RÉSZECSKE-HULLÁM KETTŐSSÉG

fény: egyszerre hullám a részecskenyaláb (= anyag)

A szokásos anyag is viselkedhet

hullámként?

Bármely testre igaz.

m = 1,0 mg v = 1,0 ms1 = 6,6 1028 m

elektronra

m = 9,1 1031 kg v = 2,2 106 m s1 = 3,3 1010 m

De Broglie-egyenlet (1922):

mv

h

Louis de Broglie

(1892-1987)fizikai Nobel-díj 1929

a0: Bohr-féle atomsugár 5,29 1011 m

RÉSZECSKE-HULLÁM KETTŐSSÉG

a Bohr-modell impulzusmomentum-kvantáltsági

posztulátuma:

mevr = nh/2

Az elektron hullámhossza:

= h/(mev)

A kettő összehasonlításából:

2r = n

Az elektronhullám éppen le kell fedje a kör alakú

elektronpálya kerületét!

KÉTRÉSES KÍSÉRLET

KÉTRÉSES KÍSÉRLET

KVANTUMJELENSÉGEK – ÚJ FIZIKA

1926 Erwin Schrödinger HULLÁMMECHANIKA

1927 Werner Heisenberg MÁTRIXMECHANIKA

A két különböző fizikai megközelítésről később Paul Dirac

bebizonyította, hogy

EGYENÉRTÉKŰEK.

Erwin Rudolf Josef Alexander

Schrödinger (1887-1961)

fizikai Nobel-díj 1933

Werner Karl Heisenberg

(1901–1976)

fizikai Nobel-díj 1932

Paul Adrien Maurice Dirac

(1902-1984)

fizikai Nobel-díj 1933

HULLÁMEGYENLETEK

A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN

HULLÁMEGYENLETEK

A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN

Stratégia: majdnem reménytelen dolog a tér

minden pontjában a hullámra ható erőkkel Newton

II. törvénye szerint elszámolni.

Ezért egy idő- és térkoordinátáktól is függő

hullámfüggvényre () vonatkozó, parciális

differenciálegyenlettel írjuk le a mozgást.

2 2

2

2 2

, ,x t x tv

t x

Egy dimenziós hullám

v: terjedési sebesség

HULLÁMEGYENLETEK

A KLASSZIKUS FIZIKÁBAN

Egy idő- és térkoordinátáktól is függő

hullámfüggvényre () vonatkozó, parciális

differenciálegyenlettel írjuk le a mozgást.

2 2

2

22

, ,r t r tv

t r

Három dimenziós hullám

általános alak

2 2 2 22

2 2 2 2v

t x y z

HULLÁMFÜGGVÉNY

A KVANTUMMECHANIKÁBAN

,r t

r t klasszikus mechanika: egy részecske

pályája, a helykoordináták az idő

függvényében

hullámmechanika: egy részecske

mozgását jellemző hullám amplitúdója a hely és

az idő függvényében

A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE

1 2, és ,r t r t

interferenciajelenségek a klasszikus

mechanikában: a két vagy több kölcsönható

hullám amplitúdói összeadódnak

egységes fizikai tapasztalat: részecskék

mozgását jellemző hullámfüggvények

interferenciájakor a külön-külön vett

hullámfüggvények amplitúdói összeadódnak

eredő 1 1 2 2, ,r t r t

A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE

részecskedetektorok: a hullámfüggvény

intenzitására (= amplitúdó négyzetére)

érzékenyek és nem az amplitúdóra

22

eredő 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

, ,

, , 2 , ,

r t r t

r t r t r t r t

interferenciatagintenzitásösszeg

A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE ÉS AZ

ANYAGMEGMARADÁS

oda visszasin sinkx t kx t

hullám-visszaverődés:

interferencia egy részecske saját visszavert

hullámával

Pl. az elektron egy dimenzióban (x) terjedő

síkhullámként elképzelve

eredő oda vissza

sin sin

2sin cos

kx t kx t

t kx

A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE ÉS AZ

ANYAGMEGMARADÁS

hullám-visszaverődés:

eredő 2sin cost kx

Minden olyan időpontban, ahol t = /,

a hullámfüggvény a tér minden pontjában nulla

(teljes önkioltás)

Anyagmegmaradás??? (Hol van az elektron?)

Megoldás: a hullámfüggvény értékeinek nem

valós számoknak, hanem komplex számoknak

kell lenniük

HULLÁMFÜGGVÉNY KOMPLEX

SZÁMOKKAL

komplex szám: z a ib 1i

valós rész képzetes rész

komplex szám négyzete:

2 2 2 2z a ib a b abi komplex szám

komplex konjugált: *z a ib

2 2*zz a ib a ib a b valós szám

HULLÁMFÜGGVÉNY KOMPLEX

SZÁMOKKAL

komplex számsík: 2 2*zz a b

* cos sinz zz i

*eiz zz

Az egyszerű jelölés lehető-

sége miatt a komplex szá-

mokat már korán használni

kezdték elektromágneses

hullámok leírásában.

