ДОСЛIДЖЕННЯв МАТЕМАТИЦIi МЕХАНIЦI

RESEARCHESin MATHEMATICSand MECHANICS

Том 20. Випуск 2(26).

Volume 20. Issue 2(26).

2015

RM

&M

RM

&M

RM

&M

RM

&M

RM

&M

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИОдеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова

ДОСЛIДЖЕННЯв МАТЕМАТИЦIi МЕХАНIЦI

Науковий журнал

Виходить 2 рази на рiк

Журнал заснований у сiчнi 1997 р.

Том 20. Випуск 2(26). 2015

Одеса«Астропринт»2015

Засновник: Одеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова

Редакцiйна колегiя журналу

В. М. Євтухов (головний редактор)М. О. Перестюк (заступник головного редактора)

A. AlifovА. АshyralyevK. BelkacemBui Minh PhongL. FridmanI. KátaiA. LaurinčikasС. К. АслановВ. I. БерникО. А. БойчукН. Д. ВайсфельдП. Д. ВарбанецьО. В. ВербицькийО. Н. ВiтюкГ. О. ВоропаєвI. М. ГашененкоД. В. ДмитришинА. А. ДороговцевЯ. О. ЖукВ. Й. Жуковський

М. I. IванчовА. Й. КалiнiнВ. О. КапустянО. В. КапустянI. Т. КiгурадзеО. Д. КiчмаренкоП. I. КогутАн. О.КореновськийО. Ф. КривийВ. Г. КротовВ. Є. КругловВ. В. ЛободаС. I. МаксименкоВ. В. МихаськiвА. Д. МiлкаС. М. МхитарянО. Г. НаконечнийЮ. В. НестеренкоА. П. ПетравчукВ. В. Пiчкур

А. В. ПлотнiковВ. Г. ПоповВ. В. РеутО. Г. СавченкоВ. Г. СамойленкоН. В. СкрипникО. М. СтанжицькийЕ. Ю. СтороженкоВ. I. СущанськийЮ. В. ТеплiнськийР. С. ХапкоI. М. ЧеревкоФ. Л. ЧєрноуськоВ. В. ШаркоI. О. ШевчукГ. А. ШинкаренкоС. А. ЩоголєвА. I. Яцько

Вiдповiдальний редактор — О. П. Огуленко

До 2015 року (Т. 20, вип. 2(26)) журнал виходив пiдназвою «Вiсник Одеського нацiонального унiверситету.Математика i механiка».

Свiдоцтво про державну реєстрацiю друкованого засобумасової iнформацiї серiя КВ № 21400—11200ПР вiд17 червня 2015 р.

© Одеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова, 2015

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF UKRAINEOdesa I. I. Mechnikov National University

RESEARCHESin MATHEMATICSand MECHANICS

Scientific journal

Published twice a year

Journal founded in January, 1997

Volume 20. Issue 2(26). 2015

Odesa«Astroprint»2015

Founder: Odesa I. I. Mechnikov National University

Editorial board of the journal

V. M. Evtukhov (Editor-in-chief)M. O. Perestyuk (Deputy Editor-in-chief)

A. AlifovA. AshyralyevS. K. AslanovK. BelkacemV. I. BernikO. A. BoichukBui Minh PhongI. M. CherevkoF. L. ChernouskoD. V. DmitrishinA. A. DorogovtsevL. FridmanI. M. GashenenkoR. S. HapkoM. I. IvanchovI. KátaiA. I. KalininV. O. KapustyanO. V. KapustyanO. D. Kichmarenko

I. T. KiguradzeP. I. KogutAn. O.KorenovskyiV. KrotovV. Ye. KruglovO. F. KryvyiA. LaurinčikasV. V. LobodaS. I. MaksymenkoA. D. MilkaS. M. MkhitaryanV. V. MykhaskivO. G. NakonechnyYu. V. NesterenkoA. P. PetravchukV. V. PichkurA. V. PlotnikovV. G. PopovV. V. ReutV. G. Samoilenko

O. G. SavchenkoV. V. SharkoS. A. ShchogolevI. A. ShevchukG. A. ShynkarenkoN. V. SkripnikO. M. StanzhytskyiE. O. StorozhenkoW. I. SushchanskyYu. V. TeplinskyiP. D. VarbanetsN. D. VaysfeldO. V. VerbitskyO. N. VitjukG. O. VoropaevA. YatskoYa. O. ZhukV. I. Zhukovsky

Executive Editor — O. P. Ogulenko

Until year 2015 (Vol. 20, Is. 2(26)) the journal was publishedunder the name «Visnyk Odeskoho Natsionalnoho Univeristetu.Matematyka i Mekhanika».

The certificate of mass media state registration underthe number № 21400—11200ПР issued on June 17, 2015.

© Odesa I. I. Mechnikov National University, 2015

Дослiдження в математицi i механiцi. – 2015. – Т. 20, вип. 2(26)

ЗМIСТ

Дудик М. В. Вплив пластичної зони бiля вершини мiжфазноїтрiщини на контакт її берегiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Кореновский А. А., Врублевская К. С. Об одном свойстве самоулуч-шения показателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Плахтiєнко М. П. , Забуга А. Г. Нелiнiйна модель фрикцiйно-ударної взаємодiї твердого тiла з твердою шорсткою площиною . 26

Стороженко Э. А., Коваленко Л. Г. Неравенство типа Бернштейнадля дробно–логарифмических производных полиномов в 𝐿0 . . . 43

Черникова А. Г. Асимптотика быстро изменяющихся решенийдифференциальных уравнений второго порядка с быстро меня-ющейся нелинейностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

De Koninck J.-M., Kátai I. Prime factorization and normal numbers 69

Shchogolev S. A. On the existence of an integral manifold of a specialtype of a some nonlinear differential system . . . . . . . . . . . . . . 81

Zhuravlyova Z. Yu. On a stress–state of an elastic semi–strip undermechanical and thermal stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Х Р О Н I К А

Асланов С. К., Косой М. Б. О кафедре теоретической механикиОдесского университета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Researches in Mathematics and Mechanics. – 2015. – V. 20, Is. 2(26)

CONTENTS

Dudyk M. V. Influence of plastic zone near the tip of interfacial crackon the contact of its lips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Korenovskyi A., Vrublevska K. On the one self-improving property ofexponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Plakhtienko M. P. , Zabuga A. G. Nonlinear model of frictional im-pact of rigid body with rigid rough plane . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Storozhenko E. A., Kovalenko L. G. A Bernstein type inequality forfractional logarithmic derivatives of polynomials in 𝐿0 . . . . . . . . 43

Chernikova A. G. Asymptotic of rapid varying solutions of differentialequations of the second order with rapid varying nonlinearities . . . 52

De Koninck J.-M., Kátai I. Prime factorization and normal numbers 69

Shchogolev S. A. On the existence of an integral manifold of a specialtype of a some nonlinear differential system . . . . . . . . . . . . . . 81

Zhuravlyova Z. Yu. On a stress–state of an elastic semi–strip undermechanical and thermal stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

C H R O N I C L E

Aslanov S. K., Kosoy M. B. About Department of Mechanics ofOdesa University . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Дослiдження в математицi i механiцi.– 2015.–Т.20, вип.2(26).– С. 7–19

УДК 539.375

М. В. ДудикУманський державний педагогiчний унiверситет iменi Павла Тичини

ВПЛИВ ПЛАСТИЧНОЇ ЗОНИ БIЛЯ ВЕРШИНИ МIЖФАЗНОЇТРIЩИНИ НА КОНТАКТ ЇЇ БЕРЕГIВ

Автор висловлює глибоку вдячнiсть проф. Л. А. Кiпнiсу за цiннi поради iзауваження по статтi.

В умовах плоскої деформацiї методом Вiнера-Хопфа виконано розрахунок маломас-штабної контактної зони бiля вершини мiжфазної трiщини за умови утворення в її околiбiчної пластичної зони. В областi контакту припускається сухе тертя берегiв за закономКулона. Визначено розмiри контактної зони, знайдено вираз для контактного напру-ження та рiвняння для розрахунку показника сингулярностi напружень. Дослiдженовплив навантаження, коефiцiєнта тертя i пружних характеристик з’єднаних матерiа-лiв на розмiри контактної зони. Показано, що при наявностi пластичної зони довжинаконтактної зони стає залежною вiд конфiгурацiї, але й вiд величини зовнiшнього на-вантаження.MSC: 74B20, 74C05, 74G70.Ключовi слова: мiжфазна трiщина, пластична зона, контакт берегiв.

Вступ. Згiдно з сучасними теоретичними уявленнями, що базуються намоделi М. Комнiноу [1], бiля вершин мiжфазних трiщин має мiсце контакт бере-гiв. Як показали численнi дослiдження [2-6], розмiри областi контакту суттєвозалежать вiд конфiгурацiї зовнiшнього навантаження, але при заданiй конфiгу-рацiї не залежать вiд його модуля. Врахування контактної зони усуває прита-манну класичнiй моделi вiдкритої трiщини осцилюючу особливiсть напружень[7-9], зберiгаючи концентрацiю напружень степеневого характеру. У пластично-му матерiалi це призводить до утворення бiля вершини трiщини пластичної зони,яка в свою чергу змiнює напружено-деформований стан в околi вершини, здiй-снюючи тим самим зворотний вплив на параметри контактної зони. Зi збiльшен-ням навантаження розмiри пластичної зони можуть значно перевищити розмiриобластi контакту берегiв трiщини. Метою роботи є розрахунок параметрiв ма-ломасштабної контактної зони на даному етапi та дослiдження їх залежностi вiдзовнiшнього навантаження. Пластична зона у вiдповiдностi з гiпотезою локалiза-цiї [10] моделюється бiчною лiнiєю розриву дотичного перемiщення, що виходитьз вершини трiщини у пластичний матерiал пiд певним кутом до плоскої межiподiлу матерiалiв, який визначається згiдно з [11] незалежно вiд наступного роз-рахунку контактної зони.

Основнi результатиПостановка задачi. В умовах плоскої деформацiї розглядається задача про

розрахунок областi фрикцiйного контакту берегiв мiжфазної трiщини, яка ле-жить на прямолiнiйнiй межi подiлу двох однорiдних iзотропних матерiалiв змодулями Юнґа 𝐸1, 𝐸2 i коефiцiєнтами Пуассона 𝜈1, 𝜈2. Контактна зона моде-люється розрiзом, береги якого взаємодiють за законом сухого тертя Кулона. На

Надiйшла 22.06.2015 © Дудик М. В., 2015

8 Дудик М. В.

розрiзi передбачається стискувальне нормальне напруження i допускається стри-бок лише дотичної складової перемiщення. Довжина контактної зони i контактненапруження визначаються в ходi розв’язання задачi.

