ruang vektor (v t s )(vector space) definisi ruang vektor tersebut, semua himpunan yang memenuhi ke...
TRANSCRIPT
RUANG VEKTORRUANG VEKTOR(V t S )(V t S )(Vector Space)(Vector Space)
dandandandanRuangRuang Bagian (Subspace)Bagian (Subspace)
28/02/200928/02/2009 11budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
RUANG VEKTORRUANG VEKTOR (VECTOR SPACE)(VECTOR SPACE)
Diketahui himpunan V dengan u, v, w ∈ V dan i (+) b l k di t t t V operasi (+) berlaku diantara anggota-anggota V.
Diketahui Field F dengan a, b ∈ F.Antara anggota-anggota F dan anggota-anggota V berlaku operasi (x).gg p ( )Himpunan V disebut ruang vektor atas field F jika berlaku :jika berlaku :
28/02/200928/02/2009 22budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
RUANG VEKTOR (lanjut..)
Untuk operasi (+) pada anggota-anggota VUntuk operasi ( ) pada anggota anggota V memenuhi sifat :
1 tertutup; u + v ∈ V1. tertutup; u + v ∈ V2. asosiatif; (u + v) + w = u + (v + w)3 i l id tit 03. mempunyai elemen identitas 0;
sedemikian hingga u + 0 = u4. setiap unsurnya mempunyai invers; setiap
u ada (-u) sehingga u + (- u) = 0u ada ( u) sehingga u ( u) 05. komutatif; u + v = v + u
28/02/200928/02/2009 33budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
RUANG VEKTOR (lanjut..)
Antara anggota anggota F dengan anggotaAntara anggota-anggota F dengan anggota-anggota V memenuhi sifat :
6. tertutup; a u ∈ V7. distributif; a ( u + v) = a u + a v( )8. distributif; (a + b) u = a u + b u9 asosiatif; a (b u) = (a b) u9. asosiatif; a (b u) (a b) u
10. identitas perkalian; ada 1 ∈ F, sehingga 1 u = u1 u = u
28/02/200928/02/2009 44budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
Catatan :1 Jika V mer pakan r ang ektor anggota1.Jika V merupakan ruang vektor, anggota-
anggota V disebut vektor.gg2.Operasi penjumlahan pada V selanjutnya
di b t i j l h ktdisebut operasi penjumlahan vektor3.Operasi perkalian antara anggota F dengan p p gg g
anggota V disebut perkalian skalar4. Vektor 0 ∈ V yg merupakan elemen identitas
penjumlahan vektor, disebut Vektor nol.penjumlahan vektor, disebut Vektor nol.5. Vektor (-u) yang merupakan invers dari vektor
u adalah lawan atau negatif dari u.28/02/200928/02/2009 55budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
Berdasarkan definisi ruang vektor tersebut, semua himpunan yang memenuhi ke 10 sifat
tersebut dinamakan ruang vektor; dan anggota-g gganggotanya dapat disebut sebagai vektor.
Contoh :M = { semua matriks berdimensi 3x2}. Operasi penjumlahan pada M adalahOperasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks. Operasi
k li d l h k li k l d i Fperkaliannya adalah perkalian skalar dari F dengan anggota-anggota M. g gg ggApakah M merupakan ruang vektor ?28/02/200928/02/2009 66budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
Solusi :Ambil A3x2, B3x2, C3x2 ∈ M
1. Tertutup dipenuhi, sebab A + B = D3x2 ∈ M2. asosiatif dipenuhi, sebab (A + B) + C = A + (B + C)
⎞⎛ 003. Mempunnyai identitas,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
000000
O sehingga A + 0 = A
4. Untuk setiap ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3231
2221
1211
aaaaaa
A ada⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
=−
3231
2221
1211
aaaaaa
A sehingga A + - A = 0⎠⎝ 3231 ⎠⎝ 3231
5. Komutatif dipenuhi ; A + B = B + A 6 Untuk k m ∈ F ; maka k A ∈ M6. Untuk k, m ∈ F ; maka k A ∈ M 7. distributif; k(A + B) = k A + k B8. distributif; (k + m) A = k A + m A9 i if k ( A) (k ) A9. asosiatif; k (m A) = (k m) A10. identitas perkalian; ada 1 ∈ F, sehingga 1 A = A
Karena 10 sifat dipenuhi, maka M adalah ruang vektor.28/02/200928/02/2009 77budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
Manakah yang merupakan ruang vektor ?1 P {sem a polinom berderajat 2} dengan operasi penj mlahan1. P = {semua polinom berderajat 2}, dengan operasi penjumlahan
antara polinom dan perkalian skalar dengan polinom.
