[robson] 1. programação linear
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Programação LinearTRANSCRIPT
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Definicao
Programacao Linear
Geraldo Robson Mateus
Departamento de Ciencia da ComputacaoUFMG
26 de abril de 2009
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Definicao
Programacao Matematica
Programacao Linear
Programacao Inteira
Otimizacao em Redes
Programacao Dinamica
Programacao Nao Linear
Programacao Linear X Nao Linear
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Definicao
Metodos Numericos X Metodos Analıticos
Metodos Numericos
Iterativos
Solucao inicial
Erros numericos
Convergencia
Metodos Analıticos
Calculo diferencial
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Definicao
Modelo Geral
min f (x) → Funcao objetivo
gi (x) ≤≥ bi , i = 1, . . . ,m→ Restricoes
x → vetor de variaveis de decisao
Conjunto de solucoes viaveisS = {x | gi (x) ≤≥ bi , i = 1, · · · ,m}
Solucao otimax∗ ε S | f (x) seja mınima
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Definicao
Modelo Linear
Nao Linear
Irrestrito
Restrito
Programacao QuadraticaProgramacao GeometricaProgramacao Estocastica
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Definicao
Notacao e Terminologia
Vetor x =
x1...
xn
Transposicao: T
Produto escalar de dois vetores: xT.y =n∑
i=1
xiyi
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Definicao
Notacao e Terminologia
Matriz AmXn =
a11 · · · a1n...
. . ....
am1 · · · amn
Retangular → m 6= n
Quadrada → m = n
Diagonal
Identidade
Definida Positiva (Semidefinida)
Para todo x ε <n temos xT .A.x > 0 (xT .A.x ≥ 0)
Definida Negativa (Semidefinida)
Para todo x ε <n temos xT .A.x < 0 (xT .A.x ≤ 0)
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Definicao
Exemplo
Seja a matriz
A =
−2 1 11 0 01 1 1
det A1 = det [-2] = -2 ≤ 0
det A2 = det
[−2 11 0
]= 0 - 1 = -1 ≤ 0
det A3 = det
−2 1 11 0 01 1 1
= 0
A e indefinida
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Definicao
Metodos Iterativos
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Definicao
Definicoes
Mınino Local
x∗ ε S e um mınimo local de f sobre S se existe um ∂ > 0 tal quef (x) ≥ f (x∗) para todo x ε S , tal que |x − x∗| < ∂
Mınino Global
Um ponto x∗ ε S e um mınimo global de f sobre S se f (x) ≥ f (x∗) paratodo x ε S , x 6= x∗
Direcao Viavel
Dado um ponto x∗ ε S , o vetor h e uma direcao viavel em x se existeλ > 0, tal que (x + λh ) ε S para todo 0 ≤ λ ≤ λ
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Definicao
Definicoes
Curvas de nıveis
Conjuntos C 1 e C 2
Vetor gradiente → ∇f(x)
Matriz hessiana → H(x)
Serie de Taylor
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Definicao
Curvas de Nıveis
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Definicao
Curvas de Nıveis
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Definicao
Curvas de Nıveis
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Definicao
Gradiente
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Definicao
Gradiente e Hessiana
∇f (x) =(∂f∂x1, ∂f∂x2, . . . , ∂f
∂xn
)T, f ε C 1
H(x) = ∇2f (x) =
[∂2f∂x2
1. . . ∂2f
∂x1∂xn
∂2f∂xn∂x1
. . . ∂2f∂x2
m
], f ε C 2
f (x) = b11x21 + b22x2
2︸ ︷︷ ︸Escalation
+ b12x1x2 + b21x2x21︸ ︷︷ ︸
Rotation
+ b1x1 + b2x2︸ ︷︷ ︸Translation
+b0
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Definicao
Serie de Taylor
Aproxima uma funcao f (x) na vizinhanca de xk
f (x) = f (xk) + (x − xk)T .∇f (xk) + 12 (x − xk)T .H(xk)(x − xk) + . . .