Через концентрацiю напружень у пластичному матерiалi з пружними ста-лими 𝐸1, 𝜈1 бiля вершини трiщини утворюється вузька бiчна пластична зона. Увiдповiдностi з моделлю Леонова-Панасюка-Дагдейла [10] пластичну зону подамопрямою лiнiєю розриву дотичного перемiщення, що виходить з вершини трiщинипiд кутом 𝛼 до межi подiлу матерiалiв. На лiнiї розриву дотичне напруженнядорiвнює межi текучостi матерiалу 𝜏1.

Рис. 1. Постановка задачi.

У данiй роботi дослiджується випадок, коли довжина контактної зони 𝑠 зна-чно менше як довжини трiщини 𝐿, так i довжини пластичної зони 𝑙 та всiх iншихсуттєвих розмiрiв тiла. Це дозволяє розглядати тiло як кусково-однорiдну пло-щину з пiвнескiнченним розрiзом на межi подiлу, частина берегiв якого, прилегладо вершини, перебуває у контактi з тертям, а з вершини виходить пiвнескiнчен-на лiнiя розриву (рис. 1). На нескiнченностi реалiзується асимптотика, яка єрозв’язком аналогiчної задачi без контактної зони [11]. В результатi приходимодо статичної задачi теорiї пружностi з крайовими умовами:

𝜃 = 0, < 𝜎𝜃 >=< 𝜏𝑟𝜃 >= 0, < 𝑢𝜃 >=< 𝑢𝑟 >= 0;

𝜃 = 𝛼, < 𝜎𝜃 >=< 𝜏𝑟𝜃 >= 0, < 𝑢𝜃 >= 0; 𝜃 = 𝛼, 𝜏𝑟𝜃 = 𝜏1; (1)

𝜃 = ±𝜋, 𝑟 > 𝑠, 𝜎𝜃 = 𝜏𝑟𝜃 = 0;

𝜃 = ±𝜋, 𝑟 < 𝑠, = 0, 𝜏𝑟𝜃 = −𝜇𝜎𝜃, < 𝑢𝜃 >= 0; (2)

𝜃 = ±𝜋, 𝑟 → ∞,⟨𝜕𝑢𝜃𝜕𝑟

⟩∼ −4(1− 𝜈

21)

𝐸1𝜏1∑︁𝑖

𝐶𝑖𝑟𝜆𝑖 ; (3)

< 𝑓 > – стрибок величини f ; 𝜇 – коефiцiєнт тертя мiж берегами трiщини; 𝐶𝑖-сталi, якi визначенi з розв’язку задачi [11]:

𝐶𝑖 =4 sin𝜆𝑖𝜋

𝐷′1(−1− 𝜆𝑖)(1 + 𝜆𝑖)𝑢(−1− 𝜆𝑖)𝐺+(−1− 𝜆𝑖)

𝜆𝑖𝑙𝜆𝑖𝐾+(−1− 𝜆𝑖)𝜏1×

×𝑅𝑒[︂1− 2𝑖𝜔1 + 2𝑖𝜔

𝐹 (𝛼)𝑙−0.5+𝑖𝜔

1− 2𝑖𝜔 + 2𝜆𝑖𝐾+(−0, 5− 𝑖𝜔)𝐺+(−0, 5− 𝑖𝜔)

]︂,

𝑢(𝑝) = (1 + 𝜅1)2 sin(𝑝(𝜋 − 𝛼)− 𝛼) + 2(1− 𝑒)2𝑢1(𝑝) + 2(1 + 𝜅1)(1− 𝑒)𝑢2(𝑝)+

+𝑒(1 + 𝜅2)[𝑒(1 + 𝜅2)𝑢3(𝑝) + 2(1 + 𝜅1)𝑢4(𝑝) + 2(1− 𝑒)𝑢5(𝑝)],

Вплив пластичної зони на контакт берегiв мiжфазної трiщини 9

𝑢1(𝑝) = 2(𝑝− 1) sin𝛼 sin 𝑝𝛼 sin 𝑝𝜋,

𝑢2(𝑝) = 𝑝 sin𝛼 cos 𝑝(𝜋 + 𝛼)− cos𝛼 sin 𝑝(𝜋 − 𝛼) + 2 sin𝛼 sin 𝑝𝛼 sin 𝑝𝜋,

𝑢3(𝑝) = 2𝑝 sin𝛼 cos 𝑝(𝜋 − 𝛼)− sin(𝑝(𝜋 − 𝛼) + 𝛼),

𝑢4(𝑝) = (𝑝− 1) sin𝛼 cos 𝑝(𝜋 + 𝛼),

𝑢5(𝑝) = 𝑢1(𝑝) + 𝑝 sin𝛼 cos 𝑝(𝜋 − 𝛼)− cos𝛼 sin 𝑝(𝜋 − 𝛼);

𝐺+(𝑝) = exp

[︂1

2𝜋𝑖

ˆ +𝑖∞−𝑖∞

ln𝐺(𝑧)

𝑧 − 𝑝𝑑𝑧

]︂(𝑅𝑒𝑝 < 0), 𝐺(𝑝) = − 𝐷1(𝑝) cos 𝑝𝜋

𝐷0(𝑝) sin2 𝑝𝜋

;

𝐷0(𝑝) = (𝑒+ 𝜅1)2 + (1 + 𝑒𝜅2)

2 + 2(𝑒+ 𝜅1)(1 + 𝑒𝜅2) cos 2𝑝𝜋;

𝐷1(𝑝) = (1 + 𝑒𝜅2)2Δ1(𝑝) + 2(1− 𝑒)(1 + 𝑒𝜅2)Δ2(𝑝) + 2(𝑒+ 𝜅1)(1 + 𝑒𝜅2)Δ3(𝑝)+

+ 2(1− 𝑒)(𝑒+ 𝜅1)Δ4(𝑝) + (𝑒+ 𝜅1)Δ5(𝑝),

Δ1(𝑝) = 𝑝 sin 2𝛼 sin 𝑝(𝜋 − 2𝛼)− 2𝑝2 sin2 𝛼 cos 𝑝(𝜋 − 2𝛼) + 2 sin 𝑝𝛼 sin 𝑝(𝜋 − 𝛼),

Δ2(𝑝) = 𝑝2 sin2 𝛼 cos 𝑝(3𝜋 − 2𝛼)− 𝑝 sin 2𝛼 cos 𝑝(2𝜋 − 𝛼) sin 𝑝(𝜋 − 𝛼)+

+ cos 𝑝𝜋 sin2 𝑝(𝜋 − 𝛼),

Δ3(𝑝) = −𝑝2 sin2 𝛼 cos 𝑝(𝜋 + 2𝛼)− 𝑝 sin 2𝛼 sin 𝑝𝛼 cos 𝑝(𝜋 + 𝛼)+

+ sin 𝑝(𝜋 − 𝛼)[sin 𝑝(2𝜋 + 𝛼)− sin 𝑝𝜋 cos 𝑝(𝜋 − 𝛼)],

Δ4(𝑝) = 𝑝2 sin2 𝛼 cos 𝑝(𝜋 − 2𝛼)− 𝑝 sin 2𝛼 cos 𝑝𝛼 sin 𝑝(𝜋 − 𝛼) + cos 𝑝𝜋 sin2 𝑝(𝜋 − 𝛼),

Δ5(𝑝) = sin 𝑝𝜋[sin 2𝑝(𝜋 − 𝛼)− 𝑝 sin 2𝛼];

𝐾+(𝑝) =Γ(1− 𝑝)

Γ (0, 5− 𝑝);

𝐹 (𝛼) = −𝑖𝑒′𝐾𝐿−𝑖𝜔𝐹1(𝛼), 𝑒′ =√︀(𝑒+ 𝜅1)(1 + 𝑒𝜅2)

2√2𝜋[(𝑒+ 𝜅1)2 − (1 + 𝑒𝜅2)2]

,

𝐹1(𝛼) = [𝑎1 cos(𝜆+ 2)𝛼+ 𝑎2𝜆 cos𝜆𝛼− 𝑎3 sin(𝜆+ 2)𝛼− 𝑎4𝜆 sin𝜆𝛼]𝜆=−0,5+𝑖𝜔 ,

𝑎1 =𝑒+ 𝜅1

2− 1− 𝑒𝜅2 +

[︂𝑒+ 𝜅1 −

1 + 𝑒𝜅22

]︂𝑐ℎ2𝜋𝜔 + 𝑖𝜔 [𝑒+ 𝜅1 − (1 + 𝑒𝜅2)𝑐ℎ2𝜋𝜔] ,

𝑎2 = (1 + 𝑒𝜅2)𝑐ℎ2𝜋𝜔 − 𝑒− 𝜅1,

𝑎3 = −𝜔(1 + 𝑒𝜅2)𝑠ℎ2𝜋𝜔 − 𝑖[︂𝑒+ 𝜅1 −

1 + 𝑒𝜅22

]︂𝑠ℎ2𝜋𝜔, 𝑎4 = −𝑖(1 + 𝑒𝜅2)𝑠ℎ2𝜋𝜔,

𝜔 =1

2𝜋ln

1− 𝛽1 + 𝛽

, 𝛽 =(1 + 𝑒𝜅2)− (𝑒+ 𝜅1)(1 + 𝑒𝜅2) + (𝑒+ 𝜅1)

,

𝑒 =1 + 𝜈21 + 𝜈1

𝐸1𝐸2

, (𝐸1 < 𝐸2), 𝜅1(2) = 3− 4𝜈1(2),

𝐾 = 𝐾1 + 𝑖𝐾2 — комплексний коефiцiєнт iнтенсивностi напружень, що характе-ризує величину i конфiгурацiю зовнiшнього навантаження [9, 12] i вважається за-даним за умовою задачi; 𝐷′1(𝑝) = 𝜕𝐷1(𝑝)/𝜕𝑝; 𝜆𝑖 - коренi рiвняння 𝐷1(−1−𝑥) = 0

10 Дудик М. В.

зi смуги −1 < 𝑅𝑒𝑥 < 0, яких за числовими розрахунками згiдно [11] виявляє-ться два i вони є дiйсними; Γ(𝑧) - гамма-функцiя. На коефiцiєнт iнтенсивностi𝐾 накладається вимога стискувального характеру нормального напруження наберегах трiщини (𝜎𝜃(𝑟,±𝜋) < 0 при 𝑟 < 𝑠) пiсля утворення пластичної зони, яканеобхiдна для контакту берегiв.

