Kombinatoryka1

Uwagi wstępne. Kombinatoryką nazywamy dziedzinę matematyki, której zadaniem jest obliczanie

liczby zbiorów, w jakie można łączyć w określony sposób przedmioty należące do danego zbioru

skończonego. Każdy przedmiot rozpatrywany w kombinatoryce nazywamy elementem. Zauważmy,

że z m elementów ��, … , �� i n elementów ��,… , �� można utworzyć � ⋅ � par postaci ���, ���, 1 ≤

� ≤ �, 1 ≤ � ≤ �.

Wariacje bez powtórzeń: wariacją (rozmieszczeniem) bez powtórzeń z n elementów po k elementów

nazywamy uporządkowany zbiór składający się z k różnych elementów wybrany spośród n różnych

elementów. Liczbę wariacji bez powtórzeń z n elementów po k oznaczamy ���. Liczba wariacji bez

powtórzeń z n elementów po k (� ≤ �) wyraża się wzorem:

��� = �(� − 1)(� − 2)… (� − � + 1) =

�!

(���)!.

Liczba wariacji bez powtórzeń jest równa liczbie sposobów, na jaki można pobrać z populacji

generalnej próbkę k-elementów bez zwrotu przy kolejnym pobieraniu elementów: pierwszy element

może być wybrany na n sposobów, drugi na n-1 itd.

Wariacje z powtórzeniami: wariacją (rozmieszczeniem) z powtórzeniami z n elementów po k

elementów nazywamy uporządkowany zbiór składający się z k elementów różnych lub nie różniących

się od siebie, wybrany spośród n elementów. Liczbę wariacji z powtórzeniami oznaczamy ����. Liczbę

wariacji z powtórzeniami można zinterpretować jako próbkę k-elementową pobraną z populacji n-

elementowej ze zwracaniem. Może się zdarzyć, że w skład próby wchodzą jednakowe elementy.

Próby uważamy za różne, jeśli różnią się składem lub porządkiem elementów. Z populacji n-

elementowej pierwszy element możemy wybrać na n sposobów. Po wylosowaniu, zwracamy go do

populacji, a zatem kolejny element próby też możemy wybrać na n sposobów. Ostatecznie: ���� = ��.

Permutacje bez powtórzeń: Zbiór składający się z n elementów uporządkowanych i różnych

nazywamy permutacją (przemianą) bez powtórzeń z n elementów. Permutując, ustawiamy wszystkie

elementy zbioru różnoelementowego w określonym porządku. Dwie permutacje danego zbioru

różnią się od siebie tylko kolejnością elementów (permutacja jest więc wariacją z n elementów po n).

Liczba permutacji �� = ��� = �(� − 1)…1 = �!

Kombinacje bez powtórzeń: Kombinacją bez powtórzeń z n elementów po k nazywamy zbiór

składający się z k różnych elementów wybranych spośród n różnych elementów, przy czym obojętne

jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone. Liczbę kombinacji bez powtórzeń z n

elementów po k elementów oznaczamy symbolem ���, przy czym ��

� = ����.

Zadanie 1. Na konkursie tańca spotyka się 5 panów i 8 pań. Każdy pan ma zatańczyć z każdą panią 2

różne tańce. Ile razy orkiestra musi grać, jeżeli równocześnie tańczą 4 pary?

Zadanie 2. Ile można wykonać trójkolorowych chorągiewek z 6 barw?

Zadanie 3. Ile można utworzyć liczb parzystych czterocyfrowych o nie powtarzających się cyfrach?

Zakładamy, że zero nie pojawia się na pierwszym miejscu.

1 Na podst. Gernsternkorn T., Śródka T. „Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa”.

Zadanie 3. Ile można utworzyć liczb parzystych czterocyfrowych? Zakładamy, że zero nie pojawia się

na pierwszym miejscu, a cyfry mogą się powtarzać.

Zadanie 4. Na ile sposobów można usadzić 5 osób na 5 miejscach A) w jednym rzędzie? B) przy

okrągłym stole? Dwa sposoby uważamy za różne, jeśli przynajmniej jedna z osób ma innego sąsiada

po lewej lub prawej ręce.

Zadanie 5. Pewien biznesmen zapomniał hasła do swojej aktówki. Hasło jest liczbą 7-cyfrową

złożoną z cyfr od 1 do 7 włącznie. Cyfry w haśle nie powtarzają się i 3 ostatnie wybrane są ze zbioru

{5,6,7}. Ile możliwości trzeba sprawdzić w najgorszym przypadku, aby otworzyć zamek?

Zadanie 6. Litery alfabetu Morse’a utworzone są z ciągu kropek i kresek, przy czym symbole te mogą

się powtarzać. Ile liter można utworzyć z 4 symboli?

Zadanie 7. Na ile sposobów można wybrać 8 kart (bez zwrotu) z talii 24, jeśli kolejność nie jest

ważna? Ile z tych układów kart zawiera tylko 2 asy?

