Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia

Rovinné nosníkové soustavy

• Složené rovinné nosníkové soustavy• Statická určitost a neurčitost rovinných soustav• Gerberův nosník• Trojkloubový rám • Trojkloubový rám s táhlem

2

Staticky neurčité konstrukce

Rám:

Přímý staticky neurčitý nosník podepřený na více než dvou podporách, z nichž pouze jedna je pevná a ostatní posuvné

ad

cb

d

b c

a

Spojitý nosník:

b c

a

3

Rovinné složené nosníkové soustavy

Rám:

Vzniknou spojením tuhých desek (prutů) navzájem klouby nebo táhly.

ad

cb

d

b c

a

Spojitý nosník:

b c

4

Klouby spojující dvě tuhé desky - zabraňují vzájemnému posunu konců připojených tuhých prutů v ose x a z. (→ dvě silové vazby = interakce). Klouby nezabraňují vzájemnému natočení konců prutů (moment = 0).

Jednoduché klouby – vnitřní vazba dvojnásobná

+x

+z

Počet tuhých prutů spojených kloubem: np = 2

c

tuhý prut

Vnitřní kloub, spojující navzájem dva tuhé pruty

tuhý prut

Složky interakcí ve vnitřní vazbě, spojující navzájem dva tuhé pruty

Rcz

Rcx

Rcz

Rcx

vi= 2

5

Klouby spojující více než dvě tuhé desky

c

tuhý prut

tuhýprut

tuhý prut

Kloub spojující tři tuhé desky (np =3) ruší soustavě 4 stupně volnosti (4násobná vnitřní vazba)

Obecně: vi= 2.(np - 1)

+x

+z

Vnitřní vazba, spojující navzájem tři tuhé pruty

S každým přidaným prutem přibývají soustavě dvě vnitřní silové vazby (nebo-li přidáme soustavě jeden stupeň volnosti – moment)

6

Název vazby

Násobnost vazby

Označení vazby a reakce

Kyvný prut

Posuvná kloubová podpora

Pevná kloubová podpora

Posuvné vetknutí

Dokonalé vetknutí

Raz

Raz

Raz

Rax

Raz

Rax

Ma

Raz

Ma

1

2

2

3

1

nebo

nebo

Raz

Raz

Rax

Název vazby

Násobnost vazby

Označení vazby

kloub 2

kloub 4

kloub 6

táhlo 1

kloub 2

VNĚJŠÍ VAZBY VNITŘNÍ VAZBY

7

nv = v

nv < vnv > v

staticky i kinematicky určitá soustavastaticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustavastaticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

Stupeň statické neurčitosti složené soustavy v rovině

pnv .3

Stupeň statické neurčitosti vnvs

Tuhá deska v rovině – 3° volnosti

Soustava tuhých desek (p) navzájem spojených klouby → celkem p . 3° volnosti

0s

Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem)

Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině:

Celkový počet vazeb = celkový počet odebraných stupňů volnosti soustavě: ie vvv

8

Most přes řeku Ostravici, 3 pole, 2 vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava

Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby

9

Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby

Ocelový most přes řeku Odru z r.1980, délka 130 m, hmotnost 2.840 t, Ostrava - Svinov

Příklady – určete stupeň statické neurčitosti

pnv .3

vnvs

ie vvv

Příklady – stupeň statické neurčitosti

11

Základní typy staticky určitých nosníkových soustav v rovině xz

Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav

(a)

(b)

a) Spojitý nosník s vloženými klouby (tzv. Gerberův nosník)

b) Trojkloubový rám nebo oblouk

Heinrich Gerber(1832 - 1912)významný německýkonstruktérocelových mostů

Vložením kloubů do spojitého nosníku tak, že vznikne nosník staticky určitý→ Gerberův nosník. Vnitřní klouby nelze vkládat libovolně.