· · ·+ θ((x − xk)2)
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Definicao
Convexidade
Linha
Seja x1, x2 ε <n. A linha atraves de x1 e x2 e definida por:{x |x = (1− λ)x1 + λx2, λ ε <}
Segmento
i) Fechado: [x1, x2] = {x |x = (1− λ)x1 + λx2, 0 ≤ λ ≤ 1}ii) Aberto: (x1, x2) = {x |x = (1− λ)x1 + λx2, 0 < λ < 1}
Conjunto Convexo
Um conjunto S ⊂ <n e convexo se o segmento de linha fechado que unequaisquer dois pontos de S esta em S , ou,∀ x1, x2 ε S , λ ε <, 0 ≤ λ ≤ 1→ (1− λ)x1 + λx2 ε S
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Definicao
Funcoes Convexas
Funcao Convexa (Estritamente Convexa)
f (x) e convexa sobre o conjunto convexo S se para quaisquer dois pontosx ε S e y ε S
f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y), 0 ≤ λ ≤ 1
f (λx + (1− λ)y) < λf (x) + (1− λ)f (y), 0 < λ < 1, x 6= y
Funcao Concova (Estritamente Concova)
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Definicao
Propriedades de funcoes convexas
1 Se f1 e f2 sao funcoes convexas sobre o conjunto convexo S entaof1 + f2 e convexa sobre S ;
2 Se f e convexa sobre o conjunto convexo S entao af e convexa paraqualquer a > 0;
3 Seja f uma funcao convexa sobre um conjunto convexo S . O conjuntoC = {x |x ε S , f (x) ≤ c} e convexo para todo real c . O conjunto dospontos x |f1(x) ≤ c1, f2(x) ≤ c2, . . . , fn(x) ≤ cn, onde fi (x) e convexa,define um conjunto convexo;
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Definicao
Propriedades de funcoes convexas
4 Se fi , i ε I , e uma famılia de funcoes convexas e limitadassuperiormente num conjunto convexo A ⊂ <n, entao a funcao
f (x) = sup(iεI ) fi (x)
e uma funcao convexa em A.
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Definicao
Teoremas de funcoes convexas
Teorema 1
Seja f ε C 1. f e convexa sobre um conjunto convexo S se e so se
f (y) ≥ f (x) +∇T f (x).(y − x)
para todo x , y ε S
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Definicao
Teoremas de funcoes convexas
Teorema 2
Seja f ε C 2. f e estritamente convexa (convexa) sobre um conjuntoconvexo S se e so se a matriz hessiana, H(x), de f e definida positiva(semidefinida positiva) para todo x ε S .
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Definicao
Funcao Unimodal
Uma funcao f de uma variavel x no intervalo [a, b] e unimodal se existex1, x2 ε [a, b] tal que:
i) f e estritamente decrescente em x < x1,
ii) f e estritamente crescente em x > x2,
iii) f e constrante em x ε [x1, x2]
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Definicao
Minimizacao - Convexidade
Teorema
Seja f ε C 2, f e estritamente convexa (convexa) sobre um conjuntoconvexo S se so se a matriz hessiana, H(x), de f e definida positiva(semidefinida positiva) para todo x ε S.
Teorema 5
Seja f uma funcao convexa definida sobre um conjunto convexo S. Entaoo conjunto R de pontos, onde f atinge seu mınimo, e convexo e qualquermınimo local de f e um mınimo global.
Teorema 6
Seja a funcao f ε C 1 convexa sobre o conjunto convexo S. Se existe umponto x∗ ε S tal que para todo y ε S, ∇f (x∗)T (y − x∗) ≥ 0 entao x∗ eum ponto de mınimo global de f sobre S.
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Definicao
Solucao Grafica
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Definicao
Solucao Grafica
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Definicao
Solucao Grafica
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Definicao
Solucao Grafica
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Definicao
Solucao Grafica
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Definicao
Solucao Grafica
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Definicao
Solucao Grafica