente forma:

Definición 3.10: Sean el número real 0β > y el número natural 1s > . Se considera el conjunto finito

de números reales { }0 1, ,..., sβ β β cumpliendo que:

0 10 sβ β β β≤ < < < =

Lo cual determina una partición del intervalo [ ]0,β en s partes de forma que:


[ ] { }11

0, , 0s

j jj

β β β−=

⎛ ⎞⎤ ⎤= ⎜ ⎟⎦ ⎦

⎝ ⎠∪ ∪ con , 1,...,j j j s

sββ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Entonces se dice que la perturbación de nivel β se ha dividido en s subniveles

1 20 sβ β β β< < < < = y que cada perturbación jβ es un subnivel de la perturbación de nivel

β .

La definición dada para la perturbación de magnitud β por la derecha y por la izquierda y

sucesivas , se trasladan de forma natural a la magnitud de subniveles jβ pues 0 β< j para cada

1,...,j s= .

Definición 3.11: Fijadas unas n-matrices de perturbación de cada variable de la muestra pM se define

el error de perturbación de subnivel jβ de la de nivel β , mediante n iteraciones, del modelo U pM

como el número real no negativo:

*

1

β

βε =

−=∑ j

j

n

kk

z z

n (3.34)

Observación: El hecho de que el error de la definición anterior esté supeditado a las n-matrices es simplemente por la necesidad de operatividad de los algoritmos que se utilizarán para su cálculo. En realidad lo que nos interesa es que en un mismo subnivel de perturbación podamos estudiar el comportamiento del modelo en distintas muestras perturbadas que hemos llamado iteraciones. El número de iteraciones (n) puede ser fijado a voluntad por el investigador con el fin de detectar posibles

saltos en el valor de los βε j .


Definición 3.12: En las condiciones de la definición 3.11 se define el error de perturbación de nivel β ,

sometido a los subniveles jβ ,con 1,...,j s= , del modelo U pM, como el número real no negativo:

1

js

j

s

β

β

εε ==

∑ (3.35)

Observación: De la misma forma la utilización de particiones más finas para la determinación del error de perturbación por subniveles nos ofrece información sobre la conducta del modelo ante las variaciones de perturbación ya sean éstas de mayor (particiones menos finas) o de menor (particiones más finas) norma particional.

La noción de estabilidad del modelo está relacionada con la variación de las respuestas z ante las perturbaciones de la muestra, es decir, la estabilidad del modelo depende del error que pueda provocar una determinada perturbación. Es claro que ante perturbaciones de pequeña magnitud la estabilidad del modelo puede ser ficticia, de ahí la variación por subniveles. Por otro lado el comportamiento en un determinado subnivel puede estar viciado por la perturbación ofreciendo un error que puede variar según la muestra perturbada y debido a ello hacemos las iteraciones. Todo ello nos lleva a elaborar las siguientes definiciones.

Definición 3.13: En las condiciones de las definiciones 3.11 y 3.12 se llama coeficiente de estabilidad

del modelo U pM, respecto a una perturbación de nivel β sometida a s subniveles (perturbación

[ β ,s]), al número real no negativo:

(ρ U pM) { }1 21,...,

/ 0jsj s

máx βε β β β β=

= < < < < = (3.36)


Definición 3.14: En las condiciones dadas en las definiciones 3.11 a 3.13, dado el número real positivo

α se dice que el modelo U pM es estable en relación al parámetro α o que es α -estable , respecto a

una perturbación [ β ,s], si (ρ U pM) < α

Observación: La magnitud del parámetro α debe ser determinada por el investigador en función de

criterios de comparación con otros parámetros. 3.4.3 Análisis de la suavidad de la representación

En el análisis de modelos estudiados cabe ensayar un nuevo parámetro que, como los demás, servirá al investigador para inferir adecuadamente según las características exigibles al mismo.

Dado el modelo ( ( , ), ( , ))pcM

x s t y s tU de complejidad ( , , )c e h v correspondiente a una

muestra pM de p puntos, se puede considerar la superficie de 3R asociada a la función

1 2 3 4

2

1 2 3 4

:

( ( , ), ( , )) N ( , ) N ( , ) N ( , ) N ( , )p

cM

k k k kx s t y s t s t u s t u s t u s t u

→

+ + +

R RU(3.37)

con ( ), , 1,.., 4∈ =ik x y ii

Dicha superficie es una función vectorial:

2 3:

( , ) ( , , ( , ))z

x y x y x yΩ⊂ →R RU

U

Γ (3.38)

que restringida al dominio del elemento k, kΩ , es la función vectorial:


2 3:

( , ) ( , , ( , ))k

k kE

z

x y x y x y

Ω ⊂ →R RU

U

Γ = Γ (3.39)

y mediante la representación o reparametrización (función diferenciable de jacobiano no nulo):

[ ] [ ] 2 2: 1,1 1,1 ( , ) ( , )

− × − ⊂ → Ω ⊂k k

s t x yR Rl

(3.40)

tal que al cuadrado cerrado[ ] [ ] 21,1 1,1− × − = Ι , le hace corresponder el rectángulo cerrado kΩ , se

obtiene la superficie:

[ ] [ ] 2 3: 1,1 1,1 ( , ) ( , , ( , ))

k k k

r

s t s t s t= − × − ⊂ →R R

U

γ Γ l (3.41)

correspondiente a la determinada por el elemento k, mediante elevación a z y que previa a la

representación o transformación a 2Ι , es parte de la superficie global de partida.

El plano kπ , tangente a la superficie kγ en un punto 0 0 0( , , )s t r de la misma, viene expresado

de la siguiente forma:

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )k r r s t s s s t t ts t

π ∂ ∂≡ − = − + −

∂ ∂U U (3.42)


donde el vector característico es 0 0 0 0( , ), ( , ), 1s t s ts t

∂ ∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠U U (3.43) ,el cual es normal a la

superficie en el punto 0 0 0( , , )s t r .

Por otro lado y puesto que la gráfica de una superficie no varía frente a una reparametrización,

dicho vector normal a kγ en 0 0 0( , , )s t r coincide con el vector normal a kΓ en 0 0 0( , , )x y z .

Consideremos ahora cuatro superficies kΓ , lΓ , mΓ , nΓ de la restricción de UΓ a los

respectivos dominios de los elementos ke , le , me , ne correspondientes a la discretización de Ω

según la complejidad c , y que, además, tienen un nodo interior común de numeración in (natural), con

coordenadas ( , , )i i in n nx y u como punto común a las cuatro superficies.

El ángulo que forman dos superficies iΓ y jΓ , igualmente orientadas, en un punto es el ángulo

que forman los vectores normales a éstas en dicho punto. El valor de éste ángulo oscila entre 0 y π

radianes y se denotará de la forma ( , )i jΓ Γ .

Es preciso pensar que un modelo idóneo es aquel que provoque superficies suaves o poco

abruptas (rugosas), entendiendo que la medida de esta suavidad debe realizarse en función de la discretización planteada y de la confluencia de superficies en un nodo interior.

Definición 3.15: Llamamos índice de suavidad de la superficie UΓ en el nodo interior de numeración

in , inIS , al siguiente valor comprendido entre 0 y 1:

{ }{ }

, , , , ,max ( , )

1π

∈ ≠= −i

i ji j k l m n i jnIS

Γ Γ (3.44)


Resulta fácil interpretar que un índice próximo a 0 nos muestra que las superficies presentan picos en los nodos de unión mientras que la proximidad a 1 indica todo lo contrario.

Definición 3.16: Se llama índice de rugosidad de la superficie UΓ en el nodo interior de numeración

in , inIr al siguiente valor comprendido entre 0 y 1:

1= −i in nIr IS (3.45)

Definición 3.17: Llamamos índice de suavidad global, ISG, de la superficie UΓ , al promedio de los

índices de suavidad de la superficie UΓ en los nodos interiores correspondientes a la discretización

según la complejidad c , es decir,

( 1)( 1)

1

( 1)( 1)

h v

ii

ISISG

h v

− −

==− −

∑ (3.46)

La relatividad de este índice ofrece una información global que, aunque suaviza los picos y pliega

los lisos, es efectiva en las proximidades de los extremos.

Definición 3.18: Se llama índice de rugosidad global, IrG, de la superficie UΓ al siguiente valor,

comprendido entre 0 y 1:

1IrG ISG= − (3.47)


Valor numérico

El cálculo de los índices de suavidad se reduce al cálculo de los vectores normales a cada una de las superficies en el punto correspondiente al nodo interior común. Por otro lado, como indicábamos al

principio, la superficie UΓ está asociada a la función 3.37, cuyas parciales en el nodo nos

proporcionarán una aproximación, en cada superficie, del vector normal a ésta en el punto relativo al nodo.

De 3.37 y 3.43 obtenemos las expresiones:

1 2 3 4

1 2 3 4

31 2 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0

31 2 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

∂∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

k k k k

k k k k

NU N N Ns t s t u s t u s t u s t us s s s s

NU N N Ns t s t u s t u s t u s t ut t t t t

(3.48)

que aportan las parciales que determinarán el vector normal a la superficie kγ en el punto 0 0 0( , , )s t r .

Sea N, la función vectorial de interpolación local ya utilizada en el cálculo del modelo :

[ ] [ ]( )

2 4

1 2 3 4

: 1,1 1,1

( , ) N ( , ), N ( , ), N ( , ), N ( , )s t s t s t s t s t

− × − ⊂ →N R R

con


( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1

2

3

4

1( , ) 1 141( , ) 1 141( , ) 1 141( , ) 1 14

N s t s t

N s t s t

N s t s t

N s t s t

= − −

= + −

= − +

= + +

entonces:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

3 3

4 4

1 11 14 41 11 14 4

1 1( , ) 1 14 41 11 14 4

N Nt s

s tN N t ss t

N Ns t t ss t

N N t ss s

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠

N (3.49)

y dado que el punto de la superficie donde se halla el vector normal proviene de un nodo, por elevación a

z, las coordenadas del punto 0 0( , )s t sólo pueden ser ( 1, 1), (1, 1), ( 1,1), (1,1)− − − − , con lo que:


( ) ( )

1 1 102 2 21 0 00

1, 1 ; 1,12 1 1( , ) ( , )1 2 202 1 00 0 2

s t s t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − = − =

∂ ∂ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

N N

( ) ( )

1 0 002 101 1 2

1, 1 ; 1, 12 2 1( , ) ( , ) 00 0 21 1 102 2 2

s t s t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟−∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = =

∂ ∂ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

N N

Considerando que la distribución de los elementos alrededor del nodo es la determinada por la discretización y aceptando que dicho orden es k, l, m , n se obtienen los siguientes vectores:


Vector normal a kγ en ( )1,1, (1,1)U

( )1 2 3 4

4 3 4 2

0 0 010 02

1 (1,1) (1,1) 1 1 0 021 1 02 20 0 1

12 2

nodok k k k

nodo nodok k k k

u u u us t

u u u u

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞− = =−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞− −−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

U U

(3.50)

Vector normal a lγ en ( )1,1, ( 1,1)− −U

( )1 2 3 4

4 3 3 1

10 02

0 0 01 1 ( 1,1) ( 1,1) 1 1 02 21 0 020 0 1

12 2

nodol l l l

nodo nodol l l l

u u u us t

u u u u

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞− − − = =−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞− −−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

U U

(3.51)


Vector normal a mγ en ( )1, 1, (1, 1)− −U

( )1 2 3 4

2 1 4 2

1 0 021 1 02 2

(1, 1) (1, 1) 1 1 0 0 010 02

0 0 1

12 2

nodom m m m

nodo nodom m m m

u u u us t

u u u u

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞− − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞− −−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

U U

(3.52)

Vector normal a nγ en ( )1, 1, ( 1, 1)− − − −U

( )1 2 3 4

3 12 1

1 1 02 21 0 02

( 1, 1) ( 1, 1) 1 1 10 02

0 0 00 0 1

12 2

nodon n n n

nodonodon nn n

u u u us t

u uu u

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞− − − − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞−−−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

U U

(3.53)


Imagen 3.3

No obstante y pensando en facilitar la extensión de esta técnica a más dimensiones es

conveniente buscar unos índices de fácil adaptabilidad ante el aumento de variables.

Para ello observemos que las aristas de unión de las superficies kΓ , lΓ , mΓ , nΓ son

segmentos que debidamente orientados nos ofrecen 4 vectores en el espacio dos de ellos coplanarios en un plano paralelo a uno coordenado y los otros dos también coplanarios pero en un plano perpendicular al anterior.

Sea 0 0 0( , , )x y z el punto del espacio tridimensional donde concurren las 4 superficies siendo

0 0( , )x y las coordenadas del nodo de índice 00n , proyección de dicho punto y 000 nz u= el valor del

modelo en dicho nodo. Consideremos ahora los siguientes nodos en la discretización del dominio dado:


01 01 01 01 00

02 02 02 02 00

03 03 03 03 00

04 04 04 04 00

( , ) / 1( , ) / 1( , ) / 1( , ) / 1

→ = − −→ = −→ = +→ = + +

n x y n n hn x y n nn x y n nn x y n n h

Si 0 jP es el punto de la superficie correspondiente al nodo 0 jn con 0,1,2,3,4j = los vectores

que se constituyen son :

00 01P P , 00 02P P , 00 03P P , 00 04P P

siendo los ángulos buscados

( )00

100 01 00 04,n P P P PΑ y ( )00

200 02 00 03,n P P P PΑ .

