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Risikomanagement I- Vorlesung im WS 2007/2008 -Vorlesung im WS 2007/2008

Prof. Dr. Rainer Elschen

Risikomanagement I – Vorlesung WS 2007/08

h l b hInhaltsübersicht

1. Überblick Finanzierungsforschung

2. Risikobegriffe

3. Wertpapierbewertung3 1 Portfoliotheorie3.1 Portfoliotheorie3.2 CAPM3.3 Empirische Tests3 C3.4 CAPM-Erweiterungen3.5 Faktorenmodell von Fama/French3.6 Modigliani-Miller - Arbitragegedanken und Unternehmenswert3.7 APT von Ross

4. Management von Wertpapierportfolios4 1 Performancemessung auf Basis des CAPM4.1 Performancemessung auf Basis des CAPM4.2 Varianz-Dekomposition und Index Tracking4.3 Wertpapiermanagement und Shortfall-Risiko

Prof. Dr. Rainer Elschen - 2 -


h l b hInhaltsübersicht

5. Derivatetheorie5.1 Fundamentale Bewertungsansätze

5.2 Forwards und Futures

5 3 Bewertung unbedingter Terminkontrakte5.3 Bewertung unbedingter Terminkontrakte

5.4 Allgemeine Fair Value Bewertung Futures

5.5 Basisrisiko und Basishedging

5.6 Hedging mit Indexfutures

5.7 Optionen

5.8 Optionsstategienp g

5.9 Optionsbewertung

5.10 Delta- und Gammahedging

5 11 Impliziter Informationsgehalt aus Optionen5.11 Impliziter Informationsgehalt aus Optionen

5.12 Stochastische Volatilität und Mean Reversion



b h ( l f hl)Literaturübersicht (vorläufige Auswahl)

Bl k Fi h C it l M k t E ilib i ith R t i t d B i J l f B i • Black, Fischer: Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing Journal of Business, 1972 , 45 , 444-455.

• Black, Fischer and Scholes, Myron: The Pricing of Options and Corporate Liabilities Journal of Political Economy, 1973, 81 , 637-654.

• Breeden, Douglas T.: An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochastic Consumption and investment opportunities, Journal of financial economics, 1979, 7, s. 265-296.

• Breeden, Douglas T. and Litzenberger, Robert H.: Prices of State-contingent Claims Implicit in Option Prices Journal of Business 1978 51 621 651 in Option Prices Journal of Business, 1978 , 51 , 621-651.

• Breuer, Wolfgang/ Gürtler, Marc/ Schumacher, Frank: Portfoliomanagement, 1999.

• Breuer, Wolfgang: Investition II: Entscheidungen bei Unsicherheit, 2. Aufl.,2002.

C J h C d R St h A d R bi t i M k O ti P i i A Si lifi d • Cox, John C.and Ross, Stephen A. and Rubinstein: Mark Option Pricing: A Simplified Approach Journal of Financial Economics, 1979 , 7 , 229-263.

• Fama, Eugene F. Efficient Capital Markets: II The Journal of Finance, 1991 , 46 , 1575-1617.

• Haugen Robert: Modern Investment Theory 5 Aufl 2001• Haugen, Robert: Modern Investment Theory, 5. Aufl. 2001.

• Haugen, Robert: The New Finance – The Case Against Efficient Markets, 2. Aufl., 1999.

• Hull, John: Options, Futures and other Derivatives, 4. Aufl., 2000.

• Hull John: Options Futures and other Derivatives 5 Aufl 2003


• Hull, John: Options, Futures and other Derivatives, 5. Aufl., 2003.



• Jensen, Michael C.: Risk, the Pricing of Capital Assets, and the Evaluation of Investment Portfolios, Journal of Business, 42. Jg., 1969, S. 167-185.Portfolios, Journal of Business, 42. Jg., 1969, S. 167 185.

• Jensen, Michael C.: The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964, Journal of Finance, 23. Jg., 1968, S. 389-416.

• Kataoka, Shinji: A Stochastic Programming Model, Econometrica, 31 Jg., 1963, S. 181-196.

• Kahneman, Daniel and Tverski, Amos Prospect Theory: An Analysis of Decisions under Risk Econometrica, 1979 , 47 , 263-292.

• Lintner, John: The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets Review of Economics and Statistics 47 Jg 1965 S 13 37Portfolios and Capital Budgets, Review of Economics and Statistics 47. Jg. 1965 S. 13-37.

• Loistl, Otto: Kapitalmarkttheorie, 3.Aufl., 1994.

• Lucas, Robert E. Jr. Asset Prices in an Exchange Economy Econometrica, 1978 , 46 , 1429-1446. 1446.

• Markowitz, Harry M.: Portfolio Selection, Journal of Finance, 1952, S. 77-91.

• Mehra, R. and Prescott, E. C.: The Equity Premium - A Puzzle Journal of Monetary Economics, 1985 , 15 , 145-161.

• Merton, Robert C.: An Intertemporal Asset Pricing Model, Econometrica, 41. Jg., 1973, S. 867-887.

• Modigliani, Franco/ Modigliani, Leah: Risk-Adjusted Performance, Journal of Porfolio-Management o Jg 1997 S 45 54


Management, o. Jg., 1997, S. 45-54.



• Mossin, Jan:Mossin, Jan: Equilibrium in a Capital Asset Market; Econometrica, 34. Jg., 1966, S 768-783S. 768-783.

• Perridon, Louis/ Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 11.- Aufl., 2002.

• Roll, Richard R.: A Critique of the Asset Pricing Theory´s Tests: Part I: On Past and Potential Testability of the Theory Journal of Financial Economics 4 Jg 1977 S 129-176Testability of the Theory, Journal of Financial Economics, 4. Jg., 1977, S. 129-176.

• Roll, Richard W.: A possible Explanation of the small firm effect, Journal of Finance, 1981, S. 879-888.

• Ross Stephen A : The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing Journal of Economic Theory • Ross, Stephen A.: The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing, Journal of Economic Theory, 1976, S. 341-360.

• Roy, Andrew D.: Safety First and the Holding of Assets, Econometrica, 1952, S. 431-439.

• Rubinstein Mark: Implied Binomial Trees Journal of Finance JOF 1994 49 771-818 • Rubinstein, Mark: Implied Binomial Trees Journal of Finance JOF, 1994 , 49 , 771-818.

• Sharpe, William F.: Capital Asset Prices : A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of Finance, 19. Jg., 1964, S. 425-442.

• Sharpe William F : Mutual Fund Performance; Journal of Business 39 Jg 1966 S 119-138• Sharpe, William F.: Mutual Fund Performance; Journal of Business, 39. Jg., 1966, S.119 138.

• Steiner, Manfred/ Bruns, Christoph: Wertpapiermanagement, 7. Aufl. 2000.

• Treynor, Jack L.: How to Rate Management of Investment Fonds; Harvard Business Review, 43 Jg 1965 S 63-75


43. Jg., 1965, S. 63 75.


Risikomanagement I- Vorlesung 1 -Vorlesung 1




1 Überblick Finanzierungsforschung1. Überblick Finanzierungsforschung



h f l h h f ldFinanzwirtschaftliche Forschungsfelder

• Klassische Finanzierungslehre

• Formenlehre

• Projektorientierter Ansatz

Fi l• Finanzplanung

• Finanzanalyse

• Neoklassische Finanzierungslehreg

• Kapitaltheorie

• Finanzchemie

• Einwertige Ansätze unter Sicherheit

• Neoinstitutionalismus



G d d f hGegenstand der Finanzierungsforschung

(B)Kapital-nehmer

Kapital-geber nehmer

(A)Steuern

geber(A)

Transaktionskosten (Bank-, Börsen- Kontraktgebühren)

Informationskosten

Börsen , Kontraktgebühren)

(C)

Opportunitätskosten (durch wenigerzukünftige Handlungsmöglichkeiten)

(C)Marktzusammenhang


Literaturhinweis: Perridon/Steiner, S. 16ff.


kl k l k d l k hNeoklassik als Ausgangspunkt der Kapitalmarkttheorie

Annahme eines vollständigen und vollkommenen Kapitalmarktes

• Löst das Problem präferenzabhängiger Bewertung

• Ermöglicht getrennte Betrachtung von Investitions- undFinanzierungsentscheidungeng g

(„FISHER - SEPARATION“ )

Entwickelte Theorien:

(1) Irrelevanzthesen von MODIGLIANI / MILLER

(2) Portfoliotheorie von MARKOWITZ(2) Portfoliotheorie von MARKOWITZ

(3) CAPM von SHARPE / LINTNER / MOSSIN

(4) APT von ROSS



h l d l k hUntersuchungszielsetzungen der Kapitalmarkttheorie

Kapitalmarkttheorie

erklärende Gleichgewichtstheorie

gestaltende Kapitalkostentheorie

Interpretation als Sekundärmarkt- oder

Tauschmodell

Interpretation als Primärmarkt- oder

Finanzierungsmodell

Ableitung von Gleichgewichtskursen und

Ableitung von Kapitalkostensätzen und Gleichgewichtskursen und

Gleichgewichtsrenditen bei Unsicherheit

Kapitalkostensätzen und Kalkulationszinsfüßen bei

Unsicherheit


Quelle: Perridon/Steiner, S. 257


l h hNeoinstitutionalistische Finanzierungstheorie

Ausgangsfrage:

Warum Institutionen (z.B. Banken) trotz der entstehenden Kosten?

U sachenUrsachen:

Marktunvollkommenheit, vor allem Informationsasymmetrie

Folgen:

• Moral Hazard – Probleme

• Gefahr der Adverse Selection

• Bildung von Institutionen zur Verringerung der Informationsasymmetriey



2 Risikobegriffe2. Risikobegriffe



G dl d kGrundlagen des Risikomanagements

Risikopolitikru

ng

lleRisiko

Risiko i.w.Sinn

kost

euer

Kontr

ol oid

entifi

Risiko i.e.Sinn Ungewissheit

Ris

ik & katio

nMischformen

Risikobewertung



h d kEntscheidung unter Risiko

EntscheidungsprinzipEntscheidungsprinzip(Regelung, welche Parameter in die Entscheidung einfließen)

Bayes - Prinzip Bernoulli - Prinzip

• Ausschließliche Orientierung • Einbezug von erwartetem Ertragam erwarteten Ertrag einerHandlungsalternative

• Entscheidungsregel:Wahl der Alternative mit dem

und damit verbundenem Risiko• Entscheidungsregel:

Wahl der Alternative, die denhöchsten erwarteten NutzenWahl der Alternative mit dem

höchsten erwarteten Ertraghöchsten erwarteten Nutzen[Erwartungsnutzen] stiftet

⇒ Minimalanforderung: subjektive Zustandswahrscheinlichkeiten für zukünftige, h l l


unsichere Umweltlagen


llBernoulli - Prinzip

Für jeden Entscheidungsträger existiert eine Nutzenfunktion, durch die allemöglichen Aktionen die durch erwarteten Ertrag und Risiko charakterisiertmöglichen Aktionen, die durch erwarteten Ertrag und Risiko charakterisiertwerden, in eine eindeutige Rangfolge gebracht werden könnenSteigendes Vermögen geht mit höherem Nutzen einher (Streng monotonwachsende Nutzenfunktion bzw. Nichtsättigungspostulat)Alle zukünftig möglichen Vermögensbeträge [W] sind in Nutzen-funktionenabbildbar (Stetigkeitsprinzip)Die Risikoeinstellung bestimmt, welcher Nutzenzuwachs mit zusätzlichenErtragschancen empfunden wird Demnach habenErtragschancen empfunden wird. Demnach haben

Risikoaverse Entscheider eine konkave Nutzenfunktion ( ) 0

(W)U(W)UWr >′′′

−= U(W)

Risikofreudige Entscheidereine konvexe Nutzenfunktion ( ) 0

(W)U(W)UWr <′′′

−=W

U(W)

Risikoneutrale Entscheidereine lineare Nutzenfunktion ( ) 0

(W)U(W)UWr =′′′

−=W

U(W)


W


k llRisikoaversion im Bernoulli - Prinzip

en • Der Erwartungsnutzen der

Nutzenfunktion U(W)

Nutz

e

( )[ ]BW~

UE

• Der Erwartungsnutzen derrisikoarmen Alternative A stifteteinen größeren Erwartungsnutzenals die risikoreiche Alternative B

( )[ ]AW~

UE

( )[ ]BWUE • Entsprechend ist die sichereZahlung, die der risikobehaftetenAlternative als gleichwertig ein-

t ft i d [Si h h it ä i l tgestuft wird [SicherheitsäquivalentSÄ], bei B geringer als bei A

• Somit ist die geforderteRisikoprämie (E[W]- SÄ) bei

SÄ: A

SÄ

Ertrag W~AW AW BWBW

Risikoprämie (E[W] SÄ) beirisikoreicheren Handlungen größerSÄ: B identischer Erwartungswert

bei A und B

Ertrag W]WE[

rel. risikoarme Handlung:A

1W 2W 2W1W

Grundmodell eines „rationalen“ Investors


rel. risikoreiche Handlung: BInvestors


k f llRisikopräferenz im Bernoulli - Prinzip

• Der Erwartungsnutzen der en W)

• Der Erwartungsnutzen der risikoarmen Alternative A stiftet einen geringeren Erwartungsnutzen als die risikoreiche Alternative B

identischer Erwartungswert

bei A und B

Nutz

e

SÄ: B

nkt

ion U

(W

• Entsprechend ist die sichere Zahlung, die der risikobehafteten Alternative als gleichwertig ein-

t ft i d [Si h h it ä i l t Nutz

enfu

n

SÄ: A

gestuft wird [Sicherheitsäquivalent SÄ], bei B höher als bei A

• Somit ist die geforderte Risikoprämie (E[W]- SÄ) negativ

( )[ ]BW~

UE

N

( )[ ]AW~

UERisikoprämie (E[W] SÄ) negativ, der Betrag wächst mit steigendem RisikoErtrag W

]W~

E[A1W A

2W B2WB

1W

Grundmodell eines spekulativen Investors

]WE[


1W 2W 2W1W


Investorsrel. risikoreiche Handlung: B


k l llRisikoneutralität im Bernoulli - Prinzip

• Die Erwartungsnutzen der en • Die Erwartungsnutzen der Alternativen A und B werden gleich hoch empfunden

• Entsprechend gleicht das

Nutz

e

( )[ ] ( )[ ]BA W~

UEW~

UE = Entsprechend gleicht das Sicherheitsäquivalent [SÄ] dem Erwartungswert zukünftiger Erträge

( )[ ] ( )[ ]identischer

Erwartungswertbei A und B

• Die Risikoprämie beträgt = 0 • Lediglich Berücksichtigung des

ErwartungswertesSÄ

bei A und B

Ertrag W

]W~

E[A1W A

2W B2WB

1W

Übereinstimmung mit BAYES - Prinzip


rel. risikoreiche Handlung: B



k f f kRisikopräferenzfunktionen

⇒ Die Risikopräferenzfunktion transferiert den Risikonutzen in Abhängigkeit vont t E t d t t Ri ikerwartetem Ertrag μ und erwartetem Risiko σ

⇒ Die Menge aller μ/σ-Kombinationen, die den gleichen Nutzen stiften, lassen sichin Isonutzenfunktionen zusammenfassen

μ μ μSteigender Nutzenindex

Steigender Nutzenindex


Nutzenindex


σ σ σσ σ σRisikoaversion Risikoneutralität Risikopräferenz



Risikobegriffe symmetrische RisikobegriffeRisikobegriffe – symmetrische Risikobegriffe



k ( 9 2 9 ) dMarkowitz (1952, 1957): Renditestreuung

• Standardabweichung als Risikomaß ( th ti h t h i h D fi iti )(mathematisch-technische Definition)

• Kritisch:Sowohl Abweichungen vom Erwartungswert nach oben als auch Abweichungen n h nten gehen in d Ri ikom ß ein nach unten gehen in das Risikomaß ein (symmetrische Definition)

• Risikodefinition durch „Schwankungsempfinden“:Die Nutzen einbußen bei negativen Abweichungen dominieren die Nutzenvorteile Die Nutzen einbußen bei negativen Abweichungen dominieren die Nutzenvorteile durch positive Abweichungen

• Saldo: Nutzennachteile durch Schwankung

• Bei symmetrischen Verteilungen ist Semivarianz proportional zu Varianz und Standardabweichung



k ( 9 2 9 ) dMarkowitz (1952, 1957): Renditestreuung

• Symmetrische Verteilungen werden vollständig durch zwei Parameter (E t t St d d b i h ) b h i b(Erwartungswert; Standardabweichung) beschrieben

∑ ⋅=n

ii wrμ

ichte

∑=1i

ii

n

WSK-D

i

σσ

∑=

⋅−=n

1ii

2i

2 wμ)(rσ

σσ 2σσ =⇒

Renditeausprägungenμ σμ +σ-μ


Renditeausprägungenμ σμ +σμ


Risikobegriffe – asymmetrische RisikobegriffeRisikobegriffe – asymmetrische Risikobegriffe



f ll k f lAusfallrisiko im Portfoliomanagement

Roy (1952):

• Risiko als Wahrscheinlichkeit von Verlusten (bei gebundenem Vermögen)

• Verfehlung einer Zielrendite/Zielvorgabe: SHORT-FALL (Desaster)Vorgabe (Mindest-/Zielrendite) ist die Rendite, die ein Investor lediglich mit g ( / ) , gmarginaler Wahrscheinlichkeit α hinzunehmen bereit ist (NICHT: geringst mögliche Portfoliorendite!)

• Ableitung einer „Safety-First“ Strategie:g „ y gZu gegebener Mindestrendite wird das Portfolio gewählt, das die geringste Verlustwahrscheinlichkeit aufweist

Alternative Formulierung durch Kataoka (1963):

• Nach Spezifikation einer Verlustwahrscheinlichkeit ist das Portfolio zu wählen, das die maximale Mindestrendite aufweist das nur bei gegebener das die maximale Mindestrendite aufweist, das nur bei gegebener Wahrscheinlichkeit unterschritten wird



f ll k l k d l k ( )Ausfallrisiko: Implikationen des Value at Risk (VAR)

• X sei eine normalverteilte Zufallsvariable der Renditeausprägung eines Portfolios b i W t i it N( 10 2 % 20 6 %)bzw. eines Wertpapiers mit x : → N(μ = 10,2 % ; σ = 20,6 %)

0 2060,102x

σμ-x

z−

==⇒ Standardnormalverteilt mit z : → N(0;1)0,206σ

Wahrscheinlichkeit, dass eine Zielrendite von 0% unterschritten wird ist gegeben durch:

WSK-Dichte

g g

)495,0(N206,0

102,00N)0x(P −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=≤⇒

311068901)4950(N1Mindestrendite, die mit Wahrscheinlichkeit αnicht unterschritten wird

311,0689,01)495,0(N1 =−=−=

( Wahrscheinlichkeit für eine negative Rendite beträgt α = 31,1% )

α-1

nicht unterschritten wird


x Xμ Renditeausprägungen


3 Wertpapierbewertung3. Wertpapierbewertung



3 1 Portfolio Theorie3.1 Portfolio Theorie



f l S l hPortfolio – Selection-Theory

• Von Harry M. Markowitz [1952, 1957] entwickeltes Modell zur Erklärung und Gestaltung der Portefeuillebildung auf der Grundlage der Wertpapiermischung.

