robust characterization of polynomials 1 robust characterization of polynomials “it does not make...
Post on 20-Dec-2015
225 views
TRANSCRIPT
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
11
Robust Characterization of Robust Characterization of polynomialspolynomials
“IT DOES NOT MAKE SENCE!”
:מרצים אורי גרסטן• יניב עזריה•
•Ronitt Rubinfeld•Madhu Sudan
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
22
בודק לתוכניתבודק לתוכנית
Program CheckerProgram Checker בודק האם תוכנית - בודק האם תוכנית - PP נותנת פלט נכון לקלט מסויים.נותנת פלט נכון לקלט מסויים.
XP(X) correct
P(X) incorrect
P
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
33
תוכנית נבדקת עצמיתתוכנית נבדקת עצמית
Self-Testing ProgramSelf-Testing Program עבור פונקציה - עבור פונקציה - ff נכונה לרוב הקלטים. נכונה לרוב הקלטים.PPבודק האם תוכנית בודק האם תוכנית
InputsSpace
P incorrect
P correct
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
44
תוכנית מתקנת עצמיתתוכנית מתקנת עצמית
Self-Correcting ProgramSelf-Correcting Program מקבלת - מקבלת - שנכונה לרוב הקלטים ומשתמשת שנכונה לרוב הקלטים ומשתמשת PPתוכנית תוכנית
נכונה על כל קלט נכונה על כל קלט ffבה כדי לחשב את בה כדי לחשב את בהסתברות גבוהה.בהסתברות גבוהה.
InputsSpace
Correct f(x) in high probability
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
55
מרחק בין פונקציותמרחק בין פונקציות
בהנתן תחום סופי בהנתן תחום סופיDD המרחק בין פונקציות , המרחק בין פונקציות ,f,gf,g::
-נאמר ש-נאמר שff-ו- ו gg הן הן εεאם: אם:-קרובות-קרובות
D
xgxfDxgfd
)()(|),(
),( gfd
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
66
εε – Self Tester – Self Tester
εε-self tester T-self tester T בשביל פונקציה בשביל פונקציה ff מעל תחום מעל תחום DD , ,
ו: ו:PPזוהי תוכנית שמקבלת כקלט תוכנית זוהי תוכנית שמקבלת כקלט תוכנית
..d(p,f) = 0d(p,f) = 0 אם אם PPמקבל את מקבל את –
-קרובות.-קרובות.εε הן לא הן לא ff ו- ו-PP (בהסתברות גבוהה) אם (בהסתברות גבוהה) אם PPדוחה את דוחה את –
TTאחרת אין דרישה מ-אחרת אין דרישה מ-–
הוא מרחב הסתברותי. הוא מרחב הסתברותי.DD* כאן * כאן
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
77
Testers for function familiesTesters for function families
תהי תהיFF:משפחה של פונקציות: משפחה של פונקציות
–εε-function family tester-function family tester למשפחת פונקציות למשפחת פונקציות
FF מקבל תוכנית , מקבל תוכנית ,PP ובודק האם יש פונקציה ובודק האם יש פונקציה ff מתוך מתוך
FF-כך ש ש- כך ש ש PP היא היא εε-קרובה ל--קרובה ל-ff . .
F
•f שהיאfקיימת פונקציה ε-קרובה ל-P.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
88
דוגמא – פונקציות לינאריותדוגמא – פונקציות לינאריות
:משפחת הפונקציות הלינאריות:משפחת הפונקציות הלינאריות
בודק לתוכנית בודק לתוכניתPP עבור משפחת הפונקציות עבור משפחת הפונקציות קרובה ללינאריות, קרובה ללינאריות, PPהלינראיות יבדוק האם הלינראיות יבדוק האם
..PP לינארית שקרובה ל- לינארית שקרובה ל-ffכלומר האם קיימת כלומר האם קיימת
})(,|{ xaxfZafF apalinear
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
99
איפיון לפונקציות לינאריותאיפיון לפונקציות לינאריות
נרצה לבדוק האם לתוכנית נרצה לבדוק האם לתוכניתPP יש את תכונת יש את תכונת הלינאריות, כלומר:הלינאריות, כלומר:
אם אםPP לא לינארית, אז קיימת דוגמה נגדית לא לינארית, אז קיימת דוגמה נגדית שמוכיחה זאת. שמוכיחה זאת.33מגודל מגודל
)()()(,, yxfyfxfZyx p
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1010
בעיה!בעיה!