Definición 3.19: Llamamos índice simple de suavidad de la superficie UΓ en el nodo interior de

numeración in , inISS , al siguiente valor comprendido entre 0 y 1:

{ }1 2nd nd(A ,A )

1π

= −in

máxISS (3.54)

Definición 3.20: Llamamos índice simple de rugosidad de la superficie UΓ en el nodo interior de

numeración in , inISr , al siguiente valor comprendido entre 0 y 1:

1= −i in nISr ISS (3.55)


Definición 3.21: Llamamos índice simple de suavidad global, ISSG de la superficie UΓ al promedio de

los índices simples de suavidad de la superficie UΓ en los nodos interiores correspondientes a la

discretización según la complejidad c , es decir,

( 1)( 1)

1

( 1)( 1)

h v

ii

ISSISSG

h v

− −

==− −

∑ (3.56)

Definición 3.22: Llamamos índice simple de rugosidad global, ISrG de la superficie UΓ al siguiente

valor comprendido entre 0 y 1:

1ISrG ISSG= − (3.57)

Observación: Las consideraciones sobre los índices simples son las mismas que las de los completos. Por otro lado los índices simples no tienen sentido en los vértices de la frontera del domino global, aunque se podría calcular un solo ángulo en los puntos correspondientes a nodos laterales de la frontera global. Lógicamente los índices simples facilitan su generalización ante la ampliación de la dimensión de la técnica de elementos finitos. Valor numérico Vamos a determinar las coordenadas de los vectores constituidos en las definiciones anteriores:

0000 00 00( , , )nP x y u , 0101 01 01( , , )nP x y u ,

0202 02 02( , , )nP x y u , 0303 03 03( , , )nP x y u ,

0404 04 04( , , )nP x y u

( )01 0000 01 01 000, , n nP P y y u u= − − , ( )04 0000 04 04 000, , n nP P y y u u= − −

( )02 0000 02 02 00 ,0, n nP P x x u u= − − , ( )03 0000 03 03 00 ,0, n nP P x x u u= − −


3.4.4 Análisis de conglomerados jerárquico

Tal y como se explicó en el capítulo 2 el análisis de conglomerados jerárquico es una herramienta importante en el estudio de similaridades de los modelos obtenidos respecto de una misma muestra de datos y distintas complejidades. El objetivo de este instrumento es detectar las posibles asociaciones entre los distintos modelos para que junto con otros parámetros el investigador pueda discernir lo aparente y lo real.

Sea, como siempre, una nuestra ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , / ( , )pi i i i i iM x y z z u x y= = donde se supone

conocida la relación ( , )z u x y= para p puntos, y se busca U ( ),x y , función definida sobre un

modelo de elementos finitos y que coincide con ( ),u x y en los nodos de una discretización de

complejidad c del dominio Ω .

Supongamos calculado el modelo de complejidad c que por comodidad expresaremos de la

forma U pcM

, con lo que para las complejidades 1,..., sc c se tiene la familia de modelos para una misma

muestra :

{=pMF U }/ 1,..., ( )j

pc pM

j s M= ∪PR (3.58)

donde ( )pMPR es el plano de regresión de z sobre (x,y) respecto a los datos originales.

Para proceder al análisis de conglomerados jerárquicos de la familia de modelos necesitamos

crear una tabla de objetos y variables.


Los objetos o casos vienen dados mediante los modelos de la familia pMF .

Consideremos ahora la muestra { }* * *( , ) , 1,...,ki iM x y i k= ∈Ω = de k puntos aleatorios del

dominio de discretización y sea *ijz = U * *( , )j

pc

i iMx y con 1,..., ; 0,1,...,i k j s= =

Por comodidad llamaremos:

Modelo de complejidad 0c al plano de regresión y Modelo j al de complejidad 0jc ≠

Las variables son por tanto para cada modelo j * *1 ,...,j kjz z con 0,1,...,j s=

La tabla quedaría de la siguiente forma:

* * * *1 2 3* * * *10 20 30 0* * * *11 21 31 1* * * *12 22 32 2

* * * *1 2 3

/ 0 1 2

s

k

k

k

k

s s s ks

Mod var z z z zModelo z z z zModelo z z z zModelo z z z z

Modelo z z z z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.59)

Con esta tabla que puede estar en formato .xls de excel se inicia el análisis de conglomerados calculando la matriz de distancias entre modelos de forma que usando una de las distancias definidas en el capítulo 2, por ejemplo la euclídea, resultaría:

( )1 2

2* *1 2

1( , )

=

= −∑k

ij iji

d Modj Modj z z (3.60)

A partir de la matriz de distancias ya se procedería con el estudio realizado en el capítulo 2.


3.4.5 Error del modelo de representación

La efectividad del modelo de representación ha de ser medida mediante parámetros inherentes al mismo es decir que en su determinación intervenga la muestra inicial o el valor de u en los nodos. Las muestras perturbadas de la original no pueden considerarse inherentes al modelo aunque sean necesarias para determinar la estabilidad del mismo. De este modo el error respecto de los datos iniciales y la rugosidad del modelo son los parámetros adecuados para ofrecer una medida del error del modelo de representación.

Consideremos el espacio vectorial ( )2R R en el que se definen las siguientes normas: Norma de Manhatan ponderada:

( )2( , ) , ( , )2

x yv x y v x y

+= ∀ ∈R R (3.61)

Norma Euclídea ponderada:

( )2 2

2( , ) , ( , )2

x yv x y v x y

+= ∀ ∈R R (3.62)

Norma ponderada de Minkowski:

( )2( , ) , 2, ( , )2

r rr x yv x y r v x y

+= > ∀ ∈R R (3.63)

Sea la aplicación:

( ) ( )( )( )

1 2

, *

: ,

( , ),pc c p

iniM

H

E z z IrG

μ Ω → R R

U (3.64)


que a cada modelo le asocia el par formado por el error del modelo respecto de los datos iniciales y el índice de rugosidad global. Definición 3.23: Se define el error del modelo de representación, mediante la técnica de elementos

finitos bidimensionales, obtenido mediante la muestra pM y la discretización c de la clausura del

dominio Ω como la siguiente aplicación:

( )( )

10:

p

p p

cM

c cM M

E H

Uμ

+Ω → R

U (3.65)

donde la norma puede ser cualquiera de las definidas anteriormente.


4. ESTRUCTURA ALGORÍTMICA DEL MODELO DE REPRESENTACIÓN

4.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se procede a explicar la estructura algorítmica del programa y su funcionamiento

así como todos los elementos utilizados para la obtención del modelo basado en técnicas de elementos finitos bidimensionales.

El software implementado está dividido en tres módulos principales:

I. Entrada, visualización, verificación y evaluación de datos. II. Obtención del modelo y emisión de informes. III. Parámetros de análisis de los distintos modelos obtenidos.

La relación entre los tres módulos está jerarquizada de forma que es necesaria la entrada de datos

para poder obtener el modelo y a su vez se precisa haber obtenido varios modelos para comparar los parámetros de análisis a utilizar. Sin embargo el módulo III , una vez obtenidos distintos modelos referidos a datos distintos, puede ejecutarse independientemente de la entrada de nuevos datos y analizar todos los modelos generados.

Se pretende, pues, en este capítulo desglosar cada módulo mediante el análisis de sus

aplicaciones y el estudio de los procedimientos que potencian su funcionamiento. Para ello cada módulo está dividido en unidades algorítmicas compuestas por múltiples procedimientos de interdependencia jerarquizada según la estructura del manipulador simbólico de object Pascal Delphi 6.0. La elección de este manipulador simbólico no obedece a ninguna estrategia de economía de memoria, de rapidez de ejecución o de exactitud en los cálculos, que por otro lado es similar a la de otros manipuladores , sino que se debe al manejo previo del autor con programación en Pascal y Turbo Pascal así como la disponibilidad en el Departamento de Matemática Aplicada de la Licencia de este producto y sobre todo


su fácil gestión a través de un entorno visual que permite comprobaciones de forma prácticamente inmediata.

En cuanto al nombre del programa, Finit Trap 2D, se ha pretendido manejar tanto el concepto

analítico-geométrico utilizado como la estrategia en la búsqueda de resultados y conjugarlos con una palabra que tiene doble sentido en inglés, trap. Por un lado podría traducirse como reticulado finito 2D que hace referencia a la técnica de elementos finitos bidimensionales y al modelo geométrico obtenido y por otro como el desafío finito 2D, que alude al análisis de modelos y las posibles conclusiones que de ello se derive. En todo caso el término final 2D deja el camino preparado para el paso a 3D y sucesivos aumentos de dimensión.

4.2 ESTRUCTURA BASE. BARRA PRINCIPAL DE TRABAJO

A continuación podemos observar la barra principal de trabajo en la que están inmersos los tres módulos principales y desde donde se accede al entorno visual de cualquier procedimiento o resultado del mismo, mediante los menús desplegables de la parte superior de la barra o mediante los botones de la parte inferior.

También se muestra la secuencia principal de procedimientos de la estructura algorítmica del programa, dividida según los módulos donde se utilicen, y el esquema del proceso algorítmico que nos ofrece una visión global y de seguimiento más cómoda.

Unidad 1: Barra principal de trabajo

Imagen 4.1


{Módulo I} procedure Ventana_evve(Sender: TObject); procedure Entrada_datos(Sender: TObject); procedure Creacion_dir_trabajo(Sender: TObject); procedure Visionverificacion_datos(Sender: TObject); procedure Cambios(Sender: TObject); procedure Grafica_datos(Sender: TObject); procedure Posicion_puntos_graf(Sender: TObject); procedure Vernum_elementos_graf(Sender: TObject); procedure Vernum_nodos_graf(Sender: TObject); procedure Emision_IG(Sender: TObject); procedure Calculo_PlanoRegr(Sender: TObject); procedure Evaluacion_datos(Sender: TObject); procedure Matrices_conexion_ev(Sender: TObject); procedure Matrices_neutralización_ev(Sender: TObject); procedure Deteccion_conflictos_ev(Sender: TObject); procedure Reestructuracion_datos_ev(Sender: TObject); {Módulo II} procedure Distribucion_calculos(Sender: TObject); procedure Matriz_sistema(Sender: TObject); procedure Resolucion_sistema(Sender: TObject); procedure Matriz_modelo(Sender: TObject); procedure Emisionguarda_IP(Sender: TObject); procedure Generacion_tablaAC(Sender: TObject); procedure Generacion_puntosarbitr_AC(Sender: TObject); procedure Modelo_eval_puntos_AC(Sender: TObject); procedure Envio_excel_paraSPSS_AC(Sender: TObject);

{Módulo III} procedure Analisis_Estabilidad(Sender: TObject); procedure Entrada_datos_estab(Sender: TObject); procedure Perturbación_datos_estab(Sender: TObject); procedure Modelo_eval_puntos_estab(Sender: TObject); procedure Error_perturbacion_estab(Sender: TObject); procedure Coef_estab(Sender: TObject); procedure Graf_pert_error_estab(Sender: TObject); procedure Analisis_Suavidad(Sender: TObject); procedure Entrada_datos_suav(Sender: TObject); procedure Angulomax_nodoint_suav(Sender: TObject); procedure Coef_suav(Sender: TObject); procedure Graf_circ_nodos_suav(Sender: TObject);


ESQUEMA DEL PROCESO ALGORÍTMICO

Muestra pM , dominio Ω Discretización de complejidad ( , , )c e h v

¿Hay puntos de conflicto?

Reestructuración de datos

Sí

Módulo II: Obtención del modelo y emisión de informes

No

Módulo I: Entrada, visualización, verificación y evaluación de datos

Modelo ( )1 2 ( 1)( 1), ,..., h vu u u + + Informe Particular Tabla para análisis cluster

Módulo III: Parámetros de análisis

Error Estabilidad Suavidad

¿Nuevo modelo?

Cambio de complejidad

Sí

No

Informe General

SPSS

Informe AC

Fin


4.3 MÓDULO I: ENTRADA, VISUALIZACIÓN, VERIFICACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS DATOS

El formato del soporte de los datos de entrada puede ser en texto ascii (.txt) texto word (.rtf) y en tabla excel (.xls). Uno de los primeros pasos del programa es, claramente, la lectura del fichero que contiene los datos con los que vamos a construir el modelo.

En primer lugar iniciamos el proceso mediante la apertura de la ventana de entrada, visualización,

verificación y evaluación de datos. Se accede a ésta mediante el menú archivo (pulsando ‘nuevo’ ) o bien mediante la barra de botones con el primer botón (folio en blanco) y a continuación procedemos a la lectura de datos , a través del menú o mediante el botón con el icono de unas gafas, seleccionando el fichero que nos ha proporcionado el investigador.

La ventana de entrada de datos queda de la siguiente forma:

4.3.1 Ventana objeto del módulo I

Unidad 2: Ventana de entrada, visualización, verificación y evaluación de datos.

Imagen 4.2


Observación: El fichero de datos dado en formato de texto debe situar los datos en tres columnas separadas por un espacio. Al final de cada fila debe haber un espacio y un “punto y coma”. En principio basta con estas normas para poder leer el fichero si en éste sólo constan los datos en el mismo, pero si el fichero además de los datos contiene comentarios, imágenes u otro tipo de información, deberá aparecer en la línea anterior a la primera fila de datos la expresión @datosini y, en la línea inmediatamente posterior a la última fila de datos, la notación @datosfin. La información sobre el número de datos (número de filas ) no es necesaria pues lógicamente el programa lo calcula. Además, según se explicará más adelante, una vez leídos los datos se ha generado un informe general desde el que se podrán leer los mismos. También, después del cálculo del modelo, se emite un informe particular desde el que también podremos acceder a los datos originales.