12

Raz

Raxa

Rdz

d

F3F2F1 e

Rcz

c

Rbz

b

f

Raz

Rcxa

Rcz

c

F3F1d

Rbz

b

Mc

F4

eF2

a

pnv .3

vnvs ie vvv

ev sečtěte vnější reakce

iv spočtěte klouby a vynásobte dvěma

vn spočtěte počet tuhých desek a vynásobte třemi

ev

iv

vn

ev

iv

vn

v

v

Gerberův nosník - stupeň statické neurčitosti

13

Raz

Raxa

Rdz

d

F3F2F1 e

Rcz

c

Rbz

b

f

Raz

Rcxa

Rcz

c

F3F1d

Rbz

b

Mc

F4

eF2

a

pnv .3

vnvs ie vvv

ev sečtěte vnější reakce

iv spočtěte klouby a vynásobte dvěma

vn spočtěte počet tuhých desek a vynásobte třemi

5ev

422 iv

9vn

9v

Gerberův nosník - stupeň statické neurčitosti

9225 ie vvv 933.3 pnv.....0 určsnvs v

9225 ie vvv 933.3 pnv .....0 určsnvs v

5ev

422 iv

9vn

9v

14

Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku

Platí následující pravidla:

a) v krajním poli s kloubově podepřeným nebo převislým koncem smí být nejvýše 1 kloub

ad

k1 cb k2

b) v krajním poli s vetknutým koncem musí být alespoň 1 a smí být nejvýše 2 klouby

a

cb

dk3k1 k2

d

b c

ak1 k3k2

15

Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku

c) ve vnitřním poli smí být nejvýše 2 kloubya

dk1 cb k2

d) ve dvojici sousedních polí musí být alespoň 1 kloub (nesmí sousedit 2 pole bez vložených kloubů)

a

cb

dk3k1 k2

d

b c

ak1 k3k2

e) ve dvojici sousedních polí, z nichž jedno je krajní s vetknutým koncem, musí být alespoň 2 klouby

a dk1 cb k2

16

Pohyblivý mechanismus – výjimkové případy

Pohyblivý mechanizmusObr. 9.3. / str. 146

Na nosníku nesmí vzniknout nestabilní část – pohyblivý mechanismus.

adk1

cbk2

ad

cb k1

k2

k3

ad

cb k1

k2

k3

Vzniká v důsledku nedodržení předchozích pravidel.

17

Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci

a k1b k2

ad

k1 cb k2

ad

k1 cb k2

a) krajní pole bez kloubů, vnitřní pole s 2 klouby

b) krajní pole s 1 kloubem, vnitřní bez kloubů

c) první (krajní) pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu

Nosníky nesoucí (červená tlustá čára) a nesené (černá tenká čára).

dc

18

Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci

Spojitý nosník s vloženými klouby

Tři typické způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníkuObr. 9.4. / str. 147

(a)

(b)

(c)

Nesoucí nosníky (červená tlustá čára) – dostatečně podepřeny vnějšími vazbami, nosná funkce zachována i při odstranění nesených nosníků.

Nesené nosníky (černá tenká čára) – podepřeny také konci nosníků nesoucích

Případ (c) nedoporučuje, při vyřazení jediného nesoucího nosníku hrozí řetězové zhroucení celé konstrukce.

19

Krajní pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu

Centrum pokročilých technologií, VŠB-TU Ostrava, realizace 2007

20

Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby

Rozklad spojitého nosníku s klouby na nosníky nesoucí a nesené - příčná úloha

(a)

(b)

e) Výpočet začít vždy na neseném nosníku. Z momentových podmínek rovnováhy k podporovým bodům určit reakce v podporách a interakce v kloubech daného pole.

f) Přejít s výpočtem do dalšího pole nosníku, nesoucí nosník zatížit akcemi nesených nosníků (silou stejně velkou a opačně orientovanou), a opět z podmínek rovnováhy určit reakce a interakce.

c) Odhad směrů svislých vnějších reakcí v podporách a vnitřních interakcí v kloubech.

b) Rozdělení spojitého nosníku na dílčí pole - nosníky nesoucí a nesené. (Postup montáže x postup výpočtu reakcí).

a) Nejdříve vyřešit osovou úlohu – veškeré vodorovné zatížení přebírá jediná vodorovná složka reakce v pevné podpoře.

