równanie pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · równaniem pella zajmowali się wybitni...
TRANSCRIPT
![Page 1: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/1.jpg)
Równanie Pella
Sławomir Cynk
22 listopada 2001 roku
![Page 2: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/2.jpg)
John Pellur. 1 marca 1611 w Southwick, Sussex, Angliazm. 12 grudnia 1685 w Londynie.Matematyk oraz astronom brytyjski, podobno główny (współ-)autor książkiJohanna Heinricha Rahna “Algebra”, która zrewolucjonizowała symbolikęalgebraiczną. W książce tej znajduje się przykład równania postaci
x2 − dy2 = 1,
być może dlatego Euler nazwał to równanie równaniem Pella.
![Page 3: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/3.jpg)
John Pellur. 1 marca 1611 w Southwick, Sussex, Angliazm. 12 grudnia 1685 w Londynie.Matematyk oraz astronom brytyjski, podobno główny (współ-)autor książkiJohanna Heinricha Rahna “Algebra”, która zrewolucjonizowała symbolikęalgebraiczną. W książce tej znajduje się przykład równania postaci
x2 − dy2 = 1,
być może dlatego Euler nazwał to równanie równaniem Pella.
Prehistoria równania
Brahmagupta: 598 Ujjain, Indie(?) — 670 Indie
![Page 4: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/4.jpg)
John Pellur. 1 marca 1611 w Southwick, Sussex, Angliazm. 12 grudnia 1685 w Londynie.Matematyk oraz astronom brytyjski, podobno główny (współ-)autor książkiJohanna Heinricha Rahna “Algebra”, która zrewolucjonizowała symbolikęalgebraiczną. W książce tej znajduje się przykład równania postaci
x2 − dy2 = 1,
być może dlatego Euler nazwał to równanie równaniem Pella.
Prehistoria równania
Brahmagupta: 598 Ujjain, Indie(?) — 670 Indie
Bhaskara: 1114 Vijayapura, Indie — 1185 Ujjain, Indie
![Page 5: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/5.jpg)
Historia
Pierre de Fermat (17 sierpnia 1601, Beaumont-de-Lomagne, Francja —12 stycznia 1665 Castres, Francja) w liście do matematyków angielskich zroku 1656 zaproponował następujący problem:pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej d nie będącej kwadratem rów-nanie x2 − dy2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całko-witych.
![Page 6: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/6.jpg)
Historia
Pierre de Fermat (17 sierpnia 1601, Beaumont-de-Lomagne, Francja —12 stycznia 1665 Castres, Francja) w liście do matematyków angielskich zroku 1656 zaproponował następujący problem:pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej d nie będącej kwadratem rów-nanie x2 − dy2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całko-witych. Przykłady
• d = 61, rozwiązaniem jest np.
![Page 7: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/7.jpg)
Historia
Pierre de Fermat (17 sierpnia 1601, Beaumont-de-Lomagne, Francja —12 stycznia 1665 Castres, Francja) w liście do matematyków angielskich zroku 1656 zaproponował następujący problem:pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej d nie będącej kwadratem rów-nanie x2 − dy2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całko-witych. Przykłady
• d = 61, rozwiązaniem jest np. x = 1′766′319′049, y = 226′153′980,
![Page 8: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/8.jpg)
Historia
Pierre de Fermat (17 sierpnia 1601, Beaumont-de-Lomagne, Francja —12 stycznia 1665 Castres, Francja) w liście do matematyków angielskich zroku 1656 zaproponował następujący problem:pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej d nie będącej kwadratem rów-nanie x2 − dy2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całko-witych. Przykłady
• d = 61, rozwiązaniem jest np. x = 1′766′319′049, y = 226′153′980,
• d = 109, rozwiązaniem jest np.
![Page 9: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/9.jpg)
Historia
Pierre de Fermat (17 sierpnia 1601, Beaumont-de-Lomagne, Francja —12 stycznia 1665 Castres, Francja) w liście do matematyków angielskich zroku 1656 zaproponował następujący problem:pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej d nie będącej kwadratem rów-nanie x2 − dy2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całko-witych. Przykłady
• d = 61, rozwiązaniem jest np. x = 1′766′319′049, y = 226′153′980,
• d = 109, rozwiązaniem jest np. x = 158′070′671′986′249,y = 15′140′424′455′100.