Los datos leídos quedan registrados en una tabla, de tres columnas (x,y,z), donde éstos pueden verificarse o modificarse según las necesidades. Cualquier variación queda reflejada, mediante el botón de conexión puntos-malla, en el sector de la derecha donde consta la información sobre número de datos, rango de los mismos y la ventana gráfica del modelo geométrico indicando situación de la proyección de

los puntos en el rectángulo Ω , determinado según el rango de los datos o especificado por el investigador.

Para empezar a calcular el primer modelo debe elegirse la complejidad del mismo que como

sabemos viene determinada por el vector ( , , )c e h v , cuyas coordenadas indican el número total de

elementos (e), el número de elementos horizontales ( h ) y el número de elementos verticales (v ).

En el ejemplo de la figura se han registrado 108 puntos de la superficie 2z xy x= + mediante el

fichero surface108.txt, para calcular un modelo de complejidad (9,3,3), es decir, una discretización de 9

elementos y 16 nodos sobre el dominio cerrado Ω = [0,6]x[0,6].

Nota: Las primeras investigaciones, en el campo algorítmico, sobre modelización de sistemas

complejos basados en técnicas de elementos finitos bidimensionales se realizaron con una muestra de


36 puntos de la superficie anterior, contenidos en el mismo dominio cerrado para el cálculo de un

modelo de complejidad (4,2,2) , y distribuidos de tres formas distintas:

1) Cada elemento contenía 9 puntos interiores sin ninguna pauta concreta en cuanto al

reparto en el dominio del elemento.

2) Cada elemento contenía 9 puntos interiores repartidos con proximidad a los nodos.

3) Cada elemento contenía 9 puntos interiores repartidos aleatoriamente en cada dominio.

Todas las pruebas se hicieron en formato excel mediante tablas interrelacionadas y

determinadas funciones obteniendo resultados que, aunque lejos los logros actuales, fueron la base

del desarrollo algorítmico posterior.

En la ventana gráfica se visualizan los elementos, los nodos y la distribución de las proyecciones de los puntos respecto de éstos. También se visualiza la numeración de elementos, de nodos o de elementos y nodos.

4.3.2 Matrices de conexión

La elección de la complejidad conlleva la creación automática de 6 tablas en la unidad 11 (matrices

de conexión) y 3 tablas en la unidad 18 (matrices para la neutralización):

En la unidad 11:

1. Matriz de elementos-nodos: matriz e×4 que tiene por entradas en la fila j la numeración de

los nodos correspondientes al elemento j. 2. Matriz de elementos-rangos: matriz e×4 que tiene por entradas en la fila j , columnas 1 y 2,

el rango de abscisas del elemento y en las columnas 3 y 4 el rango de ordenadas.


3. Matriz de nodos adyacentes: matriz nd×4 (con nd= (h+1) × (v+1), es decir nd es el

número de nodos ) que tiene por entradas en la fila j la numeración de los nodos adyacentes al nodo j en el orden abajo, izquierda, derecha y arriba, por ejemplo, en la imagen 4.2 , observamos el nodo 7 cuyos nodos adyacentes son el 3 (abajo), el 6 (izquierda), el 8 (derecha) y el 11 (arriba). Si en algún caso no hay nodo adyacente se expresa mediante un cero, por ejemplo, al nodo 9 le corresponden los nodos adyacentes 5, 0, 10, 13.

4. Matriz de nodos-coordenadas: matriz nd×4 que tiene por entradas en la fila j , columnas 1 y

2, las coordenadas del nodo j según la discretización del dominio cerrado Ω mediante la

complejidad c y en las columnas 3 y 4 las coordenadas de los pixels del nodo j en la

ventana gráfica.

5. Matriz de distancias nodos-puntos: matriz pxnd (p es el número de puntos) que tiene por entradas en la fila j las distancias del punto j a cada nodo. Esta matriz nos permite calcular posteriormente, para cada nodo, la recta de regresión de los valores z de los datos respecto de las distancias de las proyecciones (al plano xy) de los puntos al nodo dado, (véase capítulo 2, sección 2.5.4: Resolución de sistemas reticulares).

6. Matriz elementos-nº de puntos: matriz e×1 que tiene por entrada en la fila j el número de

puntos interiores al elemento j.

Estas matrices se pueden visualizar mediante tablas en la pantalla de matrices de conexión del

menú ver (imagen 4.3)


Unidad 11: Matrices de conexión o relación

Imagen 4.3 4.3.3 Matrices para la neutralización En la unidad 18:

1. Matriz de valores por regresión: matriz nd×2 que tiene por entrada en la fila j, columna 1 el

valor de ju inferido mediante la recta de regresión de z sobre las distancias de los puntos al

nodo j, (véase capítulo 2, sección 2.5.4: Resolución de sistemas reticulares) y en la columna 2, el coeficiente de regresión.

2. Matriz de coeficientes de rigidización: matriz nd×nd que tiene por entradas en la fila j los

coeficientes de sustitución por rigidización en el sistema acumulado final (véase capítulo 2, sección 2.5.4: Resolución de sistemas reticulares).


3. Matriz de primeros coeficientes no nulos: matriz nd×1 que tiene por entrada en la fila j el lugar que ocupa el primer coeficiente no nulo de la fila j de la matriz anterior , dato que se utilizará en la resolución del sistema acumulado final (véase capítulo 2, sección 2.5.4: Resolución de sistemas reticulares).

Para poderlas visualizar basta acceder a la ventana de matrices de neutralización del menú ver

(imagen 4.4). Observación: El resultado final de esta ventana ha pasado por un ajuste visual de las tablas previas que originalmente eran 5. La primera consistía en una tabla estadística para cada nodo tanto para las z como para las distancias, en la segunda teníamos los estadísticos derivados de la tabla anterior necesarios para el cálculo de cada recta de regresión y en la tercera se iba plasmando el valor estimado de z en cada nodo mediante la recta de regresión obtenida y los respectivos coeficientes de correlación. De estas tres tablas sólo se muestra la tercera. Las otras dos tablas son las de coeficientes.

Unidad 18: Matrices para la neutralización

Imagen 4.4


Independientemente de la complejidad elegida para la obtención del modelo, sólo con la lectura de

datos, se inician tres procesos:

Proceso1:

Creación del directorio donde se almacenarán todos los informes, tanto el general como los particulares de cada modelo obtenido. También se almacenarán las imágenes en formato BMP que se puedan crear en las distintas fases de la investigación.

En este proceso, que se ejecuta en la unidad 1, el nombre del directorio está formado por el

nombre del fichero de datos seguido de la fecha y hora en la que se ha iniciado el proceso. Proceso 2:

Cálculo del plano de regresión de z sobre (x,y). Proceso3:

Emisión del informe general donde consta:

Nombre y trayectoria del fichero de datos. Fecha y hora del inicio del proceso. Información sobre los datos del fichero. Estudio de los modelos (en este punto sólo muestra la ecuación del plano de

regresión que consta como modelo 0, posteriormente se añadirán los resultados de cada modelo estudiado)

(visualización rápida: botón )


4.3.4 Plano de regresión de z sobre (x,y)

Unidad 26: Plano de regresión de z sobre (x,y)

Imagen 4.5 4.3.5 Informe general

Unidad 3: Informe general

Imagen 4.6


4.3.5 Reestructuración de datos Los pasos seguidos hasta el momento nos conducen directamente al segundo módulo salvo que se dé la circunstancia de que algún punto se halle en la frontera(nn) o en un nodo (véanse las claves de referencia a la imagen 4.8). Por ejemplo si accedemos al fichero lotus6lt.txt en el que tenemos 200 datos sobre la hoja de la población Lotus Glaber (variedad “Azul”), indicando cada dato: ancho (x), largo (y) y área (z) de una hoja, observamos el cambio de la ventana de lectura y visualización de datos, para una misma complejidad (9,3,3):

Imagen 4.7 La tabla de datos ya no es la original (aunque sí lo es en parte) por eso en el rótulo de identificación pone “datos reestructurados” que en síntesis consiste en realizar las siguientes transformaciones:


Si un punto está en la frontera de un solo elemento (frontera lateral, recordemos que cuando hablamos de frontera no incluimos los nodos) entonces se asigna el punto a dicho elemento como si el punto fuera interior al mismo.

Si un punto está en la frontera de dos elementos (frontera interior) entonces se añade otro

punto con las mismas coordenadas (x,y) y se reparte la z en dos partes iguales (la mitad para cada punto), de forma que el punto (x,y,z) original se transforma en (x,y,z/2) y se asigna a uno de los dos elementos que confluyen en la frontera de conflicto. Cuando se habla de asignación de un punto a un elemento se entiende referido a su proyección en el plano xy. Como la z del punto se ha reducido a la mitad se añade otro punto idéntico al anterior con el mismo valor de z (la mitad del original) y se asigna al otro elemento. De esta forma se reparte la influencia del punto por igual entre los dos elementos.

Si un punto está en un nodo-vértice se asigna al elemento que contiene a dicho vértice.

Si un punto está en un nodo lateral se procede como en el caso de la frontera de dos elementos.

Si un punto está en un nodo interior, está en el vértice de cuatro elementos por lo que

siguiendo la metodología anterior debe repartir su influencia entre los cuatro. Por lo tanto el punto (x,y,z) se transforma en (x,y,z/4) y se asigna a uno de los cuatro elementos. Se añaden tres puntos iguales al primero transformado y cada uno se asigna a un elemento, cubriendo de esta forma los tres restantes elementos.

Si un punto está en el interior de un elemento se asigna a dicho elemento.


Imagen 4.8

De esta forma en la tabla de “datos reestructurados” aparece en primer lugar los originales y

después los añadidos. En los títulos de las filas de la tabla de datos se expresa el tipo de punto mediante las siguientes claves:

P[m]int. : indica que el punto número m de la tabla original es interior a un elemento. P[m]fr(nn): indica que el punto está en la frontera (y no es nodo) de un solo elemento. P[m.0]fr(nn)1: indica que el punto está en la frontera de dos elementos. El 0 significa que se corresponde con el original (aunque la z queda reducida a la mitad) y el 1 quiere decir que se va a añadir un punto exactamente igual salvo en la asignación de elemento. P[m.1]fr(nn): indica que el punto es el añadido en el caso anterior. P[m.0]nd[r]: indica que el punto está en un nodo (si es vértice r = 0, si es lateral r = 1 y si es interior r = 3) y hay que añadir r puntos de la forma (x, y, zorig/(1+r)). P[m.r]nd: indica que es el r-ésimo punto añadido en el caso anterior.


En la cuarta columna de la tabla de reestructuración se halla el elemento asignado. Tanto la clasificación de puntos anterior como la asignación de cada uno de éstos al correspondiente elemento son necesarios para la obtención del modelo y se han obtenido mediante los siguientes pasos previos:

Paso 1: Identificación y clasificación de los puntos de conflicto:

Unidad 9: Puntos de conflicto

Imagen 4.9

Después de establecer la complejidad de un modelo puede haber datos que se hayan convertido en conflictivos. Esto sucede cuando la abscisa de punto o la ordenada o ambas coinciden con las de un nodo.

En este supuesto la unidad 2 los detecta e identifica para a continuación enviar los datos a la unidad 9 donde se clasifican y se reorganizan.


En la imagen 4.8 vemos un ejemplo en el que se han introducido 10 datos para que, con una

complejidad (16,4,4) en un dominio Ω = [0,2] × [0,2], aparezcan 4 puntos en nodos, 5 en frontera (distintos de nodos) y 1 punto interior. Una vez introducidos los datos, mediante lectura de un fichero o manualmente, la unidad 2 ha identificado los puntos distinguiendo entre nodos, frontera o interior. Esta información es remitida a la unidad 9 donde queda registrada en la tabla de la izquierda., de forma que sólo aparecen puntos en nodos o frontera , los interiores no aparecen. Si el punto está en un nodo sólo consta la abscisa (se sabe que la ordenada coincide también).

A continuación se discierne el tipo de nodo o de frontera y se organiza en la tabla de la derecha, en la que primero aparecen los puntos originales en el mismo orden que tenían y después los añadidos en grupos con el mismo orden que los puntos. Paso 2: Asignación y distribución de elementos.

Partiendo de la idea de que ahora hay que asignar a cada punto un elemento y que cuando a un mismo punto, por ser nodo o frontera, le corresponden varios elementos no importa el orden de asignación, parece lógico seguir un procedimiento de asociación de nodos-elementos y otro de fronteras-elementos.

Resulta más sencillo asociar a cada nodo los elementos comunes pues para ello basta con recurrir a la matriz de elementos-nodos y convertirla en matriz de nodos-elementos sin más que recorrer la primera asociando al número de un nodo los números de las filas de los elementos en los que aparece, añadiendo ceros, cuando no se encuentren más elementos, hasta completar cuatro posiciones. Esta nueva tabla la encontramos en la unidad 10.

La unidad 9 utiliza la tabla de nodos-elementos de la unidad 10 para completar la tabla derecha, donde en la columna 4ª se describe el tipo de punto conflictivo, en la 5ª el número del nodo (si es frontera aparece el número del nodo previo ya sea vertical (abajo) u horizontal (izquierda)). En las cuatro columnas siguientes encontramos los elementos asociados a dicho nodo según la tabla de la unidad 10.