.בדר"כ לא נוכל לבדוק תכונה באופן מוחלט.בדר"כ לא נוכל לבדוק תכונה באופן מוחלט
,בדוגמא האחרונה, על מנת לבדוק לינאריות, בדוגמא האחרונה, על מנת לבדוק לינאריות מקיימים את מקיימים את x, yx, yיש לבדוק שכל הזוגות יש לבדוק שכל הזוגות
התכונה:התכונה:)()()( yxfyfxf
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1111
פשרהפשרה
.כדי להפוך איפיון למעשי, נתפשר על הדיוק.כדי להפוך איפיון למעשי, נתפשר על הדיוק
תהי תהיFF היא משפחת פונקציות שמקיימת את היא משפחת פונקציות שמקיימת את
פונקציה שמקיימת פונקציה שמקיימת ffהתכונה לכל קלט, ותהי התכונה לכל קלט, ותהי
את התכונה לרוב הקלטים. אז קיימת פונקציה את התכונה לרוב הקלטים. אז קיימת פונקציה
gg מתוך מתוך FF-שקרובה ל- שקרובה ל ff..
F
•g שהיאgקיימת פונקציה ε-קרובה ל-f.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1212
אנקדוטהאנקדוטה
באמצעות איפיון מקורב למשפחת הפוקנציות באמצעות איפיון מקורב למשפחת הפוקנציות error errorהלינאריות, נמצאו שיטות אקראיות ל-הלינאריות, נמצאו שיטות אקראיות ל-
detecting codesdetecting codes.. למי שילמד "נושאים מתקדמים ביותר למי שילמד "נושאים מתקדמים ביותר
בסיבוכיות", זהו בסיס להוכחה ש:בסיבוכיות", זהו בסיס להוכחה ש:
MIP = NEXPTIME
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1313
Exact and robust characterizationsExact and robust characterizations
בהמשך ניתן הגדרות מדויקות לאיפיון בהמשך ניתן הגדרות מדויקות לאיפיוןפונקציות.פונקציות.
exactexact בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה – בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה – מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מסויימת של משפחת פונקציות בצורה
מדוייקת, כלומר לכל קלט אפשרי.מדוייקת, כלומר לכל קלט אפשרי.robustrobust בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה – בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה –
מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מקורבת, כלומר לרוב הקלטים.מקורבת, כלומר לרוב הקלטים.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1414
Exact and robust characterizationsExact and robust characterizations
עתה נתן מספר מושגים שישמשו אותנו עתה נתן מספר מושגים שישמשו אותנולהגדרת איפיונים מדוייקים של משפחות להגדרת איפיונים מדוייקים של משפחות
פונקציותפונקציות בפרט, נרצה לאפיין את משפחת הפולינום בפרט, נרצה לאפיין את משפחת הפולינום
משתנים. משתנים.mm בעלי בעלי ddממעלה ממעלה בהמשך ההרצאה נראה שניתן לקרב איפיונים בהמשך ההרצאה נראה שניתן לקרב איפיונים
מדוייקים למשפחת הפולינומים.מדוייקים למשפחת הפולינומים.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1515
שכונהשכונה
שכונה שכונהkkמקומית-מקומית- NN היא היא kk יה סדורה מתוך -יה סדורה מתוך-DD..