21

Příklad 1 – ověření statické určitosti soustavy

a k1b k2 cd e f

3 2 3 3 4

1 2 2 2

q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m

= 70°

Fz

FxRcx

Rcz

Raz

Mc

Rbz

ev

iv

vn

v

s

Dokažte, že je úloha staticky určitá

22

Fx = F · cos = 2,736 kNFz = F · sin = 7,518 kN

a k1b k2 cd e f

3 2 3 3 4

1 2 2 2

q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m

= 70°

Fz

FxRcx

Fx = 0:–Fx + Rcx = 0Rcx = Fx

Rcx = 2,736 kN (→)Průběh normálových sil:

Příklad - Výpočet vodorovné reakce Rcx a normálové síly

(+)

+2,736

0N

[kN]

a k1b k2 cd

Příklad – rozklad na nesoucí a nesené nosníkyI II III

Řešíme nejprve reakce nesených nosníků.

Uplatní se 3. Newtonův zákon – akce a reakce.

ad

Raz

Raz

Rbz

Rcz

Mc

k1b

Rbz

k2 c

Rcz

Mc

….. snažíme odhadnou správný směr reakcí

Příklad – výpočet reakcí v příčné úloze

II

III

= 6,25 kN31,25 kN =

= 3,756 kN (↑)

= 3,756 kN

= 22,023 kNm

=5,012 kN

4

2 2k2 c

Rcz

McM = 7 kN mRk2 = 3,756 kNopačným směremnež reakce na II f

I

adRaz Rk1

q = 5 kN m–1

k1

3 2

Reakce z podmínek rovnováhy oddělených nosníků

Rk2

k1 b

Rbz

q = 5 kN m–1 Fz = 7,518 kN

3 3

1 2

Rk1 = 6,25 kNopačným směremnež reakce na I

k2e

kontrola: ∑Fiz = 0 Mi,a = 0, Mi,k1 = 0,

kontrola: ∑Fiz = 0

Mi,b = 0, Mi,k2 = 0,

kontrola: ∑Fiz = 0 Mi,c = 0, Mi,k2 = 0,

a k1 b k2 cd f

3 2 3 3 41 2 2 2

q = 5 kN m–1

M = 7 kNm

Příklad – řešení příčné úlohyFz = 7,518 kN

Raz = 31,25 kN Rbz = 5,012 kNRcz = 3,756 kN

Mc = 22,023 kNme

n

xn xn = 1,225 m–15

+16,25

0

+6,25

–1,25

+3,762

–3,756

2°

–

++

–

Kontrola ohyb. momentů:Ověřte, že hodnoty ohybovýchmomentů v kloubech vyšly nulové.

Kontrola posouvajících sil:Ověřte, že hodnotyposouvajících sil v kloubechodpovídají interakcím Rk1 a Rk2.

Kontrola reakcí: nutná !!!:Ověřte rovnováhu sil

ve svislém směru. Fiz = 0

V

M

–22,5–22,023

+4,771 +3,75 +7,512

–7,512

–14,5122°

2°

3°

– –

+

–8,75

0-5,625

1°

Příklad– výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením

– ze všech sil zprava

qn = 2,042 kNm–1

MnP = – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – Qn · (xn / 3)

nebo – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – q · (xn3 / 6·Ltrojúh)

MnP = +4,771 kNm

a k1b k2 cd e f

3 2 3 3 4

1 2 2 2

q = 5 kN m–1 F = 8 kN M = 7 kN m

= 70°

Fz

FxRcx

xn

n

Qn = 1,25 kN

xn / 3 RczRaz

Rbz

Mc

27

Příklad 1 – výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením

- jiná možnost - uvolnění prutu v kloubu k2

q = 5 kNm–1

k1 b

3

xn

n

Směr šipek je podlekonvence pro vnitřní síly(v tomto případě zprava).