Zadanie 8. Rzucamy 5 razy monetą i 2 razy kostką. Ile jest możliwych wyników takiego

doświadczenia?

Zadanie 9. Iloma sposobami można położyć 12 książek na 3 półkach, tak by na pierwszej znajdowało

się 6 książek, na drugiej 4, a na trzeciej reszta?

Zadania logiczne

Zadanie 10 (trzy szafy)2

- Zdarzyło się, wielmożny Panie – rozpoczęła Szeherezada – ze złotnik Abdul miał w swoim domu

trzy szafy, a każda z nich miała po dwie szuflady. W pierwszej szafie w obu szufladach był rubin. W

drugiej szafie w każdej szufladzie był szmaragd, a w trzeciej szafie jedna szuflada zawierała rubin, a

druga szmaragd. Przypuśćmy, ze wybrałeś jedną z szaf i otwierając jedną szufladę znalazłeś w niej

rubin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga szuflada w tej szafie też zawiera rubin?

- Niech pomyślę – powiedział król. – Oczywiście. Szansa takiego zdarzenia wynosi 50 procent.

- Dlaczego? – spytała Szeherezada.

- Dlatego, że w szufladzie był rubin, a zatem trzeba wyeliminować możliwość, że jest to szafa z

dwoma szmaragdami. Jest to więc albo szafa z dwoma rubinami, albo szafa z rubinem i szmaragdem.

Są dwie możliwości, więc szanse są równe.

Czy król miał rację?

Zadanie 11 (dziesięć szaf) 3

Złotnik Abdul ma 10 szaf, a każda z nich ma 3 szuflady. W każdej szufladzie jest albo diament, albo

szmaragd, albo rubin. Klejnoty są rozmieszczone według następującego schematu:

1. DDD 6.DRR

2. DDS 7.SSR

3. DDR 8.SRR

2 Źródło: „Zagadki Szeherezady”, R. Smullyan.

3 Ibidem.

4. DSS 9.SSS

5. DSR 10.RRR

Na przykład, w czwartej szafie znajduje się 1 diament i 2 szmaragdy.

a) Otwieramy dowolną szufladę i znajdujemy w niej diament. Następnie otwieramy inną

szufladę w tej samej szafie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że znajdzie się tam kolejny

diament?

b) Otwieramy szufladę i znajdujemy w niej diament. Teraz możemy otworzyć szufladę w tej

samej szafie, albo w jednej z pozostałych szaf. Jeśli znajdziemy diament, możemy go zabrać

do domu Czy w takiej sytuacji opłaca się otworzyć szufladę w tej samej, czy innej szafie?

c) Otwieramy szufladę i znajdujemy w niej diament. Niestety (albo stety), gdy znaleźliśmy już

diament, ktoś usunął ostatnie 4 szafy, w których nie było diamentów i powiedział nam, które

szafy usunął. Możemy otworzyć szufladę w tej samej, albo innej szafie. Co należy zrobić (o

ile oczywiście chcemy mieć ten diament)?

Zadanie 12. Kłopoty królewskiego błazna4

Błazen Śmieszek nie miał łatwego losu na dworze króla Ponuraka. Ale dowcip i mądrość pomagały

Śmieszkowi znaleźć wyjście z najtrudniejszej nawet sytuacji. Zdarzyło się jednak, że król Ponurak

rozgniewany zbyt złośliwymi żartami na temat jego królewskiej osoby skazał błazna na karę chłosty i

pobyt w ciemnicy.

– Nic już nie pomogą żarty i sztuczki, zmienić twój los może jedynie szczęśliwy traf – powiedział

król. – Zrobimy taką próbę: sześć kul, trzy białe i trzy czarne, rozmieścimy w dwóch dzbanach,

greckim i perskim. Potem rzucę moją ulubioną złotą kością do gry. Jeśli wyrzucę nieparzystą liczbę

oczek, wyciągnę jedną kulę z greckiego dzbana, natomiast jeśli wyrzucę parzystą liczbę oczek –

wyciągnę jedną kulę z dzbana perskiego. Wyciągnięta biała kula uwolni cię od kary, natomiast czarna

skaże na chłostę i ciemnicę, co będzie zasłużoną karą za twą zuchwałość.

– Królu – rzekł na to błazen –niech mi będzie wolno przynajmniej samemu wybrać swój los.

– O nie – odparł król – sam będę losował. Jeszcze byłbyś gotów spróbować jednej ze swoich sztuczek.

Pozwolę ci jednak samemu wrzucić kule do dzbanów. Dopilnuję tylko, żebyś nie wyrzucił gdzieś

czarnych kul. Wszystkie muszą znaleźć się w dzbanach.