El resto consiste en distribuir las asignaciones de elementos entre los puntos originales y los añadidos. El resultado queda plasmado en la tabla izquierda de la unidad 10 la cual se envía a la unidad

2 donde se registra en la tabla de “datos reestructurados”.

Unidad 10: Asignación y distribución de elementos

Imagen 4.10


4.4 Módulo II: Obtención del modelo y emisión de informes

4.4.1 Centro de cálculo

Una vez determinada la complejidad para la obtención del modelo podemos proceder a calcular

los iu .

Para ello en la barra principal de trabajo pulsamos el botón con lo que accedemos a la unidad 5, de distribución de cálculo y visualización de resultados.

Unidad 5: Distribución de cálculo y visualización de Resultados

Imagen 4.11

Cuando presionamos el botón de cálculo la unidad 5 envía la complejidad y el rango global

correspondiente al dominio Ω a la unidad 7 (en el caso de que haya habido reestructuración de datos) o a la unidad 12 (en caso contrario).


El entorno visual de las unidades 7 y 12 es idéntico pues los procedimientos de cálculo son los mismos solo que la unidad 7 procesará más puntos debido a los añadidos en la reestructuración. Para no tener que hacer referencia cada vez a ambas unidades les impondremos una denominación común: Unidad de cálculo de la matriz del sistema, abreviadamente, UCMS.

Unidades 7 y 12: Unidad de cálculo de la matriz del sistema

Imagen 4.12 La unidad 5 acciona el procedimiento para el cálculo de la matriz del sistema de ecuaciones resultante para la minimización de la función error definida en el capítulo 3 sección 3.3 .Este procedimiento actúa de la siguiente forma .


4.4.2 Proceso de cálculo de la solución del sistema

Para cada fila de la tabla de datos:

1. Utilización y , en su caso, estandarización de las coordenadas globales (x,y) (también se usa z).

2. Cálculo del número del elemento donde está ubicado (x,y) (entenderemos por ubicado tanto

el hecho de que el punto sea interior al elemento, como que a dicho punto se le haya

asignado ese elemento por estar en un nodo o en la frontera), rango 0 1 0 1[ , ] [ , ]x x y y× del

elemento (unidad 11) y numeración 1 2 3 4, , ,n n n n , de los nodos del elemento (unidad 11).

3. Obtención de las coordenadas (s,t) locales en el dominio [-1,1] × [-1,1].

0 0

1 0 1 0

2 1 ; 2 1x x y ys tx x y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Cálculo de los coeficientes de interpolación local correspondientes a (s,t).

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 1

2 2

3 3

4 4

1( , ) 1 141( , ) 1 141( , ) 1 141( , ) 1 14

N s t s t N

N s t s t N

N s t s t N

N s t s t N

= − − =

= + − =

= − + =

= + + =

5. Construcción de la matriz de orden 4×5 del elemento en el punto dado.


( )

1 1 1 2 1 3 1 4 11

2 1 2 2 2 3 2 4 221 2 3 4

3 1 3 2 3 3 3 4 33

4 1 4 2 4 3 4 4 44

N N N N N N N N zNNN N N N N N N N zNN

N N N N zN N N N N N N N zNNN N N N N N N N zNN

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6. Acumulación de la matriz anterior a la matriz resultante [nd× (nd+1)] en las posiciones (fila,

columna) que indica la matriz siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1 3 1 4 1

2 1 2 2 2 3 2 4 2

3 1 3 2 3 3 3 4 3

4 1 4 2 4 3 4 4 4

, , , , , 1, , , , , 1, , , , , 1, , , , , 1

d

d

d

d

n n n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n n n n n n n n n

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

donde los números naturales 1 2 3 4, , ,n n n n corresponden como hemos visto en 2 a la

numeración de los nodos del elemento activo en el orden especificado en la construcción del modelo geométrico mediante la discretización del dominio global..

Si un elemento posee más de un punto se calcula la matriz del elemento en el primer

punto y se acumula a la global en las posiciones que le correspondan. En los siguientes puntos (del mismo elemento) las nuevas matrices que surjan se acumularán en la matriz resultante en las mismas posiciones que lo hizo la primera de ellas.

En la imagen 4.12 se observa el resultado después de que el procedimiento haya actuado sobre los 108 puntos del fichero surface108.txt

Después de haber pasado por todos los puntos, la matriz resultante es la matriz final del sistema, que se resuelve, por el método de Gauss-pivote parcial, en la unidad 16 ( véase capítulo 2, sección 2.5.4: Resolución de sistemas reticulares).


La solución del sistema es un punto ( )1 2, ,..., ndu u u de ndR al que denominaremos modelo de

complejidad c para los datos del fichero datos.txt (por ejemplo). Esta solución, que como se explica en

la sección 4 del capítulo 3, es única por compatibilización para cada complejidad, se traslada a la ventana de visualización de la unidad 5, donde además queda registrado el error cometido respecto a los datos iniciales.

Este proceso se repite para cada complejidad generando una tabla de modelos- error ordenada

según ejecución y otra tabla en la que con el cálculo de cada modelo éstos se reordenan (unidad 20) de menor a mayor error, dejando sólo a la vista los diez mejores.

4.4.3 Información adicional

Pero el proceso iniciado en la unidad 5 no se detiene como es lógico con el cálculo del modelo sino que además genera:

a) La matriz del modelo (unidad 8) en la que en cada fila figuran:

o Las coordenadas globales de los datos originales (x,y,z). o El número del elemento donde se ubica el punto (x,y).

o La numeración 1 2 3 4, , ,n n n n ,de los nodos del elemento.

o Las coordenadas locales (s,t) del punto.

o Los coeficientes 1N , 2N , 3N , 4N , de interpolación locales correspon-dientes a (s,t) .

o El modelo ( )1 2, ,..., ndu u u de complejidad c .

o El valor 1 2 3 41 2 3 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n nz N s t u N s t u N s t u N s t u= + + + .

o El error cometido al aproximar z por z .


Imagen 4.13 Observación: Si los datos hubiesen sido reestructurados se utilizarían las unidades 9 y 10 para determinar la asignación de elemento a cada punto que no fuese interior, pues el modelo actúa sobre los datos iniciales no sobre los reestructurados.

b) Un informe particular (unidad 28) para cada modelo, donde consta:

La trayectoria del fichero de datos. Fecha y hora de inicio del proceso. Información sobre el modelo:

Complejidad. Rango de datos. Puntos en nodos o frontera.


Datos

Incidencias durante el cálculo de los iu

Modelo obtenido (valores de los iu )

Valor de los iz de los datos (x,y) originales mediante el modelo.

Tipo de error estudiado y valor del error cometido Matriz elementos-nodos Matriz elementos-rango Matriz nodos-coordenadas. Matriz nodos-nodos adyacentes.

(visualización rápida: botón ) Observación: Este informe particular agrega al informe general la complejidad, la solución y el error. Por otro lado el informe particular está estructurado para que de él se pueda rescatar la información necesaria para otras aplicaciones como son la estabilidad y la suavidad del modelo. El procedimiento para importación de datos a partir de este informe es similar al que se explicó en la observación 1: cada conjunto de líneas tiene su clave de acceso.

c) Una tabla de doble entrada “modelos - iz ” para taxonomía numérica con SPSS y SPLUS,

en la que intervienen:

• Unidad 22 : Evaluación del modelo activo en puntos arbitrarios.

• Unidad 23: Forma de elección de puntos arbitrarios.


• Unidad 24: Número de puntos arbitrarios

• Unidad 25: Tabla modelos - iz

• Unidad 27: Creación de fichero de texto para SPSS y SPLUS.

Unidad 22: Evaluación del modelo en puntos arbitrarios

Imagen 4.14

En esta unidad se genera aleatoriamente, después de la lectura inicial, una nueva tabla de datos en el dominio establecido (sólo las variables x,y), pudiendo el número de éstos aumentar o disminuir a voluntad (desde los parámetros iniciales antes de la lectura de datos) y se utiliza el modelo obtenido para

inferir un valor z aproximado de z usando el procedimiento implementado en la unidad 8.


Para cada modelo se utilizan los mismos puntos arbitrarios y los valores inferidos se agregan sucesivamente a la tabla de doble entrada implementada en la unidad 25:

Unidad 25: Tabla para análisis de conglomerados

Imagen 4.15

La primera fila se generó en el módulo I , después del cálculo del plano de regresión a partir de los datos iniciales. La segunda fila y sucesivas se agregan con el cálculo de cada modelo pudiendo obtener los modelos necesarios, incluyendo el modelo cero que es el plano de regresión, para realizar un análisis de conglomerados jerárquico útil para delimitar la disimilaridad de los distintos modelos y poderlos agrupar según convenga (véase capítulo 3: Análisis de conglomerados jerárquico). Asimismo se genera (unidad 27) un fichero en el que se van añadiendo las filas obtenidas con cada modelo. Finalmente este fichero es el que se utiliza para ser importado por SPSS o SPLUS.

4.5 MÓDULO III: PARÁMETROS DE ANÁLISIS DE LOS MODELOS 4.5.1 Comentarios previos


La filosofía de este nuevo método numérico de aproximación es darle al investigador la suficiente información para que sea él, conocedor de los límites reales de sus mediciones, el que tome la decisión sobre el modelo o modelos que debe usar para inferir resultados suficientemente ajustados al empirismo que generó los datos de partida.

El error cometido en la aproximación sobre los datos iniciales no es una garantía de la fiabilidad de un modelo, pues los datos iniciales pueden estar afectados del ruido propio del error de las mediciones y causar sobre el modelo el efecto “diógenes”, es decir, que el modelo creado acumula un error que en los datos no se detecta pues proviene de ellos mismos. Debido a ello es necesario buscar nuevos parámetros que afiancen de manera fehaciente la tendencia en la oferta de modelos al investigador.

Ya en el módulo anterior se prepara una tabla para ser analizada mediante la taxonomía numérica

o análisis de conglomerados, que se explica suficientemente en el capítulo 2, como parámetro externo al programa al utilizar SPSS o SPLUS.

Los parámetros implementados son la estabilidad del modelo y la suavidad del mismo (véase el

capítulo 3). El coeficiente de estabilidad y el índice de suavidad nos ofrecen más información que, añadida al error sobre datos iniciales y a la taxonomía numérica, facultan al investigador para tomar decisiones con suficientes grados de libertad.

4.5.2 Estabilidad de un modelo

Como es lógico el estudio de la estabilidad de un modelo precisa como paso previo la generación de un modelo. El procedimiento de estabilidad (unidad 29) es independiente del de obtención de un modelo, por lo que si ya se ha generado algún modelo el programa puede estudiar su estabilidad sin necesidad de haber iniciado otro proceso.

El análisis de la estabilidad se realiza en tres fases:

Fase I: Lectura de los datos del modelo.


Trayectoria Datos originales que lo generaron.

Complejidad, rango y valores de los iu del modelo

Fase II: Perturbación de datos Fase III: Cálculo del Coeficiente de perturbación

Unidad 29: Análisis de la estabilidad de un modelo

Imagen 4.16


Situándonos en la fase I, podemos escoger el modelo de entre los creados por el programa en el módulo 2. Para ello en el menú modelo abrimos la ventana de lectura y buscamos el directorio que se creó a tal efecto con todos los modelos relativos a un mismo fichero, del que importamos el rango del recinto global donde se calculó el modelo, la complejidad del mismo y los datos originales. Cada modelo analizado consta en una tabla a tal efecto donde figuran los datos del modelo. y el coeficiente de estabilidad ( que aparecerá al final del proceso).

Se puede visualizar gráficamente la evolución del análisis de la estabilidad del modelo mediante la curva perturbación-error que aparece en la ventana. Podemos hacer tantas comprobaciones como queramos y superponer curvas para comparar un mismo modelo o distintos modelos variando la perturbación máxima o el número de perturbaciones o el número de iteraciones por perturbación o las combinaciones que creamos oportunas.

El siguiente paso es especificar el grado máximo de perturbación que queremos aplicar a los datos

(en la ventana gráfica vemos que se ha determinado por defecto un nivel de perturbación de 0,2) lo que se traduce a un intervalo y naturalmente conlleva la variación del rango global según la magnitud aplicada y el cálculo de las matrices de conexión para la misma complejidad pero con el nuevo rango. Otros factores que intervienen son el número de subniveles de perturbación (número de divisiones en el

intervalo de perturbación: 1 2, ,..., kε ε ε ) y el número de iteraciones en cada subnivel.

Cuando accionamos el botón de arranque del análisis, en las unidades 31 y 32 se realizan los

siguientes cálculos:

1) Para cada punto ( ),p px y y para una perturbación de nivel o subnivel kε , se calculan los

intervalos de perturbación de la abscisa y de la ordenada:

[ , ] ; [ , ]ε ε ε ε− + − +k k k kx x y y


2) Dentro de ese intervalo y con un randomize restringido al mismo se calcula para cada iteración, j, un valor aleatorio, tanto para la abscisa como para la ordenada, dentro de

dichos intervalos, obteniendo un punto aleatorio ( , )kj kjp px y . Este punto es punto perturbado

de ( ),p px y mediante la iteración j de la perturbación de subnivel kε (véase el capítulo 3,

sección 3.4.3)

3) Para cada punto aleatorio, utilizando las nuevas matrices de conexión y los iu del modelo,

se halla kjpz .

4) Para cada iteración se halla el error , según la medida considerada, a petición del

investigador. Este es el error de la iteración j.