Nk2

Mk2=0

Vk2

qn = 2,042 kNm–1

Qn = 1,25 kN

xn / 3

MnP =– Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– Qn · (xn / 3)

nebo – Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– q · (xn3 / 6·3)

MnP = +4,771 kNm

=5,012 kNRbz

Fz = 7,518 kN

3

1k2e

28

Příklad 1 – výpočet V a M, pro x =1m

q = 5 kNm–1

k1b

3

x = 1

xNb

Mb

Vbk1

qX

QX

x / 3

VxP = +Vbk1+ QX = +Vbk1+ q · (x2 / 2·3) = -0,417 kN

MxP = +Mb – Vbk1 · x – Qx · (x / 3)

nebo +Mb – Vbk1 · x – q · (x3 / 6·3)

MnP = +3,75 – (–1,25) · 1,0 – 0,833 · (1,0 / 3)

MnP = +4,722 kNm

Pozor – Vb není Rbz !!!

kNl

xqxqQ x

xxx 338,0.2

.21

..2

mkNlx

qqx /66,1

22

29

Trojkloubový rám nebo oblouk

Základní typy kinematicky určitýchrovinných kloubových soustav

(a)

(b)

Staticky neurčitý rovinně lomenýnebo zakřivený nosník v rovinnéúloze se dvěma kloubovýmivodorovně i svisle neposuvnými(pevnými) podporami →dvojkloubový rám nebo oblouk.

Vložením 1 kloubu vzniknestaticky určitý trojkloubový rám nebo oblouk.

Klouby nesmí být v jedné přímce!

b c

30

Stupeň statické neurčitosti trojkloubového nosníku v rovině

nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

623.3 pnv

Stupeň statické neurčitosti vnvs

0s

Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem)

Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině:

Celkový počet vazeb: 624 ie vvv

b c

31

→ Rbx , Rbz

Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku

(a) (b)

Výpočet čtyř složek reakcí: 3 podmínky rovnováhy + podmínka 0 Pc

Lc MM

Postup: 0 aiM

0PcM

1.

2.

→ Rax , Raz

0 ibM

0LcM

3.

4.

Kontrola: 0 ixF5.

6. 0 izF

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b.

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a.

Výpočet vede na soustavy dvou rovnic o dvou neznámých

32

→ Rbx , Rbz

Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku

(a) (b)

Výhodnější pořadí rovnic 1.varianta

Postup: 0 aiM

0PcM

1.

2.

→ Rax

0 ibM

0LcM

3.

4.

Kontrola:

0 ixF

5.

6. 0 izF

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b.

→ Raz

33

→ Rbx

Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku

(a) (b)

Postup:

0 aiM

0PcM

1.

2.→ Rax , Raz

0 ibM

0LcM

3.

4.

Kontrola:

0 ixF

5.

6. 0 izF

Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a.

Výhodnější pořadí rovnic 2.varianta

0 ibM → Rbz

34

Vnitřní vazby

Složky reakcí a interakce trojkloubového rámu

(a) (b)

Složky interakce ve vnitřních vazbách kloubu Rcx, Rcz z podmínek rovnováhy levé nebo pravé části rámu

(oblouku). (Vysvětleno na Gerberově nosníku) ↓

35

Maloměřický most z roku 1928, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m2, mezilehlá mostovka, Brno

Ukázky trojkloubového oblouku

Příklad 1 - reakce

:0, xiF:0, ziF

:0.2 , aiM

:0.3 , biM

Kontrola:

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Raz

Rbz

Rax

Q1 = 4kN

Rbx

:0.1 PcM

:0.4 LcM

Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx. 1 + Rbz .4 = 0

Rbx . 4 – P.3 = 0

Q1 .5 + Q2 . 2 + Rax. 1 – Raz .4 – P.1 = 0

Q1 .5 + Q2 . 2 – Rax. 3 – Raz .4 = 0

= 1,5kN, = 3,375kN

= 0,5kN, Raz

Rbz

Rax = 8,625kN

Rbx

Řešení vede na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých.