אוסף-שכונות אוסף-שכונותkkמקומי-מקומי- NN הוא קבוצה של הוא קבוצה של -מקומיות.-מקומיות.kkשכונות שכונות
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1616
תכונהתכונה
תכונה תכונהkkמקומית-מקומית- PP מעל אוסף שכונות מעל אוסף שכונותNN היא היא פונקציה:פונקציה:
).).ff הוא טווח לפונקציה הוא טווח לפונקציה RRהוא תחום ו-הוא תחום ו- DD(כאן (כאן נאמר שפונקציה נאמר שפונקציהff תכונה תכונה מספקתמספקת PP:אם: אם
1,0)(: kRDP
1)(, NxxfxP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1717
exact characterizationexact characterization
תכונה תכונהPP מעל אוסף שכונות מעל אוסף שכונות NN איפיון איפיון יקרא יקרא אם: אם:FF של משפחת פונקציות של משפחת פונקציות מדויקמדויק
NN מתוך מתוך NNלכל השכונות לכל השכונות PP מספקת את מספקת את ffפונקציה פונקציה
..FF היא מתוך היא מתוך ffבדיוק כאשר בדיוק כאשר
N • N Ff
P(N) = 1
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1818
דוגמה – פונקציות לינאריותדוגמה – פונקציות לינאריות
:אוסף השכונות:אוסף השכונות
התכונה התכונהPP מקומות והיא מסתפקת ע"י:-מקומות והיא מסתפקת ע"י:33היא היא-
לכן, מעל לכן, מעלNN התכונה , התכונה ,PP מקומי -מקומי 33 היא איפיון היא איפיון-מדוייק של משפחת הפונקציות הלינאריותמדוייק של משפחת הפונקציות הלינאריות
pZyxyxyxN ,|),,(
)()()( if),,( 321321 xfxfxfxxx
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
1919
robust characterizationrobust characterization
תכונה תכונהPP מעל אוסף שכונות מעל אוסף שכונות NN תקרא איפיון תקרא איפיון))εε,,δδ מקורב של )-מקורב של-(FF:אם: אם
על כל על כל PP מספקת את מספקת את ffאם כאשר פונקציה אם כאשר פונקציה –--εε מהן, אז היא מהן, אז היא δδ מלבד החלק ה- מלבד החלק ה-NNהשכונות השכונות
..FF מתוך מתוך ggקרובה לפונקציה קרובה לפונקציה
NP
P P(N) = 0
P(N) = 1
δ*|N|
F
•gקיימת
gפונקציה שהיא
ε-קרובה ל-f.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2020
robust characterizationrobust characterization
בנוסף, כל חברי בנוסף, כל חבריFF מספקות את מספקות את PP בכל בכל . . NNהשכונות של השכונות של
N • N Ff
P(N) = 1
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2121
איפיונים מדוייקים של פולינומיםאיפיונים מדוייקים של פולינומים
בחלק זה נראה מספר אפיונים מדוייקים בחלק זה נראה מספר אפיונים מדוייקים..ddמוכרים היטב של פולינומים ממעלה מוכרים היטב של פולינומים ממעלה
נתבונן באוספים שונים של שכונות נתבונן באוספים שונים של שכונותNN . . ולכל ולכלמסופקת מסופקת PP, נאמר שתכונה , נאמר שתכונה NNשכונה ספציפית שכונה ספציפית אם קיים פולינום אם קיים פולינום NN בשכונה בשכונה ffעל ידי פונקציה על ידי פונקציה
..NN על כל הנקודות ב- על כל הנקודות ב-ffששווה ל-ששווה ל-
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2222
. פולינומים עם משתנה אחד. פולינומים עם משתנה אחד11
יהי יהיRR.חוג. חוג איפיון: נאמר שפונקציה איפיון: נאמר שפונקציהff-מ- מ RR-ל- ל RR היא היא
אם ורק אם: אם ורק אם:ddפולינום ממעלה לכל היותר פולינום ממעלה לכל היותר
..dd הוא פולינום ממעלה לכל היותר הוא פולינום ממעלה לכל היותר ggכאשר כאשר
:מבנה השכונות:מבנה השכונות
)()( s.t. ,,1010 ,,,,10 ixxixxd xgxfgRxx
dd
2 dRN
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2323
. פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות . פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות 22מרחקמרחק
יהי יהיZZmm.חוג. חוג :נגדיר את המקדמים הבינומיים:נגדיר את המקדמים הבינומיים
:ונתבונן בנקודות שוות מרחק:ונתבונן בנקודות שוות מרחק
1)1(1
i
i i
d
hdxhxx )1(,,,
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2424
. פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות . פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות 22מרחקמרחק
איפיון: נאמר שפונקציה איפיון: נאמר שפונקציהff-מ- מ ZZmm -ל- ל ZZmm היא היא אם ורק אם: אם ורק אם:ddפולינום ממעלה לכל היותר פולינום ממעלה לכל היותר
0)(,,1
0
d
iim hixfZhx
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2525
. פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות . פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות 22מרחקמרחק
:מבנה השכונה:מבנה השכונה
ולכן אוסף השכונות האפשריות ולכן אוסף השכונות האפשריותNN::
10,N
dihx hix
mZhx
hxNN
,
,
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2626
. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים33
איפיון זה נוגע לפונקציות איפיון זה נוגע לפונקציותmm מימדיות מעל -מימדיות מעל-. . FFmmשדה סופי שדה סופי
:יהיו:יהיו:אז הקו יהיה:אז הקו יהיה
-נשים לב ש-נשים לב שll-הוא פולינום שתלוי רק ב- הוא פולינום שתלוי רק ב ii..