Згiдно з загальними положеннями про поведiнку напружень i перемiщеньбiля концентраторiв [13, 14] в кiнцi контактної зони мають мiсце сингулярностiвиду

𝜎𝜃(𝑟,±𝜋)∼𝑀1(𝑠− 𝑟)−1−𝜆 (𝑟 → 𝑠− 0),

𝐸14(1− 𝜈21)

⟨𝜕𝑢𝜃𝜕𝑟

⟩ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒𝜃 = ±𝜋

∼ 𝑀2(𝑟 − 𝑠)−1−𝜆 (𝑟 → 𝑠+ 0), (4)

де 𝑀1, 𝑀2 - деякi сталi, 𝜆 = −𝜋−1𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜇𝛽)−1.Розв’язок сформульованої крайової задачi шукаємо у виглядi суми розв’язкiв

наступних двох задач. Перша задача вiдрiзняється вiд початкової тим, що замiстьостаннiх умов в (1) i (2) використовуємо умови

𝜃 = 𝛼, 𝜏𝑟𝜃= 0; 𝜃 = ±𝜋, 𝑟 < 𝑠,⟨𝜕𝑢𝜃𝜕𝑟

⟩∼ 4(1− 𝜈

21)

𝐸1

∑︁𝑖

𝐶𝑖𝑟𝜆𝑖 . (5)

Друга задача — аналогiчна задача без контактної зони, розв’язок якої вiдомий[11], тому достатньо знайти розв’язок першої задачi.

Розв’язання задачi методом Вiнера – Хопфа. Застосувавши до рiв-нянь рiвноваги, умови сумiсностi деформацiй, закону Гука i граничних умов (1)iнтегральне перетворення Меллiна [15] i використовуючи умови (2) i (5), при-ходимо до функцiонального рiвняння Вiнера – Хопфа першої задачi у смузi−𝜀1 < 𝑅𝑒𝑝 < 𝜀2 (𝜀1, 𝜀2 – достатньо малi додатнi числа):

Φ+(𝑝) +∑︁𝑖

𝐶𝑖𝜏1𝑠𝜆𝑖

𝑝+ 1 + 𝜆𝑖=

(𝑒+ 𝜅1) + (1 + 𝑒𝜅2)

2(1 + 𝜅1)(𝑐𝑡𝑔𝑝𝜋 − 𝜇𝛽)𝐺1(𝑝)Φ−(𝑝), (6)

Φ+(𝑝) =𝐸1

4(1− 𝜈21)

ˆ ∞1

⟨𝜕𝑢𝜃𝜕𝑟

⟩ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 𝑟 = 𝜌𝑠𝜃 = ±𝜋

𝜌𝑝𝑑𝜌, Φ−(𝑝) =

ˆ 10

𝜎𝜃(𝜌𝑠, 𝜋)𝜌𝑝𝑑𝜌,

𝐺1(𝑝) =−2 sin 𝑝𝜋𝐷(𝑝)

[(𝑒+ 𝜅1) + (1 + 𝑒𝜅2)](𝑐𝑡𝑔𝑝𝜋 − 𝜇𝛽)𝐷1(𝑝), 𝐷(𝑝) = �̄�(𝑝) + 𝜇�̃�(𝑝),

�̄�(𝑝) = (1+ 𝜅1)[𝑒2(1 + 𝜅2)

2Δ̄1(𝑝)− 𝑒(1 + 𝜅2)(1 + 𝜅1)Δ̄2(𝑝)− 2(1− 𝑒)(1 + 𝜅1)Δ̄3(𝑝)+

+(1 + 𝜅1)2Δ̄4(𝑝) + 2(1− 𝑒)2Δ̄5(𝑝)]+

+𝑒(1 + 𝜅2)(1− 𝑒)[2(1 + 𝑒𝜅2) cos 𝑝𝜋Δ̄6(𝑝) + (1 + 𝜅1)Δ̄7(𝑝)],

Δ̄1(𝑝) = 4𝑝2 sin2 𝛼 sin2 𝑝𝛼− 𝑝 sin 2𝛼 sin 2𝑝𝛼+

+sin 𝑝(𝜋 − 𝛼)[sin 𝑝(𝜋 + 𝛼) + 2 sin 𝑝𝛼 cos 𝑝𝜋 − sin2 𝛼],

Δ̄2(𝑝) = 𝑝 sin 2𝛼 sin 2𝑝𝛼− cos 2𝛼 cos 2𝑝𝛼+ cos 2𝑝𝜋,

Вплив пластичної зони на контакт берегiв мiжфазної трiщини 11

Δ̄3(𝑝) = sin 𝑝𝛼[𝑝 sin 2𝛼 cos 𝑝𝛼− sin 𝑝(2𝜋 − 𝛼) + sin 𝑝𝛼 cos 2𝛼],

Δ̄4(𝑝) = sin2 𝑝(𝜋 − 𝛼)− sin2 𝛼,

Δ̄5(𝑝) = 2𝑝2 sin2 𝛼 cos2 𝑝(𝜋 − 𝛼)− 𝑝 sin 2𝛼 cos 𝑝𝜋 sin 𝑝(𝜋 − 2𝛼)+

+2 sin 𝑝𝛼[sin 𝑝𝛼 cos2 𝛼− sin 𝑝𝜋 cos 𝑝(𝜋 − 𝛼)],

Δ̄6(𝑝) = 2𝑝2 sin2 𝛼 cos 𝑝(𝜋 − 2𝛼)− 𝑝 sin 2𝛼 sin 𝑝(𝜋 − 2𝛼)− 2 sin 𝑝(𝜋 − 𝛼) sin 𝑝𝛼,

Δ̄7(𝑝) = 4𝑝2 sin2 𝛼 cos2 𝑝(𝜋 − 𝛼)− 𝑝 sin 2𝛼 sin 2𝑝(𝜋 − 𝛼) + 4(𝑝2 − 1) sin2 𝛼 sin2 𝑝𝛼;

�̃�(𝑝) = (1 + 𝜅1)[2𝑒(1 + 𝜅2)(1− 𝑒)Δ̃1(𝑝)− (1 + 𝜅1)(1− 𝑒)Δ̃2(𝑝) + (1 + 𝜅1)2Δ̃3(𝑝)+

+𝑒2(1 + 𝜅2)2Δ̃4(𝑝) + 2(1− 𝑒)2Δ̃5(𝑝)− 𝑒(1 + 𝜅2)(1 + 𝜅1)Δ̃6(𝑝)]+

−2(1− 𝑒) sin 𝑝𝜋[𝑒2(1 + 𝜅2)2 + 2(1− 𝑒)2 + 3(1− 𝑒)(1 + 𝜅1)]Δ̄6(𝑝),

Δ̃1(𝑝) = 𝑝2 sin2 𝛼[sin 2𝑝(𝜋 − 𝛼) + 3 sin 2𝑝𝛼] + 𝑝 sin𝛼{2 cos𝛼[2 sin2 𝑝𝛼−

− sin2 𝑝(𝜋 − 𝛼)]− cos(2𝑝+ 1)𝛼}+ sin 𝑝(𝜋 − 𝛼)(cos 𝑝(𝜋 + 𝛼)− 6 sin 𝑝𝜋 sin 𝑝𝛼)+

+ sin 2𝛼 sin2 𝑝𝛼,

Δ̃2(𝑝) = 𝑝[sin 2𝛼+ 2 sin2 𝛼 sin 2𝑝𝛼]− 2{sin 𝑝(𝜋 − 𝛼)[cos 𝑝(𝜋 − 𝛼) + 2 sin 𝑝𝜋 sin 𝑝𝛼]−

− sin 2𝛼 sin2 𝑝𝛼},

Δ̃3(𝑝) = 0, 5[sin 2𝛼− sin 2𝑝(𝜋 − 𝛼)],

Δ̃4(𝑝) = 2𝑝2 sin2 𝛼 sin 2𝑝𝛼− 𝑝 sin 2𝛼 cos 2𝑝𝛼− 0, 5[sin 2𝑝(𝜋 − 𝛼)− sin 2𝛼+ 2 sin 2𝑝𝛼−

−2 sin 2𝑝𝜋],

Δ̃5(𝑝) = 𝑝2 sin2 𝛼[sin 2𝑝(𝜋 − 𝛼) + 2 sin 2𝑝𝛼] + 𝑝{sin 2𝛼[2 sin2 𝑝𝛼− sin2 𝑝(𝜋 − 𝛼)]+

+ sin2 𝛼 sin 2𝑝𝛼}+ sin 𝑝𝛼[sin 2𝛼 sin 𝑝𝛼− 6 sin 𝑝𝜋 sin 𝑝(𝜋 − 𝛼)],

Δ̃6(𝑝) = 𝑝[2 sin2 𝛼 sin 2𝑝𝛼+ sin 2𝛼]− sin 2𝛼 cos 2𝑝𝛼− 4 sin 𝑝𝜋 sin 𝑝𝛼 sin 𝑝(𝜋 − 𝛼),

При виконаннi умови 𝐺1(0) > 0 функцiя 𝐺1(𝑖𝑡) має додатну парну дiйснута непарну уявну частини, якi при 𝑡 → ±∞ прямують до 1 i 0 вiдповiдно. Тодiiндекс функцiї 𝐺1(𝑝) по уявнiй осi дорiвнює нулю i можлива її факторизацiї заформулою [16]:

𝐺1(𝑝) =𝐺+1 (𝑝)

𝐺−1 (𝑝)(𝑅𝑒𝑝 = 0), exp

[︂1

2𝜋𝑖

ˆ +𝑖∞−𝑖∞

ln𝐺1(𝑧)

𝑧 − 𝑝𝑑𝑧

]︂=

{︂𝐺+1 (𝑝), 𝑅𝑒𝑝 < 0,𝐺−1 (𝑝), 𝑅𝑒𝑝 > 0.

З властивостей гамма-функцiї [17] отримаємо також подання

𝑐𝑡𝑔𝑝𝜋 − 𝜇𝛽 =√︀1 + 𝜇2𝛽2

𝑝𝑄+(𝑝)𝑄−(𝑝), 𝑄+(𝑝) =

Γ(1− 𝑝)Γ(−𝜆− 𝑝)

, 𝑄−(𝑝) =Γ(1 + 𝑝)

Γ(1 + 𝜆+ 𝑝),

де 𝑄+(𝑝) аналiтична i не має нулiв у пiвплощинi 𝑅𝑒𝑝 < −𝜆, а 𝑄−(𝑝) - у пiвплощинi𝑅𝑒𝑝 > −1−𝜆. Використовуючи вищенаведенi факторизацiї, перепишемо рiвняння(6) у виглядi

Φ+(𝑝)

𝑄+(𝑝)𝐺+1 (𝑝)+∑︁𝑖

𝐶𝑖𝜏1𝑠𝜆𝑖

𝑝+ 1 + 𝜆𝑖

[︂1

𝑄+(𝑝)𝐺+1 (𝑝)− 1𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖)

]︂=

12 Дудик М. В.