U trojkloubových rámů nutné 2 kontrolní rovnice

ev

iv

vn

v s

Ověřte, že zadaná konstrukce je staticky určitá:

Příklad 1 - reakce

bzai RM 0.3 ,

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Raz

Rbz

Rax

Q1 = 4kN

Rbx

bxPc RM 0.1

Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx. 1 + Rbz .4 = 0

Rbx . 4 – P.3 = 0

Q1 .5 + Q2 . 2 + Rax. 1 – Raz .4 – P.1 = 0

– Rax + P = 0

= 1,5kN,

= 3,375kN

= 0,5kN,

= 8,625kN

axxi RF 0.2 ,

azbi RM 0.4 ,

0, ziF

0LcM

U trojkloubových rámů nutné 2 kontrolní rovnice

Konstrukce tohoto trojkloubového nosníku umožňuje výhodnější řešení. Důvodem je uložení kloubu na nositelce jedné ze složek reakcí (tady Rbz), tudíž z každé podmínky rovnováhy spočítáme jednu reakci přímo. Není třeba řešit soustavy 2 rovni o 2 neznámých.

9

Pořadí 2. a 3. rovnice možno zaměnit

a

b

e c

f

-8,625

0,50,5

-3,375

N

d

Raz

Rax

= 8,625kN

= 3,375kN

= 0,5kN

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Rbz

Q1 = 4kN

= 1,5kNRbx

Příklad 1 - normálové síly

[kN]

Vxn

xn´

a

b

ed c

f

n

0,5

-3,375

-0,5

4,625

-4

1,5

Vn = 0 Vec - q.xn = 0

Vn = 0 Vce + q.xn´ = 0

xn = 2,312 m xn´= 1,688 m

Raz

Rax

= 8,625kN

= 3,375kN

= 0,5kN

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Rbz

Q1 = 4kN

= 1,5kNRbx

Příklad 1 - posouvající síly

[kN]

kontrola momentů v trojném styčníku e:

Mec = -Q1 .1 + Rax . 3

Mea = Rax . 3

Med = -Q1 .1

e4

1,5

2,5

ed c

f

-4-2,5

-1,5

1,5

2,85

xn =2,312 xn´=1,688

2°

a

b

n

MnL = Vec . xn + Mec – q.xn

2/2

MnP = - Vce . x´n + Mc – q.x´n

2/2

xn =2,312 xn´=1,688

Vec = 4,625

-2,5 = Mec

Vce = -3,375

Mc =0

n

M

2°

Raz

Rax

2 4

3

1

P = 2kN

q = 2kN/m

a

b

cd e

f

Q2 = 8kN

Rbz

Q1 = 4kN

Rbx

Momenty v polovinách úseků: M0,5ec = 2,75kNm, M0,5ed = -1kNm

Příklad 1 - ohybové momenty

12

Uvolněný prut ec (příčná úloha):

ve styčníku c musí být moment nulový – je tam kloub !

[kNm]

41

Ukázka táhla

Konstrukce obloukovénosné konstrukce s

táhlem, výzkumné energetické centrum

VŠB-TU Ostrava

Využití v praxi:

Přenáší pouze kladné osové síly → může být tenký prut (nedochází ke ztrátě stability prutu – více v předmětu Pružnost a plasticita)

42

Stupeň statické neurčitosti trojkloubového rámu s táhlem

táhlo → jednonásobná vnitřní vazba

nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

623.3 pnv

Stupeň statické neurčitosti 066 vnvs

0s

Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem)

Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině:

Celkový počet vazeb: 6123 ie vvv

Raz

Raxa

Rbz

b

c

F3F2F1

táhlo

43

Raz

Rax a

Rbz

b

c

F3F2

F1

Stupeň statické neurčitosti trojkloubového rámu s táhlem

954 ie vvv9.3 pnv..0 určsnvs v

Rcz

c

44

Raz

Rax a

Rbz

b

c

F3F2

F1

Kontrola statické určitosti nosníku s táhlem

1055 ie vvv9.3 pnv .1

1

neurčstatickyx

nvs v

Rcz

Rcxc

45

Trojkloubový rám a oblouk s táhlem

Trojkloubový rám a oblouk s táhlem

(a)

(b)

(c)

Postup výpočtu:

Vnější vazby (reakce): statické podmínky rovnováhy.