A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE KOMPLEX

SZÁMOKKAL

eredő 1 1 2 2, ,r t r t

Mind komplex számok. Az intenzitás így nem az

amplitúdó négyzete, hanem az amplitúdó saját

komplex konjugáltjával alkotott szorzata:

eredő eredő 1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

* * , * , * , * ,

* , * , * * , ,

r t r t r t r t

r t r t r t r t

A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE KOMPLEX

SZÁMOKKAL

oda visszae eikx i t ikx i t

hullám-visszaverődés:

eredő oda vissza e e

2e cos

ikx i t ikx i t

i t kx

Stacionárius pályák a Bohr-modellben:

e i t r alakú állóhullámok, amelyekben az

elektromos töltéssűrűség eloszlása

állandó, így nincs sugárzás

HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG

hullámterjedés és részecskemozgás:

Különböző hullámhosszú hullámok

szuperpozíciójából hullámcsomag alakul ki,

ez a részecske mozgásának analógiája.

Véletlen szuperpozíciók a legtöbb helyen

kioltják egymás, hullámcsomag csak azokon

a helyeken alakulhat ki, ahol a részhullámok

fázisai egybeesnek. A „jó” szuperpozíciós

helyek viszont más időpontokban máshol

vannak, vagyis a hullámcsomag elmozdul.

Ennek a mozgásnak a sebessége a

csoportsebesség.

HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG

Egydimenziós (x) példa:

Legyen a hullámhossz és

k = 2/ („körhullámszám”)

sin kx t

Az azonos fázisú helyek vfázis = / k

sebességgel terjednek

Alkossuk meg sok különböző k-jú hullám

szuperpozícióját, ezek körfrekvenciája függ a

k-tól az (k) függvény szerint

eredő sin dk kx k t k integrálás az összegzés helyett, mert k folytonosan

változhat.

HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG

eredő sin dk kx k t k Az integrál olyan (x, t) párokra lehet nullától

jelentősen különböző, ahol a szinuszjel mögötti

kifejezés alig (gyakorlatilag nem) függ k-tól. Tehát:

0kx k tk

0

kx t

k

Az ilyen, nullától különböző helyek vcsop

csoportsebességgel mozognak:

csop

kxv

t k

HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG

Nagyon egyszerű kiterjesztés három dimenzióra:

csop

kv

k

csop

kv

k

De Broglie hullámhossz emlékeztető: h

p

Körhullámszám: 2π 2πp

kh

3D-ben:

Energia: 2

2π 2

h pE h

m

2πk p

h

HULLÁMCSOMAG, CSOPORTSEBESSÉG

csop

kv

k

2

2π 2

h pE

m 2π

k ph

2

csop

2π

22π

pE

E ph mvmp pp

h

Tehát a csoportsebesség a klasszikus sebesség

közvetlen hullámmechanikai analógja:

MOZGÁS ERŐTÉRBEN

A hullámmechanikában a mozgások változatossága

sokkal nagyobb, mint a klasszikus mechanikában. A

leíráshoz az egyedi erőjárulékokkal való bonyolult

elszámolás helyett sokkal célszerűbb potenciál-

függvényekkel dolgozni (ld. Hamilton-mechanika a

klasszikus fizikában).

Ahol adott E energia mellett változik a potenciál, ott

változik a jellemző hullámhossz is. Az eddigiek alapján

továbbra is célszerű körhullámszámmal dolgozni a

hullámhossz helyett (nyílt hullámcsomag):

2π2k r m E V r

h

MOZGÁS ERŐTÉRBEN

Ha egy lokalizált hullámcsomag a potenciális energia

csökkenése irányába mozdul el, akkor növekszik a

hullámhossza, csökken a hullámhossza, növekszik az

impulzusa.

2π2k r m E V r

h

A potenciális energia változása matematikailag a

potenciális energia térkoordináták szerinti deriváltjával

(gradiensével) írható le, ez éppen az erő.