mFhx ˆ,ˆ
}|ˆˆ{)(ˆ,ˆFihixil
hx
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2727
. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים33
אפיון: פונקציה אפיון: פונקציהff-מ- מ FFmm -ל-לFF היא פולינום היא פולינום אם ורק אם: אם ורק אם:ddממעלה לכל היותר ממעלה לכל היותר
ff מוגבלת לקו מוגבלת לקו ll-היא פולינום חד-משתני ב- היא פולינום חד-משתני ב ii ממעלה ממעלה ..ddלכל היותר לכל היותר
mFhx ˆ,ˆ
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2828
. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים. פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים33
מבנה השכונה במקרה זה הוא קו מבנה השכונה במקרה זה הוא קוll..
:אוסף השכונות לכן:אוסף השכונות לכן
mhxhx
FhxlN ˆ,ˆ|N ˆ,ˆˆ,ˆ
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
2929
. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות 55מרחקמרחק
:איפיון – פונקציה:איפיון – פונקציה
היא פולינום ממעלה לכל היותר היא פולינום ממעלה לכל היותרdd:אם ורק אם: אם ורק אם
pmp ZZf :
0)ˆˆ(,ˆ,ˆ1
0
d
ii
mp hixfZhx
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3030
. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות 55מרחקמרחק
:מבנה השכונה:מבנה השכונה
ולכן אוסף השכונות האפשריות ולכן אוסף השכונות האפשריותNN::
10,N
dihx hix
mZhx
hxNN
ˆ,ˆ
ˆ,ˆ
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3131
. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק 66))22((
איפיון זה נובע מהאיפיון הקודם, והוא אף נראה איפיון זה נובע מהאיפיון הקודם, והוא אף נראהחלש יותר.חלש יותר.
נציין את איפיון זה כי האיפיון המקורב המתאים נציין את איפיון זה כי האיפיון המקורב המתאיםלו שימושי מאוד.לו שימושי מאוד.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3232
. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק 66))22((
:איפיון – פונקציה:איפיון – פונקציה
היא פולינום ממעלה לכל היותר היא פולינום ממעלה לכל היותרdd:אם ורק אם: אם ורק אם
הערכים של הערכים שלff:בנקודות: בנקודות
מתאימים לפולינום חד-משתני ממעלה לכל מתאימים לפולינום חד-משתני ממעלה לכל..ddהיותר היותר
pmp ZZf :
mpZhx ˆ,ˆ
dihix 10,,0|ˆˆ
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3333
. פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק . פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק 66))22((
:מבנה השכונה:מבנה השכונה
ולכן אוסף השכונות האפשריות ולכן אוסף השכונות האפשריותNN::
d
ihxhix
10
0ˆ,ˆˆˆN
mZhx
hxNN
ˆ,ˆ
ˆ,ˆ
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3434
איפיונים מקרובים של פולינומיםאיפיונים מקרובים של פולינומים
נציג ונוכיח כעת אלגוריתם שבודק את תכונת נציג ונוכיח כעת אלגוריתם שבודק את תכונתהדרגה לפולינומים, כלומר השאלה, בהנתן הדרגה לפולינומים, כלומר השאלה, בהנתן
מחשבת (בהסתברות מחשבת (בהסתברות PP, האם , האם PPתוכנית תוכנית ..ddגבוהה) פולינום מדרגה גבוהה) פולינום מדרגה
לאחר מכן, נראה אלגוריתים לבדיקה האם לאחר מכן, נראה אלגוריתים לבדיקה האםPP ..ddממעלה ממעלה ff-קרובה לפולינום -קרובה לפולינום εεאכן אכן
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3535
בדיקת דרגהבדיקת דרגה
program degree-test (program degree-test (P,P,εε,,ββ))Repeat Repeat ΘΘ(1/(1/εεlog(1/log(1/ββ)) times)) times
Pick x, h from Pick x, h from ZZ and test that: and test that:
Reject Reject PP if the test fails more than if the test fails more than
an an εε fraction of the time. fraction of the time.