• Explizite Abbildung der Substitutionsbeziehung von Risiko und Rendite einer Kapitalanlage

• Grundlage sind durch Rationalität gekennzeichnete Investoren [charakterisiert durch Risikoaversion: Bernoulli-Prinzip der Erwartungsnutzenmaximierung]

• Wenn sich der Erwartungsnutzen vollständig durch Erwartungswert und Streuung • Wenn sich der Erwartungsnutzen vollständig durch Erwartungswert und Streuung beschreiben läßt, präferieren Investoren Vermögensverteilungen mit höherem erwarteten Endvermögen und geringerer Streuung:

risiko-/renditeeffiziente Portefeuilles risiko-/renditeeffiziente Portefeuilles



k b b hRisiko-Ertrags-Kombinationen bei Wertpapiermischung

• erwartete Rendite des Wertpapiers A:

∑=

⋅=μn

1iiiA wr

2n

2

• Risiko des Wertpapiers A(Varianz der Renditeerwartung bzw. deren Standardabweichung):

2AA σσ =⇒( )∑

=⋅μ−=

n

1ii

2Ai

2A wrσ

BBAAP xx μ⋅+μ⋅=μnn

• Erwartete Rendite aus dem Portfolio zweier Wertpapiere:

∑∑==

=μ⋅=μ1i

i1i

iiP 1xmitxallgemein:



f l k ( d d )Portfoliorisiko (Varianz der Renditeerwartung)

ABBA2B

2B

2A

2A

2P covxx2xx ⋅⋅⋅+σ⋅+σ⋅=σ

ABBABA2B

2B

2A

2A

ABBABBAAP

Kxx2xx

covxx2xx

⋅σ⋅σ⋅⋅⋅+σ⋅+σ⋅=

+σ+σσ

∑∑n n

2

E k s

∑∑= =

⋅⋅=σ1i 1j

ijji2P covxxallgemein:

Exkurs:

• Kovarianz der Wertpapiere A und B:

( ) ( ) iBB

n

AA wrrcov ⋅μ−⋅μ−= ∑

ri = Rendite des Wertpapiers bei Eintritt des Umweltzustandes i

wi = Eintrittswahrscheinlichkeit des Umweltzustandes i

• Korrelationskoeffizient bezüglich der Wertpapiere A und B:

( ) ( ) iBiB1i

AiAABwrrcov μμ∑

=Umweltzustandes i

K = KorrelationskoeffizientcovAB = Kovarianz der erwarteten

Renditen der Wertpapiere A und BWertpapiere A und B: p pxA/B = Anteil des Wertpapiers A bzw. B

am GesamtportefeuilleBA

ABAB

covK

σ⋅σ=



h h l hk l fWahrscheinlichkeitsverteilung für zwei Wertpapiere

Ui U1 U2 U3 U4 μ σ

wi 0,3 0,3 0,3 0,3

rAi -10 -10 30 30 10 20

rBi -5 -5 35 35 15 20Bi

Ui = Umweltzustand iwi = Eintrittswahrscheinlichkeit des Umweltzustandes irAi/rBi = Rendite des Wertpapiers A/B bei Eintritt des Umweltzustandes i



d f l d f l S l kDominierende Portfolios in der Portfolio Selektion

μμMaximierung der erwarteten Rendite

bei gegebenem Risiko

μi

Minimierung des Risikos bei gegebenem Erwartungswert

σσi



Ertrags-Risikokombinationen bei Mischung der Wertpapiere A und B

xA xB µP σ P σ2P µ

0

0,1

0 2

1

0,9

0 8

15

14,5

14

20

19

18 3

400

364

336

µ

15

140,2

0,3

0,4

0,8

0,7

0,6

14

13,5

13

18,3

17,8

17,4

336

316

304

13

12

110,5

0,6

0 7

0,5

0,4

0 3

12,5

12

11 5

17,3

17,4

17 8

300

304

316

11

10

0,7

0,8

0,9

0,3

0,2

0,1

11,5

11

10,5

17,8

18,3

19

316

336

364

1 0 10 20 400

Annahme: K 0 5

17 18 19 20 σ


Annahme: K= 0,5


G d f ll lGrundtypen von Portefeuillelinien

μ

BK = -1

K = 0

K = 1

A

0σ

• Punkt A bzw. Punkt B: ausschließliche Anlage in Wertpapier A bzw. B

0

• Abhängigkeit des Verlaufs der Portefeuillelinien (Rendite-Risiko-Kombinationen) von der Korrelation zwischen den betrachteten Wertpapieren

– bei vollständig positiv korrelierten Wertpapieren (K=1) ist kein Diversifikationseffekt zu erzielen


erzielen


f ll l f h ( )Portefeuillelinien für mehrere Wertpapiere (1)

Beispiel:

• Durch Kombination von mehreren Wertpapieren lässt sich der effiziente Bereich der Wertpapiere ausweiten

• Wertpapier A: Erwartungswert: 12 %; Varianz: 20 %p p g ;

• Wertpapier B: Erwartungswert: 13 %; Varianz: 40 %

• Wertpapier C: Erwartungswert: 15% ; Varianz: 30%

• Als Korrelation zwischen den Wertpapieren sei einheitlichder Wert 0,5 angenommen



f ll l f h (2)Portefeuillelinien für mehrere Wertpapiere (2)0,155

Wertpapier C

0,145

0,15

0,135

0,14

e R

endi

te

Wertpapier B0,13

0,135

Erw

arte

te

Wertpapier A0,12

0,125

0,1150,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6

Standardabweichung


Zwei Wertpapiere Drei Wertpapiere Papier A Papier B Papier C AB BC


f ll l f h (3)Portefeuillelinien für mehrere Wertpapiere (3)

Ergebnis:

• Die Hinzunahme von Wertpapieren, die isoliert betrachtet deutlich dominiert werden, trägt dazu bei, den effizienten Bereich der Wertpapiere auszuweiten

• Durch Wertpapiermischung lässt sich das effektive Portfoliorisiko erheblich p p ggegenüber dem durchschnittlichen Risiko mindern

• Der effiziente Bereich von Wertpapieranlagen beginnt vom Portfolio mit der minimalen Varianz und erstreckt sich bis zum Portfolio mit der maximalen Varianz



O l k f llOptimales Aktienportefeuille

Optimale Portfolioallokation:μ Optimale Portfolioallokation:

Bei der Portfolio Selection ist die optimale Wahl des Investitionsportfolios Q gekennzeichnet durch:

μI3 I2 I1 C

Q gekennzeichnet durch:

(1) Tangente der Isonutzenkurve mit höchstem noch erlangbarem Nutzenindex (Risikoaversion) an ( )effizientem Bereich der Wertpapiermischung

(2) Identität der relativen

Q

E Risikoaverionsparameter mit der Steigung der Effizienzlinie in Q

E

σ



3 2 Capital Asset Pricing Model (CAPM)3.2 Capital Asset Pricing Model (CAPM)



G d d k d h d C l d lGrundgedanken und Annahmen des Capital Asset Pricing Model

→ Sharpe (1964)/ Lintner (1965)/ Mossin (1966): CAPM

Erweiterung der Portefeuilletheorie durch Einbeziehung des Kapitalmarkts

• Einführung einer risikolosen Kapitalmarktanlagemöglichkeit• Einführung einer risikolosen Kapitalmarktanlagemöglichkeit

• Annahme homogener Erwartungen bzgl. der Wertpapierrenditen

• Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes– Fisher Separation

(Trennbarkeit von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen)

– Tobin Separation(Trennbarkeit von Risikoneigung des Anlegers und Portefeuillestruktur)(Trennbarkeit von Risikoneigung des Anlegers und Portefeuillestruktur)

• Im Kapitalmarktgleichgewicht hält jeder Anleger ein in der Struktur gleiches Portefeuille

• Vollständige Informationseffizienz



h d C lAnnahmen des CAPM im Einzelnen

• Normalverteilung der Wertpapierrenditen

• risikoscheue Marktteilnehmer

• homogene Erwartungen der Marktteilnehmer bzgl. der Wertpapierrenditen

i ikolo e nd neinge h änkte K pit l nl ge nd K pit l fn hmemögli hkeit• risikolose und uneingeschränkte Kapitalanlage- und Kapitalaufnahmemöglichkeit

• fixe Menge an umlaufenden risikobehafteten Wertpapieren

• beliebige Teilbarkeit der Wertpapiere g p p

• keine Transaktionskosten und keine Beeinträchtigung des Wertpapierhandels durch sonstige Marktunvollkommenheiten

strenge Informationseffizienz• strenge Informationseffizienz

• Planungshorizont von einer Periode



Informationseffizienz am Kapitalmarkt

Originäre Formulierung der Informationseffizienz:

• schwache InformationseffizienzSämtliche Informationen über vergangene Kursentwicklungen sind im aktuellen Marktpreis berücksichtigt. Durch Einsatz der technischen Wertpapieranalyse sind keine Übe enditen e ielbkeine Überrenditen erzielbar.

• halb-strenge InformationseffizienzSämtliche öffentlich verfügbaren Informationen sind im aktuellen Marktpreis berücksichtigt; dies schließt Informationen über die vergangene Kursentwicklung berücksichtigt; dies schließt Informationen über die vergangene Kursentwicklung und somit die Anforderungen der schwachen Informationseffizienz mit ein. Durch den Einsatz der fundamentalen Wertpapieranalyse sind keine Überrenditen erzielbar.

• strenge InformationseffizienzAlle, also auch nicht öffentlich zugängliche Informationen (Insiderinformationen) sind im aktuellen Marktpreis berücksichtigt.p g

Literaturhinweis: Perridon/Steiner S 258 ff


Literaturhinweis: Perridon/Steiner, S. 258 ff.


l k l b G l k dKapitalmarktlinie bei Gültigkeit der Prämissen

Kapitalmarktlinie (Effizienzgerade)μ Kapitalmarktlinie (Effizienzgerade)

Effizienzkurve riskanter Portefeuilles

μm-if

μ

μm

iμ

ifFür die Kapitalmarktlinie gilt:

σσ

i-μ+i=μ

m

fmf ⋅

σm

σσm

⇒ Die Renditen-Austauschrate für eine Risikoeinheit beträgt somitm

fm iσ−μ

μ = Erwartungswert der Portefeuillerenditeμm = Erwartungswert der Rendite des Marktportefeuillesif = Risikoloser Marktzinsfußσ = Standardabweichung der erwarteten Portefeuillerendite


σm = Standardabweichung der erwarteten Rendite des Marktportefeuilles


l

Isolierung des anteiligen Renditeerwartungswertes μi und des Risikoanteils des

Die Wertpapierlinie

Wertpapiers i aus dem Gesamtportefeuille.

Für den Renditeerwartungswert des Portefeuilles gilt

( )

mi

mi

a

a1a

μ−μ=∂μ∂

⇒

μ⋅−+μ⋅=μ

Im Kapitalmarktgleichgewicht gilt a = 0

a∂

μ∂mi

0aaμ−μ=

∂μ∂

⇒=

a = Anteil des Wertpapiers i am Portefeuille



lDie Wertpapierlinie

Für das Risiko des Portefeuilles gilt:Für das Risiko des Portefeuilles gilt:

σ = (a2 σi2 + (1-a)2 σm

2 + 2a(1-a) covim)1/2

( ) ( )[ ][ ]imim

2m

2m

2i

21

im2m

22i

2

cova4cov2a22a2

cova1a2a1a21

a

⋅−+σ+σ−σ⋅

−+σ⋅−+σ⋅=∂σ∂ −

Da im Kapitalmarktgleichgewicht a = 0 gilt, folgt:

[ ]imimmmi

( ) ( )m

mimimmm

a σσ

σσaσ 2

221

2

0=

cov=cov2+2

21

=∂∂




Hieraus ergibt sich das marginale Rendite-Risiko-Austauschverhältnis:

2mim

mi

)σ(covμμ

σaμ

−−

=∂∂∂

m

mim

0a σ)(

a∂ =

Im Gleichgewicht stimmt das Rendite-Risiko-Austauschverhältnis für alle Im Gleichgewicht stimmt das Rendite Risiko Austauschverhältnis für alle gehandelten Wertpapiere mit der Steigung der Kapitalmarktlinie überein, es gilt dann:

mifm μμiμ −−

m

2mim

mi

m

fm

σ)σ(cov

μμσμ

−=

=> Wertpapierlinie[ ]2m

imfmfi

σcov

iμiμ ⋅−+=




Wertpapierlinie= Security Market Line

μmμm

if

Für die relativierte Risikohöhe des Wertpapiers i (ßi)

ßm=1ßi

Für die relativierte Risikohöhe des Wertpapiers i (ßi) gilt:

m

iim2

m

imi σ

σK

σcov

β ⋅== relativierte Risikohöhe des Wertpapiers i= ^

=> [ ] ifmfi βiμiμ ⋅−+= = Wertpapierlinie^


Literaturhinweis: Perridon / Steiner, S. 263ff.


d d h k ( )Bedeutung des systematischen Risikos (1)

• Die Risikoprämie wird nur für das marktbezogene Risiko (systematisches Risiko) hltgezahlt:

– Verhalten der Tarifpartner

– steuerpolitische Maßnahmen

k kl– Konjunkturentwicklung

– Wechselkursentwicklung

– u. a. m.

• Das unsystematische Risiko (unternehmensspezifisches Risiko) läßt sich mit zunehmender Anzahl von Wertpapieren (nahezu) eliminieren



d d h k (2)Bedeutung des systematischen Risikos (2)

σ

unsystematischesyRisiko

Gesamtrisiko

systematischesRisiko

Anzahl Wertpapiere

• Beispiele für unsystematische Risiken:– Bonitätsrisiken der Schuldner des Unternehmens

Anzahl Wertpapiere

– Bonitätsrisiken der Schuldner des Unternehmens

– neue Produkte von Konkurrenten

– Ableben der Vorstandsvorsitzenden

– Risiko der Nichtvermietbarkeit (bei Immobiliengesellschaften)


– Risiko der Nichtvermietbarkeit (bei Immobiliengesellschaften)


d ll kModell-Kritik

• PRO: große theoretische Bedeutung als in sich geschlossenes Gl i h i ht d llGleichgewichtsmodell

• CONTRA: Problem der Datenbeschaffung, jedoch Schätzung der relevantenKennzahlen (σ, K, cov, ß) aus Vergangenheitswerten( iehe M ktmodell) ode d h F nd ment l n l e(siehe Marktmodell) oder durch Fundamentalanalyse



bl hProblematische Prämissen

• kein vollkommener Kapitalmarkt (mangelnde Informationseffizienz, T kti k t )Transaktionskosten)

• keine homogenen Erwartungen (unterschiedliche Erwartungen führen zu unterschiedlichen Portefeuillestrukturen)

• kein Handel im Gleichgewicht bei homogenen Erwartungen

• einperiodische Betrachtung unterstellt konstante Einflussgrößen(z.B. ß-Faktor in Realität nicht konstant)( )

• Normalverteilung der Renditen in der Realität fraglich

• empirische Tests können Ergebnisse des CAPM nicht eindeutig bestätigen (z B Problem der Bestimmung des Marktportefeuilles (z.B. Problem der Bestimmung des Marktportefeuilles, Ersatz: Marktindizes, aber unvollständig)

• lediglich eindimensionale Risikomessung (ß-Faktoren)



h h d ( S ) 926 9Durchschnittsrenditen (USA) 1926-94

Average Average Std.l l A dannual annual Average dev.

nominal real risk nominal Portfolio return return premium returns

Small-firm stocks 17 4% 13 9% 13 7% 34 3% Small-firm stocks 17.4% 13.9% 13.7% 34.3%

Common stocks 12.4 9.0 8.6 20.2(S&P 500)

Corporate bonds 5.7 2.7 2.0 8.3

Long-term govt 5.2 2.1 1.4 8.7bondsbonds

Treasury bills 3.7 0.6 0 3.3


Quelle: Brealey/Myers, chapter 7, Foliensammlung


G k (S d d b h ) S k 989 99Gesamtrisiko (Standardabweichung) von US-Aktien, 1989 - 1994

Standard StandardStock deviation Stock deviation

AT&T 21.4% Exxon 12.1%

Biogen 51.5 Ford Motor 28.0

Bristol-Myers Squibb 18.6 General Electric 19.6

Coca Cola 21.6 McDonald’s 21.7

Compaq 43.5 Microsoft 53.6


Quelle: Brealey/Myers, chapter 7, Foliensammlung


k k ( ) S k 989 99Marktrisiko (Beta) von US-Aktien 1989 - 1994

Stock Beta Stock BetaStock Beta Stock Beta

AT&T .92 Exxon .51Biogen 2.20 Ford Motor Co. 1.12Bristol Myers Squibb 97 General Electric 1 22Bristol Myers Squibb .97 General Electric 1.22Coca Cola 1.12 McDonald’s 1.07Compaq 1.18 Microsoft 1.23



3 3 Empirische Tests des CAPM3.3 Empirische Tests des CAPM



l k/ /S h l ( 9 2)Black/Jensen/Scholes (1972) Test

• Vergleich der hypothetischen CAPM Wertpapierlinie mit der empirischen W t i li iWertpapierlinie

• Portfolios mit einem Beta < 1 wiesen vergleichsweise zu große Renditen aus

• Portfolios mit einem Beta > 1 wiesen vergleichsweise zu geringe Renditen ausg g g

• Empirische Kapitalmarktlinie fällt im Vergleich wesentlich flacher aus

• Grundlage zum ZERO-BETA-CAPM

fr

M

Pβ1βP =

1βP < 1βP >



/ h ( 9 3) f G l k d C ( )Fama/McBeth (1973) Test auf Gültigkeit des CAPM (1)

• Hypothese der Markteffizienz kann nicht unmittelbar getestet werden

• Umweg über CAPM

• Für das nicht beobachtbare Marktportfolio wird oft ein Index als Proxy benutzt

Z ei t fige Vo gehen• Zweistufiges Vorgehen:1. Stufe: Betawerte schätzen mittels linearer Regression

2. Stufe: Portfoliorenditen gegen Betawerte als exogene Variablen regressieren(daneben ist die Aufnahme weiterer Variablen Vk möglich)(daneben ist die Aufnahme weiterer Variablen Vk möglich)

∑=

+⋅+⋅+=K

2ktP,tk,ktP,10tP, uVγβγγr

• Bei Gültigkeit des CAPM gilt:

≅0γ risikolosen Verzinsung ≅1γ durchschnittliche Marktrisikoprämie≅0γ risikolosen Verzinsung ≅1γ

{ }2;....;K0;kγk ∈≈

durchschnittliche Marktrisikoprämie

andere Faktoren haben keinen systematischen Einfluss

Portfolioresiduen sind durchschnittlich gleich Null0)E(u tP =


Portfolioresiduen sind durchschnittlich gleich Null0)E(u tP, =


/ h ( 9 3) f G l k d C (2)Fama/McBeth (1973) Test auf Gültigkeit des CAPM (2)

• Empirische Faktoren die der Gültigkeit des CAPM entgegensprechen:– KGV: Basu 1977

– Größeneffekt: Banz (1981)

– Dividendenrendite (Fama/French)

– Day-of-the-Week Effekt/ Saisonalitäten



h l d CEmpirische Relevanz des CAPM

• Diese „Bewertungsanomalien“ haben sich in empirischen Tests als systematische (d h i ht fälli ) Ab i h d t t ä hli h R dit d CAPM (d.h. nicht nur zufällige) Abweichungen der tatsächlichen Renditen von den CAPM Renditeerwartungen erwiesen. Neben dem Betafaktor wurden noch weitere Einflussfaktoren ausgemacht:

– Size Effekt: Size Effekt: Kleinkapitalisierte Firmen (small caps) weisen positive Renditen gegenüber hochkapitalisierten Unternehmen auf. Damit wird durch die Marktkapitalisierung [Market Equity = Aktienkurs · Anzahl der Aktien] der Unternehmensgröße Rechnung getragen (Banz 1981)getragen (Banz 1981)

– Value Effekt: Firmen mit kleinen Kurs-Gewinn-Verhältnissen (Price Earning Ratios) haben höhere Renditen (Basu 1977)

– Buchwert-Marktwert-Verhältnis (Book-to-Market-Equity): Als Indikator für das Konkursrisiko werden mit höheren Book-to-Market Verhältnissen höhere Renditen als Risikoprämie gezahlt (Fama/French 1992)



3 4 Erweiterungen des CAPM3.4 Erweiterungen des CAPM



l k ( 9 2) CBlack (1972): Zero-Beta-CAPM

• Ermittlung der Marktportfolios ohne risikolose Verzinsung(j d I t ählt bhä i i ffi i t P tf li l R f tf li )(jeder Investor wählt unabhängig ein effizientes Portfolio als Referenzportfolio)

• Summe aller individuellen Portfolios ergibt wiederum ein effizientes Portfolio M

• Tangente an M wird als Kapitalmarktlinie interpretiertg p p

• Für ein verschwindendes Risiko wird eine Renditeerwartung �Z postuliert

• Ist dieses Portfolio mit M unkorreliert, gilt βZ =0

pμ

P

pμPM

Zμ

PM

Zμ

M

Mσ Pβ0σ Z ≈1βM = Pβ0≈βZ



f f lDefinition Zero-Beta-Portfolio Z

• Portfolio mit der geringsten Renditestreuung, das mit dem Marktportfolio k li t i tunkorreliert ist