MOZGÁS ERŐTÉRBEN

Zárt pálya mentén „szétfolyó”, önmagába záródó hullámra:

a hullámhossza függ térkoordinátáktól:

a kis szakaszra ráférő

hullámhosszhányad:

d r

d r

r

Az önmagába záródás geometriai feltétele:

p r drdr

n n p d r hnhr

n: egész szám

MOZGÁS ERŐTÉRBEN

p d r hnn: egész szám

p d r hn Egyenletes körmogásnál az impulzus

nagysága nem függ a helykoordinátától, az integrálás

pedig egy kör kerülete mentén történik:

2πp d r p d r p r hn a Bohr-modell impulzusmomentum-kvantáltsági

posztulátuma: mevr = nh/2

Bohr-Sommerfeld-kvantumfeltétel

MOZGÁS ERŐTÉRBEN

p d r hnn: egész szám

Bohr-Sommerfeld-kvantumfeltétel

Arnold Johannes Wilhelm

Sommerfeld (1868-1951)

tanítványai 3 fizikai és 2 kémiai

Nobel-díjat kaptak

HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ(K)

Egy hullámcsomag mozgása sok mindenben nem hasonlít

egy klasszikus tömegpont (részecske) mozgására.

Egy hullámcsomag térben kiterjedt, tehát nincs egyetlen

határozott helye: legyen a kiterjedés x

A hullámcsomagot különböző körhullámszámú

komponensekből lehet kikeverni, ezért az impulzusnak

is van „kiterjedése”: p = h k / 2

eredő sin dk kx k t k

HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ(K)

min

max

π

2x

k

x min

max

1

2πx

k

max

1

2 2π

hp k

4π

hx p Heisenberg-féle határozatlansági reláció

Más fizikai mennyiségek párjaira is létezik, pl.:

4π

ht E

ALAPÁLLAPOT

Egy elektron és egy proton sokkal kisebb helyen is elférne,

mint a hidrogénatom szokásos mérete...

Miért annyira nagyok az atomok?

A hidrogénatom zsugorítása ugyan az elektron potenciális

energiájának csökkenésével járna, de a határozatlansági

reláció miatt cserébe megnőne a kinetikus energiája.

Alapállapot: a legstabilabb állapot, ahol a potenciális és

kinetikus energia összege a legkisebb

A x mérethez tartozó impulzus-bizonytalanság négyzete

nagyjából az impulzus nullától való eltérésének az átlaga:2

2

2 216π

hp

x

2

kin 2 232 π

hE

m x

durva közelítések

ALAPÁLLAPOT

2

kin 2 232 π

hE

m x

A kinetikus és a potenciális energia összege (Hamilton-

függvénye)...

2 2

2

mV x x

1. próba: harmonikus oszcillátor

2

2 2( )

32 π

hH x V x

m x

a rezgés körfrekvenciája

22

2 316 π

H hm x

x m x

0

H

x

a minimum-

helyen:

ALAPÁLLAPOT

22

min 2 3

min

016 π

hm x

m x

min4πm

hx

az oszcillátor mérete

22 2

min min min 2 2

min

22

2

( )2 32 π

1

2 4π 4π32 π

4π

m hE H x x

m x

h h hm

hmm

m

azonos az oszcillátor nullponti energiájára

vonatkozó későbbi képlettel

ALAPÁLLAPOT

2

04

eV x

x

2. próba: hidrogénatom

2

2 2( )

32 π

hH x V x

m x

2 2

2 2 3

0 min min

04 16 π

e h

x m x

2

0min 24 π

hx

e m

2

00 2π e

ha

e m

Bohr-féle atomsugár

BORN-FÉLE STATISZTIKUS ÉRTELMEZÉS

ÉS NORMÁLÁS

Hol van a részecske:

1. a detektorok a intenzitást észlelik, nem az amplitúdót

2. csak valószínűségi válasz adható

Annak a valószínűsége, hogy a részecske egy adott hely

körül kicsiny d3r térfogatú térelemben van (Born-szabály):

3( , ) * ( , )dr t r t r

Valahol lennie kell a térben a részecskének, tehát a teljes

térben 1 valószínűséggel meg kell találnunk:

3

teljes

( , ) * ( , )d 1r t r t r Normálás

BORN-FÉLE STATISZTIKUS ÉRTELMEZÉS

ÉS NORMÁLÁS

Max Born

(1882-1970)

fizikai Nobel-díj, 1954

BORN-FÉLE STATISZTIKUS ÉRTELMEZÉS

ÉS NORMÁLÁS

Annak a valószínűsége, hogy a részecske egy adott hely

körül kicsiny d3r térfogatú térelemben van:

3( , ) * ( , )dr t r t r

e ( , ) e * ( , ) e ( , )e * ( , )

( , ) * ( , )

i i i ir t r t r t r t

r t r t

Egy hullámfüggvény fizikai tartalmát nem változtatja

meg, ha mértéktranszformációnak vetjük alá, vagyis

szorozzuk egy ei taggal mértékinvariancia