1
0
0)(d
ii hixP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3636
בדיקת דרגה - נכונותבדיקת דרגה - נכונות
כדי להוכיח שאכן כדי להוכיח שאכןPP מחשבת פולינום מדרגה מחשבת פולינום מדרגה dd::
..PP-קרוב ל- -קרוב ל- εεנוכיח משפט על קיום פולינום נוכיח משפט על קיום פולינום –
נציג נוסחה חדשה שמראה שאכן האלגוריתים נציג נוסחה חדשה שמראה שאכן האלגוריתים –מוודא את הקירבה לפולינום.מוודא את הקירבה לפולינום.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3737
55משפט – קירוב איפיון משפט – קירוב איפיון
יהייהי
ותהיותהי
:המקיימת:המקיימת
אז קיים פולינום אז קיים פולינוםgg ממעלה ממעלה dd 22 אשר אשרδδ קרוב קרוב ..PPל-ל-
20 )2(2
1
d
pmp ZZP :
0
1
1,)()(Pr
,
d
ii
ZhxhixPxP
mp
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3838
שלבים בהוכחהשלבים בהוכחה
נגדיר את נגדיר אתg(x)g(x):להיות: להיות
..PP-קרוב ל--קרוב ל-22δδ הוא הוא ggנראה ש-נראה ש-1.1.
..dd הוא פולינום ממעלה הוא פולינום ממעלה ggנראה ש-נראה ש-2.2.-נקבל את נכונות המשפט. נקבל את נכונות המשפט.22 ו- ו-11מ-מ
1
1
)(maj)(d
iiZh
hixPxg mp
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
3939
11טענה טענה
gg-ו- ו PP)-1-21-2 שווים ביותר מ-( שווים ביותר מδδ מהקלטים ) מהקלטים (האפשריים.האפשריים.
-קרובים)-קרובים)22δδ(ולכן הם (ולכן הם
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4040
11הוכחת טענה הוכחת טענה
ראשית נשים לב שעבור הנקודות ראשית נשים לב שעבור הנקודותxx:כך ש: כך ש
:מתקיים: מתקייםP(x)=g(x)P(x)=g(x)(כי אם ההסתברות גדולה מחצי אז וודאי שהתנאי (כי אם ההסתברות גדולה מחצי אז וודאי שהתנאי
מתקיים לרוב הקלטים)מתקיים לרוב הקלטים)
2
1)()(Pr
1
1
d
iih hixPxP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4141
11הוכחת טענה הוכחת טענה
נתבונן אם כן בקבוצת הנקודות הבעיתיות נתבונן אם כן בקבוצת הנקודות הבעיתיותxx כך כך ש:ש:
?כמה נקודות כאלו יש?כמה נקודות כאלו יש-22אם יש יותר מ-אם יש יותר מδδ:נקודות כאלה: נקודות כאלה
2
1)()(Pr
1
1
d
iih hixPxP
2δנקודות בעיתיות -
נקודות "טובות"
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4242
11הוכחת טענה הוכחת טענה
:אז נקבל סתירה לתנאי מהנתון:אז נקבל סתירה לתנאי מהנתון
עבור הנקודות הלא בעיתיות מתקיים אם כן עבור הנקודות הלא בעיתיות מתקיים אם כןp(x)=g(x)p(x)=g(x)..