![Page 10: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/10.jpg)
Historia
Pierre de Fermat (17 sierpnia 1601, Beaumont-de-Lomagne, Francja —12 stycznia 1665 Castres, Francja) w liście do matematyków angielskich zroku 1656 zaproponował następujący problem:pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej d nie będącej kwadratem rów-nanie x2 − dy2 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całko-witych. Przykłady
• d = 61, rozwiązaniem jest np. x = 1′766′319′049, y = 226′153′980,
• d = 109, rozwiązaniem jest np. x = 158′070′671′986′249,y = 15′140′424′455′100.
Fermat nie dodał w liście, że są to najmniejsze rozwiązania dodatniepowyższych równań, oraz, że liczby 61 i 109 wybrane są nieprzypadkowo.Fermat musiał znać metodę rozwiązywania.
![Page 11: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/11.jpg)
Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVII wieku:William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia — 5 kwietnia 1684Oxford, Anglia)John Wallis (23 listopada 1616, Ashford, Kent, Anglia — 28 października1703 Oxford, Anglia)podali oni metodę rozwiązania równania Pella opartą na metodzie ułamkówłańcuchowych.
![Page 12: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/12.jpg)
Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVII wieku:William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia — 5 kwietnia 1684Oxford, Anglia)John Wallis (23 listopada 1616, Ashford, Kent, Anglia — 28 października1703 Oxford, Anglia)podali oni metodę rozwiązania równania Pella opartą na metodzie ułamkówłańcuchowych.Dopiero Joseph-Louis Lagrange (25 stycznia 1736 w Turynie, (obecnie)Włochy — 10 kwietnia 1813 Paryż, Francja) udowodnił (1768), że metodata pozwala na wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania Pella.
![Page 13: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/13.jpg)
Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVII wieku:William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia — 5 kwietnia 1684Oxford, Anglia)John Wallis (23 listopada 1616, Ashford, Kent, Anglia — 28 października1703 Oxford, Anglia)podali oni metodę rozwiązania równania Pella opartą na metodzie ułamkówłańcuchowych.Dopiero Joseph-Louis Lagrange (25 stycznia 1736 w Turynie, (obecnie)Włochy — 10 kwietnia 1813 Paryż, Francja) udowodnił (1768), że metodata pozwala na wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania Pella.Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 lutego 1805, Düren, (obec-nie) Niemcy — 5 maja 1859, Göttingen, (obecnie) Niemcy) podał w 1842roku bardzo prosty dowód istnienia rozwiązania równania Pella.
![Page 14: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/14.jpg)
Rozwiązania równania Pella(1,±0) jest zawsze rozwiązaniem
![Page 15: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/15.jpg)
Rozwiązania równania Pella(1,±0) jest zawsze rozwiązaniem stąd wszystkie rozwiązania wymiernesą postaci (
dt2 + 1
dt2 − 1,
2t
dt2 − 1
).
![Page 16: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/16.jpg)
Rozwiązania równania Pella(1,±0) jest zawsze rozwiązaniem stąd wszystkie rozwiązania wymiernesą postaci (
dt2 + 1
dt2 − 1,
2t
dt2 − 1
).
jeśli (x, y) jest rozwiązaniem to (±x,±y) są również rozwiązaniami, więcwystarczy wyznaczyć wszystkie rozwiązania dodatnie
![Page 17: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/17.jpg)
Rozwiązania równania Pella(1,±0) jest zawsze rozwiązaniem stąd wszystkie rozwiązania wymiernesą postaci (
dt2 + 1
dt2 − 1,
2t
dt2 − 1
).
jeśli (x, y) jest rozwiązaniem to (±x,±y) są również rozwiązaniami, więcwystarczy wyznaczyć wszystkie rozwiązania dodatniePrzykład. d = 3. Łatwo zauważyć, że (2, 1) jest najmniejszym rozwią-zaniem. Przez indukcje sprawdzamy, że ciąg zadany rekurencyjnie
x1 = 2, y1 = 1,
xn+1 = 2xn + 3yn, yn+1 = xn + 2yn
zawiera wszystkie rozwiązania dodatnie równania.
