rovnice a nerovnice

ROVNICE A NEROVNICERovnice s odmocninou

VY_32_INOVACE_M1r0112Mgr. Jakub Němec

ROVNICE S ODMOCNINOU

V minulých lekcích jsme si ukázali, jak řešit lineární a kvadratické rovnice pomocí ekvivalentních úprav.

V této lekci se naučíme zjistit kořeny rovnice, v nichž je neznámá pod odmocninou. Abychom mohli tento druh rovni řešit, je třeba využít důsledkové úpravy umocnění na druhou obou stran rovnice.

Jak jsme si uvedli na začátku problematiky rovnic, při použití důsledkové úpravy je zkouška nutnou součástí řešení.

Existuje také možnost, jak se zkoušce vyhnout – určit definiční obor pro neznámou tak, aby obě strany byly nezáporné, resp. nekladné.

Určete kořeny dané rovnice.

Umocníme obě strany rovnice. POZOR jde o důsledkovou úpravu rovnice, na konci je třeba provést zkoušku pro všechny kořeny!

Upravíme rovnici a získáme kořen rovnice, který je nutno ověřit.

Provedeme zkoušku.

Zkouška vyšla, číslo 84 je tedy kořenem rovnice.

√𝑥−3=9

√𝑥−3=9/( )2

(√𝑥−3 )2=81𝑥−3=81𝒙=𝟖𝟒

𝑍𝑘 .𝐿=√84−3=√81=9𝑃=9𝐿=𝑃

𝑲= {𝟖𝟒 }

Druhý způsob řešení dané rovnice je založen na určení definičního oboru.

Obě strany rovnice musí být buď nezáporné, nebo nekladné.

Výraz pod odmocninou musí být vždy nezáporný, proto určíme podmínku pro řešení dané rovnice.

Poté již můžeme pokračovat stejně jako v prvním způsobu řešení.

Kořen poté porovnáme s podmínkou.

Podmínka odpovídá řešení, číslo 84 je tedy kořenem rovnice.

√𝑥−3=9/ ∙()2

𝑥−3=81𝒙=𝟖𝟒

𝑥−3 ≥0𝑥≥3

84 ≥3

𝑲= {𝟖𝟒 }



Upravíme rovnici a získáme kořeny rovnice, který je nutno ověřit.

Provedeme zkoušku.

Zkouška vyšla pro číslo 7, je tedy kořenem rovnice.

√2 𝑥−5=𝑥−4 /( )2

(√2 𝑥−5 )2= (𝑥−4 )2

2 𝑥−5=𝑥2−8𝑥+16𝑥2−10 𝑥+21=0

(𝑥−3 ) ∙ (𝑥−7 )=0

𝑥=3 𝑥=7

𝐿 (3 )=√2 ∙3−5=√6−5=1𝑃 (3 )=3−4=−1 𝐿≠ 𝑃

𝐿 (7 )=√2 ∙7−5=√14−5=3𝑃 (7 )=7−4=3 𝐿=𝑃

𝑲= {𝟕 }

Druhý způsob řešení dané rovnice je založen na určení definičního oboru.

Obě strany rovnice musí být buď nezáporné, nebo nekladné.

Výraz pod odmocninou musí být vždy nezáporný, proto určíme podmínky pro řešení dané rovnice.

Z podmínek je zřejmé, že kořen musí být větší než 4.

Poté již můžeme pokračovat stejně jako v prvním způsobu řešení.

Kořen poté porovnáme s podmínkou.

Podmínka odpovídá číslu 7, zatímco pro číslo 3 je podmínka neplatná, číslo 7 je tedy kořenem rovnice.

√2 𝑥−5=𝑥−4

(√2 𝑥−5 )2= (𝑥−4 )2

2 𝑥−5=𝑥2−8𝑥+16𝑥2−10 𝑥+21=0

(𝑥−3 ) ∙ (𝑥−7 )=0

𝑥=3 𝑥=7

2 𝑥−5≥0𝑥≥2,5

𝑥−4≥0𝑥≥ 4

𝒙≥𝟒

√2 𝑥−5=𝑥−4 /( )2

3≥� 4 7≥ 4

𝑲= {𝟕 }



Upravíme rovnici a získáme kořen rovnice, který je nutno ověřit.

Provedeme zkoušku.

Zkouška vyšla, číslo 8 je tedy kořenem rovnice.

√3 𝑥−5=√2 𝑥+3/ ∙()2

(√3 𝑥−5 )2=(√2 𝑥+3 )23 𝑥−5=2𝑥+3

𝑥=8

𝐿 (8 )=√3 ∙8−5=√19𝑃 (8 )=√2 ∙8+3=√19

𝐿=𝑃

𝑲= {𝟖 }



Upravíme rovnici a získáme kořeny rovnice, které je nutno ověřit.

Provedeme zkoušku.

Zkouška nevyšla, rovnice tedy nemá žádný kořen.

√𝑥−7=√2 𝑥+3/ ∙()2

(√𝑥−7 )2=(√2 𝑥+3 )2

𝑥−7=2𝑥+6 ∙√2𝑥+9−𝑥−16=6 ∙√2𝑥 / ∙()2

(−𝑥−16 )2=(6 ∙√2𝑥 )2

𝑥2+32𝑥+256=36 ∙2 𝑥𝑥2−40 𝑥+256=0

𝐷=1600−1024=576𝑥1,2=

40±√5762

=40±242

𝑥1=642

=32

𝑥2=162

=8

𝐿 (8 )=√8−7=1𝑃 (8 )=√16+3=7

𝐿≠ 𝑃

𝐿 (32 )=√32−7=5𝑃 (32 )=√64+3=11

𝐿≠ 𝑃

𝑲= {∅ }



Upravíme rovnici a získáme kořeny rovnice, které je nutno ověřit.

Provedeme zkoušku.

Zkouška vyšla, čísla 8 a 32 je tedy kořenem rovnice.

√𝑥−7=√2 𝑥−3/ ∙()2

(√𝑥−7 )2=(√2 𝑥−3 )2

𝑥−7=2𝑥−6 ∙√2𝑥+9−𝑥−16=−6 ∙√2𝑥 / ∙()2

(−𝑥−16 )2=(−6 ∙√2 𝑥 )2

𝑥2+32𝑥+256=36 ∙2 𝑥𝑥2−40 𝑥+256=0

𝐷=1600−1024=576𝑥1,2=

40±√5762

=40±242

𝑥1=642

=32

𝑥2=162

=8

𝐿 (8 )=√8−7=1𝑃 (8 )=√16−3=1

𝐿=𝑃

𝐿 (32 )=√32−7=5𝑃 (32 )=√64−3=5

𝐿=𝑃

𝑲= {𝟖 ;𝟑𝟐 }

ÚKOL ZÁVĚREM

1) Řešte rovnice a proveďte zkoušku: a) b) c) d)

ZDROJE Literatura:

CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice.

4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.

rovnice a nerovnice

Documents