RLM AULA 01

Raciocnio Lgico Matemtico

Lgica Proposicional

Proposies

Conectivos lgicos

Tabelas-verdade

Equivalncias

Diagramas Lgicos

Lgica de 1 Ordem

Sentenas Abertas

Quantificadores

Lgica o estudo das relaes entre afirmaes, no

da verdade dessas afirmaes. Est ligada

linguagem.

O mdulo de Raciocnio Lgico.

Ele um atirador de facas.

O aprovando o melhor curso de MT para FTE.

EXPRESSO X SENTENA

Aberta: Indeterminao

Fechada: PROPOSIO

PROPOSIES SIMPLES Vm sozinhas, sem se conectar a outra proposio.

Ex: O novo papa argentino.

PROPOSIES COMPOSTAS Vm conectadas(conectivos lgicos), formando uma s sentena.

Ex: Ou Joo Flamengo ou Vasco.

Ou Renata faz compras ou Lcia vai praia.

Valor Lgico Atribuir V ou F proposio.

PRINCPIOS BSICOS DA LGICA

1. Princpio de terceiro excludo: toda proposio s pode ser falsa ou verdadeira, no h outra possibilidade.

2. Princpio da no contradio: uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

EXERCCIO 1

(Agente/SENFAZ/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica.

I. Que belo dia!

II. Um excelente livro de raciocnio lgico.

III. O jogo terminou empatado.

IV. Existe vida em outros planetas do universo.

V. Escreva uma poesia

A frase que no possui essa caracterstica comum a:

a) I b) II c) III d) IV e) V

CONECTIVOS LGICOS E TABELA-VERDADE

So termos usados para conectar proposies formando novas proposies.

: e

V : ou

V : ou...ou

: se..., ento

: se, e somente se

, : no

: e (CONJUNO)

O valor de uma proposio conjuntiva s ser verdadeiro se ambas as proposies forem verdadeiras.

Ex: Renata bancria e Luciana publicitria.

p = Renata bancria

q = Luciana publicitria

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

V : ou (DISJUNO INCLUSIVA)

Uma proposio disjuntiva s ser falsa se ambas as proposies componentes forem falsas.

Ex: Renata bancria ou Luciana publicitria.

p = Renata bancria

q = Luciana publicitria

p q p V q

V V V

V F V

F V V

F F F

V : ou...ou (DISJUNO EXCLUSIVA)

Uma proposio disjuntiva exclusiva s ser verdadeira se uma das proposies componentes for verdadeira.

Ex: Ou Renata bancria ou Luciana publicitria.

p = Renata bancria

q = Luciana publicitria

p q p V q

V V F

V F V

F V V

F F F

: se..., ento (CONDICIONAL)

A condicional somente ser falsa quando o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.

Ex: Se Renata bancria, ento Luciana publicitria.

p = Renata bancria

q = Luciana publicitria

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Uma condio SUFICIENTE gera um resultado NECESSRIO.

Expresses equivalentes a: Se p, ento q

Se p, q

q, se p

Quando p, q

p implica q

p condio suficiente para q

q condio necessria para p

p e somente se q

Todo p q

: se, e somente se (BICONDICIONAL)

A bicondicional somente ser falsa quando os valores lgicos das proposies que a compem forem diferentes.

Ex: Renata bancria se, e somente se Luciana for publicitria.

p = Renata bancria

q = Luciana publicitria

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

N DE LINHAS DA TABELA-VERDADE

2n = quantidade de linhas

EXERCCIO 2

(Agente/PF/Cespe-Unb) Julgue certo ou errado para os itens a seguir:

I. Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R ( T) falsa.

II. Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio (P R) ( Q) verdadeira.

ORDEM DE PREFERNCIA DOS CONECTIVOS

1) Fazer as negaes

2) Fazer as disjunes(ou) e conjunes(e) na ordem em que aparecem.

3) Fazer a condicional

4) Fazer a bicondicional

Ex: (p V q)

p q q p V q (p V q)

V V

V F

F V

F F

EXERCCIO 3

Construa a tabela-verdade de P(p,q) = (p q) V (q p)

TAUTOLOGIA

toda proposio sempre verdadeira, independente dos valores lgicos que a compem.

Ex: Verifique se a condicional (p q) (p V q) tautolgica.

p q (p q) (p V q) (p q) (p V q)

V V

V F

F V

F F

CONTRADIO

toda proposio sempre falsa, independente dos valores lgicos que a compem.

Ex: (p q) (p q)

p q q (p q) (p q) (p q) (p q)

V V

V F

F V

F F

CONTINGNCIA

Uma proposio ser uma CONTINGNCIA sempre que no for uma TAUTOLOGIA nem uma CONTRADIO.