• Black-Version des CAPM kann auch für den empirisch relevanten Fall verwendet werden, wenn Soll/Haben-Zinsdifferenzen oder Kapitalanlage-/Verschuldungs-e t iktionen e i tie enrestriktionen existieren

iZMZi β)μ(μμμ ⋅−+=

:μZ

:μ

Renditeerwartung des Zero-Beta Portfolios (βZ=0)

Renditeerwartung des Marktportfolios:μM

:βi

Renditeerwartung des Marktportfolios

Spezifischer Betafaktor



S l d d ll (Sh ) ( )Single-Index-Modell (Sharpe) (1)

Unterstellung:

• Wertpapiere/Portfolios haben genau einen Faktor gemeinsam;z.B. Benchmark (Index), keine Relevanz weiterer Faktoren

• Als Folge sind die Residuen untereinander unkorreliert (unabhängig)g ( g g)

ti,itIndex,iti, εbFar +⋅+=

Tt ; ji ; 0)ε;Korr(ε tj,ti, ∈≠=mit:

Die Bestimmung der Korrelation zweier Einzelanlagen ergibt sich dann aus:Die Bestimmung der Korrelation zweier Einzelanlagen ergibt sich dann aus:

)εbFa;εbFCov(a);rCOV(r tj,jtIndex,jti,itIndex,itj,ti, +⋅++⋅+=

)Var(Fbb ⋅⋅= )Var(Fbb tIndex,ji ⋅⋅=



S l d d ll (Sh ) (2)Single-Index-Modell (Sharpe) (2)

• Faktorsensitivitäten „erzeugen“ die Korrelationsstruktur

• Erleichterte Schätzung der Korrelation von n Einzelanlagen

• Bei Portfolio-Selection und CAPM wären 0,5·n·(n-1) Kovarianzen zu schätzen

Beim Single Inde Modell e e gen n F kto en iti itäten lle ele nten • Beim Single-Index-Modell erzeugen n Faktorsensitivitäten alle relevanten Korrelationsbeziehungen

• Nicht lediglich Schätzvereinfachung, sondern auch Erhöhung der SchätzgenauigkeitSchätzgenauigkeit

⎥⎤

⎢⎡ 141312

2r1 );rCov(r);rCov(r);rCov(rσ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

=

234

2r32313

24232r212

σ);rCov(r);rCov(r);rCov(r);rCov(rσ);rCov(r);rCov(r);rCov(r);rCov(rσ);rCov(r

Matrix-Var/Kovar

⎥⎦⎢⎣ r4342414 σ);rCov(r);rCov(r);rCov(r

nKovarianze1)-(nn ⋅


o a a e2


l C ( )Das Multi-Beta-CAPM (1)

• Grundgedanke des Multi-Beta-CAPM:Z hl i h Ei fl f kt f d i diff i t Ri ik b t ht l Zahlreiche Einflussfaktoren erfordern eine differenziertere Risikobetrachtung als es die eindimensionale Risikobetrachtung des traditionellen CAPM zuläßt.

– empirischer Nachweis zahlreicher Einflussfaktoren

Aufspaltung des Beta Faktors ß (Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem – Aufspaltung des Beta-Faktors ßi (Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem Marktportefeuille) in eine beliebige Anzahl von Risikomaßen ßip , die die relativierte Risikohöhe (Sensitivität) des Wertpapiers i gegenüber dem Teilportefeuille p angeben

– Interpretation der Teilportefeuilles als Einflussfaktoren und somit Interpretation des Multi-Beta-CAPM als Mehrfaktorenmodell

– Anmerkung: Die Interpretation als Mehrfaktorenmodell ist für die Ableitung des Multi-Beta-CAPM nicht zwingend notwendig

• Annahmen und Implikationen:– perfekte Korrelation der einzelnen Teilportefeuilles mit dem jeweils zu simulierenden

Einflussfaktor (bei Interpretation des Multi-Beta-CAPM als Mehrfaktorenmodell)

Die ein elnen Fakto en eisen nte einande eine Ko elation on N ll a f– Die einzelnen Faktoren weisen untereinander eine Korrelation von Null auf

– vollständige Diversifikation des Marktportefeuilles

– jedes Wertpapier kann in beliebig vielen Teilportefeuilles enthalten sein

D M kt t f ill i d d T il t f ill bild t b t t i h di


– Das Marktportefeuille wird aus den Teilportefeuilles gebildet bzw. setzt sich aus diesen zusammen


l C (2)Das Multi-Beta-CAPM (2)

1. Formale Ableitung:

Aufspaltung der Rendite des Marktportefeuilles:

∑ ⋅=P

ppm RwR

mit:Rm : Rendite des Marktportefeuilles

∑=1p

ppm

Rm : Rendite des MarktportefeuillesRp : Rendite des Teilportefeuilles pwp

m : Anteil des Portefeuilles p am Gesamtwert des Marktportefeuilles




Aufspaltung der Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem Marktportefeuille m:

);Rcov(RwRw;Rcov

βpi

P

1p

mp

P

1pp

mpi ⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=∑∑==

)var(R)var(Rβ

mmim ==

);Rcov(R)var(R)var(R);Rcov(Rw

P

P

pimp ⋅∑

)var(R

);Rcov(Rw

)var(R

)var(R

)var(R

)var(R

)var(R p

pimp

P

1p m

p

p

p

m

1ppp

⋅⋅=⋅= ∑∑

=

=




somit gilt:

∑=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

P

1pip

mp

m

pim βw

)var(R

)var(Rβ

mit:)var(R

);Rcov(Rβ

p

piip =

Für die CAPM Bewertungsgleichung folgt daraus:g g g g

[ ] ∑=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−+=

P

1pip

mp

m

pfmfi βw

)var(R

)var(RR)E(RR)E(R




2. Ableitung des Mehrfaktorenmodells (ökonomische Interpretation):

Rendite des Wertpapiers i:

∑ +⋅+=K

ikikii εfb)E(RR=1k

Rendite des Marktportefeuilles m:p

∑∑==

⋅+⋅+=N

1ii

mik

K

1kmkmm εxfb)E(RR

mit:bik : Sensitivität der Wertpapierrendite gegenüber Faktor kbmk : Sensitivität der Marktrendite gegenüber Faktor k

bzw. durchschnittliche Sensitivität der einzelnen Wertpapierebzw. durchschnittliche Sensitivität der einzelnen Wertpapierexi

m : Anteil des Wertpapiers i am Gesamtwert des Marktportefeuillefk : Faktor kεi : stochastische Komponente, E(εi) = 0




• Die Rendite des Wertpapiers i setzt sich aus der erwarteten Rendite und einer t t R dit k t unerwarteten Renditekomponente zusammen.

Diese unerwartete Renditekomponente ergibt sich aus der Summe der Risikoprämien, die aus den verschiedenen Einflussfaktoren und der Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber diesen Faktoren resultieren.p p g g

• Sensitivität des Wertpapiers i gegenüber dem aggregierten Einflussfaktor(repräsentiert durch das Marktportefeuille) :

)var(R

εxfb)E(R;εfb)E(Rcov

βm

K

1k

K

1k

N

1ii

mikmkmikiki

im

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅++⋅+

=∑ ∑ ∑= = =

)( m




Daraus folgt:

ik

K

1kmk

m

kim bb

)var(R)var(f

β ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= ∑

=

mit:)fvar(

)f;Rcov(

k

kiik =β

N)f;cov(R ∑=

⋅==1i

ikmi

k

kmmk bx

)var(f)f;cov(R

b

Es gilt somit:

∑ ∑ ⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛K P

mpk β)var(R

bb)var(f

β ∑ ∑= =

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

1k 1pip

mp

m

pikmk

m

kim βw

)var(R

)a (bb

)var(R)var(f

β

mit: p = k ; P = K


mit: p k ; P K



• Die Renditeerwartung des Teilportefeuilles E(Rp) ist somit durch den Einflussfaktor f (z B Zinsniveau ) determiniertEinflussfaktor fk (z.B. Zinsniveau ) determiniert.

• Der Anteil wpm des Teilportefeuilles am Marktportefeuille m entspricht der

Sensitivität der Marktrendite Rm gegenüber dem durch das Teilportefeuille repräsentierten Einflussfaktor k.p

• Für die Bewertungsgleichung im Multi-Beta-CAPM folgt dann:

[ ]K

bβR)E(RR)E(R += ∑

mit:

[ ] ikf1k

fmfi bβR)E(RR)E(Rk⋅⋅−+= ∑

=

);Rcov(fβ mk

f =mit:)var(R

βm

fk=




• Es ergibt sich eine weitere Darstellungsvariante für das Multi-Beta-CAPM, in der d CAPM B t l F kti i S iti ität üb d K F kt das CAPM Beta als Funktion seiner Sensitivität gegenüber den K Faktoren beschrieben wird:

[ ] imfmfi βR)E(RR)E(R ⋅−+= [ ] imfmfi β)()(

mit: ∑=

⋅=K

1kikfim bββ

k=1k



l C ( 0)Das Multi-Beta-CAPM (10)

• Legende der verwendeten Symbole:

bik : Sensitivität der Wertpapierrendite gegenüber Faktor kbmk : Sensitivität der Marktrendite gegenüber Faktor k

bzw. durchschnittliche Sensitivität der einzelnen Wertpapiereβ B t d F kt k f d M kt t f illβfk : Beta des Faktors k auf das Marktportefeuillexim : Anteil des Wertpapiers i am Gesamtwert des Marktportefeuillefk : Faktor kεi : stochastische Komponente, E(εi) = 0i p , ( i)Rm : Rendite des MarktportefeuillesRp : Rendite des Teilportefeuilles pRf : Risikoloser Zinsw m : Anteil des Portefeuilles p am Gesamtwert des Marktportefeuilleswp

m : Anteil des Portefeuilles p am Gesamtwert des Marktportefeuillesp : Laufindex für Teilportefeuilles p = 1....Pk : Laufindex für Einflussfaktoren k = 1....K i : Laufindex für Wertpapiere i = 1....Np p



l C ( 9 3) d d ( 9 9) ( )Intertemporal CAPM von Merton (1973) und Breeden (1979) (1)

• Erweiterung des CAPM auf mehrperiodige Anwendung

• Bei mehrperiodiger Betrachtung müssen Investoren nicht nur Investitionsentscheidungen treffen, sondern auch Konsumentscheidungen

• Beim ICAPM hängen die zukünftigen Preise von Gütern, Wertpapieren, g g , p p ,Dividenden, zukünftigen Arbeitseinkommen etc. von unsicheren Zustandsvariablen ab

• Diese Variablen repräsentieren Risiken, denen die Anleger bei mehrperiodigen p , g p gEntscheidungssituationen gegenüberstehen

• Absicherung des Risikos erfolgt durch das Halten von sog. Hedging-Portfolios

Das Gesamtportfolio setzt sich aus einer risikolosen Komponente dem • Das Gesamtportfolio setzt sich aus einer risikolosen Komponente, dem Marktportfolio und K Hedgingportfolios zusammen

• Daher werden neben dem Marktportfolio auch K Risiken gegenüber den Zustandsvariablen bewertetZustandsvariablen bewertet



l C ( 9 3) d d ( 9 9) (2)Intertemporal CAPM von Merton (1973) und Breeden (1979) (2)

• Die erwartete Aktienrendite folgt aus:

∑=

⋅−+⋅−+=K

1ki.kfki.MfMfi β)r(μβ)r(μrμ

• Neben dem bekannten Betafaktor werden die Sensitivitäten gegenüber den Renditen der K Hedging-Portfolios bewertet

• Empirisch stimmt das ICAPM mit dem Multi-Beta-CAPM überein

• Breeden (1979) fasst das ICAPM wie folgt zusammen:

i.CfCfi β)r(μrμ ⋅−=−

• μC gibt die erwartete Rendite eines Portfolios wieder, das eine perfekte K l ti it d W h t t C d l i t K f i tKorrelation mit der Wachstumsrate C des realen aggregierten Konsums aufweist

• βi,C ist entsprechend die Renditesensitivität mit der Risikoprämie



3 5 Faktorenmodell von Fama/French3.5 Faktorenmodell von Fama/French



d h‘ 3 k d ll ( )Fama und French‘s 3-Faktorenmodell (1)

• empirisch führt das traditionelle CAPM zu unbefriedigenden Ergebnissen

• Wertpapierrenditen hängen nicht nur vom Marktportefeuille (bzw. stellvertretend von Marktindizes), sondern von weiteren Faktoren ab

– bestimmte Einflussfaktoren sind im Betafaktor nicht bzw. unzureichend enthalten

– Einbeziehung weiterer Risikomaße in die Bewertung

ri

•AA: Ungleichgewicht im CAPM /

Gleichgewicht im 3-Faktorenmodell

• B B: Gleichgewicht im CAPM

ßi



d h‘ 3 k d ll (2)Fama und French‘s 3-Faktorenmodell (2)

• Diese „Bewertungsanomalien“ haben sich in empirischen Tests als systematische (d h i ht fälli ) Ab i h d t t ä hli h R dit d CAPM (d.h. nicht nur zufällige) Abweichungen der tatsächlichen Renditen von den CAPM Renditeerwartungen erwiesen. Neben dem Betafaktor wurden noch weitere Einflussfaktoren ausgemacht:

– Size EffektSize Effekt

– Value Effekt

– Buchwert-Marktwert-Verhältnis (Book-to-Market-Equity)

K t ti f di Ei fl f kt B h t M kt t V hält i d Si ⇒ Konzentration auf die Einflussfaktoren Buchwert-Marktwert-Verhältnis und Size Effekt.



d h‘ 3 k d ll (3)Fama und French‘s 3-Faktorenmodell (3)

• Einfluss von Kapitalisierung und Book-to-Market auf Durchschnittsrenditen

BörsenkapitalisierungBook-to-Market(Konkursrisiko) hochtief

hoch

durchschnittlich

21,2% 16,0%

11,8%18,3%durchschnittlich

tief

Markt

11,8%

11,2%

18,3%

14,1%

12 0%Markt 12,0%

US Aktien 1963-1990

• Rendite des Wertpapiers i im 3-Faktorenmodell:

ri = rf + (rm - rf) . ßi + SMB . si + HML . hi + εi


i f ( m f) i i i i


d h‘ 3 k d ll ( )Fama und French‘s 3-Faktorenmodell (4)

=> ri = rf + (rm - rf) . ßi + (rS - rB) . si + (rH - rL) . hi + εi

SMB „Small Minus Big“; Unternehmensgröße als EinflussfaktorDifferenz der Renditen kleiner Unternehmen (rS) und großer Unternehmen (rB) Unternehmen (rB)

HML „High Minus Low“; Buchwert-Marktwert-Verhältnis als Einflussgröße: Differenz der Rendite von Unternehmen mit hohem BE/ME (rH) und Unternehmen mit niedrigem BE/ME (rL)hohem BE/ME (rH) und Unternehmen mit niedrigem BE/ME (rL)

rf risikoloser Zinssatz

rm Rendite des Marktportefeuilles

εi Störgröße, es gilt E(εi) = 0

si Sensitivität des Wertpapiers i bzgl. des Faktors Unternehmensgröße

h S iti ität d W t i i b l d F kt hi Sensitivität des Wertpapiers i bzgl. des Faktors Buchwert-Marktwert-Verhältnis



3.6 Modigliani Miller – Arbitragegedanken und Unternehmenswert



d l ll hModigliani-Miller-Theoreme

• Auf einem vollständigen Markt ist die Verschuldungspolitik irrelevant

• MM I: Marktwert einer Unternehmung ist von seiner Kapitalstruktur unabhänigigunabhänigig

WFKEKW =+=• MM II: Gewogener Kapitalkostensatz (WACC) ist von der

Kapitalstruktur unabhängig

UWFKEKW =+=

AssetFKEK rFKEK

FKrFKEK

EKrWACC =+

⋅++

⋅=

• Keine Steuern, Transaktionskosten, InformationsasymmetrienFKEKFKEK ++



MM K it lk tMM - Kapitalkosten

• Gültigkeit des CAPM (Marktvollständigkeit)

– Risikolose Verzinsung: 5%

– Risikoprämie: 6%

• Ausschließlich EK- finanzierte Unternehmung• Ausschließlich EK- finanzierte Unternehmung

– Marktwert W = 100

– Beta ß = 1

– Kapitalkosten WACC = rEK = 5% +6% · 1 = 11%

U t h litik• Unternehmenspolitik:

– Fremdfinanzierter Aktienrückkauf von 20

– Ersatz von (teurem) EK durch (billiges) FK


Ersatz von (teurem) EK durch (billiges) FK


MM K it lk t (2)MM - Kapitalkosten (2)

VOR Transaktion NACH Transaktion

(nur EK–Finanzierung) (Mischfinanzierung)

Bruttogewinn (CAPM) Bruttogewinn (unverändert!)

100 · 11% = 11 100 ·11% = 11

FK = 5% · 20 =1FK 5% 20 1

%1111 nnBruttogewi %512111 −

WACC = rEK = 11%

%1110011

===EK

nnBruttogewirEK %5,1280

111==EKr

2080

Kapitalkostensatz bleibt unberührt

%11%510020%5,12

10080

=⋅+⋅=WACC


Kapitalkostensatz bleibt unberührt


MM K it lk t d M kt tMM – Kapitalkosten und Marktwerte

• Für eine verschuldete Unternehmung gilt:

Bruttogewinn = Zinsen + DividendenBruttogewinn = Zinsen + Dividenden

• Marktwert EK: Barwert der Dividenden,D

mit EK-Rendite diskontiert:

• Marktwert FK: Barwert der Zinsen

EKrDEK =

• Marktwert FK: Barwert der Zinsen,

mit FK-Zins diskontiert:

FKrZFK =



MM K it lk t d M kt tMM – Kapitalkosten und Marktwerte

FKEKFKr

FKEKEKrWACC FKEK +

⋅++

⋅=FKEKFKEK ++

)( DEK = )( ZFK =)(EKr

EK )(FKr

FK =

ZDFKEKWACC +=+=> )( ZDFKEKWACC +=+⋅=> )(

nnBruttogewiW> Marktwert einer

WACCgW ==> Marktwert einer

verschuldeten Unternehmung




• Bruttorendite entspricht dem WAC

+ ( ) FK/EKrEK = rASSET + (rASSET – rFK) · FK/EK

r

rrEK

WACCWACC

rFK

EKFKV =


EK



• Leverage erhöht das EK-Risiko

• Wenn EK durch FK ersetzt wird

Spart dies zunächst Kosten denn FK ist billiger als (altes) EKSpart dies zunächst Kosten, denn FK ist billiger als (altes) EK

Umgehend wird das verbleibende EK teurer

Direkte Kompensation auf vollst. Märkten

• Unternehmen ist Portfolio aus EK und FK!

βββ xx

ASSETPF

FKFKEKEKPF

=

⋅+⋅=

ββ

βββ

FKEKFK

FKEKEK

FKASSET +⋅+

+⋅==> βββ




FKEKFKß

FKEKEKßß FKEKASSET +

⋅++

⋅=

=>EKFKßßßß FKASSETASSETEK ⋅−+= )(

=> falls FK risikolos ist (ßFK= 0)

VFK=>

Im Beispiel: Asset BETA 1

EKVß

EKFKßß ASSETASSETEK ⋅=+= )1(

Im Beispiel: Asset BETA = 1

EK BETA = 1·(1+20/80) = 1,25

WACC = 5% +6% · 1,25 =12,5%


, ,


MM A bit b iMM - Arbitragebeweis

Z i U t h U d L ll i d ti h ti G i X b i d lb • Zwei Unternehmen U und L sollen indentische operative Gewinne X bei demselben Marktrisiko erwirtschaften.

WU = EKU; WL = EKL + FKL

• Kauf a% Anteile U heutea·EKU = a·WU

zukünfiger Zahlungsstroma·x

• Kauf a% Anteile L a·EKL a·r·FKL

• Kauf a% FK-Teile (Bonds) a·FKL a·(x-rFK·FKL)

• Summe a·EKL+a·FKL=a·WL a·x

Bei identischem Marktrisiko und Bruttogewinnen müssen beide Unternehmen wertgleich sein,

ansonsten bestehen Arbitragemöglichkeiten!