Imagen 4.17

5) Para cada perturbación se halla el promedio de los errores del total de iteraciones. Este es

el error de la perturbación de subnivel kε .

6) Finalmente se halla el coeficiente de estabilidad.


Veamos todos estos detalles en el interfaz gráfico:

Unidad 31: Perturbación de los datos

Imagen 4.18

Se observa en la imagen 4.18 la conclusión del proceso de perturbación de los datos (dos primeras columnas). Los intervalos de perturbación de la abscisa y la ordenada se reflejan en las columnas 3, 4, 5 y 6 , y las coordenadas del punto aleatorio en las columnas 7 y 8.

Los puntos aleatorios generados en la unidad 31 son enviados a la unidad 32 donde se calcula el valor correspondiente de z según el modelo que se está analizando, el error de cada iteración, el error de


cada perturbación y el coeficiente de estabilidad, que queda reflejado en la información del modelo en la unidad 29.

Observación: La configuración original del proceso de análisis de la estabilidad está almacenada en la unidad 30.

Unidad 30:Configuración de la Perturbación

Imagen 4.19

Es importante resaltar el signo de las variables x e y a la hora de calcular los intervalos de perturbación pues si los valores son todos positivos, por ejemplo, no tiene sentido que aparezca un extremo negativo. Esta selección queda establecida con la lectura de datos del modelo aunque se puede variar según convenga al investigador. Claramente las opciones restantes son modificables . 4.5.3 Suavidad del modelo

Al igual que sucedía con la estabilidad podemos analizar la suavidad de un modelo previamente creado.

El análisis de la suavidad se realiza en tres fases: Fase I: Lectura de los datos del modelo.


Matriz nodos-nodos adyacentes Matriz nodos-coordenadas.

Complejidad, rango y valores de los iu del modelo

Fase II: Ángulo máximo formado por las superficies que confluyen en un nodo interior (ver capítulo 3, sección 3.4).

Determinación de nodos interiores y nodos asociados. Cálculo del vector normal a cada una de las cuatro superficies en el nodo

común. Cálculo, para cada nodo, de los ángulos que forman dichos vectores y

obtención del ángulo máximo.

Fase III: Cálculo del índice de suavidad

Imagen 4.20


Imagen 4.21

En la imagen 4.20 podemos observar la gradación de ángulos mediante distintos colores. Se ha marcado con tonos de azul las zonas más suaves, tonos de verde zonas que dejan de ser suaves, del amarillo al rojo representa la ruptura de lo suave a lo rugoso, los tonos de naranja indican una rugosidad importante y finalmente los tonos de rosa a púrpura representan una rugosidad exagerada.

Los círculos de la imagen 4.21 están centrados en los nodos interiores y tienen un radio que es la

cuarta parte de la mínima separación entre nodos. Cada círculo indica con su color, según la gradación de la imagen 4.20, el intervalo donde se encuentra el ángulo máximo formado por las superficies (véase la imagen 3.3 del capítulo 3) que confluyen en dicho nodo interior.


5. APLICACIONES

5.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo abordamos casos prácticos estudiados, intentando manejar distintas situaciones, para poder discernir el efecto que éstas producen en la aplicación del programa y al mismo tiempo analizar la efectividad del método y su dependencia de las características de los datos empleados.

Se ha aplicado el programa a tres fuentes principales de datos: SURFACE108, LOTUS6LT y

AbSinSC100. Sin embargo durante el proceso de desarrollo e investigación de esta memoria han pasado por el programa multitud de variantes de estas fuentes así como otras distintas con pocos datos o con excesivos datos con la intención de buscar situaciones que, aunque sean poco probables en el campo empírico, pueden aparecer mediante posibles manipulaciones por parte del investigador.

En cada una de las fuentes analizaremos 9 modelos (correspondientes a 9 complejidades distintas)

obtenidos mediante la técnica de elementos finitos bidimensionales y el plano de regresión , con lo que para el análisis de conglomerados se estudiará la disimilaridad de 10 modelos.

5.2 MODELOS PARA SURFACE108 5.2.1 Elección de la fuente de datos

En la nota de la sección 4.3.1 del capítulo 4 se mencionaban los comienzos de la investigación práctica mediante la comprobación de la efectividad de los resultados teóricos sobre determinados datos que debían ser poco problemáticos pues en aquel momento las pretensiones iban más encaminadas a la ratificación del núcleo teórico.

Siguiendo estas pautas se buscó la superficie 2z xy x= + que podemos observar en la imagen

5.1 .


Imagen 5. 1

Rango de las variables x e y en la gráfica de la superficie

6,00 ; 6,006,00 ; 6,00

mín máx

mín máx

x xy y

= − == − =

Como vemos se trata de una superficie nada problemática de la que se tomaron, en principio, 18 puntos dentro del rango


0,00 ; 6,000,00 ; 6,00

mín máx

mín máx

x xy y

= == =

después 36 puntos, para finalmente pasar a 108 puntos dentro del mismo rango de valores.

La siguiente figura muestra la superficie dentro del rango original (en color rojizo) y la superficie dentro del rango final (en color azul).

Imagen 5. 2

La distribución de los puntos en el dominio [0,6] [0,6]Ω = × no fue aleatoria, en un principio, ya

que el objetivo era comprobar el funcionamiento de la técnica por lo que en la pruebas de 18 y 36 los


puntos se escogieron cercanos a los nodos (véase la imagen 2.2 de la sección 2.5.3 del capítulo 2) pero en el caso final se tomó una muestra pseudoaleatoria de puntos de la superficie dentro del rango especificado.

Pasamos ahora a ejecutar Finit Trap 2D (en lo sucesivo FT2D) donde se irá desmenuzando cada

paso desde la entrada de los datos , la obtención del modelos para diferentes complejidades, el proceso para análisis de conglomerados, hasta el estudio de los parámetros de estabilidad y suavidad. 5.2.2 Entrada de datos

El fichero donde se encuentra la muestra de 108 puntos de la superficie 2z xy x= + es un fichero

de extensión .txt ubicado en el directorio C:\EF\Captura\ (imagen 5.3)

Imagen 5. 3 Una vez leído, se crea la carpeta de almacenamiento con el nombre del fichero, la hora y el día

(imagen 5.4)


Imagen 5. 4

La complejidad por defecto es de un solo elemento por lo que para visualizar el ejercicio inicial

utilizaremos una complejidad (4,2,2)c es decir , de 4 elementos , 2 horizontales por 2 verticales

(imagen 5.5)

Imagen 5. 5


En la pantalla vemos la distribución de las proyecciones (en azul) de los puntos de la muestra

sobre el plano XY dentro del rango del dominio [0,6] [0,6]Ω = × , establecido como definitivo para el

cálculo, y la numeración de nodos (gris) y elementos (rojo) según la técnica de discretización establecida en los capítulos 2 y 3.

Con la lectura se ha generado, para un dominio y una complejidad fijas, además de la gráfica y la

matriz de datos:

• El plano de regresión de z sobre (x,y) (imagen 5.6)

• Las matrices de conexión (imagen 5.7)

• Las matrices de neutralización (imagen 5.8)

• Una tabla de n puntos aleatorios dentro del dominio fijado (10 puntos en este caso por defecto) (tabla 5.2)

• La emisión del informe general (imagen 5.9), que acaba con el modelo 0, el plano de regresión de z sobre (x,y) (imagen 5.10), donde la información sobre los siguientes modelos se agregará paulatinamente.


Imagen 5. 6

Imagen 5. 7


Imagen 5. 8

Imagen 5. 9


Imagen 5. 10 5.2.3 Cálculo del modelo

El primer modelo calculado, correspondiente a la complejidad (4,2,2)c , con un total de 9 nodos

y habiendo usado el método GPP sobre el sistema reticular (tabla 5.1)

Tabla 5. 1


el cual no ha precisado de ninguna neutralización , llevándonos a la siguiente pantalla

Imagen 5. 11

Donde se observan valores aparentemente sin sentido en la solución como son los valores

negativos que toma el modelo en los nodos 1, 4 y 7 con un error respecto a los datos iniciales de 0,08066 calculado mediante la distancia sistemática euclídea, en el sentido de que si las variables x e y han tomado valores positivos, z debe ser positivo. Pero no son tan atípicos pues son de magnitud pequeña (próximos a cero en valor absoluto) en comparación con el mayor valor que puede tomar z y si además observamos la imagen 5.2 vemos que en el eje y los valores de z son próximos a cero lo que se

corresponde con los valores de z en los nodos 1, 4 y 7 en los que 0x = .

Nota: Se puede cambiar la distancia a petición del investigador. En este estudio se mantendrá la euclídea en toda la aplicación.

Después del cálculo del modelo, en la carpeta de almacenamiento, se ha guardado el informe particular de éste, imagen 5.13, del que ya dimos detalle en el capítulo 4. Este informe se guarda en un


fichero .rtf cuyo nombre que empieza por IP seguido por el de la fuente original más la complejidad

(4,2,2)c expresada de la forma 4E2x2 (imagen 5.12)

Imagen 5. 12

Imagen 5. 13


Sobre tabla aleatoria (tabla 5.2) de puntos distribuidos en el dominio de cálculo original y, después del cálculo del primer modelo, se evalúa en primer lugar el plano de regresión y en segundo lugar el modelo, obteniendo las z que constituirán las variables de la tabla 5.3 para el análisis de conglomerados jerárquico que tendrá lugar cuando hayamos calculado los 9 modelos (tabla 5.4)

Tabla 5. 2


Tabla 5. 3

A esta tabla se irán añadiendo las evaluaciones sobre los puntos aleatorios de los sucesivos modelos que se vayan calculando, para acabar realizando el análisis de conglomerados con modelos por objetos.

Nota: El número de puntos aleatorios debe establecerse antes de empezar a calcular el primer modelo. La forma aleatoria de obtener los puntos en el rango del dominio establecido se hace como se explicó en el capítulo 4, es decir, usando el procedimiento randomize y la función random con valores de 0 a 1 trasladados al intervalo [0,6] o utilizando la función ranG(0,1) con valores de 0 a 1 siguiendo una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. 5.2.4 Otros modelos

Es conveniente concluir la tabla de modelos para el análisis de conglomerados y después pasar a estudiar, modelo a modelo, la estabilidad y la suavidad. Así pues procedemos a seguir calculando más modelos hasta llegar a 9 que es nuestro objetivo. El procedimiento de variación de complejidad se puede hacer automático en orden creciente de número (natural) de elementos o en orden creciente de número


de nodos (número compuesto, no primo) o en orden creciente triangular de complejidad de la malla o retícula.

Imagen 5. 14

Imagen 5. 15


Imagen 5. 16 El problema del proceso automático estriba en que dependiendo de la elección del método y para

un número final de modelos similar (en este caso 35, 36 y 37 modelos) habría situaciones en las que una complejidad aparecería según un método y según otros no. Es el caso de la complejidad 4x4 que aparece en el nivel 4 del método de complejidad triangular creciente mientras que en el método de número creciente de nodos no aparece hasta el nivel 13 y en el de número creciente de elementos aparece en el nivel 16. Por todo ello lo habitual es que el investigador busque las complejidades manualmente y decida en función de los resultados precedentes el camino a seguir.

Las complejidades elegidas se pueden observar en la tabla final para AC y en el cuadro de

modelos analizados, a continuación.


Tabla 5. 4

Imagen 5. 17 Aunque se observa que la magnitud del error respecto a los datos iniciales disminuye con el

aumento de complejidad, este resultado en solitario no es ningún indicador válido como se podrá comprobar con el modelo 9 . Aunque en este ejemplo hemos parado aquí, podemos seguir ensayando y buscando pautas para después hacer un análisis de conglomerados, estabilidad o suavidad de aquellos que consideremos los adecuados. El análisis cluster puede ayudarnos a buscar un grupo de


características similares en términos de distancia. Es por ello conveniente realizar en este momento el análisis de conglomerados.

5.2.5 Análisis de conglomerados jerárquico

Imagen 5. 18

El fichero ACsurface108.xls creado por Finit Trap 2D en formato .xls (excel) para que el programa SPSS pueda acceder a la tabla siguiente:


Tabla 5. 5 Ejecutamos el programa SPSS

Imagen 5. 19


Y abrimos el fichero de extensión .xls

Imagen 5. 20 con lo que aparece la tabla generada por FT2D

Tabla 5. 6


Tabla 5. 7

Con la opción conglomerados jerárquicos del submenú clasificar del menú analizar pasamos a la siguiente ventana:

Imagen 5. 21


Pasamos las Zev.Pi como variables 1,...10i = y Model a etiquetas de casos

Imagen 5. 22 para a continuación definir los parámetros que vamos a utilizar para el análisis: Estadísticos, gráficos y método. Estadísticos:

Imagen 5. 23


Se selecciona el historial de conglomeración , la matriz de distancias y de 2 a 5 conglomerados de pertenencia. Gráficos:

Imagen 5. 24 Con el dendrograma no es preciso usar el diagrama de témpanos. Método:

Imagen 5. 25


Utilizaremos el método de vinculación promedio o inter-grupos pues las distancias entre conglomerados utiliza todos los pares de objetos de ambos conglomerados aprovechando la información de todos los miembros de los dos grupos. La medida de distancia es de intervalo y no se necesita transformar valores ni por supuesto medidas. Se utilizará la distancia euclídea.