= 𝐵𝑄−(𝑝)Φ−(𝑝)

𝑝𝐺−1 (𝑝)+∑︁𝑖

𝐶𝑖𝜏1𝑠𝜆𝑖

(𝑝+ 1 + 𝜆𝑖)𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖)(𝑅𝑒𝑝 = 0), (7)

𝐵 =(𝑒+ 𝜅1) + (1 + 𝑒𝜅2)

2(1 + 𝜅1)

√︀1 + 𝜇2𝛽2.

Лiва частина рiвняння (7) є аналiтичною функцiєю у пiвплощинi 𝑅𝑒𝑝 < 0, аправа - у пiвплощинi 𝑅𝑒𝑝 > 0. Тодi вiдповiдно до принципу аналiтичного продов-ження повинна iснувати єдина функцiя, яка є аналiтичною у всiй комплекснiйплощинi i дорiвнює лiвiй i правiй частинам цього рiвняння у вiдповiдних пiв-площинах. Для її знаходження дослiдимо асимптотичну поведiнку функцiй, щовходять в рiвняння (7), в околi нескiнченно вiддаленої точки. Застосувавши доасимптотик (4) теорему абелева типу [18], знаходимо

Φ−(𝑝)∼𝑀1Γ(−𝜆)𝑠−1−𝜆𝑝𝜆, Φ+(𝑝)∼𝑀2Γ(−𝜆)𝑠−1−𝜆(−𝑝)𝜆 (𝑝→ ∞). (8)

Формула Стiрлiнга [17] приводить при 𝑝 → ∞ до асимптотик 𝑄+(𝑝)∼(−𝑝)1+𝜆i 𝑄−(𝑝)∼𝑝−𝜆. З визначення 𝐺±1 (𝑝) також випливає, що 𝐺

±1 (∞) = 1. Враховую-

чи знайденi вище асимптотики у рiвняннi (7), отримаємо, що його лiва i правачастини на нескiнченностi прямують до нуля, тому за теоремою Лiувiля єдинааналiтична функцiя тотожно дорiвнює нулю у всiй комплекснiй площинi. Прирiв-нюючи обидвi частини рiвняння (7) до нуля, отримаємо його точний розв’язок:

Φ+(𝑝) = −∑︁𝑖

𝐶𝑖𝜏1𝑠𝜆𝑖

𝑝+ 1 + 𝜆𝑖

[︂1− 𝑄

+(𝑝)𝐺+1 (𝑝)

𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖)

]︂(𝑅𝑒𝑝 < 0),

Φ−(𝑝) = 𝜏1𝑝𝐺−1 (𝑝)

𝐵𝑄−(𝑝)

∑︁𝑖

𝐶𝑖𝑠𝜆𝑖

(𝑝+ 1 + 𝜆𝑖)𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖)(𝑅𝑒𝑝 > 0). (9)

Розрахунок параметрiв контактної зони. З (9) випливає асимптотика

Φ−(𝑝) ∼ 𝜏1𝑝𝜆

𝐵 exp(𝜆)

∑︁𝑖

𝐶𝑖𝑠𝜆𝑖

𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖). (𝑝→ ∞).

Порiвнюючи цей вираз з (8), отримаємо

𝑀1 =𝜏1𝑠

1+𝜆

𝐵 exp(𝜆)Γ(−𝜆)∑︁𝑖

𝐶𝑖𝑠𝜆𝑖

𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖).

Оскiльки в кiнцi контактної зони нормальне напруження дорiвнює нулю (тобто𝜎𝜃(𝑠,±𝜋) = 0) i концентрацiя напружень вiдсутня, повинна виконуватись умова𝑀1 = 0, з якої випливає рiвняння для визначення довжини зони:∑︁

𝑖

𝐶𝑖𝑠𝜆𝑖

𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖)= 0. (10)

Отриманий вище розв’язок (9) рiвняння Вiнера-Хопфа (6) дозволяє знайтитрансформанти напружень, застосувавши до яких зворотне перетворення Меллi-на, за допомогою теореми про лишки прийдемо до компонент тензора напружень

Вплив пластичної зони на контакт берегiв мiжфазної трiщини 13

бiля вершини трiщини в матерiалах з’єднання у виглядi розвинень за степеня-ми 𝑟:

𝜎𝑚𝑛 (𝑟, 𝜃) = 𝜎0𝑚𝑛(𝜃) +

∑︁𝑘

𝑔𝑚𝑛(𝜃, 𝜆′𝑘)𝑟

𝜆′𝑘 (𝑟 → 0),

де 𝜎0𝑚𝑛(𝜃), 𝑔𝑚𝑛(𝜃, 𝜆′𝑘) – вiдомi функцiї, 𝜆′𝑘 — коренi рiвняння

𝐷 (−1− 𝑥) = 0, (11)

що задовольняють умову 𝑅𝑒𝜆′𝑘 > −1. Зокрема, контактне напруження на берегахтрiщини дорiвнює

𝜎𝜃(𝑟, 𝜋) = −∑︁𝑘

(1 + 𝜅1)𝜏1𝐷1(−1− 𝜆′𝑘)sin𝜆′𝑘𝜋 ·𝐷′(−1− 𝜆′𝑘)

𝑄+(−1− 𝜆′𝑘)𝐺+1 (−1− 𝜆′𝑘)×

×∑︁𝑖

𝐶𝑖𝑠𝜆𝑖

𝑄+(−1− 𝜆𝑖)𝐺+1 (−1− 𝜆𝑖)

(︁𝑟𝑠

)︁𝜆′𝑘(𝑟 6 𝑠);𝐷′(𝑝) = 𝜕𝐷(𝑝)/𝜕𝑝. (12)

Аналiз отриманих результатiв. У вiдповiдностi з пропонованою вище мо-деллю визначення параметрiв контактної зони здiйснюється у два етапи. Споча-тку за [11] розраховуються орiєнтацiя пластичної зони i її довжина та напружено-деформований стан в околi вершини трiщини пiсля появи зони. Отриманi ре-зультати використовуються далi для розрахунку за формулами (10-12) довжиниконтактної зони, показника сингулярностi напружень у вершинi трiщини та кон-тактного напруження на її берегах.

Для визначеностi приймемо, що кусково-однорiдна площина з мiжфазноютрiщиною довжини 𝐿 навантажена на нескiнченостi однорiдними нормальним𝑝 > 0 i дотичним 𝑞 напруженнями. Комплексний коефiцiєнт iнтенсивностi на-пружень визначається за формулами [9]

𝐾 = 𝐾1 + 𝑖𝐾2, 𝐾1 = (𝑝− 2𝜔𝑞)√𝜋𝐿/

√2𝑐ℎ𝜋𝜔, 𝐾2 = (2𝜔𝑝+ 𝑞)

√𝜋𝐿/

√2𝑐ℎ𝜋𝜔.

Результати числових розрахункiв при 𝜈1 = 𝜈2 = 0,3 приведенi на рис. 2-4 для окремих параметрiв задачi, якi вiдповiдають вимогам маломасштабностiконтактної зони та виконанню умови 𝐺1(0) > 0.

а) б)

Рис. 2. Залежнiсть довжини контактної зони вiд безрозмiрного параметранавантаження (а: 𝑞 = −0,05𝑝, 𝜇 = −0,5) i його конфiгурацiї (б : 𝑓 = 0,4, 𝜇 = −0,5);

1 - 𝐸1/𝐸2 = 0,1; 2 -𝐸1/𝐸2 = 0,3; 3 - 𝐸1/𝐸2 = 0,5.

14 Дудик М. В.

Згiдно з рис. 2(а), з утворенням пластичної зони довжина областi контактуберегiв зростає зi збiльшенням модуля навантаження, заданого безрозмiрним па-раметром 𝑓 =

√︀𝑝2 + 𝑞2/𝜏1 (суцiльнi лiнiї), тодi як при вiдсутностi пластичної

зони її залежнiсть вiд модуля навантаження вiдсутня ([19], пунктирна лiнiя).Розмiр контактної зони виявляється на кiлька порядкiв меншим, нiж довжинапластичної зони ([11], штрих-пунктирна крива) i на кiлька порядкiв бiльшим заїї ж розмiри при вiдсутностi пластичної зони. При низьких рiвнях навантаженняi малих вiдношеннях 𝐸1/𝐸2 рiвняння (10) не має фiзично коректних розв’язкiв.

а) б)

Рис. 3. Залежнiсть довжини контактної зони вiд вiдношення 𝐸1/𝐸2 (а: 𝜇 = −0,5,𝑓 = 0,4; 1 - 𝑛 = −0,05; 2 - 𝑛 = 0; 3 - 𝑛 = 0,05) i коефiцiєнта тертя 𝜇 (б :𝑓 = 0,4,

𝑛 = −0,05; 1 - 𝑠/𝐿, 𝐸1/𝐸2 = 0,1; 2 - 10𝑠/𝐿, 𝐸1/𝐸2 = 0,3; 3 - 102𝑠/𝐿, 𝐸1/𝐸2 = 0,5).

Пiсля появи бiчної пластичної зони зберiгається характер залежностi розмiрiвконтактної зони вiд конфiгурацiї навантаження, заданої вiдношенням 𝑛 = 𝑞/𝑝(рис. 2(б)): як i при вiдсутностi пластичної зони (пунктирна лiнiя, [19]) довжинаконтактної зони суттєво зростає зi збiльшенням вкладу дотичного напруження,що дiє проти годинникової стрiлки в системi координат на рис. 1 (𝑞 < 0).

На розмiри контактної зони суттєво впливає вiдношення модулiв Юнга з’єд-наних матерiалiв (рис. 3(а)): зi зближенням модулiв пружностi з’єднаних мате-рiалiв її довжина стрiмко зменшується. В той же час вплив коефiцiєнта тертя єнезначним (рис. 3(б)): довжина контактної зони повiльно збiльшується зi збiль-шенням тертя.

Рис. 4. Показник сингулярностi напружень бiля вершини трiщини при наявностiконтактної зони (𝜆), пластичної зони (𝜆1, 𝜆2) i обох зон (𝜆′1) для 𝑓 = 0,4, 𝑛 = −0,05.

Вплив пластичної зони на контакт берегiв мiжфазної трiщини 15

Одночасне утворення пластичної зони i маломасштабної контактної зони сут-тєво змiнює напружено-деформований стан в околi вершини трiщини. На рис. 4приведенi графiки залежностi показникiв степеня сингулярностi напружень увершинi при наявностi лише контактної зони (𝜆), лише пластичної зони (𝜆1, 𝜆2),а також при наявностi одночасно як пластичної, так i маломасштабної конта-ктної зон (𝜆′1). Порiвняння 𝜆 i 𝜆1 з 𝜆′1 показує, що одночасне iснування обох зонпризводить до пiдвищення концентрацiї напружень в околi вершини (𝜆′1 < 𝜆1, 𝜆),яке вiдповiдно до комплексної моделi усувається завдяки утворенню в нiй областiдеструкцiї [20, 21].