1
1,)()(Pr
,
d
ii
ZhxhixPxP
mp
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4343
22טענה טענה
לכללכל
:מתקיים:מתקיים
כלומר כלומרg(x)g(x)-קרוב מאוד ל- קרוב מאוד ל PP..
mpZx
)1(21)()(Pr1
1
dhixPxgd
iih
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4444
22הוכחת טענה הוכחת טענה
נזדקק למעט הסתברות: נזדקק למעט הסתברות:22להוכחת טענה להוכחת טענה -נסמן ב-נסמן בppii-את ההסתברות למאורע ה- את ההסתברות למאורע ה ii..
:אם מתקיים:אם מתקיים
:אז:אז i i
ii pppp 112
נוסחת ההסתברות השלמה
21 pp
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4545
22הוכחת טענה הוכחת טענה
:מתקיים:מתקיים
:לכן מהנתון נקבל:לכן מהנתון נקבל
mp
mp ZhjxZhix )( and )( 21
1)()()1(1
1211
,Pr
21
d
jj
hh
hjhixPhixP
1)()()2(1
1212
,Pr
21
d
ii
hh
hjhixPhjxP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4646
22הוכחת טענה הוכחת טענה
נרשום כ: נרשום כ:))11((את את
נרשום כ: נרשום כ:))22((ואת ואת
1
1
1
121
1
12
,)()(Pr
21
d
i
d
jji
d
jj
hhhjhixPhjxP
1
1
1
121
1
11
,)()(Pr
21
d
i
d
jji
d
ii
hhhjhixPhixP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4747
22הוכחת טענה הוכחת טענה
:נרצה אם כן לחשב את ההסתברות הבאה:נרצה אם כן לחשב את ההסתברות הבאה
1
1
1
121
1
12
1
11
,
)(
)(
)(
Pr21
d
i
d
jji
d
jj
d
ii
hh
hjhixP
hjxP
hixP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4848
22הוכחת טענה הוכחת טענה
נסמן את המאורע נסמן את המאורעAA:ונחשב את: ונחשב את
1
12
1
1
1
121
1
11
,
)(
)(
)(
Pr)APr(21
d
jj
d
i
d
jji
d
ii
hh
hjxP
hjhixP
hixP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
4949
22הוכחת טענה הוכחת טענה
-על ידי שימוש ב-על ידי שימוש בunion boundunion bound:נקבל: נקבל
ההסתברות לכל אחד מהמאורעות היא ההסתברות לכל אחד מהמאורעות היאδδ..:ולכן בסה"כ:ולכן בסה"כ
,)*1(Pr)*1(Pr)APr( 2211, 21
hxPhxPhh
1)2(d-1[...]Pr1)2(dA)Pr(2,1
hh
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5050
סיימנו? – לא!סיימנו? – לא!
ההסתברות הראשונה תלויה בההסתברות הראשונה תלויה בh1h1ו- ו -h2h2 אנו -. אנו .-נרצה:נרצה:
מהגדרת מהגדרתgg ומהאבחנה הקודמת נקבל את ומהאבחנה הקודמת נקבל אתהנ"ל.הנ"ל.
)1(21)()(Pr1
1
dhixPxgd
iih
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5151
33טענה טענה
לכללכל
:אז:אז
ולכן ולכןgg פולינום ממעלה פולינום ממעלה הוא הואdd..