![Page 18: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/18.jpg)
Rozwiązania równania Pella(1,±0) jest zawsze rozwiązaniem stąd wszystkie rozwiązania wymiernesą postaci (
dt2 + 1
dt2 − 1,
2t
dt2 − 1
).
jeśli (x, y) jest rozwiązaniem to (±x,±y) są również rozwiązaniami, więcwystarczy wyznaczyć wszystkie rozwiązania dodatniePrzykład. d = 3. Łatwo zauważyć, że (2, 1) jest najmniejszym rozwią-zaniem. Przez indukcje sprawdzamy, że ciąg zadany rekurencyjnie
x1 = 2, y1 = 1,
xn+1 = 2xn + 3yn, yn+1 = xn + 2yn
zawiera wszystkie rozwiązania dodatnie równania. Łatwo następnie wyli-
czyć, że xn =1
2
((2 +
√3)n + (2 −
√3)n
).
![Page 19: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/19.jpg)
Podobnie dla dowolnego d wystarczy wyznaczyć najmniejsze rozwiąza-nie dodatnie (a, b).
![Page 20: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/20.jpg)
Podobnie dla dowolnego d wystarczy wyznaczyć najmniejsze rozwiąza-nie dodatnie (a, b). Wszystkie pozostałe rozwiązania dodatnie są wtedyzadane przez ciąg rekurencyjny
x1 = a, y1 = b,
xn+1 = axn + bdyn, yn+1 = bxn + ayn
![Page 21: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/21.jpg)
Podobnie dla dowolnego d wystarczy wyznaczyć najmniejsze rozwiąza-nie dodatnie (a, b). Wszystkie pozostałe rozwiązania dodatnie są wtedyzadane przez ciąg rekurencyjny
x1 = a, y1 = b,
xn+1 = axn + bdyn, yn+1 = bxn + ayn
Mamy ponadto,
xn =1
2
((a + b
√d)n + (a− b
√d)n
).
![Page 22: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/22.jpg)
Podobnie dla dowolnego d wystarczy wyznaczyć najmniejsze rozwiąza-nie dodatnie (a, b). Wszystkie pozostałe rozwiązania dodatnie są wtedyzadane przez ciąg rekurencyjny
x1 = a, y1 = b,
xn+1 = axn + bdyn, yn+1 = bxn + ayn
Mamy ponadto,
xn =1
2
((a + b
√d)n + (a− b
√d)n
).
Wynika to stąd, że zbiór Z[√
d] liczb postaci x + y√
d jest pierścieniem,a funkcja N(x + y
√d) = x2− dy2 jest multyplikatywna. Równanie Pella
jest teraz równoważne równaniu N(u) = 1. Ponadto, element u ∈ Z[√
d]jest jednością, wtedy i tylko wtedy gdy N(u) = ±1.
![Page 23: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/23.jpg)
Twierdzenie 1. Równanie Pella
x2 − dy2 = 1
posiada rozwiązanie dodatnie (x, y).
![Page 24: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/24.jpg)
Twierdzenie 1. Równanie Pella
x2 − dy2 = 1
posiada rozwiązanie dodatnie (x, y).
Lemat 1. Dla dowolnej liczby naturalnej m istnieją liczby naturalne x i ytakie, że y ≤ m oraz
|x− y√
d| ≤ 1
m.
Lemat 2. Dla dowolnej liczby naturalnej m istnieją liczby naturalne x i ytakie, że
0 < x,m
3d≤ y oraz 1 ≤ |x2 − dy2| ≤ 3d.
Lemat 3. Istnieje liczba naturalna m spełaniająca następujące warunki
1. 1 ≤ |l| ≤ 3d,
2. równanie x2 − dy2 = l ma więcej niż 9d2 rozwiązań w liczbach natu-ralnych x, y.
![Page 25: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/25.jpg)
Metoda wyznaczania rozwiązań równania Pella opiera się na spostrzeżeniu,że jeśli (x, y) jest dowolnym rozwiązaniem to x
yjest najlepszym przybli-
żeniem liczby√
d, a zatem można wyznaczyć je przy pomocy rozwinięcialiczby
√d w ułamek łańcuchowy.