Висновки. Побудовано комплексну модель мiжфазної трiщини, яка пе-редбачає iснування в околi її вершини маломасштабної областi контакту берегiв,взаємодiючих за законом сухого тертя, та бiльш розвинутої бiчної пластичноїзони, представленої в рамках моделi Леонова-Панасюка-Дагдейла лiнiєю розри-ву дотичного перемiщення. Методом Вiнера-Хопфа в умовах плоскої деформацiїотриманi рiвняння для визначення довжини контактної зони i показника сингу-лярностi напружень бiля вершини трiщини, знайдено вираз для контактного на-пруження. Проведено числовий аналiз параметрiв контактної зони, який виявивзалежнiсть її розмiрiв вiд зовнiшнього навантаження, тертя та пружних характе-ристик з’єднаних матерiалiв. Встановлено, що завдяки утворенню бiля вершинитрiщини бiчної пластичної зони довжина контактної зони стає залежною не лишевiд конфiгурацiї, але й вiд модуля навантаження, при цьому її значення на кiль-ка порядкiв виявляється бiльшим, нiж у випадку, коли пластична зона вiдсутня.Залежнiсть розмiрiв областi контакту берегiв трiщини вiд коефiцiєнта тертя мiжними виявляється незначною. Довжина контактної зони є екстремально малоюдля матерiалiв з близькими значеннями модулiв пружностi з’єднаних матерiалiв.Виявлено зростання концентрацiї напружень бiля вершини трiщини при одноча-снiй появi бiчної пластичної зони та контакту берегiв, яке може бути усуненозавдяки утворенню зони деструкцiї матерiалу у прилеглiй до вершини трiщиничастинi пластичної зони.

1. Панасюк В. В. Модель смуг пластичностi в пружнопластичних задачах механiкируйнування / В. В. Панасюк, М. П. Саврук // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. – 1992.- №1. – С.49–68.

2. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / В. В. Панасюк.– К.: Наук. думка, 1980. – 246 с.

3. Каминский А. А. О направлении развития тонкой пластической зоны предразру-шения в вершине трещины на границе раздела различных сред / А. А. Каминский,М. В. Дудик, Кипнис Л. А. // Прикл. механика. – 2006. – Т.42, №2. – С.14–23.

4. Каминский А. А. О начальном повороте трещины, расположенной на границераздела двух упругих сред / А. А. Каминский, М. В. Дудик, Кипнис Л. А. //Прикл. механика. – 2007. – Т.43, №10. – С.28–41.

5. Каминский А. А. Исследование процесса начального поворота трещины на грани-це раздела двух упругих сред при растяжении и сдвиге / А. А. Каминский, М. В. Ду-дик, Кипнис Л. А. // Прикл. механика. – 2009. – Т.45, №6. – С.71–79.

16 Дудик М. В.

6. Дудик М. В. Дослiдження початкового етапу повороту мiжфазної трiщини у ку-товiй точцi межi роздiлу середовищ / М. В. Дудик, Ю. В. Дiхтяренко // Фiз.-хiм.механiка матерiалiв. – 2011. – Т.47, № 5. – С. 53–59.

7. Дiхтяренко Ю. В. Моделювання початкової пластичної смуги у кутовiй точцiмежi роздiлу середовищ з мiжфазною трiщиною / Ю. В. Дiхтяренко // ВiсникОдес. нац. ун-ту. Матем. i мех. – 2011. – Т. 16, вип. 16. – С. 76–86.

8. Tvergaard V. On the toughness of ductile adhesive joints / V. Tvergaard, J. H. Hutchi-nson // J. Mech. Phys. Solids. – 1996. – V. 44, No. 5. – P.789–800.

9. Kishimoto K. Fracture mechanics of bonding interface: a cohesive zone model / K. Ki-shimoto, M. Omiya, W. Yang // Sensors and Actuations. – 2002. – V. A 99. – P. 198–206.

10. Tvergaard V. Influence of plasticity on interface toughness in a layered solid withresidual stresses // Int. Journal of Solids and Structures. – 2003. – V. 40. – P. 5769–5779.

11. Tvergaard V. Cohesive zone representations of failure between elastic or rigid solidsand ductile solids / V. Tvergaard // Engineering Fracture Mechanics. – 2003. – V. 70.– P. 1859–1868.

12. Jin Z.-H. Cohesive zone modeling of interface fracture in elastic bi-materials / Z.-H. Jin,C. T. Sun // Engineering Fracture Mechanics. – 2005. – V. 72. – P. 1805–1817.

13. Sun C. T. Modeling of composite fracture using cohesive zone and bringing models /C. T. Sun, Z.-H. Jin // Composites Science and Technology. – 2006. – V. 66. – P. 1297–1302.

14. Lee M. Y. Determination of cohesive parameters for a mixed-mode cohesive zone model/ M. J. Lee, T. M. Cho, W. S. Kim, B. C. Lee, J. J. Lee // Int. Journal of Adhesion &Adhesives. – 2010. – V. 30. – P. 322–328.

15. Гольдштейн Р.В. Моделирование трещиностойкости композиционных материа-лов / Р. В. Гольдштейн, М. Н. Перельмутер // Вычислительная механика сплошныхсред. – 2009. – Т. 2, № 2. – С. 22–39.

16. Волошко О.I. Числове дослiдження зон передруйнування трiщини в адгезiйномупрошарку мiж двома iзотропними матерiалами / О. I. Волошко, В. В. Лобода //Машинознавство. – 2009. – №12. – С. 9–16.

17. Erdogan F. Stress distribution in a nonhomogeneous elastic plane with cracks /F. Erdogan // Journal of Applied Mechanics. – 1963. – V. 30. – P. 232–237.

18. Rice J. R. Plane problems of crack in dissimilar media / J. R. Rice, G. C. Sih //Journal of Applied Mechanics. - 1965. – V. 32. - P. 418–423.

19. England A. H. A crack between dissimilar media / A. H. England // Journal of AppliedMechanics. - 1965. – V. 32. - P. 400–402.

20. Rice J. R. Elastic Fracture Mechanics Concepts for Interfacial Cracks / J. R. Rice //Journal of Applied Mechanics. – l988. – V. 55. – P.98–103.

21. Храпков А. А. Некоторые случаи упругого равновесия бесконечного клинас несимметричным надрезом в вершине под действием сосредоточенных сил /А. А. Храпков//Прикл. математика и механика. –1971. –Т. 35, вып. 4. – С. 677–689.

22. Khrapkov A. A. Wiener-Hopf method in mixed elasticity theory problems /A. A. Khrapkov. - SPb.: B. E. Vedeneev VNIIG Publishing House, 2001. – 144 р.

23. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640с.

Вплив пластичної зони на контакт берегiв мiжфазної трiщини 17

24. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальныхуравнений в частных производных /Б. Нобл. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. –279с.

25. Каминский А. А. О модели Дагдейла для трещины на границе раздела разли-чных сред / А. А. Каминский, Кипнис Л.А., В. О. Колмакова // Прикл. механика.– 1999. – Т. 35, №1. – С. 63–68.

26. Каминский А. А. Линия скольжения в конце разреза на границе раздела сред/ А. А. Каминский, Кипнис Л.А., В. О. Колмакова // Прикл. механика. – 1995. –Т. 31, №6. – С. 86–91.

Дудик М. В.Влияние пластичной зоны вблизи вершины межфазной трещины на контактее берегов

Резюме

В условиях плоской деформации методом Винера-Хопфа выполнен расчет маломас-штабной контактной зоны вблизи вершины межфазной трещины при условии образо-вания в ее окрестности боковой пластичной зоны. В области контакта допускается сухоетрение берегов по закону Кулона. Определены размеры контактной зоны, найдено вы-ражение для контактного напряжения и уравнения для расчета показателя сингуляр-ности напряжений. Исследовано влияние нагрузки, коэффициента трения и упругиххарактеристик соединенных материалов на размеры контактной зоны. Показано, чтопри наличии пластичной зоны длина контактной зоны становится зависимой не толькоот конфигурации, но и от величины внешней нагрузки.Ключевые слова: межфазная трещина, пластичная зона, контакт берегов.

Dudyk M. V.Influence of plastic zone near the tip of interfacial crack on the contact ofits lips

Summary

We have developed a complex model of the prefracture zone near the tip of an interface crack

that assumes the existence, in its vicinity, of a small-scale contact region of its faces interact-

ing according to the law of dry friction and a more developed lateral plastic zone represented

within the framework of the Leonov–Panasyuk–Dugdale model by the line of discontinuity

of the tangential displacement. Using the Wiener–Hopf method, for the conditions of plane

deformation, we have obtained equations for the determination of the length of the contact

zone and stress singularity index near the crack tip and found an expression for the contact

stress. We have performed numerical analysis of the parameters of the contact zone, which

revealed the dependence of the sizes of the zone on the external load, friction, and elastic

characteristics of the joined materials. We have established that the length of the contact

zone increases substantially as the value of the load, particularly its tangential component,

increases, whereas as the moduli of elasticity of the joined materials become closer, the length

of the contact zone decreases exponentially. At the same time, its dependence on the friction

coefficient is less pronounced: with enhancement of friction of the faces, the length of the

contact zone increases slightly. We have established an increase in the stress concentration

near the crack tip at the simultaneous appearance of the lateral plastic zone and contact of

the faces, which can be prevented by the formation of the destruction zone of the material

in a part of the plastic zone adjacent to the crack tip.

Key words: interfacial crack, plastic zone, contact zone.

18 Дудик М. В.

References

1. Comninou, M. (1977). The Interface crack. Transactions of the ASME. Journal ofApplied Mechanics, Vol. 44, 631-636.

2. Dundurs, J. & Comninou, M. (1979). The interface crack in retrospect and prospect.Proc. of the 1st USA–USSR Symposium on Fracture of Composite Materials. (pp.93–110). Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff.

3. Comninou, M. (1977). Interface crack with friction in the contact zone. Transactionsof the ASME. Journal of Applied Mechanics, Vol. 44, 780-781.

4. Comninou, M. & Schmueser, D. (1979). The Interface Crack in a Combined Tension-Compression and Shear Field. Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechani-cs, Vol. 46, 6, 345-348.

5. Ostrik, V. I. & Ulitko, A. F. (2006). Metod Vinera-Hopfa v kontaktnyh zadachah teoriiuprugosti [Wiener–Hopf Method in Contact Problems of the Theory of Elasticity].Kiev: Naukova Dumka [in Russian].