Informe del paquete SPSS:

Tabla 5. 8

Podemos acceder a una información visual global mediante los dendrogramas: - Vinculación promedio Inter-grupos ( average linkage – between groups) - Vinculación promedio Intra-grupos (average linkage – within group) - Vinculación del vecino más próximo (single linkage) - Vinculación del vecino más lejano (complete linkage)


Gráfica 5. 1

Gráfica 5. 2


Gráfica 5. 3

Gráfica 5. 4


Los métodos restantes (centroide, medianas y Ward) sólo distinguen entre el plano de regresión y el resto de modelos por lo que no son útiles en este estudio.

Estos cuatro métodos muestran unos patrones bastante similares como puede apreciarse por los historiales de conglomeración:

Tabla 5. 9

Tabla 5. 10


Tabla 5. 11

Tabla 5. 12 Las cuatro primeras etapas de formación de grupos y las dos últimas son iguales en todos los

métodos. La variación está en las etapas centrales donde se forman conglomerados que contienen al 3, 4 y 10.


Nota: Para hacer referencia a los métodos adoptaremos la numeración de los conglomerados en la matriz de distancias. De este modo cuando mencionamos el conglomerado 3 nos estamos refiriendo al modelo 9E3x3.

Los modelos menos disimilares son el 5 y el 7, después le siguen el 6 y el 8 a los que se une el 9 en la siguiente etapa. En las siguientes etapas el aumento de la disimilaridad es aceptable salvo en el caso del plano de regresión que se dispara. Esta disimilaridad tan elevada del plano de regresión ya se detecta en la octava columna de la tabla para este análisis donde claramente se aprecia la diferencia con el resto, lo que queda reflejado en la primera fila o la primera columna de la matriz de distancias.

Observación: Recordemos que aunque las matriz de distancias de la tabla 5.8 corresponda al método del promedio inter-grupos, las demás matrices son exactamente iguales pues para el cálculo de ésta lo que importa es el tipo de distancia utilizado mientras los grupos sean individuales. Después de la formación de conglomerados la matriz de distancias varía según el método de formación de un nuevo conglomerado.

El dendrograma correspondiente a la vinculación intra-grupos es el que está más acorde con su historial de conglomeración. En éste puede observarse una disimilaridad efectiva entre el conglomerado formado por los modelos 5, 7, 6, 8 y 9 y el resto de modelos. En todos los métodos de conglomeración, los modelos 3, 4 y 10 se sitúan en las etapas intermedias permutando sus posiciones en el acceso a otro conglomerado.

También en todos los métodos los modelos 1 y 2 son los más disimilares (sobre todo el 1). En

realidad el dendrograma para la vinculación Inter-grupos debe de ser el de la gráfica 5.5 (siguiendo el historial de conglomeración). Por otro lado el coeficiente de aglomeración (0,8601884) obtenido mediante el paquete estadístico SPLUS:


Indica un alto grado de disimilaridad entre los dos conglomerados que conforman el conglomerado con todos los objetos. A mayor disimilaridad entre estos últimos y menor disimilaridad entre los que componen cada grupo resulta mayor coeficiente de aglomeración. Esto puede deducirse claramente del historial de conglomeración, donde podemos ver los pesos de cada agrupación o bien en un dendrograma detallado como el que aparece a continuación.


Gráfica 5. 5 Nota: La nomenclatura usada en SPLUS difiere de la usada en SPSS pues el historial de conglomeración se expresa mediante una matriz de números enteros dispuesta en 9 filas (etapas) y 2 columnas (conglomerados que se unen).. Cuando el entero es negativo se refiere a un conglomerado de un solo elemento y cuando es positivo a un conglomerado con cardinal mayor que 1 que se formó anteriormente. Por ejemplo : [2,] -6 -8 indica que en la etapa 2 se han unido los grupos individuales 6 y 8; [3,] 2 -9 quiere decir que en la etapa 3 el grupo individual 9 se une al conglomerado que se formó en la etapa 2;[4,] 1 3 expresa que en la etapa 4 se unen los conglomerados que se formaron en las etapas 1 y 3.


En Resumen: Hay un conglomerado con objetos poco disimilares entre sí, que es el constituido por los casos 5, 7, 6, 8 y 9 , al cual llamaremos conglomerado principal. Es el conglomerado principal el que provoca el alto coeficiente de aglomeración debido a la alta disimilaridad de éste con el plano de regresión, por lo que cualquier decisión sobre el número de conglomerados final, deberá contar con el principal por separado o en conjunto con otro u otros. Una opción coherente puede ser considerar el principal como un conglomerado independiente (lo que nos llevaría a 6 conglomerados: 1 de cardinal 5 y 5 de cardinal 1). Las opciones de considerar 5 o 4 conglomerados las descartaremos pues el grupo en el que estaría incluido el principal dependería del método empleado, ya que en las etapas centrales los casos 3, 4 y 10 permutan sus posiciones de acceso según el método. Finalmente se puede considerar la opción de 3 conglomerados: uno de cardinal 8 y dos de cardinal uno (serían los modelos 1 y 2). Todas estas consideraciones están sujetas a las validaciones (internas) que consideremos oportunas. Validación: Dado que ya hemos usado la validación de los distintos métodos podemos aplicar un procedimiento de análisis del coeficiente de aglomeración. Para ello vamos a tomar la mitad de la tabla de forma aleatoria y vamos a comprobar si el coeficiente de aglomeración se mantiene en un entorno suficientemente próximo al obtenido en toda la tabla. La nueva tabla es:

Tabla 5. 13 y realizando el análisis para determinar el coeficiente de aglomeración se llega al siguiente informe:


Vemos que el coeficiente de aglomeración es casi el que teníamos con la tabla completa y aunque los coeficientes de disimilaridad de agrupación son más bajos la proporción con el más disimilar se mantiene. Por otro lado el dendrograma no ha sufrido modificaciones.

Cogemos ahora la otra mitad de la tabla y haciendo lo mismo observamos que, aunque por exceso, esta vez el coeficiente se acerca más al de la tabla completa .

Estas pruebas confirman la validez del estudio hecho para la tabla completa ya que una variación

importante en el historial o dendrograma o coeficiente de aglomeración no permitiría una seguridad en las conclusiones.


El hecho de escoger la opción de seis conglomerados no elimina en principio ninguna opción alternativa sino que las relega a una posición de reserva ante el estudio de más parámetros que ofrezcan al investigador una herramienta para poder sopesar toda la información en conjunto.

Por ello pasamos ahora a estudiar la estabilidad de los modelos ante posibles perturbaciones de los datos. Se analizarán los 10 modelos para comprobar si nuestra división en conglomerados respeta este parámetro.


5.2.6 Análisis de la estabilidad de los modelos

Para el análisis de la estabilidad de los modelos de fuente surface108.txt se parte de los ficheros IPsurface1084*.rtf cuya información se traslada a la unidad 25 para proceder al análisis usando los siguientes parámetros :

- Magnitud del nivel de perturbación (perturbación máxima) : 0,20 - Número de subniveles de perturbación (nº de perturbaciones): 10 - Número de columnas de la matriz de perturbación (nº de iteraciones por subnivel de perturb.) : 10 - Rango del error en la gráfica: de 0 a 1 ; Número de divisiones de los ejes: 5 - Valores de la variable x : positivos ; Valores de la variable y: positivos - Distancia : distancia IP euclídea

Imagen 5. 26


Las gráficas perturbación-error de los primeros ocho modelos analizados se han superpuesto unas por encima de las otras presentando unos coeficientes de estabilidad, según distancia IP euclídea, que resultan casi idénticos, mientras que el modelo analizado en noveno lugar, el de complejidad (81,9,9), presenta un cuadro de inestabilidad que sugiere no considerarlo para futuras inferencias. Los restantes modelos no presentan ninguna anomalía o inestabilidad. Veamos lo que sucede con el modelo de complejidad (81,9,9) cuando variamos el número de subniveles de perturbación y el número de iteraciones.

Imagen 5. 27

La línea verde corresponde a 10 iteraciones, 10 subniveles manteniendo el nivel 0,2 y la distancia euclídea. La línea marrón rojizo a 50 iteraciones, 50 subniveles y la línea gris a 100 iteraciones, 100 subniveles. El hecho de haber multiplicado por 10 el número de iteraciones y de subniveles suaviza localmente la franja de picos pero la variación global en el intervalo de nivel 0,2 sigue siendo exagerada.


Pasamos ahora a utilizar la distancia de Minkowski para 10,100,1000r = con lo que se aprecia

una ligera disminución en el coeficiente pero igualmente inestable.

Imagen 5. 28 Datos sobre la gráfica acumulada: (nivel; nº subniveles; nº iteraciones; valor de r) Línea roja: (0,2; 10; 10; 10) Línea azul: (0,2; 50; 50; 10) Línea verde: (0,2; 50; 50; 100) Línea marrón: (0,2; 50; 50; 1000) Finalmente la gráfica de los modelos restantes con (0,2; 10; 10; 1000) nos ofrece 8 curvas superpuestas

cuyo coeficiente de estabilidad mayor para Minkowski con 1000r = es 0,06485. Véase la gráfica 5.6 .


Nota: Los nueve modelos de representación mediante EF estudiados tanto en análisis cluster como en estabilidad y en suavidad (a continuación) sirven para indicar al investigador las pautas a seguir con Finit Trap 2D dejando abierto el camino para poder analizar modelos según las complejidades que se precisen y en la cantidad que sea conveniente.

Gráfica 5. 6


5.2.7 Análisis de la suavidad de los modelos Para acceder al estudio de la suavidad del modelo, en función del coeficiente determinado en el capítulo 3, se procede de la siguiente forma:

Imagen 5. 29

En el menú Suavidad de la barra principal de tareas accedemos al modelo que queremos cargar y

una vez elegido aparece la siguiente gráfica:


Gráfica 5. 7 Gráfica 5. 8

Que nos indica que en el nodo interior las superficies que confluyen en él (véase la imagen 3.3 del capítulo 3 ) forman entre sí un ángulo máximo comprendido entre 10 y 25 grados sexagesimales. El índice de suavidad en el nodo interior coincide lógicamente con el índice de suavidad global y en este caso vale 0,93009.

La representación laminar en 3D de la aproximación de la superficie original según la

discretización (4,2,2) se puede visualizar en la siguiente gráfica 5.8.

Si pasamos al modelo de complejidad (9,3,3) se llega a :


Gráfica 5. 9 Gráfica 5. 10 donde se observa que el modelo tiene un índice de suavidad global alto, el cual corrobora el índice visual en el que se observa que los máximos de los ángulos formados en los nodos interiores están en un 75% entre 0 y 10 grados sexagesimales (círculos azules oscuros). Obsérvese la aproximación de la superficie original a través de la laminación por elementos finitos.

Al aumentar el número de elementos la aproximación va mejorando. La pregunta que surge es si se mantendrá esta bondad de aproximación cuando tengamos la discretización (81,9,9) que como recordaremos resultó tener una inestabilidad apreciable y en la búsqueda de patrones no se incluyó en el conglomerado principal.

Los modelos de complejidades (16,4,4), (25,5,5), (30,5,6,), (30,6,5), (36,6,6) y (64,8,8) arrojan los

siguientes índices:


Sin embargo el modelo (81,9,9) presenta este aspecto visual en el estudio de la suavidad:


Aparece una franja, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, donde la suavidad puede ser aceptable mientras que en los extremos de la franja el resultado es exageradamente abrupto. Por otro lado el índice de suavidad global es algo elevado pues el ángulo máximo en 46 (71,88%) de 64 nodos está entre 0 y 25 grados sexagesimales. El resultado de la falta de estabilidad está en consonancia con este resultado y es previsible que para complejidades con mayor número de elementos el índice disminuya y aumenten las zonas abruptas. Si observamos el laminado 3D apreciaremos la consonancia con la visualización coloreada.


5.2.8 Error de los modelos de representación

La siguiente tabla muestra los errores de los modelos de representación obtenidos mediante técnicas de elementos finitos bidimensionales usando la norma euclídea ponderada según la definición de la sección 4.5 del capítulo 3:

Tabla 5. 14 En resumen:

Con los parámetros estudiados hay un grupo (conglomerado principal), con muy poca disimilaridad, con todos sus modelos estables y con suavidad aceptable, que destaca respecto al resto. Se puede presumir que el investigador trabajará con dichos modelos pudiendo rechazar los otros (sobre todo el modelo 9), lo cual no es óbice para realizar otra tanda de análisis con modelos distintos para seleccionar otro grupo u otro modelo.

Dentro del grupo de modelos afines por la baja disimilaridad entre ellos y por la proximidad de los

otros parámetros resalta el modelo 8 cuyos errores respecto a datos iniciales y de modelo son los más bajos. Este sería indiscutiblemente un modelo a tener en cuenta por el investigador al margen como se ha dicho de otras posibles búsquedas.


5.3 MODELOS PARA LOTUS6LT 5.3.1 La fuente de datos

Foto 5.1 Foto 5.2

Los datos que se han utilizado han sido proporcionados por la Facultad de Agronomía de Azul de la Universidad Nacional del Centro de la provincia de Buenos Aires, Argentina. Éstos corresponden a la variedad “Azul” de la planta Lotus Glaber, cuyas semillas proceden de la cuenca del río Salado inmerso en la Pampa Deprimida, donde la principal fuente de ingresos es la ganadería y sus productos derivados. Las investigaciones en esa zona se centran en el desarrollo de especies de forraje para la mejora de la productividad ganadera teniendo como principales inconvenientes el alto contenido en sodio del terreno, la inundación de pastos y la proliferación de malezas. La planta idónea para reconvertir estas tierras es el Lotus Glaber (Lotus Tenuis), fotos 5.1 y 5.2, que es originaria de la costa mediterránea y se adapta con facilidad a este tipo de suelo.