3 7 Arbitrage Pricing Theory (APT) von Ross3.7 Arbitrage Pricing Theory (APT) von Ross



G d d k dGrundgedanke der APT

• Die erwartete Rendite eines Wertpapiers setzt sich zusammen aus verschiedenen ik d k ök i h Ri ik f kt d S iti ität d mikro- oder makroökonomischen Risikofaktoren den Sensitivitäten des

Wertpapiers gegenüber dessen Faktoren und einem risikolosen Zinssatz zusammen (mehrdimensionale Risikobetrachtung).

B i i l fü Ri ik f kt ( i d j il di V ä d t )• Beispiele für Risikofaktoren ( gemessen wird jeweils die Veränderungsrate)– reales Bruttosozialprodukt

– Wechselkurs

I fl i– Inflation

– Zinssätze

– u.a.m

• Der Marktzusammenhang folgt durch die Annahme der Arbitragefreiheit:Durch Wertpapiertransaktionen, die per Saldo keinen Kapitaleinsatz erfordern und bei denen weder ein systematisches noch ein unsystematisches Risiko besteht sind keine Gewinne ( free lunch“) zu erzielenbesteht, sind keine Gewinne („free lunch ) zu erzielen.⇒ Verschiedene Wertpapiereportefeuilles, die dasselbe Risikoniveau aufweisen, müssen

dieselbe Rendite erwarten lassen.



h dAnnahmen der APT

• Vollkommener Kapitalmarkt

• homogene Erwartungen der Marktteilnehmer bezüglich der Wertpapierrenditen

• Existenz einer risikolosen Kapitalanlage- und -aufnahmemöglichkeit

A bit f ih it i K it l kt l i h i ht• Arbitragefreiheit im Kapitalmarktgleichgewicht

• Risikoscheu der Marktteilnehmer

• Abhängigkeit der Wertpapierrenditen von mehreren mikro- und g g p pmakroökonomischen Risikofaktoren⇒ Linearkombination verschiedener Einflussfaktoren

⇒ APT als lineares Mehrfaktorenmodell

• Anmerkung:Eine Annahme über eine Verteilungshypothese der Wertpapierrenditen ist in der APT irrelevantAPT irrelevant.



l ll d ( )Formale Darstellung der APT (1)

• Als Grundgedanke der APT hängen die Wertpapierrenditen von mehreren Ri ik f kt b Fü d i l W t i f l tRisikofaktoren ab. Für das einzelne Wertpapier folgt:

kik2i21i1i FβFβFβαR ⋅++⋅+⋅+= K

• Diese Einzelbetrachtung von Wertpapierrenditen ist nunmehr in die Gesamtbetrachtung (Marktzusammenhang) zu überführen, wodurch ein Kapitalmarktgleichgewicht erst möglich wird.

• Durch Bildung eines Arbitrageportefeuilles wird der Zustand der Arbitragefreiheit erreicht.

• Ein Arbitrageportefeuille ist ein risikoloses Portefeuille aus gekauften und g p gleerverkauften Wertpapieren, deren Wert stets null ist.



l ll d (2)Formale Darstellung der APT (2)

• Es muss dann gelten:

1xmit 0x (1)n

1ii

n

1ii =∑=∑

==

• Die Anteile der Wertpapiere am Gesamtvolumen müssen in der Summe null ergeben.

0β(2)n∑

• Damit das Portefeuille risikolos ist, müssen sich die Sensitivitäten in der Summe

0βx (2) ik1i

i =⋅∑=

,aufheben (Neutralisierung des systematischen Risikos).

0x (3) in

i =ε⋅∑1i=

• Es wird von einem gut diversifizierten Portefeuille ausgegangen. Das unsystematische Risiko wird als eliminiert angenommen.


Das unsystematische Risiko wird als eliminiert angenommen.


l ll d (3)Formale Darstellung der APT (3)

• Exkurs:Mit t i d A hl W t i i kt d t ti h Ri ikMit steigender Anzahl an Wertpapieren sinkt das unsystematische Risiko:

Varianz ttlichedurchschni)n1var()xvar( iii =ε≈ε⋅ ∑∑

∧

0n

)var(lim n

)var()var(n1 2

in2

ii2 =

ε⇒

ε=ε= ∑∑∑

∞→

• Als Grundgleichung der APT ergibt sich:

(4) E(Ri)=if+[E(RF1)-if]·ßi1+[E(RF2)-if]·ßi2+ ...+[E(RFK)-if]· ßiK

bzw. ∑ ⋅−+=K

ikfFkfi β]i)[E(Ri)E(Rbzw. ∑=

⋅−+=1k

ikfFkfi β]i)[E(Ri)E(R



l ll d ( )Formale Darstellung der APT (4)

• Die Grundgleichung folgt aus der ökonomischen Interpretation der APT-B t l i hBewertungsgleichung:

(5) E(Ri)= λ0 +λ1·ßi1+ λ2·ßi2+...+ λK· ßiK allgem. Bewertungsgleichung

λ b [E(R ) i ] t ll d b i di Ri ik ä i fü di Üb h d • λk bzw. [E(RFk)-if] stellen dabei die Risikoprämie für die Übernahme des

Risikos aus Faktor k dar.

Ri = Rendite des Wertpapiers iλ0 = risikoloser Renditebestandteil

= Ausprägung des Faktors kß B t F kt d W t i i b l d Ei fl ßf kt k

kFßik = Beta-Faktor des Wertpapiers i bzgl. des Einflußfaktors kE(Ri) = erwartete Rendite des Wertpapiers iE(RFk) = erwartete Rendite bzgl. des Faktors kN = Anzahl an WertpapierenN Anzahl an Wertpapieren

= unsystematisches Risiko des Wertpapiers ixi = Anteil des Wertpapiers i am Gesamtvolumen des Portefeuillesλk = Risikoprämie bzgl. des Faktors k

iε



l 2 k f kAPT-Hyperplane mit 2 Risikofaktoren

E(Ri)

A: überbewertetes WP

B: unterbewertetes WPβi2• B

Wertpapierlinie

if

βi1

• A

• Im traditionellen CAPM wird implizit für alle Wertpapiere dasselbe Verhältnis der Sensitivitäten zueinander unterstellt (lediglich ein Risikofaktor). Das CAPM stellt somit einen „Spezialfall“ der APT dar.

• In der APT lassen sich - im Rahmen der Modellannahmen - Renditeerwartungen auf einzelne Einflussfaktoren zurückführen.

• Wertpapiere, deren erwartete Renditen oberhalb der Hyperplane liegen sind unterbewertet;


die darunter liegenden überbewertet.


l h d d CZentrale Unterschiede der APT zum CAPM

• Trotz einer engen Verwandtschaft zwischen APT und CAPM besteht eine Reihe t l U t hi dzentraler Unterschiede:

– Mehrdimensionale Risikobetrachtung(Mehrfaktorenmodell)

– Einflussfaktoren als Ausgangspunkt der Bewertung– Einflussfaktoren als Ausgangspunkt der Bewertung

– verteilungshypothesenfreie Bewertung

– Kenntnis des Marktportefeuilles irrelevant

– keine inhaltliche Definition der Einflussfaktoren– keine inhaltliche Definition der Einflussfaktoren

– möglicherweise einfachere empirische Testbarkeit



d ll kModell-Kritik APT

• Vorteile:– Differenzierte Risikobetrachtung (k-dimensionale Risikomessung)

– weniger rigide Annahmen(z. B. keine Verteilungshypothese)

P bl d E ittl d M kt t f ill tfällt– Problem der Ermittlung des Marktportefeuilles entfällt

• Nachteile:– Prämissen bezüglich

▪ strenge Informationseffizienz▪ vollkommener Kapitalmarkt u.a.m.

– Identifikation und Bestimmung der Anzahl der Einflussfaktoren schwierigfü di ök i h I i h id d B d▪ für die ökonomische Interpretation von entscheidender Bedeutung

▪ hilfsweise Lösung: empirische Ermittlung

– Sensitivitäten und Einflussfaktoren zeitlich nicht konstant

Li Abhä i k it d F kt klä t– Lineare Abhängigkeiten der Faktoren ungeklärt



l dBeispiel zur APT - Ausgangsdaten

Es gibt drei gut diversifizierte Portefeuilles A, B und C, deren erwarteteR dit E(R ) i S iti ität (β ) üb d Ei fl ßf ktRendite E(Ri) sowie Sensitivität (βi) gegenüber den EinflußfaktorenWechselkurs (F1) und reales Bruttosozialprodukt (F2) bekannt sind.

Portfeuille E(Ri) β 1 β 2Portfeuille E(Ri) β 1 β 2

A 15% 1,4 0,8B 13% 0,9 0,4C 14% 1 1 0 9

Nun ist - im Rahmen der Modellannahmen - zu überprüfen, ob bei denPortefeuilles D E und F eine Über oder Unterbewertung vorliegt oder ob

C 14% 1,1 0,9

Portefeuilles D, E und F eine Über- oder Unterbewertung vorliegt oder obdie Portefeuilles arbitragefrei bewertet sind.

Portfeuille E(Ri) β 1 β 2Portfeuille E(Ri) β 1 β 2

D 16,37% 1,3 0,4E 12,56% 0,8 1,1F 12 58% 0 7 0 9


F 12,58% 0,7 0,9


l h ( )Beispiel zur APT – Vorgehensweise (1)

• Ermittlung der Risikoprämien für die Übernahme des Risikos aus den Ei fl f kt F1 d F2 d d i ik l R dit t ilEinflussfaktoren F1 und F2 und des risikolosen Renditeanteils.

• Bestimmung der Bewertungsgleichung durch Aufstellen eines linearen Gleichungssystems.

• Ermittlung der arbitragefreien Renditeerwartung der Portfeuilles D, E und F durch Einsetzen der Sensitivitäten in die Bewertungsgleichung und Vergleich mit der bisherigen Renditeerwartung.

• Die allgemeine Bewertungsgleichung lautet:

22i11i0i )E(R λ⋅β+λ⋅β+λ=

• Für das lineare Gleichungssystem gilt nun:

804151 λλλ ⋅+⋅+= 210 8,04,151 λλλ ⋅+⋅+=

210 4,09,031 λλλ ⋅+⋅+=

210 9,01,141 λλλ ⋅+⋅+=


210 9,01,1 41 λλλ ++


l h (2)Beispiel zur APT – Vorgehensweise (2)

• Als Lösung ergibt sich:

λ 0 = 9,588λ 1 = 3,529λ 2 = 0 588

• Die Bewertungsgleichung lautet nun:

λ 2 = 0,588

β5880β52935889)R(E

• Für die richtige Bewertung der Portfeuilles D,E und F folgt:

21i β588,0β529,3588,9)R(E ⋅+⋅+=

g g , g

E(RD) = 9,588 + 3,529 · 1,3 + 0,588 · 0,4 = 14,41E(RE) = 9,588 + 3,529 · 0,8 + 0,588 · 1,1 = 13,06( )E(RF) = 9,588 + 3,529 · 0,7 + 0,588 · 0,9 = 12,58



l b d dl f hlBeispiel zur APT – Ergebnis und Handlungsempfehlung

• Ergebnis:– D ist unterbewertet

– E ist überbewertet

– F ist arbitragefrei bewertet

• Handlungsempfehlung:– Kauf von D

– Verkauf von E



4 Management von Wertpapierportfolios4. Management von Wertpapierportfolios



4 1 Performancemessung auf Basis des CAPM4.1 Performancemessung auf Basis des CAPM



Sh (S ) d b lSharpe-Ratio (SRP): Reward to Variability Ratio

rfP irSR −

P

rfPP σ

irSR =

• Überrendite im Verhältnis zur Standardabweichung eines Portfolios

pr

• Risiko = Gesamtrisiko

• SR entspricht der individuellen Kapitalmarktlinie des Portfoliosi

PM

p

• Performancegüte steigt mit SR

• SR ist lediglich zur Beurteilung von ganzen Portfolios sinnvoll

rfi

von ganzen Portfolios sinnvoll

Mσ Pσ



( ) d l lTreynor-Ratio (TRP): Reward to Volatility Ratio

rfP irTR −

P

rfPP

irTRβ

=

• Überrendite im Verhältnis zum systematischen Risiko eines Portfolios

pr

• Risiko = systematisches Risiko(Marktrisiko)

• SR entspricht der Steigung der i

PM

• SR entspricht der Steigung der individuellen Wertpapierlinie desPortfolios

• Performancegüte steigt mit TR

rfi

• Performancegüte steigt mit TR

• TR ist nicht benchmarkfrei

1=Mβ Pβ


Mβ Pβ


´ l h ( )Jensen´s Alpha (JAP)

PPfMfPP εβ]i-[riαr +⋅++= PPrfMrfPP εβ]i[riαr +++

PrfMrfPPP β]i-[rir)E(αJA ⋅−−==⇒ 0)E(εP =

• JA folgt unmittelbar aus der ex-postCAPM-Gleichung

Diff d P tf li dit

pr P

α • Differenz der Portfoliorendite zurrechnerisch ermittelbaren Rendite

• Wenn das Alpha signifikant positivfällt h t d P tf li

Pαausfällt, hat das Portfolio-management Selektionsfähigkeiten, d.h. unterbewertete Wertpapiere zu identifizierenrfi

M

zu identifizieren

• Performancegüte steigt mit JA

• Gefahr der Vermengung mit t ti h Ri ik

1=Mβ Pβ

rf


unsystematischen RisikenMβ Pβ


´ l hJensen´s Alpha versus Treynor Ratio

β]i-[riαr ⋅++=CAPM-Gleichung (incl. Jensen´s Alpha)PrfMrfPP β]i[riαr ++=

PrfMPrfP β]i-[rαir ⋅+=−⇔

CAPM Gleichung (incl. Jensen s Alpha)

Division durch BETA-Faktor PrfMPrfP β]i[rαir +⇔

]i-[rβα

βir

rfMPrfP +=

−⇔ ][

ββ rfMPP

αM

P

PP RatioTreynor

βαRatioTreynor −+=−⇔



l k l ( ) ( )Treynor-Black Ratio: Appraisal Ratio (ARP) (1)

PαAlphaJensen´sARε

PP σ

αender Residu Streuung

AlphaJensen sAR ==

• Jensens Alpha wird um unsystematische Risiken bereinigt

pr Ar Brbereinigt

• Performancegüte steigt mit AR

• Bei großer AR musste zur E i l d i ifik t Pμ

45° BαAαErzielung der signifikanten Überrendite nur geringes unsystematisches Risiko in Kauf genommen werden

Pμ

Erwartete Portfoliorendite gemäß CAPMgenommen werden

εσAR(B)AR(A) >Prof. Dr. Rainer Elschen - 118 -

εAR(B)AR(A) >


l k l ( ) (2)Treynor-Black Ratio: Appraisal Ratio (ARP) (2)

• Streuung der Residuen wird mittels Determinationskoeffizienten R2 aus der li R i hät tlinearen Regression geschätzt

• R2 gibt den Anteil der durch die Regression erklärten Streuung an der Gesamtstreuung an

22222

2

222 )1( P

P

P RR σσσσσ

εε ⋅−=⇒

−=

fP iry = 22 )591101( Pσσ ⋅−=Port

folio

fP iry )5911,01( Pσσε

rren

diten

M

onat

süber

fM irx −=Monatsüberrenditen der

Benchmark

M



d l d l k d d f ( ) ( )Modigliani-Modigliani Ratio: Risk-Adjusted-Performance (RAP) (1)

• Erweiterung der Rankingmöglichkeiten der Sharpe-Ratio um die Angabe der Diff dit [i R dit t kt ]Differenzrendite [in Renditeprozentpunkten]

• Transformation der Sharpe Ratio in eine Renditegröße

• Gedankliche Normierung des Portfoliorisikos auf das Marktrisiko g(Risikokalibrierung)

• Konstruktion:

>⇒ Fiktiver Verkauf Anteil di (di < 0) am Portfolio, Kapitalanlage zu rf („unlevering“)

MP σ>σ• Wenn:

⇒ Fiktive Kreditaufnahme di (di > 0) zu rf Anlage in Portfolio („levering“)MP σσ <• Wenn:

MPiKalibriert

P σσ)d(1σ =⋅+= 1-σσ

P

M=⇒ id



d l d l k d d f ( ) (2)Modigliani-Modigliani Ratio: Risk-Adjusted-Performance (RAP) (2)

• Durchschnittliche Portfoliorendite:

fM

PM r1

σσμ

σσRAP ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⋅=⇒fiPi rdμ)d(1RAP ⋅−⋅+=

ii σσ ⎦⎣

fMfM

fP rσRatioSharperσ)r(μRAP +⋅−=+−=⇒

⇒ RAP identifiziert das Portfolio, das in Kombination mit rf für jedes vorgegebene Risiko die höchste risikonormierte Rendite erzielt

iσ

vorgegebene Risiko die höchste risikonormierte Rendite erzielt



Modigliani-Modigliani Ratio: Market-Risk-Adjusted-Performance (MRAP) (1)

• Erweiterung der Rankingmöglichkeiten der RAP durch explizite Berücksichtigung d t ti h Ri ik (Ri ik k lib i )des systematischen Risikos (Risikokalibrierung)

• Konstruktion:

1β⇒ Fiktiver Verkauf Anteil di (di < 0) am Portfolio, Kapitalanlage zu rf („unlevering“)

1P >β• Wenn:

⇒ Fiktive Kreditaufnahme di (di > 0) zu rf Anlage in Portfolio („levering“)

1P <β• Wenn:

1β)d(1β PiKalibriert

P =⋅+= 1-1

Pβ=⇒ id

Pβ



Modigliani-Modigliani Ratio: Market-Risk-Adjusted-Performance (MRAP) (2)

• Durchschnittliche Portfoliorendite:

fP r11μβ1MRAP ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⋅=⇒

βfiPi rdμ)d(1MRAP ⋅−⋅+=

PPβ ⎦⎣ β

fffP rRatioTreynorr)r(μ1MRAP +−=+−=⇒β

⇒ MRAP identifiziert die Überschussrendite des risikonormierten Vergleichsportfolios in Renditeprozentpunkten

fffPP

y)(μβ

Vergleichsportfolios in Renditeprozentpunkten



h dZusammenhang MRAP, TR und JA

fPP rRatioTreynorMRAP +−=

MP

P RatioTreynorβJA

RatioTreynor −+=−⇒

fPP rRatioTreynorMRAP +

Einsetzen:

Pβ

fMP

PP rRatio-Treynor

βJA

MRAP ++=

MP

PP μ

βJA

MRAP +=

Pβ

⇒ Mit der MRAP können Differenzen der Performance unterschiedlicher Portfolios unmittelbar verglichen werden

Pβ



4 2 Varianz-Dekomposition und Index Tracking4.2 Varianz-Dekomposition und Index Tracking



d kVarianzdekomposition

• Annahme:

• Die Renditen eines Wertpapiers (oder eines Portfolios) folgen einem Ein-Faktor-Modell, z.B. dem Single-Index Modell von Sharpe

• Die Residuen und der Faktor seien unkorreliert

Die Wertpapier(Portfolio) Varianz lässt sich demzufolge zerlegen:

)E(εb)r(μrμ iifMfi +⋅−+=

• Die Wertpapier(Portfolio)-Varianz lässt sich demzufolge zerlegen:

)Var(εVar(F)b)Var(r ii2ii +⋅=

Gesamtrenditestreuung Unspezifisches Risiko(unerklärte Variation)

Erklärte Variation

⇒ Fundamentalgleichung der Regressionsanalyse⇒ Grundlage zur Erklärung des Tracking Errors


g g g


kTracking Error

• Index-Tracking: Nachbildung eines vorgegebene Benchmarkportfolios (Index)

• Der Tracking Error ergibt sich aus dem ex-post Vergleich des gemanagten Portfolios mit der Benchmark

• Die auf Jahresbasis hochgerechnete Streuung der Residualgröße wird als g g gTracking Error bezeichnet (Jahresstreuung des unspezifischen Risikos)

PF,tPFPF,tPFPF,t εbrar +⋅+=

• aPF ⇒ entspricht Jensen´s Alpha [a > 0 :unabhängiger Erfolg Management]

• bPF ⇒ mittleres Renditeverhältnis ggü der Benchmark [typischerweise > 0]

,,,

• bPF ⇒ mittleres Renditeverhältnis ggü. der Benchmark [typischerweise > 0]

• εP,t ⇒ Maß für das in Kauf genommene unspezifische Risiko (kann auch als Soll-Größe formuliert sein)

)Var(εError Tracking PF,t=



G d f d f hl d h kGründe für das Verfehlen der Benchmark

• Perfekte Replikation der Benchmark unmöglich

• Kapitalanlagebeschränkung durch Gesetz

• Kapitalanlagebeschränkung durch Fondspolitik

E it t A l ö li hk it d h F d litik • Erweiterte Anlagemöglichkeiten durch Fondspolitik (internationale Anlagemöglichkeiten)

• Erweiterte Selektionsmöglichkeiten

• Erweiterte Timingaktivitäten

• Ex-Post Formulierung der Benchmark

Bewusste Inkaufnahme unspezifischer Risiken• Bewusste Inkaufnahme unspezifischer Risiken

• ...



k h d d C ( )Praktische Anwendung des CAPM (1)

• Bestimmung der Über- und Unterbewertung von Aktien

VWHenkel

Schering15

ErwarteteAktien-rendite

BASF Viag

VW

BMWDt Bank

10

rendite

RWE

Dt. Bank

5

Quelle: Steiner/Bruns, S. 258

0,5 1 1,5 ß-Faktor

• Handlungsempfehlung:– Kauf von oberhalb der Wertpapierlinie liegenden Aktien (z.B. BASF)


– Verkauf von unterhalb der Wertpapierlinie liegenden Aktien (z. B. Dt. Bank)


k h d d C (2)Praktische Anwendung des CAPM (2)

Aktienrendite Rendite

ß = 1,2

1

1,2

DAX

Siemens-Aktie;ß = 1,2

Indexrendite (DAX)

1 DAX

Zeit

• Interpretation: Bei Anstieg des DAX um 1% steigt die Rendite der Siemens-Aktie um 1,2%

Quelle: Perridon/Steiner, S. 282

Bei Anstieg des DAX um 1% steigt die Rendite der Siemens Aktie um 1,2%

• Handlungsempfehlung :– Bei erwarteter Hausse-Phase Kauf von Aktien mit einem ß-Faktor > 1– Bei erwarteter Baisse-Phase Kauf von Aktien mit möglichst niedrigen


Bei erwarteter Baisse Phase Kauf von Aktien mit möglichst niedrigen, am besten negativen Beta-Werten


k h d d C (3)Praktische Anwendung des CAPM (3)

• Bestimmung des „richtigen“ Kalkulationszinsfußes

Wertpapierlinie

X4X3

μ

Kapitalkosten nach MM

X2

X1

X3

X2if

ß-Faktor

Quelle: Schmidt/Terberger, S. 357ff.