![Page 26: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/26.jpg)
Metoda wyznaczania rozwiązań równania Pella opiera się na spostrzeżeniu,że jeśli (x, y) jest dowolnym rozwiązaniem to x
yjest najlepszym przybli-
żeniem liczby√
d, a zatem można wyznaczyć je przy pomocy rozwinięcialiczby
√d w ułamek łańcuchowy.
Ułamkiem łańcuchowym [a0; a1, . . . , an] o wyrazach a0; a1, . . . , an na-zywamy liczbę
a0 +1
a1 + 1a2+···+ 1
an
.
Każdą liczbę wymierną można zapisać na dokładnie dwa sposoby w po-staci ułamka łańcuchowego o wyrazach naturalnych (> 0), każdą liczbęniewymierną można zapisać w jedyny sposób w postaci nieskończonegoułamka łańcuchowego o wyrazach naturalnych. Jeśli α = [a0; a1, . . . ] jestrozwinięciem liczby niewymiernej α, to najlepszymi przybliżeniami liczbyα są redukty [a0; a1, . . . , an] ułamka łańcuchowego.
![Page 27: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/27.jpg)
Przykład Rozwinięcie liczby√
2 w ułamek łańcuchowy
√2 = 1 + (
√2 − 1)
1√2 − 1
=√
2 + 1 = 2 + (√
2 − 1)
A więc√
2 = [1; 2, 2, 2, . . . ] = [1; (2)].
![Page 28: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/28.jpg)
Przykład Rozwinięcie liczby√
2 w ułamek łańcuchowy
√2 = 1 + (
√2 − 1)
1√2 − 1
=√
2 + 1 = 2 + (√
2 − 1)
A więc√
2 = [1; 2, 2, 2, . . . ] = [1; (2)]. Liczymy kolejne redukty
[1; 2] =3
2, [1; 2, 2] =
7
5, [1; 2, 2, 2] =
17
12, [1; 2, 2, 2, 2] =
44
29,
[1; 2, 2, 2, 2, 2] =99
70
![Page 29: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/29.jpg)
Przykład Rozwinięcie liczby√
2 w ułamek łańcuchowy
√2 = 1 + (
√2 − 1)
1√2 − 1
=√
2 + 1 = 2 + (√
2 − 1)
A więc√
2 = [1; 2, 2, 2, . . . ] = [1; (2)]. Liczymy kolejne redukty
[1; 2] =3
2, [1; 2, 2] =
7
5, [1; 2, 2, 2] =
17
12, [1; 2, 2, 2, 2] =
44
29,
[1; 2, 2, 2, 2, 2] =99
70
Sprawdzamy, że rozwiązaniami równania Pella są następujące pary
(3, 2), (17, 12), (99, 70),
natomiast nie są pary (7, 5), (44, 29).
![Page 30: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/30.jpg)
Dla d = 3 otrzymujemy w podobny sposób rozwinięcie√3 = [1; 1, 2, 1, 2, . . . ] = [1; (1, 2)],
![Page 31: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/31.jpg)
Dla d = 3 otrzymujemy w podobny sposób rozwinięcie√3 = [1; 1, 2, 1, 2, . . . ] = [1; (1, 2)],a więc kolejnymi reduktami są liczby
[1; 1] =2
1, [1; 1, 2] =
5
3, [1; 1, 2, 1] =
7
4, [1; 1, 2, 1, 2] =
19
11,
[1; 1, 2, 1, 2, 1] =26
15
![Page 32: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/32.jpg)
Dla d = 3 otrzymujemy w podobny sposób rozwinięcie√3 = [1; 1, 2, 1, 2, . . . ] = [1; (1, 2)],a więc kolejnymi reduktami są liczby
[1; 1] =2
1, [1; 1, 2] =
5
3, [1; 1, 2, 1] =
7
4, [1; 1, 2, 1, 2] =
19
11,
[1; 1, 2, 1, 2, 1] =26
15
Sprawdzamy, że rozwiązaniami równania Pella są pary(2, 1), (7, 4), (26, 15) a nie są (5, 3), (19, 11).