2. Himpunan 2-tuple, dengan operasi penjumlahan adalah sbb :
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ 1a
+ ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ 1b
= ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ + 11 ba
dengan operasi perkalian didefinisikan⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 2a ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ 2b ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ − 22 ba
⎟⎞
⎜⎛ 1a
⎟⎞
⎜⎛ 1ka
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
aa
k = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
kaka
3. Himpunan 2-tuple, dengan operasi penjumlahan adalah sbb :
⎟⎞
⎜⎛ 1a
⎟⎞
⎜⎛ 1b
⎟⎞
⎜⎛ + 11 ba
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
aa
+ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
bb
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
22
11
baba
⎞⎛ ⎞⎛k=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
aa
k ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
1ka28/02/200928/02/2009 88budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
Himpunan pasangan berurutan dari n bilangan real (n – tuple) :
⎟⎞
⎜⎛ a1
⎟⎟⎟⎟
⎜⎜⎜⎜
=a
a...
2 dengan operasi penjumlahan yg didefinisikan dengan :
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ na
...
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛aa
2
1
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛bb
2
1
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
++
baba
22
11
dengan operasi perkalian
⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝a...
2+
⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝b...
2=
⎟⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜⎜
⎝ + ba...
22 dengan operasi perkalian Didefinisikan :
⎠⎝ na ⎠⎝ nb ⎠⎝ + nn ba
⎟⎞
⎜⎛ a1 ⎟
⎞⎜⎛ ka1
Himpunan n-tuple tersebut memenuhi
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛aa
k 2
1
=⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛kaka
2
1 10 sifat ruang vektor. Jadi himpunann-tuple dari bilangan real adalah
⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ na...
⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ nka... ruang vektor. Secara umum dinyatakan
dengan Rn.28/02/200928/02/2009 99budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
Teorema 1:Teorema 1:Andaikan V adalah ruang vektor dengan u∈ V dan k ∈ F makadengan u ∈ V dan k ∈ F, maka
(i) Untuk 0∈ F, berlaku 0 u = O(i) Untuk 0 ∈ F, berlaku 0 u O
(ii) Untuk O ∈ V, berlaku k O = O(iii) Untuk -1 ∈ F, berlaku (-1) u = - u
(iv) Jika k u = 0, maka k = 0 atau u = O(v) –(k u) = (-k) u = k (- u)(v) (k u) ( k) u k ( u)
28/02/200928/02/2009 1010budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
0 ∈ F, berlaku 0 u = O,Bukti :0 + 0 = 0 sifat field0 + 0 = 0 sifat field(0 + 0) u = 0 u0 + 0 0 if t RV k 70u + 0u = 0u sifat RV ke 70u + 0u + (- 0u) = 0u + (-0u)0u + 0 = 0 sifat RV ke 40u = 0 sifat RV ke 3(terbukti).
