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Roronoa Lillo (lillo)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI
8 June 2012
Abstract
Inizialmente non doveva esserci alcun articolo, ma dovevo solo sfruttarel'implementazione delle formule Latex per scrivermi un glossario, o se volete uneserciziario, del mio corso di analisi. Poi ho pensato: "ma siii, ora lo pubblico anche,a qualcuno potrebbe servire". C'è poco da leggere, tanto integrare, e per quel chevale: buona lettura.
La lettura è sconsigliata a persone avverse all'algebra, alla trigonometria, ad avvocati, a tutti coloro
che pensano che la matematica non serve a niente e a Renzo Bossi. Il prodotto può avere effetti
collaterali quali conati di vomito, dissenteria, pellagra e elezioni anticipate. Decreto Ministeriale 00/
00, aut.min.rich.
Integrali indefiniti
Esercizio 1
integriamo per parti:
ELECTROYOU.IT
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 1
Abbiamo ottenuto un identità, quindi possiamo scrivere:
Esercizio 2
ma per quanto scritto nell'esercizio precedente:
Esercizio 3
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 2
ma l'integrale sulla destra rientra nel caso quindi:
Esercizio 4
Portando l'integrale a primo membro:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 3
Esercizio 5
Integrali nella forma:
Esercizio 6
integriamo per parti scegliendo 1 come fattore differenziale:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 4
l'integrale sulla destra è del tipo :
Esercizio 7
Allo stesso modo di sopra risolviamo:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 5
Esercizio 8
Esercizio 9
integriamo per parti:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 6
Esercizio 10
integriamo per parti:
Esercizio 11
Formule per ricorrenza
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 7
Esempio 1
Esempio 2
ma l'integrale a destra è stato precedentemente risolto:
Esercizio 12
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 8
Esercizio 13
effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:
quindi:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 9
Esercizio 14
effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:
quindi:
Esercizio 15
Risoluzione attraverso fratti semplici
Δ>0
Esempio 1
troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici:
quindi:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 10
da cui:
torniamo all'integrale:
Esempio 2
troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici:
quindi:
da cui:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 11
tornando all'integrale:
Δ=0
Esempio 1
calcoliamo le radici del denominatore:
quindi:
tornando all'integrale:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 12
Esempio 2
radici del denominatore:
possiamo scomporre in fratti semplici:
da cui:
si tratta quindi di risolvere i seguenti integrali:
Δ<0
Esempio 1
da cui:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 13
Esempio 2
l'integrale iniziale diventa:
Esercizio 16
integriamo per sostituzione :
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 14
ma essendo :
Esercizio 17
integriamo per sostituzione:
quindi si tratta di risolvere:
effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:
quindi si tratta di risolvere i seguenti integrali:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 15
risolviamo l'integrale rimasto attraverso i fratti semplici (Δ=0):
che risolto ci porta a:
la soluzione completa nella variabile t risulta:
ed essendo , la soluzione all'integrale nella variabile x risulta:
Esercizio 18
integriamo per sostituzione:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 16
ma essendo:
il risultato nella variabile x risulta:
Esercizio 19
integriamo per parti:
occupiamoci dell'integrale sulla destra, essendo l'unico rimasto, e procediamo perfratti semplici:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 17
quindi:
da cui:
inseriamo nella quanto trovato:
ancora fratti semplici all'integrale sulla destra:
l'integrale diventa:
ora inseriamo nella quanto trovato:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 18
ancora dobbiamo sviluppare l'ultimo integrale sulla destra: le radici deldenominatore sono:
quindi l'integrale può essere essere espresso nella forma:
inseriamo quanto trovato nella e otteniamo la soluzione completa dell'integrale:
Esercizio 20
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 19
scomponiamo in fratti semplici per risolvere l'integrale sulla destra (Δ<0):
da cui:
l'integrale diventa:
l'ultimo integrale può essere risolto trovando le radici del denominatore:
In definitiva l'integrale vale:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 20
Integrali definiti
Esercizio 1
[1]
Esercizio 2
[2]
Esercizio 3
[3]
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 21
Esercizio 4
[4]
Esercizio 5
[5]
Esercizio 6
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 22
Esercizio 7
[7]
Esercizio 8
integriamo per parti:
reintegriamo per parti, scegliendo lo stesso fattore differenziale (ex):
nell'ultima espressione, portando fuori il segno meno dall'integrale, ritroviamo lostesso integrale di partenza, quindi possiamo scrivere:
Esercizio 9
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 23
Esercizio 10
Esercizio 11
Discutere la convergenza del seguente integrale:
non potendo trovare facilmente le primitive della funzione, utilizziamo il criterio delconfronto per stabilire la convergenza dell'integrale; scegliamo per confrontare lafunzione:
che risulta maggiore di in . Questo non è un problema, in quanto stiamostudiando il comportamento dell' integrale all'infinito. Vediamo quindi se l'integraledi questa nuova funzione converge:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 24
La g(x) tende a un valore finito. Per il criterio del confronto anche
tenderà a un valore finito, quindi convergerà.