Los datos fueron utilizados en un modelo en el que se analizaron tres poblaciones Lotus Glaber:

Población “Italia”, Población “Leonel” y Población “Azul” (imagen 5.30). En el estudio efectuado se realizó un análisis de la varianza mediante un diseño al azar con un solo factor para las variables ancho, largo y área del folíolo central (foto 5.3). Además se determinaron familias de modelos lineales y no lineales


para estimar el área de éste. Como criterio para la selección de modelos se aplicaron: el mejor coeficiente de correlación, la buena eficiencia, la mayor simplicidad del modelo y su estabilidad.

En este sentido se ha considerado la utilización de de algunos modelos así como de los datos

correspondientes para comparar los resultados obtenidos con la metodología presentada en este proyecto. Población “Italia” Población “Leonel” Población “Azul”

Imagen 5.30

Foto 5.3


5.3.2 Entrada de datos

Una vez iniciado el programa o después de cualquier estudio realizado con FT2D procedemos a cargar el fichero donde se encuentra la muestra. Ésta consta de 200 datos distribuidos en tres columnas. La primera columna (variable x) corresponde al ancho del folíolo, la segunda (variable y) al alto y la tercera (variable dependiente z) al área. El fichero de extensión .txt está ubicado en el directorio:

C:\EF\Captura\ LOTUS6LT.txt

Después de leer el fichero y crear la carpeta de almacenamiento con el nombre de éste, la hora y el día, se pasa a evaluar los datos para establecer el rango de actuación para la obtención de modelos.

La situación original es la que se observa en la imagen 5.31. Con un apelotonamiento a lo largo de

un segmento por encima de la diagonal del cuadrado de representación (en realidad es un rectángulo con distinta escala en cada eje para la visualización regularizada de las discretizaciones).

Imagen 5. 31


No obstante si queremos ver la posición de los puntos para una misma escala en ambos ejes

basta cambiar las variaciones de x e y. Veamos:

Imagen 5. 32

Sin embargo es conveniente buscar un dominio, que según el investigador sea razonable, intentando “ajustar”, con las indicaciones precisas el dominio de cálculo a la nube de puntos relativa al ancho y largo de la hoja.

Finalmente la distribución de puntos sobre el plano XY se realiza dentro del rango del dominio

[0.3,1.1] [0.9,2.5]Ω = × y para el primer modelo la complejidad será: (9,3,3)c .


Imagen 5. 33 La densidad de la muestra provocará en algunas complejidades la reestructuración de los datos debido a la aparición de puntos en nodos o en frontera. Siguiendo la misma dinámica que en la aplicación anterior, la carga de datos ha originado el cálculo de la ecuación del plano de regresión (imagen 5.34) y la emisión de un informe general:


Imagen 5. 34

Y para el dominio fijado y la complejidad actual ya se han calculado las matrices de conexión, de neutralización, la tabla de puntos aleatorios (tabla 5.15), etc.

Tabla 5. 15


5.3.3 Cálculo del modelo

El primer modelo calculado, correspondiente a la complejidad (9,3,3)c , con un total de 16 nodos

y habiendo usado el método GPP sobre el sistema reticular se puede observar en la ventana de cálculo:

Imagen 5. 35

Si miramos el informe particular (imagen 5.36) veremos que ha habido una neutralización, la de la

coordenada 4u correspondiente al valor de la aproximación en el nodo cuarto. Esto se debe, lógicamente

a la falta de puntos en el cuarto elemento, y se irá acentuando al incrementar la complejidad en número de elementos.


Imagen 5. 36

Se almacena el informe particular y la tabla para análisis cluster va incrementando sus filas con cada nuevo modelo cuyas respuestas sobre al tabla de puntos aleatorios dentro del dominio son las que constan en cada fila. 5.3.4 Otros modelos

Se han calculado los modelos según las complejidades que se pueden observar en la tabla final para AC y en el cuadro de modelos-error datos iniciales:


Imagen 5. 37

Tabla 5. 16

En esta aplicación se ha buscado que las discretizaciones no provoquen, en lo posible, puntos conflictivos, no obstante hay dos modelos en los que ha habido reestructuración de puntos. Estudiemos las situaciones producidas:


El modelo 2: De complejidad 25E5x5 y 36 nodos. Esta complejidad sobre la nube de puntos en el dominio adoptado conlleva 11 puntos en fronteras

interiores (no en nodos) que provoca una reestructuración de los puntos, según se explicó en el capítulo 4.

Los elementos 4, 5, 10,15 y 21 no tienen ningún punto en interior o frontera lo que deja sin

influencia de puntos a los nodos 5, 6, 12, 18 y 31. Como consecuencia se han neutralizado las incógnitas correspondientes a estos nodos por rigidización.

Imagen 5. 38


El modelo 3: De complejidad 49E7x7 y 64 nodos. En este caso no hay puntos de conflicto. Como ya anunciábamos anteriormente el aumento de complejidad provoca el aumento de

elementos sin puntos en el interior de su dominio restringido y en este caso se han neutralizado 22 incógnitas por rigidización. El modelo 4: De complejidad 35E7x5 y 48 nodos. En este caso no hay puntos de conflicto.

Se han neutralizado 13 incógnitas por rigidización. El modelo 5: De complejidad 42E6x7 y 56 nodos. En este caso hay 5 puntos de conflicto en frontera (ningún nodo).

Se han neutralizado 17 incógnitas por rigidización. El modelo 6: De complejidad 63E9x7 y 80 nodos. En este caso no hay puntos de conflicto.

Se han neutralizado 38 incógnitas por rigidización y una por regresión nildistante. El modelo 7: De complejidad 81E9x9 y 100 nodos. En este caso no hay puntos de conflicto.

Se han neutralizado 42 incógnitas por rigidización . El modelo 8: De complejidad 121E11x11 y 144 nodos. En este caso no hay puntos de conflicto.

Se han neutralizado 82 incógnitas por rigidización y una por regresión nildistante. El modelo 9: De complejidad 143E11x13 y 168 nodos. En este caso no hay puntos de conflicto.

Se han neutralizado 115 incógnitas por rigidización y 3 por regresión nildistante.


El aumento de neutralizaciones es considerable y sin embargo la rigidización de las ecuaciones del sistema actúa de nexo entre las incógnitas correspondientes a nodos con influencia de puntos y nodos que carecen de ella. 5.3.5 Análisis de conglomerados jerárquico La tabla siguiente corresponde al fichero ACLOTUS6LT.xls y a la tabla 5.16:

Tabla 5. 17

Ejecutamos el programa SPSS, cargamos el fichero anterior y pasamos a realizar el análisis de conglomerados jerárquicos. En cuanto a las características del análisis seguiremos las mismas de la aplicación anterior.


Informe del paquete SPSS:

Tabla 5. 18

Observando la matriz de distancias nos percatamos de que las mayores magnitudes corresponden

a la fila y columna tercera, por lo que el modelo 25E5x5 resulta el más disimilar de los restantes. También hemos calculado la matriz de distancias mediante la distancia euclídea al cuadrado con el fin de comparar con los métodos del centroide.

Veamos los dendrogramas:


Gráfica 5. 25

Gráfica 5. 26


Gráfica 5. 27

Gráfica 5. 28


En esta aplicación veremos también los métodos restantes (centroide, medianas y Ward) en los

que el tipo de distancia es la distancia euclídea cuadrado.

Tabla 5. 19

Gráfica 5. 29


Gráfica 5. 30

Gráfica 5. 31


En todos los métodos, pero de forma más destacada en los del centroide, se aprecia un conglomerado principal formado por los objetos 2, 4, 5, 8, 9 y 10 seguido muy de cerca por el plano de regresión.

Vamos a centrarnos en los métodos de vinculación Inter-grupos y centroide para determinar las

opciones del análisis pues los otros métodos no ofrecen diferencias substanciales respecto a éstos. Para una división en 5 conglomerados no hay diferencias entre ambos métodos pues tendríamos

un conglomerado principal de 6 objetos y cuatro conglomerados individuales. Para menos conglomerados veamos los historiales de conglomeración:

Tabla 5. 20


Tabla 5. 21 y para el método del centroide:

Tabla 5. 22


cuyo historial de formación es el que sigue:

Tabla 5. 23

Vemos por tanto que la situación es idéntica salvo determinados pesos por lo que la división en conglomerados es clara según el número final de conglomerados.

Como ya habíamos observado en la matriz de distancias el modelo más disimilar respecto a los

demás es el 3 y los menos disimilares entre sí son el 8 y el 9. El plano de regresión que se une al conglomerado principal en la sexta etapa con una disimilaridad relativamente alta respecto a la de los integrantes del principal. Hay que tener en cuenta en esta aplicación que el modelo lineal utilizado para aproximar el área tiene sus coeficientes próximos a los del plano de regresión.

Una situación aceptable sería considerar 4 conglomerados, donde uno de ellos estaría formado

por el principal al que se habría agregado el caso 1 (plano de regresión) y después otros tres individuales con los casos 3, 6 y 7. También se puede barajar la idea de tres conglomerados derivada de la anterior por unión de los casos 6 y 7.


La opción de dos conglomerados es demasiado extrema pues el caso 6 es suficientemente disimilar (aunque no es comparable con la disimilaridad del objeto 3) para no considerarlo inmerso en el grupo que contiene al principal.

Podemos observar, por otro lado, el coeficiente de aglomeración, para el método de vinculación

promedio inter-grupos, obteniéndolo mediante el paquete estadístico SPLUS:

El coeficiente que es suficientemente alto pues en los coeficientes de formación de conglomerados el mayor peso (5,092) tiene una magnitud relativamente grande respecto al resto de coeficientes como puede observarse en el dendrograma (con la trayectoria específica de formación).


Gráfica 5. 32 En Resumen:

Podemos optar por 4 o 5 conglomerados según se ha descrito anteriormente mediante el análisis de decisión sobre si el plano de regresión puede considerarse suficientemente “cercano” al grupo principal. En cualquier caso el investigador no debe rechazar ninguna opción hasta haber evaluado otros parámetros tal y como se ha advertido a los largo de este proyecto de tesis.

En esta aplicación todos los métodos han mostrado unas mismas trayectorias de formación (salvo que algún grupo de etapa de formación posterior a la del principal se haya dado en unos métodos y en otros no) por lo que esto no ha ayudado a la hora de descartar alguna opción. La posibilidad de aceptar más de 5 conglomerados no se considera debido a que los objetos que conforman el grupo principal presentan una baja disimilaridad entre sí por lo que es conveniente considerarlos en su conjunto para


tratamientos posteriores a menos que el investigador considere oportuno una segregación en grupos de cardinal más pequeño.

Todos estos razonamientos están sujetos a las validaciones (internas) que consideremos

oportunas. Validación: Como en la aplicación precedente se ha usado la validación de los distintos métodos y vamos a aplicar el mismo procedimiento de análisis del coeficiente de aglomeración.

Tomamos una tabla con la mitad de los datos elegidos de forma aleatoria

Tabla 5. 24


Y realizando los cálculos con la otra mitad ( o con una parte de la otra mitad y una parte de esta mitad, etc.) se llega a un resultado similar. 5.3.6 Análisis de la estabilidad de los modelos

Partiendo de una configuración análoga a la de la aplicación antecedente, realizaremos el análisis de la estabilidad de los modelos de fuente LOTUS6LT.txt. Cargando los ficheros IPLOTUS6LT*.rtf se efectúan los siguientes estudios sobre la estabilidad de los modelos:


Imagen 5. 39

Se puede observar que todos los modelos son estables y con coeficientes bastante bajos para 10

subniveles de perturbación y 10 iteraciones sobre un nivel global de 0,2 sobre una escala de error de 0,05.

Resulta obvio que aumentar subniveles e iteraciones, así como el índice de Minkowski, provocaría

una disminución del error por lo que son prescindibles otras pruebas de estabilidad. La recta que aparece corresponde al plano de regresión, el cual por afinidad con el modelo lineal

que en su día se utilizó para inferir áreas de folíolos a partir del ancho y largo del mismo, es un modelo que funciona bastante bien , sobre todo para pequeñas perturbaciones, pues a partir del nivel de


perturbación 0,14 (aproximadamente) hay modelos de los analizados que aparentemente podrían mejorar resultados.

Vemos por tanto que lo sucedido en la aplicación anterior no es ninguna norma de conducta de los

modelos de representación basados en técnicas de elementos finitos bidimensionales pues la disimilaridad de uno de ellos respecto del resto no implica ni mucho menos su inestabilidad. Lo que en principio si que tiene sentido es que un modelo inestable presente una gran disimilaridad con aquellos que son estables. 5.3.7 Análisis de la suavidad de los modelos

Procederemos al estudio de la suavidad de todos los modelos obtenidos mediante la técnica de elementos finitos:





El modelo de complejidad (9,3,3) tiene un índice de suavidad global muy alto como puede apreciarse mediante el mapeo y la magnitud de éste ( gráficas 5.33 y 5.34). Por otro lado el modelo de complejidad (25,5,5) (el más disimilar al resto en AC) presenta zonas abruptas y el índice de suavidad global más bajo (gráficas 5.35 y 5.36). El resto presenta rugosidades en distintas zonas. Parece ser que


el avance de la complejidad, en cuanto al número de elementos, no mantiene la rugosidad fija en el entorno de un nodo, lo que puede deberse a que, al cambiar la discretización, los puntos que antes estaban próximos a un nodo ahora no lo están provocando de esta manera interferencias en la influencia que los puntos ejercen sobre el valor de u en los nodos.