H dl f hl• Handlungsempfehlung:Durchführung derjenigen Projekte, die oberhalb der Wertpapierlinie liegen

• Das nach MM unvorteilhafte Investitionsprojekt 1 wird im CAPM als vorteilhaft be e tet


bewertet


4 3 Wertpapiermanagement und SHORTFALL-Risiko4.3 Wertpapiermanagement und SHORTFALL-Risiko



S O k d f lSHORTFALL-Risiko und Portfolio-Management

Roy (1952); Telser (1955); Kataoka (1963); Leibowitz (1989):

• Vorgabe einer Zielrendite, die nicht unterschritten werden soll(z.B.: reale Kapitalerhaltung durch Ausgleich der Inflation [ca. 3%] oder nominelle Kapitalerhaltung [ 0 %] )

• Wahl der Ausfallwahrscheinlichkeit, die durchschnittlich gerade noch akzeptiert wird, z.B. 1% < α < 10%

• Investitionsalternativen: risikolose Verzinsung und Marktportfolio g p

• Optimierungsaufgabe:– Maximierung der Renditeerwartung

Restriktion: Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls bzgl der Mindestrendite überschreitet – Restriktion: Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls bzgl. der Mindestrendite überschreitet nicht α

– Es werden nur Aktienquoten x betrachtet, bei denen die Ausfallwahrscheinlichkeit α für die Portfoliorendite nicht überschritten wird(Normalverteilung der Renditen unterstellt)

α)X(x) P(rPF ≤≤



S O G dSHORTFALL-Gerade

• Alle Portfolios, die bzgl. der Mindestrendite dieselbe Ausfallwahrscheinlichkeit haben liegen im / Ra m a f eine Ge adenhaben, liegen im μ/σ-Raum auf einer Geraden

• Als Ansatzpunkt dient die Mindest-Zielrendite

• Die Steigung k bildet die Höhe der Ausfallwahrscheinlichkeit ab, g g ,je steiler die Gerade, desto geringer die Ausfallwahrscheinlichkeit

α)-(1Nk N(k)-1α mitk 1-=⇒=

• Unter allen Portfolios mit gleicher Ausfallwahrscheinlichkeit wird das Portfolio gewählt, das die höchste Renditeerwartung aufweist

• In Rendite/Risiko Dimensionen sind diese durch die Kapitalmarktgerade • In Rendite/Risiko Dimensionen sind diese durch die Kapitalmarktgerade bezeichnet



S O G d d l k dSHORTFALL-Gerade und Kapitalmarktgerade

SHORTFALL-GeradeX

iμ

SHORTFALL Gerade

X

X

σXμ

=k Steigung

Mμ Marktportfolio M

rOptimaler Investitionspunkt Xbei gegebener Ausfall-WSK

fr

X

bei gegebener Ausfall WSK

Xσ XμX −

iσX

Mindestrendite


Mσ


l d l k lErmittlung des optimalen Aktienanteils

Aus der Steigung der SHORTFALL-Geraden

folgt: σk-μ≡X⇒Fü d ti l P tf li l K bi ti i ik l A l d Für das optimale Portfolio als Kombination aus risikoloser Anlage und (unvollständiger) Investition in das Marktportfolio gilt:

)(( ) ( ))r(μxr(x)μ fMfPF −⋅+= MPF σx(x)σ ⋅=

Einsetzen: σk-μX ⋅≡Einsetzen: σk-μX ⋅≡

]σ[k-)]r-μ([X MfM ⋅⋅⋅+=⇒ xxrf

)r(μσkXrx

fMM

f

−−⋅−

=⇔ Optimaler Anteil, der in das Marktportfolio

investiert werden sollte


)(μ fMM investiert werden sollte


5 Derivatetheorie5. Derivatetheorie



5 1 Fundamentale Bewertungsansätze5.1 Fundamentale Bewertungsansätze



G dlGrundlagen

• Bei Termingeschäften fallen Vertragsabschluß und Erfüllung mehr als zwei Tage i dauseinander

• Unbedingte Termingeschäfte (Forwards, Futures) verpflichten Käufer und Verkäufer zur Erfüllung des Vertrages (in Bezug auf Lieferort, -zeit, -menge und P i d V t t d [ U d l i “]) i f b t ht k i W hl ht Preis des Vertragsgegenstands [„Underlying“]), insofern besteht kein Wahlrecht, sondern eine Verpflichtung der Erfüllung bzw. auf Erfüllung des Vertrages

• Bedingte Termingeschäfte (Optionen) verpflichten nur den Verkäufer des Kontraktes zur Erfüllung wenn der Käufer des Kontraktes auf die Ausübung Kontraktes zur Erfüllung, wenn der Käufer des Kontraktes auf die Ausübung besteht;der Käufer hat die Flexibilität, unter bestimmten Bedingungen die Lieferung des Underlyings zu einem vorher spezifizierten Kurs zu bezieheny g p

• Motive für den Abschluss von Termingeschäften:– Hedging

Spekulation– Spekulation

– Arbitrage



G d f dGründe für Existenz und Einsatz von Derivaten

• Hedging:– Risikotransfer durch Abwälzung von marktfähigen Risiken (Finanzderivate) und von

nicht marktfähigen Produktionsrisiken (Commodity Derivatives, Wetterderivate, Katastrophenderivate etc.)

– Nichtnotierte Unternehmen können via Derivate den Markt an Risiken des Nichtnotierte Unternehmen können via Derivate den Markt an Risiken des Unternehmens teilhaben lassen

• Spekulation:– Über subjektive Einschätzungen bzgl zukünftiger Umweltlagen der Spekulanten können Über subjektive Einschätzungen bzgl. zukünftiger Umweltlagen der Spekulanten können

in Derivaten Informationen gehandelt werden

• Arbitrage:– Marktprozesse sorgen über den Kauf und gleichzeitigen Verkauf von Risikopositionen Marktprozesse sorgen über den Kauf und gleichzeitigen Verkauf von Risikopositionen

für eine ausreichende Allokation von Preisen



5 2 Forwards und Futures5.2 Forwards und Futures



G dlGrundlagen

• Standardisierte unbedingte Termingeschäfte werden Futures genannt und sind bö h d ltbörsengehandelt.

• Individuelle unbedingte Termingeschäfte werden Forwards genannt.

• Financial Futures sind unbedingte Termingeschäfte, deren Underlying Devisen, g g , y g ,Zinsen oder Indizes sind.

• Warentermingeschäfte (Commodity Futures) haben Waren (Getreide, Rohöl, Metalle, Elektrizität, Katastrophen u.a.m.) als Underlying. , , p ) y g



kFinanzmärkte

Finanzmärkte

TerminmärkteKassamärkte

UnbedingteTermingeschäfte

BedingteTermingeschäfte

Standardisierte

„Individuelle“Optionen

StandardisierteOptionen

ForwardsStandardisierteForwards

WarentermingeschäfteFinancial Futures

Zins-FuturesDevisen-Futures Index-Futures


Zins FuturesDevisen Futures Index Futures


lFinancial-Futures-Börsen

• Eurex– Indizes (Dax-, SMI-, FOX-, Dow Jones EURO STOXX 50-, Dow Jones STOXX 50, Dow

Jones Nordic STOXX 30 -Futures)

– Zinsen (Euro-Schatz-, Euro BOBL-, Euro Bund- Future; Geldmarkt: Ein- Drei-Monats EURIBOR - Future)Geldmarkt: Ein , Drei Monats EURIBOR Future)

• Weitere internationale Financial-Future-Börsen– CBOT (Chicago Board of Trade )

CME (Chi M til E h )– CME (Chicago Mercantile Exchange)

– LIFFE (London international Financial Futures Exchange)



b ( )Warenterminbörsen (1)

• CBOT– Korn, Hafer, Reis, Katastrophen, Elektrizität

• CME (Chicago Mercantile Exchange)– Vieh, Schweine

• COMEX (Commodity Exchange Division of NYMEX)– Kupfer, Gold, Silber

CSCE (C ff S d C E h N Y )• CSCE (Coffee, Sugar, and Cocoa Exchange, N.Y.)– Kakao, Kaffee, Zucker

• CTN (N.Y. Cotton Exchange)– Orangensaft, Baumwolle

• IPE (International Petroleum Exchange of London)– Rohöl, GasRohöl, Gas

• LIFFE (London International Financial Futures and Options Exchange)– Korn, Hafer, Reis, Katastrophen, Elektrizität



b (2)Warenterminbörsen (2)

• LME (London Metal Exchange)– Aluminium, Kupfer, Blei, Nickel

• NYMEX (New York Mercantile Exchange)– Heizöl, Gas, Bleifreies Benzin, Rohöl, Strom

• WTB (Warenterminbörse, Hannover)– Kartoffeln, Schlachtschweine, Weizen, Altpapier

EEX (E E E h F kf t)• EEX (European Energy Exchange, Frankfurt)



k f k f l d ( )Kontraktspezifikationen für Financial-Futures an der EUREX (1)

• Indizes (hier: DAX)K t kt t EURO 25 I d kt d D– Kontraktwert: EURO 25 pro Indexpunkt des Dax

– Erfüllung: Durch Barausgleich basierend auf dem Schlußabrechnungspreis, fällig am ersten Börsentag nach dem letzten Handelstag.

– Preisermittlung: In Punkten; auf eine Dezimalstelle. g ;– Minimale Preisveränderung: 0,5 Punkte; dies entspricht einem Wert von EURO 12,50. – Verfallmonate: Die jeweils nächsten drei Quartalsmonate des Zyklus März, Juni,

September und Dezember.L H d l D d i F i d V f ll f di i Bö i – Letzter Handelstag: Der dritte Freitag des Verfallmonats, sofern dies ein Börsentag ist, andernfalls der davor liegende Börsentag. Handelsschluß ist der Beginn der Aufruf-phase, der von der Geschäftsführung bestimmten untertägigen Auktion im elek-tronischen Handelssystem der Frankfurter Wertpapierbörse (Xetra) um 13:00 Uhr MEZ. Tä li h Ab h i V l i ht t D h h itt d P i ll – Täglicher Abrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise aller Geschäfte in der Minute vor 17.30 Uhr MEZ, sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte abgeschlossen wurden. Ist eine derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs festgelegt. Kombinationsauftragsbuchs festgelegt.

– Schlußabrechnungspreis: Wert des DAX; ermittelt auf der Grundlage der am letzten Handelstag in der untertägigen Auktion im elektronischen Handelssystem an der Frankfurter Wertpapierbörse (Xetra) zustande gekommenen Preise für die im DAX enthaltenen Werte.


enthaltenen Werte.– Handelszeit: 07:50 bis 22.00 Uhr MEZ


k f k f l d (2)Kontraktspezifikationen für Financial-Futures an der EUREX (2)

• Geldmarkt (hier: Dreimonats-EURIBOR-Future (FEU3))– Basiswert: European Interbank Offered Rate (EURIBOR) für Dreimonats-Termingelder

in Euro.

– Kontraktwert: EUR 1.000.000

E füll D h B l i h fälli t Bö t h d l t t H d l t– Erfüllung: Durch Barausgleich, fällig am ersten Börsentag nach dem letzten Handelstag.

– Preisermittlung: In Prozent auf drei Dezimalstellen auf der Basis 100 abzüglich gehandeltem Zinssatz.

– Minimale Preisveränderung: 0 005 Prozent; dies entspricht einem Wert von EUR 12 50Minimale Preisveränderung: 0,005 Prozent; dies entspricht einem Wert von EUR 12,50.

– Verfallmonate: Die nächsten zwölf aufeinanderfolgenden Quartalsmonate aus dem Zyklus März, Juni, September, Dezember. Die längste Laufzeit beträgt somit 36 Monate.

– Letzter Handelstag - Schlussabrechnungstag: Zwei Börsentage vor dem dritten Mittwoch des jeweiligen Erfüllungsmonats, soweit von der EURIBOR FBE/ACI an diesem Tag der für Einmonats-Euro-Termingelder maßgebliche Referenz-Zinssatz EURIBOR festgestellt wird, ansonsten der davor liegende Börsentag. Handelsschluss für den fälligen Kontraktmonat ist 11.00 Uhr MEZ.



k f k f l d (3)Kontraktspezifikationen für Financial-Futures an der EUREX (3)

• Geldmarkt (hier: Dreimonats-EURIBOR-Future (FEU3), Fortsetzung) – Täglicher Abrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise aller während

der letzten Handelsminute ( vor 17.15 Uhr MEZ) zustande gekommenen Geschäfte, sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte zustande gekommen sind. Ist eine derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs festgelegt.

– Schlussabrechnungspreis: Der Schlussabrechnungspreis wird von der Eurex auf Grundlage des von der FBE/ACI ermittelten Referenz-Zinssatzes (EURIBOR) für Grundlage des von der FBE/ACI ermittelten Referenz Zinssatzes (EURIBOR) für Dreimonats-Termingelder in Euro um 11.00 Uhr MEZ am letzten Handelstag festgelegt. Bei der Festlegung des Schlussabrechnungspreises wird der EURIBOR-Satz auf das nächstmögliche Preisintervall (0,005; 0,01 oder ein Vielfaches) gerundet und anschließend von 100 subtrahiert.anschließend von 100 subtrahiert.

– Handelszeit: 8.00 bis 19.00 Uhr MEZ

– Zustandekommen von Geschäften (Pro-Rata-Matching): Die Zusammenführung von Aufträgen und Quotes, die sich auf den Dreimonats-Euribor-Future beziehen, erfolgt nach dem Pro-Rata-Matching-Prinzip*.

* Der ausschließlich auf Preispriorität basierende Pro Rata-Algorithmus hat mit Wirkung zum 14.09.1999 das bis dahin für Geldmarkt-Futures übliche Matching Prinzip nach Preis Zeit Priorität ersetzt


Preis-Zeit-Priorität ersetzt.



• Kapitalmarkt (hier: Euro-BUND-Future) – Basiswert: Fiktive langfristige Schuldverschreibung der Bundesrepublik Deutschland mit

8½ bis 10½jähriger Laufzeit und einem Kupon von 6 Prozent.

– Kontraktwert: EUR 100.000

E füll Ei Li f fli ht i Sh t P iti i i E BUND F t– Erfüllung: Eine Lieferverpflichtung aus einer Short-Position in einem Euro-BUND-Future-Kontrakt kann nur durch bestimmte Schuldverschreibungen - nämlich Anleihen der Bundesrepublik Deutschland - mit einer Restlaufzeit von 8½ bis 10½ Jahren erfüllt werden. Die Schuldverschreibungen müssen ein Mindestemissionsvolumen von 5 Mrd. Euro aufweisenEuro aufweisen.

– Preisermittlung: In Prozent vom Nominalwert; auf zwei Dezimalstellen.

– Minimale Preisveränderung: 0,01 Prozent; dies entspricht einem Wert von EURO 10.

Li f t D Li f t i t d h t K l d t d j ili Q t l t – Liefertag: Der Liefertag ist der zehnte Kalendertag des jeweiligen Quartalsmonats, sofern dieser Tag ein Börsentag ist, andernfalls der darauffolgende Börsentag.

– Liefermonate: Bis zu neun Monate; die jeweils nächsten drei Quartalsmonate des Zyklus März, Juni, September und Dezember.

– Letzter Handelstag: Zwei Börsentage vor dem Liefertag des jeweiligen Liefermonats. Handelsschluss für die fälligen Futures ist 12.30 Uhr MEZ.




• Kapitalmarkt (hier: Euro-BUND-Future, Fortsetzung) – Täglicher Abrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise aller während

der letzten Handelsminute ( vor 17.15 Uhr MEZ) zustande gekommenen Geschäfte, sofern in diesem Zeitraum mehr als fünf Geschäfte zustande gekommen sind. Ist eine derartige Preisermittlung nicht möglich, wird der tägliche Abrechnungspreis entsprechend der mittleren Geld-/Briefspanne des Kombinationsauftragsbuchs festgelegt.

– Schlussabrechnungspreis: Volumengewichteter Durchschnitt der Preise der letzten zehn zustande gekommenen Geschäfte, sofern sie nicht älter als 30 Minuten sind, oder der zustande gekommenen Geschäfte, sofern sie nicht älter als 30 Minuten sind, oder der volumengewichtete Durchschnitt der Preise aller während der letzten Handelsminute abgeschlossenen Geschäfte, sofern in diesem Zeitraum mehr als zehn Geschäfte zusammengeführt wurden. Der Zeitpunkt der Festlegung des Schlussabrechnungspreises ist 12.30 Uhr MEZ des letzten Handelstages.Schlussabrechnungspreises ist 12.30 Uhr MEZ des letzten Handelstages.

Ist beides nicht möglich, oder entspricht der so ermittelte Preis nicht den tatsächlichen Marktverhältnissen, legt die EUREX den Abrechnungspreis fest.

– Handelszeit: 8.00 bis 22.00 Uhr MEZ



S h h l ( )Sicherheitsleistungen (Margin)

• Initial MarginD B t d i Kä f d V kä f b i Ei h i ff F tDer Betrag, den ein Käufer oder Verkäufer beim Eingehen einer offenen Future-Position als Ersteinschuss erbringen muss.

• Variation MarginDi tä li h V ä d d b t h d P iti d d M i Die täglichen Veränderungen der bestehenden Positionen werden dem Margin Account gutgeschrieben bzw. belasten das Konto.Zur Vereinfachung wird eine Bandbreite festgelegt; innerhalb dieser Grenzen ist ein „Nachschießen“ nicht erforderlich.„

• Maintenance Margin (Mindesteinschuss)Stellt einen bestimmten Kontostand (Untergrenze der Bandbreite) des Margin Account dar, bei dessen Unterschreiten eine Nachschusspflicht bis zum Erreichen , pder Initial Margin notwendig ist. Andernfalls erfolgt durch die Clearing-Stelle eine Zwangsliquidation der offenen Positionen.