2)2(2
1 if ,,
dZhx mp
1
0
0)(d
ii hixg
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5252
33הוכחת טענה הוכחת טענה
:מתקיים:מתקיים: 00ולכן לכל :ולכן לכל ≤ ≤ i ≤ d+1i ≤ d+1 22 (לפי הוכחת טענה (לפי הוכחת טענה((
:יתרה מכך, אנו כבר יודעים היטב ש:יתרה מכך, אנו כבר יודעים היטב ש
mpZihh 21
)1(21)(Pr1
021
, 21
dihhjhixPhixgd
jj
hh
10))()((1
021
,Pr
21
d
ii
hh
hjhihjxP
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5353
33הוכחת טענה הוכחת טענה
:משילוב השניים:משילוב השניים
-נשים לב שבאגף ימין אנו תלויים רק ב-נשים לב שבאגף ימין אנו תלויים רק בhh!! מסקנה – אם ההסתברות חיובית היא שווה מסקנה – אם ההסתברות חיובית היא שווה
. . dd הוא פולינום מדרגה הוא פולינום מדרגה gg. ולכן . ולכן 11ל-ל-
00))()(()(Pr1
1
1
021
1
0, 21
d
j
d
iij
d
ii
hhhjhihixPhixg
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5454
))eeדיוק האלגוריתים)-דיוק האלגוריתים-(
נראה שהאלגורים בודק את התכונה נראה שהאלגורים בודק את התכונהββבהסתברות בהסתברות
Need to say anything more???Need to say anything more???
)log()log(
1 1)1(
e
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5555
Self-Testing PolynomialsSelf-Testing Polynomials
בחלק זה נראה שימושים באיפיונים מקורבים בחלק זה נראה שימושים באיפיונים מקורביםכדי לבנות בודקים לתוכניות.כדי לבנות בודקים לתוכניות.
:בעבר היה נהוג לבדוק תוכניות כך:בעבר היה נהוג לבדוק תוכניות כך..P(x)=f(x)P(x)=f(x)ובדוק אם ובדוק אם xxהגרל קלט הגרל קלט –
:החסרונות:החסרונות עובדת נכון. עובדת נכון.ffאנו מניחים ש-אנו מניחים ש-–..ffנהיה תלויים בזמן הריצה של נהיה תלויים בזמן הריצה של –
.נראה שיטה "יותר עדיפה" לבדיקת תוכנית.נראה שיטה "יותר עדיפה" לבדיקת תוכנית
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5656
Test SetsTest Sets
:נגדיר את:נגדיר את
להיות להיות((d,md,mקבוצת מדגם פולינומית-)קבוצת מדגם פולינומית-):אם: אם משתנים כך ש: משתנים כך ש:mm בעל בעל dd מדרגה מדרגה יחידיחידישנו פולינום ישנו פולינום
"תמיד קיימת קבוצת מדגם בגודל תמיד קיימת קבוצת מדגם בגודל "ידוע ש" "ידוע ש))d+1d+1((mm
),(,),,( 11 tt yxyxT
ii yxfti )(],,,1[
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5757
דוגמהדוגמה
נניח שיש לנו תוכנית נניח שיש לנו תוכניתPP:שאמורה לחשב את: שאמורה לחשב את
בגישה המסורתית לבדיקת בגישה המסורתית לבדיקתPP יש צורך לדעת יש צורך לדעת ..xx לכל לכל ffאת הערך של את הערך של
:במקרה שלנו נצטרך רק את המידע הבא:במקרה שלנו נצטרך רק את המידע הבא
-בנוסף לעובדה ש-בנוסף לעובדה שff 33 הוא פולינום מדרגה הוא פולינום מדרגה..
mxxf mod)( 3
8)2(,1)1(,1)1(,0)0( ffff
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5858
אלגוריתם בדיקהאלגוריתם בדיקה
) בהנתן קבוצת בדיקה בגודל (בהנתן קבוצת בדיקה בגודלd,md,m:(:(
..dd אכן מחשבת פולינום מדרגה אכן מחשבת פולינום מדרגה PPנבדוק האם נבדוק האם 1.1.
..ff-קרובה ל--קרובה ל-εε היא היא PPאם כן, נבדוק אם אכן אם כן, נבדוק אם אכן 2.2.
Robust Characterization of PolynoRobust Characterization of Polynomialsmials
5959
בדיקת קירבהבדיקת קירבה
program equality-test (program equality-test (P,P,εε,,ββ,T),T)for for j j going from 1 to going from 1 to t t dodo
Repeat Repeat ΘΘ(log((log(dd//ββ))))Pick h from Pick h from ZZ and test that: and test that:
Reject Reject PP if the test fails more than 1/4 if the test fails more than 1/4thth
of the time. of the time.
1
1
)()(d
iij hixPxf