De la visión de los mapeados angulares se deduce que los modelos provocan rugosidades en las

proximidades de la frontera del dominio global pero de diferente forma es decir , los modelos (9,3,3), (35,7,5) y (49,7,7) son bastante suaves , si acaso el último presenta una rugosidad importante en la proximidad del vértice inferior izquierdo de la frontera (gráficas 5.41 y 5.42). Por otro lado, los restantes modelos presentan una suavidad global moderada debido a zonas rugosas en las cercanías de la frontera del dominio global y zonas más suaves en el interior no próximo a la frontera. Sin embargo donde en un modelo hay rugosidades en el otro hay suavidad y esto nos lleva a que ninguno de ellos va a ser descartable para el investigador pues dependiendo de la zona del dominio donde se quiera inferir podremos utilizar uno u otro. 5.3.8 Error de los modelos de representación

La siguiente tabla muestra los errores de los modelos de representación obtenidos mediante técnicas de elementos finitos bidimensionales usando la norma euclídea ponderada según la definición de la sección 4.5 del capítulo 3:


Tabla 5. 25

En resumen:

En esta aplicación los datos dan lugar a respuestas en términos de áreas de folíolos fácilmente determinables mediante una aproximación lineal de tipo plano de regresión en las proximidades de la nube de puntos original, pero en zonas del dominio suficientemente alejadas esta linealidad no es fiable. El análisis de conglomerados ha discernido entre determinados modelos de una forma que a la postre ha coincidido con el estudio de la suavidad . Por lo tanto es el investigador el que debe tomar la determinación de seguir buscando modelos o utilizar los obtenidos según la región donde se plantea la inferencia pudiendo utilizar cada modelo según sus propiedades.

Finalmente el modelo 25E5x5 como ya aventurábamos presenta el mayor error de modelo

mientras que un modelo con pocos elementos como es el 9E3x3 computa el menor error de modelo.


5.4 MODELOS PARA ABSINSC100

5.4.1 Elección de la fuente de datos

En este caso se buscó una superficie que presentara rugosidades con el fin de estudiar el efecto en la aproximación mediante la técnica que se está empleando, así como las tendencias de los sucesivos modelos. El archivo AbSinSC100.txt corresponde a 100 puntos de la superficie

2 20,3 (sin( ))z abs x y= + (imagen 5.40 )

Imagen 5. 40

Rango de las variables x e y en la gráfica de la superficie

2,00 ; 2,002,00 ; 2,00

mín máx

mín máx

x xy y

= − == − =


.

La distribución de los puntos en el dominio [ 2, 2] [ 2,2]Ω = − × − es aleatoria, tomándose una

cantidad relativamente pequeña para forzar el programa en el proceso de obtención de modelos. 5.4.2 Entrada de datos

Accedemos al fichero según la trayectoria C:\EF\Captura\AbSinSC100.txt y se crea la carpeta de almacenamiento con el nombre del fichero, la hora y el día.

Visualizamos como siempre una complejidad (4,2,2)c es decir , de 4 elementos , 2 horizontales

por 2 verticales (imagen 5.41)

Imagen 5. 41


El plano de regresión viene dado en la imagen siguiente

Imagen 5. 42 y pasamos directamente al cálculo de modelos 5.4.3 Cálculo de modelos

Imagen 5. 43


Se han buscado modelos con un número de elementos no muy alto pues la rugosidad de la superficie se trasmite al modelo con el aumento de elementos y nuestro objetivo no es ajustar la superficie sino buscar una aproximación de ella en determinados puntos del dominio.

Las complejidades elegidas se pueden observar en la tabla final para AC y en el cuadro de

modelos analizados, a continuación.

Tabla 5. 26 5.4.4 Análisis de conglomerados jerárquico Se genera el fichero AbSinSC100.xls en el que se encuentra la tabla siguiente:


Tabla 5. 27 Ejecutamos el programa SPSS y accedemos a los dendrogramas

Gráfica 5. 51


Gráfica 5. 52

Gráfica 5. 53


Gráfica 5. 54

Gráfica 5. 55


Gráfica 5. 56

Gráfica 5. 57


Si observamos los dendrogramas detenidamente veremos que hay coincidencia de formación de conglomerados en los métodos promedio inter-grupos, promedio intra-grupos, centroide y Ward mientras que el resto presenta variaciones respecto a la fusión con los objetos 9 y 12. Por tanto nos ceñiremos a los métodos coincidentes para la interpretación de la formación de conglomerados.

Estos cuatro métodos muestran unos patrones bastante similares como puede apreciarse por los historiales de conglomeración:

Tabla 5. 28


Tabla 5. 29

Tabla 5. 30


Tabla 5. 31

Se puede apreciar en los historiales que los coeficientes de aglomeración en los dos primeros métodos son más bajos que en los dos últimos y que hay dos conglomerados no unitarios claramente diferenciados previos a la última fusión . Para ello basta ver el peso de las fusiones previas a la última en comparación con ésta.

Veamos el coeficiente de aglomeración obtenido mediante el paquete estadístico SPLUS para el

método promedio inter-grupos:


Y mediante el método de Ward (aunque se ha realizado con la distancia euclídea y no la euclídea al cuadrado)


Los coeficientes de aglomeración, en cualquier caso son suficientemente elevados por lo que indican que entre los conglomerados previos a la última fusión e incluso anteriores hay poca disimilaridad. En Resumen (Se pueden considerar dos o cuatro conglomerados):

a) Si optamos por 2 conglomerados (8,10,11,12) y (5,6,4,2,3,7,1,9) puede resultar que todos los modelos sea aceptables en su grupo por lo que habría que analizar otros parámetros para acotar más los modelos idóneos para el investigador.

b) Si optamos por 4 conglomerados (8,10,11) (12) ((5,6,4) y (2,3,7,1,9) podemos tomar decisiones en función de otros parámetros lo que nos podría ofrecer grupos idóneos de menor cardinal situación que ,en principio, es más aceptable que la primera salvo que se obtengan más modelos y más análisis de conglomerados.


Todas estas consideraciones están sujetas a las validaciones (internas) que consideremos oportunas. Validación:

Se han realizado varias particiones de la muestra y realizado de nuevo el análisis llegando a

trayectorias arbóreas de formación similares y coeficientes de aglomeración con variaciones de 0,06±

sobre el coeficiente de la tabla completa en la vinculación promedio y de 0,03± en el método Ward.

5.4.5 Análisis de la estabilidad de los modelos Se analiza la estabilidad de los modelos en las condiciones habituales.

Imagen 5. 44


Se observa que todos los modelos son estables por lo que este parámetro no ofrece información

que pueda eliminar algún modelo, más bien al contrario. 5.4.6 Análisis de la suavidad de los modelos

Veamos qué sucede con las rugosidades iniciales de la superficie y su traslación a los modelos generados.





Obsérvese el plegamiento progresivo ante el aumento de elementos.


Veamos ahora el cuadro de errores de modelo según lo establecido en el capítulo 3

Tabla 5. 32 Resumen: En base a los resultados analizados resulta obvio que los tres primeros modelos podrían formar un grupo junto con el plano de regresión ( e incluso el modelo 6 ). Por otro lado hemos utilizado complejidades “sencillas”, dado que la irregularidad de la superficie, aunque no es abrumadora, tiende a provocar grandes variaciones en el valor del modelo en los nodos. Este caso nos muestra una situación con todos los modelos estables, con una suavidad bastante buena y un error respecto a los datos iniciales, en bastantes casos, menor que el error del modelo. No es descabellado pensar que modelos de mayor complejidad tendrán un error bajo respecto a los datos iniciales, que no poseen errores sistemáticos, y alto globalmente pues las superficies formadas mediante los valores en los nodos forman ángulos cada vez mayores con el fin de adaptarse a la superficie original.


6. CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES

El trabajo de investigación realizado en ésta tesis, supone por una parte la implementación de una nueva metodología de modelización que podrá aplicarse en el estudio de relaciones definidas a priori y de las que se conocen datos experimentales de las variables que intervienen en las mismas.

Dicha metodología ha generado un modelo de representación que es considerado como la

interpolación de una cierta función definida sobre un modelo de elementos finitos, que como es habitual en la aplicación del método todo queda supeditado a lo que ocurra en un número finito de puntos o nodos. Se ha comenzado con el análisis del problema en el espacio bidimensional lo que nos conducirá con posterioridad a una mejor resolución del planteamiento del problema en el espacio n-dimensional. Hay además que resaltar que la función de interpolación se define inicialmente por el valor que toma en los nodos y éstos valores se calculan de forma que se minimice una cierta función de error, definida previamente y que depende de la muestra.

Los modelos que se obtienen a partir de la metodología implementada quedan además

caracterizados por la simplificación en la búsqueda de los mismos, de forma que se ajustan a la realidad de los datos experimentales lo suficiente como para no arrastrar los errores en las observaciones y a su vez poder inferir situaciones diferentes.

Se ha realizado un estudio diferente y complementario de los que podemos encontrar para el

estudio y generación de modelos matemáticos definidos en sistemas y obtenidos a partir de los datos experimentales: [12], [13], [50], [51], [52] y [54].

Por otra parte la metodología implementada será utilizada en el estudio y modelización de sistemas

complejos en donde el número de relaciones y de variables que intervienen en las mismas puede ser elevado. En éste sentido una forma plausible de modelización es la agrupación de las variables en clases homogéneas en cada una de las cuales se pueda aplicar una metodología de modelización diferente. Sería entonces posible su aplicación de forma híbrida con otras metodologías como las consideradas en [10] y [31].


Finalmente se abre una posibilidad de aplicar la metodología de modelización en el estudio de modelos matemáticos descritos de forma general por ecuaciones diferenciales en las que intervengan funciones o coeficientes que no estén descritos analíticamente. Concretamente en aquellas en donde se calcule la solución de forma aproximada aplicando el método de los elementos finitos.

Las futuras investigaciones van a ir encaminadas en dos direcciones.

Por un lado el modelo de aproximación presentado a partir de modelos de elementos finitos bidimensionales, deberá extenderse a espacios de mayor dimensión. Para ello se considerará primeramente su planteamiento en 3-dimensiones que conlleva implícitamente una componente geométrica del espacio considerado. Pero, además es necesario considerar aproximaciones mediante

modelos de elementos finitos en dimensiones 4n ≥ . La obtención de modelos n-dimensionales que

permitan generar nuevos modelos de aproximación, va a suponer realizar primero un estudio teórico diferente con el que sea posible definir para cada valor de n los modelos geométricos. Esto nos conducirá a la obtención de una nueva herramienta que será aplicable en el estudio y modelización de relaciones definidas en un sistema que vengan descritas a partir de n-variables y de las que se conozcan datos experimentales.

Además para una n-dimensión se introducirá un nuevo parámetro de información que nos ayude a

seleccionar el modelo. Éste vendrá determinado por la construcción iterativa de modelos de manera que el modelo i+1 será calculado, con la metodología implementada, a partir de los datos experimentales que resultan los mismos para las variables predictivas y las respuestas en dichos datos se obtienen con el modelo i. De esta forma se obtiene una familia de modelos en función de la variación producida en las respuestas sucesivas que nos debe conducir a un nuevo parámetro de información.

Por otro, los modelos de aproximación obtenidos a partir de modelos de elementos finitos serán

aplicados en el estudio y resolución aproximada de cierto tipo de ecuaciones en derivadas parciales, eligiendo además como método de aproximación el método de los elementos finitos.

De forma genérica el planteamiento sería considerar un problema definido por:


( )( )( )( ) ( )

( ) ( ),

( ) , un abierto acotado,

= ∈Ω

= ∈∂Ω Ω Ω⊂ n

A K u f

B K u g R

x x x x

x x x x

donde A es un operador en derivadas parciales lineal de orden k en n variables:

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2, ,......,0 1

, ... αα α ααα α α

α α= = ≤

≡ = =∑∑ ∑n

n

k

ni k

A A D a D D D a Dx x x

1 2

1 2

.......

1 2

,.....

i ni

i nii n

D Dx x x x

α α α αα α

α αα α

+ + +∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

Dicho problema es el modelo de algún fenómeno y su solución ( )u x se ha de buscar de forma

aproximada. La aplicación de la metodología implementada en este proyecto y su extensión a modelos n-

dimensionales, será para aquellas ecuaciones en derivadas parciales en donde aparezcan coeficientes cuyas expresiones no son conocidas pero de las que se conocen datos experimentales. Estos coeficientes podrán ser los de la ecuación en derivadas parciales o bien estar implícitos en la propia

definición de ( )u x porque se conozca su expresión en función de otro fenómeno.

Ecuaciones de este tipo se encuentran en problemas comunes como el del movimiento de un

líquido a través de un medio poroso, que si el medio es anisótropo el problema puede venir definido por una ecuación en derivadas parciales del tipo:

0⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

x y zh h hk k k

x x y y z z

Si bien es cierto que en determinados casos el efecto de la anisotropía se puede despreciar, en

algún caso puede ser importante (acuíferos en régimen variable).


7. BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS [1] Anderberg, M. R. “Clustering Analysis for Applications”. Academic Press.1973. [2] Aziz, A.K. “The mathematical foundations of the finite element method with applications to partial

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