G d l b d ShGewinne und Verluste beim Long und Short Future

Long Future Short Future

G G

Long Future Short Future

F FK K

V Vmit:G: Gewinne V: VerlusteF: Future PreisK: Kassakurs



5.3 Bewertung unbedingter Terminkontrakte



Z hl fil b di t T i häftZahlungsprofil unbedingter Termingeschäfte

St Preis des Underlyings in t

Ft Preis in t (t < T) für die Lieferung in T

Cash Flows Vertragsschluss Erfüllung (Maturität)

L 0 S FLong 0 ST – Ft

Short 0 Ft – ST



El i i d U i h h itEleminierung der Unsicherheit

Durch Aufbau gegenläufiger Positionen mit unbedingten Termin-geschäften lässt sich die Unsicherheit vollständig eliminieren.

Z it kt t T A fb i L P iti Li f i FZeitpunkt t1 < T: Aufbau einer Long- Position zu Lieferpreis F1

Zeitpunkt t2 < T: Aufbau einer Short- Position zu Lieferpreis F2

=> Gewinn/Verlust bei Maturität:

(S F ) + (F S ) = F F (Sicher!)(ST – F1) + (F2 – ST) = F2 – F1 (Sicher!)



A bit f i f i B t (1)Arbitragefreie faire Bewertung (1)

• Underlying ohne Dividendenzahlung und ohne Lagerkosten

• Gegenwärtiger Kassakurs des Underlyings: 150,- €

• Zins: 5%

• Laufzeit bis Maturität T: 1 Jahr

• Fairer Preis F ?• Fairer Preis F0 ?

t0 T=t1=1

Strategie 1: Long Future 0 ST – F0g g T 0

Strategie 2: Long Spot - 150 + ST !Kredit +150 - 150 · (1,05) = 157,50

∑ 0 ST – 157,5



A bit f i f i B t (2)Arbitragefreie faire Bewertung (2)

• Fairer Preis: F0 = S0 · e r·T

• Der Faire Preis ist der Lieferpreis, der den Wert des Kontraktes + Underlyings gleich 0 setzt!

=> Wert eines unbedingten Kontraktes mit Lieferpreis K:

f = S0 – K · e -r·T

f = 0 für K = F0



A bitArbitrage

• Wenn F0 ≠ S0 · e r·T : Arbitragemöglichkeiten

• Cash and Carry- Arbitrage:

– F0 > S0 · e r·T

– fremdfinanzierter Kauf des Underlyings, Short Future

• Reverse Cash and Carry- Arbitrage:

F < S e r·T– F0 < S0 · e r T

– Leerverkauf des Underlyings, Anlage zu r, Long Future



A bit B i i lArbitrage: Beispiel

U d l i S 150 €• Underlying: S0 = 150,- €

• Zins: 5% S0 · e r·T = 157,69 €

• T = 1

=> Wenn: Future Preis = 160,- €

▪ Future überbewertet verkaufen!

▪ Long Spot - 150 + S1

▪ Kredit + 150 - 157,69

▪ Short Future 0 160,00 – S1

▪ Summe 0 +2,31 (Sicher!)

=> Wenn: Future Preis = 140,- €

▪ Future unterbewertet kaufen!

▪ Short Spot + 150 - S▪ Short Spot + 150 S1

▪ Anlage - 150 + 157,69

▪ Short Future 0 S1 – 140,00

Summe 0 +17 69 (Sicher!)


▪ Summe 0 +17,69 (Sicher!)


5.4 Allgemeine Fair Value Bewertung Futures



l d d C f C ( )Fair Value und der Cost-of Carry-Ansatz (1)

• Legende der verwendeten Symbole:– T Laufzeit des Kontraktes (in Jahren)

– t gegenwärtiger Zeitpunkt (in Jahren)

– S Preis des zugrundeliegenden Basiswertes zum Zeitpunkt t (K k i t)(Kassakurs in t)

– ST Preis des zugrundeliegenden Basiswertes am Ende der Laufzeit (Kassakurs in T)

– F Future Preis im Zeitpunkt tF Future Preis im Zeitpunkt t

– r risikoloser inländischer Zinssatz

– rf risikoloser Auslandszinssatz

– q Dividende (in Prozent)q Dividende (in Prozent)

– u Lagerhaltungskosten (in Prozent des Kassakurses)

– y „convenience yield“ (Vorteilszins) y y ( )

– c „cost of carry“

– k Diskontierungsfaktor (CAPM)



l d d C f C (2)Fair Value und der Cost-of Carry-Ansatz (2)

• Für „no-income securities“ (z. B. ohne Dividendenzahlung) gilt folgender hZusammenhang:

t)r(TSeF −=

• Unter Einbeziehung von Dividendenzahlungen folgt:

t)q)(T(rSeF −−=

• Für Währungskontrakte ergibt sich:

t))(Tr(r fSF −−

• Futures auf Waren:

t))(Tr(r fSeF =

t)y)(Tu(rSeF −−+=



l d d C f C (3)Fair Value und der Cost-of Carry-Ansatz (3)

• Mit dem Begriff „cost of carry“ werden die verschiedenen Kostenbestand- teile des Termingeschäfts erfaßt (Lagerhaltungskosten Finanzierungskosten etc )des Termingeschäfts erfaßt (Lagerhaltungskosten, Finanzierungskosten etc.).

t)y)(T(cSeF −−=

• Zusammenhang zwischen F und dem bei Fälligkeit in T erwarteten Kassakurs S

t)k)(T(rT )eE(SF −−=


Literaturhinweis: Hull, S.55-84


5.5 Basisrisiko und Basishedging



dKonvergenz von Future- und Kassa-Kurs

FFFuture - Preis

BASIS

K

Kassa - Kurs

Z it

Kassa Kurs

Zeit

Verfallzeitpunkt

mit:F: Future-PreisK: KassakursF-K: Basis

Es gilt:F > K : ContangoF < K : Backwardation


F K: Basis


Basisrisiko

• BasisrisikoRi ik d Ab i h d F t P i i F i V l äh d d Risiko des Abweichens des Future-Preises von seinem Fair Value während der Laufzeit. Beim Hedging beispielsweise eines Aktienportefeuilles mit DAX-Futures entstehen hierdurch Gewinn- bzw. Verlustmöglichkeiten, falls die Portefeuille-Haltedauer von der Future-Laufzeit abweicht

Dax, FFV

7200F

Risiko-Komponente

7000

FVKomponente

BASISmit:F: Preis des

DAX Futures

Zeitt0

DAX FuturesFV: Fair Value des

DAX Futures



B i Ri ik (2)Basis- Risiko (2)

Basis = Kassakurs des Underlyings – Future-Preis

t1 t2 < T

Spot S1 S2Spot S1 S2

Future F1 F2

Basis b1 = S1 - F2 b2 = S2 – F2

CF in t2

- Longhedge: – S2 + (F2 – F1) = – F1 –b2

Sh th d S (F F ) F b- Shorthedge: + S2 + (F1 – F2) = + F1 +b2

in t1 bekannt in t1 nicht bekannt



Mi i V i H d d B i i ikMinimum Varianz Hedge des Basisrisikos

Asset Long, Future Short

FhSv Δ⋅−Δ=Δ

Varianz: FSFSFs hhv σσρσσ ;222 2)var( −+=

BEO: 022)var(;

2 =−=∂

∂FSFSFh

hv σσρσ !

=>

F

SFS

opthσσρ ⋅= ;



O l d d kOptimale Hedgeratio des Basisrisikos

• Erfassung des Basisrisikos:

F,S2FF

SS,Fopt S,Fcovh β=

σ=

σ

σ⋅ρ=

F

mit:ρF S : Korrelation Future- und KassakursρF,SσS : Standardabweichung KassakursσF : Sandardabweichung Futurekurs



5 6 Hedging mit Indexfutures5.6 Hedging mit Indexfutures



l ( )Beteiligungsmanagement mit DAX-Futures (1)

Aktie Menge Kassakurs 05.06.2000 Beta 05.06.2000

Daimler-Chrysler 2000 59,00 EURO/Aktie 0,5264Veba 3000 55,40 EURO/Aktie 0,2986Dresdner Bank 5000 45,20 EURO/Aktie 0,8574Siemens 1000 166 70 EURO/Aktie 1 3819Siemens 1000 166,70 EURO/Aktie 1,3819

Schlusskurs DAX am 06.06.2000: 7.408,02 Punkte

DAX-Futures Sept.00 am 06.06.2000: 7.425,00 Punkte

Szenario: Am 3. Freitag im September ist DAX auf 6.500 Punkte gefallen !

Gesucht: a) Gesamtportpolio-Volumen

b) Beta

ad a) Kapitalisierung: Daimler-Chrysler: 118.000 ,-

Veba: 166.200 ,-

D d B k 226 000 Dresdner Bank 226.000 ,-

Siemens 166.700 ,-

Gesamtportfolio-Volumen 676.900 ,-


ad b) Portfolio-Beta: ßp = xDCX . ßDCX + xV

. ßV + xDRB. ßDRB + xSIE

. ßSIE = 0,7917


l (2)Beteiligungsmanagement mit DAX-Futures (2)

• Die Wertänderung des Portfeuilles bis September ergibt sich durch Multiplikation d l ti V ä d d DAX it d P tf li B tder relativen Veränderung des DAX mit dem Portfolio-Beta:⇒ [(6.500 - 7.408,02)/7.408,02] . 0,7917 = - 0,1226 . 0,7917 = - 9,7036%

⇒ Daraus folgt ein Verlust in der Kassaposition i.H.v. -65.683,90 EURO.

• DAX-Futures-Position:– Hedge-Ratio: opth)

torMultiplika-IndexPreis-FuturesVolumen-Portfolio( ⋅⋅

⋅ Pßpmit

– Portfolio-Volumen: 676.900,- EURO

– DAX-Futures-Preis : 7425 Punkte

– Index-Multiplikator : 25 EURO pro Indexpunkt

– Beta-Faktor : 0,7917

– = 0 9597 DAXFuturesDAXDAX,opth − ⋅=

σρ 0,9597

7705,20,95970,7917676.900,-HR =⋅⋅⎟⎞

⎜⎛

= d h 3 DAX-Futures short

FuturesDAX

h−

=σ


7705,20,95970,7917EURO/Pkt 257.425,00

HR ⎟⎠

⎜⎝ ⋅

d.h. 3 DAX Futures short


l (3)Beteiligungsmanagement mit DAX-Futures (3)

• DAX-Futures-Position im September: (7.425 Punkte – 6.500 Punkte) · 25 EURO/Punkt · 3

= + 69.375,00 EURO

• Damit ergibt sich als Netto-Position: g69.375,00 - 65.683,90 = 3.691,10 EURO

• Hinweis: Die Ermittlung der Hedge-Ratio mittels hopt ergibt lediglich eine Näherungslösung ! ä e u gs ösu g



5 7 Optionen5.7 Optionen



G dlGrundlagen

• Eine Option ist ein handelbares und übertragbares Instrument. Die mit einer O ti b d R ht d V fli ht i d t d d h ffi i ll Option verbundenen Rechte und Verpflichtungen sind entweder durch offizielle Richtlinien und Regelungen oder durch freie Vereinbarungen zwischen Käufer und Verkäufer festgelegt.

Ei O ti kö t d R ht i ht b di V fli ht i B i t • Eine Option verkörpert das Recht, nicht aber die Verpflichtung, einen Basiswert zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes oder zu einem vereinbarten Fälligkeitstermin zu kaufen oder zu verkaufen. Für dieses Recht zahlt der Käufer der Option dem Verkäufer die Optionsprämie.p p p

• Eine Call (Kauf) Option gibt dem Käufer (Halter) das Recht, einen bestimmten Basiswert zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes oder zum Fälligkeitstermin zu kaufen.g

• Eine Put (Verkauf) Option gibt dem Käufer (Halter) das Recht, einen bestimmten Basiswert zu einem vereinbarten Kurs innerhalb eines festgelegten Zeitraumes oder zum Fälligkeitstermin zu verkaufen.g



O ff ( )Options-Begriffe (1)

• Der Käufer einer Option erwirbt eine Call oder Put Option und zahlt dem V kä f di O ti ä iVerkäufer die Optionsprämie.Der Käufer hat eine Long Position in der Option.

• Der Verkäufer (Schreiber oder Stillhalter) einer Call oder Put Option erhält die O ti ä i d Kä f D V kä f äh t d Kä f di it d Optionsprämie von dem Käufer. Der Verkäufer gewährt dem Käufer die mit der Option verbundenen Rechte. Aufgrund dieser potentiellen Verbindlichkeit ist der Verkäufer von Optionen verpflichtet, Margins mit der Clearing Stelle zu halten. Der Verkäufer hat eine Short Position in der Option.p

• Der Basiswert einer Option ist das der Option zugrundeliegende Instrument.Dieses Instrument wird bei der Ausübung des Optionsrechtes geliefert.

Bei der Option zugrundeliegenden Instrument kann es sich um ein Instrument • Bei der Option zugrundeliegenden Instrument kann es sich um ein Instrument des Kassamarktes oder des Futures Marktes handeln.

• Der Basispreis ist der Preis, zu dem der Käufer der Call (Put) Option den der Option zugrundeliegenden Basiswert bei der Ausübung des Optionsrechtes Option zugrundeliegenden Basiswert bei der Ausübung des Optionsrechtes erwerben (verkaufen) kann. Der Basispreis wird auch Exercise (X) oder Strike Price genannt.



O ff (2)Options-Begriffe (2)

• Basispreise werden in Intervallen von E 5 (X<99), E 10 (100<X<199), E 20 (200<X<499) E 50 (500<X<999) und E 100(X>1000) festgelegt(200<X<499), E 50 (500<X<999) und E 100(X>1000) festgelegt.

• Der Verfallstermin von Optionen ist der letzte Tag, an dem das Optionsrecht ausgeübt werden kann. Dieser Verfallstag ist der erste Börsentag nach dem dritten Freitag des Verfallmonats. Nach dem Verfallstermin sind alle Optionen g pwertlos. Der letzte Handelstag einer Optionsserie ist der dritte Freitag des Verfallmonats.

• Die Verfallsmonate der an Börsen gehandelten Optionen folgen einem f t l t Z kl D fü di d E h d lt Akti ti ülti festgelegten Zyklus. Der für die an der Eurex gehandelten Aktienoptionen gültige Zyklus der Verfallstermine basiert auf Laufzeiten der Kontrakte von 1,2 und 3 Monaten. Ein weiterer Kontrakt wird auf den März-Zyklus basierenden nächsten Monat gehandelt.

• Die Optionsprämie ist der zwischen Käufer und Verkäufer der Option ausgemachte Tauschpreis. Die Prämie wird vom Käufer der Option an den Verkäufer gezahlt.

• Prämien werden allgemein als Preis pro Einheit des Basiswertes quotiert. Der Preis einer Option wird mit Preisabstufungen von E 0,01 ermittelt, soweit nicht von den Geschäftsführungen der Eurex-Börsen etwas anderes bestimmt wird.



O ff (3)Options-Begriffe (3)

• Eine amerikanische Option kann vom Käufer zu jedem Zeitpunkt während der L f it übt dLaufzeit ausgeübt werden.

• Eine europäische Option kann dagegen vom Käufer nicht während der Lauf- zeit sondern nur am Verfallstermin ausgeübt werden.

• Von wenigen Ausnahmen abgesehen, handelt es sich bei an Börsen gehandelten Optionen um amerikanische Optionen.

• Ein Eröffnungskauf (-verkauf) ist eine Transaktion, bei der der Investor eine long g ( ) , g(short) Optionsposition einnimmt.

• Ein Glattstellungskauf (-verkauf) ist eine Transaktion, bei der der Investor eine Option, die die gleichen Konditionen wie die vorher verkaufte (gekaufte) Option p , g (g ) paufweist, nun (zurück-) kauft (verkauft). Mit dieser Transaktion hat der Investor effektiv alle vorherigen Rechte und Verpflichtungen eliminiert, und damit seine ursprüngliche Position glattgestellt.



O ff ( )Options-Begriffe (4)

• Das offene Interesse ist die zu einem Zeitpunkt existierende Anzahl aller O ti k t ktOptionskontrakte.

• Wenn sowohl Käufer als auch Verkäufer in eine neue Optionsposition eintreten, so erhöht sich das offenen Interesse.

• Wenn sowohl Käufer als auch Verkäufer durch eine Transaktion eine vorher eingenommene Position glattstellen, so verringert sich das offene Interesse.

• Bei allen anderen Transaktionen bleibt das offene Interesse konstant.



d d lBörsen und Underlyings

• Wichtige Optionsbörsen– Eurex

– CBOE

– AMEX

• Underlyings von Financial Options– Aktien

– Währungeng

– Indizes

– Futures



l h O kTeilnehmer am Optionsmarkt

• Börsenteilnehmer– Market Marker

– Einfacher Teilnehmer▪ Kundengeschäft (Broker)

h d l ( l)▪ Eigenhandel (Prinzipial)

• Kundengeschäft (Broker)– Auftragsausführung

– Provisionseinnahmen

– Clearing / Nonclearing

– Führung der Margin Konten

– Marktanalyse

– Beratung

– Ausbildung

• Publikum– Institutionen / Privatanleger

– National / International


National / International


d O fKomponenten des Optionsauftrags

• Kauf / Verkauf

• Eröffnung / Glattstellung

• Festlegung des Basiswertes

A hl d K t kt• Anzahl der Kontrakte

• Festlegung der Laufzeit

• Festlegung des Basispreisesg g p

• Laufzeit des Auftrages– Tagesauftrag

Fixiertes Datum – Fixiertes Datum

– Widerruf

• Festlegung der Optionsprämie– Marktpreis

– Limitierter Preis



h OExotische Optionen

• Was unterscheidet exotische Optionen von klassischen Optionen?– Variation der Laufzeit und der Ausübungsmodalitäten

– Variation der Anzahl und der Art der Basisinstrumente

– Variation des Basispreises

– Variation der Auszahlungsfunktion



f d b dVariation Laufzeit und Ausübungsmodus

• Bermuda-Optionen– Die Ausübung ist nur zu festgelegten Terminen innerhalb der Laufzeit möglich. Einzelne

Tage oder eine Reihe von Terminen können als Ausübungszeitpunkte festgelegt werden.

– Anwendung: Hedging von Anleihen mit Kündigungsrechten (Callable bzw Puttable Anwendung: Hedging von Anleihen mit Kündigungsrechten (Callable bzw. Puttable Bonds), oder auch zur Absicherung von Optionen auf Swaps (Swaptions) mit Ausübungsmöglichkeiten an den Kündigungsterminen der Anleihe

• Forward Start Option/ Delayed Option– Die Optionsprämie wird bei Geschäftsabschluss fällig, jedoch beginnt die Laufzeit der

Option ab einem zukünftigen Zeitpunkt. Der Bezugspreis wird i.d.R. bei Abschluß des Geschäftes als Prozentsatz des bei Laufzeitbeginn aktuellen Marktpreises festgelegt. Der Bezugspreis wird bei Laufzeitbeginn gefixt (Strike Fixing) Der Bezugspreis wird bei Laufzeitbeginn gefixt (Strike Fixing).



Variation Basisinstrument

• Basket-Optionen– Das Underlying besteht aus einem Korb (Basket) mehrerer gleichartiger Instrumente.

Das Basket kann aus Aktien bestimmter Branchen (z.B. Automobil, Banken, Chemie...) oder Währungen bestimmter Regionen (z.B.Asien, Lateinamerika, Osteuropa) zusammengesetzt sein.

– Der Preis des Baskets ist die gewichtete Summe der Einzelinstrumente, wobei bei Vertragsabschluß die Gewichtungsfaktoren und die Bestandteile zu fixieren sind.

– Der Ausübungspreis wird zu 1 +/- X% des Basketwertes beim Fixing festgelegt.

– Absicherung bzw. Spekulation bei Sonderbewegungen bestimmter Branchen oder Wirtschaftsregionen



(2)Variation Basisinstrument (2)

• Rainbow Option– Multifaktor-Option, die sich durch Bezug auf mehrere Underlyings auszeichnet.