Śmieszek zrobił żałosną minę, ale w duchu nie tracił nadziei. „Król sądzi, że mam tylko 3 szanse na

6”, pomyślał, „Wygląda jednak na to, że moje szanse przedstawiają się znacznie lepiej. Muszę tylko

zastanowić się, jak najmądrzej rozmieścić kule w dzbanach” (…)

1. „Co będzie – myślał Śmieszek – jeśli włożę do greckiego dzbana 2 kule białe, a do perskiego

pozostałe?”. Naszkicować model takiego doświadczenia (drzewko) i obliczyć

prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

2. Jak powinniśmy rozmieścić kule w dzbanach, aby mieć możliwie największe szanse

wylosowania kuli białej?

3. Rozmyślania Śmieszka przerwał przyjaciel: „Dowiedziałem się od królewskiego skarbnika, że

złotnik, który sporządził kość, chcąc przypodobać się królowi, zadbał o to, aby zawsze

wypadała na niej szóstka.” (…) Słysząc to Śmieszek przerwał swoje rozmyślania i roześmiał

się wesoło do przyjaciela. Wiedział już, że nie musi obawiać się kary.(…) Dlaczego Śmieszek

był pewny swego uwolnienia?

4 Źródło: „Czy umiecie się dziwić? Matematyka i fizyka w otaczającym świecie”, praca zbiorowa. Wydawnictwo

Alfa, 1984.

Zadanie 13 (koty 1)5

Pewien człowiek ma dwa koty. Co najmniej jeden z nich to samiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

ma on dwa samce?

Zadanie 14 (koty 2)6

Pewien człowiek ma dwa koty, białego i czarnego. Biały kot to samiec. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że ma on dwa samce?

Zadanie 15 (paradoks petersburski)7

Ali i jego przyjaciel Ahmed postanowili zagrać w następującą grę: Ali rzuci monetą i jeśli wypadnie

orzeł, Ahmed da mu dwie srebrne monety. Jeśli wypadnie reszka, Ali rzuci jeszcze raz. Jeśli za drugim

rzutem wypadnie orzeł, Ali dostanie od Ahmeda cztery monety, a jeśli wypadnie reszka, Ali rzuci

jeszcze raz. Jeśli za trzecim rzutem wypadnie orzeł, Ali dostanie od Ahmeda osiem srebrnych monet, a

jeśli wypadnie reszka, rzuci jeszcze raz i tak dalej. Innymi słowy, Ali będzie rzucał monetą tak długo,

aż wypadnie orzeł. Wtedy Ahmed da Alemu 2n srebrnych monet, gdzie n oznacza liczbę rzutów.

Pytanie brzmi: ile powinien zapłacić Ali Ahmedowi na początku, aby gra była sprawiedliwa?

Formułując je inaczej, jest to pytanie o wartość oczekiwaną tej gry.

Zadanie 16 (kontrowersyjna zagadka) 8

- To będzie jedna z moich ulubionych zagadek – powiedziała Szeherezada. – Jej rozwiązanie

wywołuje zawsze dużo kontrowersji. Powiedzmy, że pokazałam Ci trzy pudełka oznaczone literami:

A, B i C. W jednym z nich znajduje się nagroda, a dwa pozostałe są puste. Ja wiem, w którym pudełku

jest nagroda, ale ty tego nie wiesz. Wybierasz losowo któreś z nich, powiedzmy, że A. Zanim je

otworzysz, ja otwieram jedno z pozostałych pudełek, powiedzmy pudełko B, i pokazuję ci, że jest

puste. Możesz teraz otworzyć wybrane wcześniej pudełko A lub możesz zmienić wybór i otworzyć

pudełko C. Czy zmiana pudełka poprawi twoje szanse znalezienia wygranej?

- Oczywiście, że nie – powiedział król. – Zanim pokazałaś mi puste pudełko, prawdopodobieństwo, że

nagroda jest w pudełku A, wynosiło 1/3. Teraz wiem, że pudełko B jest puste, a zatem są równe

szanse, że nagroda będzie w pudełku A albo w pudełku C. Nie ma zatem różnicy, czy zmienię mój

wybór, czy nie.

- Ale ja otworzyłam pudełko, o którym wiedziałam, że jest puste – powiedziała Szeherezada.

- To niczego nie zmienia – powiedział król.

- Właśnie, że zmienia – odparła Szeherezada.

- Nie powinno – powiedział król.

- A jednak – nalegała Szeherezada.

Kto z nich ma rację i dlaczego?

Król i Szeherezada spierali się jeszcze przez jakiś czas. Każde z nich przedstawiało różne argumenty

na poparcie swojego rozwiązania. W końcu król się poddał, czy przekonany, czy tylko zmęczony – o

tym historia milczy. W każdym razie przełożył egzekucję o jeszcze jeden dzień.

5 Źródło: „Zagadki Szeherezady”, R. Smullyan.

6 Ibidem.

7 Ibidem.

8 Ibidem.