Esercizio 12
Discutere la convergenza dell'integrale improprio:
La ricerca delle primitive della f(x) è a dir poco ardua, anche wolframalpha si rifiutadi mostrarci i passaggi. Utilizziamo il criterio del confronto asintotico e troviamo unag(x) che abbia lo stesso comportamento all'infinito:
e calcoliamo il limite del rapporto:
il limite è un numero finito diverso da 0, possiamo quindi studiare il carattere di g(x)per definire quello di f(x):
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 25
La convergenza dell'integrale di g(x) implica quella dell'integrale di f(x).
Esercizio 13
Determinare la convergenza del seguente integrale:
Potremmo risolvere l'integrale, ma visto che è solo da stabilire la convergenza dif(x) applichiamo il criterio del confronto asintotico, per cui scegliamo una g(x) il cuiandamento all'infinito sia simile alla funzione data:
calcoliamo il limite del rapporto:
Limite finito e diverso da 0. Studiamo la g(x) per determinare il carattere di f(x):
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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 26
divergendo l'integrale de g(x), anche l'integrale di f(x) diverge.
Esercizio 14
Studiare il carattere di:
Calcolare le primitive non mi sembra il caso, quindi studiamo quest'integraleattraverso l'assoluta integrabilità, applicabile a funzioni che cambiano segno: quindistudiamo:
il che rende la funzione a termini positivi. Questo ci permette di applicare il criteriodel confronto, e scegliamo come funzione di confronto:
studiamone la convergenza:
se tale integrale converge anche converge, ma per il criterio di
assoluta convergenza anche converge.
Esercizio 15
Un particolare integrale: L'integrale di Fresnel:
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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 27
e vediamo a discapito delle previsioni che quest'integrale converge. Non calcolole primitive, ma eseguo un procedimento che dovrebbe portarmi a definire laconvergenza:
procedo per sostituzione:
quindi l'integrale diventa:
Da notare che anche gli estremi di integrazione subiscono il cambio di variabile.Integriamo per parti:
soffermiamoci sull'integrale rimasto; un integrale di quel tipo è risolvibile allo stessomodo dell'esercizio precedente, ovvero applicando dapprima il criterio di assolutaconvergenza, e poi quello del confronto. In linea di massima integrali impropri deltipo:
ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)
POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 28
convergono quando α > 1. Ed è il nostro caso, essendo . L'integrale di Fresnel
converge.
Esercizio 16
si tratta di trovare l'area di piano compresa tra l'asse x e la funzione data
dove gli estremi di integrazione non appartengono al dominio della funzione.Applichiamo quindi il limite, e dividiamo l'integrale in due integrali indicando con cun generico punto compreso nell'intervallo ]-1,1[:
figura 1
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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 29
Bibliografia e Sitografia
• Appunti di Analisi matematica.• Elementi di Analisi matematica I e II ; Marcellini-Sbordone• Metodi di integrazione ; Zeno Martini, EY• Analisi matematica attraverso gli esercizi; Zeno Martini, EY• Wolframalpha.com
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