6. Gautesen, A. K. & Dundurs, J. (1988). The Interface Crack Under Combined. Transacti-ons of the ASME. Journal of Applied Mechanics. Vol. 55, 9, 580-586.

7. England, A. H. (1965). A crack between dissimilar media. Transactions of the ASME.Journal of Applied Mechanics. Vol. 32, 400-402.

8. Erdogan, F. (1965). Stress distribution in bonded dissimilar materials with cracks.Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. Vol. 32, 403-410.

9. Rice, J. R. & Sih G. C. (1965). Plane problems of crack in dissimilar media. Transacti-ons of the ASME. Journal of Applied Mechanics. Vol. 32, 418-423.

10. Panasyuk, V. V. & Savruk, M. P. (1992). Model for plasticity bands in elastoplasticfailure mechanics. Sov. Mater. Sci. Vol. 28, 1, 41–57.

11. Kaminsky, A. A., Dudik, M. V. & Kipnis, L.A. (2006). On the direction of developmentof a thin prefracture process zone at the tip of an interfacial crack between dissimilarmedia. International Applied Mechanics. Vol. 42, 2, 136-144.

12. Rice, J. R. (1988). Elastic fracture mechanics concepts for interface crack. Transacti-ons of the ASME. Journal of Applied Mechanics. Vol. 55, 98-103.

13. Cherepanov, G. P. (1979). Mechanics of Brittle Fracture. New York: McGraw-Hill.

14. Parton, V. Z. & Perlin, P. I. (1981). Metody matematicheskoj teorii uprugosti [Methodsof the Mathematical Theory of Elasticity]. Moscow: Nauka [in Russian].

15. Uflyand, Ya. S. (1965). Survey of Articles on the Application of Integral Transformsin the Theory of Elasticity. Washington: North Carolina State University.

16. Gakhov, F. D. (1966). Boundary Value Problems. Oxford: Pergamon Press.

17. Abramowitz, M. & Stegun, I. A. (editors) (1972). Handbook of Mathematical Functionswith Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover.

18. Noble, B. (1988). Methods Based on the Wiener–Hopf Technique. New York.

19. Kaminsky, A. A., Dudik, M. V. & Kipnis, L.A. (2014). Malomasshtabna kontaktnazona z tertiam berehiv bilia vershyny mizhfaznoi trishchyny [Small-scale contact zonewith friction of the faces near the tip of an interface crack]. Visn. Kyiv. Nats. Univ.,Ser. Fiz.-Mat. Nauk.- Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Seri-es Physics & Mathematics. No. 1, 62–67 [in Ukrainian].

Вплив пластичної зони на контакт берегiв мiжфазної трiщини 19

20. Kaminsky, A. A. & Kipnis, L. A. (2011). O stragivanii treshhiny, raspolozhennojna granice razdela uprugih sred [On the start of a crack located on the interface ofelastic media]. Dopovidi Natsionalnoi akademii nauk Ukrainy – Reports of the NationalAcademy of Sciences of Ukraine, No. 1, 38–43 [in Russian].

21. Kamins’kyi, A., Kipnis, L. & Dudyk, M. (2013). Pro kompleksnu model zony peredrui-nuvannia v kintsi mizhfaznoi trishchyny [On a complex model of the prefracture zoneat the end of an interface crack]. Modern Problems of Mechanics and Mathematics.Lviv: Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Vol.2, 47–49 [in Ukrainian].

Дослiдження в математицi i механiцi.– 2015.–Т.20, вип.2(26).– С. 20–25

УДК 517.5

А. А. Кореновский, К. С. ВрублевскаяОдесский национальный университет имени И. И. Мечникова

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ САМОУЛУЧШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ

Получены экстремальные значения параметров в одном известном свойстве «самоулуч-шения показателей».MSC: 26D10, 42B25.Ключевые слова: самоулучшение показателя, неравенство Харди, весовые неравен-ства.

Введение. Термин «самоулучшение показателя» последние десятилетиявсе чаще встречается в анализе. В широком смысле его можно понимать так, чтоесли некоторое свойство справедливо при каких-то значениях входящих в негопараметров, то за счет «ухудшения» одного из них можно добиться «улучше-ния» другого. Такие свойства полезны во многих приложениях, в частности, и втеории весовых пространств. Так, в работе [1] для исследования весового неравен-ства Харди применялась следующая лемма, которую можно считать типичнымсвойством самоулучшения показателя.

Лемма. [1] Пусть неотрицательная на [0,+∞) функция 𝑤 при некоторых𝐵 > 1 и 1 < 𝑞 0.

Тогда найдутся такие 𝛿 > 0 и 𝐷 > 1, что

∞̂

𝑟

𝑤(𝑥)

𝑥𝑞−𝛿𝑑𝑥 6

𝐷

𝑟𝑞−𝛿

𝑟ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑟 > 0.

В [1] говорится, что доказательство этой леммы можно получить с помощьюсоответствующего результата из [3, с. 12, лемма 21]. Кроме того, в [1] приводитсяи более простое доказательство. Однако, оба эти доказательства основаны насведении интегралов к рядам и не позволяют найти точное значение параметра 𝛿.В [2] приведено еще более простое доказательство, и при этом с неулучшаемойграницей 𝛿0 = 𝛿0(𝑞,𝐵) > 0 на параметр 𝛿 (0 < 𝛿 < 𝛿0). Более того, хотя это ине было отмечено, в [2] получено также и наименьшее значение постоянной 𝐷 =𝐷(𝑞,𝐵, 𝛿).

Основные результаты. Цель данной заметки заключается в альтер-нативном, по сравнению с [1–3], доказательстве указанной во введении леммытакже с неулучшаемыми значениями параметров 𝛿 и 𝐷. Сформулируем соответ-ствующий результат.

Получена 13.07.2015 © Кореновский А. А., Врублевская К. С., 2015

Об одном свойстве самоулучшения показателя 21

Лемма 1. Пусть 𝐵 > 1, 1 < 𝑞 0. (1)

Тогда для любого 0 < 𝛿 < 𝑞𝐵+1 справедливо неравенство∞̂

𝑟

𝑤(𝑥)

𝑥𝑞−𝛿𝑑𝑥 6 𝐷 · 1

𝑟𝑞−𝛿

𝑟ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑟 > 0, (2)

где 𝐷 = 𝐵/(︁1− 𝐵+1𝑞 𝛿

)︁. Более того, при 𝛿 = 𝑞𝐵+1 неравенство (2) теряет силу

при любом 𝐷

22 Кореновский А. А., Врублевская К. С.

Пусть 0 < 𝛼 < 𝛽 < ∞. Проинтегрируем последнее неравенство по переменной𝑟 ∈ [𝛼, 𝛽] и получим

ln

∞́

𝛽

𝑡−1−𝑞�́�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡

∞́

𝛼

𝑡−1−𝑞�́�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡

6 − 𝑞𝐵 + 1

· ln 𝛽𝛼,

т. е. для 0 < 𝛼 < 𝛽 имеем

𝛽𝑞

𝐵+1

∞̂

𝛽

𝑡−1−𝑞𝑡ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 6 𝛼𝑞

𝐵+1

∞̂

𝛼

𝑡−1−𝑞𝑡ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡.

Оценивая правую часть с помощью (4), находим

𝛽𝑞

𝐵+1

∞̂

𝛽

𝑡−1−𝑞𝑡ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 6𝐵 + 1

𝑞𝛼

𝑞𝐵+1−𝑞

�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥.

Пусть 0 < 𝛿 < 𝑞𝐵+1 . Умножим последнее неравенство на 𝛽−1− 𝑞𝐵+1+𝛿 и проин-

тегрируем по 𝛽 от 𝛼 до ∞

𝐵 + 1

𝑞𝛼

𝑞𝐵+1−𝑞

�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥

∞̂

𝛼

𝛽−1−𝑞

𝐵+1+𝛿 𝑑𝛽 >

>

∞̂

𝛼

𝛽−1+𝛿∞̂

𝛽

𝑡−1−𝑞𝑡ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝛽. (5)

Левая часть этого неравенства равна

𝐵 + 1

𝑞𝛼

𝑞𝐵+1−𝑞

�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥𝛼−

𝑞𝐵+1+𝛿

𝑞𝐵+1 − 𝛿

=𝐵 + 1

𝑞

1𝑞

𝐵+1 − 𝛿𝛼−𝑞+𝛿

�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥. (6)

Об одном свойстве самоулучшения показателя 23

Преобразуем правую часть (5), используя тождество (3),

∞̂

𝛼

𝛽−1+𝛿∞̂

𝛽

𝑡−1−𝑞𝑡ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝛽 =

=1

𝑞

∞̂

𝛼

𝛽−1−𝑞+𝛿�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝛽 +1

𝑞

∞̂

𝛼

𝛽−1+𝛿∞̂

𝛽

𝑥−𝑞𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝛽 =

=1

𝑞

1

𝑞 − 𝛿𝛼−𝑞+𝛿

�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥+1

𝑞

1

𝑞 − 𝛿

∞̂

𝛼

𝑥−𝑞+𝛿𝑤(𝑥) 𝑑𝑥+

+1

𝑞

∞̂

𝛼

𝑥−𝑞𝑤(𝑥)

𝑥ˆ

𝛼

𝛽−1+𝛿 𝑑𝛽 𝑑𝑥 =

=1

𝑞

⎡⎣ 1𝑞 − 𝛿

𝛼−𝑞+𝛿�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥+

(︂1

𝑞 − 𝛿+

1

𝛿

)︂ ∞̂𝛼

𝑥−𝑞+𝛿𝑤(𝑥) 𝑑𝑥−

− 1𝛿𝛼𝛿

∞̂

𝛼

𝑥−𝑞𝑤(𝑥) 𝑑𝑥

⎤⎦ .Оценивая последнее слагаемое справа в квадратных скобках с помощью условия(1), находим

∞̂

𝛼

𝛽−1+𝛿∞̂

𝛽

𝑡−1−𝑞𝑡ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝛽 >

>1

𝑞

⎡⎣ 1𝑞 − 𝛿

𝛼−𝑞+𝛿�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥+

(︂1

𝑞 − 𝛿+

1

𝛿

)︂ ∞̂𝛼

𝑥−𝑞+𝛿𝑤(𝑥) 𝑑𝑥−

− 𝐵𝛿𝛼−𝑞+𝛿

�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥

⎤⎦ . (7)Подставляя (6) и (7) в (5), в результате элементарных вычислений получаем

∞̂

𝛼

𝑥−(𝑞−𝛿)𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 6

𝐵+1𝑞

𝐵+1−𝛿− 1𝑞−𝛿 +

𝐵𝛿

1𝑞−𝛿 +

1𝛿

· 𝛼−(𝑞−𝛿)�̂�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥, 𝛼 > 0.