– Spread Optionen:▪ Bezugnahme auf die Differenzen von Preisen oder Renditen zweier

Basisinstrumente (z B Renditespread von Staatsanleihe und Aktienindex)Basisinstrumente (z.B. Renditespread von Staatsanleihe und Aktienindex)

– Exchange Option▪ Tausch eines Basisinstrumentes gegen ein anderes (Kauf von Pfund gegen EURO)

Q t O ti• Quanto-Optionen– Optionen, deren Auszahlung in einer anderen Währung als die des Basisinstrumentes

vereinbart wird („Quantity Adjusting Option“).

Der Wechselkurs wird vorab festgelegt Diese Option wird häufig auch mit anderen – Der Wechselkurs wird vorab festgelegt. Diese Option wird häufig auch mit anderen exotischen Optionstypen gemischt. (z. B. Quanto auf Forward Start Options)



(3)Variation Basisinstrument (3)

• Compound Option– Optionen, deren Basisinstrument selbst wieder Optionen auf andere Basisinstrumente

darstellen. Dabei können die Ausübungspreise von Mutter- und Tochteroption divergieren.

▪ Spekulation auf implizite VolatilitätenSpekulation auf implizite Volatilitäten▪ Potentiell Optionskäufer können den Kauf (Verkauf) in hoch (gering) volatilen

Märkten auf zukünftige Zeitpunkte verschieben.

• Wetteroptionp– Optionen, deren Underlying die klimatische Entwicklungen einer vorab definierten

Messstation (z.B. Station Flughafen Frankfurt) darstellt.

– Besonders klimaempfindliche Branchen (Energieversorger, Wintersport-Touristik, Landwirtschaft) können sich damit gegen Umsatzeinbrüche absichern.



Variation Basispreis

• Barrier Option– Optionen, die erst bei Über-oder Unterschreiten einer Wertschwelle (Barrier) des

Basisinstruments ihre ursprüngliche Form annehmen (Knock-In-Option), oder wertlos verfallen (Knock-Out-Option).

– Damit sind die Kombinationen Down-In Down-Out Up-In Up-Out möglich Bei einem Damit sind die Kombinationen Down In, Down Out, Up In, Up Out möglich. Bei einem Down-In Call/Down-Out Call ist die Barriere meist unter dem Ausübungspreis, bei einem Down-In Put/Down-Out Put darüber. Die Barrier Optionen haben damit eine größeren Hebel, jedoch besteht das Risiko, dass die Option vorzeitig wertlos wird.

• Korridor Option– Der Inhaber der Korridor Option erhält für jeden Tag der Laufzeit, der sich das

Basisinstrument in einer bestimmten Wertgrenze befindet, einen vorab festgelegten Wertzuwachs der bei Fälligkeit zur Auszahlung kommtWertzuwachs, der bei Fälligkeit zur Auszahlung kommt.

– Einsatz nach sehr volatilen Marktphasen, wenn mit einer längeren Seitwärtsbewegung gerechnet wird. (z.B. DAX zwischen 5000 und 5500 Pkt.)



(2)Variation Basispreis (2)

• Asiatische Optionen– Optionen, deren Wert von der Entwicklung des Basisinstruments während der Laufzeit

abhängt.

– Average Price Option:▪ Der beobachtete Durchschnittspreis des Underlyings wird als Spotpreis bei ▪ Der beobachtete Durchschnittspreis des Underlyings wird als Spotpreis bei

Fälligkeit gewertet. Die Auszahlung ergibt sich aus der Differenz des Durchschnittspreises zum Basispreis.

– Average Strike Option▪ Der Durchschnittspreis des Underlyings dient als Bezugspreis. Die Auszahlung bei

Fälligkeit ergibt sich aus dem Spotpreis und dem Durchschnittspreis.



hl f kVariation Auszahlungsfunktion

• Binär Option (Digital Option)– All-or-Nothing Option:

▪ Am Ende der Laufzeit wird eine fest vereinbarte Summe ausgezahlt, wenn die Option im Geld ist. Andernfalls verfällt sie wertlos.

Asset or Nothing Option– Asset-or-Nothing Option▪ Bei dieser Option wird entsprechend der Wert des Basisinstruments gezahlt oder

verfällt wertlos.

• Power Option• Power Option– Power Optionen weisen nichtlineare Auszahlungsfunktionen auf, da die Differenz von

Spotpreis und Strike mit einem Faktor (Multiple) versehen wird.



d Sh kLong und Short Aktien Positionen

Gewinn und Verlust am Verfalltagew

inn

ewin

nShort Long

Ge

Ge

Kurs Kurs

Ver

lust

Ver

lust



d Sh OLong und Short Options-Positionen

Gewinn und Verlust am Verfalltag

LongG

ewin

n Short

Gew

inn Long

Strike

rlust

erlu

st

CallStrike

Ver Ve

Long

Gew

inn Short

Gew

inn Long

Strike

rlust

PutStrike

Strike

rlust

Prof. Dr. Rainer Elschen - 195 -Ve

Ver


5 8 Optionsstrategien5.8 Optionsstrategien



S h h d ShSynthetische Long und Short Future Positionen


Long Future

win

n

win

n Short Future

Gew

Gew

Short CallShort Put

Long Call Long Put

erlu

st

Strike

erlu

st

Strike

Ve

Ve

Strategie: geringerer Kapitalbedarf gegen-über direktem Aktienkauf

Strategie: Leerverkauf von Aktien



S l S kSplit Strike Future Position


Long SplitStrike Future

win

n

win

n

Short Split Strike Future

Gew

Gew

A B

erlu

st

B

erlu

st

A

Nettoposition Nettoposition

Ve

Ve

Strategie: - Erwartung steigender Kurse, Ab-sicherung für leicht fallende Kurse

- geringerer Kapitaleinsatz gegenüber

Strategie: - Erwartung fallender Kurse, - Absicherung für leicht fallende

Kurse


geringerer Kapitaleinsatz gegenüber direktem Aktienkauf

Kurse- Leerverkauf


S dPrice-Spread Position

Bull-Price-Spread

nn

nn Bear-Price-Spreadp

Gew

in

Gew

in

p

A B

ust

ust

Nettoposition

B A

Ver

lu

Ver

luNettoposition Nettoposition

St t i E t l i ht t i d K St t i E t l i ht f ll d KStrategie: - Erwartung leicht steigender Kurse- Begrenzung maximaler Gewinn-/

Verlustmöglichkeiten- insensitiv gegenüber Volatilitäts-

ä d

Strategie: - Erwartung leicht fallender Kurse- Begrenzung maximaler Gewinn-/

Verlustmöglichkeiten- insensitiv gegenüber Volatilitäts-

ä d


veränderungen veränderungen


flButterfly Position

Long Butterfly Short Butterfly

Gew

inn

Gew

inn

A CB

st

B

st

A C

Ver

lus

Ver

lus

Strategie:- Erwartung eines wenig Strategie:- Erwartung eines stark veränderten KursesStrategie: Erwartung eines wenig veränderten Kurses

- Begrenzung maximaler Verlust-möglichkeiten

- Kompensation von

Strategie: Erwartung eines stark veränderten Kurses- Erwartung steigender Volatilität- Begrenzung maximaler Verlust-

möglichkeiten- Kompensation von Volatilitätseffekten


Kompensation von Volatilitätseffekten

Kompensation von Volatilitätseffekten


C dCondor Position

Long Condor Short Condor

n

Gew

inn

Gew

inn

A D B C

st

B C A D

st

Ver

lus

Strategie: - Erwartung sinkender Volatilität Strategie: - Erwartung einer stark steigendenVer

lus

Strategie: Erwartung sinkender Volatilität- Begrenzung maximaler Verlust-

möglichkeiten- Bildung einer Spanne maximaler

Gewinne

Strategie: Erwartung einer stark steigendenKursvolatilität

- Begrenzung maximaler Verlust-möglichkeiten auf Spanne zwischenden beiden mittleren Basispreisen


Gewinne den beiden mittleren Basispreisen


S ddlStraddle Position

Long Straddle Short Straddle

Gew

inn

Gew

inn

A

st

A

rlust

Ver

lus

Ver

Strategie: - Erwartung stark steigender Volatilität, die zu großen Kursveränderungen führt

- unbegrenztes Gewinnpotential

Strategie: - Erwartung einer sinkenden Volatilität- Maximaler Gewinn bei kaum

veränderten Kursen- hohes Risiko, da unbegrenzte Verlust-


g p , gpotentiale


S lStrangle Position

Long Strangle

n

Short Strangle

n

Gew

in

Gew

in

A B

lust

A B

lust

Ver

l

Strategie: - Erwartung extrem steigenderVolatilität

Strategie: - Erwartung einer sinkenden Volatilität- Maximaler Gewinn bei kaum

Ver

lVolatilität

- Begrenzung maximaler Verlust-möglichkeiten

Maximaler Gewinn bei kaum veränderten Kursen

- Gewinnspanne zwischen denbeiden Basispreisen

- hohes Risiko da unbegrenzte Verlust-


hohes Risiko, da unbegrenzte Verlustpotentiale


5.9 Optionsbewertung



l d ll ( )Das Binomialmodell (1)

Cox, Ross, Rubinstein (1976): Binomiale Optionsbepreisung

• Grundlegende Annahme des Binomialmodells ist das Vorliegen der Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes.

• Ferner sollen folgende Eigenschaften besonders hervorgehoben werden:g g g– freier Marktzugang

– keine Friktionen, gesetzliche Restriktionen, Transaktions- oder Informationskosten

– Leerverkäufe jederzeit gestattet, keine Margin-Leistungen, fällige Verpflichtungen Leerverkäufe jederzeit gestattet, keine Margin Leistungen, fällige Verpflichtungen werden sofort erfüllt

– Möglichkeit der jederzeitigen risikofreien Geldanlage sowie -aufnahme zu einem positiven, konstanten Zinssatz

– Aktienkurse folgen einem Binomialpfad über diskrete, äquidistante Zeitpunkte



l d ll (2)Das Binomialmodell (2)

• Optionspreise können ohne Rückgriff auf Risikopräferenzen abgeleitet werden

• Zugrunde liegende Prinzipien sind – „pricing by duplication“

– „law of one price“

• Grundidee: Zwei Finanztitel, die in jedem Umweltzustand identische Rückflüsse versprechen, müssen denselben Preis haben, da ansonsten Arbitragegewinne erzielbar wären.

• Gelingt es, die zustandsabhängigen Rückflüsse einer Option mit einem Portefeuille aus anderen Finanztiteln mit bekannten Marktpreisen zu duplizieren, so lässt sich daraus der Preis für die Option ableiten (sog. äquivalentes Portefeuille).



l f C ll b d h l d llWertverlauf eines Call bei einperiodischer Binomialmodellierung

up - FallA+= uA=120

MaturitätKontraktabschluß

Aktie = 100Option = ?

u C+ = max(0; uA-X) = uA-XC+ = 120 - 100 = 20

Option = ?

ddown - FallA-= dA = 85C- = max (0; dA-X) = 0C (0 85 100) 0u = A+/A => u = 1 2 C- = max (0;85 - 100) = 0u = A+/A => u = 1,2

d = A-/A => d = 0,85i = 0,1 =10%

Wertfindung für den Call anhand Duplizierung der Option durch ein synthetisches Portefeuille



Wann sind die Werte des Call und des Synthetischen Portefeuilles gleich?

Wert des Call: synthetisches Portefeuille:

MAalePortefeuil +⋅=

Äquivalenz

mit: a = Anzahl AktienM= Kreditaufnahme/Geld-

anlage zum Zins i

?

A anlage zum Zins i(M<0 bei Kreditaufnahme)(M>0 bei Geldanlage)

AX]XeA;0max[C it−−≥

mit: A = Kassakurs X = Ausübungspreis



Portefeuillewert:

⇒ bei gestiegenen Kursen:

Wert der Call - Option im Zeitpunkt T:



dC+ M)i1(A)r1(a

lewertPortefeuil

⋅++⋅+⋅

=+

⇒ bei gefallenen Kursen:

XAdaXAC TT >−=+

mit:0

0

0

0A

AuAA

AAr −=

−=

++

M)i1(A)r1(a +++



XAda0C T <=−

l tP t f il

00 AdAAA −−−

M)i1(A)r1(a

lewertPortefeuil

⋅++⋅+⋅

=−

0

0

0

0A

AdAA

AAr ==−mit:



f hZusammenführung:

Die Rückflüsse des Synthetischen Portefeuilles müssen in beiden Zuständen denen d C ll ( C+ C ) t h !

( ) Mi1A)r1(aC ⋅++⋅+⋅= ++des Call ( C+; C- ) entsprechen !

( ) Mi1A)r1(aC ⋅++⋅+⋅= −−

⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ++ ++ Ca)i1(A)r1(

⇒ Matrixschreibweise:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+⋅++⋅+

−− CC

Ma

)i1(A)r1()i1(A)r1(

⎦⎣⎦⎣⎦⎣ )()(



d Gl hLösung des Gleichungssystems:

−+

−+

−+

−+

−−

=⋅−

−=

AACC

A)rr(CCa ⇒ sogenanntes Optionsdelta

(Spanne möglicher Optionspreise AAA)rr( ( p g p pbezogen auf die Spanne möglicher Aktienkursentwicklungen)

)i1()rr(C)r1(C)r1(M

+⋅−⋅+−⋅+

= −+

+−−+

)()(



d G d l h d l f llEinsetzen in die Grundgleichung des äquivalenten Portefeuilles:

MAaC +⋅= MAaC +⇔ Callpreis = Optionsdelta * Aktienkurs + Kreditaufnahme/Geldanlage

iC)p1(CpC ⋅−+⋅

=−+

es ergibt sich:

+

i1+

mit

−+

+

−−

≡−rrir)p1(−+

−

−−

≡rr

ripmit:

Da p und (1-p) nicht von der Eintrittswahrscheinlichkeit für Steigen oder Fallen des Underlyingkurses abhängen, sondern nur von der Spanne möglicher Kursentwicklungen werden sie auch als Pseudo Wahrscheinlichkeiten“ bezeichnet


Kursentwicklungen, werden sie auch als „Pseudo-Wahrscheinlichkeiten“ bezeichnet.


b OPreisbestimmung einer Put-Option

⇒ Für die Preisbestimmung eines Puts (P) ergibt sich eine analoge Berechnung (die G öß C C+ C i d t h d d h P P+ P t )Größen C, C+, C- sind entsprechend durch P, P+, P- zu ersetzen).



hl b l l f llZahlenbeispiel zum äquivalenten Portefeuille:

up - Fall: A+= uA=120uC+ = 120 - 100 = 20Aktie = 100

Option = ?d

u

down - Fall: A-= dA = 85C- = max (0;85 - 100) = 0

t0 up-Fall down-Fall

Verkauf eines Call + 12,99 Ausübung: + 100

Kauf von a Aktien - 57,14 Eindecken (1-a): - 51,43 Verkauf +48,75

Kreditaufnahme + 44,16 Tilgung: - 48,57 Tilgung: - 48,75

0 0 0

• Schwankungsbreite – für die Option: 20 - 0 = 20

fü di Ak i 120 85 35571428,0

3520

a:somit ==→


– für die Aktie: 120 - 85 = 35 35


d l d ll f d d f llErweiterung des Binomialmodells für den Zweiperiodenfall

Maturität t2:Kontraktabschluss t0: t1:

A++ = 144C++ = 144 - 100 = 44u

A+ = 120

Aktie = 100Call = ?

ud A+ -= A- + = 102

C+ = ?

A 120

Call ?

d

u C+ - = C- += 102 - 100 = 2C- = ?

A- = 85d C- - = max(0; 72,25-100) = 0

A- - = 72,25

• Der Wert des Call in t0 kann rekursiv ausgehend von t2 über t1 errechnet werden:– in t2: up - up Fall: C++ = A+ + - X = 144 - 100 = 44– in t2: up - down Fall: C+ - = C-+ = A+ - - X = 102 - 100 = 2

i t2 d d F ll C (0 A X) (0 72 25 100) 0


– in t2: down - down Fall: C - = max (0; A--X) = max (0; 72,25 - 100) = 0


d l d ll f d d f ll (2)Erweiterung des Binomialmodells für den Zweiperiodenfall (2)

• Nach Berechnung des Optionspreises für t = 2 durch Subtraktion des B i i Akti k k d W t d O ti C+ d C d h Basispreises vom Aktienkurs kann der Wert der Option C+ und C- durch Einsetzen in die Bewertungsgleichung ermittelt werden:

⇒ für t=1 :

09091,291,01

2)71429,01(4471429,0i1

C)p1(CpC =+

⋅−+⋅=

+⋅−+⋅

=+−++

+

29870,11,01

0)71429,01(271429,0i1

C)p1(CpC =+

⋅−+⋅=

+⋅−+⋅

=−−+−

−

29871)7142901(0909129714290C)p1(Cp ⋅−+⋅⋅−+⋅ −+

⇒ Rekursiv kann also auch der Wert der Option für t = 0 ermittelt werden :

23192275257191,01

2987,1)71429,01(09091,2971429,0i1

C)p1(CpC

≈=+

⋅−+⋅=

+⋅−+⋅

=


23,192275257,19 ≈=


b hl ß d l d llAbschließende Hinweise zum Binomialmodell:

• Durch die Verlängerung der Laufzeit im Beispiel um eine Periode ist der O ti i 12 99 f 19 23 tiOptionspreis von 12,99 auf 19,23 gestiegen.

• C+- und C-+ müssen identisch sein !

• Handelt es sich nicht um ganzjährige Perioden, sondern um Subperioden, dann g j g , p ,ist die unterjährige Verzinsung zu beachten.

z.B.:

1)i1(i)t(

mit m = Anzahl der Subperioden pro Jahr

1)i1(i mBin −+=

• Die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Kursentwicklung spielen für die Ermittlung der Optionspreise keine Rolle.g p p


Literaturhinweis: Steiner/Bruns, S.274-297; Franke/Hax, S. S.366-369


5.9 Optionsbewertung (Fortsetzung)



l k & S h l d ll ( )Das Black & Scholes-Modell (1)

• Black, Fisher/ Scholes, Myron (1972): Stetige Optionsbepreisung

Lässt man die Anzahl der Perioden im Binomialmodell wachsen und verkleinert man den Abstand der Intervalle, nähert sich die diskrete Binomialverteilung der stetigen logarithmischen Normalverteilung an. (De Moivre-Laplace G t t )Grenzwertsatz)

• Black & Scholes unterstellen weiter:– Normalverteilung der Aktienrendite

– europäische Optionen

– das Fehlen von Dividenden und Bezugsrechtendas Fehlen von Dividenden und Bezugsrechten

– kontinuierlichen Wertpapierhandel

– einen kontinuierlichen, stochastischen Aktienkursverlauf (Random Walk)

– vollkommener Kapitalmarkt (u.a. bekannter, einheitlicher Zins i,vollkommener Kapitalmarkt (u.a. bekannter, einheitlicher Zins i,zu dem restriktionslos Geld aufgenommen/angelegt werden kann)

– beliebige Teilbarkeit der Wertpapiere und Leerverkäufe



l k & S h l d ll (2)Das Black & Scholes-Modell (2)

• Der Optionspreis kann im Folgenden als Funktion der Variablen aufgefasst dwerden:

A = Aktienkurs

X = Basispreis

k li = risikoloser Zins

t = Restlaufzeit der Option in Jahren

σ = Aktienkursvolatilität

AdzAdtdA σμ +=

• Der Black&Scholes Ansatz unterstellt folgenden stochastischen Prozess für die Aktienkurse:

mit: μ : momentan erwartete Aktienrenditedz : Wiener Prozess

AdzAdtdA σμ +=


Literaturhinweis zum Wiener Prozess: Hull, S.218-236


l k & S h l f k f C llBlack & Scholes Bewertungsfunktion für Calls

)d(NVeX)d(NVAC 2ti ⋅⋅−⋅= ⋅−

Untergrenze:C = max[ 0 ; A - Xe-it]C

)d(NVeX)d(NVAC 21 ⋅⋅−⋅=

Obergrenze:C = A

Zeitwert

innerer Wert

AtieX ⋅−⋅

At the Money In the MoneyOut of the Money

X


y yy


l k & S h l O b f l (C ll)Black & Scholes Optionsbewertungsformel (Call)

)d(NVX)d(NVAC tiS/B ⋅− )d(NVeX)d(NVAC 2ti

1S/B ⋅⋅−⋅=

⎞⎛ t)5,0i(XAln

d

2

1

⋅σ⋅++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

mit:

td1 ⋅σ

A 2⎞⎛

tdt

t)5,0i(XAln

d 1

2

2 ⋅σ−=σ

⋅σ⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=t⋅σ

NV = Flächeninhalt unter der Standardnormalverteilung von ∞ bis d


von -∞ bis di


l l k & S h l d ll ( )Beispiel zum Black & Scholes-Modell (1)

• Der Kurs einer Aktie ist heute A = 111. Es gibt eine Kaufoption, die es dem O ti i h b l bt di Akti h i J h B i i X 100 Optionsinhaber erlaubt, die Aktie nach einem Jahr zum Basispreis von X = 100 zu erwerben. Die Volatilität der Aktie wird mit 0,4 beziffert. Welchen Wert hat der Call heute, wenn man für die gesamte Restlaufzeit einen risikolosen Zins in Höhe von i = 10 % unterstellen kann?