Vnitřní vazba (Nt v táhle): odstranit táhlo a nahradit jej interakcí v kladném směru (táhlo tažené).Velikost Nt z momentové podmínky:

0 Pc

Lc MM

(působí větší Nt)Vnitřní síly: další postup shodný jakou rámu(oblouku) bez táhla.Do výpočtu je nutno zahrnout působení Nt .

46

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

• Složené rovinné soustavy, výpočet stupně statické neurčitosti, podmínka statické určitosti složených rovinných soustav

• Gerberův nosník, způsoby rozvržení vložených kloubů

• Postup výpočtu reakcí a vnitřních sil Gerberova nosníku

• Trojkloubový rám, postup výpočtu reakcí a vnitřních sil

• Trojkloubový rám s táhlem, postup výpočtu reakcí, síly v táhle a vnitřních sil

Program

1

P = N2k

b

32

2

a

q =20kN/m

M=0,5kNm

c

d

e f

21 2 0,5

g

A

q

c

ab

1,5

3

P

2

24

23

5

a

b

q

2

1

14

táhlo

c

1

B

3

49

Trojkloubový rám s táhlem zadání a vnější reakce

1. ∑ Fix = 0: -Rbx + P = 0 Rbx = 2 kN ( )

2. ∑ Mia = 0: - Q.2 - P.1+ 4.Rbz -1.Rbx = 0 Rbz = 21 kN ( )

3. ∑ Mib = 0: -P.2 + Q.2 - 4.Raz = 0 Raz = 19 kN ( )

Kontrola:

∑ Fiz = 0: - Raz- Rbz + Q = 0

22

4

a

bRbxRaz

Rbz

q = 10kN/m

1

1

1

3

P=2kN

Q = 40kN

táhlo

c

ev

iv

vn

v

s

Ověřte, že zadaná konstrukce je staticky určitá:

50

Výpočet síly v táhle

McL

= 0: q.2.1 - 2.Raz +2.Nt = 0 Nt = 9 kN

nebo:

McP

= 0 : P.1 - q.2.1 + 2.Rbz -3.Rbx -2.Nt = 0 Nt = 9 kN

NtNt

22

4

a

bRbx=2kN

Raz=19kN

Rbz=21kN

q = 10kN/m

1

1

1

3

P=2kN

Q = 40kN

c

51

Normálové síly

-19

-9

-21

+9

Raz= 19kN

Nt= 9kN Nt= 9kN

22

4

a

bRbx= 2kN

Rbz= 21kN

q = 10kN/m

1

1

1

3

P=2kN

Q = 40kN

c

N

-21-21

-19

-9

+9

-21

V táhle pouze síla pouze normálová tahová Nt = 9kN:

52

19

-9-21

9

11

2

xn x´n

n

Posouvající síly

V

Raz= 19kN

Nt= 9kN Nt= 9kN

22

4

a

bRbx= 2kN

Rbz= 21kN

q = 10kN/m

1

1

1

3

P=2kN

Q = 40kN

c

1111

53

Ohybové momenty

xn x´n

-2

-13

-22

-22

-18-18

MmaxL = 19. 1,9 - 18 - 10 . 1,9 2 / 2 = 0,05kNm

MmaxP = 21. 2,1 - 22 - 10 . 2,1 2 / 2 = 0,05kNm

Mmax

n 2°

Rovnice si zapište i v obecném tvaru

M

Raz= 19kN

Nt= 9kN Nt= 9kN

22

4

a

bRbx= 2kN

Rbz= 21kN

q = 10kN/m

1

1

1

3

P=2kN

Q = 40

c-18

-18