![Page 33: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/33.jpg)
Dla d = 3 otrzymujemy w podobny sposób rozwinięcie√3 = [1; 1, 2, 1, 2, . . . ] = [1; (1, 2)],a więc kolejnymi reduktami są liczby
[1; 1] =2
1, [1; 1, 2] =
5
3, [1; 1, 2, 1] =
7
4, [1; 1, 2, 1, 2] =
19
11,
[1; 1, 2, 1, 2, 1] =26
15
Sprawdzamy, że rozwiązaniami równania Pella są pary(2, 1), (7, 4), (26, 15) a nie są (5, 3), (19, 11).Podobne obliczenia dla d = 61 jest już jednak trudno przeprowadzić wpraktyce. Rozwinięcie w ułamek łańcuchowy ma postać
√61 = [7; (1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14)],
![Page 34: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/34.jpg)
Dla d = 3 otrzymujemy w podobny sposób rozwinięcie√3 = [1; 1, 2, 1, 2, . . . ] = [1; (1, 2)],a więc kolejnymi reduktami są liczby
[1; 1] =2
1, [1; 1, 2] =
5
3, [1; 1, 2, 1] =
7
4, [1; 1, 2, 1, 2] =
19
11,
[1; 1, 2, 1, 2, 1] =26
15
Sprawdzamy, że rozwiązaniami równania Pella są pary(2, 1), (7, 4), (26, 15) a nie są (5, 3), (19, 11).Podobne obliczenia dla d = 61 jest już jednak trudno przeprowadzić wpraktyce. Rozwinięcie w ułamek łańcuchowy ma postać
√61 = [7; (1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14)],
a najmniejsze rozwiązanie pochodzi od reduktu
α21 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1]
i jest równe(1′766′319′049, 226′153′980).
![Page 35: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/35.jpg)
Aby w praktyce rozwiązywać równanie Pella musimy wiedzieć, które re-dukty należy wybierać. Informacje te są zawarte w następujących faktachRozwinięcie liczby
√d w ułamek łańcuchowy jest okresowe, to znaczy ist-
nieje liczba naturalna n taka, że√
d = [a0; (a1, . . . , an)], czyli (an+i = ai
dla dowolnego naturalnego i).
![Page 36: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/36.jpg)
Aby w praktyce rozwiązywać równanie Pella musimy wiedzieć, które re-dukty należy wybierać. Informacje te są zawarte w następujących faktachRozwinięcie liczby
√d w ułamek łańcuchowy jest okresowe, to znaczy ist-
nieje liczba naturalna n taka, że√
d = [a0; (a1, . . . , an)], czyli (an+i = ai
dla dowolnego naturalnego i). Oznaczmy najmiejszą liczbę spełniającą po-wyższy warunek przez N . Wtedy
Twierdzenie 2. Dodatnie rozwiązania równania Pella są postaci
x = prN−1, x = prN−1 dla N parzystegox = p2rN−1, x = p2rN−1 dla N nieparzystego,
gdziepi
qi
= [a0; a1, . . . , ai].
![Page 37: Równanie Pellasc.im.uj.edu.pl/images/videos/pell.pdf · Równaniem Pella zajmowali się wybitni matematycy angielscy XVIIwieku: William Brouncker (1620 Castle Lyons, Irlandia —](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020319/5c79508709d3f27b458c1944/html5/thumbnails/37.jpg)
Aby w praktyce rozwiązywać równanie Pella musimy wiedzieć, które re-dukty należy wybierać. Informacje te są zawarte w następujących faktachRozwinięcie liczby
√d w ułamek łańcuchowy jest okresowe, to znaczy ist-
nieje liczba naturalna n taka, że√
d = [a0; (a1, . . . , an)], czyli (an+i = ai
dla dowolnego naturalnego i). Oznaczmy najmiejszą liczbę spełniającą po-wyższy warunek przez N . Wtedy
Twierdzenie 2. Dodatnie rozwiązania równania Pella są postaci
x = prN−1, x = prN−1 dla N parzystegox = p2rN−1, x = p2rN−1 dla N nieparzystego,
gdziepi
qi
= [a0; a1, . . . , ai].