1)405010(111l)50i(Al 22 ++⎟⎞

⎜⎛++⎟

⎞⎜⎛

• Zunächst gilt es, die Argumente d1 und d2 zu bestimmen:

7109,014,0

1)4,05,01,0(100

ln

t

t)5,0i(X

lnd

22

1 =⋅

⋅⋅++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=>⋅σ

⋅σ⋅++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

3109,014,07109,0tdd12

=⋅−=>⋅σ−=

7611,0)d(NV 1 ≈ 6217,0)d(NV 2 ≈sowie

• Die zugehörigen Werte der Standardnormalverteilung lauten:


,)( 1 ,)( 2


l l k & S h l d ll ( )Beispiel zum Black & Scholes-Modell (1)

• Anschließend können die Werte in die Bewertungsformel eingesetzt und der O ti i b ti t dOptionspreis bestimmt werden:

)d(NVeX)d(NVAC tiS/B ⋅− )d(NVeX)d(NVAC 21 ⋅⋅−⋅=

= 6217010076110111 11,0 ⋅−= 6217,0e1007611,0111 11,0 ⋅⋅−⋅

228428≈ 2284,28≈



C llDie Put-Call-Parität

Portefeuille I: Portefeuille II:

AP

Ein Call und eine laufzeit-kongruente Anlage in Höhe des abgezinsten Ausübungspreises

ein Put und eine Aktie, die derOption als Underlying dient

tiPo tefe ille AP +tieXC ⋅−⋅+Portefeuille-wert heute:

Szenario I:ät:

XA >

Szenario II:

AXXA =+− AA0 =+

ei M

aturitä

XA <Szenario II:

XX0 =+ XAAX =+−b

Da beide Portefeuilles in allen möglichen Umweltzuständen die gleichen Rückflüsse versprechen, müssen sie auch gegenwärtig den gleichen Wert haben:

tiE ß lt!


APeXC ti +=⋅+ ⋅−Es muß gelten:


OPut-Optionspreise

Die Bewertungsformel für Puts läßt sich über die Put-Call Parität ableiten:

APeXC ti +=⋅+ ⋅−In die Put-Call Parität

wird die Black/Scholes Bewertungs- tiwird die Black/Scholes Bewertungsgleichung für Calls )d(NVeX)d(NVAC 2

ti1 ⋅⋅−⋅= ⋅−

)d()d( titieingesetzt: APeX)d(NVeX)d(NVA ti2

ti1 +=⋅+⋅⋅−⋅ ⋅−⋅−

)]d(NV1[eX)]d(NV1[AP 2ti

1 −⋅⋅+−⋅−=⇔ ⋅−

eingesetzt:

)d(NVeX)d(NVAP 2ti

1 −⋅⋅+−⋅−==> ⋅−

mit:

t)5,0i(XAln

d

2

1

⋅σ⋅++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= und tdt)5,0i(

XAln

d 1

2

2 ⋅σ−=⋅σ⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=


td1 ⋅σ t 12 ⋅σ


l k & S h l f k fBlack & Scholes Bewertungsfunktion für Puts

PPtieX ⋅−⋅

)d(NVeX)d(NVAP 2ti

1 −⋅⋅+−⋅−= ⋅−

Untergrenze:P = max[ 0 ; Xe-it -A]

AtieX ⋅−⋅

At the MoneyIn the Money Out of the Money


At the MoneyIn the Money Out of the Money


fl f k f OEinflussfaktoren auf Optionspreise

Einfluss auf:uss au

Call Put

Kurs Basiswert steigt Delta ⇑ ⇓

Sensitivität der Optionspreise

Kurs Basiswert steigt

Ausübungspreis

Delta ⇑

⇑⇓

⇓

Wachsende Restlaufzeit

Volatilität

Theta

Vega

⇑ ⇑⇑ ⇑Volatilität

Zins

Vega

Rho

⇑ ⇑⇑ ⇓

Dividende ⇑⇓



G h h blGriechische Variablen

Die Reaktion des Optionspreises auf eine marginale Änderung (ceteris paribus) einerd t F kt läßt i h d h S iti ität k hl d ü k fü dider genannten Faktoren läßt sich durch Sensitivitätskennzahlen ausdrücken, für diesich die Verwendung griechischer Variablen etabliert hat.

Optionsdelta: Das Optionsdelta mißt die Sensitivität des Optionspreises bezüglichp p p p geiner marginalen Änderung des Aktienkurses, d.h. es gibt näherungsweise an, wiesich der Preis der Option ändert, wenn sich der Kurs des Underlying um eine Einheitändert.

)d(NVCCallDelta 1Call =∂

=Δ= 1)d(NVPPutDelta 1Put −=∂

=Δ=)d(NVA

CallDelta 1Call ∂Δ 1)d(NV

APut Delta 1Put ∂

Δ

1PutCall =Δ−ΔEs gilt:



C llCall - Preise

60

50

30

40

Call - Preise

20

30

10

4 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 98 102

106

110

114

118

122

126

130

134

138

142

146

150

0,1

0,21

0,320,43

0

Aktienkurs

Volatilität


50 5 4 5 6 6 Aktiet


G d OGamma und Omega

Optionsgamma: Das Optionsgamma gibt die Sensitivität des Optionsdeltas bezüglichi i l Ä d d Akti keiner marginalen Änderung des Aktienkurses an.

tA)d(VN

AAGammaGamma 1PutCall

PutCallPutCall ⋅σ⋅′

=∂Δ∂

=∂Δ∂

=Γ=Γ==

NV´(d1) stellt dabei den Funktionswert und nicht den Flächeninhalt der Standard-normalverteilungsdiche an der Stelle d1 dar.

Optionsomega: Das Optionsomega bemißt die Elastizität des Optionspreises in bezugauf eine marginale Veränderung des Aktienkurses. Mitunter wird das Omega auchg g gals Leverage Faktor bzw. als Hebel bezeichnet.

CAdNV

AACCOmega CallCall ⋅=

∂∂

=Ω= )(//

1PA

]1)d(NV[A/AP/P

Omega 1PutPut ⋅−=∂∂

=Ω=CAACallCall ∂ / 1

P])([

A/Ag 1PutPut ∂



l C llDelta - Call

0,9

1

0,7

0,8

0,4

0,5

0,6

Call - Delta

6 122 12

8 134 14

0 146

0,1

0,2

0,32 68

74

80

86

92

98 104 11

0 111

2,280,340,

40,46

0Aktienkurs

Volatilität


50

56

62

0,10,160,

2 20,Volatilität


OOptionsgamma

0,045

0,05

0 03

0,035

0,04

0,02

0,025

0,03

Gamma

0,10,17

0,01

0,015

50545862667074788286909498

102061014182260482

0,24

0,310,38

0,45

0

0,005Volatilität


11111111212130

134

138

142

146

150 Aktienkurs


O C llOmega - Call

100

80

90

60

70

40

50 Call - Omega

20

30

50545862667074788286909498026048260

0,10,21

0,32

0,43 0

10

Volatilität


7889991010110

114

118

122

126

130

134

138

142

146

150

Aktienkurs


h d hRho und Theta

Optionsrho: Das Options - Rho drückt die Sensitivität des Optionspreises in bezug f V ä d d i ik l Zi t Di B d t d Zi t auf Veränderungen des risikolosen Zinssatzes aus. Die Bedeutung des Zinssatzes

nimmt mit abnehmender Restlaufzeit immer mehr ab. Bei steigenden Aktienkursen hingegen nimmt die Bedeutung zu, da höhere Aktienkurse höhere Opportunitätskosten bedeuten.pp

)d(NVeXtiC

Rho 2ti

Call ⋅⋅⋅=∂∂

= ⋅− )d(NVeXtiP

Rho 2ti

Put −⋅⋅⋅−=∂∂

= ⋅−

Optionstheta: Das Optionstheta bemisst die Sensitivität des Optionspreises in bezug auf die Veränderung der Restlaufzeit. Folglich kann es als Maß für den Zeitwertverfall interpretiert werden.

)d(NVeiXt2

)d(VNAtC

Theta 2ti1

CallCall ⋅⋅⋅−⋅

σ⋅′⋅−=

∂∂

−=Θ= ⋅−

)d(VNAP ti1 σ⋅′⋅∂)d(NVeiX

t2)d(VNA

tP

Theta 2ti1

PutPut −⋅⋅⋅−⋅

σ⋅⋅=

∂∂

−=Θ= ⋅−



h C llRho - Call

80

70

50

60

30

40Call - Rho

0,610,7310

20

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

100

105

110

15 20 5 0 0 01

0,13

0,25

0,370,49

,

0Restlaufzeit in Jahren


1 11 12 125

130

135

140

145

150

0,01Aktienkurs


h C llTheta - Call

0

-20

0

-40

-80

-60Call - Theta

0,610,73

-100

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

100

105

110

115

20 25 0 5 0 01

0,13

0,25

0,370,49

-120

Aktienkurs

Restlaufzeit


1 1 12 13 135

140

145

150

0,01Aktienkurs


OOptions-Vega

• Options-Vega: Das Options - Vega misst den Einfluss infinitesimal kleiner Ä d d V l tilität f di O ti i Di i kt i h l i h ß Änderungen der Volatilität auf die Optionspreise. Diese wirkt sich gleichermaßen auf Call- und Put - Preise aus.

)d(VNtAVegaVegaPC

1PutCallPutCall ′⋅⋅===∂∂

=∂∂

=υ=υ

⇒ Mit abnehmender Restlaufzeit sinkt der Einfluß veränderter Volatilität auf die Optionspreise. Insofern steht dieser Effekt in diametralem Gegensatz zu dem Einfluss des Options Thetas das mit abnehmende Restla f eit an Bede t ng ge innt

1PutCallPutCall σ∂σ∂

des Options - Thetas, das mit abnehmender Restlaufzeit an Bedeutung gewinnt.



OOptions - Vega

35

30

20

25

15

Optionsvega

0 610,735

10

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

100

05 10 5 0

0,13

0,25

0,370,49

0,61

0Restlaufzeit in Jahren


1 1 1 1 115

120

125

130

135

140

145

150

0,01Aktienkurs


5 10 Delta- und Gammahedging5.10 Delta- und Gammahedging



l d G h d ( )Delta- und Gammahedging (1)

• Sensitivität eines Portfolios gegenüber eines Risikofaktors ist gleich der Summe d S iti ität d B t dt il üb d Ri ik f ktder Sensitivitäten der Bestandteile gegenüber dem Risikofaktor

• Zur Immunisierung des Risikos gilt:

[ ] 0ΔBmΔAnBmAnΔ[ ] 0ΔBmΔAnBmAnΔ =⋅+⋅=⋅+⋅

ΔBΔA

-nm =⇒

• Sensitivität eines Portfolios gegenüber eines Risikofaktors ist gleich der Summe der Sensitivitäten der Bestandteile gegenüber dem Risikofaktor

• Zur Immunisierung des Risikos gilt:u u s e u g des s os g t



l d G h d (2)Delta- und Gammahedging (2)

• Das Portfolio kann ebenso gegen andere Risikofaktoren immunisiert werden ( B d G )(z.B. das Gamma):

– Es sind so viele Hedging-Instrumente notwendig, wie Risiken zu neutralisieren sind

– Das Gamma erfasst die Veränderungsrate des Optionsdeltas

G l l S h ß h k d d l– Gamma-Neutralität impliziert Schutz vor größeren Wertschwankungen des Underlyings

• Konstruktion Gamma-Neutralität:Portfoliobildung aus einer Aktie (S0 = 110) mit einer Standardabweichung von 20% i O ti C1(X 100) 14 08 C2(X 105) 10 53 i ik l 20%, zwei Optionen C1(X=100)=14,08, C2(X=105)=10,53; risikolose Verzinsung 5%, Zeithorizont 6 Monate

• Nach Black/Scholes sind die Delta- bzw. Gammawerte der beiden Optionen b d hgegeben durch:

0,8216100)(XΔC1 ==

0 7178105)(XΔC ==

0,0167100)(XC1 ==Γ

0 0217105)(XC ==Γ0,7178105)(XΔC2 == 0,0217105)(XC2 ==Γ



l d G h d (3)Delta- und Gammahedging (3)

• Die Immunisierung des Portfolios gegen Delta- und Gammaveränderungen f l t d herfolgt durch:

07178,0x8216,0x1x153,10x08,14x110x

321

321

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

• Die Verhältnisse der drei Kontrakte sind gegeben durch:

00217,0x0167,0x0x 321 =⋅+⋅+⋅

• Die Verhältnisse der drei Kontrakte sind gegeben durch:

0426,0x0114,0x

2

1

−==

0329,0x3 =



5.11 Impliziter Informationsgehalt aus Optionen (Momente impliziter Verteilungsfunktionen)



1. Moment: Erwartungswert

f(A)f(A)

AA

E (A)

• Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen

⇒ Future - Kurs als „bester“ Zukunftsschätzer

⇒ Informationsgehalt: Höhe der erwarteten Renditen



22. Moment: Varianz

f(A)

AA

• Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen• Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen

⇒ implizite Volatilität aus empirischen Optionspreisen ermittelbar⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzung über die ⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzung über die

Höhe des Risikos und somit über die Risikoprämie



3 S h f ( h h f / k h f ) Sk “ ( )3. Moment: Schiefe (Rechtsschiefe/Linksschiefe) „Skewness“ (1)

f(A)

AA

• Möglichkeit der Ermittlung aus aktuellen Kursen auf einem unvollkommenen Kapitalmarkt (mangelnde Arbitragemöglichkeiten!)Kapitalmarkt (mangelnde Arbitragemöglichkeiten!)

⇒ Abweichungen der Put - Call - Parität während der Laufzeit

⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzungen zu steigenden oder eher ⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzungen zu steigenden oder eher fallenden Kursen



3 S h f ( h h f / k h f ) Sk “ (2)3. Moment: Schiefe (Rechtsschiefe/Linksschiefe) „Skewness“ (2)

• C + Xe-it > P + A

⇒ Markt rechnet mit eher steigenden Kursen⇒ rechtsschiefe Verteilung

• C + Xe-it < P + A

⇒ Markt rechnet mit eher fallenden Kursen⇒ linksschiefe Verteilung

M k b i llk K it l kt ilt di P t C ll P itätMerke: bei vollkommenem Kapitalmarkt gilt die Put-Call-ParitätUnabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung



d d l / k “4. Moment: Enden der Verteilung „Kurtosis/Leptokurtosis“

f(A)f(A)

AE (A)

• Möglichkeiten der Ermittlung aus aktuellen Kursen:

⇒ Vergleich der impliziten Volatilitäten aus at-the-money⇒ Vergleich der impliziten Volatilitäten aus at the moneyund out-of-the-money Optionen.



l S lBeispiel Stranglew

inn

• A: Strike Price Long Put

Gew

A B

• A: Strike Price Long Put• B: Strike Price Long Call

⇒ unterschiedliche Basispreise,A B

p ,gleiche MaturitätKurs

Ver

lust

• falls:

dann: Markt“ unterstellt dickere Enden als bei Normalverteilung

implizit

moneytheatStrangleDelta

implizit

moneytheofoutStrangleDelta

−−−

−−−− σ>σ

⇒ Informationsgehalt: Markteinschätzung über die Höhe dererwarteten Kursschwankungen

dann: „Markt unterstellt dickere Enden als bei Normalverteilung


erwarteten Kursschwankungen


f h l l l k ( )Informationsgehalt von Volatilitätskurven (1)

Beispiel Volatility-Smile:• Empirische Beobachtung eines Volatility-Smiles läßt auf kurtosische Verteilungsfunktionen schließen.

impliziteVolatilität

at-the-money

AusübungspreisKassakurs



f h l l l k (2)Informationsgehalt von Volatilitätskurven (2)

f(A)( )

implizite Verteilung

log-normal Verteilung

B i d t f th C ll i t di W h h i li hk it B

Bi: BasispreiseB1 B2

⇒ Beim deep-out-of-the-money Call ist die Wahrscheinlichkeit, B2 zu erreichen, größer als bei log-normal Verteilung.⇒ Das höhere Risiko schlägt sich in höheren impliziten Volatilitäten nieder.



S h h l l d ll& h d ll ( )Stochastische Volatilität - das Hull&White Modell (1)

• Aufhebung der Annahme einer konstanten Volatilität

• Einführung der Annahme eines stochastischen Prozesses für die Veränderung der Volatilität im Zeitverlauf (stochastische Volatilität)

• für die Veränderung der Volatilität folgt bei Annahme eines Wiener Prozesses:g g

( ) VdzVdtVbadV αξ+−=

mit: V : Varianza, b, ξ, α : KonstantendzV : Wiener ProzessdzV : Wiener Prozess



S h h l l d ll& h d ll (2)Stochastische Volatilität - das Hull&White Modell (2)

• Unter Berücksichtigung der stochastischen Volatilität ergibt sich ein veränderter t h ti h P d U d l i d P i bild t t llt d stochastischer Prozess des Underlying, der zur Preisbildung unterstellt werden

kann:

SdzVrdtAdA

+=

• Unter Berücksichtigung der stochastischen Volatilität ergibt sich ein veränderter stochastischer Prozess des Underlying, der zur Preisbildung unterstellt werden

A

kann:

( ) ( )∫∞

=0

S&BW&H Vd V g V C C

mit: : durchschnittliche VolatilitätV



5.12 Stochastische Volatilität, Mean Reversion



S h h l l d ll& h d ll (2)Stochastische Volatilität - das Hull&White Modell (2)

• Ergebnisse bei Black&Scholes gegenüber Hull&White:

• Überpreisung von at-the-money Optionen

• Unterpreisung von deep-in-the-money oder deep-out-of-the-money Optionen



( )Mean Reversion (1)

• Empirische Beobachtungen der Tendenz von Marktvariablen (z.B. Strompreise) i l f i ti Mitt l t ( i “) füh b f i di d zu einem langfristigen Mittelwert („mean reversion“) führen zu unbefriedigenden

Ergebnissen von Black&Scholes.

• Für mean-reverting-Variablen gelte:

( ) ttttt dzAdtALdA σ+−α=

mit: At = KassakursLt = langfristiger Gleichgewichtspreist = Beobachtungshorizontα = mean-reverting Koeffizientα = mean reverting Koeffizientσ = Volatilitätdzt = Wiener Prozeß



(2)Mean Reversion (2)

Ergebnisse:

• Optionspreise nach Black&Scholes sind zu hoch, da das Risiko (Abweichung vom langfristigen Gleichgewichtskurs) bei meanreversion geringer ist.

• Da im mean reversion Prozess mit zunehmender Abweichung des Kassakurses vom Gleichgewichtskurs die Wahrscheinlichkeit für einzurückfallen des Kassakurses in Richtung des Gleichgewichtskursesansteigt führt dies dazu daß die für die Restlaufzeit zu unterstellendeansteigt, führt dies dazu, daß die für die Restlaufzeit zu unterstellendeVolatilität geringer ist, als bei der „ursprünglichen“ geometrischenbrownschen Bewegung (bzw. des Wiener Prozesses).

Modifikation der Black&Scholes Preise mittels Berücksichtigung einer• Modifikation der Black&Scholes Preise mittels Berücksichtigung einervariablen Volatilität.


rm i - v - ss 09 [kompatibilitätsmodus] - uni-due.de · pdf file• lintner, john: the...

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