Ex: p (p q)

p q (p q) p (p q)

V V

V F

F V

F F

EXERCCIO 4

(Agente/Sec. de Est. dos Neg. da Fazenda/FCC) Dada a sentena ( p q r), complete o espao com uma e uma s das sentenas simples p, q, r ou a sua negao p, q ou r para que a sentena dada seja uma tautologia. Assinale a opo que responde a essa condio.

a) Somente q.

b) Somente p.

c) Somente uma das duas: q ou r.

d) Somente uma das trs: p, q ou r.

e) Somente uma das trs: p, q ou r.

PROPOSIES LOGICAMENTE EQUIVALENTES

Duas proposies so logicamente equivalentes quando o resultado das suas tabelas-verdade so idnticos.

Smbolo da equivalncia lgica ou =

Ex: A proposio p q equivalente (p q) p ?

Equivalncias Bsicas:

1) p ou q = q ou p

2) p e q = q e p

3) p q = q p

4) p q = (p q) e (q p)

Ex: Vou praia se, e somente se est Sol Se vou praia ento est Sol e se est Sol ento vou praia.

Equivalncias da condicional

1) p q = q p

Inverte-se a ordem dos termos e nega-se os dois.

Ex: Se gabarito RLM, passo para FTE.

Se no passei para FTE, ento no gabaritei RLM.

2) p q = p ou q

Nega-se o 1, troca-se o conectivo para ou e mantm o 2.

Ex: Se gabarito RLM, passo para FTE.

No gabaritei RLM ou passei para FTE.

EXERCCIO 5

Julgue certo ou errado o item abaixo.

Uma sentena logicamente equivalente a Se Pedro economista, ento Lusa solteira Se Lusa no solteira, ento Pedro economista.

EXERCCIO 6

A afirmao No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris logicamente equivalente afirmao:

a) verdade que Pedro est em Roma e Paulo est em Paris.

b) No verdade que Pedro est em Roma ou Paulo no est em Paris.

c) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo no est em Paris.

d) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris.

e) verdade que Pedro est em Roma ou Paulo est em Paris.

NEGATIVA DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Regras de Morgan (disjuno e conjuno)

1) (p q) = p V q

Nega-se os dois, troca-se o conectivo para ou.

Ex: Renato gabaritou RLM e Joo gabaritou Fsica.

Neg Renato no gabaritou RLM ou Joo no gabaritou Fsica.

NEGATIVA DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Regras de Morgan (disjuno e conjuno)

2) (p V q) = p q

Nega-se os dois, troca-se o conectivo para e.

Ex: Renato gabaritou RLM ou Joo gabaritou Fsica.

Neg Renato no gabaritou RLM e Joo no gabaritou Fsica.

NEGATIVA DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Negativa da proposio condicional

(p q) = ( p V q) = p q

Mantm o 1, troca-se o conectivo para e, nega-se o 2.

Ex: Se gabarito RLM, passo para FTE.

Neg Gabaritei RLM e no passei para FTE.

EXERCCIO 7

(Analista Administrativo/ANEEL/Esaf) A negao da afirmao condicional se Ana viajar, Paulo vai viajar :

a) Ana no est viajando e Paulo vai viajar.

b) se Ana no viajar, Paulo vai viajar.

c) Ana est viajando e Paulo no vai viajar.

d) Ana no est viajando e Paulo no vai viajar.

e) se Ana estiver viajando, Paulo no vai viajar.

EXERCCIO 8

(AFC/Esaf) Dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto logicamente equivalente a dizer que verdade que:

a) Pedro no pobre ou Alberto no alto.

b) Pedro no pobre e Alberto no alto.

c) Pedro pobre ou Alberto no alto.

d) se Pedro no pobre, ento Alberto alto.

e) se Pedro no pobre, ento Alberto no alto.

NEGAO DE TODO, NENHUM E ALGUM

Proposio Negao da proposio

Todo A B Algum A no B

Todo A no B Algum A B

Algum A B Nenhum A B

Algum A no B Nenhum A no B

Nenhum A B Algum A B

Nenhum A no B Algum A no B

EXERCCIO 9

(RADIOBRAS/NCE/UFRJ) Se no verdade que todas as pessoas que consomem sal tero hipertenso, ento:

a) as pessoas que consomem sal no tero hipertenso.

b) as pessoas que no consomem sal tero hipertenso.

c) h pessoas que consomem sal e tero hipertenso.

d) h pelo menos uma pessoa que consome sal e no ter hipertenso.

e) as pessoas que no consomem sal no tero hipertenso.

GABARITO

1. D

2. I) C II) E

3. TABELA

4. E

5. E

6. D

7. C

8. A

9. D