Так как постоянная в правой части

𝐵+1𝑞

𝐵+1−𝛿− 1𝑞−𝛿 +

𝐵𝛿

1𝑞−𝛿 +

1𝛿

=𝐵

1− 𝐵+1𝑞 𝛿,

то тем самым доказано (2).

24 Кореновский А. А., Врублевская К. С.

Покажем теперь, что при 𝛿 = 𝑞𝐵+1 неравенство (2) теряет силу при любом𝐷 < ∞. Для этого рассмотрим функцию 𝑤(𝑥) = 𝑥𝛾−1, 0 < 𝛾 < 𝑞. При 𝑟 > 0имеем

∞̂

𝑟

𝑤(𝑥)

𝑥𝑞𝑑𝑥 =

𝑟−𝑞+𝛾

𝑞 − 𝛾,

𝑟ˆ

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑟𝛾

𝛾.

Таким образом, условие (1) выполняется с постоянной

𝐵 =

∞́

𝑟

𝑤(𝑥)𝑥𝑞 𝑑𝑥

1𝑟𝑞

�́�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥

=𝛾

𝑞 − 𝛾,

откуда получаем 𝛾 = 𝐵𝐵+1𝑞. Это означает, что при заданных𝐵 > 1, 𝑞 > 1 функция𝑤(𝑥) = 𝑥

𝐵𝐵+1 𝑞−1 удовлетворяет условию (1). Если же 𝛿 = 𝑞𝐵+1 , то подынтеграль-

ная функция в левой части неравенства (2) равна 𝑥𝑞−𝛿𝑤(𝑥) = 𝑥𝑞−𝛿𝑥𝐵

𝐵+1 𝑞−1 = 1𝑥и, таким образом, интеграл слева в (2) расходится, а справа в (2) сходится.

Наконец, покажем, что постоянную 𝐷 = 𝐵/(︁1− 𝐵+1𝑞 𝛿

)︁в правой части (2)

нельзя уменьшить. Как видно из предыдущего, функция 𝑤(𝑥) = 𝑥𝐵

𝐵+1 𝑞−1 удо-влетворяет условию (1). Для 0 < 𝛿 < 𝑞𝐵+1 вычислим оба интеграла в (2) при𝑟 > 0

∞̂

𝑟

𝑥𝐵

𝐵+1 𝑞−1−𝑞+𝛿 𝑑𝑥 =𝑟

𝐵𝐵+1 𝑞−𝑞+𝛿

𝑞 − 𝐵𝐵+1𝑞 − 𝛿,

𝑟ˆ

0

𝑥𝐵

𝐵+1 𝑞−1 𝑑𝑥 =𝑟

𝐵𝐵+1 𝑞

𝐵𝐵+1𝑞

.

Таким образом,

∞́

𝑟

𝑥𝐵

𝐵+1 𝑞−1−𝑞+𝛿 𝑑𝑥

𝑟−𝑞+𝛿�́�

0

𝑥𝐵

𝐵+1 𝑞−1 𝑑𝑥

=𝐵𝐵+1𝑞

𝑞 − 𝐵𝐵+1𝑞 − 𝛿=

𝐵

1− 𝐵+1𝑞 𝛿,

т. е. при 𝐷 = 𝐵/(︁1− 𝐵+1𝑞 𝛿

)︁неравенство (2) обращается в равенство и тем самым

лемма 1 доказана полностью.

Заключение. Вопрос нахождения неулучшаемых границ «самоулучшенияпараметров» представляет, как правило, и самостоятельный интерес. Рассмот-ренная здесь Лемма применялась в [1, 2] для доказательства ограниченности ввесовом пространстве оператора Харди на классе монотонных функций. Есте-ственно, что «грубые» значения параметров «самоулучшения» уже не позволятнайти норму этого оператора. Возможно, знание точных границ «самоулучше-ния» может оказаться полезным для вычисления нормы оператора Харди, или,по крайней мере, для улучшения известных оценок этой нормы.

Об одном свойстве самоулучшения показателя 25

1. Ariño M. A. Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy’s inequality withweights for nonincreasing functions / M. A. Ariño, B. Muckenhoupt // Trans. Amer.Math. Soc. - 1990. - V. 320, № 2. - P. 727 - 735.

2. Maligranda L. Weighted estimates of integral operators decreasing functions /L. Maligranda // Proc. Internat. Conf. dedicated to F. D. Gakhov, Minsk. – 1996. –P. 226–236.

3. Strömberg J. O. Weighted Hardy spaces / J. O. Strömberg, A. Torchinsky. – LecturesNotes in Math. : Springer – Verlag, New York, 1989. – V. 1381. – 193 p.

Кореновський А. О., Врублевська К. С.Про одну властивiсть самопокращення показника

Резюме

Отриманi екстремальнi значення параметрiв у однiй вiдомiй властивостi «самопокра-щення показникiв».Ключовi слова: самопокращення показника, нерiвнiсть Гардi, ваговi нерiвностi.

Korenovskyi A., Vrublevska K.On the one self-improving property of exponent

Summary

In this note an alternative proof of the well-known property, associated with the so-called

“self-improving property”, is presented. This property states that if for some 𝐵 > 1, 1 <

𝑞 < ∞, nonnegative on (0,+∞) function 𝑤 satisfies∞́

𝑟

𝑤(𝑥)𝑥𝑞

𝑑𝑥 6 𝐵𝑟𝑞

�́�

0

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑟 > 0, then

the same inequality remains valid if to reduce the “little” the 𝑞 and to increase the 𝐵. This

proof contains the best possible parameters for such a possible “self-improving”. On the use

of this property, for example, the proof of the Hardy transformation tightness in the space

with the weight, is based. Perhaps the knowledge of the exact values of the parameters of

this “self-improving” will be useful for the Hardy operator norm finding in the weighted

space, or for the improving t of the norm’s well-known estimates.

Key words: self-improving property, Hardy inequality, weighted inequalities.

References

1. Arino, M. A. & Muckenhoupt, B. (1990). Maximal functions on classical Lorentz spacesand Hardy’s inequality with weights for nonincreasing functions. Trans. Amer. Math.Soc., Vol. 320 (2), 727–735.

2. Maligranda, L. (1996). Weighted estimates of integral operators decreasing functions.Proc. Internat. Conf. dedicated to F. D. Gakhov, Minsk, 226–236.

3. Strömberg, J. O. & Torchinsky, A. (1989). Weighted Hardy spaces. Lectures Notes inMath. New York: Springer-Verlag., Vol. 1381, 193.

Дослiдження в математицi i механiцi.– 2015.–Т.20, вип.2(26).– С. 26–42

УДК 531.66; 531.44

М. П. Плахтiєнко , А. Г. ЗабугаIнститут механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України

НЕЛIНIЙНА МОДЕЛЬ ФРИКЦIЙНО-УДАРНОЇ ВЗАЄМОДIЇТВЕРДОГО ТIЛА З ТВЕРДОЮ ШОРСТКОЮ ПЛОЩИНОЮ

Дослiджено динамiку редукованої до першого порядку ланцюгової вiброударної систе-ми з кулоновим тертям, яка пропонується в якостi моделi явищ, що вiдбуваються пiд часкосого удару твердого тiла та абсолютно твердої шорсткої площини. Багатократнi удариз тертям були дослiдженi за допомогою гiпотези Рауса. Було запропоновано розглядатикожен удар, як такий, що складається з двох послiдовних стадiй. Перша стадiя являєсобою рух ланцюгової вiброударної системи без наявностi контакту з твердою шорс-ткою площиною. Друга стадiя являє собою ковзання з кулоновим тертям ланцюговоївiброударної системи по твердiй шорсткiй площинi. Показано, що можливiсть повно-го затухання коливань у ланцюговiй вiброударнiй системi залежить вiд iнтервалу часумiж двома послiдовними ударами.MSC: 70F35, 70F40, 70E55.Ключовi слова: фрикцiйно-ударна взаємодiя, вiброударна система, змiнна структура,гiпотеза Рауса, косий удар, кулонове тертя, в’язке тертя, принцип Даламбера.

Вступ. При дослiдженнi динамiки багатьох типiв машин доводиться матисправу з вiброударними системами (ВУС), особливiстю яких є те, що вони здiй-снюють коливальний рух, в процесi якого мiж їхнiми окремими ланками вiдбу-ваються удари [1–3]. Часто ВУС моделюють за допомогою ланцюгових (рядних)систем абсолютно твердих тiл, з’єднаних мiж собою безiнерцiйними пружнимиелементами. Як правило, ланцюговi системи твердих тiл описують за допомогоюсистем звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь, порядок яких iнодi можебути знижений [1,2]. Ланцюгова ВУС з кулоновим тертям є нелiнiйною [4]. Проте,якщо розглядати нелiнiйнi сили кулонового тертя як зовнiшнi по вiдношенню долiнiйної пiдсистеми, то порядок останньої iнодi може бути знижений за допомо-гою методу редукцiї лiнiйних систем, що управляються [5–7]. У таких випадкахланцюгова ВУС з кулоновим тертям може бути апроксимована системою бiльшнизького порядку. В данiй роботi дослiджується динамiка редукованої до пер-шого порядку ланцюгової ВУС з кулоновим тертям, яка пропонується в якостiмоделi явищ, що вiдбуваються пiд час косого удару твердого тiла та абсолютнотвердої шорсткої площини.

Основнi результати1. Постановка задачi. Розглянемо плоскопаралельний поступальний рух

системи двох абсолютно твердих тiл (рис. 1 i 2) пiд дiєю сили ваги. Тiла зв’язанiпружиною з в’язким демпфером. Цю систему будемо називати умовно «цилiндр-поршень».

