rosa mª martínez esmeralda martínez. 1ª parte explicación teórica. 2ª parte explicación de...
TRANSCRIPT
![Page 1: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/1.jpg)
RED CRISTALINA UNIDIMENSIONAL
Rosa Mª MartínezEsmeralda Martínez
![Page 2: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/2.jpg)
1ª parte
•Explicación teórica.
2ª parte
•Explicación de código
3ª parte
•Análisis de dos masas distintas
•Análisis de dos masas iguales
•Modos normales para N partículas
![Page 3: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/3.jpg)
En una red cristalina el movimiento vibratorio entre los átomos adyacentes se comportan como un sistema de partículas conectados por muelles a lo largo de una línea recta.
![Page 4: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/4.jpg)
• En un sistema con N partículas y N+1 muelles (todos con la misma k) el movimiento para la partícula p se rige por:
()= 0 (1) = k/m
(),
Se trata de una EDO lineal con coeficientes constantes, por lo
que podemos escribirla:
N
p
N
p
x
x
x
x
x
x
x
x
.
.
.
.
21000000
*.*00000
0*.*0000
00121000
000*.*00
0000*.*0
00000121
00000012
.
.
.
.2
1
2
1
![Page 5: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/5.jpg)
N
p
N
p
tipp
tip
tip
tip
A
A
A
A
A
A
A
A
eAAeAeAeA
.
.
.
.
21000000
*.*00000
0*.*0000
00121000
000*.*00
0000*.*0
00000121
00000012
.
.
.
.
(2) )(2 x
2
1
20
2
1
2
1120
20
2p
¿Cómo lo resolvemos?
![Page 6: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/6.jpg)
N
p
N
p
A
A
A
A
A
A
A
A
.
.
.
.
21000000
*.*00000
0*.*0000
00121000
000*.*00
0000*.*0
00000121
00000012
.
.
.
.2
1
20
2
1
2
M̂2
02
![Page 7: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/7.jpg)
normales. sfrecuencia las e,equivalent es que lo o s,autovalore los
son soluciones cuyas N grado de polinomioun da nos tedeterminan Este
0)ˆ det(
trivialla seasolución la que parasingular ser de ha matriz Esta
0)ˆ ( ˆ
: esautovectory sautovalore losobtener que mas es no normales modos losHallar
(escalar) m
M̂ :cumplen que aquellos
son M cuadrada matriz una para )( esautovector losy )( sautovalore Los
220
220
20
2
2
20
2
2
IM
IMM
k
Relación autovectores y autovalores en los modos normales
![Page 8: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/8.jpg)
)cos(2 )cos()sin(2
)( :solución la amplitud la para Suponemos
2 :obtiene se despejandoy
(2) )(2
resultado el retomando es),autovector ( A amplitudes las a cuanton
1111
20
20
211
1120
20
2
p
pppp
p
p
pp
pppp
p
A
AApCAA
psenCA
A
AA
AAAA
E
![Page 9: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/9.jpg)
)1
(
)1
(
)1
2(
)1
1(
: autovectorun hay normasl frecuencia cada para que manera De
particula cada para Amplitud )1
( 1
:obtenemos , 0A ,0A fijos) (extremos contorno de conciones las Utilizando 1N0
N
nNsen
N
npsen
N
nsen
N
nsen
C
N
npsenCA
N
n
n
p
![Page 10: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/10.jpg)
N1,2,..,np, ; )cos( )1
( )1
( )(
:n modo elen p particula la de movimiento El
)1
(
)1
(
)1
2(
)1
1(
:autovectorun habra ella de una cada Para
haya. particulas como tantashabra que es)(autovalor normales sfrecuencia las
obtienen se oresolviend 0)ˆ det( x:Propusimos
,
220p
tN
pnsenCe
N
pnsenCtx
N
nNsen
N
npsen
N
nsen
N
nsen
C
IMeA
nti
np
n
tip
Ecuación de los modos normales
![Page 11: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/11.jpg)
Código en Matlab Consta de cuatro funciones:
• CrystalSimulation: Función principal del programa• Verlet: Función para la integración• Force: Función para calcular la fuerza: F = - k· x• Simulation: Función que crea la simulación
CrystalSimulation toma como valores input:
•Masa: vector columna•Distancia inter atómica: escalar•Posiciones iniciales: vector columna•Velocidades iniciales: vector columna•Intervalo integración: escalar•Tiempo máximo: escalar•Constante muelle elástica: escalar
![Page 12: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/12.jpg)
DOS MASAS
2
2022
2021
2022
1
2012
2011
2011
,02
, 02
m
kxxx
m
kxxx
![Page 13: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/13.jpg)
Análisis con dos masas distintasDos casos:• m1 < m2 m1 = 3, m2 = 4• m1 << m2 m1 = 2, m2 = 12
Para cada caso, varias posibilidades:• Velocidades iguales, desplazamientos iguales• Velocidades iguales, desplazamientos distintos• Velocidades distintas, sin desplazamientos
![Page 14: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/14.jpg)
Caso 1: m1 < m2
![Page 15: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/15.jpg)
Velocidades iguales: v1 = v2 = 0
Desplazamiento de las masas:Δε1 = Δε2 = 0.5
El movimiento de las masas es semejante. Oscilan con el mismo periodo.
![Page 16: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/17.jpg)
• Desplazamiento de las masas:Δε1 = 0.5 y Δε2 = 1.5
m1 oscila según el efecto de m2.(grafica 1)
• Desplazamiento de las masas:Δε1 = 0.5 y Δε2 = 3.5
Cuanto mayor sea Δε2, mayor es el efecto del movimiento(grafica 2)
![Page 18: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/18.jpg)
(grafica1)
![Page 19: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/19.jpg)
(grafica2)
![Page 20: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/20.jpg)
Velocidades distintas: v1 ≠ v2
En ningún caso hay desplazamientos:
Cuando v1 > v2:El período de las oscilaciones de m1 es más
pequeño que para m2.
Valores tomados: v1 = 10, v2 = 0
![Page 21: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/21.jpg)
Cuando v2 > v1:Aparece un efecto parecido al de esta gráfica
![Page 22: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/22.jpg)
Caso 1: m1 << m2
![Page 23: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/23.jpg)
Velocidades iguales: v1 = v2 = 0
Desplazamiento de las masas:Δε1 = Δε2 = 0.5
La masa más grande tiene un movimiento prácticamente independiente de la pequeña.
![Page 24: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/25.jpg)
Desplazamiento de las masas:Δε1 = 8 y Δε2 = 0Δε1 = 0 y Δε2 = 2
Ambos casos son muy parecidos.La Masa m1 tiene un movimiento muy
alterado
![Page 26: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/27.jpg)
Velocidades distintas: v1 ≠ v2
No hay desplazamientos de las partículas
Cuando v1 > v2 es parecido a v2 > v1:Comportamiento semejante a Δε1 = Δε2
Valores tomados: v1 = 7, v2 = 0 v1 = 1, v2 = 3
![Page 28: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/28.jpg)
Análisis con dos masas iguales
Valores masas: m1 = m2 = 3Valores velocidades: v1 = v2 = 0
Valores desplazamiento: Δε1 = 0, Δε2 = 5
Mismo movimiento para las dos partículas.Máxima amplitud para m2 → mínima
amplitud para m1
![Page 29: Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez. 1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062409/5665b4341a28abb57c8ff8f5/html5/thumbnails/29.jpg)