28/02/200928/02/2009 1111budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta
RUANG VEKTOR BAGIANRUANG VEKTOR BAGIANRUANG VEKTOR BAGIANRUANG VEKTOR BAGIAN
v Ruang vektor
W V⊂
W M M V ⊂
Jika W memenuhi 10 aksioma ruang vektorJika W memenuhi 10 aksioma ruang vektor, maka W disebut Ruang Bagian (Subspace) V
Ruang Vektor Bagian (Subspace)
Teorema :W adalah subspace dari ruang vektor V jikaW adalah subspace dari ruang vektor V jika dan hanya jika • W tidak kosong
T t t t h d j h W• Tertutup terhadap penjumhan; u, v ∈ W; u + v ∈ W
• Tertutup terhadap perkalian; u ∈ W, W d d l h k lau ∈ W; dengan a adalah skalar.
Akibat Teorema :W subspace dari ruang vektor V jika dan hanya
jika :jika :O ∈ WUntuk u v ∈ W maka ku + lv ∈ W;Untuk u, v ∈ W, maka ku + lv ∈ W; dengan k, l adalah skalar.
Contoh :A d ik V R3Andaikan V = R3.
⎟⎞
⎜⎛ a
Apakah W = { | b = 2c; a, b, c ∈ R }. ⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ cb
Selidiki apakah W subspace dari V ?.⎠⎝
(i)0 = anggota W sebab 0 = 2.0⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
00
(ii) Misal u = dengan syarat b1 = 2c1
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 0
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
1
1
ba
(ii) Misal u dengan syarat b1 2c1
d b 2
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 1
1
c
⎟⎞
⎜⎛ 2a
v = dengan syarat b2 = 2c2⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
2
2
cb
⎠⎝ 2c
ku + lv = + =⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ 1ka
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ 2
lbla
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
++ 21
lbkblaka
ku + lv = + = ⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ 1
1
kckb
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 2
2
lclb
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ ++
21
21
lckclbkb
⎠⎝ 1
kb1 + lb2 = 2kc1 + 2lc2 = 2(kc1 + lc2)Jadi ku + lv adalah anggota WJadi ku + lv adalah anggota W. Jadi W subspace V
Teorema :Teorema :Teorema :Teorema :
Andaikan U dan W adalah subspace dari V, Andaikan U dan W adalah subspace dari V, maka U maka U ∩∩ W juga W juga subspacesubspace dari Vdari Vj gj g pp
Bukti :Bukti :Karena U dan W adalah Karena U dan W adalah subspacesubspace, maka , maka OO ∈ U dan O ∈ W, berarti O ∈ (U ∩∩ W).W).O O ∈ U dan O ∈ W, berarti O ∈ (U ∩∩ W). W). Ambil u, v Ambil u, v ∈ (U ∩∩ W), berarti :W), berarti :u, v u, v ∈ U au + bv au + bv ∈ Uu v ∈ WW au + bvau + bv ∈ WWu, v ∈ WW au + bv au + bv ∈ WW
au + bv au + bv ∈ (U ∩∩ W). W).
Jadi Jadi U ∩∩ W adalah W adalah subspacesubspace dari V. dari V.
Contoh :Contoh :Andaikan V = RAndaikan V = R33 Jika U dan W adalahJika U dan W adalahAndaikan V RAndaikan V R . Jika U dan W adalah . Jika U dan W adalah subspace V dengan :subspace V dengan :
U { | b 0 bU { | b 0 b R } dR } d⎞⎛aU = { | a + b = 0; a, b, c U = { | a + b = 0; a, b, c ∈∈ R }, dan R }, dan ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ba
⎟⎞
⎜⎛a
⎟⎠
⎜⎝ c
W = { | a = 2c; a, b, c W = { | a = 2c; a, b, c ∈∈ R }, maka :R }, maka :⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝cb
⎠⎝
⎟⎞
⎜⎛a
UU∩∩W = { | a + b = 0; a = 2c; dng a,b, c W = { | a + b = 0; a = 2c; dng a,b, c ∈∈R }. R }. ⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝cb
Tunjukkan bahwa U Tunjukkan bahwa U ∩∩ W juga W juga subspacesubspace dari V.dari V.⎠⎝c