Надiйшла 08.07.2015 © Плахтiєнко М. П., Забуга А. Г., 2015

Нелiнiйна модель фрикцiйно-ударної взаємодiї 27

Рис. 1 Рис. 2

Пiд час руху система може бути або вiльною (рис. 1), або її перемiщення упросторi буде обмежене недеформiвною горизонтальною площиною (рис. 2). По-значимо масу поршня, як 𝑚𝑝, а масу цилiндра разом з дном — як 𝑚𝑐. Цилiндрвважаємо недеформiвним, тобто рух поршня вiдносно дна цилiндра у горизон-тальному напрямку неможливий. Декартова система координат 𝑂𝜉𝜂 iнерцiальна,а система осей 𝑂1𝑥𝑦 зв’язана з дном цилiндра i має початок в точцi 𝑂1, яка знахо-диться у центрi зовнiшньої поверхнi дна цилiндра. Центри мас цилiндра i поршнязнаходяться на осi симетрiї цилiндра i поршня, яка при вказаному виборi системиосей 𝑂1𝑥𝑦 збiгається з вiссю 𝑂1𝑦. Точки крiплення пружини до цилiндра i пор-шня також знаходяться на осi 𝑂1𝑦. Оскiльки цилiндр i поршень недеформiвнi, топри вказаному виборi системи осей 𝑂1𝑥𝑦 змiна довжини пружини дорiвнює змiнiкоординати 𝑦 центра мас поршня у системi 𝑂1𝑥𝑦. Значення координати 𝑦, приякому пружина недеформована, дорiвнює 𝑙. Жорсткiсть пружини дорiвнює 𝑐, а їїкоефiцiєнт дисипацiї — 2𝑛. Очевидно, що положення точок системи у будь-якиймомент часу може бути визначене за допомогою абсциси 𝜉 i ординати 𝜂 точки𝑂1 дна цилiндра, а також ординати 𝑦. Через наявнiсть абсолютно твердої шорс-ткої площини рух системи обмежений неiдеальною неутримуючою геометричноюв’яззю, рiвняння якої:

Φ (𝜉, 𝜂, 𝑦) = 𝜂 > 0, (1)

де знак рiвностi має мiсце тодi, коли цилiндр перебуває у контактi з площиною. Зiсказаного випливає, що механiчна система, яка вивчається, матиме три ступенявiльностi при 𝜂 > 0 i два ступеня вiльностi при 𝜂 = 0.

Будемо вважати, що пiд час руху поршня вiдносно цилiндра у вертикальномунапрямку на поршень з боку цилiндра дiє сила кулонового тертя 𝑄, обумовленатертям поршня об стiнки цилiндра. Силу кулонового тертя 𝑄 будемо описуватиза допомогою залежностi:

𝑄 =

⎧⎪⎨⎪⎩−𝑞0sign (�̇�) при �̇� ̸= 0,−𝑞0sign (

∑︀𝐹𝐴) при �̇� = 0 i |

∑︀𝐹𝐴| > 𝑞0,

−∑︀𝐹𝐴 при �̇� = 0 i |

∑︀𝐹𝐴| 6 𝑞0,

(2)

28 Плахтiєнко М. П., Забуга А. Г.

де 𝑞0 — додатна стала, що має розмiрнiсть сили, �̇� — швидкiсть руху у верти-кальному напрямку поршня вiдносно цилiндра i

∑︀𝐹𝐴 — сума проекцiй на вiсь

𝑂1𝑦 активних сил i сил iнерцiї, що дiють на поршень у рухомiй системi вiдлiку𝑂1𝑥𝑦. У формулi (2) другий рядок вiдповiдає ситуацiї, коли �̇�, проходячи черезнуль, миттєво змiнює знак, а третiй дає значення сили тертя спокою, коли �̇� = 0i 𝑦 = 0 протягом певного скiнченного промiжку часу (поки виконується умова|∑︀𝐹𝐴| 6 𝑞0).Рух системи, що вивчається, може бути представлений у виглядi декiлькох

однотипних циклiв. Номер циклу позначатимемо iндексом який може набуватизначень 1, 2, 3, . . . . У кожному циклi буде двi стадiї:

1) рух при вiдсутностi контакту з поверхнею 𝜂 = 0, що вiдбувається на iнтер-валi часу 𝑡 ∈ [𝑡𝑘−1,2; 𝑡𝑘1] (де 𝑡𝑘−1,2 — момент часу, коли закiнчується другастадiя 𝑘− 1-го циклу, а 𝑡𝑘1 — момент часу, коли закiнчується перша стадiя𝑘-го циклу). Вiдзначимо, що тут i в подальшому при 𝑘 = 1 замiсть 𝑡𝑘−1,2буде початковий момент часу 𝑡0 = 0.

2) пiсля досягнення цилiндром у момент часу 𝑡𝑘1 в’язi 𝜂 = 0 виникає реакцiяв’язi i вiдбувається ковзний сповiльнений рух цилiндра вздовж площини наiнтервалi часу 𝑡 ∈ (𝑡𝑘1; 𝑡𝑘2). Сила реакцiї, яка дiє на цилiндр на вказаномуiнтервалi часу, може бути розкладена на нормальну до площини складову𝑁 i тангенцiальну (дотичну) до площини складову 𝐹𝑇 , котра являє собоюсилу кулонового тертя мiж дном цилiндра i площиною.

Очевидно, може трапитися ситуацiя, коли реакцiя в’язi 𝜂 = 0 не обертаєтьсяв нуль на другiй стадiї циклу. У цьому випадку система залишається на другiйстадiї руху нескiнченно довго, перехiд на наступний цикл не вiдбувається, а 𝑡𝑘2для даного циклу не iснує.

Задача даного дослiдження полягає у визначеннi величин 𝑡𝑘2 i 𝑡𝑘2. Для роз-в’язку цiєї задачi i дослiдження закону руху системи необхiдно побудувати їїмеханiко-математичну модель.

2. Рiвняння динамiки системи, що вивчається. Цi рiвняння мають удекартовiй системi координат 𝑂𝜉𝜂 вигляд:

𝑀𝜉 = 𝐹𝑇 ,𝑚𝑐𝜂 = −𝑚𝑐𝑔 + 𝑐 (𝑦 − 𝑙) + 2𝑛�̇� −𝑄+𝑁,𝑚𝑝 (𝜂 + 𝑦) = −𝑚𝑝𝑔 − 𝑐 (𝑦 − 𝑙)− 2𝑛�̇� +𝑄,

(3)

де було враховано, що ордината 𝑚𝑝 у системi 𝑂𝜉𝜂 дорiвнює 𝜂 + 𝑦, а також тойфакт, що вздовж осi 𝑂𝜉 система рухається, як єдине цiле. У рiвняннях (3) 𝑀 =𝑚𝑐 +𝑚𝑝, а 𝑔 = 9, 81м/с

2 – прискорення вiльного падiння. Розв’язуючи рiвняння(3) вiдносно других похiдних i виконуючи очевиднi алгебраїчнi перетворення,отримуємо:

𝑀𝜉 = 𝐹𝑇 , 𝑚𝑐𝜂 = −𝑚𝑐𝑔 + 𝑐 (𝑦 − 𝑙) + 2𝑛�̇� −𝑄+𝑁,𝑚𝑐𝑚𝑝𝑀

𝑦 + 𝑐 (𝑦 − 𝑙) + 2𝑛�̇� = 𝑄− 𝑚𝑝𝑀

𝑁. (4)

Для того, щоб дослiдити рух системи за допомогою рiвнянь (4), треба знайтиневiдомi значення складових реакцiй 𝑁 , 𝐹𝑇 i 𝑄.

Нелiнiйна модель фрикцiйно-ударної взаємодiї 29

Розглянемо спочатку силу кулонового тертя 𝑄. Очевидно, спiввiдношення (2)дозволяють одразу знайти значення 𝑄 у випадку, коли �̇� ̸= 0. У випадку, коли�̇� = 0, необхiдно iще знайти

∑︀𝐹𝐴. Для того, щоб це зробити, застосуємо принцип

Даламбера до останнього з рiвнянь (4). Покладаючи у даному рiвняннi �̇� = 0 i𝑦 = 0, отримуємо:

𝑄 = 𝑐 (𝑦 − 𝑙) + 𝑚𝑝𝑀

𝑁 при �̇� = 0 i 𝑦 = 0. (5)

Порiвнюючи (5) з останнiм рядком у (2), який вiдповiдає ситуацiї, коли �̇� = 0 i𝑦 = 0, отримуємо: ∑︁

𝐹𝐴 = −𝑐 (𝑦 − 𝑙)−𝑚𝑝𝑀

𝑁. (6)

Для того, щоб визначити 𝑄 за допомогою (2) i (6), необхiдно визначити скла-дову реакцiї 𝑁 , яка входить до (6). У випадку, коли �̇� = 0 i 𝑦 = 0, це можназробити, якщо згадати, що при цьому поршень не рухається вiдносно цилiндра, аотже, система матиме тi ж самi властивостi, що i абсолютно тверде тiло з масою𝑀 = 𝑚𝑐 +𝑚𝑝. Таким чином, враховуючи рiвняння неутримуючої геометричноїв’язi (1), можемо записати:

𝑁 =

{︃0 при 𝜂 > 0,𝑀𝑔 при 𝜂 = 0, �̇� = 0 i 𝑦 = 0.

(7)

Пiдставляючи (6) i (7) у (2), отримаємо:

𝑄 =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−𝑞0sign (�̇�) при �̇� ̸= 0,𝑞0sign (𝑐 (𝑦 − 𝑙)) при �̇� = 0, 𝜂 > 0 i |𝑐 (𝑦 − 𝑙)| > 𝑞0,𝑐 (𝑦 − 𝑙) при �̇� = 0, 𝜂 > 0 i |𝑐 (𝑦 − 𝑙)| 6 𝑞0,𝑞0sign (𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔) при �̇� = 0, 𝜂 = 0 i |𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔| > 𝑞0,𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔 при �̇� = 0, 𝜂 = 0 i |𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔| 6 𝑞0.

(8)

Формула (7) визначає нормальну складову реакцiї 𝑁 при 𝜂 > 0 i у випадку,коли 𝜂 = 0, �̇� = 0 i 𝑦 = 0 Для того, щоб знайти 𝑁 в загальному випадку, пiдста-вимо рiвняння в’язi (1) i спiввiдношення (8) у друге рiвняння (4) i скористаємосяпринципом Даламбера. В результатi отримаємо:

𝑁 =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 при 𝜂 > 0,𝑚𝑐𝑔 − 𝑐 (𝑦 − 𝑙)− 2𝑛�̇� − 𝑞0sign (�̇�) при 𝜂 = 0 i �̇� ̸= 0,𝑚𝑐𝑔 − 𝑐 (𝑦 − 𝑙) + 𝑞0sign (𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔) при 𝜂 = 0, �̇� = 0 i

|𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔| > 𝑞0,𝑀𝑔 при 𝜂 = 0, �̇� = 0 i

|𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔| 6 𝑞0.

(9)

У спiввiдношеннi (9) враховано той факт, що ситуацiя 𝑦 = 0 має мiсце тодi i тiлькитодi, коли |𝑐 (𝑦 − 𝑙) +𝑚𝑝𝑔| 6 𝑞0. Зазначимо, що оскiльки в’язь (1) неутримуюча,то має виконуватися умова 𝑁 > 0. Причому, якщо пiд час ковзання цилiндравздовж площини 𝜂 = 0 складова реакцiї 𝑁 обертається в нуль, то має мiсцевiдскакування цилiндра вiд в’язi.

30 Плахтiєнко М. П., Забуга А. Г.

Що стосується дотичної складової реакцiї 𝐹𝑇 , то, оскiльки вона є єдиною си-лою, що